（应用数学专业论文）曲面交互设计的偏微分方程反演方法.pdf

摘要 微分方袒( p l ) e j 进行曲面造型是种新兴的，很有潜力的种曲面造型 文讦细i 剁述了用偏微分方程进行曲向造型的基水原珊比较了偏j 毒5 1 分 造掣方法与传统的曲面迸型方法的优缺点，并讨论了该方法_ j ：过渡曲 面、自_ l j f # 1 回和n 边城曲面设训中的应用，给：b 丁求解i t f 4 题( 般为椭圆型偏 做分山程j 的有限元法和径向基方法，并给出了一些采用p d e 方法进行晡而造 型的数值侧r ， 然而，川偏微分方柙进干j 曲由造型时需要调节方程中的系数、边乒条什和 2 珲的右端项以满足用户的设引要求，要求一般的用户直接调节这些参数是比 较困难的，必须提供给用户 种直观的容易操作的交互方法来满足曲面形状的 址汁要求。奉文采用了一种基于偏微分方程反演方法自动决定方程系数、边界 条7 牛的方法，并将其推广到对方 l 右端项的反演，并用拟牛顿方法求解该反问 题。 文中给出的_ ：成的n 边域曲面的方法冈避免了奇性，所以取得了较好的结 果；同时对生成v 边域f l i 而乃程的系数和右端琐的反演为说明了反演方法的有 效性。 关键宁： 曲面造型，偏微分方程，过渡白面，自由曲面，边域曲面，反问题 i i j a b s t r a c t s u r f a c e m o d e l i n gb yp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( p d e s ) i s f ln e 、, va n d p o t e n t i a lm e t h o d i nt h i sp a p e r ，w ew i l ld e s c r i b el h ep r i n c i p l ef o rt h i sm e t h o da t l e n g t h w ew i l lc o m p a r ep d em e t h o dw i t hc o n v e n t i o n a lm e t h o d sf o rs u r d c e m o d e l i n gi na d v a n t a g ea n dd i s a d v a n t a g e t h e n ，w e 1 1g i v et h ca p p l i c a t i o n so ft h e m e t h o di nb l e n ds u r f a c ea n df r e e - f o r ms u r f a c ea n dn - s i d e dp a t c h e sw es o l v et h e p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( n o r m a l l yi sae l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) i n f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) a n dr a d i 0 1b a s i sf u n c t i o n ( e m f ) an u m b e ro fn u m e r i c a l e x a m p l e sf o rs u r f a c em o d e l i n gi sp r o v i d e di np d e m e t h o d - o w e v e rw h e ng e n e r a t i n gs u r f a c e sw i t hp d em e t h o d 、p r o p e rc o e f f i c i e n t sa n d b o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dt h et e r m so nt h er i g h t o ft h ep a r l i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m u s tb ea d j u s t e dt oa c h i e v et h e r e q u e s t f o rs u r f a c eb e c a u s e a d j u s t i n gt h e s e p a r a m c l e r si s d i f f i c u l tf o rc o m m o t lu s er s ，ai n t u i t i o n i s t i ca n de a s yf o ro p e r a t i n ga n d i n t e r a c t i v em e t h o di sh o p e di nt h i sp a p e r , t h em e t h o do fd e t e r m i n i n ga u t o m a t i c a l l y c o e f f i c i e n t sa n db o u n d a r y c o n d i t i o n s ，b a s e do nt h ei n v e r s i o nm e t h o do fp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i su s e dt h i sm e t h o di sg e n e r a l i z e dt od e t e r m i n i n ga u t o m a t i c a l l y t h er i g h th a n ds i d eq u a s i n e v , l o nm e t h o di sp r o v i d e df o rs o l v i n gt h ei n v e r s ep r o b l e m i nt h i sp a p e r ，w ep r o v i d e dam e t h o df o rg e n e r a t i n gns i d c dp a t c h ，b e c a u s et h e m e t h o da v o i ds i n g u l a r i t ) ；g o o dr e s u l tc a nb ea t t a i n e d k e y w n r d s ：s u r f a c em o d e l i n g p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，b l e n ds u r f a c e s f l e e f o r m s u r f a c e s ，n s i d e ds u r f a c e s ，i n v e r s ep r o b l e m 1 引言 在c a g d 领域中有许多传统的曲线、曲面的构造方法，如c o o n s 曲面，b e z i e r 曲线、曲面以及b 样条曲线、曲面。由于c o o n s 曲面在进行造型时的缺点及局 限性使得该方法已不再实用；而另外两种法仍旧被广泛使用，特别是非均匀有 理b 样条方法m u r b s 方法) ，作为b 样条方法的一个分支已成为许多c a d 系 统的核心算法。n u r b s 方法的成功在于它不仅继承了b 样条方法在外形设计 和修改方面的优点，同时表示了三次曲线、曲面，所有这些都表明了n u r b s 方法在曲面造型和控制方面的优势和其发展潜力。然而随着c a d 技术的发展 和h 益普及，人们对几何造型方法也提出了越来越高的要求，以上介绍的传统 的几何造型方法己升i 能满足人们的需要( 特别是在准确性和曲面控制的方便性方 向1 ，因而寻求一种更加有效的曲面造型方法成了亟待解决的问题。一十世纪八 卜年代未，英国l e e d s 大学的b l o o r 和w i l s o n 等人【1 4 ，1 4 ，3 0 】首先研究了 用偏微分方程( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，简称p d e ) 进行曲面造型的方法， 由此将p d e 曲面造型方法引入了c a g d 领域。b l o o r 和w i l s o n 在“g e n e r a t i n g b l e n ds u r f a c eu s i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ”( 参考文献【1 】) 一文中首先将 p d e 曲面造型方法引入了c a g d 领域，在该文献中b l o o r 和w i l s o n 详细讨论了 用调和方程、拟重调和方程以及用两类方程混合生成过渡曲面的方法。随后他 们在“u s i n gp a r t i a ld i f i e r e n t i a le q u a t i o nt og e n e r a t ef r e e - f o r ms u r f a c e s ”( 参考文 献【2 】) 中讨论了生成自由曲面的p d e 方法，给出了解周期边界条件的解析解 方法，并将p d e 方法应用到船体、螺旋桨叶片以及电话机手柄等复杂曲面的设 计。“g e n e r a t i n gn s i d e dp a t c h e sw i t hp a r t i a ld i f i e r e n t i a le q u a t i o n ”( 参考文献 【1 4 1 ) “文讨论了生成n 边域曲面的p d e 方法，他们用四边域上的偏微分力 程曲面来表示所要构造的n 边域曲面，并分析了采用该方法构造n 边域曲面呵 能产生的两类奇点。采用上述方法的关键在于如何将给定的n 条边组合成参数 域上对应的四条边及对奇点的处理。 国内朱心雄等【5 9 】，吴海龙、谭永基【1 0 】也成功地将p d e 复杂曲面造 型方法应用于各个领域。朱心雄在“自由曲线益面造型”( 参考文献【5 】) 一书 中详细总结了偏微分方程曲面造型方法，特别地在该书中他还给出了一种构造 n 边域曲面的方法，该方法将n 边域曲面看作一个“空洞”，借定义+ 个单位 侧到该空涮的映射以达到补洞的目的，并给出了求解圆形域上重调和方程的谱 逼近方法，将其应用丁二n 边域曲面的设计中。吴海龙、谭永基【1 0 l 、f e n g c h o n g l a n 【1 6 】详细比较了用p d e 方法进行曲面造型和用传统方法进行曲面造型的 优缺点。 台湾的z i c a il i 等人【1 1 1 3 】对p d e 曲面造型生成过渡曲面也进行了深 入的研究，给出了p d e 曲面造型中处理周期边界条件的边界惩罚有限元法，并 详细讨论该方法的误差估计、收敛性及稳定性。在文献“b o u n d a r yp e n a l t yf i n i t e e l e m e n tm e t h o d sf o rb l e n d i n gs u r f a c e s ，i i is u p e r c o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t ya n d e x a m p l e s ”( 参考文献【13 】) 中他还给出了一些数值例子说明了该方法的有效 性。需要特别指h 的是他不仅考虑方程的边界条件、形状参数，而且他还特别 地考虑了方程右端项对生成曲面的影响，他还从物理意义及数值例子两个方面 说明了这1 点。 然而所有已有的方法都是从偏微分方程f 问题的角度出发的。当人们用偏 微分方程进行曲丽造型时，人们首先必须选择适当的偏微分方程的系数和边界 条件( 调节曲面的形状) ，然后用差分法、有限元等数值方法求解偏微分方程生 成曲面；但是系数和边界条件的选取并不是个简单的过程，这对一般用户提 出了较高的要求，所以我们希望提供给用户一种直观的容易操作的交互方法来 满足用户的设计要求。在簏海军文献“偏微分方程曲面造型方法及其中的反问 题”( 【参考文献2 9 】) 中提出了一种基于偏微分方程反演方法( 求解偏微分方程 反问题) 自动决定偏微分方程系数、边界条件的新方法，用户可设定或用鼠标点 击希望曲面经过的点( 我们称其为控制点) ，然后系统会根据用户所给定的控制 点用求解偏微分方程反问题的方法反演方程的系数、边界条件，使所得的曲面 尽鼠接近用户的设计要求。然而文献【2 9 】只解决了j 下问题中具有周期边界条 件的方程的形状参数和边界条件的反演，对于n 边域的问题也没有涉及，而且 他在解【f 问题时采用的是非协调的矩形7 i ，而我们知道矩形元在处理一般的4 i 规则区域时有它自身的的缺点，基于以上的几点原因我们将重点考虑采用p d e 方法进行n 边域曲面的设计问题，并对该问题中偏微分方程的形状参数、方程 右端项进行反演，而且在解正问题时我们将采用适用范围较广泛的三角形无。 本文的组织结构如下。在第二章中我们将给出采用p d e 方法进行曲面造型 的基本原理，然后比较了p d e 方法与传统的曲面造型方法的优缺点：在第三章 中我们将讨论偏微分方程的求解，首先简单介绍了偏微分方程的解析解方法， 然后重点考虑了数值解方法，给出了拟重调和方程的变分原理并给出了求解该 问题的有限元法；第四章讨论了用偏微分方程方法构造过渡曲面、自由曲面以 及边域曲面的问题：反演方法将在第五章中提出，在第五章中还将给出反问 题的数学模型；第六章讨论了反问题的求解，首先给出了求解反问题的拟牛顿 方法，然后讨论了逼近点的选择，最后给出了目标函数梯度的计算方法；数值 例子将在第七章中给出以说明我们给出的求解反问题的拟牛顿方法的有效性。 2 p d e 曲面造型方法的基本原理 2 1 基本原理 扫! i 维欧几罩德空间中， 一般我们取曲面的参数方程如r a 7 ( “，。) ：( x ( “，v ) ，y ( 玑v ) ，z ( u ，v ) ) ，x ( u ，v ) 表示曲面上的点，参数( “，v ) 可看作参 数化半断i ) 域q 中点，x 呵视为由q 到_ | 维空恻r 1 的映射x ：q _ r 3 。当“，v 为常数时，曲线就定义了曲面的坐标系。 般来说，用偏微分方程曲面造型方法生成曲面是通过解参数平面( 玑v ) l 适当选取的偏微分方程来给出曲面的方程。假设所求曲面= x ( u ，v ) 满足偏微 分方程： 圯( _ ) = f ( u ，v ) ( 2 1 ) 其中e ，表不以“，v 为自变量的m 阶偏微分算子，f 表示以“，v 为自变量的 矢值两数。对于偏微分方程的选择并没有特殊的限制，但到目前为止，在进行 曲面造型时仅考虑椭圆型偏微分方程的边值问题。然而，到目前为止用偏微分 方程进行曲面设计时人们常采用如下形式的椭圆型偏微分方程： ( 妥“乌z m ：m ，v ) ( 2 国 a u v 其原斟呵归结为： 1 只要边界条件足够光滑，则构造出的p d e 曲面足光滑的。 2 该类型的方程有其相应的物理意义。 3 许多学者在研究散乱数据插值、图象处理、曲面光顺及自由曲面造型 时采用了陔类型方程的变分形式。 而方程的阶数的选择是根据对函数本身及其导数在边界上的条件的个数来 确定的，例如要求边界上满足函数及其一阶导数条件时，则选择四阶偏微分方 程，而要求满足两阶偏导条件时则要选择六阶偏微分方程。x 边界条件确定了 曲画片边界的形状，同时也确定了其参数化的过程，嚣的边界条件称为导 数边界条件) 确定曲面离，：边界曲线的方向和速度。 然而，到目前为止用偏微分方程进行曲面设计时，人们通常采用如卜形式 地拟重凋币f j 力程： ( 兰+ 42 罢) z 肛( ( 2 1 3 ) o u 。o v 。 其t ib l o o r 等人的文献【1 - - 4 ，1 4 】以及国内的一些文献【5 1 0 ，2 9 中 通常将右端项l ( u ，v ) 取为零，而仅仅通过调节形状参数口和边界条件来达到调 节生成曲面的形状的目的。然而，由于重调和方程有其实际的物理意义，它描 述了薄板的弯曲，方程的解表示了位移，因而我们可以利用f ( u ，v ) 商观地改变 薄板的弯曲程度，在我们所研究的问题中f e l j ! j ! j 调节了生成曲面的形状。在z i c a i l i 等人的文献【1 1 一1 3 】研究了右端项f ( u ，v ) 非零的情形，并给出了。些数值 例子说明了调节右端项f ( u ，v ) 对所产生的曲面形状的影响。 而本文综合考虑了所有的影响曲面形状的因素如下： 1 偏微分方程的边界条件 2 偏微分方程的右端项 3 形状参数冈子 并对偏微方程的右端项和形状参数因子进行了反演，以达到交互设计曲面 的目的。 2 2p d e 曲面造型方法与传统方法的比较 与c a g d 中所采用的b e z i e r 方法和b 样条方法相比，p d e 曲面造型方法 有它的优点但同时也有不足之处。下面我们将给出其比较并对这三种方法的进 行分析。 b e z i e r 方法是到日日d 为止应用最为广泛的，基于他的造型技术已经发展的 常完善。b e z i e r 曲线和曲面有非常好的集合性质：如端点性质、对称性、几 何不变性、凸包性质以及变差递减和可分离性，因而其容易实现图形变换并具 有良好的交互性。然而b e z i e r 是通过单参数多项式表示的，因而其很难表示复 杂曲面。这样在设计较复杂的曲面时，须将其进行分块处理，然后再拚接各曲 面块，但在曲面块的增加的同时计算量也将相应增加。另外对于b e z i e r 曲线和 曲匝】 个控制点的修改将对曲线和曲面的整体性质产生极人的影响，h | j 局部的 修改和整体的重构是同步的。 b 样条方法继承了b e z i e r 方法的优点同时他具有一些其他的良好性质。通 常我们采用：二次b 样条曲线和双i 次b 样条曲面。b 样条方法最重要的性质是 它的局部性质，单个控制点的修改仅仪会影响到与控制点相邻的部分，即b 样 条力+ 法是+ 种局部控制函数，使对曲线曲面的局部修改更灵活更容易。非均匀 有理b 样条( n u r b s ) 是b 样条方法的一个重要的分支，它不仅保持了b 样条的 基本性质，而且给出了一种通过控制权系数来控制生成的曲线和曲面的方法。 f 咀n u r b s 方法也有其缺点，如大的计算量、需要大的存储空间，更加致命的 缺点是当权系数为零和负数时将导致计算的不稳定，因而导致曲线、曲面产乍 扭曲。 p d e 曲面造型方法与传统的方法的基本出发点不同。传统的方法是通过控 制内点来达到控制曲面的目的，而p d e 方法完全是通过控制控制曲面的边界而 达到控制曲面的 j 的。解偏微分方程已有许多方法，实现起来也相对容易。更 重要的是用偏微分方程生成的曲面是足够光滑的，用偏微分方程能生成复杂的 曲面。在生成复杂曲面时仅需要少量的分片，因而需要衔接的曲面片就相应的 减少了，这样衔接处理就更加容易，同时减少了数据的存储量，减少了计算量。 p d e 方法的一个不足之处就是，成的曲面的局部控制技术还不成熟。在给定边 界条件和形状参数后，如果我们想控制曲面内部则必须通过调节右端项厂来实 现，然而对厂的具体选择方法还没有好的方法。m i t 的c a d 实验室给出了该 方法的实现方法( 参见文献【1 6 】1 。 3 偏微分方程的求解 为了用p d e 厅法构造曲面，我们必须求解相应的偏微分方程。对_ 偏微分 方程的求解般来说有解析解方法和数值解方法。由丁本文所采用的是拟重调 和方程，所以f 面我们将重点介绍其解法。 3 1 解析解方法 解析解方法就是通过某种方法求得方程的解析表达式，最常用的解析解方 法是分离变董法干积分变换法。下面介绍p d e 曲面造型中用到的分离变量法。 发q = 0 “1 , 0 v 2 e r ) ，给定如下的拟重调和方程： ( 罢+ a2 罢) j m ，v ) ：0 ( 3 1 ) o u 。 o v ” 及如p 的边界条件 x ( 0 ，、) = g o ( v ) ，x ( 1 ，v ) = g ，( v ) x 。( o ，v ) = s o ( v ) ，。( 1 ，v ) = s ，( v ) ( 3 2 ) ix ( u ，0 ) = x ( u ，2 丌) 其中x ( u , v ) 为所求曲面函数，g o ( v ) 和g 。( v ) 为给定的边界曲线，s o ( v ) 和 s l ( v ) 为曲面在边界曲线出的跨界导矢，a 为形状参数。 通过分离变量法可求得如上的边值问题( 3 1 ) 和( 3 2 ) 的解为： x ( u ，v ) = a o ( “) + ( 爿。( u ) c o s n v + e ( u ) s i n n v ) ( 3 3 ) 其中： a o = 口o o + c o l “十。0 2 “2 + d 0 3 “3 4 ，= ( “川+ f i n 2u ) e x p ( a n u ) - b ( 口。3 + 臼“u ) e x p ( - a n u ) b 。= ( b 。1 + 6 。2 u ) e x p ( a n u ) + ( b 。3 + b n 4 u ) e x p ( a n , ) 具有如上形式的解称为周期解或闭带解，式中a o , a 。，玩的系数d 。，6 。由方 程边界条件确定。由解的形式我们能看出用p d e 方法生成的曲面是由曲面参数 的超越函数表示的，因而所得曲面是光滑的，并依赖于参数的选择。 然而解析解方法只适应于比较特殊的方程，对于般的方程往往不能求得 其解析解，而只能采用求方程数值解的方法。f 面我们将介绍两种求解求解偏 微分方程数值解的方法1 有限元方法；2 径向基方法。 3 2 数值解方法 偏微分方程边值问题有许多数值解方法，如差分法、有限元法、边界元法 以及新近出现的螳数值方法，如径向基方法。本文采用有限无数值方法。 3 2 1 有限元法 ( 1 ) 变分原理 考虑如下的重调和方程齐次边值问题( 34 ) 、( 35 ) 、( 3 6 ) ( 等舞一班似) i nq “= 0 o na q o u ：0o n 讹 a n 设v o = v h2 fv 【m = o ，_ t j v 【a n = o ，作如下泛函： t i n t ，( v ) = 了1m v ) 2 出砂一肛出砂 边值问题( 34 卜一( 3 6 ) 的弱解为“，使得： r 3 4 1 ( 3 5 ) f 3 6 ) ( 3 7 1 j ( u ) = m m t ，( v ) 它等价于： 盯“w 出砂一加汰咖= o vw v o ( 3 8 ) q 因而求解偏微分方程的问题就叮转化为求解相应泛函的极小值问题，这样所 求问题最终就转化为求解方程( 38 ) 。 对于文中将用到的拟重调和方程的非齐次问题，边界条件为“：妒，_ o u ：妒， a n 义凶为形状参数a 通常取为常数，因而我们所求方程与如下的变分问题等价： j ( u ) = m i n ，( v ) ( 3 9 ) 姚m ，= ；孵崭2 出方一舻咖 y ： 。h2 】。1 矿，当l 。：妒 。 这样我们就将求解拟重调和方程的问题转化为求解上述变分问题( 3 9 ) 。这 q 题等价_ i f 求“v ， f ( 窘窘h 窘彻2 窘，出砂一妒硪匆= 。w 哦b ( 2 ) 有限元法 对如：的拟重凋和方程我们采用蔓角形元进行求解。首先，我们介绍些 有关i 角形元的基本知识。 我们将i x 域q 分割成有限个三角形网格，且使得不同的三角形无重叠的内 部，任一三角形的顶点不属于其他三角形的边的内部，这样我们就得到了区域 的角削分，每个三角形称为单元，其顶点称为结点。属于同一单元的顶点称 为棚邻顶点，有公共边的两单儿称为相邻单元。 设a ( i ，女) 是以i ，j ，k 为顶点的任意_ 角形单元( 如图3 1 ) ，面积为s 。约 定f ，k 按逆时针方向排列，j p 为三角形内一点。定义点p 面积坐标为 ( ，。) 。 k 图3 1 其中l ，= s ，s ，= s ，s ，l = s 。s ，因此，l ，l 0 ，且满足l ，十，+ 厶= 1 。 这样点p 与面积 坚标之问建立了一一对应关系。并有f 式成立： 去以 去， 去 我们采用h e r m i t e 型的完全二次多项式元( c l o u g h t o c h e r 元) ，这种元有十 个自由度( 如图3 2 ) ，图中“。对应于形心的函数值。 u 3 ( “- ，；。( u o ， 这样可得 p ( x ，- v ) = a 奴x ，y ) u 。+ 陋 j 二式中囱 u i ( u t j ，( u ，) u 2 l ，( u d 、2 图32 a j ”( x ，y ) = 2 7 l 1 l 2 l 1 口p ( x ，) = l ? + 3 l j ( l ，+ l ) 7 l ，l ，l 。 l ，。( x ，y ) = ( x ，一x ，) ( ，一，l ，l 。) 一( x 。一x ，) ( 上；上。一，l ，。) l y , 3 ( x ，y ) = ( ( y ，一，) ( l ；l ，一，l ，l 。) 一( y ，一y ，) ( l ；l 。一l ，。) 这单j ，k 的选取应使f ，j ，k 成逆时针方向。 现在我们给出一个在计算积分时将会用到的一个积分公式： 。眨，口彰匕出咖= 2 s 石羔， p ，g ，r 为任意非负整数。 选定所采用的元以及给定积分公式后，我们即可给出式( 3 1 0 ) 的离散表达式 如下式： k u = f ( 31 3 ) 式中k 称为刚度矩阵，f 称为荷载向量。 通过求解式( 3 1 3 ) 我们就可求得方程在离散点处的值。 o 3 2 2 径向基方浚、 所谓径向基眯l 数就是研究形如中( ”一x ，1 1 ) 的函数张成的函数空间及其性质， 以及如何利用这个函数空间来解决+ 般事物的函数描述问题。径向基函数是一 种比较简甲的多元函数，这个多元函数事实上是由+ 元函数生成的，或者就可 以将其看作事实上的一元函数。 径向基函数的研究首先从径向基踊数插值丌始的。关于这方面的f ：作也很 多，有广泛心用于矿藏分析的k r i g i n g 方法，h a r d y 的飞机外形设计的曲面拟合， d u c h o n 从样条弯曲能最小导出了薄板样条。以上这些都是径向基函数的插值方 法，l 、j + 归纳为：给定函数：r + + r ，对于数据 x ，厂， er “o r ，寻找如下形式 的函数： 似) - c 删x - x ，i i ) ，满足 = a 删爿t x 川) ( 3 1 4 ) 而将径向基函数引入求解偏微分方程是二十世纪九十年代初的事。在1 9 9 0 年，k a n s a 侄系列文献“m u t i q u a d r i c s as c a t t e r e dd a t aa p p r o x i m a t i o ns c h e m ew i t h a p p l i c a t i o nt oc o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c s ”的第二：篇( 参考文献【3 3 】) 巾将径向 基方法引入了数值求解偏微分方程。径向基方法应用于求偏微分方程出现的虽 然比较晚，但由于径向基函数的本质一元性以及径向基方法是一种真正的无网 格方法导致了用径向基方法求解偏微分方程时与维数的无关性，即一维和高维 l u 题存二处s 里n , t 并没有奉质t - 的不一j ，所以发展得很快。 人们经常用到的基函数有： g a u s s i a n s 函数：( r ) ：p - c - r 2 薄板样条：c o ( r ) = ，! “i n ，痧( r ) = r “ m u l t i q u a d r i c s 函数：( r ) = ( r ! + c ! ) 4 i n v e r s em u t t i q u a d r i c 函数：( r ) = ( r2 “2 ) 4 然而上面提剑的几种径向基函数有一重要的缺点就是由它们产生的矩阵 a 。= 妒( 【x ，一x ，i i ) 是稠密的，因而限制了它的应用范围。对阶数较大问题现在 常采用的是局部化的解决方法。径向基方法的另外一个缺点就是上面给出的基 函数中用户可调的常数c 的选取还没有好的固定的方法。 由于我们所解的系统的求解区域较小产生的矩阵阶数不是很大，所以我们 仍将采用前面介绍的全局径向基函数。 用径向基求解偏微分方程时我们常采用配置法，其原理为( 以二维问题为 例) ： 设有偏微分方程边值】、口j 题 l p “= ，i n q r 1 1 b “沁g ( 3 1 5 ) 其中p ，b 为微分算f 。在求解区域q 中配霄n 个节点一，x 。不妨设 一，位于区域q 内部，称为内部结点，。，x 。位于q 的边界上，称 为边界结点，其中x ，= ( x ，y ，) ，i = 1 , 2 ，| v 。 i 令“( x ) = 口，( x 一。y ，) ( 3 1 6 ) ，= i 将( 3 1 9 ) 代a ( 31 8 ) 得： ，p ，( ，一x ，) = f ( x ，) ，i = 1 “2 ( 3 17 ) z a ，日，( x ，一搿，) = g ( x ) ，i = + 1 ，( 3 18 ) ：1 由方程组( 3 17 ) 、( 318 ) q 解得n ，j = 1 , 2 ，n ，从而可得 n “= “，( z z ，) ，；1 如果对应r 每。个边界结点有两个或两个以上的边界条件，则在配置结点 时，对边界结点在区域外部增加相应数量的结点。对增加的结点列方程时取与 边界结点不同的边界条件，但方程中耿边界结点坐标。 例1 考虑单位f 方形区域上的重调和方程，已知方程有真解为x4 一v 一。 在单位f 方形上配置1 8 5 结点，用上面介绍的配置法，并对边界结点在区域外 部增加相应的结点，采用m u l t i q u a d r i c s 基函数，并取可选常数c 为1 ，得到的 曲面如图( 3 3 ) ，绝对误差曲面如图( 3 4 ) 。由绝对误差曲n i n ( 3 4 ) 我们可以看到采 用径向摹方法只需用较少的结点即叮得到非常接近于真实曲面的图形。 图33 图3 4 4 1 过渡曲面 4 用偏微分方程构造曲向 过渡向i 殳计扫。c a d c a m 中具有重要的地位，其h 的是在相父曲而之门j ! l 成光滑的过渡面。在数学l 过渡面的构造町以看作如下问题：给定边界为甜2 的有限k 域q ，求在该区域上满足给定边界条件的曲面。典型的边界条件以x 和它的一些导数0 i 触f ：的值的形式给。给出的导数的阶数决定了过渡面与原 曲而的连续阶。此外，对过渡而还可能有更进一步的限制如：光滑、不振荡 以及与原实体f i 捌交等。 l 白过渡血的蹬汁方法仃多种，如：t i l l e r 提出j f j 宵理b 样条表永曲面， w o o d w a r d 用b 样条及截面线技术表示自由曲向的形状，还有滚球过渡等方法。 p d e 儿 造掣山法的最初应用就是用来构造过渡而， - 般叮山椭圆偏微分 方+ 程的边值题得到。与其他方法梢比，p d e 方法比较简单，而儿牛成的曲面 光泔，如构造两个不桐交椭球之j 、日j 的。阶连续过渡面，事先只要确定两个椭球 | ：的过渡线和沿过渡线的跨界导矢，就。j 通过求解偏微分方程得到所需的过渡 | f | 。 例1 考虑山两个半圆到，3 外两个半圆之间的过渡面，设所求 1 面 z = z ( x ，) 满足如下二阶椭剧偏微分方程： ( l m - ：+ 嘉) 二( _ = ，( e y ) ：( o j ，) = ( 1 一( j ，一1 ) ! ) 二，0sj 一2 二( o j 。) = ( 1 4 一( j 一一5 2 ) 二) i 2 2s y s3 ( 4 】) z ( 3 y ) = ( 1 4 一( y 一1 2 ) 二) 13 0 j ，1 二( 3 ，j ，) = ( 1 一( y 一2 ) ! ) l ! 1 j ，蔓3 二( x 0 ) = 二( 工，3 ) = 0 0 x 3 对i ：l f f i f f q 叫题，当函数厂j 一) 给定时我们就兀 求得方程的解。前先我 j 考 虑 l 然状态即，( x y ) = 0 的情形，所得i t t l 面如图( 4 1 ) ，然后我们分别考虑了 ，7 ( ，) 等于f r 负1 叫的情形( 分别如图4 2 、4 3 所示) 。对该问题的讨论我们口r 4 以看到方程右端项对生成的曲面的影响。 图41 h e i q h l “ 图4 2 幽4 3 例2 考虑平面上一个圆与其上方一球面的零阶过渡，( x ，y ) 平面 二的圆以 原点为圆心，半侉为r ，球以( o ，0 ，：。) 为球心，半径为r ，耿球与平面 z = h ，( o h z 。) 的交线为过渡线。引进参数“，v ，将曲面参数化得 x ( u ，v ) = ( x ( u ，v ) ，y ( u ，v ) ，z ( u ，v ) ) ，求解区域为q = 0 “1 , 0 v 2 r e ) ，则所求 方程为： a !、a 二 ( 了+ “二_ ) x ( “，v ) = 0 d “一c v “ x ( o ，v ) = ( r2 一( 一z o ) 2 ) c o s ( v ) ，x 0 ，v ) = g c o s ( v )( 4 2 ) y ( 0 ，v ) = ( r2 一( h z o ) 2 ) ”2s i n ( v ) ，x 0 ，v ) = rs i n ( v ) z ( 0 ，v ) = h ，z 0 ，v ) = 0 苗+ 先考虑形状参数a = 1 ( 图4 4 ) 时的情形，然后义给出了a = 4 ( 图4 5 ) 时生 成的曲面，由图可看出对不同的形状参数a ，生成的曲面的形状的差别，这也 证实了我们前面给出的结论。 图44 图4 5 7 4 2 自由曲面 对f 1 山曲线平自由曲面人们一直采用参数多项式来表达，并取得了良好的 效果。然而作为曲面设计工具，应具有对曲面进行总体设计和局部修改的能力， 而传统的参数多项式表达式方式不能很好地满足这些要求。而p d e 方法在理论 卜具备“总体设计，局部修改”的能力：确定总体边界、跨界导矢以及方程的 右端项町确定曲面的总体形状；而确定待修改区域的边界、跨界导矢和方程右 端项的局部修改可对生成的曲向进行局部修改( 然而此时对右端项的具体选择方 法还没有很好的结论) 。需要特别指出的一点是：构造过渡曲面时，跨界导欠基 本上由已知的待过渡的两曲面在边界的导矢确定，因而其自由度有限；而构：自 山曲面的设计中，导矢的选取有很大的自由度，也可以i 兑设计的毛要过程就是 确定合适的导矢条件以使所得曲面满足设计要求。 例1 已知空间中的两个圆： 。+ + y 一2 r - ( 4 3 1 l z = h jx2 + y 2 = r 2 ( 4 4 ) l z = 0 以这两个圆为边界构造以光滑曲面。 边界的参数化方程为： x ( o ，v ) = r c o s ( v ) ， y ( o ，v ) = ，s i n ( v ) ， z ( o ，v ) = h x 0 ，v ) = r c o s ( v ) ， y ( 1 ，v ) = rs i n ( v ) ， z o ，v ) = 0 ( 4 - 5 ) 设导数边界条件为： x 。( o ，v ) = s c o s ( v ) ，y 。( o ，v ) = ss i n ( v ) ， z 。( o ，v ) = s x 。( 】，v ) = t c o s ( v ) ， 儿( 1 ，v ) = ts i n ( v ) ，z 。( 】，v ) = ( 4 - 6 ) 采用f j 面给出的拟重调和方程，对上述边值问题有如下的解析解： x ( u ，v ) = 【( c 十c2 u ) e x p ( a u ) + ( c3 + c 4 u ) e x p ( 一a u ) l c o s v y ( u ，v ) = 【( c l + c 2 u ) e x p ( f l u ) + ( c 3 + c 4 u ) e x p ( 一f l u ) s i n v ( 47 ) z ( “，v ) = h + s ，。一( 3 h + 2 s ，十+ s 。，) “2 + ( 2 h + s ，p + s 。) “3 其中：口、为形状参数，系数c ，c 2 , c ，c 。可由方程的关于x ( u ，v ) ，y ( u ，v ) 边 抖条什求f f f j 定。 显然，山给定的解x ( u ，i ) 的形式我们u ，看出曲面的形状由给定的边界条 ，l ： 柬决定，具体地，对上而的问题当给定了，尺s ，7 1 ，s 。，s 。，及h 时就唯一地确定 了t f i i ，而我们我们u r 通过调1 ，边界条件术改变化成的自由| 面水满足设 计要求。 4 3 n 边域曲面 任。丈恸ij 越用中经常会遇到n 边域曲面的牛成问题，要求曲面造型系统具备 ，l 成捅值j ：边界线及其跨界导矢的边域曲| f i | 的功能。 b l o o r 等人拒文献【1 4 】t t 一讨论了明偏微分方程构造边域曲面的方法， 他将所要构造的a 7 边域曲l 可的条边参数化刽参数半丽的川边域上，然后用解 p u 边域i ：的叫阶椭恻型偏微分力袱的乃+ 法术构造n 边域曲面。然而，作告提至0 川这样的疗法构造v 边域 i 向时会产牛两类奇点( 任奇点附近曲面会出j j ! l l 白交珧 缘) ，爿+ 对此做了分析。采用该方法的关键是如何将给定的v 边域的条边经 参数化后对应j ：参数域上的四边域以及对奇点的处理。 内尔心雄等【5 】人将v 边域i t t l 面f i 作。个“，高i h ”然后定义单f 一圆 剑咳卒删的映射以达到补洞的日的，该映射由圆形域上齐次审凋和方程的边值 问题定义，边界条件剧边曲面给定跨界导矢条件需通过曲面边界处的 i 矢 进千j = 计算。他们给出了求解该问题的谱逼近力 去，最后所得曲而由超越函数的 仃限和衷1 j 。 小之 1 l | j 考虑丁mw - 儿一卜卡，j ：系l j 构造边域 h i 【的问题，由j 任笛卜儿坐标 系r 乍成心的r - 值性所以所生成的曲嘶不会现义献【5 、1 4 】f t 提到的奇点。 找们考虑经典的过渡曲向造型的例j - - 。棱经磨阋的立办体表面，川、 ，而切它 的菜+ 拜j ，所得曲面如图4 6 所示，要找到一光滑的过渡f # 1 曲填补这缺u 。 我们以切割平【劬为参数化乎而( 即采用笛 儿坐柄；系) 则为卡勾造i i 血仅需解 个，j 札j i j l 为丰勾边咳曲我们采用自d 给出的山程( 2 3 ) ，边界条件为相应八条边任切 冉0 、r 面l 的方程，导矢边界可由图( 46 ) r b 的各个曲面的法欠末确定。力稚的求 解区域为参数化平面上的六边形区域，区域的形状及削分如图( 4 7 ) 所示，然 后我们川有限儿方法( 我们采_ l i ；j 了c l o u g h t o c h e r ) 【_ i 】+ 求得i ：述边值问题的解。 图4 6 图4 7 取形状参数d = 5 ，右端项厂( “，v ) = 0 ，生成的曲面如图( 4 8 ) 图4 8 取形状参数盘= 2 ，分别取右端项f ( u ，v ) 为1 和一l ，可生成曲面如图4 , 9 和4 1 0 。 图4 9图4 1 0 从上面的图例我们可以看到方程右端项对生成的曲面的影响，因而我们可 通过调节右端项以调节生成的| v 边域曲面。但是如何能给出一个合适的右端项 还是个有待讨论的问题。 4 4 小结 通过前面三节的讨论可得如f 结论： 1 用p d e 方法构造曲面简单易行； 2 所得曲面自然光滑： 3 可通过修改边界曲线、跨界导矢、形状参数及方程右端项调整生成曲 而 乜1 1 i 是i 以上的一些特点使得p d e 曲面造型方法有潜在的优势，然而上 面所讲的简单易行对普通的用户而言仍然提出了较高的要求，他们必须熟悉偏 微分方程的一些概念而这对不了解数学的人而言+ 是不适当的要求，因而我们给 出了如下将要讲剑的“用p d e 反演方法交互设计曲面”的方法。 5 反演方法的提出及其数学模犁 5 1 问题的提 j i 儿1 i 我们讨沦川p d e 乃法进行曲嘶造，魁的力法，确：进行曲而造型时为 了满足i 9 汁的要求必颈选择适当的偏微分h 科并给其边界条件及其端项， 这就对进行曲向设计的用户提出较高的数学要求，凶而给出一种直观的、容易 操作的交互方法成r 迫剀的需要。 下而我们就给出一种基于偏微分方程反问题的方法。采用该方法时，首先 糸统波定的系数、边界条件值、，i 端项( 系统缺省值) 用p d e 方法牛成个初 始接若。川，、橄捌对曲曲j 形状的要求h j 鼠标点。