（应用数学专业论文）具有服务干扰网络队列的鞅方法.pdf

m a r t i n g a l em e t h o d o f q u e u i n g n e t w o r k sw i t hs e r v i c e i n t e r r u p t i o n s ad i s s e r t a t i o ns u b m i r e df o rt h em a s t e rd e g r e eo fs c i e n c e c a n d i d a t e ：f a ny a y u n s u p e r v i s o r ：p r o f l i uj i a n m i n c h a n g a nu n i v e r s i t y ，x i a n ，c h i n a 论文独创性声明 本人声明：本人所呈交的学位论文是在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本论文中不包含任 何未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权 利。本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成 果时，署名单位仍然为长安大学。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名： 导师签名： | o 年6 目位b 。如f o 年易只，2e l 摘要 从二十世纪六十年代后期开始，近代鞅论与随机分析理论蓬勃兴起，其中，鞅理论 被用于研究随机点过程理论，在运用过程中显示出其独特的优越性。近年来，它作为一 个强有力的研究工具逐渐向各个学科渗透，在排队论、随机控制、生存分析等领域得到 广泛应用。因此，利用鞅理论来研究随机过程、排队论有重要的理论意义和实用价值。 鞅方法在排队论中的应用最朴素的理解为：在各种排队系统中找出鞅这一种特殊类 型的随机过程，然后利用鞅的良好性质进行深入的讨论。本文通过对网络队列的鞅方法 进行研究，得到的主要认识及结论如下： ( 1 ) 对d 空间的基本理论进行全面的阐述，并从这一理论出发给出连续映射定理。 在一维反射映射的基础上，利用特殊网络模型得出多维反射映射的定义，同时表明反射 映射的存在性，列出其在拓扑上的各种连续结果。 ( 2 ) 将近代鞅论的一些方法及结论运用到排队论中，主要包括非线性滤波，鞅描 述、非负下鞅的分解定理、鞅收敛定理、局部平方可积鞅、鞅表示等，同时给出如何将 鞅与排队模型中的计数过程相衔接，使得后面用鞅方法来研究网络队列中随机过程更直 观。 ( 3 ) 本文对随机流体网络模型和具有服务干扰随机流体网络模型进行了深入研究。 主要包括将鞅方法与两类网络队列相结合，利用鞅的一些重要的方法和理论来分析讨论 网络队列的高负荷极限。首先用鞅的定义明确网络队列中潜在延迟过程为一个鞅，进而 通过对网络队列中网输入过程的构造刻画，使其能满足下鞅的d o o b m e y e r 分解定理， 或是满足其变差共变过程，最后利用鞅的收敛定理结合复合映射、连续映射定理得出我 们想要的结果，表明了鞅方法在网络队列上的可行性和有效性。 关键词：鞅方法，网络队列模型，服务干扰网络模型，网输入过程，潜在延迟过程， 鞅收敛定理，鞅d o o b m e y e r 分解定理，高负荷极限 a b s t r a c t s i n c et h el a t e19 6 0 s ，t h em o d e mm a r t i n g a l et h e o r ya n dt h e o r yo fs t o c h a s t i ca n a l y s i sh a s f l o u r i s h e d a m o n g t h e s et h em o d e m m a r t i n g a l et h e o r yh a sb e e na p p l i e dt os t u d yt h et h e o r yo f s t o c h a s t i cp o i i l tp r o c e s sa n du n i q u es u p e r i o r i t yh a sb e e ns h o w ni na p p l i c a t i o n i nr e c e n ty e a r s ， a so n eo ft h ep o w e r f u lr e s e a r c ht o o l s ，i td i s c i p l i n e si nq u e u i n gt h e o r y , s t o c h a s t i cc o n t r o la n d s u r v i v a la n a l y s i se t c t h e r e f o r eu s i n gt h em a r t i n g a l et h e o r yt os t u d ys t o c h a s t i cp r o c e s s q u e u i n gt h e o r yh a si m p o r t a n tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dp r a c t i c a lv a l u e t h es i m p l e s tu n d e r s t a n d i n go fm a r t i n g a l em e t h o d si nt h ea p p l i c a t i o no f q u e u i n gt h e o r yi s f i n d i n go u tm a r t i n g a l e ，t h es p e c i a lt y p eo fs t o c h a s t i cp r o c e s sf r o ma l lq u e u i n gs y s t e mt h e n u s i n gt h eg o o dp r o p e r t i e so fm a r t i n g a l et od od e 印d i s c u s s i o n b a s e do ns t u d y i n gm a r t i n g a l e m e t h o do fq u e u i n gn e t w o r kt h i sp a p e rg e t sm a i nc o n c l u s i o na sf o l l o w i n g ： ( 1 ) c o m p r e h e n s i v ee x p o s i t i o n0 1 1t h e b a s i ct h e o r yo fs p a c ea n dp r o v i d ec o n t i n u o u s m a p p i n g t h e o r e mf r o mt h i s t h e o r y b a s e d o no n e d i m e n s i o n a lr e f l e c t i o n m a p m u l t i d i m e n s i o n a lr e f l e c t i o nm a pd e f i n i t i o n sc a nb eo b t a i n e da c c o r d i n gt ou s i n gs p e c i a l n e t w o r km o d e l m e a n w h i l ee x i s t e n c eo ft h e r e f l e c t i o nm a pi ss h o w na n dt h et o p o l o g i c a l v a r i o u sc o n t i n u o u sr e s u l t sa r el i s t e d ( 2 ) a p p l ys o m eo ft h em o d e mm a r t i n g a l em e t h o d sa n dt h ec o n c l u s i o n st ot h eq u e u i n g t h e o r y , w h i c hi n c l u d e st h en o n l i n e a rf i l t e r i n g ，m a r t i n g a l ed e s c r i p t i o n , d e c o m p o s i t i o nt h e o r e m f o rn o n n e g a t i v es u b m a r t i n g a l e sc o n v e r g e n c et h e o r e m ，l o c a ls q u a r ei n t e g r a lm a r t i n g a l ea n d m a r t i n g a l er e p r e s e n t a t i o ne t c i ti sa l s os h o w sh o w t oc o n n e c t e dt h em a r t i n g a l ea n dc o u n t i n g p r o c e s si nt h eq u e u i n gm o d e l sa n dm a k e t h em a r t i n g a l em e t h o dt or e s e a r c hs t o c h a s t i cp r o c e s s o fq u e u i n gn e t w o r km o r ed i r e c t ( 3 ) t h i sp a p e rs t u d i e sd e e p l yt w ok i n d so fn e t w o r kq u e u em o d e lo fs t o c h a s t i cf l u i d n e t w o r km o d e la n ds t o c h a s t i cf l u i dn e t w o r km o d e l 、析t hs e r v i c ei n t e r r u p t i o n s t h em a i n c o n t e n t sa r ec o m b i n i n gm a r t i n g a l em e t h o da n dt w ok i n d so fn e t w o r k , a n a l y z i n gt h eh e a v y t r a f f i cl i m i t so fq u e u i n gn e t w o r ku s i n gs o m ei m p o r t a n tm a r t i n g a l em e t h o da n dm a r t i n g a l e t h e o r y f i r s t ，u s i n gt h ed e f i n i t i o no fm a r t i n g a l ec l e a rt h a tt h eq u e u i n gn e t w o r ko fp o t e n t i a l b u f f e r - c o n t e n tp r o c e s si sam a r t i n g a l e t h e nt h r o u g ht h et e c t o n i co fq u e u i n gn e t w o r ko fi n p u t p r o c e s sw h i c hc a ns a t i s f yt h ed e c o m p o s i t i o nt h e o r e mf o rn o n n e g a t i v es u b m a r t i n g a l e so rm e e t t h ev a r i a t i o na n dc o v a r i a t i o n p r o c e s s f i n a l l yu s i n g m a r t i n g a l ec o n v e r g e n c et h e o r e m c o m b i n e d 、 r i t i lc o m p o s i t em a p p i n ga n dc o n t i n u o u sm a p p i n gt h e o r e mo b t a i n sw ew a n t ，a n d t h er e s u l ts h o w st h ef e a s i b i l i t ya n dv a l i d i t yo ft h em a r t i n g a l em e t h o df o rq u e m n gn e t w o r k k e yw o r d s ：m a r t i n g a l em e t h o d ；n e t w o r kq u e u em o d e l ；n e t w o r km o d e lw i t l l s e r v i c e i n t e r r u p t i o n ；n e t w o r k o fi n p u tp r o c e s s ；p o t e n t i a lb u f f e r - c o n t e n tp r o c e s s ；m a r t i n g a l e c o n v e r g e n c et h e o r e m ；d o o b - m e y e rd e c o m p o s i t i o nt h e o r e mf o rm a r t i n g a l e s ；h e a v yt r a f f i c l i m i l t 1 1 1 目录 1 绪论”1 1 1 本文研究的背景及意义l 1 2 网络队列与鞅方法的研究进展1 1 3 本文主要内容3 2 预备知识5 2 1 度量空间定义5 2 2 连续映射定理6 2 3 多维反射映射7 2 3 1 引例8 2 3 2 定义和特性9 2 4m 的连续结果1 1 2 5 本章小结1 2 3 鞅方法1 3 3 1 鞅基础1 3 3 2 鞅性质1 5 3 3 平方变差及共变过程1 5 3 4 计数过程1 7 3 5 鞅表示1 8 3 6 本章小结2 1 4 随机流体网络队列的鞅方法2 2 4 1 随机流体网络模型2 2 4 1 1 模型定义2 2 4 1 2 队列的平稳性2 3 4 1 3 高负荷极限2 4 4 2 具有服务干扰的网络模型2 7 4 2 1 模型定义及随机元素刻画2 7 4 2 2 高负荷极限3 3 4 3 本章小结4 0 5 总结与展望4 1 总结4 1 展望1 000qo00iill00 i 4 2 参考文献4 3 致谢”“”4 7 长安大学硕士学位论文 1 1 本文研究的背景及意义 第一章绪论 日常生活中人们常常遇到各种各样的排队系统，如上下班排队等待公共汽车，汽车 和乘客就构成一个排队服务系统，到超市买东西，收银员和顾客就构成一个排队服务系 统，还有很多的场合，排队系统的构成没有哪么明显，其队列是隐形的，例如：很多的 旅客想打电话到火车站订购车票，当其中一个顾客正在通话时，其他的不得不在自己的 电话机前等待，虽然车站订票处和这些旅客可能分散在各个城市各个地区，但是他们却 构成一个隐形的队列，也是一个排队系统。而在这些排队系统中，要求服务的“顾客 可以是人，也可以是某种物品。如在码头等待装卸的船只，船只就是“顾客”等待服务， 还有急需降落的飞机因跑道不空在空中盘旋等待降落，通过水库的调度来控制水的泄放 等等。 在上述的各种排队系统中，顾客到来的时刻和进行服务的时间都随着不同的时机与 条件而变化，因此排队系统的状况也是随机而改变的，随着各种时机和条件而改变的， 其具有一定的复杂性，这也就激发了人们对其各种类型队列的研究。 我们明白如果服务的机构过小，那么相应的队列就会比较长，不能满足顾客的需要， 同时服务质量会降低，因此对顾客而言，服务机构越大，队列就会短，能节省时间，他 们就会越方便，但是，服务机构大了，人力物力的开支就会相应的增多，有时就会造成 不必要的浪费，因此就产生顾客需要和经济之间的协调问题。 如何正确的了解队列的形态，以便最终能合理的设计与控制服务系统，使得其既能 满足顾客的需要，又可以使的花费最为经济，而在实际生活中，遇到的队列还有更复杂 的网络队列，为了能够很好的掌握其性态我们就对网络队列从各个角度去研究。又因为 从六十年代后期及七十年代起，近代鞅论与随机分析理论蓬勃兴起，很快这一理论就被 应用于研究随机过程理论，如何进步一发展鞅理论并将其应用于网络队列来解决队列问 题，成为研究网络队列迫切的需求，也成为鞅理论研究与应用的一个当务之急。 1 2 网络队列与鞅方法的研究进展 网络队列是一个比较复杂的服务系统，由于它广泛的应用到计算网络，通讯网络和 交通网络，近二十年来，人们对其进行了大量的研究，但由于网络的复杂性，其数量指 标往往很难求出明显的表达式，故获的精确解结果很少，所以人们从不同的角度对不同 第一章绪论 的网络队列模型进行分析研究。例如：关于网络队列，c h e n 和z h a n g 1 ，p e t e r s o n 2 r e i m a n 3 给出了有关高负荷极限定理。关于带反馈的网络队列，r e i m a n 4 ，d a i 和 k u r t z 5 给出了高负荷极限定理。j g d a i 和w d a i 6 在有限缓冲的条件下给出 了开队列网络的高负荷极限定理。在一定条件w i i ij a m s 7 ，8 给出了多队列网络高负荷 极限定理存在的充分条件，z h a n g h 9 对一类闭网络进行了研究，t h e nh 和h z h a n g 1 0 在优先原则下对一类网络模型作了研究，p e r t e r s o n w p 和w e i n l m 1 1 对交通网络进行了研究。m m , m 模型的极限定理最早的被i g l e h a r t 1 2 证明，随后见 b o r o v k o v 1 3 ，w h i t t 1 4 ，m a n d e l b a u m ，m a s s e y 和r e i m a n 1 5 ，g l y n n 和w h i t t 1 6 以 及k r i c h a g i n a 和p u h a l s k ii 1 7 是对其的延伸和扩展。 特别是i g l e h a r t 应用s t o n e s 定理 1 8 ，其表明具有有限维的均值和方差的生灭过 程在附加一些规则的条件后为收敛的；见g a r n e t t e t a l 1 9 ，w h i t t 2 0 对这一方法的应 用。同时对具有对马尔可夫到达的多服务台网络高负荷极限也做了证明主要方法为逼近 理论。见a r m o n y 2 1 ，a r o m o n ye ta 1 2 2 ，2 3 ，a t a r 2 4 ，t e z c a n 2 5 ，2 6 ，2 7 ，g u r v i c h 和w h i t t 2 8 2 9 3 0 ，h a r r i s o n 和z e e v i 3 1 ，t e z c a n 3 2 ，这些复杂的随机过程对电话中 心具有很重要的应用，见g a n s e ta l 3 3 鞅的概念首先由法国概率学家l s v y 在1 9 3 9 年引进 3 4 ，后来由美国概率学家d o o b 发 展 3 5 ，提出了上鞅和下鞅的概念，并对它们进行了系统的研究，用以解决许多概率论 与古典分析的问题，d l b u r k h o l d e r 和p m e y e r 等在此基础上，又进一步深入做了一系 列的工作，从而形成了近代鞅论，现在鞅论不仅作为概率论的一个重要的分支迅猛发展 起来，而且渗透到其他数学分支，如调和分析，b a n a c h 空间和几何学，以及随机分析中 去，互相结合，产生一些新兴的研究分支，目前，鞅论的方法已经深入到许多的领域中 去，形成一个强有力的研究工具。 从六十年代后期及七十年代起，近代鞅论与随机分析理论蓬勃兴起很快这一理论就 被用于研究随机点过程理论，显示出独特的优越性有意思的是作出这一开创性工作的 是一批应用概率学家，纯理论工作者是稍后才将跳跃过程或标值点过程的鞅方法发展完 善的，这一现象正是反映了点过程在应用概率中绝对重要的地位我国著名概率统计专 家王梓坤院士 3 6 、严加安院士 3 7 、王寿仁教授 3 8 等对鞅论的发展与应用也做出了 重要贡献。他们在鞅收敛、鞅分解、鞅不等式、可积变差鞅、鞅的随机积分、可料过程 的局部鞅、指数鞅的致可积性、b 值鞅等方面进行了一系列工作，获得了一系列有价 值的成果 3 9 4 0 。很自然地，鞅方法也就在排队论、随机控制、生存分析等一系列领 2 长安大学硕士学位论文 域中发挥出重要作用对鞅方法在排队论中的应用最朴素的理解是在各种排队系统中找 出鞅这一种特殊类型的随机过程，然后利用鞅的良好性质进行深人的讨论我们将介绍 的是近代鞅论及随机分析理论中一些重要的结论与方法在排队论的一些典型问题中的 应用，主要包括马尔可夫过程，特别是p o i s s o n 过程的鞅刻画，局部平方可积鞅的强大 数定律，鞅表示定理，非线性滤渡和点过程的弱收敛定理等( 参阅 4 1 的应用) 当今，鞅理论发展与方法并将其渗透到数学及其它学科并与其结合形成新的分支、 新的应用方向已成为鞅论发展的新趋势、新动向。尤其在网络队列发展与应用的今天， 如何进一步发展鞅的理论并应用于网络队列中，从而解决更加广泛的队列问题，已成为 研究网络队列的迫切需要，也成为鞅理论研究与应用的一个当务之急。 目前p u h a l s k i i 和r e i m a n 4 2 应用鞅理论在q e d 体制下建立g i p h n 模型的高负 荷极限，w h i t t 4 3 应用相同的鞅理论建_ _ 立_ g i m i n m 。+ m 模型的高负荷极限，其到达 为一般的平稳到达。本文是在对马尔可夫多服务台队列高负荷极限的鞅方法的基础 4 4 上，将鞅的理论与方法引入到本文主要研究的是随机流体网络的，以及具有服务干扰的 随机流体网络中求高负荷极限。我们所研究模型为k 个服务台的服务队列，每一个服务 台都有无限等待空间及服从先到先服务的原则，顾客到达每个队列接受服务，然后转移 到其它队列或是离开服务台，而服务台在对队列服务时有一定的服务干扰，这些干扰是 发生在外部的，当服务受到干扰，则服务停止，干扰结束服务继续一直延伸到下一次干 扰开始，同时当干扰开始时顾客的服务时间是一样的。 1 3 本文主要内容 本文主要是利用鞅方法来证明我们所研究的网络队列模型的高负荷状态下的极限 过程，主要是网输入过程极限的研究，基于文献 4 4 的基本思想，本文给出了在度量空 间的定义，d 空间上的度量及范数的定义，进而给出一些基本的方法，如连续映射，多 维的反射映射，m 拓扑的一些基本的性质其为后面的描述奠定了理论基础。在以前我 们做的大量排队模型或是网络队列模型的极限过程，一般都是运用概率测度收敛，泛函 中心极限定理，泛函弱大数定理给出的，本文我们在第二章给出预备知识，构建鞅，主 要是运用下鞅的分解定理，构建其中所需的补集过程，最后利用鞅的收敛定理得出极限 过程。这给我们研究网络队列的极限过程提供了一种新的思路方法。本文共分为六章， 具体安排如下： 第一章绪论部分，介绍本文的研究背景、意义以及网络队列和鞅方法的在国内外的 第一章绪论 研究发展。 第二章介绍了一些预备知识，如为定义随机过程引出的度量空间，d 空间的定义 以及空间的范数，同时对连续映射定理由简单形式扩展到最一般的形式，在一维反射映 射的基础上给出多维反射映射的定义，并给出才m 上的一些基本性质。 第三章给出了基本的鞅的基本理论，明确要利用鞅首先必须确定其所在的滤波， 介绍鞅的定义、性质，主要包括停时定理、非负下鞅的d o o b m e y e r 分解定理、鞅收敛 定理。同时表明利用鞅方法的关键在与平方变差及共变过程，最后将鞅与计数过程和排 队模型相衔接，用粗略不等式和一个条件来表明鞅刻画的合理性。 第四章主要介绍了两个网络队列模型，随机流体网络模型和具有服务干扰的流体网 络模型，引入了一些随机元素对这两个模型进行定义，通过对这两个模型特征的了解， 在一些规则条件下得出高负荷极限，然后将鞅方法与两类网络队列相结合，利用鞅的定 义明确网络队列中潜在延迟过程实质上为一个鞅进而通过对鞅的分解定理的填充来证 明网络队列的高负荷极限定理，主要是对网输入过程中引入的量考：，7 ：的一系列构造使 其满足鞅刻画和高负荷条件，最后再利用鞅的收敛定理结合复合映射、连续映射定理得 出整个式子为收敛的极限存在，最终完成定理的证明。 第五章总结与展望。对本文工作进行总结，并对有待一步研究的工作进行了展望。 4 长安大学硕士学位论文 2 1 度量空间定义 第二章预备知识 为精确的定义随机过程极限，如一序列随机过程的收敛，我们使用度量这一概念， 我们定义一个随机过程度量空间用两个步骤： 第一，在一般的度量空间上定义一个概率可测空间的度量。 第二，定义包括随机过程的样本途径的度量空间。 一个度量是满足一些公理的距离函数在空间s 集的度量m 是一个非负的实值函数， 如m ( x ，y ) = 0 当且仅当x = y ，满足 对称性 m ( x ，y ) = m ( y ，x )对所有的x ，y s 三角不等式 m ( x ，z ) m ( x ，y ) + m ( y ，z )对所有的x ，y ，z s 集合s 中的一个序列，是映射到s 的函数映射，s 的一个序列 x 。：刀1 ) 为度量空间 序列，对所有的s 0 ，存在一个正数使得m ( x 。，x ) 0 ，存在y s o ，使得m ( x ，y ) o 并且( 一x ) tv0 d ；，使得在( 2 1 0 ) 中y 为下确界，因此y ( x ) 研k 必须要求y 为 非负的非减的。d ：中的元素也是非减的，具有上半连续的右连续，因此我们可以应用 引理2 3 2 来得到y d ；。 现在我们要证明x + ( ，一q ) y 0 ，对任意的s ，f 及t ，通过下确界的定义，存在 w o ) y ( f ) + s 和w 7 0 ) y 7 0 ) 对所有的j f 而言，因此 七 七 x ( f ) + y o ) 一g 。，y ( ，) x 。p ) + w ) 一g 。，w 砸) 一g 。 j = lj = l 因为，i 及t 为任意的则有 x + ( ，一q ) y x + ( j q ) w 0 1 0 长安大学硕士学位论文 因此( 2 - 1 6 ) 式成立并且证明完成。 2 4m ，的连续结果 在这一节给出一些m 。的连续有效结果，进而对其进行扩展说明其结果的应用性。 首先明确在d 三d 。兰d ( 0 ，丁】，r ) 空间具有m 。拓扑的反射映射的连续性和利普希 茨性质，我们第一个结论为建立反射映射r ：( d ，s m ) 专( d ，l 。) 的连续性，其中。为在d 空间上由范数厶确定的拓扑： i lx l i 厶暑fi | x ( t ) i id t ( 2 1 7 ) 在更进一步的限制下，我们有( d ，w m 。) 一( d ，w m 。) 的映射为连续的。 回忆d 。为d 的子集函数，没有相反符号的同步跳跃的坐标函数，如：对所有的 t ( 0 ，t ) ，x q ，无论是x ( t ) - x ( t - ) o 或是x ( f ) - x ( t - ) 0 其取决于，q 为以拓扑d 的一个闭子集，并且可测集d 具有s m 。拓扑或是w m 。拓扑。 定理2 4 1 ( s m ，拓扑的连续性) 假设在( d ，s m l ) 上，x 。专x ， ( a ) 有 r ( x 。) ( f 。) 一尺( x ) ( f ) 在尺2 七 ( 2 1 8 ) 对每一个t d i s c ( x ) 及具有乙专f 的序列 乙：刀1 ) ， s u p0r ( 矗) l i r ( x )在( j d ，三1 ) ， ( 2 2 0 ) 并且 妒( 矗) _ 9 ( x )在( d ，w m l ) 。 ( 2 2 1 ) ( b ) 如果加上x d 。，则有 驴( x 。) 争妒( x ) 在( d ，w m l ) ， ( 2 2 2 ) 因此： r ( x 。) _ r ( x ) 在( d ，w m l ) 。 ( 2 2 3 ) 在( b ) 的附加条件下，收敛模型的域其实是可以减弱的，然而对于没有x d 。的 ( d ，w m l ) 空间中只有x 。寸x 。 定理2 4 2 ( s m , 拓扑的连续性) 如果在( d ，w m 。) 上，斗x ，并且x 见，则 ( 2 2 3 ) 成立。 推论2 4 1 ( 常见的应用) 如果在( d ，f 附。) 上，x 。- - - x ，并且x q ，则在( d ，w m 。) 有r ( x 。) _ r ( x ) 。 第二章预备知识 在一般的子集上得到更强的l i p s c h i t z 性质，使得n 为d 的一个非负跳跃子集，如： 对所有的f 和t ，有x ( f ) 一x 。( f 一) 0 ，上面的破和d + 为( d ，以) 上的一个闭集，并且为 ( d ，s m l ) 上的可测集。 定理2 4 3 ( l i p s c h i t z 条件) 存在一个常数k ，对所有的x 1x 2 d + 有 以( r ( x 1 ) ，r ( x 2 ) ) k d ，( x l ，x 2 ) ( 2 2 4 ) 对所有的x l ，x 2 皿有 d p ( r ( x 1 ) ，r ( x 2 ) ) d ，( r ( x t ) ，r ( x 2 ) ) k d ，( x i ，x 2 ) k d ，( x l ，x 2 ) ( 2 2 5 ) 当极限在n 空间时，我们可以定义比定理2 4 1 更好的连续。如下： 定理2 4 4 ( 极限在口强连续性) 如果在 矗- 9 , x在( d ，s m l ) ， ( 2 2 6 ) 其中x d l ，贝i j 有 r ( x 。) 寸r ( x )在( d ，s m l ) 。 ( 2 2 7 ) 最终的结果表明，反射映射如何在m 。拓扑上作为一个矩阵q 以及x 的反射。 定理2 4 5 ( 函数( q ，x ) 的连续) 假设q q 在h 中， ( a ) 如果在( d kw m l ) ，x 。专x ，以及x 皿，则 r q - ( x 。) 寸r q ( x ) 在( d 2 kw m l ) ， ( 2 2 8 ) ( b ) 如果在( d k ，s m l ) ，x 。- - x ，以及x 皿，则 r o ( x 。) 专( x ) 在( d 拍，s m l ) 。 ( 2 2 9 ) 2 5 本章小结 本章介绍了度量空间，首先定义概率可测空间的度量，包括随机过程样本途径的度 量空间，指出我们一般研究的空间为d 空间，并给出度量单位。其二给出我们后面文章 中所要用到的基本方法连续映射定理并推广出一般的连续映射形式，同时结合一个特殊 的网络队列给出多维反射映射的定义及其的一些特征，最后表明m 连续的有效结果， 这些内容都是一般的理论，但是为进一步的研究网络队列奠定了必要的基础，我们是在 这些方法的基础上去研究网络队列的。 1 2 长安大学硕士学位论文 第三章鞅方法 在本小节中，我们提出一些初步材料与连续时间鞅。有大量的文献提供背景，包括： b r e m a u d 5 1 ，e t h i e r 和k u r t z 5 2 ，l i p t s e r 和s h i r y a y e v 5 3 ，j a c o d 和 s h i r y a y e v 4 5 ，r o g e r s 和w i l l i a m s 5 4 ，5 5 ，k a r a t z a s 和s h r e v e 5 6 和k a l l e n b e r g 5 7 。由b r e m a u d 5 1 著的最早的书依然是有用的，因为它基于随机点过程和排队模 型的焦点。最近更多的k u r t z 讲义 5 8 和v a a r t 5 9 是非常有益的。 我们将考虑与计数过程相关的鞅进程，主要依靠有限变差过程的基本理论如 i v 3 和w i l l i a m s 5 5 。对于随机过程极限在鞅的限定下，主要依靠定理7 1 p 3 3 9e t h i e r 和k u r t z 5 2 。l i p t s e r 和s h i r y a y e v 5 3 注重基本鞅理论，而j a c o d 和s h i r y a y e v 5 4 基于随机过程极限。 3 1 鞅基础 我们将引进一些规则条件，假设所有随机过程x 置 x ( t ) ：f 0 ) 在可测映射下，其 为从基本概率空间到函数空间的可测映射：( q ，f ，p ) 专d 兰d ( 【0 ，) ，贝) ，d 具有标准的 以拓扑和相关的b o r e l 仃一域( 开子集所产生的) 函数空间，这正好与由坐标投影图生成 的仃一域一致，见3 3 和1 1 5 4 9 。 由于我们用鞅来工作，过滤将体现重要的作用( 自然仃域