（应用数学专业论文）具亏指数（11）的下半有界对称算子的von+neumann问题.pdf

具亏指数( 1 ，1 ) 的下半有界 对称算子的v o nn e u m a n n 问题 摘要对亏指数( 1 ，1 ) 的下半有界闭对称算子的y o nn e u m a n n 问题，作者利用实参 数形式的k r e i n 公式和自伴正算子的秩1 扰动理论给出了一个仅依赖于n i e d 矗d 峙延 拓的显式解答，并且证明了对每个这类算子，在它的全体自伴延拓集合到单位圆周s 1 的一个自然的双射下，它的v o n 卜问题解集的像一定处于丢单位圆周内 关键词自伴，延拓，半有界，亏指数 i o ny o nn e u m a n n sp r o b l e mo f as e m i b o u n d e d o p e r a t o rw i t hd e f e c ti n d e x ( 1 ，1 ) a b s t r a c tf o ras e m i h o u n d e d o p e r a t o rw i t hd e f e c ti n d e x ( 1 ，1 ) ，w e “v e 、m n e u m a n n sp r o b l e mi na e x p l i c i tw a y b a s e do nk r e i n sf o r m u l aa n dr a n ko n e p e r t u r b a t i o n t h e o r yo f a p o s i t i v es e l f a d j o i n t o p e r a t o r ，o n l ya s s u m i n gt h ef r i e d r i c h se x t e n s i o ni s o b t a i n e d i nt h el a s t t h e o r e m ，w ep o i n to u tt h a tf o re v e r yo p e r a t o ri nt h i sc i a s s 。t h e i m a g e o ft h es o l u t i o ns e to fy o nn e u m a n n sp r o b l e mu n d e ran a t u r a lb i j e c t i o nf r o mt h e s e l f a d j 。i n te x t e r m i o ns e tt ot h eu n i tc t r c l es 1i sm i 1 k e yw o r d ss e l f a d j o i n t ，e x t e n s i o n ，s e m i b o u n d e d 。d e f e c ti n d e x 1引 言 所谓的y o nn e u m a n n 问题，是对下半有界算子的自伴扩张问题的一种提法为了 介绍它的来龙去脉，我们不得不陈述很多背景材料 对称算子的自伴扩张( 延拓) 理论源于量子力学”4 3 “4 量子力学所研究的各 种非相对论性的( 速度远小于光速、没有粒子的创生和湮灭) 量子体系，如原子、分子、 原子核等，体系的h a m i l t o n 算式 h 垒一毒二+ v 在有物理意义的空间约束条件下，都是定义在某个平方可积空间l 2 ( n ) 的稠子空间 上的线性微分算子我们称h 为“算式”，如果它的定义域没有明确通常很容易找到 l 2 ( n ) 的一个稠密子空间，使得h 定义在其上为闭对称算子，并且任何算子h 的 定义域都包含了我们把定义域为的算子h 记作h o h i l b e r t 空间l 2 ( n ) 中的 元称为波函数如果对一个量子体系指定了空间和时问约束，那么存在惟一一个波函 数，它完全刻画了体系的空时演化规律，该波函数称为体系的一个态从偏微分方程 观点看，要决定量子体系的一个态，就是要求解s c l l r 6 d i r 冰r 方程的混合问题 f i h 9 。妒= 脚n 内 驴( z ，0 ) = 驴o ( z ) ( 1 1 ) 齐次边条件 如果计入边条件，那么( 1 1 ) 中的微分算式h 成为微分算子，仍记为h ，( 1 1 ) 等价于 抽象c a u c h y 问题 r1 p 3 轰螂 ( 1 2 ) l 妒( o ) = 妒o 记( 1 2 ) 的解为以，定义演化算子u ( t ) ：l 一以( 由算子半群理论知u ( t ) = 毒“) 一条物理公理因果律要求 u ( 5 ) u ( t ) = u ( s + ) ，vs ，t r ， u ( ) 妒，妒( t 一0 ) ，v5 c l l 2 ( n ) 根据假设，体系没有粒子的创生和湮灭，因此粒子在空间n 中出现的概率关于t 不 变而由波函数的统计解释，在时刻t ，粒子在空间n 中的概率密度为i 以12 所以 | i 幽1 1 = | j 识9 = 0u ( ) 如0 1 于是 u ( r ) c r 成为一个酉算子群由s t o n e 趣j ! ”舢1 知，该酉算子群的生成元去h 满足 = 0 ，i = 1 ，d ， 则a i 。为a 的一个自伴扩张反之，若a 是a 的自伴扩张，则存在 z ，翱 c 9 ( a 。) ，它们模9 ( a ) 线性无关，( ，) = 0 ( i ，j = 1 ，d ) ，而且 9 ( a ) = 茗9 ( a 。) i = 0 ，i = 1 ，d k r e m 方法是针对下半有界的对称算子的，是对著名的“v o nn e u r n a n n 问题”的解 答设a 为下半有界的对称算子，m 为a 的下确界v o nn e t m a a n n 问题是：证明存在 a 的自伴扩张a ，使得a m ，并且刻画出所有的这样的a 由于融e i n 方法比较复 杂，并且和本文密切相关，故在此稍作详细解释 设a 为下半有界的闭对称算子，不失一般性，设a 的下确界m = 0 令 s = ( j a ) ( f + a ) ， 则9 ( s ) = 观( i + a ) 一般不是稠子空间，但是有 ( s r ，y ) = ( z ，$ ) ，vz ，y 9 ( s ) 故称5 为非稠定的对称算子s 具有性质： ( i ) l isi i 1 ； ( i i ) s 可保范扩张为捧+ 彤的自伴算子； ( i i i ) a = ( j s ) ( i + s ) 3 如果记 烈a ) = l a 的所有正的自伴扩张 ， 取s ) = s 的所有铲彤的保范自伴扩张 ， 则映射f ：a 卜_ 一( j a ) ( i + a ) - 1 是烈a ) 到取s ) 的双射，并且 f 。( s ) = ( j s ) ( ，+ s ) ，vs 取s ) 5 0 则有 c1 | z02 ( t x ，z ) 0t kl i | izl i ，vze 9 ( t ) ， 于是 f lh | i c z6 ，v z 9 ( t ) ( 3 1 ) 以z = t y 代人( 3 1 ) 碍 0t _ 1 yi | c - 1i l y | i ，v y 9 ( t _ 1 ) ， ( 3 2 ) ( 丁，了) f it 叫yl f f i ，f f c qf yf f2 ，v y 9 ( t 。) ( 3 3 ) 而由t 0 知 ( t x ，z ) 0 ，v z 9 ( t ) ( 3 4 ) 以z = 丁_ 1 y 代入( 3 4 ) 得 ( y ，t y ) 0 ，v y 9 ( t - 1 ) ( 3 5 ) 这样，( 3 2 ) ，( 3 3 ) 和( 3 5 ) 蕴含了0e p ( t ) 且0 t “c ( e ) 设o p ( t ) 且0 t 1 c 由于t - 1 0 ，故 ( t z ，z ) 0 ，v z 9 ( t 。) ( 3 6 ) 以z = t y 代人( 3 6 ) 得 ( y ，t y ) 0 ，v y 9 ( t ) ， 即了4 0 于是由命题8 ，丁存在平方根s 设z 光y = s 1 z ，则由 1 2 ( s z ，s z ) = ( t z ，z ) c - 1 ( j ，z ) 可得 ( y ，y ) c 。( $ ，s y ) ， c ( y ，y ) ( s y ，$ ) = ( t y ，y ) 让z 跑遍织则y 跑遍( t ) ，故t c 0 口 引理3 f 1 1 设t 为贸上的有界自伴正算子，则 | lt1 1 2 s u p ( n ，z ) 证明由于 l it1 i 2 # 淝。i ( t x ，_ z ) i ， 故利用t 是正算子即得口 引理4 设t 为自伴算子，则 t o 甘t 一丢，v n n 证明( 辛) 显然 ( 车) 设t 一丢，v n n 假设t 不是正算子，则3z 。e9 ( t ) ， i i 。l i ：1 ，使得。一a ( t x 。，z 。) o 取充分大的n n ，使得c 一i 1 根据条件 有 一丢= 一i 1 ( mz 。) ( t x 。，z 。) = c ， 从而 c c ， 矛盾! 口 4自伴正算子的秩1 扰动 设a 为自伴正算子( 不必是有界的) ，“j e , a r 我们来考察算子 a + 口( ，m ) “ 成为正算子的条件首先解决其自伴性问题 命题9a + a ( ，“) ”是9 ( a ) 上的自伴算子 1 3 证明记a 。= a + 口( ，n ) “ ( 1 ) a 。ca ： 事实上，vz ，y 9 ( a 。) = 9 ( a ) ，有 ( a # ，y ) = ( a x ，y ) + 口( z ，“) ( “，y ) = ( z ，a y ) + ( z ，a ( “，y ) “) = ( x ，m ) + ( z ，a ( y ，“) “) = ( z ，a d ) ， 即a 。 a ： ( 2 ) 9 ( a ：) c 9 ( 凡) 事实上，若z 9 ( a ：) ，则v y 9 ( a 。) = 9 ( a ) 有 ( y ，a ：z ) = ( 幻，z ) = ( a y ，z ) + 口( y ，“) ( “，3 7 ) = ( a y ，x ) + ( y ，口( “，z ) “) = ( a y ，z ) + ( y ，口( z ，口) “) 于是 ( a y ，z ) = ( y ，a ：x a ( x ，“) ) ，v y 9 ( a 。) 故 z 9 ( a 。) = 9 ( a ) = 9 ( a 。) 因此9 ( a ：) c 9 ( a 。) 综合( 1 ) 和( 2 ) 即得a 。是自伴的口 为了简化问题，注意到a 0 时， ( ( a + d ( ，“) u ) x ，z ) = ( a x ，z ) + 口( z ，“) ( “，z ) = ( a x ，z ) + ai ( x ，“) l2 o ， 可以只考虑a 0 情形；而口 1 ，并且酬a ) 由( 5 1 ) 表示 证明由引理7 ，k + c 研( j a 1 1 ) 即“国( j a ) 从而由引理5 ，( 5 2 ) 成 立当且仅当 ( “，( i a ) + 石“) 1 ， 即 口( “，( f a ) + “) 1 我们只要证明( “，( j a ；1 ) + “) 0 ，那么就有 口；( “，( j a ；1 ) + “) 一1 ， 口o = ( “，( j a ；1 ) + “) 一1 ， 从而定理得证用反证法假设( “，( j a ) + “) = 0 记b 为j a i i 的平方根，则 由命题1 1 知( j a ；1 ) + = b + b + ，从而b + “= 0 ，“e 川b + ) 再由命题1 1 ，” 州b ) = 以b 2 ) = 州卜一a - 1 ) ，即( 卜一a - 1 ) “= 0 注意到 “= ( a f i l ) a - v 1 x + = z + 一i a ；1 z + ， 可得 0 = 弹一a i l “= z + 一i a ；l x + 一a ；l “= _ z + 一a ；( i x + + “) 故z + 研( a ) = 9 ( a ，) ，于是k + c 9 ( a ，) 而由第2 节的讨论知，存在两个规范 向量z ：k + 和z ! k 一，使得z ：一z ! 9 ( a f ) ，故z ! = z ! 一( z ：一z ! ) 9 ( a f ) ，k c9 ( a ，) 因此9 ( a ) 9 ( a f ) ，这样就有 a = a v = a ；= a 一= a ， 即a 自伴于是a 有亏指数( o ，o ) ，这与条件矛盾! 口 根据引理1 ，命题1 0 和引理7 ，我们立即得到判别c a r d s ( a ) = 1 的一个充分条 件： 定理2 若k + 仁豌( j a - 1 ) ，则c a r d 艘c ( a ) = 1 ，这时酬a ) = a f 利用引理6 ，我们可以得到更好的结果： 定理3 a 。= ( 。l i r a ( “，( ( 1 + 丢) i a i i ) “) ) ，从而积a ) 由( 5 1 ) 表示，并 g c a r d 盘c ( a ) = 1 当且仅当规( 砧，( ( 1 + 昙) ，一a ；1 ) “) = o 。 证明由( 5 2 ) 和引理6 直接得到口 我们不难看出，如果c a r d s f 1 ，那么c a r d s d ( a ) = c ( 连续统的势) ，即a 的保持 下确界的自伴扩张是“很多”的下面的定理从另一个角度说明，在a 的全体自伴扩张 l o 所成的集合中，瓤a ) 的元“所占比例”并不大如第2 节所述，存在一个从a 的全体自 伴扩张所成的集合到s 。的自然的一一对应，适当选择k + 和k 一的规范基，使a ，对 应点1es 1 ，则在这个自然的一一对应之下有 定理4 设a 的全体自伴扩张对应单位圆周s 1 ，a ，对应点1 s 1 ，则剜a ) 对 应的s 的子集必含子集 s 1id = e 。，一要 8 o l ， 证明由分式线性变换( 2 1 ) ，集 v s 。i t ，= e 8 ，一3 ”- 0 ，那么就有y o 1 用反证法假设( a ；1 z + ，z + ) = 0 ，则同定理1 的证明可得x + 州a ) = 0 ，这和0z + l = 1 矛盾! 口 6注记 1 为什么选择a ，推出a 。而不是相反设a 为下半有界的具亏指数( 1 ，1 ) 的闭 算子，其下确界为1 ，z + 是k + 的任一规范向量如果令 “= ( a k i i ) a 嚣x + ， 那么由第2 节知，a 的任一以0 为正则值的自伴扩张a 具形式 i = a i l + f 赢( 小， 其中7 酞u o 。 记a = 丁二石晶，并且设a ，对应着a ；1 ，那么由 a a “a i l ，v a 以a ) 得 砜a ) = ( a ；+ 口( ，“) h ) - 11 口。口0 为了求出“，只要求出使 ( a 掣+ 口( ，“) “) “l 的o t 的下确界由引理2 ，这只须考察使得 a - k 。+ 口( ，“) “0( 61 ) 并且o p ( a + 。( ，“) “) 的那些a ( o ) 虽然由引理6 可找出使( 6 1 ) 成立的那 些a ( 0 ) ，但是难以判别哪些a ( 0 ) 使得0 p ( a k + 口( ，“) “) 成立因此选择 a 。推出a ，不可行 2 关于对v o r ln e u m a n n 问题的进一步探索最有应用价值的方向是对下半有界 的微分算子，以边条件形式确定其全部k r e i n 延拓( 这里指k r e i n 方法得到的全部自伴 延拓) ，在常微分算子方面已有的结果是m m 6 u e r ，a z e t t l 和h d n i e l 3 e n 对某些常 微分算子的f r i e d r i c h s 延拓的边条件刻画【4 “”训因为常微分算子的一般自伴域的边 条伯描述是相对容易得到的，所以应当能由这些结果，通过减弱对某些矩阵的约束条 件，得到相应算子的全部k r e i n 延拓的边条件刻画至于偏微分算子情形，虽然某些算 子的f r i e d r i c h s 延拓对应的边条件已经清楚了，但是作者认为，这对研究相应算子的全 部k r e i n 延拓的边条件刻画毫无帮助原因在于，偏微分算子的一般自伴域的边条件 描述是极端困难的( 除非算子是本质自伴的) 而造成困难的根源又在于，和常微分算 子只提两点边值不同，偏微分算子的边值问题的提法更丰富，例如在边界上可以考虑 不同的方向，把边界分成若干片而在每片上提不同类型的边条件等等我们举例来说 明这个事实，设nc 碾约有界开区域，a n 光滑，l 是n 上的二阶线性椭圆算子，则下 列齐次边条件都可能是自伴边条件： ( i ) d i r i c h l e t 边条件：ml j n = o ； ( i i ) n e 边条件：券l 。= o ； ( i i i ) 第三边条件：( 夏o u + o - ) 1 。= o ，a o ； ( i v ) 斜微商条件：( b l a l “+ b 2 0 2 “+ 口“) i 。n = 0 ， ( 6 ，n ) 0 ，口 0 ； ( v ) 混合边条件：“ - = o ，石0 ul = o 因此偏微分算子的v o nn e u m a n n 问题的边条件描述依赖：p - - 般自伴偏微分算子理论 的进展 3 ，一个类似于v o nn e u m a r m 问题的问题设a 为定义于贸内的下半有界对称算 2 2 子，亏指数大于零，不妨设其为正算子，则vn 0 ，存在a 的自伴扩张a ，使得a 的 下确界等于a 【5 】那么能否刻画出a 的所有以a 为下确界的自伴扩张，并在此基础上 以边条件形式实现于微分算子? 4 关于j 自伴扩张和自伴扩张的关系，我们可以观察到，对称算子可自伴扩张的 条件与自伴扩张的方法有如下的大致对应关系：y o nn e u m a n n 方法( 命题4 ) 和c a l k i n 方法( 命题5 ) 与充要条件( 命题1 ) 对应，k r e i n 方法( 命题6 ) 与下半有界条件对应，即 一般条件有一般延拓方法，特殊条件有特殊延拓方法我们注意到，还有一个特殊条件 ( 命题2 ) 却没有对应的特殊延拓方法由于满足命题2 条件的算子也是工对称的，而 j - 对称算子具有系统的j - 自伴扩张理论口，那么能否照此给出该类算子的一种特殊 的自伴扩张方法? 特别是，该类算子的自伴扩张集合是否等于j - 自伴扩张集合? 结论 我们通过k r e l n 公式和自伴正算子的秩1 扰动理论这一新途径，考察了具亏指数 ( 1 ，1 ) 的下半有界闭对称算子的v o nn e u m a n n 问题，得出两个主要结论： 1 该类算子的v o nn e u n m n n 问题有一个仅依赖于f r i e d r i c h s 廷拓的极限形式的 显式答案； 2 在从每个该类算子的全体自伴扩张集合到单位圆周s 1 的一个自然的双射下， 1 y o nn e u m a n n 问题解集的像一定落在寺单位圆周内 t 由于算子的f r i e d r i c h s 延拓容易得到，并且极限形式的计算容易进行，因此结论1 为计算这类算子中的各种具体算子的v o i in e u m a n n 问题的解集提供了重要方法而 结论2 则从理论上证明了人们的直觉，即：y o n n e u m a n n 问题的解集要比全体自伴扩 张集合小很多 2 4 致谢 首先，感谢导师黄振友副教授在作者就读硕士研究生的两年多时间里，黄老师提 供的系统而开放式的专业课程使作者不但掌握了泛函分析的基本理论，还了解了相邻 学科的有关知识，并且由于黄老师严谨的治学态度和悉心的指导，作者经历了严格的 数学专业知识训练，完成了从一个业余数学爱好者到数学专业硕士研究生的角色转 换 其次，感谢杨孝平教授杨孝平教授对作者的硕士学位论文的开题报告提出了有 益建议，而且由于杨孝平教授的偏微分方程课程，作者具备了这门学科的初步知识 最后，感谢尹会成教授通过尹会成教授的偏微分方程课程和偏微分方程讨论班， 作者认识到了偏微分方程边条件的多样性，从而认识到了偏微分算子的自伴边条件的 多样性 参考文献 1 刘景麟，h i l b e r t 空间算子谱论( 内蒙古大学和南京理工大学研究生课程讲 义) 2 刘景麟，常微分算子谱论( 内蒙古大学和南京理工大学研究生课程讲义) 3 刘景麟，关于j 对称算子的j 自伴延拓，内蒙古大学学报( 自然科学版) ，v 0 1 2 3 ，n o 3 ( 1 9 9 2 ) ，3 1 2 3 1 6 4 张恭庆，郭懋正，泛函分析讲义( 下册) ，北京大学出版社，1 9 9 0 5 n i a k h l e z e r ，i m g l a z m a n ，t h e o r yo fl i n e a ro p e r a t o r si n h i l b e r ts p a c e ， v 0 1 1 i ，p i t m a np u b l i s h i n gl i m i t e d ，1 9 7 8 6 s a l b e v e r i o ，p k u r a s o v ，s i n g u l a rp e r t u r b a t i o n s o fd i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s ： s o l v a b l es c h r 6 d k n g e rt y p eo p e r a t o r s ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，2 0 0 0 7a ，a l o n s o ，b ，s i m o n ，t h eb i r m a n - k r e l n - v i s h i kt h e o r yo fs e l f - a d i o i n te x t e n s i o n s o fs e m i b o u n d e do p e r a t o r s ，j o p e r a t o rt h e o r y ，4 ( 1 9 8 0 ) ，2 5 1 2 7 0 8t a n d o ，k n i s h i o ，p o s i t i v es e d a d j o i n te x t e n s i o n so fp o s i t i v es y m m e t r i c o p e r a t o r s ，t 6 h o k um a t h j o u m ，2 2 ( 1 9 7 0 ) ，6 5 7 5 9y u m a r l i n s k i i ，e x t r e m a le x t e n s i o n so f8 e c t o r i a ll i n e a rr e l a t i o n s ，m a t e m a t y c h i i s t u d i i ，7 ，n o 1 ( 1 9 9 7 ) ，8 1 9 6 1 0y u m a r l i n s k i i ，m a x i m a ls e c t o r i a le x t e n s i o n sa n dc l o s e df o r m sa s s o c i a t e dw i t h t h e m ，u k r a i n i a nm a t h j 4 8 ，n o 6 ( 1 9 9 6 ) ，7 2 3 7 3 9 ( i nr u s s i a n ) e n g h s ht r a n s l a t i o n ， p p 8 0 9 - 8 2 7 1 1 y u m a r l i n s k i i ，s h a s s i ，z s e b e s t y 6 n ，h s v d es n o o ，o nt h ec l a s so f e x t r e m a j e x t e n s i o n so fan o n n e g a t i v eo p e r a t o r ，o p e r t h e o r y ：a d v a p p l 1 2 7 ( 2 0 0 1 ) ， 4 3 7 4 4 5 1 2y u m a r l i n s k i i ，e t s e k a n o v s k i i ，o nt h et h e o r yo fn o n - n e g a t i v es e l f a d j o i n t e x t e n s i o n so fan o n - n e g a t i v es y m m e t r i co p e r a t o r ，d o p o v i d in a nu k r a i n y ，n o 1 1 ( 2 0 0 2 ) ，3 0 3 7 1 3y u 。m 。a r l i n s k i i ，e t s e k a n o v s k i i ，o nv o nn e u m a n n n s sp r o b l e mi ne x t e n s i o n t h e o r yo fn o n n e g a t i v eo p e r a t o r s ，p r e p r i n t ，1 9 9 7 1 4l e b a l l e n t i n e ，q u a n t u mm e c h a n i c s ：am o d e md e v e l o p m e n t ，w o r l ds c i e n t i f i c p u b l i s h i n gc o p i e l i d ，1 9 9 8 2 6 1 5 a b e n - i s r a e l ，t o r e v i u e ，g e n e r a l i z e di n v e r s e s ：t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s j o h n w i l e y & s o n s ，1 9 7 4 1 6 m s b i r m a n ，o nt h es e l f - a d j o i n te x t e n s i o n so fp o s i t i v ed e f i n i t eo p e r a t o r s ( i n r u s s i a n ) ，m a t h s b 3 8 ( 1 9 5 6 ) ，4 3 1 4 5 0 1 7j f b r a s c h e ，h n e i d h a r d t ，s o m en e wa s p e c t so fk r e i n se x t e n s i o nt h e o r y 。 u k r a i n i a nm a t h j ，4 6 ( 1 9 9 4 ) ，3 7 。5 4 1 8j f b r a s c h e ，h n e i d 1 a r d t ，s o m er e m a r k so nk r e i n se x t e n s i o nt h e o r y ， m a t h n a c h r ，1 6 5 ( 1 9 9 4 ) ，1 5 9 1 8 1 1 9 e a c o d d i n g t o n ，h s v d es h o o ，p o s i t i v es e l f a d j o i n te x t e n s i o n so fp o s i t i v e s y m m e t r i cs u b s p a c e s ，m a t h z ，1 5 9 ( 1 9 7 8 ) ，2 0 3 - 2 1 4 。 2 0 e b d a v i e s ，o n e - p a r a m e t e rs e m i g r o u p s ，a c a d e m i cp r e s s ，1 9 8 0 2 1v a d e r k a c h ，m m m a l a m u d ，g e n e r a l i z e dr e s o l v e n t sa n dt h eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o rh e r m i t i a no p e r a t o r sw i t hg a p s ，j f u n e t a n a l ，9 5 ，n o 1 ( 1 9 9 1 ) ，1 - 9 5 2 2v a d e r k a c h ，m m m a l a m u d ，t h ee x t e n s i o nt h e o r yo fh e m f i t i a no p e r a t o r s a n dt h em o m e n tp r o b l e m ，j m a t h s c i ，7 3 ( 1 9 9 5 ) ，1 4 1 2 4 2 2 3v a d e r k a e h ，m m m a l a m u d ，e r t s e k a n o v s k i i ，s e c t o r i a le x t e n s i o n so fa p o s i t i v eo p e r a t o ra n dt h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n ，s o y m a t h d o k l ，3 7 ( 1 9 8 8 ) ，1 0 6 1 1 0 2 4n d u n f o r d ，j t s c h w a r t z ，l i n e a ro p e r a t o r s ，v 0 1 1 1 ，i n t e r s c i e n c e ，1 9 6 3 2 5 h f r e u d e n t h a l ，o nt h ef r i e d r i e h se x t e n s i o no fs e m i b o u n d e do p