（基础数学专业论文）亚纯函数的正规族.pdf

福建师范大学聂恒文硕士学位论文 摘要 自1 9 2 5 年，r n e v a n l i n n a 建立了亚纯函数理论又叫值分布理论，直到现在仍 然是复分析中一重要方向我国数学界在值分布理论的研究中，熊庆来，李国乎， 庄圻泰，杨乐，张广厚等数学工作者作出了许多有独创见解的成果近年来。许多 数学工作者又从分担值的角度去研究亚纯函数的正规族问题，开辟了值分布论研究 的新领域，得到了不少重要的结果在此基础上，本文研究了几类亚纯函数族的正 规性问题全文共分如下四个部分。 第一部分基础知识我们介绍n e v a n l i n n a 理论，并且给出正规族的有关概念 及其重要结果 在第二部分中，我们主要讨论类亚纯函数族具有分担值的正规性同题 在第三部分中，我们主要讨论了函效与其高阶导函数具有分担值的正规性闯 题 在第四部分中，我们研究亚纯函数与其导函敦分担集合的正规性，结果推广了 沈寿华的定理 关键词：亚纯函数，公共集合，公共值，正规族 i 中文文摘 中文文摘 自1 9 2 5 年，r n 钾衄u 玎d a 建立了亚纯函数理论又叫值分布理论，直到现在仍 然是复分析中重要分支我国数学界在值分布理论的研究中，熊庆来，李国平， 庄圻泰，杨乐，张广厚等数学工作者作出了许多有独创见解的成果近年来，许多 数学工作者从分担值角度去考察亚纯函数正规族。得到很多优秀的结果本文主要 研究亚纯函数具有分担值( 集合的) 亚纯函数族的正规性问题全文共分如下四个 部分： 第部分基础知识我们介绍n e v a n l i m m 理论以及正规族的有关概念及性质 在第二部分中，我们主要讨论亚纯函数具有分担值的正规性问题得到了下面 两个定理： 定理2 1 1 设f 是d 上的亚纯函数族，a ，b 0 , c 为三个互异的有限复数，如 果对任一亚纯函数，f ，满足条件毋( 口) c 正；：， ，( a ) ，毋( 6 ) c 却( 6 ) ，五；：，( c ) c 毋( c ) ， 则f 在d 上正规 下面例子说明定理1 的条件，a , b 0 , c 为三个互异的有限复数，也是必要的 例当口= 6 或口= c 时，令厶= l ( 2 ( 帕2 n z - 1 ) 1 。) 。n j ：n = 1 , 2 ，3 ) ，设f = 厶) ，d = 【童：i z l 1 ) ，对任意，f ，我们有，= 青寰蒋，显然有，与，分担0 和，1 ，满足定理1 的条件，但f 不是正规族 对于七2 时，有下面的定理 定理2 1 2 设f 是d 上的亚纯函数族，七是个正整数且七2 ，口 6 ，c ，是三 个互异的有限复数如果对任亚纯函数，f ，满足毋( n ) c 马( ) ( 口) ，毋( - ) ( 6 ) c 毋( 6 ) ，e l , ( c ) c 毋( c ) ，一口的零点重数至少为2 ，且零点中有个的重数k ，则f 在d 上正规 在第三部分中，讨论了函数与其高阶导函数具有分担值的正规性问题 2 0 0 7 年顾永兴，庞学诚和方明亮在文献 1 2 】中证明了 定理g p f 1 2 】设f 为区域d 上的全纯函数族，a ，b 为两个非零的有限复 数，若对任意的，f ，在d 上，与，7 分担口值，与，分担b 值，则f 在d 上正规 在文 1 2 】中提出下述问题问题 i 2 】对于定理g p f 中，若f 是在d 上的亚 纯函数族，定理结论是否也成立呢7 i i i 福建师范大学聂恒文硕士学位论文 沈寿华在其硕士论文【3 2 中证明了上述问题，我们进步将沈寿华的结果推广 为e 定理3 1 1 设f 是d 上的亚纯函数族，七是个正整数口，6 是两个非零的 有穷复数且满足a ( 仇+ 1 ) 6 ，其中仇是个正整数如果对f 中的任意个函 数，其零点重数之七，在d 满足，与，( 七) 分担a 值，( 叼与，( 七+ 1 ) 分担b 值，则 f 在d 上正规 在第四部分中，我们研究亚纯函数与其导函数分担集合的正规性证明了 定理4 1 1 设f 是de 亚纯函数族，七是个正整数，且最= a ) ，岛= a l ，啦，幻) ，口( o ) 是有穷复数，其中a 1 ，眈，n 3 是互相判别的如果对于，f 在 d 上满足，一吩0 = l ，2 ，3 ) 的所有零点重数七，且葛( 研，( 七) ) = 面( 岛，) ，那么 f 在d 上正规 w 福建师范大学聂恒文硕士学位论文 a b s t r a c t i n1 9 2 5 ，r n e v a u l i n n ae s t a b l i s h e dt h e o r e m so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sw h i c h w e r ec a l l e dv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r y 。工t h e o r yi ss t i l l 雠i m p o r t a n tb r a n c ho f c o m p l e xa n a l y s i 8 i nt h i s 舶1 d ，m a n yc h i n e s em a t h e m a t i c i a n s ，s u c ha sq l x i o n g ， g p l i ，x t z h u a n g ，l y a n g ，g h z h a u ga n ds oo n ，h a dd o n eal o to fw o r k s a n do b t a i n e dc o n s i d e r a b l eo r i g i n a lr e s u l t s i nr e c e n ty e a r s ，m a n ym a t h e m a t i c i a n s i n v e s t i g a t en o r m a lf a m i l yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n si nv i e wo fs h a r e d - v a l u e s t h e y d e v e l o p e dn e w f l i e do ft h ev a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yn o r m a lf a m i l yp r o b l e m sb a s e do nt h ep r e v i o u sw o r k 。n 曲 d i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t of o u rp a r t s ： i nt h er r s tp a r t ，w em a i n l yi n t r o d u c et h en e v a n l i n n at h e o r y a l s o ，w ei n t r o - d u c et h ec o n c e p t i o no fn o r m a lf a m i l yo nm e o m o r p h i cf u n c t i o n sa n ds o m ei m p o r t a n t c o n s e q u e n c e s i nt h es e c o n dp a r t ，w em a i n l yd e a lw i t ht h ep r o b l e mo nt h en o r m a lf a m i l yo f m e r o m o r p h i cf u n c t i o n sw i t hs h a r e dv a l u e s i nt h et h i r dp a r t ，w em a i n l yd e a lw i t ht h ep r o b l e m so nt h en o r m a lf a m i l yo f m e r o m o r p h i cf u n c t i o n st h a ts h a r e5 0 m ev a l u e sw i t h 也e i rh i g h - o r d e r e dd e r i v a t i v e s i nt h ef o u r t hp a r t ，w es t u d yt h en o r m a lf a m i l yo fm e r o m o r p h i cf i m c t i o n st h a t s h a r eas e tw i t ht h e i rd e r i v a t i v e s a n dt h er e s u l t sg e n e r a l i z et h er e s u l t so b t a i n e db y s h o u h u as h e n k e y w o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，s h a r es e t ，s h a r e dv a l u e ，n o r m a lf a m i l y i i 福建师范人学硕士学位论文独创性和使删授权声明 福建师范大学硕士学位论文独创性和使用授权声明 本人( 姓名) 毽年k 学号圣蚴专业 交的学位论文( 论文题目：黾仇莎舨初2 藏 己 所呈 ) 是 本人在导师指导下，独立进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知， 除论文中己特别标明引用和致谢的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本论文的研究工作做出贡献的 个人或集体，均己在论文中作了明确说明并表示谢意，由此产生的一切 法律结果均由本人承担。 本人完全了解福建师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 福建师范大学有权保留学位论文( 含纸质版和电子版) ，并允许论文被 查阅和借阅：本人授权福建师范大学可以将本学位论文的全部或部分内 容采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文，并按国家 有关规定，向有关部门或机构( 如国家图书馆、中国科学技术信息研究 所等) 送交学位论文( 含纸质版和电子版) 。 ( 保密的学位论文在解密后亦遵守本声明) 学位论文作者签名： 签字黝：1 销月罗日 指导教师签名：番聋哆t 7 签字日期：1 年占月乡日 绪论 自p m o n t e l 引入正规族的概念到现在，正规族理论有了长足的发展，特别是 在我国数学先辈，如熊庆来，庄圻泰，杨乐，张广厚等，都作出了莫基性工作从而 促使我国在正规族理论的研究方面处于国际前沿地位正规族理论的研究不仅有重 要的理论意义，而且有重要的应用价值例如，近年来十分活跃的复解析动力系统 中的概念j u l i s 集与f s t o u 集就是由正规性引出的此外，亚纯函数正规族理论在 复微分方程，亚纯函数模分布整函数唯性等方面都有重要的应用 由于正规族理论有广泛的应用性，近年来，国内外许多数学工作者对正规定则 作了深入的研究，如。杨乐m 刚，熊庆来 s 4 j s 司，张广厚删，顾永兴i s n t o l ，孙道 椿【2 9 】，李松鹰1 1 4 1 5 】，庞学诚【2 明硎，d r a s i n 4 ，l a n g l e y x t ，f m a r r y , c m o n t e l ，g v a l i r o n ，l z a l a n a n 4 4 4 s ，s c h w i c k p o p 1 等人都对正规族问麟了大量的研究，它 们得到了很多漂亮的结果在这一时期，多数正规定则的研究方法是采用z a l c m 舡- p a n g 方法这种方法不仅使以往许多使用消去原始值的方法所得的正规定则的证 明变得相当简单，而且又建立了一系列新的正规定则 至今，正规定则的研究主要围绕两方面的内容来展开方面是对h a y m a n 猜 想的深化，则包括国内数学工作者的一些重要结果另方面是w s c h w i c k 在2 0 世纪9 0 年代初率先提出的把正规族和唯性联系起来考虑，这方面的成果主要是 以色列和我国数学工作者所取得的 把亚纯函数正规族与分担值结合起来考虑是亚纯函数正规族理论研究的个重 要课题在1 9 9 2 年。s c h w i c k 5 0 , 5 1 把公共值与正规定则联系起来，他证明了 定理： 设芦为区域g 上的亚纯函数族，口1 ，幻，0 3 为三个互不相同的复数， 如果对任意，芦。a l ，锄，幻为，与尸在g 上的肼公共值则厂在g 上正 规 从此，从分担值的角度去研究函数族的正规性成了个非常热的研究课题，这 方面的有关文献可参考。陈怀惠【1 】【2 】，王跃飞侧，方明亮嘲嗣，许焱i s 6 ，庞学诚m ， 林伟川【1 8 】【l g l ，张庆彩，顾永兴【1 1 j ，l z a l a n a n 4 4 1 4 司，等等 本文主要在前人的研究基础上，从三方面研究了涉及分担值( 集合) 亚纯函数 族的正规性我们主要讨论类亚纯函数族具有分担值的正规性问题；讨论了函数 与其高阶导函数具有分担值的正规性问题；研究亚纯函数与其导函数分担集合的正 规性 1 福建师范大学聂恒文硕士学位论文 第1 章基础知识 二十世纪二十年代，芬兰数学家r n e v 锄1 地d a ，用特征函数建立了值分布理论 的两个基本定理，被称为n e - 呃n i n n a 理论它是研究亚纯函数正规族的个重要 工具在本章中，我们简要介绍n e v 凹】j 皿a 理论并给出亚纯函数正规族的概念及 相关的定理详情可参阅【1 1 】，【1 2 】，【1 3 】，【2 3 ， 3 7 】，【3 9 】 1 1 n e v a n l i n n a 理论简介 我们先引入正对数 定义i i 1 对于霉0 ，定义z 的正对数 1 0 9 + z = 苫_ z 。三三三1 容易得到，对任意正数霉有 。l 叼。= l o g 气一l 矿圭 设函数，( z ) 在h r ( o i i 0 0 ) 上亚纯，对于0 f r ，n e v a n l i n n a 定 义下面几个函数 定义1 i 2 州) = 去z 斯1 0 9 + i 竹e ) i d o 仇( n ，) 也记为仇( r ，= ) 或m ( r ，) ，是i ，( z ) l 的正对数在例= 7 上的平 均值 定义1 1 3 ( 7 ，) ：i 7 竺! l _ ：! 掣出+ n ( o ，1 ) i o g r ， ，0 其中n ( 7 ，) 表示j f ( 力在h t 上的极点个数，重级极点按其重数计算， n ( o ，) 表示f ( z ) 在原点处极点的重级( 当i ( o ) 时，则n ( o ，) = 0 ) ( r ，) 有时也记为( r ，= o o ) 或( f ，) ，称为，( z ) 极点的计数函数 2 第1 章基础知识 定义1 1 4 t ( r ，) = r e ( r , ，) + ( r ，) t c r ，f ) 称为，的特征函数，显然它是非负数 设口为任1 芎穷复数，则瘫b 在i f c z ) lsr 上亚纯根据占述类似定义， n e v 如1 j 如引进了下面几个函数 定义1 1 5 毗万1 ) = 芴1 撕l o g + 而南棚 仇( r ，击) 也记为m ( ，= 口) 或m ( r ，口) 定义1 1 6 ( r ，万1 ) = r 啦掣出艄万1 ) 1 0 够 这里佗( o ，击) 参示在i z l t 上，( z ) 一口的零点个数，重级零点按其重数计算， 死( o ，忐) 表示，( z ) 一口在原点的重级 n ( t ，南) 也记为n ( t ，= 口) 或n ( t ，口) ；n ( o ，7 笔) 也记为n ( o ，= 口) 或 亿( o ，口) ，( r ，7 毛) 有时记为( 7 ，= 口) 或n c r ，口) ，称作，( 力的。值点的计数 函数 定义1 1 7 t 忐) 刮r ，万1 ) + ( r ，万1 ) t 南) 称为7 毛的特征函数 定理1 1 1 ( c 郇觚毓口第基本定理) 设，( 彳) 于i z l r ( 冬+ o o ) 内亚 纯若口为任一有穷复数，而且f c z ) 口则对于0 7 r 有 t ( r ，忐) = 2 1 ( r ，) + l o g l c 1 年g ( 口，r ) ， ( 1 1 1 ) 其中以为灭才- i 在原点的三口讹谢展式( 按升幂排歹l j ) 中的第一个非零系数， 而且有 i ( d ，r ) i l o g + i a i + l 0 9 2 3 福建师范大学聂恒文硕士学位论文 公式( 1 1 】：) 可简单写作为t ( r ，丁l _ ) = t ( r ，) + d ( 1 ) 它说明了，对任一 有穷复数口且，( z ) 口，t ( r ，7 与) 与t ( r ，) 仅仅相差个有界的量 定理1 1 2 ( n e v a n l i n n a 第二基本定理)设i ( z ) 为吲 r 内非常数亚纯 函数，q g = 1 ，2 ，g ) 为g ( 2 ) 个判别有穷复数，剐对于0 r r 有 m ( r ，卅j = 1m ( r ，志) 灯f ) - n i ( r ) + s ( r ，n ( u 2 ) 其中 l p ) = ( 2 v ( r ，f ) 一( r ，7 ) ) + ( f - ，专) ， ( 1 1 3 ) 跗，肛嘶，手) + m ( r 蚤, ，一f - i ) + d ( 1 ) ( 1 “) 关于n e v a d a 第二基本定理中的余项s ( r ，) ，我们有如下估计t 定理1 1 3 设f ( z ) 为非常数亚纯函数，s ( r ，) 由定理1 1 2 中的( 1 1 4 ) 确定，则当f ( z ) 为有穷级时有 s ( r ，f ) = o ( 1 0 9 r ) p 一十) ； 当，( z ) 为无穷级时有 s ( r ，f ) = o l o g ( r t ( r ，) ) ( r _ + ，r 乒刀) ， 其中e 是一线性测度为有穷的集合 注意到，当f ( z ) 为非常数有理函数，孚仍为非常数有理函数，并且分子的次 数总比分母的次数少1 ，于是 m ( r ，) = d ( 1 ) ( r _ + ) ； 当( z ) 为超越亚纯函数时，有 l o g r = o l o g ( t ( r ，) ) ( r 一+ ) ， 显然有 z 叼+ t ( r ，f ) = o t ( r ，) 】( r _ + o o ) ， 于是定理也可叙述为 第1 章基础知识 定理1 1 4 设f ( z ) 为开平面上的非常数亚纯函数， s ( 7 ，) 由定理1 1 2 中的( 1 1 4 ) 确定，则当f ( z ) 为有穷级时有 s ( t ，) = d t t ( ，- ，) ) ( r 一+ ) ； 当f ( z ) 为无穷级时有 s ( r ，f ) = o 【t ( n ，) ( r 峥+ o o ，r e ) ， 其中e 是一线性测度为有穷的集合 对于非常数亚纯函数，一般我们用s ( r ，f ) 表示满足 s ( r ，f ) = o t ( r ，) ) ( r _ + ，rge ) 的量， e 是_ 线性测度为有穷的集合，但e 每次出现时不定完全相同 由第一基本定理，当口是有穷复数时，我们有 m ( r ，万i ) ；t ( r f ) - ( n 万1 ) + o ( 1 ) ， 代入( 1 1 2 ) 得到第二基本定理的另一种形式 定理1 1 5 设f ( z ) 为开平面上的非常数亚纯函数：口( j = 1 ，2 ，口) 为g ( 23 ) 个判别的复数( 其中之一可以是) ，则 口 ( g 2 妒( r ) 善( r ，南) - l ( r ) ( r ，) ， j = l 。 o 这里i ( 7 ) 仍如( 1 1 3 ) 式表示，而s ( r ，f ) 具有定理( 1 1 4 ) 中所表述的余项的性 质 我们在研究问题时，常会考虑不计函数的极点或零点重数的情形因此，我们 有第二基本定理的另外一种形式在引入该定理前，我们介绍相关的概念 设f ( z ) 函数于1 2 1 冗( o o ) 内亚纯，a 为任意有穷复数，对于o r r ， 我们以瓦( r ，击) 表示在l z i r 内y ( z ) 一口的零点个数，每个零点仅计一次。它 有时也记为瓦( r ，f = a ) 或i j f 口) 又记 5 福建师范大学聂恒文硕士学位论文 - ( 0 ，万1 ) = 妊彗 设 _ ( r ，万1 ) = r 坠掣帅( 0 ，击) 1 0 s r ， 称之为，( z ) 在口值点的精简计数函数，或记为丙( r ，= 口) ，丙( r ，口) 类似地有 瓦( n ，) ( 或j i f ( r ，= o o ) ，瓦( t ，) ) 以及丙，) ( 或丙( n ，= ) ，丙( ，) ) 通过对定理( 1 1 5 ) 中项1 ( r ) 利用精简计数函数估计，我们有n e v a n l i 皿a 第 二基本定理的另一较精确的形式 定理1 1 6 设y ( z ) 为开平面上的非常数亚纯函数，吩u = 1 ，2 ，口) 为g ( 3 ) 个判别的复数( 其中之一可以是o o ) ，则 ( q - 2 ) t ( “) - ， 在d 内任一有界闭域上一致收敛到极限函数，这个极限函数可以是值无穷 设p 为d 内任意一点，f 称为在点p 是正规的，如果存在p 的领域u ( p ) ， 使得f 在矿( 尸) 是正规的 对于区域d 上给定的族全纯函数，在什么样的条件下能使它成为正规族呢? 这种条件通常称为正规定则在上世纪初，p m o n t e l 提出了正规族的有关概念， 得到个重要的正规定则 定理1 3 1 设f 为域d 内的一全纯函数族，若f 在d 内一致有界，则f 在d 内是正规的 下面就是p m o n t e l 的定则 定理1 3 2 ( m o n t e l 定则)设一函数族f 定义在域d 内，若在d 内族 f 中每个函数，( z ) 全纯，且不取0 和1 ，则f 在d 内是正规的 m o n t e l 建立了正规族理论后不久就提出个猜想若把m o n t e l 定则中的条件 f l 改为，1 ，其余条件不变，则f 在d 内仍是正规的1 9 3 5 年，m i r a n d a = 对m o n t e l 的定则进行了推广得到了下面定理 定理1 3 3 ( m i r a n d a 定则) 设f 为区域d 内的全纯函数族，七为一正整 数，若函数族f 中的每个函数，( z ) 在d 内满足- ，( z ) 0 ，( 七) ( z ) 1 ，则亚纯 函数族f 在d 内正规 呢? 很自然地，我们会提出亚纯函敦族的正规性是如何定义的? 它有哪些正规定则 定义1 3 2 设，n ( z )m = 1 ，2 ，) 为一函数序列，均在一区域d 内 亚纯，我们称 ( z ) 在d 上内闭一致收敛，如果对于任一点z o e d ，存在一领域 ( 勾) ( 丽cd ) ，使厶( z ) 或南在丽上按通常意义下一致收敛 7 福建师范大学聂恒文硕士学位论文 是否有与m o n t e l 的定则对应的亚纯函数族上的正规定则呢? 在1 9 3 1 年，f m 劬r 【2 1 】建立了个著名的关于亚纯函数族的正规定则这个 定则所需的条件不仅是充分的而且是必要的，我们称为m 啦r 定则 定理1 3 4 ( 讹嘶定贝i j ) 设f 为区域d 内的一亚纯函数族，f 在d 内 正规的必要且充分条件是对于d 内的任意有界闭子域- l ，存在相应的正数m 使 得 i ，协) i m ( 1 + i f ( z ) 1 2 ) ， 对于f 中每个函数，( 力和- 1 上所有的点成立 其后，很多数学工作者从不同的角度深入地研究，如：杨乐m ，熊庆来删问， 张广厚，顾永兴【8 】【9 】【圳，孙道椿【2 9 j ，李松鹰【1 4 】【坷，庞学诚嗍 2 7 j ，d r a s i n 4 ， l a n g l e y e l b ，f m 呐_ c m o n t , e l ，g v a l i r o n ，l z a l a n a n 删 2 ，s c h w i c k 3 1 l 等人 都对正规族问题进行了大量的研究，它们得到了很多有意义的结果在1 9 9 2 年， s c h w i c k 3 1 】把公共值与正规定则联系起来，他证明了 定理1 3 5 设f 为区域g 上的亚纯函数族，a l ，a z ，a 3 为三个互不相同的 复数，如果对任意，f ，o l ，o , 2 ，a s 为，与，7 在g 上的j m 公共值，则f 在g 上正规 从此，1 从分担值的角度去研究函数族的正规性成了个重要的研究方向 8 第2 t z 一类亚纯函数族具有分担值的正规性 第2 章一类亚纯函数族具有分担值的正规性 2 1 引言以及主要结果 在1 9 9 2 年，s c h w i c k 3 1 】证明了 定理s设f 为区域d 上的亚纯函数族，口l ，叻，c 1 3 为三个互不相同的有限 复数，如果对任意，f ，毋( 叼) = 毋，( q ) j = 1 ，2 ，3 ，则f 在d 上正规 个自然的问题是，当定理a 的条件中的分担值改为单向分担时，定理的结论 是否依然成立基于此，本文证明了下面的定理 定理2 1 1设f 是d 上的亚纯函数族，口，b o , c 为三个互异的有限复数，如 果对任一亚纯函数，ef ，满足条件毋( 口) c 五l ，( 口) ，毋( 6 ) c 五i ，( 6 ) ，毋，( c ) c 马( c ) ， 则f 在d 上正规 下面例子说明定理1 的条件，a , b o , c 为三个互异的有限复数，也是必要的 例 1 】当口= 6 或a = c 时，令厶= 高黼：n = l ，2 ，3 ) ，设f = ) ，d = z ：h 0 ，使得当，= 0 时有， i ，( 知) ( z ) isa 着f 在d 上不正规，那么对一七口s 七，存在- ( 1 ) 点列磊 | i m 又因为 ( z ) 内闭致收敛到，( 名) ，所以当n 充分大时而 且h f ，时有i 厶c z ) i m 这与，( 钿) = 0 和l i r az n = o o 矛盾，所以f ( z ) 不可 能是多项式 2 3 定理2 1 1 ，2 1 2 的证明 定理2 1 1 的证明假设在d 上不正规，根据引理2 2 1 有，正数列 一0 + ； 复数列磊，i z n l 1 ；函数列u k ) ， 只使得鲰( f ) = 厶纽专 2 妊内闭一致收敛到 非常数的亚纯函数g c t ) 并且夕i ( f ) sg j ( o ) = i 口i + 1 断言( 1 ) 夕( f ) = 0 令，g 他) = 口，( 2 ) 矿( f ) 6 ，( 3 ) 9 ( f ) 为全纯函数 事实上( 1 ) 令豁是9 ( f ) 的零点，即有9 ( 晶) = 0 因为鲰( f ) 内闭- 嘎i 收敛 到夕( ) 根据h u r w i t z 引理，存在器，器_ 舔使得 如( 晶) 丛生警也：0 n 有厶( 磊+ 加品) = 口，因为毋( a ) ce r c a ) ，有髭( 磊+ 肌品) = 口，即9 ，( 矗) = 丘( 磊+ 陬器) = 口，从而有矿( 晶) = 口 ( 2 ) 若矿( ) 三c ，得9 ( ) = + d ，其中d 是常数由( 1 ) 有a = c 这与假设矛 盾，所以夕，( ) c 1 0 假设存在矗，使得g ，( 知) = c 因为鳙恁) 在复平面口上内闭致收敛到夕，( ) 由h u r w i t z 引理得，存在厶，矗_ 知使得靠( 矗) = c 因为 炙( 舌) = 丘( + 肌f ) ， 所以有 厶( 磊+ 办厶) = c ， 根据印( c ) c 毋( c ) ，有厶+ 加靠) = c 又因为 熊) = 警等业= 等， 令n 叫，有 9 ) = l i m 鲰( 矗) = 这与夕( 知) = c 矛盾，所以夕代) c ( 3 ) 假设存在岛，使得夕) = 由于夕( ) ，存在闭圆盘( 如，6 ) = 代li f 一如i 毋使得当亿充分大时，在其上南和南都全纯，并且南一致 收敛到, - b 从而在厶( 如，6 ) 上志一岛也致收敛到斋设如是南的赢重 零点，则有 ( 志) 0 ， 而且存在正数以( ，使得二愉，巩) 2 代1 0 k 一知i 瓦内有 ( 志) p o ，七= l 2 m 由于南不是常数函数故由h u r w i t z 引理得，存在m 个序列缸，i = 1 ，2 m 使得 去1 一? = o u ，t = 1 1 ，2 m _ _ - _ ，一一= t = 五，几如) 6 一口1 。叫。 因为 舶n ) = 监警， 有厶( 磊+ 肌缸) = 6 根据毋( 6 ) c 研，( 6 ) 有矗( 磊+ 肪知) = b ，有鲚( 缸) = 丘( 磊+ 触) = 6 由此可得 丽1 ) ，i = 一籍= 一禹0 福建师范大学聂恒文硬士学位论文 这说明缸，1 i j 仇，于是有 ，1 、，j嗽 、孙( f ) 7 。( 6 一口) 2 在( 如，譬) = 代l | f 一岛l 譬) 内至少有m 卟不同的零点，即有( ；) ( m ) 他) i e ：扫= o 矛盾 因此夕( f ) 是整函数 综上所得，由于9 7 ( f ) c ，9 的级p 1 得夕，( f ) = c + 中( a ：+ b ) ，其中a ，b 为常数 ( 1 ) 若a 0 ，得g ( 亭) = + c + 中( 钺+ b ) ，a ，b ，c 为常数由夕愉) = 0 辛 ，( 岛) = 口有 响+ g + 竺掣：o 鲥+ e x p ( 硒牟b ) ：口 可得如= 一j ( a + 璺：茅) ，因此方程9 ( f ) = 0 ，只有个解毒一缸但由于夕( f ) 一 西+ d + 唧( a f + b ) 可知夕( f ) 有无穷多个解，矛盾 ( 2 ) 若a = 0 , 9 7 ( f ) 詈口于是9 ( f ) = 口代一岛) ，从而有 扒0 ) _ 揣- i g ( 0 ) i - i 口i ， 即有g m ( o ) l a i + 1 与一( o ) = i 口i + 1 矛盾，所以f 在d 上正规 定理2 1 2 的证明：假设f 在d 上不正规，由引理2 2 1 ，存在正数列加_ 0 + ； 复数列磊，i i 1 ；函数列 厶) ，厶ef i 使得鲰( f ) = 丘虹警盟墨内闭一致收敛到 夕( f ) 断言( 1 ) 夕( 七) ( f ) 0 ，( 2 ) 多( f ) 0 ，( 3 ) 矿( f ) c 先证夕似) ( f ) 0 ，假设夕( 七) ( f ) 兰o ，可知9 ( ) 是七一1 次多项式因为鲰( 专) 内 闭致收敛到夕7 ( ) ，而且如( f ) 至少有个零点的重数七由引理2 2 2 ，可知夕( f ) 不可能是个七一1 次多项式，所以夕 ( f ) 0 ( 1 ) 下面来证明夕( 七) ( f ) o 假设存在如，使得夕( 七) ( 如) = 0 因为辨( f ) 一打1 6 内闭一致收敛到g 忙) ( f ) 由。h i l r w i 七z 定理有，存在矗，矗呻o ，使得毋) 二 疗1 6 = o ，有砖一1 ( 露( 磊+ 肌矗) 一6 ) = 0 ，得到( 磊+ 风矗) = 6 根据题设条 件乃( 七) ( 6 ) c 毋( 6 ) ，有厶( 磊+ 厶) = 6 ，得到 鲰( 靠) = 加p- 1 2 第2 章一类亚纯函数族具有分担值的正规性 令n 一，有夕愉) = 虹孙( 靠) = o o 与鲰愉) = 0 矛盾所以有9 ( f ) ( 七) 0 f l , ( 2 ) 再证明夕( f ) o 假设存在岛，使得9 ( 器) = 0 由于鲰悠) 内闭一致收敛 到9 ( f ) ，由h u r w i t z 定理有，存在篇，器晶使得靠( 矗) = 0 ，有 夕( 矗) ：丛生当业：o ， p r = 有，n ( - i - 陬器) = 口又因为研( 口) c 毋c ) ( 口) ，有滞( - t - 加靠) = 口，有 辨( 篇) = 砖1 竹( 磊+ 加) = 虞- 1 口 令n o o ，g ( 七) ( 晶) = 0 与9 ( f ) ( 七0 矛盾 ( 3 ) 最后证明9 ，( f ) c 令，7 d 使得矿) = c 因为靠( f ) 内闭致收敛到矿( f ) 由h u r w i t z 引理得存在，_ 伽，有磊( ，7 ，i ) = 矗( 磊+ 办珈) = c ，有即( c ) c 毋( c ) ， 即 甄( ) 主丛生掣= 竿 ，h，n 令f l , 啼，有9 ( 伽) = 与夕，) = c 矛盾所以有矿( f ) c 由9 ( f ) o ，9 ( 七) ( f ) 0 我们可得9 ( f ) = 中( 垮- i - b ) 或者夕( f ) = 南可 知矿( f ) = ae x p ( a f + j e i ) 或者矿( f ) = 一枷，( f ) 的c 值点取无穷多次或有 限多次，这与矿( f ) c 矛盾 所以夕( ) 为常数，这与假设矛盾，所以f 在d 上正规 本节部分结果即将发表于福建师范大学学报，2 0 0 9 ，5 1 3 福建师范大学聂恒文硕士学位论文 第3 章函数与其高阶导数具有分担值的正规 性 3 1 引言以及主要结果 2 0 0 7 年，顾永兴，庞学诚和方明亮在正规族理论及其应用中提到下述 定理 定理g p f 1 2 设f 为区域d 上的全纯函数族，8 ，6 为两个非零的有限复 数，若对任意的f f 。在d 上满足，与，分担口值，与，分担6 值，则 f 在d 上正规 问题在文献 1 2 】提出了，对于定理g p f 中，若f 是在d 上的亚纯函数 族，结论是否也成立呢? 2 0 0 8 年，沈寿华在其硕士论文【3 2 1 证明了 定理s h e n设f 是d 上的亚纯函数族，口，b 是两个非零的有穷复数且满足 a ( 七+ 1 ) 6 ，其中七是个正整数如果对f 中的任意个函数，在d 满足， 与，7 分担口值，7 与，分担6 值，则f 在d 上正规 本章节把上述定理推广到高阶导函数的情况，得到了 定理3 1 1设f 是d 上的亚纯函数族，七是个正整数，口，b 是两个非零 的有穷复数且满足口( m 十1 ) 6 ，其中仇是个正整数如果对f 中的任意个 函数，f 一口零点重数七，在d 满足，与f c k ) 分担n 值，f c 七) 与，( 1 ) 分担b 值，则f 在d 上正规 3 2 主要引理及证明 为了证明的需要，我们下面引理 引理3 2 1 设f 是球面导数有界的函数，则f 的级至多为2 引理3 2 2 叫设f ( z ) 于开平面超越亚纯函数， 七为正整数，则 t ( r ，) ( 2 + 丢) ( r ；) + ( 2 + i 2 ) j v ( n7 i j i 圭了) + s ( r ，) 1 4 第3 章函数与其高阶导数具有分担值的正规性 引理3 2 3 2 0 1 设，是级有限的超越亚纯函数j 其零点重数七，a 是有限 复数，且面( o ，f ) = 面( 口，f c 七) ) ，那么i c 七) 取任何非零的有限复数无穷多次 引理3 2 4 【2 0 】设f 是级有穷的非常数亚纯函数口，b 是判别的非零复数 如果面( o ，) = 面( 口，( 七) ) ，( 七) ( z ) b ，那么 化) = 6 ( z c ) + 瓦a 罗， 且a = ( 七+ 1 ) 6 ，其中a 和c 是常数，j 是整数 引理3 2 5 设，是0 上的亚纯函数，a 是非零的有限复数，如果，只有 有限多个零点，且面( o ，f ) = 面( 口，( ) ) ，那么f 是有理函数 证明 假设是超越亚纯函数，因为，只有有限多个零点，所以i v ( r ，专) 手 o ( 1 0 9 r ) ，而s ( 7 ，f ) = o ( t ( r ，) ) ，且面( ，0 ) = 西( ，( 柚，口) ，由引理5 2 2 得， t ( 吖) 3 脚，7 1 ) + 4 n ( r ，斋毛) + 跗，) 。 k n ( r ，) + s ( r ，) i k 其中是个正常数 得到 ( 1 一d ( r ( n ，) ) ) t ( r ，) 0 ( 1 0 9 r ) 这是不可能的，所以，是c 上的有理函数 3 3 定理3 1 1 的证明 假设f 在d 上不正规，。则至少存在一点7 o 使得f 在点动不正规，由引理 2 2 1 ，存在 ( i ) 点列磊，一z o ， ( i i ) 函数列 ， e f ， ( i i i ) 正数列加，加一o + ， 使得 鲰i f ) ：盟学一瓣 1 5 一二童墅型! 塑茎堡主竺塑丝一。一二 按球面距离内闭一致收敛，其中9 为复平面c 上一非常数的亚纯函数，且g ( z ) 的 级不超过2 我们断言取o ，g ) = 可口，夕( 七) ) 假设夕湎) = 0 显然，夕( f ) 0 由h u r w i t z 定理得，存在点列 靠) 满足 靠_ 6 使得( 对于充分大的n ) 跏( t ) - - 监学- 0 得到 ( 磊+ 肌f ) ：a 由定理条件厶与符分担口 我们得到拶( 靠) = 拶( + 砌矗) = 凸，从而有夕( 七) ( 如) = 口由此，得到面( o ，g ) 冬面( 口，夕( 七) ) 另一方面，假设夕( 七) ( 酯) = 口首先g ( 鬣) ( f ) a 因为f ( f ) 的零点重数七，故 9 ( 喜) = 掣经计算得 一c 。，= 乏l ，i 知：高：1 从而有9 n ( o ) 七( 1 a l - 4 - 1 ) - i - l - 与9 ( o ) = 七( 1 a i - i - 1 ) - i - - 1 矛盾所以9 ( 七) ( f ) 口， 故存在靠，簖一晶，使得毋( 晶) = ( 知- i - 肌靠) 一o ，n = 1 ，2 ，而厶与 帮分担口，得到 ( 钿+ 器) = 口，从而有夕慨) = ，熙鲰( 器) = 0 这就表明了 面( 口，夕( ) ) 冬虱o ，9 ) 所以。得到面( o ，9 ) = 面( 口，夕伪) ) 1 ) 如果g 是超越亚纯函数因为面( o ，9 ) = 面( 口，9 佧) ) ( 口是个非零数) ，且 9 级至多为2 ，由引理3 2 3 得，9 伪) 一6 有零点如设 q ( 专) = t g c ) ( 6 ) - b 我们断言 g n ) 在夕( 七) ( f ) 一6 的零点处如不正规的假设( 瓯】在岛正规即在 g n ) 中任取个函数列 g n ) 都有子列( 仍记为_ g