（计算数学专业论文）带阻尼项的sinegordon方程有限差分格式的长时间性态.pdf

中文摘要 中文摘要 本文考虑的是一维带阻尼项的s i n e - g o r d o n 方程 鲰+ 魂一+ 夕( t 盍) = ，( 茹，意) q 酞+ ， 带有齐次d i r i c h l e t 边界条件 越( o ) = 铭( 五) = 0 ， 和初始条件 u ( z ，0 ) = = t 幻( 茁) ，t “( z ，0 ) = u l ( 彤) 这里常数q = ( 0 ，艺) ，q 0 ，毯舻q ) 。 在无穷维动力系统的研究中，s i n e - - g o r d o n 方程是一类很重要的方程，它在许多 研究领域中都有重要的应用本文考虑带有阻尼项的s i n e - g o r d o n 方程，由于它是 具有耗散项的波动方程，因此我们在构造差分格式的时候也要尽可能多地保持其耗 散性质在无穷维动力系统的研究中，整体吸弓l 子是刻蕊动力系统长时间性态一个 重要的概念，系统的最终状态完全由整体吸引子所确定故研究动力系统的长时间 性态时，整体吸引子的存在性就显得尤为重要本文在第一章介绍了s i n p g o r d o n 方 程豹背景及曩翦国内外研究的状况，并对一类带阻尼项的半线性波动方程( 包括带 有阻尼项的s i n 郴o r d o n 方程) 长时间行为的进行了回顾在第二章中我们弓l 入了 些记号、概念及论文后续内容所用到的一些引理在第三章中我们针对带有阻 尼项的s i n e - g o r d o n 方程的特点，首先构造了一个全离散的有限差分格式；然后应 用l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理证明了该差分格式解的存在唯一性；其次我们对该差 分格式的解做了关于时间变量一致的先验估计；最后在以上研究的基础上得到了全 离散差分格式的稳定性，收敛性及误差估计在第四章中我们讨论了带有耗散项的 全离散差分格式生成的离教动力系统的动力性质，证翡了该差分格式生成的动力系 统拥有一个整体吸引子 关键词：s i n e 坩o r d o n 方程：有限差分法；c r a n k - n i c o l s o n 格式；整体吸引子 黑龙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t o n e - d i m e n s i o n a ld a m p e ds e m i l i n e a rw a v ee q u a t i o n si sc o n s i d e r e di nt h i sp a p e r + & 魂一毯+ g ( u ) = 五 w i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n a n di n i t i a lc o n d i t i o n s ( 。，t ) q 猿寸， 牡( o ) = 钍( 己) 一0 ， 牡( z ，0 ) = = t 幻( 鬈) ，t “( $ ，0 ) = 让l ( 髫) w h e r eq = ( 0 ，l ) ，a f 0 ，l 2 ( q ) i ns t u d y i n go fi n f i n i t e - d i m e n s i o n a ld y n a m i c a l s y s t e m s ，s i n e - g o r d o ne q u a t i o ni s a ni m p o r t a n tm o d e la n dh a v ei m p o r t a n t a p p l i c a t i o n si nm a n yr e s e a r c h i n gy i e l d s 。i n t h i sp a p e r ，s i n e - g o r d o ne q u a t i o nw i t hd a m p e di sc o n s i d e r e d b e c a u s es i n 伊g o r d o n e q u a t i o ni saw a v ee q u a t i o nw i t hd i s s i p a t i v e ，w es h o u l dr e t a i nd i s s i p a t i v ep r o p e r t y o fe q u a t i o np o s s i b l yw h e nw es t r u c t u r ed i f f e r e n ts c h e m e 。i ns t u d y i n go fi n f i n i t e - d i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m s ，g l o b a la t t r a c t o ri sa ni m p o r t a n tn o t i o nf o rd e s c r i b i n g l o n g - t i m eb e h a v i o ro fd y n a m i c a ls y s t e m s t h ef i n a l l ys t a t eo fd y n a m i c a ls y s t e m s i sd e c i d e db yg l o b a la t t r a c t o r s o ，i ti se x t r e m e l yi m p o r t a n tt os t u d yt h ee x i s t e n c e o fg l o b a la t t r a c t o rw h e ns t u d y i n gl o n g - t i m eb e h a v i o ro fd y n a m i c a ls y s t e m s 。i nt h e f i r s tc h a p t e ro ft h i sp a p e r ，b a c k g r o u n do fs i n e - g o r d o ne q u a t i o na n dd o m e s t i ca n d i n t e r n a t i o n a lr e s e a r c hr e s u l t sa r ei n t r o d u c e d ，m e a n w h i l eao n e - d i m e n s i o n a ld a m p e d s e m i l i n e a rw a v ee q u a t i o n ( i n c l u d i n gt h es i n e - g o r d o ne q u a t i o nw i t hd a m p e d ) i s r e v i e w e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，s o m en o t a t i o n s ，n o t i o n sa n dl e m m a sw h i c he a 珏 b eu s e df o l l o w i n ga r ei n t r o d u c e d i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed i r e c ta tt h ec h a r a c t e r o fs i n e - g o r d o ne q u a t i o nw i t hd a m p e ds t r u c t u r i n gf u l l yd i f f e r e n ts c h e m ef i r s t l y ； t h e n ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u eo fs o l u t i o no ff u n yd i f f e r e n ts c h e m ea r ep r o v e db y l e r a y - s c h a u d e rf i xp o i n tt h e o r e m t h en e x t ，f o rs o l u t i o no fd i f f e r e n ts c h e m e ，w e g e tap r i o r ie s t i m a t ea b o u tt i m ev a r i a n t f i n a l l y , b a s e da b o v er e s e a r c h i n gw eg e t s 乇鑫b i l i t yc o n v e r g e n c ea n de r r o re s t i m a t eo ff u l l yd i s c r e t ed i f f e r e n ts c h e m e 。i nt h e f o r t hc h a p t e r ，4 w ed i s c u s sd y n a m i c a lp r o p e r t yo fd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m sw h i c h i i 垒坠! ! ! 塑曼! w e r eg e n e r a t e db yf u n yd i s c r e t ed i f f e r e n ts c h e m ew i t hd a m p e d 。t h ee x i s t e n c eo f g l o b a la t t r a c t o ri sp r o v e df o rt h ed i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m s k e y w o r d s ： s i n e - - g o r d o ne q u a t i o n ；f i n i t ed i f f e r e n tm e t h o d ；c r a n k - n i c o l s o n s c h e m e ；g l o b a la t t r a c t o r i i i 黑龙江大学硕士学位论文 第8 章独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨蕉堑太堂或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料，与我一同工作的同志对本研究所作的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名1 嗵迪 签字日刻砗厶。日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解墨蕉婆太堂有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授 权墨蕉堑太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名：南追煎 签字日毒岛饴 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 一各细握、 签字日茹癣南饴签字日眦j 月伟 电话： 邮编： 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 有限差分法及研究状况 许多物理过程可以用偏微分方程的定解闯题来描述，但是绝大多数偏微分方程 定解问题的解没有解析的表达式；或者有时郎使有，解的解析表达式也十分复杂所 以需要用各种数值方法来求偏微分方程定解问题的近似解有限差分方法( f d m 是数值求解微分方程最重要的方法之一该方法的主要优点是计算格式简单，计算 量小等特点其过程主要分为以下几个方面：首先将求解区域进行网格剖分，把连续 的求解域用有限个网格节点来代替；其次将微分算予离散化，一般用差商来代替微 商，从两用差分方程代替微分方程，把差分方程的解当做微分方程解的近似解；最后， 把求解差分方程的解转化为线性代数方程组或非线性代数方程组的求解问题。为了 保证计算的可行性及续果的精确性，我们将扶理论上分析差分方程解蠡冬存在性、唯 一性及差分格式的稳定性和收敛性 1 2无穷维动力系统简介及研究状况 动力系统的概念源予对常微分方程定性理论的研究。隧着研究的逐渐深入，人 们开始针对无穷维空闽上鲶系统的行为进行思考。因此，自上世纪夕k 年代以来，入 们对无穷维动力系统理论展开了广泛深入的研究。无穷维动力系统与有穷维动力系 统相比较具有了新的特点，如空间上的混沌现象等但是无穷维动力系统是相当复 杂的，对其研究也相当困难，目前人们对它的了解还比较浅显粗糙，仍然有许多问题 需要人们去研究，如整体吸引子、惯性流形的拓扑结构，保守系统的混沌研究等 本文所考虑的s i n e - g o r d o n 方程就是无穷维动力系统中的重要模型之一它是 类非线性波动方程，是物理学中常用的模型如用于描述晶格错位的传播，被当 前资源驱动麴约瑟夫森缭的动力学，基本粒子的统一理论，沿类蒡誓膜的扩张的传播 等s i n e - g o r d o n 方程在羔9 世纪就被人们所认识，它在量子物理中有着的重要的意义。 随着认识的逐渐深入该方程也越来越受到重视 动力系统研究的主要日标是研究这个系统随时间演化的过程以及系统演化的 最终状态整体吸引予是刻画系统最终状态非常重要的概念由耗散的偏微分方 程、偏微分方程组生成的的无穷维动力系统存在整体吸引子，是近三十年来数学和 数学物理领域中最重要的发现之一，整体吸引子具有吸引性和不变性。系统的复杂 黑龙汪大学硕士学馊论文 性一般与它的维数有关，维数越高，系统就越复杂我们研究吸引子主要从以下四 个方面研究： ( 1 ) 整体吸引子的存在性； ( 2 ) 整体吸引子维数的估计； ( 3 ) 惯性流形； ( 4 ) 整体吸弓l 子的稳定性和逼近 上世纪八十年代来，r t e m a m 和j 。k h a l e 分别如版了专著【3 啦【l 跚，在其中对无 穷维动力系统进行了详细研究a v b a b i n & m i v i s h i 】汲o l a d y z h e n s k a y a ：分别在 上世纪八十年代末就是年代初陆续出版专著 2 】 3 】【2 5 】郭柏灵院士也于2 0 0 0 年出版 了关于无穷维动力系统的专著【4 4 】- j m g h i d a g l i a 1 7 j m b a l l 4 ，a h a r a u x 2 2 ，等 都对半线性波动方程的长时间形态做出了深入的研究，在一定条件下证明了熬体 吸弓l 子的存在性，并得到了吸弓l 子的h a u s d o r f f 维数和f r a c t a l 维数的 古诗。j 。k 。h a l e ， x 。b 。l i n ，g r a u g e l 荔h 文【2 嘲【2 王】中研究了耗散的搬物型方程和双基型方程的离散佬 问题，证明了离散系统吸弓l 子的存在性及它们的上、下半连续性a m 。s t u a r t 在 文【1 4 】中用有限差分法研究了半线性抛物方程的半离散和全离散格式，对于一些离 散格式，证明了对应的离散系统拥有整体的吸引予；而对于一些离散格式，证明了对 应的离散系统存在着一些原系统没有的虚假现象，如存在二周期解，平衡点增多等 现象y my a h 在文瞄7 1 中用差分法研究了带有阻尾项的一维s c h r 6 d i n g e r 方程的半离 散格式，证骧了对应的离散系统吸弓 子的存在性及它们的珏翮蠢。蹬维数和f r a c t a l 维 数的估计。关于这个方蟊的文献还有很多，在此就不一一赘述了 1 3本文的研究动机及组织结构 虽然关于s i n e - g o r d o n 方程的研究很多，但至今还没有见到对带有耗散项的一 维s i n e - g o r d o n 方程全离散有限差分格式长时闻性态的研究基于此，本文将对带有 耗散项的一维s i n e - g o r d o n 方程全离散有限差分格式的长时闻性态进行研究。 第一章分绍了s i n e - g o r d o n 方程背景及墨前曝内外研究状况，研究了一类带阻 尼的半线性波动方程长时间性态 第二章引入了一些记号，概念及引理 第三章我们首先构造了带有耗散项的全离散差分格式，并应用l e r a y - s c h a u d e r 不 动点定理证明了其解存在且唯一；然后对该差分格式的解做先验估计，并在此基础 上得到了带有耗散项的全离散差分格式盼稳定性，收敛性及误差估计 筻! 室堑迨 黼i 一 第四章我们讨论了带有耗散项的全离散差分格式生成的离散动力系统的动力 性质，证明了该格式生成的动力系统拥有整体吸弓l 予 1 4 s i n e - g o r d o n 方程长时间形态( 行为) 的研究 在这节，我们简要地霹顾一下由带阻尼项的半线性波动方程的初边值闻题所生 成的无穷维动力系统的一些结论【3 6 】设q 一( 0 ，l ) ，我们考虑带阻尼项的半线性波 动方程 魄+ 掰魄一霉+ 9 ( 牡) = 只( z ，t ) q p ，( 1 1 ) 带有齐次d i r i c h l e t 边界条件 馘( o ) = 珏( 五) = 0 ，( 1 2 ) 和初始条件 珏( z ，0 ) = t o ( 茹) ，魂( z ，0 ) 一狂l ( 茹) ，( 1 3 ) 这里常数a 0 ，l 2 ( q ) 令 c ( 8 ) = 9 ( 仃) 虹 ( 1 4 ) 我们假设非线性函数g e 1 满足 l 搿掣8 0 ， ( ) 矧- 并且存在常数c l ，使得 脚i “业掣o ， (16)tst-oo 5 一 和 1 9 7 ( s ) l g ( 1 + i s l l ) ，0 7 0 ，jc d ，使得 g ( s ) 专d s 2 芝一魏，魄g 酞，( 1 8 ) 考虑9 ( u ) 一s i n u 让s ( t ) 表示初边值问题( 1 i ) - ( i 3 ) 的解算子为了证明s ( 亡) 在e o 一蕊( q ) x 铲( 中存在整体吸弓l 予a 取常数g 0 ，且o 窭 p o ，并且设g 一场孙( o ，石) 如果劈是岛的任有界集。舅b c 鼠稻( o ，r o ) ， 然后对亡o ( 纺，砧) 有s ( 亡) 席c 玩；由c o 及( 1 - 1 6 ) 5 j c ：，很容易得到 勤= i 1l 鸭热 1 9 ) 吸收到岛 证明了在毋中吸引集的存在性 对于蜀采用同样过程+ 在h 中，用盖( + 张) 与( 1 。1 1 ) 做内积，我 i f ：i - j p a 褥刭与( 1 ，1 3 ) 相似的式子 丢d ( 1 l 1 1 2 + i a u l 2 ) + ( a s ) 1 1 2 + g i a u 2 - - 6 ( a e ) ( a “， ) + ( p s i n 珏，u ) 一( ，a u ) ， 1 2 0 ) 按照( 1 1 4 ) ，对0 g 0 是定义在日上的一个动力系统， 日称为这个动力系统的相空间一般地，日是一个b a n a c h 空间，或者是一个h i i b e r t 空 闻 定义2 。2 如果存在有界集a ocb ，使得对于任何的有界集mcb ，存在t o ( m ) 0 ， 使得 s ( t ) mca o ，硫t o ( m ) ， 贝l j a o 称为s ( 亡) 在召中的一个有界吸引集 定义2 3 相空间日中的集合“称为动力系统 s ( 亡) ) t o 的一个吸引子，如果a 具有如 下性质 御蠢是一个泛遗不变集，鸳 s 0 ) a = a ，v 亡酞+ ， 渺存在a 的一个开邻域“，使得对于每个u o “，当亡_ 0 0 时s ( t ) 铷收敛到a ，即 也s t ( s ( t ) u o ，月_ o ，当亡_ o 。，其中出s t p ( 亡) 咖，棚2 激d 拶( t ) 铷，! ，) ，- 而d ( s ( t ) u o ，) 为s ( 站铷和秽之间的距离簏好中， 吸雩l 子么具有局部性质，它只吸雩| 它邻域中的点，么也毒殴豫为局部吸弓| 予 定义2 4 。相空闯蟊中的集合a 称为动力系统 s ( 毒) ，t o 的一个整体吸弓l 子，如果a 是 一个紧的吸引子，而且它吸引日中的任何有界集 日中的整体吸引子触果存在必定唯一按照集合的包含关系，整体吸引子 是 最大的有界吸引子和最大的有界泛函不变集，因此我们又称整体吸引子a 为最大吸 弓l 子 一8 一 第2 章一些记号、摄念耱雩l 理 2 3一些引理 引理2 1 ( g r s n w a l l 不等式，j 【5 6 】设可( t ) 和g ( t ) 为【o ，邪上的非连续函数，r g ( t ) 在 【0 ，列上可微。若存在常数a 0 ，使得对任意的te ( 0 ，有 矿国a y ( t ) + 譬( 考) ， 或等价缝 y c t ) 影( o ) + ff 唧( 彳) + g ( r ) a r - ，0 则有 ，t v ( t ) 鬟e 耐秒( o ) + 夕( 丁) e a ( t 下帆t 【o ，7 1 1 ，o 引理2 2 犯e m ! ，撬 舭d e 痈动点定理，【5 2 】设列黾曰口铭d c 耀三间魔0 自身的紧映 射，又设存在一个常数膨，使褥 | l x l i b 冬m 对所有满足嚣= a t x ，第毫b ，f 0 ，l 】的露成立刹哺今不动点 在本文中，我们将反复使用离散形式的s o b o l e v 嵌入定理 引理2 3 对任意的离散函数缸 月3 ( ) ，有 1 1 | | 肛i n h l l 丢+ ；1l 锄曙1 一参，2 p 冬o 。 一般地，对于离教函数鲰h 1 ( 虢) ，有 i i t h i i 妒l | 鲰i i 专+ ；1 ( 2 | 笛i l l ，+ 生掣) 专一，2 冬p o o 证明：由于h h l t g f l 。一0 ，对任意的k = 1 ，2 ，一1 ，我们可以很容易地得到 k - 1 k - 1 m 2 = ( 蛳十1 + u t ) a + u h ，2 一一( + l + u d h + u h i = 0 i = k 由c a u c h y 不等式，对于l 墨k k ，我们有 x - - 1 2 墨惫| 2 | 嗡l 氇l | + 筏| 毳2 1 1 u n l ll u h l l ， 使得 i i u h 怯i 1 1 1 融 将不等式( 2 1 ) 代入到如下不等式 。 i i h l l 弘冬i l k , h i l t o n 锨孵，p 芝2 一一 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 黑龙汪大学硕士学经论文 可以得到引理的第一部分 对于鲰h 1 ( q ) ，存在k o ( o k o k ) ，使得i “知。l = m i n o g ki 啦i x l u 如1 2 冬 且竺乒对任意的忌= 0 ，l ，k ，我们得到 k - i l 娥| 2 = | | 2 + u i + i + u i ) a + u h 由g 翮e 毋不等式，对予0 凳k ，我们有 卅2 l l u h l l l 呲i + 半， 因此 i i 泓h l l i i “h l l ( 2 i 呲i + 掣汽 将不等式( 2 。3 ) 代入到不等式( 2 。2 ) 中就可以褥到弓| 理的第二部分 第3 章差分格式 第3 章差分格式 首先，我们考虑9 ( u ) = f ，s i n u 的情况给定硼，v 2g 磁( q h ) ，我们考虑如下的 全离散格式求嚣，昭磁q 轰) ，嚣1 使褥毛翟，增满足 带有初值 生望坠兰a竺坚一兰0孚t堞+8一半tw一1)：o，t2 、。素1 。蠡，一。 堂丝a型一鱼二堕(#社罐+e一差皤一t)t2 、 辱拜 ， 一三+ 一( e 詈a 叼十e 一羞。曜一1 ) + g 【e 萋m 嘴，e 一羞。曜一1 】= a ， k = 1 ，2 ，一1 ， 罐一，v 2 一 u l h + c 7 2 4 ) h ， 其中u o h ，u l h 础( q 是) ，嘴一豢+ 6 u o h 是在时刻处对 a t 的逼近。并且 眠8 2 ，一 。l l y 一11 1 2 喜丝坚州8 黜w 掣帅越 = 铷a 一蛐i l v ：1 1 2 _ e - ( a - e ) , x t 懈1 1 ) 。 k = l 尘( 8 秘磁+ e 一考嘴t ) 譬舭瞄+ e 一学位昭。1 ) 尬妻 e ( o t - 旦( e 秘磙+ e 一毒叼_ 1 ) 南( e 社唯一e 一言叼一1 ) o h a 亡 = ( a s ) ( e 。i i 1 1 2 一e 一如1 1 曙一1 + 1 1 2 ) x l 丢一( 8 秘暇+ 一秘瑶一1 ) 拶( e 孚a 堞+ 8 一孚越昭一1 ) h a t a + a 一( e 社+ e - 考叼一1 ) ( 8 差础磙一e 一羞叼一1 ) 磊 k = l = e e a i 懵+ e - 纵l 叼q | 2 j r 一1 g 【e 渺暇，e 一耋越曜一1 】( e 耋& 磙一8 一叮1 ) 2 h k = l 一重2 一 ( 3 7 ) 服三 = 第3 章差分格式 = 2 ( g ( 8 墨a 。哝) ，1 ) 一2 ( g ( e 一砉。u 嚣一1 ) ，1 ) ， 在( 3 7 ) 式两端同乘以口( e 囊笋& 叼+ e - 曼严。w ) h n t ，对七从1 到k 一1 求和，褥利 用( 3 6 ) 式及以上的推导，得 阮红一曲l | w | | 2 一g ( a f 一) 矿。l l v ；1 1 2 + 矿2 | 蛾瞪+ 2 ( g ( 8 差。磁) ，1 ) = 0 e 一心一铷翳以| 1 2 一s a s ) e 一醯2 | | 嗡一1 l | 2 + e 一妇| 曜一1 爱 + 2 ( g ( 8 一量2 嘴一1 ) ，1 ) + o a t ( a ，e 孚& 增e 警。叼一1 ) ( 3 8 ) 选择o e 8 0 ，知一戚n ( 等，磬) ，由i 瞪入1 0 忾得 一g ( q 一8 ) e 8 2 i i 畎i | 2 + 酽i l i + 2 ( g ( e 差2 曜) ，1 ) 去矿2 l 酸| ；十【等一( a 一) 】l l 畎l | 2 2 d e 8 。i i u ；1 1 2 2 c d l 专产。| 磁舞粥g 。i l r ；l l = - 2 皤三，( 露一号) p 。9 ) 取萨= i i l i n ( 薹，矗) ，由g 蚴c 爹不等式，有 o a t ( f h ，e a 。- e a t 增) i o a t l l f h l l l l e 譬t 昭i l 口e 叫。1 1 增1 1 + 竽i l ， 1 1 2 1 主i ( 3 8 ) 式和( 3 9 ) 式，有估计 石i g _ a t | 磁爱+ | | 啜酽2 t i 昭- 1 | | 2 一缸一s ) l 叼越| | 2 | 瑶- 1 爱 + 2 ( g ( 一差矗暇一1 ) ，1 ) + 竺；l l 矗l | 2 + 2 呜 这就意味着f f 瞻是一致有界的因此，对于佗芝1 ，全离散格式( 3 1 ) 一( 3 3 ) 的解存 在全离散格式( 3 1 ) 一( 3 3 ) 解的唯一性由第三节的定理3 5 给出 3 。2 全离散差分格式的解关于t 一致的先验估计 下面我们对全离教格式( 3 ，王) 一( 3 。3 ) 的解( 露，增) 做关亏：毛一致的先验估计 在( 3 。2 ) 式两端同乘以( e 窑尹。+ e - 垒手。增) h a t ，然后对奄从王到k l 求和， 再利用( 3 1 ) 式，得 e ( a o i l w l l 2 一e - 一8 | i 增一1 1 1 2 一( 口一g ) ( e 5 1 1 叼1 1 2 一e 一8 。l i 叼一1 1 1 2 ) + e 8 a 。l u l l i e g 。i 叼一1i ；+ 2 ( g ( e 蠢。叼) ，1 ) 一2 ( g ( e 一毒a 。叼一1 ) ，1 ) = 2 ( h ，e 差。+ e 一萋瓜蝣一1 ) ， 罴龙汪大学硕士学位论文 或者 e ( a _ 2 e ) m l i w i l 2 一g ( 0 f s ) | i 叼1 1 2 + i 叼曙+ 2 e 一以。( g ( e 羞t 叼) ，1 ) 一2 e 一社( ， ，叼) = e 一豁出( e 一( a 一缸i l 增一1 1 1 2 一苎( a f s ) i i 叼一1 0 2 + i 叼一1 i ； + 2 e 以2 ( g ( e 一差。叼一1 ) ，1 ) 一2 e 一耋。( 厶，曜一1 ) ) 。( 3 1 0 ) 首先考虑g ( u ) = 多豳铭，此时该方程力s i n e - g o r d o n 方程。设a ( u ) = - - i 孚c 0 8u ，( 3 。王o ) 可 变为 e ( a2 。) 缸l | 昭1 1 2 一g ( 口一8 ) i i 嘴1 1 2 + i 嘴悖一2 f i e - - z a t ( c o s ( d 。叼) ，1 ) 一2 e 一社( ，叼) = e - 2 e a t ( e 一( a 一2 6 i l 叼一1 0 2 一s ( 0 ：一g ) i i 叼一1 1 1 2 + l 嘴一1 l i 2 芦e p 。c d s ( e 一差。叼一1 ) ，1 ) 一2 e 一主出( a ，叼一1 ) ) 记 霹= 8 增1 1 2 一g ( a f s ) 0 簖l | 2 + | 啜谨 ( 3 1 1 ) 一帮e 一础( c d s ( e 差。嘴) ，1 ) 一2 e 一社( ，叼) ( 3 1 2 ) 由1 谨入l l l v h i l 2 ，vv h 硪( ) ，得 l 呀谨一壶| 滢+ 三| 罐曙丢i 嘴瞪+ 鲁璐| | 2 若取0 e 0 ，雯l j 其中 令 曰1 1 叼1 1 2 + _ l u l ，l n l - 2 l 百天1 一篮托2 ) l l v ： 1 1 2 一 i i v ：1 1 2 + 蚕1 吲i + 仃i l u 嚣1 1 2 一d 1 ， m ( 3 1 3 ) 和( 3 1 5 ) 知 由( 3 1 1 ) n - j 得 2 1 i l 一2 e 一差。1 1 矗1 1 1 1 嗡l d 1 = 2 1 n l + i f - - 1 e 吨触| | a 孵 霹= 霹+ d 1 ， 所1 1 昭1 1 2 + _ 1 1u n i 2 。+ 仃i i u ： 1 1 2 ， ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 器) ( 3 1 6 ) 研e 一凇。霹一1 - 2 e 一鼢a ( 舭一e 一醯2 ) 多( c d s ( e 渺曜一1 ) ，王) + 2 e 一如。p c d s ( e 弘叼一1 ) 一l 莲一 第3 章差分格式 一c 0 8 ( e 一暑2 嘴一1 ) ，1 ) + 2 e 一艇。( e 一参一e 主a 。) ( ，叼一1 ) ，n = l ，2 ( 3 。1 7 ) 分别进行下面估计 1 2 e 一2 8 趾( 扩m e e 出) p ( c d s ( e 羞a 。一1 ) ，1 ) i = 2 e 一毒5 ( 1 一e 一缸。) 多( e d s ( e 差a 。叼一1 ) ，1 ) s2 e 一如。( 2 e a t ) l 雪( c o s ( e 。叼一1 ) ，1 ) 4 e l 9 l l a t ， 1 2 e - - e a t p ( c d s ( e 社叼一1 ) 一c o s ( e 一t 曜一1 ) ，1 ) 1 2 e a t e 一差。i p i l i i 叼- 1 0 2 础裙倒l 叼。1 1 1 2 + 2 e o - - i 产锣2 2 ， 1 2 e 一豁厶。( e 一差& 一e 差。) ( a ，瑶一1 ) | 墨2 e a t e 一警t i l | li l 叼一1 i i 丢e 川以钏l 叼。1 1 1 2 + 2 6 仃- l e - a l l a i l 2 ， 根据以上估计，( 3 1 7 ) n - i 以变形为 秀e - 2 如。( 1 + s 母蟊一1 + ( 1 一e 一潍。) d l + 坂季， 嚣= 王，2 ，( 3 。1 8 ) 尬一4 8 俐乞+ 2 6 0 。e 醯。矿己2 + 2 e a 心e 如。厶萨 ( 3 1 9 ) 反复使用( 3 1 8 ) 可以得到 由( 3 1 6 ) n - 有 研鬟e - e a t s l l 1 + ( 1 一e - 2 , a t ) d 1 + m a a t e - - e n a t ( 1 一e - 鼹2 ) ( 2 移l e - l e e a t m l ) ， 昭0 2 + 互1i u n 1 2 l 十秽i l 叼1 1 2 ：e - c h a t 霹+ ( 1 一e 一跳) ( 2 d 1 + e - l e , m 1 ) ， n 一0 ，1 ， ( 3 2 0 ) 这证骧了如下定理 一1 5 一 定理3 1 对于9 ( ) 一f l s i n u ，若初值( 哪，昭) c 硪( q h ) p ( q h ) ，那么全离 散差分格式仁砂一似纠的解( 叼，增) 在硪( ) l 2 ( ) 中是一致有界的更有 l i m s u p o 叼1 1 1 + i i w i i ) p l ， 其中妒l 是与初值( 罐，罐) 无关的常数， 最后，我们考虑窖( ，沁一l 锃p 程( o 7 o o ) 的情况，此时，方程( 王。王) 是量子力学方 程在这种情况下，g ( 妨然彘吲7 + 2 ，同时( 3 。l o ) 交形为 e ( 眺皿l l v 1 1 2 一s ( a g ) i i 叼1 1 2 + i 础+ 熹e 警( i 诚心1 ) 一2 e 一专越( ， ，嘴) 一e 一2 以。( e 一( - - z 。) l l v 2 1 1 1 2 一( 理一) i l 叼_ 1 1 1 2 + l 嘴一1 l i + 熹8 一警( i 醒q 限1 ) 一2 e 一差越( 厶，叼q ) ) ( 3 2 1 ) 记 霹一| | w l l 2 一s ( 一s ) 嗡l | 2 + l 嘴谨 十熹e 警( 蚓伸，1 ) 一2 e 一杈a ，叼) ， ( 3 - 2 2 ) 若取0 e 0 ，则我们能够导出 霹| l 昭| 1 2 + 三l 嘴| 2 + ( 3 k - 一粥+ 2 ) l l u ： i 1 2 + 再22 u u n l l t 圳+ 。2 。一2 e 一弘i l f 。1 l l l u 要 l l l 磁i 2 五xi u 嚣1 2 。专拶# 嗡2 一d 2 ， 3 2 3 ) 其中 d 2 = o - - l e 一心i i h l l 2 ， 令 鼋= 曰+ d 2 ， 由( 3 。2 3 ) i b ：i ( 3 。2 5 ) 知 两t l v 1 1 2 + 矿1 氧n 1 2 l + 拶懈孵 1 主l ( 3 2 1 ) - 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