（应用数学专业论文）几类广义周期点在拓扑空间的推广及其相关性质.pdf

摘要 摘要 连续自映射的回归点、非游荡点、链回归点等广义周期点是拓扑动力系统的 重要研究内容之一近三十年来，国内外众多学者对此都非常感兴趣并且一直积 极投入，他们在实线段甚至度量空间上对这些广义周期点进行了许多深入地讨论， 得到了许多重要的研究成果然而，随着现代动力系统的研究不断向高维空间和 抽象空间发展，自然产生如下两个问题： ( 1 ) 如何将拓扑动力系统中各种广义周期点及其相关理论推广到抽象的拓扑 空间? ( 2 ) 推广后的广义周期点与广义周期点集有何特有的重要性质? 本文主要就上述两问题进行讨论，得到了如下一些结果： 首先，对实线段上连续自映射的周期点、回归点和非游荡点进行了推广在一 般拓扑空间中，获得了连续自映射的周期点集、回归点集和非游荡点集的一些性质， 并进一步证明了这些性质的正确性 其次，推广了实线段上连续自映射的不稳定流形在一般拓扑空间中，获得了 连续自映射的不稳定流形的一些性质并且证明了这些性质的正确性，同时也讨论 了不稳定流形与周期点、国一极限点、非游荡点和同宿点之间的关系 最后主要是将实线段上连续自映射的链回归点和缈一极限点推广到度量空间 ( 特殊的拓扑空间) 中在一般度量空间或者紧度量空间中，获得了链回归点和国一 极限点的一些性质，并且证明了这些性质的正确性 上述结果，丰富和推广了拓扑动力系统中广义周期点的基本理论在一定程 度上为动力系统理论的抽象化发展以及混沌数学理论的拓扑推广奠定了一定的理 论基础 关键词：拓扑空间，周期点，回归点，非游荡点，不稳定流形 a b s 瞰( x a b s t r a c t g e n e r a l i z e dp e r i o d i c 秘i 嫩o fc o n t i n u o u ss e l f - m a p p i n g , s u c ha sr e c u r r e n tp o i n t , n o n w a n d e r i n gp o i n lc h a i nr e c u r r e n tp o i n t ，i so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tr e s e a r c h e so f t o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m f o ra l m o s t3 0y e a r s ，s c h o l a r sa th o m ea n da b r o a da le v e r yi n t e r e s t e di nt h i sa r e aa n dh a v eb e e na c t i v e l yi n v o l v e di n t h e yd i s c u s s e dt h e g e n e r a l i z e dp e r i o d i cp o i n t so n r e a ls e g m e n t , e v e nm e t r i cs p a c ei nd e p t h , a n dg o tal 鹾o f i m p o r t a n tr e s e a r c hr e s u l t s h o w e v e r , w i t hm o d e md y n a m i cs y s t e mk e e p st h ec o n s t a n t d e v e l o p m e n tt oh i g h - d i m e n s i o n a ls p a c ea n da b s t r a c ts p a o , $ o m eq u e s t i o n st u r nu p ： h o wt og e n e r a l i z et h er e s u l t so fg e n e r a l i z e dp e r i o d i cp o i n t0 1 1t o p o l o g i c a ld y n a m i c a l s y s t e mt oa b s t r a c tt o p o l o 每c a ls p a c e ? a r et h e r ea n yi m p o r t a n tp r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e d p e r i o d i cp o 缸a f t e rt h ep r o m o t i o n ? 1 董l i sp a p e rd e a l sw i mt h ea b o v e q u e s t i o n sa n d o b t a i n ss o m er e s u l t s f i r s t l y , t h ec o n c e p t so f p e r i o d i cp o i n t s ，r e c u r r e n tp o i n t sa n dn o n w a n d e r i n gp o i n t so n r e a ls e g m e n ta r eg e n e r a l i z e d i ng e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e ，s o m ep r o p e r t i e so fp e r i o d i c p o i n t s ，r e c u r r e n tp o i n t sa n dn o n w a n d e r i n gp o i n t so fc o t i n u o ms e l f - m a pa r eo b t a i n e d ； m o r e o v e r , t h ec o r r e c t n e s so ft h e s ep r o p e r t i e sh a sb e e nv e r i f i e d s e c o n d l y , t h ec o n c e p t so fu n s t a b l em a n i f o l do nr e a ls e g m e n ta f eg e n e r a l i z e d 。i n g e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e ，s o m ep r o p e r t i e so fu n s t a b l em a n i f o l do fc o n t i n u o u ss e l f - m a p a l eo b t a i n e d ；m o r e o v e r , t h ec o 黜e s so f t h e s ep r o p e r t i e sh a sb e e nv e r i f i e d a tl a s t , t h e p a p e rd e s c r i b e st h er e l a t i o n s h i pa m o n gu n s t a b l em a n i f o l d , p e r i o d i cp o i n t s ，国一l i m i t i n g p o i n t s ，n o n w a n d e r i n gp o i n t sa n dh o m o c l i n i cp o i n t s a tl a s t , t h ec o n c e p t so fc h a i nr e c u r r e n tp o i n t sa n dc o - l i m i t i n gp o i n t so nr e a l s e g m e n ta r eg e n e r a l i z e dt om e t r i cs p a c e m e t r i cs p a c ei sas p e c i a lt o p o l o g i c a ls p a c e i t i ss h o w ns o m ep r o p e r t i e so ft h ec h a i nr e c u r r e n tp o i n t sa n d 彩一l i m i t i n gp o i n t si nm e t r i c s p a c e s o ，t h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so fc l o s e di n t e r v a lh a v eb e e ni m p r o v e d t oac e r t a i ne x t e n t , t h e s er e s u l t se n r i c ha n dp r o m o t et h ek 戚c 吐l 烈眄o fl 瑚i o d i c p o 妇i nt o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m 。t h e yl a yt h et h e o r e t i c a lf o u n d a t i o no fa b s t r a c t d e v e l o p m e n ti nd y n a m i c a ls y s t e m st h e o r y a n dt o p o l o g y p r o m o t i o n i nc h a o s m a t h e m a t i c a lt h e o r y h a b s t r a c t k e yw o r d s ：t o p o l o g i c a ls p a c e ，p e r i o d i cp o i n t ，r e c u r r e n tp o i n t , n o n w a n d e r i n gp o i n t ， u n s t a b l em a n i f o l d i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他入已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：盈立圈期：2 雄寥年参月2 2 旦 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 日期：弦鸭年r 月力e t 第一章绪论 1 1 拓扑学的出现与发展 第一章绪论 拓矜空褥理论f l l 是现代数学( 特剐是现代分析与拓扑动力系统) 理论重簧基础， 现已发展成内容丰富的独立学科它们的概念，理论的方法不但已经渗透到纯粹 数学与应翊数学的许多分之中，瑟且在皂然科学和工程技术理论麓不少学科孛褥 到网益广泛的应用特别是线性拓扑空间理论，由于其中的拓扑结构与代数结构 鲍穗互协调性，西此在处理数学闯题中更为有用+ 拓扑空间拉j 的标准定义是经历了很长时间才形成的许多数学家，如f r e c h e t , h a u s d o r f f 等人。在世纪的头十年里给出过苓网的定义，但是这拨定义缀快成失 过凝烟云，数学家稍缀快就确定了合适的定义罴然，他们希望定义能够有尽可能 广泛的包容性，从而把数学中学多有用的例子，如欧氏空间，度量空间以及建立在 这些空滴之上酶番数空闻，都作失它的特镶毫挺进去德们又幕望尽可戆缝狭窄， 从而使得那魃熟知的空间中的标准定理对于一般拓扑空间也能够成立当试图整 理一个薪的数学概念时，常鬻会遁到这样赞弱题，帮翔俺绘塞恪皴其分的定义，最 稻确立的拓扑空间的定义看上去有些抽象但是。当你用不同的方法构造拓扑空 闻鲢。将会对它的真正内涵有更好的理解。 点集拓扑学是现代数学( 特别是现代分析) 的重要基础之一，它的观点和方法 已渗透到现代数学的许多重要分支中点集拓扑对学习现代数学，如同解析几何 对学习徽积分一样，是必不可少麓。 近代分析中的基本问题是研究抽象集合中的“极限与映象的“连续性艚众 所阕懿，在欧氏空阍 0 使得 ( z ，工+ c ) n f 2 ( f ) = 或者( x - - c ，x ) n q ( 门= 因此，z q - p ( f ) 是一个无处 稠密的可数集熊金城证明了f c o ( ，) 的回归点集为闭集当且仅当厂的几乎周期 点集为闭集 n i t e c k i 【3 1 给出一个周期集合为 2 ”；刀= o ，1 ，2 ， 的线段连续自映射，杨润生 1 4 1 进一步指出这个映射的回归点集为闭集但周期点集不是闭集 此外，许多作者讨论了周期点为闭集的线段连续自映射兹将有关结果总结 为下述定理： 设厂c o ( ，) 则下述条件等价： ( 1 ) c r ( f ) = p ( f ) ( 即每一个链回归点都是周期点) ( 2 ) q ( 门= p ( 门( 即每一个非游荡点都是周期点) ( 3 ) 矽( 力= p ( 厂) ( 即每一个c o 一极限点都是周期点) ( 4 ) 以) = p ( 力( 即周期点集是闭集) ( 5 ) r ( f ) = p ( 门( 即每一个回归点都是周期点) ( 6 ) a p ( f ) = p ( 厂) ( 即每一个几乎周期点都是周期点) ( 7 ) 对于任意工i ，国( z ，) 为周期轨迹 在这一定理中，等价性( 1 ) ( 4 ) 是由b l o c k 和f r a n k e0 5 1 给出的等价性 ( 5 ) ( 4 ) 熊金城1 6 1 给出了证明等价性( 6 ) 营( 4 ) 是熊金城【1 6 1 给出的而等价性 ( 2 ) ( 4 ) 由周作领【1 7 】，n i t e c k i 【1 8 1 和熊金城1 9 1 所证明 周作领n 2 】的无异状点的线段自映射一中心和深度进一步讨论无异状点的 线段自映射的非游荡集结构，讨论了线段自映射的中心和深度，并证明了 6 第一章绪论 f c o ( ，) ，如果厂无异状点，则厂的中心等于以厂) ，中心的深度等于1 或者2 熊金城【9 1 证明了对于线段连续自映射f ，q ( 厂l q ( 介) = 尸( 力周作领1 7 】证明了线 段自映射的非游荡集等于周期点集的一个充分条件即f c o ( ，) ，若厂无异状 点和p ( 门= p ( 厂) ，则q ( 厂) = 以力 郑作环1 2 0 1 在讨论了流形中吸引子，链回归点集和有限集的一些性质之后， 又讨论了拓扑空间中连续流形中吸引子的一些性质 郑作环【2 1 1 在一类生态系统中孤立不变集的指标和联络对于一类生态模型 产生的流，通过计算流的孤立不变集的c o n l e y 指标来分析它的结构，当流的休止点 都是双曲时，进一步讨论了这些休止点间联络的唯一性，这些结果推广了生态模 型中关于相连矩阵分析的相应结果 杨景春瞄1 在回归点集与混沌中令厂是区间i = 【o ，1 】上的连映射，l l ( 门= 0 ， 烈力= r 则厂为混沌的充要条件是存在石r ( 门一尸( 门，使序列 厂2 1 ( 功 、， 有两个极限点：进一步，对某石r ( 厂) 一尸( 力，使序列 f 2 1 ( z ) 有两个极限点的 ，n - o 充要条件是存在石 表示，的回归点集，蝴表 示厂的非游荡点集研究这些集合及其闭包之间的包含关系，即p ( 厂) 是否 c 尺( 介，r ( 力是否o q u ) ，联门是否c q u ) ，r ( ，) 是否c 赋力 二) ：对于其他舜状点，诸如不动点集，链回归点集，不稳定流形，同宿点集 在拓扑空间中进行推广 三) ：在拓羚动力系统中研究这些点集的性质，例如闭不交性，连通性 使用的主要理论知识是一般拓扑学，函数迭代与一维动力系统，微分动力系 统，从抛物线到混淹，主要采用理论证暖先在拓扑空闻中用拓扑学语言定义属期 点，回归点，非游荡点应用拓扑学中邻域，闭集，闭包的知识证明这些点集之间 的关系利用拓扑学中网与网收敛，连续映象的知识研究回归点集，非游荡点集中 网的性质根据拓扑空间中的连续性，收敛性，适当选取开邻域，证明 r ( n = r ( f “) 利用撼羚空闻的连续性以及回妇杰，菲游荡点本身的性质谥骥回归点集，非 游荡点集为不变集利用拓扑空间中闭集的性质和非游荡点本身的性质证明非游 荡点集是一个闭集。刹用拓扑空闻中的连通性，收敛性，连续性，网与网收敛证明 一个点为非游荡点的充分必要条件 9 电子科技大学硕士学位论文 第二章拓扑动力系统的基本概念与理论 2 1 拓扑空间及其相关概念 拓扑空间及其相关概念是拓扑动力系统的基础，也是本学位论文的基础，下 面的概念与结果，如果没有特殊说明，均取自于文献 1 定义2 1 1 设x 是一个任意集合，少是x 的子集族，若满足： ( q ) ，x 厂； ( d 2 ) 若g i ，g 2 少，则g lng 2 厂； ( q ) 若q 少( i i ) ，其中，为任意指标集，则ug j 厂 f e 则称少为集合x 上的一个拓扑，( x ，厂) 称为拓扑空间，少中的元素称为该空间 中的开集 定义2 1 2 设( x ，少) 为拓扑空间，x x ，u c x ，若存在g 厂，使 x g c u 则称u 为x 的邻域x 点的邻域的全体称为x 点的邻域系，记做纱( 工) 拓扑空间x 中各点邻域系的全体称为x 的邻域系，记做纱，即纱= e l ( x ) ix x ) 由上述定义，工点的邻域不必为包含x 的开集 定理2 1 1 设( x ，少) 为拓扑空间，纱为由少导出的x 的邻域系，则纱满 足下列条件： ( m ) 若u e l ( x ) ，贝0 工u ； ( 2 ) 若u e l ( x ) ，v 3 u ，贝0 v e ( x ) ； ( m ) 若u ，e ( x ) ，则un e ( x ) ； ( 4 ) 若u ( 功，则必存在e ( x ) ，使wcu ，且对任意y w ， 形( y ) 定义2 1 3 设( x ，歹) 为拓扑空间，fcx ，若f 。厂，其中p 为f 的余集， 则，称为闭集 定义2 1 4 设( x ，少) 为拓扑空间，acx ，若x a ，使a e l ( x ) ，则称x 为 l o 第二章拓羚动力系统的蒸本概念与理论 “的内点4 中内点的全体称为彳的内部，记为4 。或i n t a 定义2 王。5 设( x ，) 为拓羚空闻，acx 若x x ，使对任意u 仨纱( 曲， 有 秽q ( 么、 善；) 妒 则称石为爿的聚点4 的聚点的全体称为4 的导集，记为4 定义2 薹。6 设( 石，夕 为拓棼空闻，acx 令 j ：a u a 则称j 为么的闭包 定理2 1 2 设( 彳，1 为拓扑空间，acx ，则x a 的充要条件是对任意 u 纱 u n a 雾矿 定理2 1 3 彳为闭集的充要条件是j = a 定义2 1 7 设acx ，a ，若存在ug ( 而) ，使 u n 翟 而 ) = 则称而为集合么的孤立点 定义2 1 。8 设( x ，夕”) 为拓扑空间，( s ，) 为定商集，则由s 到x 中的映象称 为x 上的一个网( 或定向点列) ，记为 触，其中而x 定义2 王。9 设x 为拓矜空闻，s 为定向集， 占。s 为x 上薛霹若存在 毪x ，对任意u 纱( 而) ，都存在菇s ，当8 - 8 0 时，有u ，则称网 葶醪收 敛于而( 简称网收敛) ，称而为网 如s 的极限，记做 矗岭而( 艿毫s ) 或罂为2 弱 一般来说，收敛网的极限未必是唯一的 定理2 。1 。4 设石为拓羚空闻，a c x ，刘 ( 1 ) x a 的充要条件是存在彳 x 中的网 ) ，使- - - x ； ( 2 菇蠢的充要条件是存在么中的网 毛 ，使黾- - x ， ( 3 ) 彳为开集的充要条件是不存在中的网，收敛于彳中的点 定义2 1 。1 0 设 毛；葶舒和 欺 群笆a 为两个隔，若存在一个对应歹：专s ，使对任 电子科技大学硕士学位论文 意口a ， 儿2 ( 。) 且满足： ( 1 ) 任取口l ，a ，q f ( x ) 定义2 1 1 2 设x ，y 为两个拓扑空间若存在厂：xj 】，使厂为一一满映象， 而且厂与它的逆映象厂1 都是连续映象，则厂称为同胚映象( 或拓扑映象) 两个拓 扑空间x ，l r 称为同胚的，记做x y 若两个拓扑空间同胚，尽管它们的元素可能完全不同，但在同胚映象下，彼此 的元素是一一对应的，且两个拓扑也是由对应的元素构成的换句话说，从拓扑构 造的观点，同胚的拓扑空间是等同的 由于x 中开集的同胚象在y 中仍为开集，因而开集是拓扑性质同理，闭集也 是拓扑性质实际上，内点，聚点，闭包，邻域等都是拓扑性质 公理瓦任取x 中两个不同的点，至少有一点存在一个邻域，使其不包含另一 点 公理z 任取x 中两个不同的点，两点各存在一个邻域，使其不包含另一点 公理正任取工中两个不同的点，两点各存在一个邻域，使这两个邻域互不相 交 满足t o ，互，互公理的拓扑空间，分别称为r o ，互，五空间，互空间也叫做豪斯 1 2 第二章拓扑动力系统的基本概念与理论 道夫( h a u s d o r f f ) 空间 定理2 1 6 拓扑空间x 为t o 空间，当且仅当任意不同点( 作为单点集) 的闭包 是不同的 定理2 1 7 拓扑空间x 是五空间，当且仅当每个单点集是闭集 定理2 1 8 拓扑空间彳为z 空间的充要条件是每个收敛的极限是唯一的 公理互任取x x ，和一个闭集f ，x 萑f ，存在u 2 ( x ) ，v 纱( f ) ，使 u n v = 公理正任取两个闭集e ，互，互n e = ，存在u 纱( 互) ，y 纱( e ) ，使 u n v = 矽 满足公理互( 正) 的拓扑空间称为正则( 正规) 空间值得注意的是，正则空间， 正规空间以及五，五，互空间之间均没有直接的包含关系 定义2 1 1 3 满足五公理的正则空间称为互空间；满足五公理的正规空间称为 互空间 定义2 1 1 4 满足公理4 ，4 的拓扑空间分别称为4 空间，4 空间显然4 空 间必为4 空间，反之不然 定理2 1 9 设拓扑空间x 为4 空间，任取石x ，则必存在工的一个可数邻域 基 圪 ( n - - 1 ，2 ，) ，使 k + ic 圪 o = 1 ，2 ，) 定理2 1 1 0 设x 为4 空间，则x 为正的充要条件是每个收敛序列的极限是 唯一的 定理2 1 1 1 设x 为4 空间，y 为任意拓扑空间，厂是从x 到y 的映象，n f 为 连续映象的充要条件是对x 中的任意序列专x o ，在y 中必有厂( ) of ( x o ) 定义2 1 1 5 设x 为一个拓扑空间， 口ld fcx ，f ) 为x 的子集族，若 型d f = x ，则称 q ) 为x 的一个覆盖若q 都是开子集，则称 口) 为x 的开覆盖 若，为有限( 或可数) 集，则称 口) 为x 的有限( 或可数) 覆盖 定义2 1 1 6 设z 为拓扑空间，若对x 的任意开覆盖 qig f 厂，iel ，都存 在有限子覆盖- 就是说，存在有限个q g f ) ，j = 1 ，2 ，刀，使蜕q 2 x ，则称x 为 电子科技大学硕士学位论文 紧空间( 或紧致空间) 定理2 1 1 2 设x 为拓扑空间，石为紧空间的充要条件是x 中任意具有有限 交性质的闭集族有非空交 定理2 1 1 3 设x 为拓扑空间，x 为紧空间的充要条件是x 上的任意网必存 在收敛子网 定理2 1 1 4 设x 为紧空间，则x 的无穷子集至少有一个聚点 定理2 1 1 5 设x 为紧空间，f 为x 的闭子集，则f 为紧子集 定理2 1 1 6 乃空间的紧子集是闭子集 定理2 1 1 7 设x 为紧空间，y 为拓扑空间，f ：x 专y 为连续映象，则厂( x ) 在 】，中也是紧子集 定理2 1 1 8 设厂为紧空间z 上的连续函数，则厂在j 上能得最大( 小) 值 定义2 1 1 7 设x 为拓扑空间，若石不能分解为两个非空的分离集的并，即对 x 中任意两个分离的集a ，b ( a nb = an b = ) ，x = a u b 不成立，则称x 为连通 空间反之，若x 可以分解为两个分离集的并，则称x 为不连通空间拓扑空间x 中的子集彳称为连通集当且仅当彳作为子空间是连通的 定理2 1 1 9 若x 为拓扑空间，则下列各条件彼此等价： ( 1 ) x 为连通空间： ( 2 ) x 不能分解为不相交的两个非空闭集的并； ( 3 ) x 不能分解为不相交的两个非空开集的并： ( 4 ) x 不能分解为不相交的两个非空的既开又闭集的并： ( 5 ) x 中除了矽，x 之外，不再存在其它既开又闭的子集 定理2 1 2 0 连通空间的连续象是连通的 定理2 1 2 1 ( 介值定理) 设厂为连通空间x 上的一个连续实值函数，任取 a , b x ，则厂在x 上必能取得f ( a ) 和f ( b ) 之间的一切实数值 定理2 1 2 2 设工为非连通空间，x = a u b ，a ，b 为非空的不相交的既开又 闭的集合，五为x 中任意连通子集，则kn 彳和kn b 中必有一个为空集 定理2 1 2 3 设k 为拓扑空间x 的连通子集，对任意墨，x oc 五cx o ，则 z 也连通 定理2 1 2 4 设k ，k 位f ) 为拓扑空间z 的连通子集族，kn x o 痧，则 k u ( u k ) 也是x 的连通子集 定义2 1 1 8 设x 为拓扑空间，石x ，则一切包含工的连通子集的并e 称为 含z 的连通区( 或连通分支) 1 4 第二章拓扑动力系统的基本概念与理论 2 2 周期点与广义周期点的概念及其相关性质 在一个变化发展的系统中，若系统的某种状态会一再重现，则这种状态可称 为系统的周期状态在宇宙和自然界中，具有周期状态的系统大量存在周期现象 出现在天体运行，死机更迭，生物繁殖，机械振动等多种过程之中迭代过程中的周 期轨，是描述现实世界中周期现象的数学模型之一它受到数学家和其他领域的科 学家的重视，是理所当然的 由于线段的拓扑特点，使线段自映射的周期轨的性质与一般流形上自映射的 周期轨相比具有明显的特殊性，这特色集中地表现在沙可夫斯基定理及有关的定 理上，成为函数迭代的现代研究中最具吸引力的一个部分 下面陈述实线段上周期点与广义周期点的概念，这些概念与命题如果没有特 殊说明都取自于文献【9 】 设f ：m 专m 是集合到自身的映射对任一个工m ，有正向轨道 d ；( 力= 五( 石) ，f 2 ( 力，f “( x ) ， ( 2 1 ) 这个序列有什么性质，是研究迭代过程时所关心的主要问题之一 如果对某个x o m ，有 厂”魄) = x o ( 但对一切1 k 0 ，存在刀 0 使得l 4 ( 工) 一蚓 工 ( 1 ) 6 对于任何x j ，f 4 ( 工) x ( 2 ) 。对于任何正整数以和任何x j ，只要广( 工) j ，便有厂”( 工) o ，存在y i 和整数以 0 使得i y x i 0 使得f “( u ) n u 则k = f ( u ) u f 2 ) u 为某有限个区间的并集 定理2 2 1 1 设厂是线段j 上的一个连续自映射则x i 是厂的一个非游荡点 ( 即x q ( 门) 的充分必要条件是，对于任何占 0 和任何整数l 0 ，存在着y i 以 及整数m l ，使得陟一卅 0 ，使得当y i 满足条件l y x l 0 使 得对于任何满足条件i y x i 0 都有 l 厂“( y ) 一石i 0 ，石都是厂“的非游荡点 定理2 2 2 0 设厂是线段，上的一个连续自映射若7 l 0 是一个奇数，那么厂 的非游荡集n ( f ) 等于广的非游荡集q ”( 力 现在来引进一个介于非游荡点于回归点之间的概念缈一极限点的概念点 y i 称为点x i 的相对于线段，上的连续自映射厂而言的一个国一极限点，如果 序列毛厂( 功，f 2 ( 功，有一个收敛的子序列厂，- ，厂“，收敛于点y 点x i 的相对 于映射厂而言的全体缈一极限点构成的集合记为c o ( x ，门，令形( 力= u 耐c o ( x ，门并 称之为映射厂的0 3 一极限集，矿( 门中的每一个点都称为厂的国一极限点 设厂是线段，上的一个连续自映射工i 称为厂的链回归点，如果对任意占 0 ， 存在着有限个点x o ，x i ，使得x o = x = x ，并且f 厂( 再) 一矗。i 0 为任意整数则厂 的链回归点集c r ( f ) 等于厂4 的链回归点集c r ( f 4 ) 定理2 2 2 4 设厂为线段，上的一个连续自映射又设a 为，的开子集，并且， 满足条件f ( a ) ca ( 其中彳为a 的闭包) ，则对于任意x c r ( f ) 一a 和任意刀 0 ， 有厂“( x ) 仨a 定理2 2 2 5 设厂为线段，上的一个连续自映射，石i 若y c o ( x ，力，则对于 第二章拓扑动力系统的基本概念与理论 任意玎 0 ，存在z 0 使得厂( y ) r o ( x , f 4 ) 定理2 2 2 6 设为线段i = 【乜，b 】上的一个连续自映射，如果厂有一个非周期 的链回归点工( 即x e c r ( f ) 一以门) ，使得工的( 相对于厂而言的) 国一极限集中有厂 的不动点，则厂有周期点以非2 的方幂为周期 定理2 2 2 7 设厂是线段，上的一个连续自映射，则以下条件是等价的： ( 1 ) 厂的链回归点都是周期点； ( 2 ) 厂的非游荡点都是周期点； ( 3 ) 厂的国一极限点都是周期点； ( 4 ) 厂的周期点集为闭集 定义2 2 1 如果p 尸( 力，则定义不稳定流形形”o ，) 如下设x 形”( p ，门， 如果对v u ( p ) ，3 m n 使得z 厂”( 定义2 2 2 点石i 称为是连续自映射厂的一个同宿点，如果| p p 满 足： ( 1 ) 工p ；( 2 ) z 矿( p ，厂”) ( 以为x 的周期) ；( 3 ) 3m n 使得厂”( z ) = p 记厂 的同宿点集为日u ) 定义2 2 3o ( u ，力= u 三f ( u ) ( uci ) 定理2 2 2 8 如果p f ( f ) ，则形。( p ，力是连通的 定理2 2 2 9 设 只，p ：，见) 为厂的一个周期轨( 周期为刀) ，则可得到 矿“( p ，门- u 渊w ”( 所，f ”) 定理2 2 3 0 如果p p ( 力，则f ( w ”( p ，门) = 。( p ，力 定理2 2 3 1 如果p p ( 门，则形“( p ，厂) 一矽“( p ，f ) cp ( 力 定理2 2 3 2 如果kc i 且k 为一个闭区间，并且满足f ( k ) 3 k ，则 k n ，( 门 定理2 2 3 3 如果p f u ) ，那么对v n 0 都有形“( p ，f ) = 矽“( p ，f ”) 定理2 2 3 4 如果p p ( f ) 并且p 的周期为万，则 f ( w 。( p ，f 4 ) ) = 形“( 厂( p ) ，f ”) 定理2 2 3 5 设p 以f ) ，则x w “( p ，f ) 当且仅当对v u ( p ) ，均有 工o ( u ，厂) 定理2 2 3 6 设日( 门= 矽如果p ，q f ( 厂) ，p 形“( g ，f ) 并且 1 9 电子科技大学硕士学位论文 q 矿“( p ，厂) ，则p = q 定理2 2 3 7 设日( 厂) = ， p l , p ：，n 为厂的一个周期轨( 周期为刀) 如果 b ，p j 是 p 。，p ：，以 中互不相同的两点，np ：芒矿“( b ，f ”) 定理2 2 3 8 设日( 门= ， p 。，p 2 ，见) 为厂的一个周期轨( 周期为甩) 如果 工形。( a ，门，p l c o ( x ，力，那么工形( b ，f ) 且对只 p l , p 2 ，见 满足 鼽缈( x ，门 定理2 2 3 9q ( 门= p ( 门当且仅当尸( 门是闭集 第三章拓扑空间中连续自映射的三种点集 第三章拓扑空间中连续自映射的三种点集 3 1 引言及其预备 连续自映射的周期点、回归点和非游荡点是拓扑动力系统的三个非常基本又 非常重要的概念上世纪末，文献 9 】，【1 3 ， 3 1 一 3 5 】实线段上对它们进行过深入细 致地讨论，得到了关于这三种基本点的非常丰富的研究结果 然而，随着近些年动力系统研究向高维空间与抽象空间不断延伸和发展，人 们力图将线段上连续自映射的周期点、回归点、非游荡点的相关理论推广到一般 拓扑空间由于一般拓扑空间没有度量，因而这种推广难度是非常大的近年来， 一直未见较理想的研究结果发表本文就此问题进行研究，在一般拓扑空间中得 到了连续自映射周期点集、回归点集和非游荡点集的几个性质 在本文中，( x ，厂) 表示拓扑空间，简称空间为了方便通常也简记( z ，少) 为 x 矽表示空集，n 表示自然数集 定义3 1 1 哳】映射f ：x 专x 称为是空间x 上的一个连续自映射，如果 vx x ，vv 纱u ( 石) ) ，ju ( x ) 使得f ( u ) cv 一个偏序集( s ， ) 称为是定向集，如果v x ，y s ，3 z s 使得z - z 并且z - y 为了方便，通常将( s ， ) 简记为s 定义3 1 2 1 设z 是一个拓扑空间并且s 是一个定向集，v 万s ，取南x ， 则称 ) 参西是空间x 中的一个网；空间x 中网 而) 占心称为是收敛于点z x 的，如 果v u 2 ( x ) ，了屯s ，使得v 万s ：万 - 反，时，恒有x 8 u 下面是文献 9 中线段上连续自映射的周期点、回归点和非游荡点的概念在一 般拓扑空间中的推广： 定义3 1 3 设厂是空间x 上的一个连续自映射，石x ( 1 ) 点工称为厂的一个周期点，如果3 n n 使得厂“( x ) = z ； ( 2 ) 点x 称为厂的一个回归点，如果v u 7 ( x ) ，3 n n ，使得“( 工) u ； ( 3 ) 点工称为厂的一个非游荡点，如果v u ( j c ) ，3 y u ，3 n n 使得 “( j ，) u 并用p c f ) 、r ( f ) 和q u ) 分别表示厂的周期点集、回归点集和非游荡 点集 2 1 电子科技大学硕士学位论文 本章中涉及到的拓扑空间( t o p o l o 百c a ls p a c e ) 的概念与相关性质，见第二章 3 2 关于周期点的一些结果 定理3 2 1 若厂是x 上的连续映射，则p ( f ) = p ( f “) ，刀= l ，2 ，3 ， 证明对于v n n ，v x p ( f ) ，3 1 n 使得厂x ) = x 因， ( 厂”) 7 ( x ) = f 耐( x ) = f ( n - 1 ) u 7 ( x ) ) = x ， 所以，工p ( f “) 即p ( 厂) c p ( f 4 ) 另一方面，v x p ( f “) ，3 k n 使得厂h ( 工) = 工取，= k n ，则，n 并且厂( x ) = z 因此，p ( f ”) c p ( 厂) 所以，只) = p ( f ”) 定理3 2 2 若厂是空间z 上的一个连续自映射，则p ( f ) cr ( f ) ，并且 p ( ) c q ( 厂) 证明由周期点和回归点的定义，p ( f ) cr ( f ) 是显然的 现只需证：p ( 厂) cn ( f ) 事实上，v x p ( f ) ，v u e ( x ) ，因u n p ( f ) 矽，故3 y unp ( f ) ，3 n n 使 得厂“) = y 所以，厂”0 ) u 再由非游荡点的定义有工n ( f ) ，可得p ( f ) c n ( f ) 对于定理3 2 2 的第二部分还有如下更一般的结果： 定理3 2 3 设厂是x 上的连续自映射，若x p ( f ) ，则v 刀n ，有x n ( f “) 证明vx p ( f ) ，v u e ( x ) ，因un 以f ) ，则可取y u1 7p ( f ) 由于y p ( f ) ，故3m n 使得厂”( y ) = y 从而对v n n 有 ( 厂“) ”o ) = ( ”) “( y ) = y u 故，工q u 4 ) 下面证明一般拓扑空间中周期点的两个判定定理： 定理3 2 4 设厂是z 上的连续自映射，kcx 并且k k 为有限集，如果 v i 0 ，有x f ( k ) 一f ( k ) ，则z 为厂的一个周期点 证明设f o 为整数，由已知，3a i k - k 使得厂7 ( 口，) = 工因为 a i 脚ck - k 第三章拓扑空间中连续自映射的三种点集 且乏一k 为有限集，则存在整数f l ，如0 ，f 2 使口 = 口f 2 不妨设i l i 2 ，记，= 】i 一之，则reb l 并且厂0 ) = 厂如( 口) = 工，其中口= 气=