（应用数学专业论文）复双曲几何中三角群的分类与形变.pdf

硕士学何论文 摘要 本文主要研究了在礼1 = 1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 时复双曲三角群( 佗1 ，死2 ，n 3 ) ( 礼l n 2 礼3 ) 的分类复双曲三角群( 礼1 ，n 2 ，死3 ) 是由三个分别固定复测地线g ，g ，g 的二阶复反射 ，尼，厶生成的复双曲等距群，其中g 和g + 1 相交的夹角为 7 r 我们假定初始嵌入为i r f u c h s i a n 嵌入，对于每一个三元组( n 1 ，n 2 ，礼3 ) ，都 对应一族单参数的复双曲三角群在形变过程中，若w a 比先变为椭圆，则 ( n 1 ，礼2 ，礼3 ) 是t y p ea 的，否则是t y p eb 的，其中w a = 3 j 1 2 1 1 2 ，w b = 如厶 我们已经知道当n 1 1 3 时为t y p e b 当r t l = 1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 时，情况变得非常复杂，此时( 仡1 ，n 2 ，n 3 ) 的类型还与n 2 ，n 3 的取值有关于是，我们先固定礼1 分别为1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，然后用一条直线从内部逼 近g o l d m a n 扭线，并用该直线和形变曲线的交点取代g o l d m a n 扭线和形变曲线 的交点通过比较验证，我们得出：当n 2 分别大于3 0 ，1 9 ，1 6 ，1 4 时，( 仡1 ，n 2 ，n 3 ) 是 t y p eb 的接下来，我们对余下的有限的n 2 进行逐一判断，即固定n 1 和t 2 然 而，此时的珊却是无限的，故我们研究了判断函数关于佗3 的单调性因此，通过 对有限的情况进行判断，我们得到了余下的( n 。，n 2 ，佗3 ) 的类型 本文还研究了( 2 ，4 ，) 型三角群在复双曲几何中的形变问题我们假定初始 离散嵌入为c - f u c h s i a n 嵌入，并且三角群的生成元为三个关于l a g r a n g i a n 平面 的反射本文详细考虑了( 2 ，4 ，) 三角群表示空间中一个非平凡分支，通过构造 基本域的方法，得到了一个离散忠实的表示区间 关键词：复双曲几何；三角群；形变空间 硕上学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yi n v e s t i g a t e dt h et y p eo f c o m p l e xh y p e r b o l i c ( n l ，n 2 ，n 3 ) t r i a n g l eg r o u p sw h e n 佗1b e l o n g st o1 0 ，11 ，1 2 ，1 3 ac o m p l e xh y p e r b o l i ct r i a n g l e g r o u p ( 7 2 1 ，n 2 ，? 2 3 ) i st h eg r o u po fc o m p l e xh y p e r b o l i ci s o m e t r i e sg e n e r a t e db yc o r n - p l e xi n v o l u t i o n s1 1 ，2 ，3f i x i n gt h r e ec o m p l e xl i n e sc 1 ，c 2 ，gs u c ht h a tc ka n d c k + 1m e e ta tt h ea n g l et c n ki nc o m p l e xh y p e r b o l i cs p a c e w es u p p o s et h a tt h e d e f o r m a t i o ni ss t a r t i n ga t r - f u c h s i a ne m b e d d i n g f o re a c ht r i p l e ( n 1 ，礼2 ，n 3 ) ， t h e r ee x i s to n ep a r a m e t e rf a m i l yo fc o m p l e xh y p e r b o l i ct r i a n g l eg r o u p s w es a y t h a tt h et r i p l e ( n l ，他2 ，n 3 ) h a st y p eai fw a = 1 3 1 2 i i l 2b e c o m e se l l i p t i cb e f o r e w b = 1 1 1 2 1 3a st h ep a r a m e t e rc h a n g e s w es a y t h eo t h e r w i s et h a t ( 7 2 1 ，? 2 2 ，? 2 3 ) h a s t y p eb i th a sb e e np r o v e dt h a tt h et r i p l e ( 7 2 1 ，n 2 ，n 3 ) h a st y p ea i fn l 1 3 t h es i t u a t i o ni sr a t h e rc o m p l i c a t e dw h e n7 2 1 = 1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 a n dt h et y p eo ft h et r i p l e ( n 1 ，? 2 2 ，? 2 3 ) w i l lb ec o n c e r n e dw i t hn 2 ，几3 s o ，w ef i r s t l y f i xt h en u m b e ro f 佗1w h i c hl i e si nt h es e t1 0 ，11 ，1 2 ，1 3 ，t h e nu s eas t r a i tl i n et o r e p l a c et h eg o l d m a nd e l t o i d ，a n dt h ei n t e r s e c t i o np o i n to ft h es t r a i tl i n ew i t ht h e d e f o r m a t i o nc u r v et or e p l a c et h ei n t e r s e c t i o np o i n to ft h eg o l d m a nd e l t o i dw i t h t h ed e f o r m a t i o nc u r v e b yc o m p a r i n ga n dv e r i f y i n g ，w eo b t a i n e dt h a t ( n l ，n 2 ，? 2 3 ) a r et y p ebw h e nt t 2 3 0 ，1 9 ，1 6 ，1 4a c c o r d i n gt oe a c hf i x e dn l = 1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 n e x t ，w eh a v ej u s tw a n t e dt od oi tf o rf i n i t ev a l u e so fn 2o n eb yo n e ，w h i c hm e a n s t h a tt h en u m b e ro fn 】a n dn 2a r ef i x e d h o w e v e r ，t h e r ea l w a y se x i s ti n f i n i t ec a s e s t ob ec o n s i d e r e da st h e 佗3e x c h a n g i n g t h e r e f o r e ，w es t u d i e dt h em o n o t o n eo f t h ed e t e r m i n ef u n c t i o na b o u tn 3 ，u n d e rw h i c hw eh a v eg o t t e nt h et y p eo ft h el e f t t r i p l e ( 7 2 1 ，n 2 ，? 2 3 ) b yd e t e r m i n i n gf i n i t ec a s e s w ea l s oi n v e s t i g a t e dt h ed e f o r m a t i o np r o b l e mo ft h et r i a n g l eg r o u p ( 2 ，4 io o ) i nc o m p l e xh y p e r b o l i cg e o m e t r y a s s u m et h a tt h eb e g i n n i n gd e f o r m a t i o nw a s c f u c h s i a ne m b e d d i n g ，a n dt h eg r o u pw a sg e n e r a t e db yt h r e er e f l e c t i o n sa b o u t l a g r a n g i a np l a n e w ep a r t i c u l a r l yc o n s i d e r e da n o n t r i v i a lb r a n c hi nt h er e p r e - s e n t a t i o ns p a c eo f ( 2 ，4 ，o o ) t r i a n g l eg r o u p ，a n do b t a i n e da ni n t e r v a li nw h i c ht h e r e p r e s e n t a t i o n s a r ed i s c r e t ea n df a i t h f u lb yc o n s t r u c t i n gt h ef u n d a m e n t a ld o m a i n s k e yw o r d s ：c o m p l e xh y p e r b o l i cg e o m e t r y ；t r i a n g l eg r o u p s ；d e f o r m a t i o ns p a c e i i i 硕上学位论文 第1 章绪论 1 1 研究背景及意义 双曲几何是现代复分析的几何理论中的一个重要分支【1 - 2 1 ，它与数学中的r i e - m a n n 曲面，低维拓扑，复动力系统和t e i c h m i i l l e r 空间，以及物理领域中的相对论 和超弦理论等许多学科都有着密切的联系双曲空间作为常负曲率的几何，它是黎 曼几何最重要的例子之一复双曲空间可以理解为双曲空间的一种”复化”( c o m p l e x i t y ) ，则是具有变负曲率的齐次( h o m o g e n e o u s ) 几何 二十世纪- - = 十年代，g i r a u d 3 】和c a f t a n 4 l 率先对复双曲二维空间进行研究 其后，复双曲空间理论没能得到更好的发展直到七八十年代，c h e n 和g r e e n b e r g 5 】 合作发表了一篇研究秩1 对称空间的文章，以及m o s t o w 6 】通过几何构造得到了 作用在复双曲空问上的非算术格紧接着，t 0 1 e d o 【7 】开始研究曲面的基本群在复双 曲空间的等距变换群中的表示问题，在八十年代末得出了一个刚性定理受到他 们工作的影响，g o l d m a n 8 - - 1 1 l 开始研究和总结复双曲空间的基础理论，并于九十 年代末出版了关于复双曲几何的著名专著【1 2 】期间，p a r k e r 的工作【1 3 1 5 】也推 动了复双曲几何的发展 形变问题是几何中的一个基本问题假设r 是一个有限生成的抽象群，g l 是 一个李群，g 2 是一个真包含g 1 的李群若给定一个初始离散嵌入p o ：f g ， 我们想知道是否存在一族离散嵌入p 。：r _ g 2 ，使得伽是这族嵌入中的一个嵌 入这就是我们所说的形变问题，其中离散嵌入的意思就是抽象群到李群中的离 散群的单同态 考虑形变问题的一个很好的对象就是当g 1 ，g 2 为秩一对称空间x ，托的 等距群，而r 同构于g 1 中的一个格若x 1 = h 2 为双曲平面，x 2 = h 3 为3 维 双曲空间，则此时的形变问题就是现在已经得到很好发展的经典拟f u c h s i a n 群理 论【2 】 作为3 维双曲几何中拟f u c h s i a n 群在复双曲几何中的直接推广，复双曲拟 f u c h s i a n 群是曲面基本群在全纯复双曲等距群中的离散( d i s c r e t e ) ，忠实( f a i t h f u l ) ， 保型( t y p ep r e s e r v i n g ) ，几何有限( g e o m e t r i c a l l yf i n i t e ) 表示由于复双曲空间中 存在两种全测地2 维子流形，每一种都具有双曲结构，所以我们有两种不同的初 始离散嵌入， r - f u c h s i a n 嵌入和c - f u c h s i a n 嵌入前者指的是初始离散嵌入 p o 固定一个l a g r a n g i a n 平面，后则指的是固定一条复测地线尽管拟f u c h s i a n 群理论已经发展的很成熟，但是复双曲拟f u c h s i a n 群理论的发展仍然相当缓慢， 如f 1 6 1 8 1 等结果，还存在很多平行的问题没能得到解决，见p a r k e r 和p l a t i s 的 综述 1 9 】 一1 一 复双曲几何中三角群的分类j 形变 反射三角群( n 1 ，他2 ，佗3 ) 可能是h 2 的等距群i s o m ( h 2 ) 中最简单的一类格 这个群是由关于夹角为7 r 礼1 ，7 r 他2 ，丌佗3 的测地三角形的边的反射牛成的，其中满 足不等式i i t l + 1 n 2 + i i t 3 1 我们允许其中的某个整数为，例如，( 2 ，3 ，o o ) 与经典模群是共约的( c o m m e n s u r a n b l e ) ，确切的说，模群是它的一个2 阶子群 我们已经知道，所有反射三角群在i s o m ( h 3 ) 中的嵌入都是刚性的( r i g i d ) 2 0 1 ， 也即是同一个群的任意两个离散嵌入是共轭的如果把h 3 换成复双曲平面h 暑， 则可以得到非平凡的形变【z 0 1 这些形变给出了一个很有吸引力的问题，因为它们 为现在仍然很神秘的复双曲形变提供了最简单有趣的例子 1 2问题的提出与研究6 ：- 参士i = l 果 复双曲三角群的研究开始于 1 0 】，他们考虑了复双曲理想三角群的形变问题， 并提出了g o l d m a n - p a r k e r 猜想其后，复双曲三角群的研究得到了很大的发展 其中，s c h w a r t z 在f 2 1 1 中证明了g o l d m a n - p a r k e r 猜想，这也就说明了离散复双曲 理想三角群的模空间是一个区间，且在这个区间里的表示都是忠实的( f a i t h f u l ) 随 后，s c h w a r t z 在2 2 1 中研究了位于离散区间端点的复双曲理想三角群，发现其在复 双曲空间边界上对应的轨形( o r b i f o l d ) 与w h i t e h e a dl i n k 在实三维空间中的补是 共约的( c o m m e n s u r a b l e ) w y s s - g a l l i f e n t 在2 3 1 中研究了三条复线相互分离的复 双曲三角群的离散表示，他还发现在( 4 ，4 ，0 0 ) 反射三角群的离散忠实表示区间之 外，仍然有可能存在可数无限个非忠实离散表示受到上面工作的影响，s c h w a r t z 在 2 4 】中研究了( 4 ，4 ，4 ) 反射三角群的离散非忠实表示，构造了一个封闭的双曲三 维流形( m a n i f o l d ) ，它是复双曲四维流形的理想( i d e a l ) 边界接着，d e r a u x 在 2 5 中 证明了( 4 ，4 ，4 ) 型复双曲三角群中存在一个上紧格随后，p a r k e r 在 2 6 1 中研究了 满足某些椭圆条件的非忠实离散( p ，p ，p ) 型复双曲三角群，其中的复双曲三角群 是由2 阶反射生成的同时，p a r k e r 和p a u p e r t 在f 2 7 1 中合作研究了高阶反射的 情况，除了得到对应于m o s t o w 格【6 】的结果外，还得到了一些例外群 在北京举行的2 0 0 2 年国际数学家大会上，s c h w a r t z 报告了有关复双曲三角群 的研究成果以及用到的一些方法，并提出了一系列的猜想f 2 8 】其中第二个猜想为： 当n 1 1 3 时则为t y p eb 他还猜测 当( n 1 ，扎2 ，n 3 ) 为t y p ea 时，则在( n 1 ，佗2 ，钆3 ) 反射群的形变空间中存在可数无限个 离散非忠实表示，若为t y p eb ，则不存在离散非忠实的表示，也就是说( 礼1 ，几2 ，n 3 ) 反射群形变空间中的离散表示都是忠实的s c h w a r t z 在f 2 1 1 中对( o o ，o 。) 反射 群，以及在 2 9 】中对充分大的n ，扎2 ，佗3 对应的( 佗，礼2 ，礼3 ) 反射群，证明了上述 猜测，而此时的( n 1 ，n 2 ，咒3 ) 都是t y p eb 的一般来说，要证明( n 1 ，礼2 ，佗3 ) 的表 示是离散忠实表示，则只要证明该表示对应的复双曲三角群中的无限阶元素都不 是正则椭圆根据g o l d m a n 的判断法则1 2 】，可以通过元素的迹来判断元素的类 一2 一 硕上学位论文 型于是，p r a t o u s s e v i t c h 在 3 0 】中对复双曲三角群的元素的迹进行了研究，得到了 计算具体元素迹的公式，并通过运用这些公式证明了一些三角群离散与非离散表 示的结果对于( n 1 ，佗2 ，n 3 ) 的分类，在一些特殊情况下，w y s s - g a l l i f e n t 在 2 3 】中 证明了：当礼1 3 时，( 佗，n ，c o ) 是t y p ea 的，当佗1 4 时，则是t y p eb 的p a r k e r 在 3 1 】中指出，只要在p r a t o u s s e v i t c h 3 0 】的工作基础上进行简单的计算， 就可以证明：当佗1 0 时，( 佗，n ，n ) 是t y p ea 的，当礼1 1 时，则是t y p e b 的g r o s s i 在 3 2 中证明了s c h w a r t z 的第二个猜想对于7 2 1 = 1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 时 ( n l ，n 2 ，钆3 ) 的分类是非常复杂的，虽然s c h w a r t z 在 3 3 中编写j a v a 程序对此时的 ( n 1 ，1 2 2 ，佗3 ) 进行了逐一判断，但是一直没有在理论上得到证明受到g r o s s i i 3 2 】证 明s c h w a r t z 2 8 】第二个猜想的启发，按照p a r k e r 的猜测，在导师的指导下，作者尝 试对n l = 1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 时的( n 1 ，几2 ，咒3 ) 进行分类，从理论上证明了s c h w a r t z 的 判断 3 3 】( 见附录b 2 ) 并修正了其中的一些因计算产生的误差，得到了下面的结果： 结果1t t l = 1 0 时( 礼1 ，n 2 ，几3 ) 的类型： ( 1 ) 若i 0 ? 2 2 1 4 ，则( 礼1 ，n 2 ，n 3 ) 是t y p ea ； ( 2 ) 若n 2 = 1 5 ，则当n 3 1 6 时，( n 1 ，n 2 ，礼3 ) 是t y p ea ； ( 3 ) 若礼2 = 1 6 ，则当礼3 1 7 时，( 钆1 ，n 2 ，n 3 ) 是t y p ea ； ( 4 ) 若n 2 = 1 7 ，则当礼3 1 9 时，( n 1 ，n 2 ，n 3 ) 是t y p ea ； ( 5 ) 若n 2 = 1 8 ，则当n 3 2 1 时，( n l ，1 2 ，n 3 ) 是t y p ea ； ( 6 ) 若几2 = 1 9 ，则当礼3 2 4 时，( n 1 ，n 2 ，礼3 ) 是t y p ea ； ( 7 ) 若n 2 = 2 0 ，则当n 3 2 7 时，( n 1 ，n 2 ，n 3 ) 是t y p ea ； ( 8 ) 若礼2 = 2 1 ，则当? 2 3 3 1 时，( n 1 ，n 2 ，n 3 ) 是t y p ea ； ( 9 ) 若? 2 2 = 2 2 ，则当n 3 3 6 时，( n l ，? 2 2 ，1 2 3 ) 是t y p ea ； ( 1 0 ) 若咒2 = 2 3 ，则当n 3 4 4 时，( n 1 ，佗2 ，n 3 ) 是t y p ea ； ( 1 1 ) 若7 2 2 = 2 4 ，则当n 3 5 9 时，( n l ，? 2 2 ，n 3 ) 是t y p ea ； ( 1 2 ) 若? 2 2 = 2 5 ，则当? 2 3 1 1 3 时，( 7 2 1 ，? 2 2 ，? 2 3 ) 是t y p ea ； ( 1 3 ) 其它的都是t y p eb 结果2n 1 = 1 1 时( 死1 ，n 2 ，n 3 ) 的类型： ( 1 ) 若7 2 2 = 1 1 ，则当? 2 3 1 2 时，( n l ，? 2 2 ，? 2 3 ) 是t y p ea ； ( 2 ) 若佗2 = 1 2 ，则当? 2 3 1 4 时，( 7 2 1 ，? 2 2 ，? 2 3 ) 是t y p ea ； ( 3 ) 若n 2 = 1 3 ，则当? 2 3 1 6 时，( 7 2 1 ，1 2 2 ，? 2 3 ) 是t y p ea ； ( 4 ) 若礼2 = 1 4 ，则当n 3 1 9 时，( 7 2 1 ，n 2 ，n 3 ) 是t y p ea ； ( 5 ) 若n 2 = 1 5 ，则当? 2 3 2 3 时，( n l ，1 2 2 ，n 3 ) 是t y p ea ； ( 6 ) 若n 2 = 1 6 ，则当n 3 3 1 时，( 礼1 ，n 2 ，n 3 ) 是t y p ea ； ( 7 ) 若n 2 = 1 7 ，则当n 3 4 9 时，( n l ，n 2 ，n 3 ) 是t y p ea ； ( 8 ) 其它的都是t y p eb 一3 一 复双曲几何中角群的分类1 j 形变 结果3佗1 = 1 2 时( n 1 ，佗2 ，扎3 ) 的类型： ( 1 ) 若佗2 = 1 2 ，则当n 3 1 7 时，( n l ，n 2 ，n 3 ) 是t y p ea ； ( 2 ) 若t t 2 = 1 3 ，则当n 3 2 2 时，( 佗1 ，n 2 ，n 3 ) 是t y p ea ； ( 3 ) 若n 2 = 1 4 ，则当佗3 3 3 时，( 佗1 ，佗2 ，n 3 ) 是t y p ea ； ( 4 ) 其它的都是t y p eb 结果4n 1 = 1 3 时( n 1 ，n 2 ，n 3 ) 的类型： ( 1 ) 若t t 2 = 1 3 ，则当n 3 3 9 时，( n 1 ，佗2 ，n 3 ) 是t y p eb ，而当n 3 4 0 时， ( 佗1 ，n 2 ，n 3 ) 是t y p ea ； ( 2 ) 其它的都是t y p eb 在研究( n 1 ，n 2 ，n 3 ) 反射三角群的形变问题时，除了可以考虑初始离散嵌入为 r - f u c h s i a n 嵌入的复双曲三角群之外，还可以考虑初始离散嵌入为c - f u c h s i a n 嵌入的l a g r a n g i a n 三角群，即由三个关于l a g r a n g i a n 平面反射生成的三角群 2 0 0 0 年，g u s e v s k i i 和p a r k e r 在3 4 1 中证明了( ，) 反射三角群在c - f u c h s i a n 嵌入的周围仍然存在离散表示几乎同时，f a l b e l 和k o s e l e f f 在 3 5 中用不同的方 法证明了相同的结果2 0 0 2 年，f a l b e l 和k o s e l e f f 在 3 6 】中研究了( 礼1 ，n 2 ，c o ) 反射 三角群在初始离散嵌入为c - f u c h s i a n 嵌入时的形变空间的局部刚性( r i g i d i t y ) 和 局部弹性( f l e x i b i l i t y ) ，通过使用c - s p h e r e s 构造特殊的基本域，证明了当2 死1 n 2 时，( n 1 ，仡2 ，) 反射三角群的模空间中存在维数分别为o ，1 ，2 的开集特别地， 经典模群作为( 2 ，3 ，。o ) 型l a g r a n g i a n 三角群的2 阶子群，其形变空间在初始离散 嵌入的周围存在0 维和1 维的分支，其中有四个0 维分支和二个1 维分支也就是 说，模群的六个表示分支中，每个0 维分支是对应于c f u c h s i a n 表示的单点集， 其它两个分支是1 维的解析曲线同年，他们在 3 7 】中证明了( 2 ，3 ，) 反射三角 群的形变空间中存在一个连接c - f u e h s i a n 嵌入和i t 跫- f u c h s i a n 嵌入的连通分支， 也就是说该表示分支是一条闭的解析曲线，其端点分别对应于c - f u c h s i a n 表示 和1 t 跫- f u c h s i a n 表示f a l b e l 和k o s e l e f f 的弹性结果说明了g o l d m a n - 局部刚性 定理【9 l 在非上紧格的情况下是不成立的，这也就表明g o l d m a n - 局部刚性定理只 能在上紧格的情况下成立2 0 0 3 年，f a l b e l 与p a r k e r 在f 3 8 1 中研究了模群在复双 曲等距群中形变空间的第二个非平凡分支，他们使用角不变量对其表示空间进行 参数化，证明了该分支是半开半闭的解析曲线，其中闭的一端对应于c n c h s i a n 表示到目前为止，模群的离散忠实表示在共轭下构成的模空间与理想三角群的 模空间，是仅有的两个被完全描述清楚的f u e h s i a n 群的复双曲形变空间 在本文中，我们研究了( 2 ，4 ，c x ) ) 反射三角群的形变空间由于不能使用角不 变量来参数化形变空间，所以我们采用f a l b e l 和k o s e l e f f 的方法，通过参数化三 个r - c i r c l e s 的c o n f i g u r a t i o n 空间来得到( 2 ，4 ，o o ) 三角群的形变空问的表示，然 后构造特殊的基本域来证明表示的离散性，并得到如下结果： 一4 一 硕士学位论文 定理4 3 8 当詈口吾时，由( 如，1 1 ，易) 确定的三角群的嵌入都是离散忠 实的一 一 。 一 一 一5 一 复双曲几何中三角群的分类j 形变 第2 章复双曲空间 2 1复双曲平面 在本节中，我们给出一些复双曲几何的背景知识，更多的相关内容请参考f 1 2 1 和 3 9 】 设c 2 ，1 是被赋予一个符号差为( 2 ，1 ) 的非退化不定h e r m i t i a n 形式( ，) 的3 维复向量空间，其中( ，) 由具有2 个正特征值和1 个负特征值的非奇异3 3h e r m i t i a n 矩阵日确定我们一般考虑两种常用的h e r m i t i a n 形式、第一h e r i n i t i a n 形式和第二h e r m i t i a n 形式 令z ，彤为c 2 ，1 中的两个列向量，其对应的齐次坐标表示分别记为( z l ，z 2 ，z 3 ) 。 和( w 1 ，w 2 ，w 3 ) ，其中x 2 表示向量z 的转置第一h e r m i t i a n 形式定义为 其中矩阵凰为 ( z ，w ) 1 = w + h 1 z = z l w l + z 2 w 2 一z 3 w 3 ， 风= 而第二h e r m i t i a n 形式由下式定义 其中矩阵凰为 100 010 0 0 1 ( z ，) 2 = w + 4 2 z = 名1 _ 3 + z 2 w 2 + z 3 w l ， 凰= 0 01 o10 100 我们可以根据特殊情况来选择合适的h e r m i t i a n 形式如果不标明下标，则表示 任意一种形式都可以 设z c 2 ，一，易知( z ，z ) 是实的因此我们可以将向量空间c 2 ，1 表示成个子 集合让，耳和的并 亿= z c 2 ，1 ：( z ，z ) o ) 如果z 属于亿，耳和k 中，相应地，则称z c 2 ，1 分别为负的，零的，正的由 于( a z ，a z ) = 2 ( z ，z ) ，因此，对于任意一个非零复数a ，z 和a z 同时为零的， 一6 一 硕上学位论文 正的，负的故我们可以定义关于c 2 ，1 中第3 个坐标铂0 的点的投影映射其 定义如下： 一一 + p ： z l z 2 z 3 hh 铂1 c 2 1 z 2 z 3j 事实上，上面定义的投影映射是通常的投影映射p ：c 2 ，1 _ c p 2 在第3 个坐 标上的限制复双曲平面被定义为c 2 中所有负线的集合，它的边界则被定义为所 有零线的集合也就是说，h 丕= p u 和a h 鑫= p y o 根据定义，我们知道复双曲平面中的点表示的是c 2 ，1 中的一条直线，所以，我 们可以将z = ( z 1 ，z 2 ) c 2 提升到z = ( z 1 ，z 2 ，1 ) 。c 2 一，即提升后的第3 个坐 标被规范化为z 3 = 1 ，于是我们可以根据两种不同的h e r m i t i a n 形式得到两个不 同的复双曲平面的模型 对任意的z h 丕，其标准提升为z = ( z 1 ，z 2 ，1 ) 。c 2 ，接下来，我们根据 h e r m i t i a n 形式的不同，考查( 互z ) 为负时所对应的情况 对于第一h e r m i t i a n 形式，我们计算 ( z ，z ) = z 1 乏1 + z 2 2 2 1 0 ， 变形后既为 2 + l z 2 f 2 1 这也就是说，z = ( z 1 ，z 2 ) 位于c 2 的单位球中，故第一h e r m i t i a n 形式对应的复双 曲平面h 乏的模型是2 维复向量空间中的单位球，其边界a h 毛则是3 维单位球 面s 3 ： i z l1 2 十l z 2 1 2 = 1 对于第二h e r m i t i a n 形式，类似于上而的分析，我们计算 ( z ，z ) = z l + 乏1 + 勿乏2 0 ， 即有 2 瓣( z 1 ) + l z 2 2 1 这也就表明，z = ( z 1 ，名2 ) 属于c 2 的s i e g e l 域中，故第二h e r m i t i a n 形式对应的复 双曲平面h 丕的模型是2 维复向量空间中的s i e g e l 域，它的边界a h 丕为s i e g e l 域的边界 2 蹰( z 1 ) + l z 2 1 2 = 1 这个模型被称做s i e g e l 域模型很显然，我们可以通过添加无穷远点来紧化 s i e g e l 域点在c ( 2 ，1 ) 中的标准提升为( 1 ，0 ，o ) 。 一7 一 复双曲几何中三角群的分类与形变 复双曲平面h 乏上常用的度量为b e r g m a n 度量b e r g m a n 度量是通过下列 距离函数j d ( ，) ： c o s h 2 掣= 黼 来定义的 很容易看出，上述公式与z 和w 到c 2 ，1 中的标准提升无关根据其与距离函 数的关系，这也就表明b e r g m a n 度量与提升无关，即该度量的定义是合理的 通过计算，我们发现上述两种h e r m i t i a n 形式是等价的事实上，我们可以用 c a y l e y 变换来交换第一h e r m i t i a n 形式和第二h e r m i t i a n 形式令c 为 厂1 1 乙2 丽 10l 0 以0 10 一l 容易得到c = c ，其中c 是c a y l e y 变换这是因为c 满足如下关系 1 以 101 0 以0 1o 一1 1o0 o10 0 01 2 2 等距变换及其分类 1 钜 l01 0 以0 101 0 01 010 1o 0 由于复双曲平面上定义的b e r g m a n 度量只与h e r m i t i a n 内积有关，记s u ( 2 ，1 ) 为行列式为1 的复线性变换，其显然保持h e r m i t i a n 形式不变，则s u ( 2 ，1 ) 的射影 商群p u ( 2 ，1 ) 是h 丕的全纯等距群映射s u ( 2 ，1 ) _ p u ( 2 ，1 ) 是3 对1 的群 同态，同态核为 ，叫，w 2 ，) ，其中，为单位矩阵，为单位立方根于是，复双 曲平面的全纯等距群可以记为 p u ( 2 ，1 ) = s u ( 2 ，1 ) i ，w i ，w 2 j ) 又复共轭变换z _ 乏也是b e r g m a n 度量下的等距变换，它是反全纯的，所以h 暑 的等距变换群p u ( 2 ，1 ) 由全纯变换和反全纯变换生成 接下来对全纯等距变换群p u ( 2 ，1 ) 中的元素进行分类 令变换9 为p u ( 2 ，1 ) 中的元素，其被称为 ( i ) 斜驶元素如果9 固定a h 丕中的两个不同的点且在复双曲空间中无固定 点； ( i i ) 抛物元素如果夕固定a h 丕中的唯一一个点且在复双曲空间中无固定点； ( i i i ) 椭圆元素如果9 在复双曲空间h 毛中有固定点这三类可以对p u ( 2 ，1 ) 中的元素完全分类对于抛物元素和椭圆元素，我们可以得到更加详细的分类 一8 一 硕士学位论文 设a 为抛物映射，其对应的矩阵有一绝对值为1 的重根且这个特征根相应的 特征子空间是由一个中的向量p 张成的，而这个p 对应着a 在a h 丕中的唯 一固定点p 根据特征值的不同，存在两种情况，第一种为a 有一个3 重特征值， 第二种为a 有两个特征值且其中有一个是2 重的当a 是第一种情况时，其称为 纯抛物元素当a 是第二种情况时，则被称为螺旋抛物元素此时，a 的非重特征 值对应一个位于u 中的特征向量佗a 在复双曲平面上的作用是保持由向量佗 决定的复线不变，且在该复线上是传递作用的 若a 为椭圆元素，则存在三种情况假设a 有一个重特征值，其对应着一个 包含正的和负的向量的2 维特征子空间此时，a 固定这个特征子空间对应的复 线l 特别地，a 固定a h 乏中的点，故称a 为边界椭圆元素由于a 在h 丕上的 作用是绕着复线l 的旋转，所以a 是关于复线己的复反射如果a 不是边界椭 圆元素，那么它有一个由负向量彤张成的特征子空间，其中负向量w 对应着复 双曲平面中的一点w 这种情况下，a 被称为正则椭圆元素当a 是正则椭圆时， 仍然存在两种情形，若a 有一个重特征值，且其对应的特征空问是由两个正向量 张开的，此时a 是关于点w 的复反射，否则，a 有3 个不同的特征值 记g = f 1 ，w ，叫2 ) cc 为单位立方根的集合设 t r ：s u ( 2 ，1 ) 一c 是s u ( 2 ，1 ) 中矩阵的迹函数由于p u ( 2 ，1 ) 中的元素到s u ( 2 ，1 ) 中有3 个提升， 且这3 个提升仅相差一个单位立方根的因子因此h 毛的全纯等距变换所对应的 矩阵的迹，除了相差一个单位立方根的因子之外，是被唯一确定的 设f ：chr 为多项式 f ( z ) = i z l 4 8 睨( z 3 ) + l s l z l 2 2 7 ， 我们有如下判定元素类型的定理 定理2 2 1 【1 2 】映射t r ：s u ( 2 ，1 ) _ c 是满射如果a 1 ，a 2 s u ( 2 ，1 ) ，满 足t r ( a 1 ) = t r ( a 2 ) c f 。( o ) ，那么它们共轭设a s u ( 2 ，1 ) ( 1 ) a 是正则椭圆元素当且仅当f ( t r ( a ) ) 0 ； ( 3 ) 以是椭圆抛物当且仅当a 不是椭圆且t r ( a ) f _ 1 ( o ) 3 g ； ( 4 ) a 是复反射当且仅当a 是椭圆抛物且t r ( a ) f - 1 ( 0 ) 3 c 3 2 3全测地子流形与基本域 虽然复双曲平面h 毛中没有全测地实超平面，但是存在两种不同的全测地2 维子流形，即复测地线与全实伞测地子空间，后者又称作l a g r a n g i a n 平面每一 一9 一 复双曲几何中三角群的分类j 形变 条复测地线等距于h 丕nc 1 ，即每一条复线都可以通过s u ( 2 ，1 ) 中一个元素作用 复线己1 得到，其中 l 1 = ( 名1 ，钝) h 毛：z 1 = o ) 而每一个l a g r a n g i a n 平面则等距于h 丕nr 2 ，即每一个l a g r a n g i a n 平面可以通 过s u ( 2 ，1 ) 中一个元素作用标准实l a g r a n g i a n 平面r r 得到，其中 r r = ( z 1 ，z 2 ) 2 h 毛：i m ( z 1 ) = i m ( z 2 ) = o ) 复测地线和l a g r a n g i a n 平面的边界分别称为c c i r c l e 和r c i r c l e 给定h 丕中的任意两点，存在唯一的复测地线包含这两点任意一个正向量 v c 2 ，一，唯一确定以个2 维复子空间 z c 2 ”i v ，名) = o ) 和一条复测地线，因为复测地线即为2 维复子空间的射影像上述的正向量v 称 为复测地线的极向量( p o l a rv e c t o r ) ，且可以规范成( v ，v ) = 1 任意两条复测地线之间存在有四种位置关系： ( 1 ) 重合， ( 2 ) 相交于h 丕内一点， ( 3 ) 两者的闭包相交于边界a h 丕上一点， ( 4 ) 两者的闭包分离 令c 1 和c 2 为两条复测地线，它们的极向量分别为v 。和v 2 ，我们不妨假设 两个极向量都被规范化 ( u 1 ，v 1 ) = ( u 2 ，v 2 ) = 1 复测地线c 1 和c 2 相交于h 乏内一点当且仅当 i ( 钉1 ，口2 ) l 1 此时，复测地线c 1 和c 2 在交点的角度z ( c l ，c 2 ) 【0 ，7 r 2 】定义为 么( c l ，c 2 ) = iv l ，忱) l 1 ， 一1 0 硕上学位论文 此时c 1 和c 2 之间的距离2 满足关系 i ( v l ，v 2 ) = c o s h ( 2 ) 基本域是双曲几何中一个很重要的概念 定义2 3 1 1 4 0 】流形x 中的一个子集d 是离散群g 的基本域当且仅当 ( 1 ) d 是一个连通开集； ( 2 ) 对于g 中任意非平凡元g ，均有g ( d ) nd = 仍； ( 3 ) x = u 口g 夕( d ) ，其中d 表示d 的闭包 p o i n c a r d 多边形定理是证明离散性的一个主要工具在f 4 l 】中，f a l b e l 和z o c c a 证明了在没有抛物元素的情形下的复双曲几何中的p o i n c a r d 多边形定理，在【3 5 中， f a l b e l 和k o s e l e f f 证明了只含有抛物元素的情况下的复双曲几何中的p o i n c a r d 多 边形定理，在 3 6 中，他们又给出了含有抛物和椭圆元素下的p o i n c a r d 多边形定 理本文中只要用到含抛物和椭圆情况下p o i n c a r d 多边形定理，故只对该种情况 下的定理进行介绍，具体情况可以参见上述文献 令 r ) 是一族有限r c i r c l e s ， s i 】是一族环绕 r ) 的c - s p h e r e s 假设 这些 r - c i r c l e s 中的每两个r c i r c l e s 要么至多交于一点，此时对应的c - s p h e r e s 相切，或者，相扣或交于两点，此时对应的c - s p h e r e s 交于不变c c i r c l e s 中的一 个这个相交的c c i r