（应用数学专业论文）风险结构问题研究.pdf

硕士学侥论文 摘要 风险理论是现代精算和数学界研究的热点，风险结构是风险理论的重要内容 在假设风险相互独立的情况下，经典风险理论主要处理保险事务中的随机风险模型， 讨论有限时间内的生存概率以及最终破产概率问题对随机风险模型，研究较多的 是连续时间模型，且大都集中于复合p o i s s o n 过程的风险模型，而对离散时间模型 则研究的较少而作为连续时间的离散化，离散时间风险模型意义直观，在实践中 更易于应用，关于离散时间风险模型，讨论最多的是复合二项风险模型，二项风险 模型的特点是其理赔次数的均值大于其方差，特别适用于同质性保单组合的理赔 次数模型，瑟鲞保单组合的理赔次数观察分布的样本方差大予其均值时，显然用复 合二项风险模型不再合适本文研究离散的复合负二项风险模型，利用鞅理论，在理 赔次数的方差大于均值条件下，证明了该模型的最终破产概率，证明方法有较大的 改进本研究中，将每张保单的保费及单位时间内收取保费次数都推广为随机变量， 建立了保费完全随机的复合负二项风险模型，使之更加贴近保险公司经营实际，并 讨论该模型的性质，利用离散鞅理论得到它的最终破产概率及l u n 曲e r g 不等式 上述各种风险模型适用于单一的险种，且保费收入过程与理赔过程相互独立， 现实情况是保险公司经营多种险种，各险种的风险不一定严格符合现有的风险模型， 但还想了解各组合资产风险，此时经热风险理论不再适用本文将利用风险价值 v a r ( v a l u ea t 痰s k ) 对组合资产风险进行研究。当风险超毖自身的承受范匿，那么保险 商就会考虑进行再保险已有学者研究了单个资产的风险值、停止损失保费及满足 一些特定关系的风险组合的风险值，本文研究了理赔损失分布在般情况下封闭式 集合风险模型的风险值及停止损失保费问题，给出了具体的计算方法。最后运用非 负随机变量函数凸序研究随机资产的风险值( v a r ) ，证明了任意资产组合的风险不 会超过其各个资产风险值之和，给出了组合资产风险值的上晃。 风险结构问题是风险理论研究的重要内容，对金融企业控制风险有重要参考 意义。本文研究了更加符合保险公司经营现实的风险模型及资产组合风险的v a r ， 对风险结构及相关目题进行探讨，着重从理论上研究如何预防破产的发生，所获得 研究结果为金融企业控制风险提供理论依据 关键词：复合负二项：鞅：同单调：凸序：风险值 风险结构问题研究 a b s t r a c t r i s kt h e o r yi sah o ls p o ti l ll n o d e r 娃a c t l l a r 主a ls c i e 鼓c ea n d 蠛s ks t l l l c n 疆ei sa n i m p o r t a n tc o n t e n ti nr i 8 kt h e o r y o nt h oa s s u m p t i o nt h a tr i s ki sm u t u 酊l yi n d e p e n d e n t ， c l a s s i c a lr i s kt h e o r i e sg i v ep r i o r i t yt os t o c h a s t i cr i s km o d e l so fi n s u r a n c ea l l ds u r v i v a l o fm i n p f o b 曲i l 主t yw i 也i nal i m i l e dt i m e 。ks t o c h a s t i er i s km o d e l s ，w ee o n s i d e rm o s t l y c o n t i n u a lt i m er i s km o d e l s ，e s p e c i a l l yc o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s i o nr i s km o d e l s ， 蠢s e r e t e 蠢矗雉o d e l s 联es e l 纛。撒f e 鑫t e 纛，b 毛王l 文s 嚣e t e 蠢s k 撒o d e b 联ee a s i e fl op 嚣e e i v e a n dm o r ea p p l i c a b l e w h e nt r c a t i n gd i s c r e t er i s km o d e l s ，w eo r e nm e n t i o na e o 壤p o u n db i 毅。耀i a lf i s k 撵o d e lw h o s e 蘸a 箍c l e 蠢s l i ei s 缘鑫l 氇e 擞e 箍建o fc l 鑫i 搬程u 趣b o 舔 i sg r e a t e rt h a l lt h ev a r i a n c eo fc l a i mn u m b e r s ，ac o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e li s s u i t a b l ef o rh o m o g e n e o u sp o l i c i e sa s s e m b l a g e s ，h a sb e e nd i s e u s s e d 。a c t t l a l l yp o l i c i e s a s s e m b l a g e sh a v em o r eo rl e s sn o n - h o l n o g e n e i t y ；ac o m p o u n dn e g a t i v eb i n o m i a lr i s k m o d e li sm o r es u i t a b l ef o rn o n 也o m o g e n e o u sp o l i c i e sa s s e m b l a g e st h a nac o m p o u n d b i n o m i a lr 主s km o d e l 黻dt h ep f o p e r t yi st 量l a t 氇ev a r 主a n c eo fc l 蠢mn u m b 钟si sg r e a t e r t h a nt h em e a no fc l a i mn u m b e r s t h i st h e s i sg t u d i e sac o m p o u n dn e g a t i v eb i n o m i a l “s k 壬珏o d e lw 囊o s e 孙潍毽l a fu l 主i m 睫ef 珏i 登p f o b a 岛i l i 专y 纛a sb e e 鼗p f o v e db ya p p l y i 毂gd i s e f e 重e m a r t i n g a l et h e o r y ，t h em e t h o d i sd if 佗r e n tf o r mo t h e r sr e f e r e n c e s w ec o n s t r u c ta c o 攥p o 毽建dn e 鬈a t i v eb i 致。撒i a l 娃s k 掇o d e lw i l hac o m p l e l e l ys t o e h a s t i ep r e 搬 u 鼹w h e 辩 t h ep r e m i u mo fe v e r yp 0 1 i c ya n dt h en u m b e ro fi n s u r ec h a r g e sa tp e ru n i tt i m ea r e r a n d o l nv a f ia b l e s 。t h i sp a p e rd i s c u s s e ss o m ep f o p e f t i e so fac o m p o u n dn e g a t i v e b i n o m i a lf i s km o d e iw i t hac o m p l e t e l ys t o c h a s t i cp r e m i u m b ya p p l y i n gd i s c r e t e m a r t i n g a l et h e o r y t h i sa r t i c l ep r o v e st h ef o r m u l ao fu l t i m a t em i np r o b a b i l i t ya n dt h e l u n 曲e f gi n e q u a 重i t y w h e no n l yc o n s i d e r i n gap o l i c yw h o s ep r e m i u ma n dc l a i ma r ei n d e p e n d e n te a c h o 氇e 岛w ee a 巍a p p l y 舔ls o r 耄so f 蠢s 受m o d e l s 。b 毽le v e f yi 糕s 毽e fh a sa | o o fp o l i c i o s w h o s ep r e m i u ma n dc l a i md o n ta c c o r dw i t he x i s t i n gr i s km o d e l s ，t h i sr e s u l t st h a tw e c 鑫n 蕤o t 礞p l y 魄ec l a s s i e sf i s kt 纛e q f i e s 鑫纛du s ev 鑫l 醢ea 童f i s 荻( v a r ) l os 氛l d y 鑫p o f f o l i o 。 i n s u r e sr e i n s u r eap o l i c yw h o s ei o s se x e d st h ei n s u r e r sa n t i c i p a t i o n s o m es c h o l a r 8 h a v es t u d i e da 觳a s s e t sv a r 雒ds t o p l o s sp f e m i u 撒勰ds o 撒es p e c i a 圭p o f t f o l i o sv a r ， t h i st h e s i sh a sd i s c u s s e da r b i t r a r ya s s e tp o r t f 0 1 i o sv a r 觚ds t o p l o s sp r e m i u m ， a l l a l ”i c a le x p r e s s i o n sf o rf i s kv a l u e 嬲ds t o p l o s sp r e m i u m so fs u m so fi n d e p e n d e n t r a n d o mv a r i a b l e sh a v eb e e n 酉v e n a t 纛m a l ，如n c t i o ne o n v e xo r d 馘o fn o n n e g a t i v e 楚 硕士学侮论文 怒n d mv 毅i 曲l e si si 旌t 羚d 毽e e d 稻ff 躲d o 嫩a s s e t s v 矗r ，搬ec o 珏c l 毽砖。建i s 像越p 。f t 受l i o a s s e t 8v a rc a nn o te x c e e dt h es u mo fi n d i v i d u a la s s e tv a r ，a n dt h eu p p e ro fp o f t f o l i o i sa l s o 酉v 强 r i s ks t 九l c t u r ep r o b l e mi sa ni m p o r t a n ta s p e c to f “s kt h e o r ya n di si m p o r t a n t s i g n i 髓c a n e ef o rc o n t f o l l i 致gf i s ko f 矗n a 娃e 主 娃e 鼓t e 印f i s e s t h i st 量l e s i sh a ss t u d i e dan g w f i s km o d e lw h i c hi sm o r ei n l i n ew i t ht h er e a l i t yo fi n s u r e r sa n da r b i t r a r ya s s e t s p o r t f o l i o sv a r ，w es t u d yr i s ks t n l c t l l r ep f o b l e mt og u a r da g a i n s tm eo c c u r r e n c eo f b a n k m p t c ya n do wr e s u l t sa r e 攮eg i s tf o rc o n t f o l l i n gr i s ko f 董i n a n c i a le n t e r p r i s e s k e yw o r d s ：c o m p o u n dn e g a t i v eb i n o m i a ；m a r t i n g a l e ；c o m o n o t o n i c i t y ；c o n v e xo r d e r ； v 巍l 毽e 雏& i s l ( 1 珏 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原刨性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名：同t 卜娑， 西期：游参胃；日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中 国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 导师獭。夏覆吻 日期：洲了年6 月多 日 日期：q 彦年多月多日 硕十学位论文 第1 章绪论 1 1 风险结构问题研究意义及课题来源 1 1 1 风险结构问题研究的意义 保险领域的风险是指可能发生的损失及其发生损失的概率【l 】用损失的程度和 发生损失的概率来共同度量风险的大小损失程度大而且发生的概率也大，则属高 风险，反之则属低风险风险的这个定义虽然包含了潜在损失和发生损失的概率两 个方面，但在保险实务中，往往可能仅强调这两个方面中的某一方面当对潜在后果 或对其影响程度不清楚时，可能强调前者，就好比说要做某件事很“冒险 ，但又不知 会有什么样的后果发生；而当对潜在损失有更明确的认识时，则强调的是后者，如乘 坐飞机时，风险就是指飞机失事的概率，这时就把风险概念与概率概念等同起来了 根据风险的上述定义，风险是体现在潜在损失和发生各种不同程度损失的概率 分布之上的、或者说风险是由潜在的损失分布体现出来的弄清楚了某个风险的损 失分布状况，才有可能正确度量该风险的大小保险公司承保了某个保险标的，也是 承保了这个标的所具有的风险，因而弄清楚保险标的的损失分布，对于保险人来说 是非常重要的，它是保险产品定价和提取责任准备金以及再保险的分保安排的重要 依据不仅如此，由于保险公司承保了众多的保险标的，仅仅知道每一个保险标的的 损失分布还不够，还必须弄清众多保险标的组合之后的总损失分布，因为它是保险 公司进行偿付能力管理、资产负债管理和预防公司破产倒闭的重要理论依据 一般来说，保险公司的总损失分布或者说总理赔分布是建立在总索赔次数分布 和单次索赔额分布的基础之上的保险实务表明，对于每一个保险标的，在它的保险 责任期内的某一个单位时间里，是否会发生保险责任事故，即是否会发生损失以及 损失程度多大，这些都是事先不能确定的( 这正说明了，每一个保险标的就是一个风 险个体) 因此，在一般情况下，总索赔次数是一个随机变量( 取非负整数值的) ，单次索 赔额也是一个随机变量，此时总索赔次数的概率分布如何? 单次索赔额的概率分布 又如何? 怎样通过总索赔次数的分布和单次索赔额的分布得到总索赔额的概率分 布? 即怎样从每一个保单的个体风险求得保险公司所面临的总体风险? 为此，我们把 解决上述问题及其相关问题的一整套理论和方法称为风险理论 风险结构即风险之间的相互关系，主要有两类：独立、相依【2 】保险中涉及到多个 风险时往往假定它们是相互独立的，如聚合风险模型中确定总理赔量分布的p a n j e r 递归和d e p e r i l 递归都是基于个体风险之间的独立性假设的，再如寿险中的多重生 命模型，传统的精算数学教科书中都假定所涉及到的被保险人的剩余寿命是相互独 立的，独立性假设可以带来很大的方便因为有了这一假设，大数定律和中心极限定 理才有了应用的前提从而保险公司可以通过风险集来有效地管理风险独立性假 设的另一个优点是，只要给出个体风险的统计资料( 边际分布) ，风险组合的统计资料 ( 联合分布) 就可以容易地得到，这给实际工作中的数学处理带来了极大的方便然 风陵缡褥瓣瑟研究 而，在现实中的许多保险问题中，风险之间还存在较强的相依性，忽略这种稻依往盈 褥不是缀确切，下匿就举凡个这样的捌子： 在财产保险中，网一地区中地震或洪水风险组合中的个体风险之间是相关的，因 为个体索赔额的随机性是基于同一地地震或洪水的发生和严重程度的；在干热的夏 天，所有木屋更大程度逸暴露予火灾风险；更一般遗，懿果在菜建区或组织中赝承保 风险的密度过大，则越灾如冰雹、爆炸、地震、流行瘸等，可导致保险人理赔的累积； 作为一个金融例子，考虑债券组合，单个债券的违约风险可能条件独立于给定的市 场条件，僵是基本市场环境( 如利率) 缓相似方式影响市场上静所有债券；在人寿保险 中，有足够的例证表明夫妻麴寿会是正相关的，有些嚣素可以解释夫妻寿命的这 种“丽命鸟式的关系；一般属于同一社会阶层，有相同的生活方式，生活环境一样等， 并且般来说，配偶死亡后，另一方的死亡率会上升；入寿保险中的勇一个例子是退 休基金，宅提供供职于嚣一公镯鹩入麓遐体金，这些久在圈一环境下工作，乘相同怠 梯，明显地这些人的死亡是相关的，至少在某程度上是这样的在上面系列的例 子中，独立性假设被触动了，从而不适合用来描述涉及到的随机变量之间的关系从 上面的奔绍可以看嫩，在处理保险中鲍许多阕遂露，独立性稷设并不准确，因就研究 相依风险之间的结构是必要的，并融取得一系列成果【4 州6 1 ，对正确理解问题有一定 的现实意义，但对正相依情形下风险模型的研究是目前精算学研究的热点之 1 | 1 2 课题来源 本课题源于首肃省教育厅科研项目f 项目编号：0 6 0 3 0 7 】 1 2 风险结构及相关问题研究现状 1 9 0 3 年，瑞典精算师l u n d b e r g 在他的博士论文中引入齐次p o i s s o n 过程的风险 模型，从而开创了风险理论研究的先河，在数学界和精算界都引起广泛关注保险风 险理论的研究对象是来自商监保险麓各种随耱模型，初裳麓风险理论主要嚣寿险发 生联系，研究的是个体风险模型( i 甜i v 逆n a lf i s km o d e l ) ，此时的风险论通黉被称为个 体风险论( i n d i v i d u a lr i s kt h e o r y ) ，关于这一时期风险理论的回顾可参见b o h l i i l a n n 集体风险理论( c o l l e c t i v er i s kt h e o r y ) ，较为系统的理论形成应该说始予h i n 曲e 糟了 集体熙险模型( e o | l e e t i v e 蛀呔搬o d e l _ 把全体投保者看成一个整体，索薅蘸产生为 个隧枧过程，丽不是去考虑单个的保单。不过，l 豫曲e r g 的工作不符合现代数学的严 格标准，它的严格化是由h a r a l dc r a m 6 r 为首的瑞典学派完成的，与此同时，他们发展 了随机过程的基木理论，建立了它们之间的联系如今在风险领域里研究的各种风 险模鍪都是在此基端上逐步发展起来的 随枫过程理论的逐渐系统化和成熟化为风险理论的研究提供了强有力的方法 和工具继c r 蝴6 r 之后，h a n su g e r b e r 成为当代研究破产论的领先学者，g e r b e r 在1 9 7 爹年发表的数学风险论导孳l 【1 7 l 一书已戒隽当今研究这领域的经典著作， 他以严谨的概率论基础，简练清晰地深化了经典破产论的研究内容，并取得了重大 2 硕士学位论文 的突破，获得了众多优美的结采。 最简单的古典风险模型具有以下特点： l + 不涉及投资过程，只描述保险公司保费收入和理赔过程： 2 保费收入过程与理赔额的随机变量是相互独立的； 3 每单位时间收到的保险费是一个常数； 4 。只考虑单一的险种 许多学者在古典风险模型的基础上，做出了一系列符合保险公司经营现实的 推广常见薛推广有以下几类： 第一类： 将理赔到达过程攉广力更新过程、广义复合p o i s s q 熬过程、c o x 过程、g 鑫m 擞a 过程和逆高斯过程等等利用该模型，可以顾及到因季节或政治等因素所引起的理 赔计数过程中其强度不是常数的性质。 第二类： 将保费到达过程推广为p o i s s o n 过程、c o x 过程、更新过程等同时，保费收入 率不爵是一成不变的常数，丽是更贴近实际情况的随机变量 第三类： 零| 入剩率和投资因素，考虑扩散过程等对盈余过程的干扰，或者考虑支彳寸红利 情形，从而使得风险模型更接近保险公司的实际运作 第四类： 将连续时间情形的各种风险模型平行推广到离散时间情形 随着研究的深入。人们渐渐发现假设风险之间是完全相互独立的，并不能很好 地刻画一些问题，我在课题研究意义部分已举例说明，因此提出了另一种风险结构： 相依即各个风险之间存在一定关系。现实情况是保险人拥有的都是关予单个风险 数据，郄边际分布的信息，而没有关于风险之闻的相关信息的数据，即联合分布的信 息，这就使得相依风险的数学处理少有规律可循 本文研究的圭要对象一犀单调性是一种特殊的相依结构在数学处理上，它翻 独立性假设具有相同的优点，即在已知所有一维边际分布时，它的联合分布可以确 定，并且在形式上菲常简单。同融，它又是相依结构中比较特殊的一种，在一定意义下， 它是最强的种正相依结构 阍单调( c o m o i l o t o n i e i l y ) 的概念是经济领域一个重要的概念，最早凑 y a r r i ( 1 9 8 5 ) 、s c h m e i d l e r ( 1 9 8 6 ) 引入，w a n g 等( 1 9 9 5 ) 提出了不同的定义尽管如此，同 单调理论在2 0 世纪9 0 年代才开始引起精算雾的重视，如w a n g 等( 1 9 9 8 ) ，n i c o l e 等 ( 1 9 9 8 ) ，d e n u i t 等( 1 9 9 9 ) ，d e l d 髓( 2 0 0 0 ) 等和d e n l l i l t 等( 2 0 0 1 ) 他们对同单调性的研 究往往是和随机序与保费原理等结合在一起的。2 0 0 2 年，d h a e n e ，d e 脯i l ，g o o v a e 戎s ，k a a s 和礁e h e 2 0 0 2 a ，b ) 分理论与应用总结了关于同单 3 风险结构闯题骚究 调隧祝向量的一些最新研究成果。本章关予弱单性的概念及结论都是参照这薅篇文 章丽单调性是一种特殊的相依结构在数学处理上，它和独立性假设具有相同的优 点，即在邑知所有一维边际分布时，它的联合分布可以确定，并且在形式上非常简单 同时，它又是棚依结构中比较特殊的一种，在一定意义下，它是最强的一种正相依结 构。 如果随机向量善嚣五，嚣) 和呈豁( 夏，鼍，鼍) 是稠互独立的，并且边际分布 墨移鼍= l ，2 ，箨) 是跫知，那么分布函数s = 墨鼍上下界海题可以筒化为求分 两 布函数s = z l + z 2 + + 瓦的上下界问题，其中z i ，五，氖的边际分布已知，它们的联 合分布未知，或者由子联合分布过于复杂蔼求不出，这就是不能准确褥到s 的分布 函数的原因。但是已得到随机变爨z z 2 ，一，z 。的和s 在凸序意义下的上下界。如果假 定随机向量的一维边际分布固定，我们可以通过研究分量之间独立的情形和同单调 情形来对它们之闻真实的穗蔽结构进行估计。甚至可以对两种特殊情形下的量进行 加权平均以确定真实相依结构下相应餐的近似值文献【2 】对同单调理论做了简单 介绥， 1 。3 本论文研究内容 本论文的研究内容主要分为两部分： 第一部分：在假设风险相互独立的情况下，经典风险理论，主要处理保险事务 中的随机风险模型，讨论有限时间内的生存概率以及最终破产概率问题对随机风 险模型，研究较多的是连续时阆模型，且大都集中于复合p o i s s o n 过程的风险模型， 面对离散对澜模型则研究鳃较少作为连续时闻的离教纯，离散时闻风险模型意义 直观，在实践中更易予应用关于离散时间风险模型，讨论最多的是复合二项风险 模型，二项风险模型的特点是其理薅次数的均值大予其方差，特别适用予燕霞性保 单组合的理赔次数模型，而当保单组合的理赔次数其观察分布的样本方差大于均 值时，溺复合= 顼风险模型不蒜合适本文剩用鞍理论研究离散的复合负二顼风险 模型，当理赔次数的方差大于均值时，证明了该模型的最终破产概率，证胡方法有一 定舱创薪+ 许多学者对复合负二项风险模型进行推广，使之更加贴近保险公司经营 实际文献【3 4 】研究了每张傈单的僳费相同及单位时间内收取傈费次数也相丽的复 合负二项风险模型，文献【3 5 】将单位时间内保费收取次数推广为随机情形本文将每 张保单的保费及单位时澜内收取僳费次数都推广魏随机变量，建立了保费完全随机 的复合负二顼风险模型，并讨论该模型的性质，剃用离敖鞅理论得到它的最终破产 概率及l u 毪纛b j e 罐不等式 第二部分：风险理论假设保费收入过程与理赔额的随机变量是相互独立的， 只考虑单一懿险释，对组合资产风险不爵适用。本文利用风险价值爻v a l 毽e 艇纛s 站 莲 硕士学位论文 对组合风险进行研究风险价值v a r 通常定义为“在给定置信水平下，一个持有期 内的最大预期损失 ，v a r 可用来刻画随机资产的风险值，如测量股票的交易风险， 目前v a r 方法已被西方金融机构普遍采用6 ，7 ，9 ，1 0 ，1 1 ，37 1 ，是保险公司测量某一单位时 间内所承担的总的潜在损失一个重要工具当风险超出自身的承受范围，那么保险 商就会考虑进行再保险文献 4 ，9 ，1 6 ，3 6 】分别研究了单个资产的风险值、停止损失保 费与满足一些特定关系的风险组合的风险值，本文首先研究了理赔损失分布在一般 情况下封闭式集合风险模型的风险值及停止损失保费问题，给出了具体的计算方法 接着运用非负随机变量函数凸序研究随机资产的风险值( v a r ) ，证明了任意资产组 合的风险不会超过其各个资产风险值之和，给出了组合资产风险值的上界 根据以上内容，本论文的结构安排如下： 第l 章绪论主要介绍风险结构问题研究意义、现状，最后说明本论文的研究 意义和内容 第2 章 介绍l u n d b e r g c r a m 钉( l c ) 经典风险模型及重要结论，并指出f e l l e r 的更新论证和g e r b e r 的鞅方法是破产理论研究方法上的重要突破，最 后运用g e r b e r 的鞅方法证明l u n d b e r g 不等式 第3 章讨论一般情形的复合负二项风险模型，首先构造一个离散鞅，应用可选 抽样定理和收敛定理，给出该风险模型的最终破产概率公式的简洁证 明，并得出最终破产概率一个易于计算的上界表达式 第4 章在复合负二项风险模型基础上将每张保单的保费及单位时间内收取 保费次数都推广为随机变量，建立了保费完全随机的复合负二项风险 模型，并讨论该模型的性质，利用离散鞅理论得到它的最终破产概率及 l u n d b e r g 不等式 第5 章介绍同单调风险概念及判定方法，并运用随机序的方法给出了任一组 合风险的上下界 第6 章针对正态分布的风险值及停止损失保费问题，给出了一般情形下封闭 式集合风险模型的风险值及停止损失保费的计算方法引进非负随机 变量函数凸序研究随机资产的风险值( v a r ) ，证明了任意随机组合资 产的风险不会超过其各个随机资产的风险值之和，给出了投资组合的 风险值上界 5 风险结构问题研究 第2 章经典风险模型的鞅方法 1 9 0 3 年，瑞典精算师l u n d b e r g 在他的博士论文中引入齐次p o i s s o n 过程的风险 模型，从而开创了风险理论研究的先河。不过，l u 觳d b e r g 的工作不符合现代数学的严 格标准，它的严格化是由h a r a l dc r a m 6 r 为首的瑞典学派完成的继c r 锄6 r 之 后，h a n su 。g e f b e f 成为当代研究破产论的领先学者g e 内e r 在1 9 7 9 年发表的数 学风险论导引【1 7 l 一书已成为当今研究这一领域的经典著作，他以严谨的概率论基 础，简练清晰地深化了经典破产论的研究内容，并取得了重大的突破，获得了众多优 美的结果。本章内容还参照了文献【3 0 】 2 。- l l u n 曲e r g c r 纛融6 r ( l c ) 经典风险模型 设保险公司在时刻f 的盈余由。f = 。式给出： “ u ( f ) 一“+ 甜一置 f o ( 2 1 ) 其实际背景为： ( 1 ) “是保险公司的初始资本； ( 2 ) c 是每单位时间收取的保费； ( 3 ) 墨为第i 次发生理赔的理赔量，五，置，为独立同分布的取值于( o ，) 的随 机变蹙，公共分布为f x ) ，均值为= 叫x 】= f 1 一f ( x ) p 。 ( 4 ) ( f ) 表示至时刻f 为止发生的索赔次数， ( f ) ：f o 是以五( z o ) 为参数的 p o i s s o 蔹过程。 上述模型( 2 1 ) 即为l u n d b e 唱- c r a m 6 r 经典风险模型，关于此模型有下述三个 基本假定： 假定2 1 1 ( 独立性假定) 墨：f 1 ) 与 ( f ) ：f o ) 相互独立 本章恒记 ，f f l s ( f ) = 置，比o ( 2 2 ) f = l 它表示至时刻为止的索赔总额由模型的独立性假定知 露 s ( f ) = ( ) 是【x 】= 枷 保险公司为运作上的安全，要求 班一班s ( f ) = p 一缸) f o ，o 6 硕七学位论文 假定2 1 2 ( 相对安全负载假定) 设 c = ( 1 + 9 ) 舡， ( 2 3 ) 其中p 0 ，称为相对安全负载 由于p o i s s o n 过程具有齐次独立增量过程1 8 1 ，知 d s ( f ) ：f o ) 为齐次独立增量 过程由强大数定律可知 魑u ( f ) = 佃， f 定义2 1 1 以下恒记r 为保险公司首次破产的时刻，简称为破产，即令： 丁= i n f f ：u ( f ) o ， i n f a = o 。( 2 4 ) 定义2 1 2 保险公司最终破产概率 甲( “) = p ( r l u ( o ) = “) v “o ( 2 5 ) 注：破产概率的理解不能绝对化，它并非真正表示保险公司在近期倒闭的概率， 因为我们忽略了影响公司盈余的许多其他因素( 例如分红、通货膨胀或对一些理赔 记录不好的风险变量提高保费等) 如果将所有的因素考虑在内盈余很可能为正，但 破产概率是一个衡量保险公司风险极其重要的指标 假定2 1 3 ( 调节系数存在唯一性假定) 首先，要求个体索赔额的矩母函数： 肘砷) = 成= j c o 矿扭( z ) = 1 + ，j c o 矿( 1 一f ( x ) ) 出 ( 2 6 ) 至少在包含原点的某个邻域存在；其次，要求下述方程 肘砷) = l + 羞， ( 2 7 ) 具有正解我们将这个正数解r 称为调节系数 定理2 1 1 ( l u n d b e r g c r a m 6 r 1 9 吲1 ) 若假定2 1 卜2 1 3 成立，则有： ( 1 歹甲( o ) 2 南： ( 2 8 ) ( 2 ) l u n d b e r g 指数型不等式：甲( 甜) p 一黜，v 材o ； ( 2 9 ) ( 3 ) l u n d b e r g - c r 锄6 r 近似：存在常数c ，使得 甲( “) 一c o 一肋，“专 ( 2 1 0 ) 即 嫩掣_ 1 ( 2 注：l u n d b e r g c r 锄6 r 的结果可直观地表述为：初始盈余为0 时，破产概率 甲( o ) 的确切解仅依赖于相对安全负载口，与个体理赔额分布的具体形式无关此外， ( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 两式解释了：若初始盈余很大，保险公司在经营“小索赔”情形( 即 要求调节系数存在) 业务时，破产是不易发生的 7 风险结构问题研究 2 2 风险理论研究方法的改进 作为s t o c k h o l m 学派的领导人物糕。c f a m 6 r 在完善l u n d b e r g 的数学工作中发 挥了重要作用，同时从这一研究出发，发展了概率统计和随机过程到了1 9 5 5 年， c r a m 6 r 发表的综述性立章c o l l e c t i v er i s kt h e o r y ，标志着s t o c k h o l m 学派已 将风险论置予一个严格的数学基础之上，并为耩算师处理绝大多数实际的保险闻题 提供了主要的分析工具虽然c r a m 6 r 在数学上是严格的，但其分析方法较冗繁，其 后f e l l e f 的更新论证和g e 南钟的鞅方法给出了定理2 1 1 一个简洁酶证臻。本节主 要介绍l u n d b e r g 不等式的鞅方法证明 2 。2 1 鞅知识简介 本节介绍有关鞅的一些概念和知识，详见 2 2 】 定义2 2 1 称随机过程 x # ) ：o 为一鞅，若有 ( 1 ) e 肛( f ) 1 o ，恒有 层 x ( f ) = e e x ( f ) ix ( o ) = e ( o ) 定义2 2 2 称非负随机变量f 是关于随机过程 x ( ) ：f o 的随机时闻，若对一 切f o 。 f 万 x ( s ) ：s f ， 其中拶 ( j ) ：葶， 表示包含一切形如 爿( s ) 工 ( s z ，z g 戈1 ) 的事件的最小一 代数 特别地，褡随机时间f 是关于随机过程 爿( f ) ：o 的停时，若 p ( f 。o ) 端1 推论2 2 1 若r 是关于随机过程 x ( f ) ：o 的停时，则对任意固定时刻 ，f = 幽 r ，f 是关于随机邋程 x ( f ) ：f o 的有赛停时。 定理2 2 1 ( 停时定理) 若f 是关于随机过程 x ( f ) ：f o 的有界停时，则有 e x ( r ) = e x ( o ) 定理2 。2 2 鞅收敛定理设 鼍；关于 夏；是鞅，且存在一常数囊，使 8 硕七学何论文 v 刀，瓯2 七 o o ，则存在一有限随机变量以，使得 p ( 熙_ = 瓦) = 1 ，舰e l 疋一x 。1 2 = o 定理2 2 3 ( l e b e s g u e 控制收敛定理) 若( x ) 是非负可测函数序列，且 煅z ( x ) = 厂( x ) ，有可积函数g ( x ) 使z ( x ) g ( x ) ，( x e ，n ) ，则 厂( x ) 可积，且有，e 厂( 工) d = 舰j z ( 工) 定理2 2 4 ( 单调收敛定理) 设z ( 石) 为可测集ec r 9 上的一列非负可测函数列， 且在e 上五( 工) 六+ 。( 石) ，z = 1 ，2 ，( 单调列) 令厂( 工) = 舰厶( x ) ，则 熙j e 以( z ) 出= l 厂( x ) 出 2 2 2l u n d b e r g 不等式的鞅方法证明 f n 记( l c ) 经典风险模型【厂( f ) = “+ c 卜墨= “+ c f s ( f ) = “+ y ( f ) ，f o 每次事故 理赔量x 的矩母函数为m z ( ，) = e ( e ( r x ) ) ，r ( 一，+ ) 由于s ( t ) 服从参数为名 的复合泊松分布，故其矩母函数为虮( ，) = e ( e ( r s ) ) = e a m x ( ，) 一1 ) 本章恒记矿( f ) = c f s ( f ) 引理2 2 1y ( f ) 是齐次独立增量过程 证：由于 ( f ) ：f o 是以五( a o ) 为参数的p 。i s s 。n 过程，是一齐次独立过程1 8 1 ， ，“1 独立同分布随机变量置( f = l ，2 ，) 与 ( f ) ：f o 的独立性知s ( f ) = 五，是一 齐次独立过程，故矿( f ) 是齐次独立增量过程 引理2 2 2 m 矿( ，) ( 一尺) = 1 ，v f o 由于y ( f ) 是齐次独立增量过程，故有 吮( f ) ( r ) = p “ = ( m 呻) ( ，- ) ) ，v 伽 又闵 9 风险结构问题研究 掰呻) ( r ) = e p 垂磅 = 班p g 彰唧 五 地一r ) 一1 再由假定2 1 3 ，得 所以 = a 警 名膨x ( 一尹) 一盖+ 嚣 ， m 矿( 。) ( 一尺) = e x p 五m x ( r ) 一见一积) = e x p a + 出名一积) = l ， 坞( f ) ( 一r ) = h ( 1 ) ( 一r ) 。= w 弓l 理2 2 3 随机过程x ( ) 为鞅，其中 x ( ) = g - 删( ) = e x p 一灭矩一r y ) ) = x ( o ) e x p 一犬矿( f ) ) ，冀必调节系数。 证：( 1 ) e 眦t ) 叫x ( o ) 吣制 一l x ( o ) 懈g 制吖 = i x ( o ) l ( ( 1 ) ( 一尺) ) = l x ( o ) l f ) = x f ) | r p ( r f ) + e x ( ) | ? 户( z ) ， ( 2 。1 2 ) 1 0 硕+ 学位论文 当f r 时，u ( f ) o ，故 x ( f ) = p 制l ， 在( 2 1 2 ) 式中对第一项使用定理2 2 4 ( 单调收敛定理) ，第二项使用定理 2 2 3