（基础数学专业论文）二阶非线性偏微分方程之间miura变换的分类.pdf

陈影：二阶1 ! 线性偏微分方程之间m i u r a 变换的分类 二阶非线性偏微分方程之间m i u r a 变换的分类 摘要 本文研究形如u 。= f ( u ，u ，u ，) 的非线性偏微分方程由形如 ，屹2 c o ( v ) + “ 【v f = f ( ，u ) + r l ( v ，u ) u x 的可积系统所定义的m i u r a 变换的分类问题由于从如上可积系统中的第一个方程 可解得u = 匕- a ，( v ) ，代入可积系统中的第二个方程即可得到v 所满足的偏微分方程， 因此在分类过程中不必对y 的方程附加任何限制条件 本文证明了这样的非线性偏微分方程等价于如下四类： 第一类是u x x = p ( u ) - p ( “) “，+ 咋( 其中p 是任意非线性光滑函数) ，相应的可积系 统为 三三二：卜p ，+ 略， 其中名是任意常数此时y 满足非线性偏微分方程v t = p ( u 一五一1 ，) + k ； 第二类是b u r g e r s 方程u x x = 2 u u ，4 - u t ，相应的可积系统为 f 屹= 兄+ “+ p v ， 【k = 旯2 一“2 + 致+ ( 2 - u ) e ， 其中旯是任意常数此时1 ，满足非线性偏微分方程_ = t + 2 2 v , + 2 v 。e ”+ k ，该方程 与b u r g e r s 方程等价； 第三类札叫炉卜上1 2 ( ”一趔u 叫2 1 + 芷u 地( 其中p 是任意光滑函 i 数，是任意非零常数) ，相应的可积系统为 扬州人学硕十学位论文 其中五是任意常数此时1 ，所满足的方程为 k 2 y + 去( u 一v + 掣j + 焉f t v ；l匕一v 一九匕一 一z 第四类是u 。= 2 u ，+ u e “u x - i - e “u t ( 其中名为任意常数) ，相应的可积系统为 v v f ：= 叱2 + 一e 。- “v 一+ 。e ，。u 五, + p 一，+ p 。， 此时，所满足的方程为vf=筠一胁(v。-e-2e ) _ 1 】匕 匕一 一以 2 一 作为上述m i u r a 变换的应用，我们利用u 一方程的一些特解，通过求解可积系统 而生成相应v 方程的解 关键词：非线性偏微分方程；m i u r a 变换；可积系统；b i i c k l u n d 变换 略一“ 、，一 醴“ ， 甜 + 兄 一“ 叫。卜 “ 卧 l i = 匕 v 陈影：二阶1 ! 线性偏微分方程之间m i u r a 变换的分类 o nm i u r at r a n s f o r m a t i o n sa m o n gs e c o n d - - o r d e r n o n l i n e a r p a r t i a ld i r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t 3 一 i nt h i s p a p e rw ec l a s s i f ym i u r at r a n s f o r m a t i o n s u 卜1 ，f r o m s e c o n d - o r d e rp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h ef o r mu 。= f ( u ，u ，u ，) d e f i n e dv i aa s s o c i a t e di n t e g r a b l es y s t e m s o f t h ef o r m l u = c o ( v ) + “， 【v = f ( v ，u ) + r r v ，u ) u x t h ef i r s te q u a t i o no ft h ea b o v ei n t e g r a b l es y s t e mg i v e su = 匕一c o ( v ) ，a n ds u b s t i t u t i n gi t i n t ot h es e c o n de q u a t i o ny i e l d sap a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o no n l yi n v o l v i n g v s oi nt h e c l a s s i f i c a t i o nw ed on o tn e e dt oa s s u m et h ef o r mo ft h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa b o u t ， o u rr e s u l t ss h o wt h a tt h e r ea r ef o u rk i n d so fs u c hn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ef i r s to n ei st h ee q u a t i o nu 。= p ( u ) - p 7 ( u ) u x s t u t ，w h e r epi sa na r b i t r a r yn o n l i n e a rs m o o t h f u n c t i o n ，a n dt h ea s s o c i a t e di n t e g r a b l es y s t e mi s 三二二：二：卜p 。“，+ 蚝， w h e r e2i sa l la r b i t r a r yc o n s t a n t i nt h i sc a s e ，vs a t i s f i e st h ee q u a t i o nv t = p ( 匕一兄一v ) + k ； t h es e c o n do n ei sj u s tt h eb u r g e r se q u a t i o nu 搿= 2 u u x + “f ，a n dt h ea s s o c i a t e di n t e g r a b l e s y s t e mi s v 三二e - v + “：“：+ 咋 i nt h i sc a s e ，s a t i s f i e st h en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nv f = v 。一v ：+ 2 e ”，w h i c h i se q u i v a l e n tt ot h eb u r g e r se q u a t i o n ； 扬州人学硕十学位论文 4 一 n 汕砷o n et s m e 叩a t i o nu , 。= p ( u ) - l 卜寺( 甜一半协，) 卜譬也， w h e r epi sa na r b i t r a r ys m o o t hf u n c t i o na n d a na r b i t r a r yn o n z e r oc o n s t a n t ，a n dt h e a s s o c i a t e di n t e g r a b l es y s t e mi s w h e r e2i sa r b i t r a r yc o n s t a n t ，i nt h i sc a s e ，1 ，s o l v e st h ee q u a t i o n v = v + l ( v ，- t v 4 。鬻, u v + 焉- , u v ；v x 一一 ) v x 一 t h el a s to n ei st h ee q u a t i o n u 。= 2 u ，+ u e “u x + u f ，w h e r e2 i sa r b i t r a r yc o n s t a n t ，a n dt h e a s s o c i a t e di n t e g r a b l es y s t e mi s i v x = 2 + e 1 + ， 【匕= 略- ( u - 1 ) ( a + e 1 + 矿) i nt h i sc a s e , 1 ，s o l v e st h ee q u a t i o n v t = 监善之一i l n ( 屹m e - v d 五) 一1 v x v ，一p 一以 a sa p p l i c a t i o n so ft h em i u r at r a n s f o r m a t i o n s ，f r o ms o m es p e c i a ls o l u t i o n so ft h e u e q u a t i o n s ，b ys o l v i n gt h e a s s o c i a t e di n t e g r a b l es y s t e m s ，w eg e n e r a t es o l u t i o n so ft h e c o r r e s p o n d i n g1 ，e q u a t i o n s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；m i u r at r a n s f o r m a t i o n ；i n t e g r a b l es y s t e m ； b i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n 叱一” 、，一 学 + ， 甜 + 允 ，一“ 邮，- l “ 卧 = = 匕 陈影：二阶1 卜线性偏微分方程之间m i u r a 变换的分类望 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究 成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研 究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声 明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 签字e t 期：劢乃年j 一月 方日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。本 人授权扬州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信 息研究所将本学位论文收录到 o , k 0 均为整数考虑关于以维列向量= ( 么，办，丸) r 的系统 其中q ，0 都是非零光滑向量值函数，并且q 和0 至少有一个含有u 的k 阶导数 ( 2 7 ) 定义2 1 称( 2 7 ) 是关于非线性偏微分方程 f ( u , u x , u t , , o t x 甜，a ：“) = 0( 2 8 ) 的可积系统，如果当且仅当u 是( 2 8 ) 的一个解时，它是可积的 例如，系统( 2 2 ) 和系统( 2 4 ) 分别是关于s i n e g o r d o n 方程( 2 1 ) 和势k d v 方程( 2 3 ) 的可积系统 定义2 2 设( 2 7 ) 是关于非线性偏微分方程( 2 8 ) 的可积系统，变换 uh v = 甲( 么，晚，丸，u ，u 善，a ：“) 称为( 2 8 ) 的b 萏c k l u n d 变换，如果对于( 2 8 ) 的任意解“和相应的可积系统( 2 7 ) 的任意 解= ( 办，欢，丸) r ，v 也是( 2 8 ) 的解 上述定义中的b i c k l u n d 变换是同一个非线性偏微分方程解之间的变换 定义2 3 设( 2 7 ) 是关于非线性偏微分方程( 2 8 ) 的可积系统，变换 uh ，= r ( 么，欢，矽。，u ，u ，“一，o f u ) 称为从( 2 8 ) 到非线性偏微分方程 g ，叱，v f ，一，a ：”a ：y ) = 0( 2 9 ) 狲狲 ， ， 一， 一， 以以咋 以丸 ， ， 一， 一， 唬欢蚴黝 = = g 哆 扬州人学硕士学位论文 l o 的m i u r a 变换，如果对于( 2 8 ) 的任意解u 以及相应的可积系统( 2 7 ) 的任意解 = ( 么，欢，丸) r ，是( 2 9 ) 的解 给定非线性偏微分方程( 2 8 ) 的一个解u ，通常求解可积系统( 2 7 ) 比求解非线性 偏微分方程( 2 8 ) 或( 2 9 ) 要简单得多，这也是研究b i i c k l u n d 变换和m i u r a 变换的意义 所在 陈影：二阶1 f ：线性偏微分方程之间m i u r a 变换的分类 旦 第三章m i u r a 变换的分类 我们讨论的二阶非线性偏微分方程方程形如 相应的可积系统形如 掰。= f ( u ，u x ，坼) ， ( 3 1 ) ( 3 2 ) 引理3 1 ( 3 2 ) 是关于非线性偏微分方程( 3 1 ) 的可积系统，当且仅当( 3 1 ) 具有形式 u x x = p ( “，峨) + q ( “) q ， 函数7 7 不依赖于y ，并且满足 证明： 由( 3 2 ) 可得 r l ( u ) q ( u ) 三1 1 = v t + u t ， 【= 六匕+ 乞叱+ 仉屹蚝+ 仇+ 7 7 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 将第二个方程中的”。用f ( u ，u ，“，) 代替，并比较可积条件= 两边u ，的系数得到 并且 f ( u ，u ，坼) = p ( u ，略) + q ( u ，u x ) u t ， 其中p ，q 均为光滑函数 由( 3 7 ) 得到 ，7 ( 1 ，u ) q ( u ，u ，) 2 - - - - 1 ， ( 3 6 ) ( 3 7 ) 仉= 0 ，q ，= 0 ( 3 8 ) 即r ( u ，1 ，) 不依赖于1 ，q ( u ，u x ) 不依赖于u x 1 l t l 对( 3 6 ) ，( 3 7 ) 分别变成( 3 3 ) ， ( 3 4 ) 证毕 0m 甜 ，玎 “ + + d n 叽价 = = 匕t，(【 堑型叁堂堡堂堡堡壅 里 - _ - - - - _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ 一一 对于q ( 甜) 暑1 时的简单情形，我们有下面的结论 定理3 2 q ) 兰l 时，( 3 2 ) 是关于非线性偏微分方程( 3 3 ) 的可积系统当且仅当下列 两种情形之一成立： 情形1 ( 3 3 ) 等价于非线性偏微分方程 而相应的可积系统( 3 2 ) 为 u 盯= p ( 甜) 一p ( u ) u x + u t ， 三三二二：二：，+ p 。“，+ 虬， 其中p 是任意非线性光滑函数，五是任意常数此时v 满足非线性偏微分方程 叶= p ( k 一名一v ) + k ； 情形2 ( 3 3 ) 等价于b u r g e r s 方程 而相应的可积系统( 3 2 ) 为 u h = 2 u u x + u t ， i 咋= 2 + u + e ， 【k = 旯2 一“2 + “，+ ( 旯一u ) e ， 其中允是任意常数此时，满足非线性偏微分方程 k = 一+ 2 2 v ，+ 2 v ，e 1 + k 证明：将( 3 3 ) 和( 3 4 ) 代入( 3 5 ) ，则有 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 5 缈7 f + 缈，7 u x + 吩，( 3 1 5 ) 【= t ( 缈+ “) + 色蚝+ r l k 2 + r l p ( u ，u s ) 4 u t 由q ( “) 三l 及( 3 4 ) 知7 7 ( 甜) 兰1 于是有 f = 缈7 f + 国略+ u t ， 1 = ( 彩+ 掰) + 乞u x + p ( u ，略) + 由可积条件= 可知函数尸关于变量“，是线性的设 p ( u ，蚝) = p ( “) + g ( ”) “， ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 陈影：二阶1 ：线性偏微分方程之间m i u r a 变换的分类旦 这里p ( “) ，q ( u ) 均为光滑函数 把( 3 17 ) 代入v t x 并比较可积条件= 两边u ，的各次幂系数，得到下列两个关系式： ( 3 1 9 ) 两边对v 求导得到 c 0 7 f = 矢( 缈+ t 1 ) + p ， 国= 幺+ g 厶= 矿 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 下面我们分两种情形讨论 1 ) ( - 0 是线性函数设 c o ( v ) = 五+ 1 ，( 3 2 1 ) 其中五，( 0 ) 是常数则由( 3 2 0 ) 知氕= 0 设 f ( 1 ，甜) = a ( v ) + ( “) ，( 3 2 2 ) 则由( 3 1 8 ) 得到 口( 1 ，) ：，( 甜) ：型型( 3 2 3 ) 进而由( 3 1 9 ) 给出 g ( “) ：一幽( 3 2 4 ) 此时( 3 3 ) 成为 ：p ( “) + 生型虬+ ( 3 2 5 ) 适当选取( 工，f ) 一空间的线性变换，( 3 2 5 ) 等价于( 3 9 ) ，即可取= 1 则由( 3 2 1 ) 和( 3 2 2 ) ，相应的可积系统为( 3 1 0 ) ，并且y 所满足的方程为( 3 1 1 ) 2 ) 缈不是线性函数( 3 2 0 ) 两边关于u 积分得到 扬州人学硕士学位论文 = u + s ( v ) ， 1 4 ( 3 2 6 ) 这里j 为积分函数 ( 3 2 6 ) 两边关于v 积分并利用( 3 1 9 ) ，则有 f = 缈“+ p ( ，) d v - ，q ( “) a u ( 3 2 7 ) ( 3 2 6 ) 两边关于1 ，求导得到 氕= 矿u + s ( 3 2 8 ) 另一方面，( 3 1 8 ) 两边关于y 求导得到 缈”f = 厶( c o + u ) ( 3 2 9 ) 把( 3 2 7 ) 和( 3 2 8 ) 代入( 3 2 9 ) ，则有 o ) w ( o j u + p ( ，) d v 一g ( “) 如) = ( 国+ s ) ( 缈+ “) ( 3 3 0 ) 由于国0 ，可设 扣( “) d u = q 。+ 掣+ g ：“2 ， ( 3 3 1 ) 这里q oq l ，q 2 均为常数 把( 3 3 1 ) 代入( 3 3 0 ) 并比较两边u 的各次幂系数，得到下列三个关系式： 矿= - q 2 国， ( 3 3 2 ) 缈7 0 ) w - - q i 国。= 国彩”+ s ，( 3 3 3 ) ( o n p ( ，) d v - q 。矿= j 饥 ( 3 3 4 ) 若q 2 = 0 ，则1 主i ( 3 3 2 ) 得到国= a o + 口1 1 ，+ a 2 1 ，2 ，这里a o , a l ，a 2 为常数将之代入( 3 3 3 ) 和( 3 3 4 ) n - i 得a 2 = 0 ，即c o 是线性的，从而q 2 0 不失一般性，可假设9 2 = 1 则1 - 1 4 ( 3 3 2 ) 得到缈= 3 + i t v + e 一，这里五，为常数将之代入( 3 3 3 ) 和( 3 3 4 ) 可得= 0 ， q o = 2 ( q i 一五) ，并且p ( 1 ，) d v = ( ；t - q 。) p 一从而 c o ( v ) = 2 + e ，( 3 3 5 ) 于是由( 3 2 7 ) 和( 3 3 1 ) 得到 f = ( 2 - q l - u ) e 一- 2 ( q l - 2 ) - q l u - - u 2 ，( 3 3 6 ) 陈影：二阶1 卜线性偏微分方程之问m i u r a 变换的分类竺 再由( 3 1 8 ) 得到 于是( 3 3 ) 成为 q ( u ) = q l + 2 u p ( “) 三0 u 。= ( g i + 2 u ) u x + u t ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) 该方程等价于b u r g e r s 方程( 3 1 2 ) ，于是可设q 。= 0 ，相应的可积系统为( 3 1 3 ) ， 并 且1 ，所满足的方程为( 3 1 4 ) 证毕 注记：在变换tjt ，x 一吖一2 允，j p 1 下， 方程( 3 1 4 ) 成为b u r g e r s 方程( 3 12 ) 下面讨论q ( u ) 不是常值函数的情形首先，我们有下面的结论 引理3 3 适当选取变换 可使偏微分方程 成为 u = 厂( 历) u 。= p ( u ，”，) + q ( ”) ， 站= p ( 历，u x ) + 砸， 证明：由( 3 4 0 ) 得 u ，= 厂( 蠢) 玩，u x = ( 历) 吃，= f ( 厅) 站+ 厂”( 历) 域2 ( 3 4 0 ) ( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) 将之代a ( 3 4 1 ) 得到 厂7 ( 历) 站+ 厂。( c o a x 2 = p ( 厂( 历) ，f ( 厅) 吃) + q ( 厂 ) ) 厂7 ( 历) 秀 ( 3 4 3 ) 上式两边同时除以厂( 厅) ，并化简得 站= 丛丝篙型鲤坝朋版 ( 3 4 4 ) 扬州人学硕十学位论文 因此如果选取函数f = q ， 则 q ( 厂( 历) ) = 历， 此时( 3 4 4 ) 成为( 3 4 2 ) 证毕 由引理3 3 ，不失一般性，可取q ( u ) = u 此时我们下面的结论 1 6 _ 一 ( 3 4 5 ) 定理3 4 q ( “) = u 时，( 3 2 ) 是关于非线性偏微分方程( 3 3 ) 的可积系统当且仅当下列 两种情形之一成立： 情形1 ( 3 3 ) 等价于 刊卅l 卜* 半协，) 卜等地， n 4 6 ， 相应的可积系统为 其中p 是任意的光滑函数，而五，( 0 ) 是任意常数此时，所满足的方程为 ( 3 4 7 ) v ：v + 土h 一v + 业掣1 + 导 ( 3 - 4 8 ) 1l 叱一，一九 屹一1 ，一以 情形2 ( 3 3 ) 等价于 相应的可积系统为 = 2 u = + u e “u x + u t ， l 匕= 旯+ p 1 + p “， 【q = - ( u - 1 ) ( 2 + e ”+ ) ， 其中力为任意常数此时v 所满足的方程为 k ：二叠孥一【l n ( 屹一p 一无) 一1 屹 ，一e 一九 ( 3 4 9 ) ( 3 5 0 ) ( 3 5 1 ) 证明：因为q ) ：“，f 1 4 ( 3 4 ) 知7 7 ) ：三把q ( “) ：甜，刁( “) ：! 代入( 3 2 ) 和( 3 3 ) ，则 略一“ 、i ，一 盟“ ， “ + 兄 一“ 叫。l n 卧 = = u 陈影：二阶1 卜线性偏微分方程之间m i u r a 变换的分类旦 有 ：缈，f + 生峨+ 坼， 吲删u 如一扣_ p ( u , u x ) 坼 ( 3 5 2 ) 由可积条件= ，可设 p ( u ，u x ) = p ( “) + g ( 甜) “。+ ，( “) ， 这里p ，q ，均为光滑函数 ( 3 5 3 ) 把( 3 5 3 ) 代入并比较可积条件v x t = 两边甜，各次幂的系数，得到下列三个关系式： 一1p ：缈，f 一六，( 缈+ “) ， 1 一7 尸 一g2 一一。， ，( “) ：三 下面我们分两种情形讨论 1 ) 国是线性函数设 缈( ，) = t + u v ， 其中t ，( 0 ) 是常数则i ：t ：1 ( 3 5 5 ) 知乞= 0 设 则由( 3 5 4 ) 得到 再由( 3 5 5 ) 得到 f ( 1 ，甜) = a ( v ) + ( “) ， ) = y ，触) = ( 2 + u + p ( u - - - - 2 ) 咖脚一鼢警+ 掣) ( 3 5 4 ) ( 3 5 5 ) ( 3 5 6 ) ( 3 5 7 ) ( 3 5 8 ) ( 3 5 9 ) ( 3 6 0 ) 此时( 3 3 ) 成为( 3 4 6 ) ，相应的可积系统是( 3 4 7 ) ，并且v 所满足的方程为( 3 4 8 ) 扬州人学硕十学位论文 2 ) c o 不是线性函数( 3 5 5 ) 两边关于变量u 积分， 得到 地“) = c o ( v ) i n “一掣出+ s ( 1 ，) ， 。 “ 其中s ( v ) 为积分函数 ( 3 6 1 ) 两边关于变量v 求二阶导数， 得到 ( 3 5 4 ) 两边关于，求导得到 乞w = d l n u + s ， 国。f = 厶( c o + u ) 把( 3 6 1 ) 和( 3 6 2 ) 代x , ( 3 6 3 ) q a ，得到 ( c o i n “一掣幽+ s ) ：( c o 1 n “+ j 一) ( c o + u ) ， 。 u 由于c o ”0 ，可设 晔：q 山u + c 2 u + c 3l i l “+ q ， 。 u 这罩c l , c 2 ，c 3 ，c 。均为常数把( 3 6 5 ) 代入( 3 6 4 ) 中，可得t n 四个关系式： c o ”= - q c o 。， 缈”c o = 国。c o t - - c 3 c o 。， 一c 2 ( - 0 = s ， 缈s 。= c o s - c 4 c 0 。 ( 3 6 1 ) ( 3 6 2 ) ( 3 6 3 ) ( 3 6 4 ) ( 3 6 5 ) ( 3 6 6 ) ( 3 6 7 ) ( 3 6 8 ) ( 3 6 9 ) 若c l = 0 ，则由( 3 6 6 ) 得到缈= d o + 矾v + d 2 1 ，2 ，这里d o , d l ，d 2 均为常数将之代入 ( 3 6 7 ) n - - j 知d 2 = 0 ，即c o 是线性函数因此c l 0 此时由( 3 6 6 ) 得到c o = 五+ 吃v + 岛g 叫， 这里五，6 2 ，6 3 均为常数，并且6 3 0 1 ：1 ：1 ( 3 6 7 ) g 知如= o ，她= c 3 不失一般性，设6 3 = 1 ， 此时缈= 2 + e 一叩又由( 3 6 8 ) 和( 3 6 9 ) 可得s ( v ) = c 4 - c 2 2 - c 2 e 叫此时由( 3 6 1 ) 得到 f ( ，u ) = 一( ql n u + c o ( e q ”+ “+ 名) 再由( 3 5 4 ) 和( 3 5 5 ) 可得到 p ( u ) 三0 ，q ( u ) = q u i n u + ( c 1 + c 2 扣+ c v z ( 3 7 0 ) ( 3 7 1 ) 陈影：二阶1 f 线性偏微分方程之间m i u r a 变换的分类 旦 于是( 3 3 ) 成为 ：( q u l n “+ ( c l + c 2 ) “+ 五q ) + 互+ “坼 “ 经过变换u 专e “，方程( 3 7 2 ) 变成 经过变换 方程( 3 7 3 ) 变成 u 材= ( c i u e u + ( c i + c 2 ) e “+ 2 c 1 ) + p “ 石一f i x ，t 寸彳f ， 彳= c i ( ( c l + c 2 ) e “+ 弛+ q e “u ) u ，+ c 2 , e “u t 由力，c 2 的任意性，方程( 3 7 5 ) 且p 为 u 。= ( 2 + u e “) 材，+ e “( “f + c 2 u ，) 该方程等价于( 3 4 9 ) ，相应的可积系统( 3 5 0 ) ，并且，满足方程( 3 5 1 ) 证毕 ( 3 7 2 ) ( 3 7 3 ) ( 3 7 4 ) ( 3 7 5 ) ( 3 7 6 ) 扬州人学硕十学位论文 第四章应用举例 2 0 _ 一 由m i u r a 变换ui - - ) ，对于方程( 1 8 ) 的任意一个解u ，通过求解可积系统( 1 9 ) ， 就可以得到相应y 方程的解下面我们给出几个例子 例4 1 考虑方程( 3 9 ) 与x 无关的解 u ( x ，t ) = 矽。1 ( f ) ， ( 4 1 ) 其中( “) = 一e 击如把( 4 1 ) 代入( 3 1 。) 的第一个方程，得到 v ( x ，f ) = c ( t ) e 。一矽一o ) 一名，( 4 2 ) 其中c ( t ) 是任意光滑函数把( 4 2 ) 代a ( 3 1 0 ) 的第二个方程，得到c ( t ) = e 由此得到 ( 3 1 1 ) 的解 v ( x ，t ) = e 。”一矽。1 ( f ) 一兄( 4 3 ) 例如，在( 3 9 ) 中取p ) = “2 ，则矽( 甜) = 一e 南幽= i i ，因此矽- 1 ( f ) = 于是 即为方程 的解 y ( 工，r ) = p 。+ | 一一兄 v = ( 匕- g - v ) 2 + k 例4 2 取b u r g e r s 方程( 3 1 2 ) 的平凡解u ( x ，t ) 三0 ，则可积系统( 3 1 3 ) 变成 由( 4 6 ) 的第一个方程得到 啦力乩( 竽) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) “ w p 见 = = u 匕 ，1【 陈影：二阶1 f 线性偏微分方程之间m i u r a 变换的分类型 将( 4 7 ) 代入( 4 6 ) 中的第二个方程得到 厂( f ) = c 一办 其中c 为任意常数于是 是方程( 3 1 4 ) 的解 v c 彬，乩( e a t x + 筹订- 1 例4 3 考虑方程( 3 4 6 ) 的与x 无关的解 u ( x ，t ) = 缈。1 ( f ) ， ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 其中妒( “) = 一丘裔如把( 4 1 0 ) 代入( 3 4 7 ) 的第一个方程中，得到 v ( x ，f ) ：c ( f ) 口雕一r p - ( t ) + 2 ，( 4 1 1 ) t 其中c ( t ) 是任意光滑函数把( 4 11 ) 代a ( 3 4 7 ) 的第二个方程中，得到c ( t ) = e 由此 得至l j ( 3 4 8 ) 1 均解 是 v ( 墨f ) ： 一业 ( 4 1 2 ) 例如，在( 3 - 4 6 ) 中取p ( “) = 矿，2 1 ，则妒 ) = 一e 南咖= 一h l 因此矽- 1 0 = e - t 于 是方程 的解 v ( x ，f ) = e 肘一p 一五 k 2 2 屹一y 一五+ 了v _ = = 了- 二v 百。 例4 4 在( 3 4 9 ) 中取五= 1 ，则( 3 4 9 ) 和( 3 5 0 ) 分别变成 u x x = e u u , + u x + u e “甜j ， ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) 扬州人学硕十学位论文 i 匕= 1 + p 一9 + p “， 【k = 叱一( 甜一1 ) ( 1 + p 一”+ p “) 而此时y 所满足的方程( 3 5 1 ) 为 y f = 竖笔 - 1 i l ( 屹- e - - 1 ) 一1 v x u e一1 取( 4 1 5 ) 的平凡解u ( x ，t ) 暑0 ，则可积系统( 4 1 6 ) 变成 由此得至l j ( 4 1 7 ) 的解 其中c 为任意常数 毗力乩( 竽) ， 2 2 ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) t + 2 2 i | = 匕匕，l 陈影：二阶1 卜线性偏微分方程之间m i u r a 变换的分类 参考文献 1 】谷超豪等孤立子理论与应用杭州：浙江科学技术出版社，1 9 9 0 2 】郭玉翠非线性偏微分方程引论北京：清华大学出版社，2 0 0 8 【3 】陈登远孤子引论北京：科学出版社，2 0 0 6 【4 底田良吾孤子理论中的直接方法北京：清华大学出版社，2 0 0 8 【5 】j j c n i m m o & d gc r i g h t o n b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n s f o ，t h ec y l i n d r i c a lk d ve q u a t i o n , p h y s i c sl e t t a8 2 ( 1 9 8 1 ) 2 1 1 - 2 1 4 6 j j c n i m m o d gc r i g h t o n b 石c k l u n dt r a n s f 6 i r m a t i o n sf o ，n o n l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o n s , p r o c r s o c l o n d o n a3 8 4 ( 1 9 8 2 ) 3 8 1 4 0 1 【7 】s g b y m e s b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sa n dt h e ye q u a t i o nz w = f ( x ，y ，z ) ，j m a t h p h y s ， 1 7 ( 1 9 7 6 ) 8 3 6 8 4 2 8 】d wm c l a u g h l i n & a c s c o t t ar e s t r i c t e db i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n s ，j m a t h p h y s ，14 ( 1 9 7 3 ) 1 8 1 7 - 1 8 2 8 9 】马双琴，曹锡芳二阶非线性偏微分方程之间b i c k l u n d 变换的分类扬州大学学报( 自 然科学版) 1 1 ( 2 0 0 8 ) 1 5 1 9 10 】h o n g y o uw u o nb i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sf o ，n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s , j m a t h a n a l a p p l 1 9 2 ( 1 9 9 5 ) 1 5 1 - 1 7 9 1 1 】x c a o ，h w u & c x u o nm i u r at r a n s f o r m a t i o n sa m o n gn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，j m a t h p h y s 4 7 ( 2 0 0 6 ) 0 8 3 515 12 h w a h l q u i s t ，e e s t a b r o o k b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sf o rs o l u t i o n so f t h ek o r t e w e g - d ev r i e s e q u a t i o n ，p h y s r e v l e t t 3 1 ( 1 9 7 3 ) 1 3 8 6 1 3 9 0 13 】j n c l e l l a n d t a i v e y b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sa n dd a r b o u xi n t e g r a b i l i t y f o ，n o n l i n e a r w a v ee q u a t i o n s ，a s i a nj m a t h ，13 ( 2 0 0 9 ) 15 6 4 【14 】j l c i e l i f i s k i & w b i e r n a c k i an e wa p p r o a c ht ot h ed a r b o u x - b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n v e r s u st h es t a n d a r d d r e s s i n gm e t h o d , j p h y s a3 8 ( 2 0 0 5 ) 9 4 9 1 9 5 0 1 扬州人学硕十学位论文 【l5 】b d a i c l t e r n g b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n s , w a r ds o l i t o n sa n du n i t o n s , j d i f f g e o m 7 5 ( 2 0 0 7 ) 5 7 - 1 0 8 【1 6 】j a t k i n s o n b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n s f o ，i n t e g r a b l el a t t i c ee q u a t i o n s , j p h y s a4 1 ( 2 0 0 8 ) 1 3 5 2 0 2 【l7 】d d e m s k o i o na p p l i c a t i o no f l i o u v i l l et y p ee q u a t i o n st oc o n s t r u c t i n gb i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n s , j n o n l i n e a rm a t h p h y s 14 ( 2 0 0 7 ) 14 7 15 6 18 】j eg o m e s ，l h y m a i & a hz i m e r m a n p e r m u t a b i l i t yo f b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nf o ， n = is u p e r s y m m e t r ys i n h g o r d o n ，p h y s l e t t a37 3 ( 2 0 0 9 ) 14 01 - 14 0 4 19 】yh e & h w t a m b i l i n e a rb i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o na n dl a xp a i r f o ，ac o u p l e dr a m a n i e q u a t i o n ，j m a t h a n a l a p p l 3 5 7 ( 2 0 0 9 ) 13 2 - 13 6 【2 0 】s i s o j i m a ，s k u h o ，m ，m u r a t a & j s a t s u m a d i s c r e t ea n d u l t r a d i s c r e t eb i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n f o ，k d v e q u a t i o n ，j p h y s a4 1 ( 2 0 0 8 ) 0 2 5 2 0 5 2l 】gl l a m b j r b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nf o ，c e r t a i nn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，j m a t h p h y s 1 5 ( 1 9 7 4 ) 2 1 5 7 - 2 1 6 5 【2 2 gt l