（计算机科学与技术专业论文）模糊λ商空间研究及其应用.pdf

m st h e s i s r e s e a r c ha n d a p p l i c a t i o n o f f u z z y 名q u o t i e n ts p a c e s p e c i a l t y ：c o m p u t e rs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y m a s t e rd e g r e ec a n d i d a t e ：i n gq 坠塑! i 旦 s u p e r v i s o r ：p r o f w a n gj i a y a n g c o l l e g eo fi n f o r m a t i o ns c i e n c e e n g i n e e r i n g c e n t r a ls o u t hu n i v e r s i t y c h a n g s h ah u n a n p r c 删4 2m 59川1 一 舢7 一 川1 一 删y l唧_j， -氇。，qy呷劈 rl_f嘻i j-!1，nii ，盘l瞥pp寥e f￥謦rkl，i j露f乎rli，ik了 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名： 羞生象鑫 日期：璺望乜年上月丛日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：j 咝导师签幽日期：韭年上月生日 摘要 由于粒度计算的初衷就是解决复杂问题，而实际的复杂问题往往 是用精确的数据所无法描述的，因此研究模糊化的粒度计算是不可避 免的发展趋势。通过对它的研究，可以更好地揭示不同粒度计算模型 之间的内在本质特征。模糊商空间理论是模糊粒度计算的一个重要分 支，能够很好地体现人们解决不确定性问题时的一些特征。 本文把模糊商空间理论中的两个等价的叙述修正并扩展为三个。 利用商空间x ( 旯) 的距离函数，给出了新的模糊兄商空间的定义及其一 些基本概念与性质，避免了定义新的模糊等价关系，从而更加直接地 继承了模糊商空间理论。把模糊粗糙近似空间的信息量拓展到模糊五 商空间，特别地，当模糊等价关系具体为精确等价关系时，该信息量 就是粗糙集理论中的香农熵。给出了模糊允商空间下的模糊信息系统 约简条件，使模糊粗糙集的属性约简在模糊兄商空间下同样能实现。 针对传统粗糙集对连续属性直接离散化容易造成信息缺失和不 能对模糊属性处理的问题，提出了基于模糊力商空间的两个启发式属 性约简算法，对离散值域和混合值域决策系统均能有效地求出相对约 简，扩大了模糊五商空间的应用范围。在此算法中人们可以根据实际 决策需要和领域知识对阈值五进行更改，取得令人们满意的属性约 简。最后通过实例和理论分析论证了算法的有效性和优越性。 关键词模糊旯商空间，模糊等价，属性约简，信息量 a bs t r a c t t h eo r i g i n a li n t e n t i o no fg r a n u l a rc o m p u t i n gi st os o l v ec o m p l e x p r o b l e m s ，b u tt h er e a li s s u e sa r eo f t e nd i f f i c u l tt ob ec h a r a c t e r i z e db y a c c u r a t ed a t a s ot h er e s e a r c ho ff u z z yg r a n u l a r c o m p u t i n gi s a n i n e v i t a b l et r e n d t h r o u g ht h er e s e a r c h ，t h ei n t r i n s i cn a t u r eo fd i f f e r e n t m o d e l so fg r a n u l a rc o m p u t i n gi sr e v e a l e dm o r e t h o r o u g h l y f u z z y q u o t i e n ts p a c et h e o r yi sa ni m p o r t a n tb r a n c ho ff u z z yg r a n u l a rc o m p u t i n g ， a n dc a nr e f l e c ts e v e r a lf e a t u r e se x c e l l e n t l yw h e np e o p l ed e a lw i t ht h e u n c e r t a i np r o b l e m s t w o e q u i v a l e n tn a r r a t i v e si nf u z z yq u o t i e n ts p a c et h e o r ya r er e v i s e d a n de x p a n d e di n t ot h r e eo n e s b yu s i n gt h ed i s t a n c ef u n c t i o no fq u o t i e n t s p a c e 彳( 兄) i tr e f i n e st h ef u z z y 五q u o t i e n ts p a c ea n dd e s c r i b e ss o m e b a s i cc o n c e p t sa n dp r o p e r t i e s b e c a u s eo fa v o i d i n gt h ed e f i n i t i o no fa n e wf u z z ye q u i v a l e n c er e l a t i o n ，f u z z yq u o t i e n ts p a c et h e o r yi si n h e r i t e d m o r ed i r e c t l y t h e nt h ei n f o r m a t i o nq u a n t i t yo ff u z z y r o u g hp r o b a b i l i t y a p p r o x i m a t i o ns p a c ei se x t e n d e dt ot h eo n eo ff u z z y 五q u o t i e n ts p a c e i np a r t i c u l a r , w h e nt h ef u z z ye q u i v a l e n c er e l a t i o ni sac r i s pe q u i v a l e n c e r e l a t i o n ，t h ep r o p o s e di n f o r m a t i o nm e a s u r ei si d e n t i c a lt os h a n n o n so n e o fr o u g hs e tt h e o r y a n dt h er e d u c t i o nr u l e so ff u z z yi n f o r m a t i o ns y s t e m b a s e do nf u z z y 名q u o t i e n ts p a c et h e o r ya r ep r e s e n t e ds ot h a tf u z z ya q u o t i e n ts p a c ec a ng e tt h es a m er e d u c t i o nr e s u l t sa sf u z z y r o u g hs e t i nt h et r a d i t i o n a lr o u g hs e tm o d e l ，d i r e c td i s c r e t i z a t i o no fn u m e r i c a l a t t r i b u t e su s u a l l yb r i n g si n f o r m a t i o nl o s sa n df u z z ya t t r i b u t e sa r en o t t a k e ni n t oc o n s i d e r a t i o n a sar e s u l t ，t w oh e u r i s t i cr e d u c t i o na l g o r i t h m s o nt h eb a s i so ff u z z y 名q u o t i e n t s p a c et h e o r ya r ei l l u s t r a t e d t h er e l a t i v e r e d u c t i o nf o rd i s c r e t ea n dm i x e dr a n g ed e c i s i o n m a k i n gs y s t e m sc a nb e c a l c u l a t e de f f e c t i v e l yw i t ht h e s ea l g o r i t h m s t h e r e f o r e ，t h ea p p l i c a t i o n s c o p eo ff u z z yzq u o t i e n ts p a c ei se n l a r g e d a d d i t i o n a l l y , i nt h e s e a l g o r i t h m sp e o p l ec a nc h a n g et h et h r e s h o l dv a l u e 允t oo b t a i nt h e i r s a t i s f a c t o r y r e s u l t so fa t t r i b u t er e d u c t i o n a c c o r d i n g t ot h ea c t u a l d e c i s i o n m a k i n gn e e d sa n dd o m a i nk n o w l e d g e f i n a l l y , s i m u l a t i o nr e s u l t s a n dt h e o r e t i c a la n a l y s i sd e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s sa n ds u p e r i o r i t yo f i l f u z z y 五q u o t i e n ts p a c e ，f u z z ye q u i v a l e n c e ，a t t r i b u t e a t i o nq u a n t i t y i i i 1 3 本文主要内容6 1 4 论文组织结构7 1 5 本章小结8 第二章模糊集和商空间理论基础9 2 1 模糊集9 2 1 1 模糊集的基本概念9 2 1 2 模糊集的运算和截集1 0 2 1 3 模糊关系1 l 2 2 度量空间1 2 2 2 1 度量空间1 3 2 2 2 球形邻域和开集13 2 2 3 邻域和连续映射。1 4 2 3 拓扑空间15 2 3 1 拓扑空间1 5 2 3 2 内点、邻域和聚点一1 6 2 3 3 闭集、闭包和内部1 7 2 3 4 拓扑基1 8 2 4 商空间1 9 2 5 本章小结2 2 第三章模糊旯商空间2 3 3 1 模糊商空间理论2 3 3 2 模糊商结构2 5 3 3 模糊五商空间理论2 7 3 3 1 模糊名商空间的新定义2 7 致谢6 6 攻读学位期间主要研究成果目录6 7 硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 近几年来，粒度计算是人工智能领域中兴起的一个新的研究热点，它用足够 满意的近似解对精确解进行代替，改变了人们的传统计算方式，其利用不同的粒 度世界来求解问题，很好地反映了人们解决问题过程中的智能性。可是现实世界 中常常包含着海量的、不完整的、模糊的及不确定的数据或对象，对这些复杂事 物人脑具有很好的识别能力，而要使得计算机能跟人脑一样就必须对模糊性问题 进行研究和处理。由于粒度计算方法是用以解决复杂问题，提高复杂问题求解的 效率的，而实际的复杂问题通常是用精确的数据所无法描述的，因此，模糊化的 粒度计算研究是一个非常具有理论和实际应用价值的研究方向。 1 1 课题研究背景 人类在处理大量复杂信息时，由于对事物的认知能力有限，通常会把大量复 杂信息根据其各自的性能特征，把其划分为若干较为简单的块、类、群或组等， 其中每个被划分出来的块、类、群或组就是一个粒，这种处理信息的过程就被称 为信息粒化( i n f o r m a t i o ng r a n u l a t i o n ) 。信息粒中的元素根据不同的分类标准( 等 价关系、容差关系、相似关系、模糊等价关系等二元关系) 组成了一个对象的集 合。例如在集合论中，信息粒可以被看作是论域中的一个子集，这个子集既可以 是模糊也可以是清晰的。1 9 7 9 年，z a d e h 在世界上首次提出并讨论了模糊信息粒 化问题【l 】，从而信息粒化的思想被应用到了很多领域，如r o u g h 集1 2 , 3 】、f u z z y 集 【4 】、证据理论【5 1 等，引起了越来越多学者的关注【6 ，7 1 。1 9 8 5 年h o b b s 提出了粒度 ( g r a n u l a r i t y ) 的概念【8 】，接着19 9 7 年美国s a nj o s es t a t e 大学教授t yl i n 提出粒 度计算( g r a n u l a rc o m p u t e r i n g ，g r c ) 9 1 ，此时粒度计算在软计算、知识发现、人工 智能、数据挖掘中扮演的角色越来越重要了，而且取得了很好的成果。 粒度计算是一些理论、方法、技术或工具的总称，它是在对问题进行求解的 过程中使用粒度，即论域的聚合、分类或簇【l 们。粗略地讲，粒度计算既是模糊 信息粒度理论、粗糙集理论、商空间理论、区间计算等的超集，又是粒度数学的 子集。具体地讲，凡是在对问题的分析求解过程中，使用了分类、分组以及聚类 手段的所有的理论与方法都在粒度计算的范畴之内。对它的研究，已成为智能信 息处理领域新近研究的热点方向之一。 粒度计算是一种新的世界观和方法论，其思想实质是用简单易求、低成本的 可行的满意近似解对精确解进行代替，并根据人们对问题进行求解的经验知识， 硕士学位论文 第一章绪论 取得基本内容如粒度、等级、层次，进一步分解或细化问题，进而对整个事物有 较为系统全面的理解。随着现实世界中各个知识领域的数据和信息量的急剧增 加，在求解问题过程中对复杂信息的粒度化和简单化是我们研究粒度计算的一个 最直接原因。 对于粒度计算的研究一般来说可以从两方面考虑：粒的构造和使用粒的计 算。前者处理粒的形成、表示和解释；后者则着重处理在问题求解中使用粒和粒 的结构进行计算和推理【u 】。从另一层意义上说，粒度计算可以从算法和语义两 个层面进行展开，算法层面上主要考虑如何进行信息粒化和如何进行基于粒的计 算，而语义层面上主要考虑粒的解释和各种物理意义，如为什么两个对象会被分 到同一个粒中，为什么不同的粒之间会存在联系等等。 1 2 国内外研究现状 1 2 1 粒度计算研究现状 粒度计算是一种新的信息处理理念和计算方法。在求解问题的过程中，粒度 计算能够使得人们只对与当前问题相关的内容表示关心，而忽略那些不重要的部 分，减少问题的解的搜索空间，使问题求解的复杂度大大降低。目前关于粒度计 算的研究，特别是当一个问题包含不完全的、不确定的或模糊的信息时，主要有 三个理论模型和方法：基于模糊集的词计算，基于粗糙集的粒度计算，基于商空 间的粒度计算。 ( 1 ) 基于模糊集的词计算理论 由于对事物认识的不清或者描述事物的尺度具有模糊性，引起了事物划分上 的不确定性，即存在“亦此亦彼关系；而经典集合只能表示“非此即彼 的确 切概念【1 2 1 ，于是，1 9 6 5 年美国著名数学家l a z a d e h 提出模糊集理论【4 】。模糊集 合论强调的不是集合中包含哪些元素，而是集合中所包含元素的程度如何。1 9 7 9 年，他在文献 1 中首次提出模糊信息粒度化问题，把模糊集和信息粒度结合在 一起，对模糊逻辑理论及其应用起到了很好的促进作用，但在当时未引起足够的 重视。1 9 9 6 年，z a d e h 提出“词计算理论 【1 3 1 ，标志着模糊粒度化理论的诞生。 词计算理论对因特网上的海量信息资源的高效利用( 如w e b 语义服务) 有着深远的 影响。 z a d e h 在文献【1 4 】中讨论模糊信息粒度理论时指出：在人类的认知过程中， 有三个重要概念：一是粒度，包含将全体分解为部分；二是组合，包含从部分集 成为全体；三是因果，包含因果的关联；并且认为人类是用语言进行各种思考和 推理的，不同的词就表示不同的粒度，那么如何用“语言 、“词 来表示它们呢? 2 硕士学位论文 第一章绪论 这就牵涉到“词计算 的问题。它可以从狭义和广义两个方面来理解：狭义的模 糊词计算理论是指通过通常意义下的数学概念和运算( 如加、减、乘、除等) 构造 出带有语义的模糊数值型的词计算的理论体系；广义的模糊词计算理论统指用词 进行推理、用词构建原型系统和用词编程，前者是后者的基础【l5 1 。 在词计算理论中，信息粒是最基本的概念，信息粒用模糊集表示或用自然语 言中的词来标识，而信息粒之间的关系则用模糊图或者模糊i f t h e n 规则来表 示。1 9 9 7 年，z a d e h 提出基于广义约束的词计算理论框架，并重新阐述信息粒化 的重要性【l6 1 ，这引起了学者对粒度计算的关注。美国多特蒙德大学的h e l m u t t h i e l e 教授于1 9 9 8 年发表的“词计算理论的语义模型”【1 7 】，z a d e h 本人发表的文 献【1 8 , 1 9 】，以及中科院自动化研究所的王飞跃教授开发了以词计算为基础的语言动 力学系统【2 0 , 2 1 】，都对词计算理论及其应用的发展做了巨大贡献。 ( 2 ) 基于粗糙集的粒度计算 二十世纪初，德国数学家g f r e g e 提出了含糊一词，并用边界线区域思想来 解释含糊现象，即在全体论域上存在一些个体，既不能把其在其某个子集上进行 分类，也不能把其在该子集的补集上进行分类。1 9 6 5 年，美国数学家l a z a d e h 提出了模糊集，但遗憾的是，模糊集并没有给出具体数学公式来描述这一含糊概 念，也无法计算出它边界线上的含糊元素数目。1 9 8 2 年，针对g f r e g e 的边界线 区域思想，波兰数学家z p a w l a k 提出了粗糙集理论，用上近似集和下近似集之差 集来定义这种边界线区域。由于可以利用等价关系给出上近似集和下近似集的确 定的数学公式描述，因此可以把含糊元素数目计算出来，即可以计算出在真假二 值之间的含糊程度【2 2 j 。 粗糙集理论的主要思想是：设r 为某一非空论域u 上的一个等价关系， i s = ( u ，r ) 称为一个近似空间或知识库。在俗中，尺将u 分割成两两互不相交的 等价类，每一个等价类就是一个粒子，r 的所有等价类构成u 的一个划分。对 以u ，可以利用上、下近似集对其进行描述。令【x 】。表示包含元素x u 的r 等价类，即 x 】r = y i y r x ；x ，y u ，则x 的下近似为墨( x ) = x i x u ，【x 】r 互x ) ， 即那些根据知识尺判断肯定属于x 的u 中元素组成的集合【2 3 1 ，代表x 包含的最 大内核；x 的上近似为r ( x ) = xix u ，【x 】。n x o ) ，即那些根据知识r 判断 可能属于的u 中元素组成的集合，代表x 的最小闭包。当r ( x ) k ( x ) 时， 就称x 为粗糙集。基于粗糙集理论的粒度计算根据研究问题的需要，利用上近 似集和下近似集来对对象进行描述，并在知识库的分类能力保持不变的情况下， 通过知识约简，得到问题的分类规则或决策方针。 y yy a o 教授在研究粗糙集理论的基础上，先后提出了基于邻域系统的粒度 计算模型2 4 】和基于集合理论的粒计算模型【1 0 1 ，2 0 0 3 年t yl i n 扩展和补充了邻域 硕士学位论文第一章绪论 系统的粒度计算模型【2 5 】。y yy a o 教授和他的合作者对粒度计算进行了一系列研 究【2 6 , 2 7 , 2 8 , 2 9 , 3 0 , 3 1 l ，对粗糙近似、粒度计算、邻域系统作了进一步解释，并将其成 功应用于知识发现等领域。 目前粗糙集理论已是处理不精确、不确定和不完备问题的重要数学工具和软 计算方法，以其为理论基础的数据分析与处理技术也得到了日益广泛的应用。粗 糙集理论可以在不需要知道数据的先验知识的情形下，利用现有的数据，给出知 识的简化，为人们分析和处理不精确信息提供了一种非常有效的知识约简工具。 粗糙集理论的应用领域很广泛，在数据挖掘【3 2 1 、系统分析1 3 3 1 、神经网络【3 4 1 等领 域均有涉及。 ( 3 ) 基于商空间的粒度计算 张铃和张钹给出了粒度计算的特征【3 5 1 ，即在人类智能中，有一个公认的特 点，就是对于同一问题人们可以在极不相同的粒度上对其进行观察和分析。并且 对问题不仅可以在不同粒度的世界上进行求解，还能够很容易地在一个粒度世界 和另一个粒度世界之间来回自如地转换。通过这种对不同粒度世界的处理，很好 地反映了人们对问题求解的能力。正是基于上述逻辑以及数学上的商结构，此二 人于1 9 8 9 年在文献 3 6 ，3 7 q b 首先提出了商空间理论，并随后提出了基于商空间的 粒度计算模型【3 5 1 。基于商空间的粒度计算认为利用子集可以对概念进行表示， 不同粒度的子集就表示不同粒度的概念，空间的一个划分商空间( 知识基) 就形成了一簇概念，不同的商空间也就形成了不同的概念簇【3 8 】。对粒度计算的 研究，也就转化为对给定商空间上的不同子集间关系的研究。通过由等价类描述 的“粒度 来对概念进行刻画，这是粗糙集理论和商空间理论的共同之处。粗糙 集理论相当于无拓扑结构的商空间理论。 张铃和张钹还给出了利用商空间来描述不同粒度世界的方法：设一个问题能 用三元组( x ，厂，丁) 来描述，其中，彳表示问题的论域，厂( ) 表示论域的属性，丁 表示论域的结构。对问题( x ，厂，r ) ，称从不同的粒度( 角度、层次) 考察问题 ( x ，厂，r ) ，是指给定x 的一个等价关系r ，并由r 产生商集【x 】，然后研究相应 问题( 【x ，i f ，口】) ，其中【门，【卅分别表示商集【加上对应的商属性函数和商结 构。称( 【x 】，【厂 ，【丁】) 为( x ，丁) 的商空间。x 的所有不同的商集及其对应的商空 间，就构成了问题( x ，厂，r ) 的不同粒度世界【3 5 1 。 求解商空间，就是问题的“颗粒化”。选取适当的粒度也就是选取适当的商 空间。对问题( x ，厂，r ) 可以从三个方面来对其进行颗粒化：一是对论域x 进行颗 粒化，如约束条件划分法；二是利用属性厂进行颗粒化，如属性划分法，投影划 分法；三是对结构取不同粒度，如取粗拓扑。 商空间理论的目的是研究不同商空间( 信息粒) 之间的关系、商空间的分解、 4 硕士学位论文 第一章绪论 合成和推理规律。商空间理论中有个很重要的原则就是同态原则，即保假原理或 保真原理，其是商空间理论在多粒度世界中进行推理的一个重要理论依据，可以 大大降低求解问题的计算量。所谓“保假原理”是指如果一个命题在粗粒度的商 空间中是假的，则该命题在比它细的商空间中一定是假的。所谓“保真原理 是 指如果一个命题在两个较粗粒度的商空间中是真的，则在一定条件下，在其合成 的商空间中该命题也是真的【l 引。这两个原理在商空间模型的推理中起着非常重 要的作用。它们符合我们日常生活学习中分析和解决问题的习惯，降低了对问题 求解的复杂度。因为在问题求解的过程中，粗粒度的世界通常比较简单，易于理 解，我们可以先在一个适当粗的粒度上进行求解，简化研究的问题。同时可利用 粗粒度的结果分析来指导我们对细粒度进行分析，构造出合理的分层递阶的粒度 结构，从而更高效地解决问题和处理信息。 但是，商空间理论不能高效地实现粒度与粒度之间、粒度与粒度世界之间、 粒度世界与粒度世界之间的相互转换【l 引。目前，商空间理论的应用研究主要集 中在规划包括运动规划和时间规划、信号处理( 图像分析与处理) 、数据挖掘( 海量 数据信息的检索与分类) 、模式识别等。 1 2 2 模糊商空间研究现状 尽管通常的清晰粒度计算方法( 如粗糙集理论，商空间理论) 在某些科学领域 已得到相当普遍的应用，但是其在人文、社会学科当中的应用还是有一定的局限 性，因为在这些学科的研究中，存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概 念，这些概念是用精确的数学语言无法刻画的。为了解决这些巨大复杂的人文社 会学科系统问题，如图像识别、医疗诊断、人工智能、品种选育、天气预报等诸 多领域，研究模糊化的粒度计算方法有很大的必要性。通过对它的研究，可以更 好地对不同粒度计算模型之间的内在本质特征进行展现。 为了将精确粒度下的商空间理论推广到模糊粒度计算中，即把商空间理论推 广为模糊商空间理论，可从三个方向入手：一是研究的论域是模糊空间；二是研 究的结构是模糊拓扑；三是研究的等价关系是模糊等价关系。 2 0 0 3 年张铃和张钹将模糊集合论引入商空间，证明了通过模糊等价关系可 以将原来的商空间理论推广为模糊商空间理论【3 9 1 ，并给出了几个基本性质。第 一，下面四项叙述是等价的：( 1 ) 在x 上给定一模糊等价关系r ；( 2 ) 工的商空 间【x 】上给定一个归一化的等腰距离d ；( 3 ) 给定x 的一个分层递阶结构 x ( a ) ) ； ( 4 ) 给定一个x 的模糊知识基。第二，x 上所有模糊等价关系构成一个完备半序 格。这两个结论为模糊粒度计算提供了非常有效的的数学工具。 2 0 0 4 年文献【4 0 】研究了模糊商空间粒度计算和分层递阶结构之间的关系，指 5 硕士学位论文第一章绪论 出了对于聚类的结构可以利用模糊商空间结构来表示，聚类结果也可以通过距离 空间的性质进行研究，根据在描述聚类的样本集时可以使用非均匀粒度的方法， 给出了基于高斯型函数的模糊商空间聚类算法。算法中没有用隶属度来表示信息 粒度，而是通过商空间距离来表示，而且此算法对参数的选择问题也不需要再考 虑，在对中国证券市场的实际应用中也收到了很好的效果。 2 0 0 8 年文献 4 1 】在模糊商空间理论基础上，利用模糊相似关系和归一化距 离，提出了基于此两者的聚类分析方法和其分层递阶结构的有效的快速聚类算 法，为聚类分析建立了严格的理论描述。还指出了两模糊相似关系同构的充分条 件，并且若一复杂系统的数据结构是建立在相似关系基础之上的，则这些理论和 方法对其有很好的适用性。 2 0 0 8 年文献【4 2 】对模糊商空间的性质进行了研究，讨论了模糊等价关系的截 集在取不同阈值时所对应的商空间结构之间的关系，并给出了在这些商空间结构 上分层递阶地生成归一化等腰距离的方法，然后分析了利用模糊等价关系的交与 并运算可以实现两商空间的合成，构造了商空间合成的又一新方法，从而进一步 地对模糊商空间理论进行了扩充。 2 0 0 9 年文献 4 3 1 把模糊商空间理论、小波分解方法与模糊聚类技术结合在一 起，提出了基于模糊商空间的纹理图像分割算法。算法中先通过小波分解方法小 波分解图像，再利用模糊软聚类方法来对每个分量图聚类，找到纹理区域的粗糙 边缘，进而可以确定精确的区域边界，成功地解决了多纹理图像区域边缘的定位 问题，为纹理图像分割又提供了一个新的方法。 2 0 0 9 年文献 4 4 1 把模糊商空间推广为模糊五商空间，说明了模糊商空间是模 糊兄商空间在旯取值为l 时的特例。利用给出的旯商空间的定义，证明了论域上 的一个模糊等价关系与允商空间上的一个归一化等腰距离是等价的。还指出了一 个模糊等价关系能够被一个五截关系序列所唯一确定。最后定义了模糊兄商空 间，给出了其一些性质，并引入模糊旯商空间族来求解模糊问题，其要比用模糊 商空间对问题进行求解更加优越，更能够体现人们解决问题的层次需要。 模糊商空间理论能够更好地反映出人类在对不确定性问题进行处理时的一 些特征，即在一定意义上说，概念的模糊与清晰、信息的不确定与确定都是相对 的，都与问题的粒度粗细有关。文献 4 5 1 将模糊商空间理论应用于电厂的煤炭价 格预测中，很好地提高了识别率，减少了对问题求解的计算量。 1 3 本文主要内容 作为模糊粒度计算的重要分支，张钹院士和张铃教授讨论了模糊商空间理 论。文献 4 4 】中通过定义一个新的模糊等价关系把模糊商空间推广到模糊五商空 6 硕士学位论文 第一章绪论 间，指出了模糊五商空间能够更有效地实现模糊问题的求解，更好地反映人们解 决问题的分层次的需求。 本文的主要研究工作包括： ( 1 ) 根据文献【3 9 】在证明“在x 上给定一个模糊等价关系等价于x 的商空间 】上给定一个归一化的等腰距离d ”这个叙述成立时所用的距离函数d 前后不 一致，导致了结论存在一定的错误，提出了修正并扩展的三个等价的叙述：( a ) 在x 上给定一个模糊等价关系r ；( b ) x 上给定一个归一化的等腰距离d ；( c ) x 的商空间x ( a ) 上给定一个归一化的等腰距离d ，。 ( 2 ) 本文利用商空间x ( 五) 的距离函数，给出了新的模糊兄商空间的定义， 避免了定义新的模糊等价关系，从而更好地继承和推广了模糊商空间。 ( 3 ) 针对传统粗糙集对连续属性约简因没有考虑不同实值数据对离散值不 同的隶属度而直接离散化会造成信息缺失【4 6 】，以及不能对模糊属性处理的问题， 文献 4 7 给出了对模糊信息系统( 可以包含离散值，连续值甚至模糊值) 进行约简 的定理，本文则通过定义模糊允商空间下的信息熵，将文献【4 7 的模糊信息系统 约简条件在模糊五商空间中实现。根据不同的兄值，便可对模糊信息系统有效地 求出相应的约简，满足人们在不同层次上分析解决问题时的需要。 ( 4 ) 利用模糊兄商空间下的模糊决策系统约简条件，给出了两个能直接应用 于离散值域和混合值域决策系统属性约简的启发式算法，从而把粗糙集的属性约 简引入到模糊允商空间中，使粒度世界的清晰粒度计算推广为更具实用性的模糊 粒度计算，进一步完善了粒度计算的理论体系。 1 4 论文组织结构 本文从模糊粒度计算下的模糊商空间理论出发，针对文献【3 9 】在证明两叙述 等价时的一些错误，把模糊商空间中的两个等价的叙述修正并扩展为三个，之后 给出了由模糊商空间推广得到的模糊力商空间的新定义及其一些基本概念与性 质，最后提出了基于模糊允商空间的属性约简算法。论文共分五章，总体结构组 织如下： 第一章主要介绍了粒度计算理论的研究背景、现状和意义，现实应用中模糊 粒度计算理论与方法研究的必要性，以及面临的问题和挑战。阐述了把商空间推 广为模糊商空间是研究模糊粒度计算的一个重要途径，并进而着重介绍了模糊商 空间的研究现状，给出了论文的主要研究内容，以及论文各章结构安排。 第二章简要论述了模糊商空间理论的基础知识。首先介绍模糊集理论的基本 内容，包括模糊集的基本概念与运算、截集和模糊关系；其次介绍商空间理论的 基本概念，主要包括度量空间、拓扑空间和商空间，并对这些概念的物理意义进 7 硕士学位论文 第一章绪论 行了阐述。 第三章着重论述了模糊五商空间理论。根据文献【3 9 】的一些错误，把模糊商 空间中的两个等价叙述修正并扩展为三个。之后利用商空间x ( 五) 的距离函数重 新定义了模糊旯商空间j 并把模糊粗糙近似空间的信息量拓展到模糊五商空间， 给出了模糊旯商空间下的模糊信息系统约简条件，使模糊粗糙集的属性约简在模 糊元商空间下同样能够实现。 第四章提出了基于模糊名商空间的两个启发式属性约简算法，解决了传统粗 糙集对连续属性直接离散化容易造成信息缺失和不能对模糊属性处理的问题，为 离散值域决策系统和混合值域决策系统的属性约简提供了统一的方法，使得粗糙 集与模糊名商空间更好地融合起来。最后通过理论和实验论证了算法的有效性和 优越性。 第五章归纳总结了论文的研究内容，对未来的研究目标进行展望，并提出进 一步的研究方向。 1 5 本章小结 本章首先介绍了粒度计算理论的概念、研究现状、主要应用和前景等。粒度 计算的基本问题包括粒的构造、用粒计算。目前粒度计算的理论模型主要有词计 算理论、粗糙集理论、商空间理论等。由于人们在长期的实践中已经清楚地认识 到精确的粒度计算方法应用到人文学科有很大的局限性，从而指出了研究模糊化 的粒度计算方法是非常必要的。然后阐述了模糊粒度计算方法中的模糊商空间理 论及研究现状，最后概括说明了论文的主要内容和组织结构。 8 硕士学位论文 第二章模糊集和商空间理论基础 第二章模糊集和商空间理论基础 随着计算机技术的发展，人们求解复杂问题的能力越来越强。在对复杂问题 建立数学模型时，必然地要对事物的不确定性进行处理，而模糊集研究的就是不 确定性现象。在商空间理论这个新的高效的清晰粒度计算模型中若能引入模糊集 合论，则对人们在处理不确定问题时的一些特点有更好的体现，为模糊粒度计算 提供了一种非常有效的数学工具。于是，张铃和张钹证明了利用模糊等价关系可 以将商空间推广为模糊商空间。本章主要阐述模糊商空间理论的基础知识。 2 1 模糊集 自然语言本身具有一定的模糊性。“他是高个子”就是一个模糊的句子，可 是其信息包容量却很大，通过此信息可以对他这个人进行一个整体定位，因此模 糊性有时也是信息浓缩的一种表现，是提取关键信息的有效途径。与计算机相比， 人脑对于复杂的客观世界具有一种天赋的模糊测量本领，正是这种优势使得人们 可以从模糊概念中挖掘出有价值的信息，从而进行高层次的信息研究分析。 1 9 6 5 年，美国控制论专家扎德( z a d e h ) 教授在信息与控制( i n f o r m a t i o na n d c o n t r 0 1 ) 杂志上发表了论文“f u z z ys e t s 1 4 1 ，标志着模糊数学的产生。模糊数学 为人类处理模糊和不确定性信息提供了一个强有力的工具，使人类从此可以用结 构化和公式化的数学手段处理边界不确定的信息，从而在模糊环境中做出正确的 决策。 2 1 1 模糊集的基本概念 在客观世界中存在着模糊概念，而模糊集合就是其必然的反映。通常所说的 模糊概念是指有一定内涵但没有明确外延的概念。例如， “年轻人这一概念， 哪个年龄段的人是年轻人，没有确定的划分界限，是不容易说清楚的，这便是一 个模糊概念。为了从数学上清楚地描述这个模糊概念，l a z a d e h 提出了模糊集。 在一个模糊集合中，对某些元素而言它们是否完全属于这个集合是不确定的，也 就是说这些元素对于这个模糊集合的隶属关系不是非此即彼的关系，这是与经典 集合的很大的区别。在模糊集合中，用隶属函数这个概念来表示一个元素对该模 糊集合的隶属关系。 定义2 1 ( 模糊集) 设普通非空集x ，从x 到单位区间 0 ，1 】的一个映射称为 x 上的一个模糊集a 。即给出映射4 ：x 专【0 ，l 】，xi - - - - 么( x ) ，v x x ，称此映射 9 硕士学位论文 第二章模糊集和商空间理论基础 为x 上的一个模糊集4 。4 ( x ) 称为4 的隶属函数，表示x 对4 的隶属度。 当4 ( x ) 的值域是 o ，1 ) 时，模糊集4 便变成了普通集合彳，而4 的隶属函数 4 ( 石) 就变为彳的特征函数k x ) 。4 ( x ) = 1 表示全隶属，4 ( x ) = 0 表示不隶属。由 此可见，普通集合是特殊的模糊集。 与粗糙集相对应，普通非空集合x 亦可称为论域x 。 定义2 2 ( 模糊幂集) 论域x 上的所有模糊集组成的集合记作f ( x ) ，称为x 的模糊幂集。显然p ( x ) ，( x ) ，其中p ( x ) 是论域彳上的所有经典集。 表示论域x 上的一个模糊集4 ，只需将v x x 附以该元素对模糊集彳的隶 属度d ( x ) ，然后将它们用一定形式构造在一起即可，下面给出模糊集的常用表 示方法1 4 8 】。 设论域x 是非空有限集，x = “，x 2 9 oo ，矗) ，a 是x 上的任一模糊集，隶属 函数为4 ( 一) ( i = 1 ，2 ，力) 。 ( 1 ) z a d e h 表示法 a 。= 4 ( x o x l + 4 ( x o x 2 + + 4 ( 矗) 矗 这里“+ ”不表示求和，只有符号意义，4 ( 薯) t 不是分数，表示薯对模糊集4 的 隶属度是4 ( 五) 。 ( 2 ) 序列表示法 a = a ) 么。和爿：分别称为么的五截集和兄强截集，力称为置信水平或阈限值。 2 1 3 模糊关系 关系是集合论中的一个重要概念，很多新的概念都是在它的基础上而产生 的。通常我们所说的关系r ，是指u 和y 两集合的笛卡尔积( 也叫直积) u xv 的 一个子集，现在我们把它推广到模糊集合中来。 定义2 6 ( 模糊关系) 所谓u 和v 两集合的直积 u xv = ( “，v ) iu u ，1 ，v ) 中的一个模糊关系r ，是指以u xv 为论域的一个模糊集，序偶( “，v ) 的隶属度为 8 ( u ，) ，即霉f ( u xy ) 。 当u ：v 时，我们称r 是u 上的模糊关系。 定义2 7 设霎，s f ( x x y ) ，定义： ( 1 ) 尽当且仅当v ( x ，y ) x xy ，8 ( x ，y ) ( x ，y ) ( 2 ) r 。= 当且仅当v ( x ，j ，) x y ，8 ( x ，y ) = s ( x ，y ) 定义2 8 设尽，( x y ) ，定义： ( 1 ) ( r u _ s ) ( x ，y ) = 8 ( x ，y ) v s ( x ，j ，) ( 2 ) ( 墨f l s ) ( x ，y ) = 8 ( x ，y ) 八s ( x ，y ) ( 3 ) 霉c ( x ，y ) = l - 8 ( x ，y ) 分别称为霉和的并关系、交关系和尽的余关系h 舛。 定义2 9 设霹f ( x xy ) ，s f ( y xz ) ，定义一个x 到z 的模糊关系墨。 为v xex , ze z ，( 尽。s ) ( x ，z ) = 善( 霉( x ，y ) s ( y ，z ) ) ，则称墨。s 为r 。和的合成 关系，或称为r 和s 的乘积。 1 1 硕士学位论文 第二章模糊集和商空间理论基础 定义2 1 0 ( 模糊等价关系) 墨f ( x x x ) 是x 的模糊等价关系当且仅当尽 满足： ( 1 ) 自反性：8 ( x ，x ) = 1( v 膏x ) ( 2 ) 对称性：8 ( x ，j ，) = 8 ( y ，x ) ( v x ，y x ) ，即霉= 霎 ( 3 ) 传递性：r 。2 = r 。r r 。 由该定义可推知，设8 是x 上的一个模糊等价关系，若v x ，y x ， x y 8 ( x ，y ) = 1 ，则“ 是x 上的一个普通等价关系【3 9 1 。 定义2 1 l ( 模糊相似关系) 一个模糊关系r f ( x x x ) 称为x 的一个模糊 相似关系，当且仅当它满足： ( 1 ) 自反性：霉( x ，x ) = 1 ( 溉彳) ( 2 ) 对称性：8 ( x ，y ) = 8 ( y ，x