（基础数学专业论文）不动点理论及mazurulam等距定理的一些探讨.pdf

福建师范大学朱耿灿硕士学位论文 摘要 硕士学位论文不动点理论及m a z u r - u l a r n 等距定理的一些探讨综合运用 b a n a c h 空间几何理论和算子方面的知识全文共分如下三个章节， 第一章为绪论主要介绍本文的研究背景及相关的一些预备知识，并且给出文 中所涉及的大部分概念和记号 第二章中，研究了赋伊范空间中渐近伪压缩和渐近非扩张映象的不动点迭代 逼近问题，证明了渐近伪压缩映象t 的修改的i s h i k a w a 迭代序列收敛到不动点的 充要条件 第三章中，研究了在赋2 范空间( 更一般地，在2 一距离空间) 框架下有关不动 点理论以及相关的问题，运用p i c a r d 迭代序列逼近的方法证明了压缩型映象有唯 一不动点，进而也讨论了p i c a r d 迭代序列的稳定性 第四章中，探讨了在赋( 2 ，p ) 范空间中的m a z u r - u l a m 问题，考虑用其他条件 来替代。满射”这个条件 关键词：渐近伪压缩映象，不动点，赋2 范空间，p i c a r d 迭代，赋( 2 ，p ) 范空间，2 一等距，m a z u r - u l a m 定理 i 福建师范大学朱耿灿硕士学位论文 中文文摘 本文研究了在赋伊范空间以及赋2 - 范空间( 更一般地，在2 一距离空间) 框架 下有关不动点理论的问题，并且探讨了赋( 2 ，p ) 范空间等距理论问题文章的结构 安排如下， 第一章介绍了本论文的研究背景，介绍了不动点理论和等距理论的基本问题， 归纳了在不同的空间框架中研究不动点理论和等距理论的成果和发展历程，概括目 前国内外有关这方面问题的研究情况和主要结果，并给出本文所需的一些基本结果 和预备知识，为第二、三章的探讨作铺垫 在第二章中，首先在赋p 一范空间的框架下修改i s h i k a w a 迭代序列，进而研究 渐近伪压缩和渐近非扩张映象的不动点的迭代逼近问题，从而证明了渐近伪压缩映 象t 的修改的i s h i k a w a 迭代序列收敛到不动点的充要条件得到了如下结果t 定理2 2 1设d 是赋多一范空间e 中一非空夕一凸闭子集，t ：d _ d 是具 实数列【七n 】- c 【1 ，+ ) 且l i mk = 1 的致l - l i p s c h i t z 的渐近伪压缩映象，l 1 设 入n 】- ， 加】- ， ， 以】均是【o ，1 】中的数列，且满足是o ( 1 一入n ) 卢 + o 。任给 2 ；0 d ， z n ) 是由( 2 1 ) 式定义的修改的i s h i k a w a 迭代序列若f ( t ) o ( f ( t ) 表 示t 的不动点集) ，口f ( t ) 是任一给定的点，则l i r a | | o n 一口i i 存在 定理2 2 2 设d 是e 中一非空p 一凸闭子集，t ：d _ d 是具实数列 k c 【l ，+ o 。) 且l i mk = 1 的一致l - l i p s c h i t z 的渐近伪压缩映象，l 1 设 入n ) ， 脚) ， ) ， 矗】l 均是 o ，1 】中的数列，且满足是o ( 1 一a n ) 卢 + o 。任 给z o d ，【o n ) 是由( 2 1 ) 式定义的修改的i s h i k a w a 迭代序列若e 是完备的且 f ( t ) 谚，则 z n ) 收敛到t 的个不动点的充要条件是l i r ai n fd ( x n ，f ( t ) ) = 0 ， 其中d 白，g ) 为y 到集合c 的距离，即d ( 可，c ) = 垫至矗( y ，石) 再c u 在第三章中，首先给出2 距离空间中几个压缩型映象的定义，并指出它们之间 的一些等价关系，接着应用p i c a r d 迭代序列逼近的方法证明每个这样的压缩型映 象都有唯一的不动点进而，我们考虑对这些压缩型映象，其p i c a r d 迭代序列的稳 定性 定理3 2 2 完备2 一距离空间x 中的自映象，g 满足： d ( ，( z ) ，9 ( 可) ，a ) s hm a x d ( x ，可，口) ，【d ( x ，( z ) ，口) + d ( y ，夕( ! ，) ，口) 】2 ， 【d ( x ，夕( y ) ，a ) + d ( ，( z ) ，n ) 】2 ) i i i 福建师范大学朱耿灿硕士学位论文 对任意的z ，y ，o x 其中0 h 0 则，的不动点集是闭的且是凸的 z ，”。；t 在第四章中，我们探讨了在赋( 2 ，p ) 范空间中的m a z u r - u l a m 问题，考虑用其 福建师范大学朱耿灿硕士学位论文 他条件来替代。满射”这个条件首先在文献【3 4 j 的基础上，我们将考虑当空间y 是严格p 一凸的情形而文献【3 3 】给我们提供了更直接更一般的条件，由此我们得 到了一些结果： 定理4 2 1 设y 是p 一严格凸的，：x _ y 且f ( o ) = 0 ，若丁为2 等距映 射，则，必是线性的 定理4 2 2 设y 是p 一严格凸的，若，：x y 是保1 ，矿和( 1 + 口) p 的映射， 其中a 为某正数，且f ( o ) = o ，则，必为一个线性等距映射 定理4 2 3 设，是x 到y 的2 - 等距映射，且对任意的z ，y ，z x ，如果z ，箩，z 是共线的，那么，( z ) ，( y ) ，f ( z ) 必也是共线的，则，是线性的 v 福建师范大学朱耿灿硕士学位论文 a b s t ra c t m a s t e rp a p e r 。s o m ef i x e dp o i n tt h e o r e m sa n di s o m e t r i ct h e o r e mi nl i n e a r2 一 n o r m e ds p a c e ”，w h i c hb a s e do nt h ef o r m e r s s t u d i e s ，a p p l i e st h eg e o m e t r i ct h e o r yo f b a n a c hs p a c ea n dt h eo p e r a t o rt h e o r yc o m p r e h e n s i v e l y t h ew h o l ep a p e ri sd i v i d e d i n t ot h r e ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ro ft h ep a p e rs t a r t sf r o mt h ep r e l i m i n a r ya n ds o m eb a s i ct h e - o r e m sa n dr e s u l t s a l s o ，w ei n t r o d u c es o m ec o n c e p t i o n sa n dn o t a t i o n sn e e d e di nt h e f o l l o w i n gc h a p t e r s i nc h a p t e r2 ，w ec o n s t r u c t e dan e wi s h i k a w ai t e r a t i o np r e c e s si nf l - n o r m e d l i n e a rs p a c e ，a n dw ep r o v eas u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h en e wi s h i k a w a i t e r a t i o np r o c e s s e sw i t he r r o ro fa s y m p t o t i c a l l yp s e u d o - c o n t r a c t i v em a p p i n gtt o c o n v e r g et of i x e dp o i n t s ， i nc h a p t e r3 ，w ef i r s to b t a i ng e n e r a l i z a t i o n so ft h e2 - m e t r i cs p a c ev e r s i o no f s o m ec o n t r a c t i v et y p em a p p i n g s ，a n dt h e np r o v et h a te a c hs u c hm a p p i n gh a sau n i q u e f i x e dp o i n t m o r e o v e r ，t h i se n a b l e su st oe s t a b l i s hs o m ef i x e dp o i n tt h e o r e m si nl i n e a r 2 - n o r m e ds p a c e a tl a s tw eo b t a i ns o m es t a b i l i t yr e s u l t sf o rp i c a r di t e r a t i o ni n 2 - m e t r i cs p a c e i nc h a p t e r4 ，w ef o c u so l l ra t t e n t i o no nt h em a z u r - u l a z np r o b l e mi nl i n e a r ( 2 ，p ) 一n o r m e ds p a c e ，a n dd e a lw i t ht h ef o l l o w i n gp r o b l e m ：i n s t e a do fs u r j e c t i v i t y , w h a t c o n d i t i o n si m p l yt h el i n e a r i t yo fi s o m e t r i e s ? k e y w o r d s ：a s y m p t o t i c a l l yp s e u d o - c o n t r a c t i v e ， f i x e dp o i n t s ，l i n e a r2 - n o r m e ds p a c e s ，p i c a r di t e r a t i o n ，l i n e a r ( 2 ，p ) - n o r m e ds p a c e s ，2 - i s o m e t r y , t h e m a z u r - u 1 a mt h e o r e m i i 福建师范大学学位论文使用授权声明 本人( 姓名)拳耿俎一学号 2 q q 昼q 鱼墨垦专业基础数学所呈 交的论文( 论文题目：不动点理论及m a z u r - u l a m 等距定理的一些探讨) 是 本人在导师指导下，独立进行的研究工作及取得的研究成果尽我所知， 除论文中已特别标明引用和致谢的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果对本论文的研究工作做出贡献的 个人或集体，均已在论文中作了明确说明并表示谢意，由此产生的一切 法律结果均由本人承担 本人完全了解福建师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：福 建师范大学有权保留学位论文( 含纸质版和电子版) ，并允许论文被查阅 和借阅；本人授权福建师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文，并按国家有关 规定，向有关部门或机构( 如国家图书馆、中国科学技术信息研究所等) 送交学位论文( 含纸质版和电子版) ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 学位论文作者签名： 龙易指导教师签名， 群日期。1 啪泸 戳醐： 节细卯 福建师范大学朱耿灿硕士学位论文 绪论 不动点理论是目前正在迅速发展的非线性泛函分析理论的重要组成部分，它与 近代数学的许多分支有着紧密的联系特别是在建立各类方程( 其中包括各类线性 或非线性的、确定或非确定型的微分方程、积分方程以及各类算子方程) 解的存在 唯性问题中起着重要的作用 自上世纪初b r o u w e r 和b a n a c h 提出两个以他俩姓氏命名的b r o u w e r 定理和 b a n a c h 压缩映象原理之后，半个世纪以来，由于实际需要的推动和数学工作者的 努力，这门学科已经出现了蓬勃发展的局面 上世纪二十年代b a n a c h 首先提出了压缩映象的概念：设( x ，d ) 是一度量空间， 设t 是x 的自映象，t 称为b a n a c h 压缩映象，如果存在常数h ( 0 ，1 ) 使得 d ( t z ，研) m ( z ，) ，比，y x 关于上述类型映象，第个重要的不动点定理就是以他本人命名的b a n a c h 压缩映 象原理，即完备度量空间上的每个b a n a c h 压缩映象都在该空间中存在唯一的不动 点 b a n a c h 压缩映象原理实际上是经典的p i c a r d 迭代法的抽象表述，它是一个经 典的代数型的不动点定理根据这个定理，不仅可以判定不动点的存在性和唯性， 而且还可以构造一个迭代程序，逼近不动点到任何精确程度因此，b a n a c h 不动 点定理在近代数学的许多分支，特别是在应用数学的几乎各个分支都有着广泛的应 用 最近二十多年来，b a n a c h 压缩映象的概念和b a n a c h 压缩映象原理已经从各个 方面和各个不同的角度有了重要的发展许多人提出了一系列新型的压缩映象的概 念( 以后统称之为压缩型映象) ，和一系列新型的压缩映象的不动点定理( 以后统称 之为压缩型映象的不动点定理) ，而且其中的某些结果，已经被成功地应用于研究 b a n a c h 空间中的非线性v o l t e r r a 积分方程、非线性积分微分方程和非线性泛函 微分方程解的存在性和唯性 对迭代程序以及空间性质的探讨一直是许多数学工作者深入研究的课题1 9 7 2 年c o e b e l - k i r k 1 】首先提出渐近非扩张映象的概念并得出一系列的结果，而渐近伪 压缩映象的概念是由s c h u 【2 】于1 9 9 1 年引入并研究关于渐近非扩张和渐近伪压缩 映象不动点的迭代逼近问题，在h i l b e r t 空间，一致凸空间和b a n a c h 空间的框架 下，被【1 3 ，6 】讨论过本文将在赋p 一范空间的框架下修改i s h i k a w a 迭代序列，进 1 福建师范大学朱耿灿硕士学位论文 而研究渐近伪压缩和渐近非扩张映象的不动点的迭代逼近问题，从而证明了渐近伪 压缩映象t 的修改的i s h i k a w a 迭代序列收敛到不动点的充要条件 此外，自从g a h l e r 1 1 】于1 9 6 3 年提出2 距离空间概念以来，2 - 距离空间理论 已有了很大的发展，许多数学工作者深入探讨这一空间的拓扑性质特别地，关于 2 - 距离空间中的映象的不动点理论的研究，开始于1 9 7 6 年i 舌e k i 1 4 】等人的工作在 这篇文章中，他们把熟知的b a n a r h 压缩映象原理推广到2 - 距离空间 定理设( x ，d ) 是一完备的有界的2 - 距离空间， 正) 墨1 是x 的一自映象列 设存在非负整数列 仇0 墨1 和非负数口，p ，使得对一切正整数i ，j ，i 歹和一切 z ，! ，口x 有 d ( 驴z ，矿y ，口) 叫配甲z ，口) + d ( u ，矿掣，n ) 】+ f l d ( = ，y ，口) 这里2 口+ p 0 ，使得| l a 圳= 蚓卢她l i ，比e ，q k 这时称忙i i 为z 的p 一范数，空间( e ，0 i i ) 为赋口一范空间而e 中的个非 空子集d 称为p 一凸的，如果对任何z ，y d ，s ，t 珏旷且矿+ t j = 1 ，恒有 s z - i - t y d 设e 是具共轭空间的赋伊范空间s1 ) ，e 是e 的对偶空间，( ，) 表示e 和p 间的配对，映象j ：e + 2 f 是由下式定义的正规对偶映象t 得 - ，( z ) = _ 【，e ： = l lz1 1 2 = 1 i ，1 1 2 ， z e 定义1 2 设d 是e 的非空子集，t ：d - d 是一映像 ( 1 ) t 称为渐进非扩张的，如果存在一实数列( k ) c 【1 ，+ ) ，熙k = 1 ，使 i i t x p 秒l i 0 z 一i i ， 比，秒d ，v n 1 ( 2 ) t 称为一致l - l i p s c h i t z 的，如果存在常数l 1 ，使得 j t x t y l f l l i z y i i ， 比，y d ，v n2 1 ( 3 ) t 称为渐近伪压缩的，如果存在实数列 k ) c 【1 ，+ 。o ) ，熙k = 1 ，而且 对任意的z ，d ，存在j ( x y ) j ( z 一掣) 满足 sj c n l l z y l l 2 ， v n 1 注： 若丁是具序列 k ) c 1 ，+ o o ) 一l i r a k = 1 的渐近非扩张映象，则? 是一致 l - l i p s c h i t z 映象，其中l = s u p 。1 k 1 ，定义在x x 上的非负实 值函数i i - 0 被称为( 2 ，p ) 范当其满足以下几个条件t ( i ) i iz ，y0 = 0 当且仅当z 和是线性相关的； ( i i ) 0z ，yi i = 1 l ，zi i ； ( i i i ) | ia z ，yi l = iqi p l iz ，y | i ； ( i v ) 0z ，可+ z0 s i iz ，可0 + 0z ，z0 其中q r ，且o p 0 使得c = a b ， 则0a ，b + ci i = l l 口，bi i + 0a ，c0 ，y a x 引理1 9 4 1 i 对任意的a ，b x ，7 r ，有l la ，bn = 0a ，b + 7 a | | 成立 注t 这样对z ，y ，z x ，有等式i lz z ，y zi i = l iz y ，y z0 成立 引理1 1 0 设厂：x y 是2 - l i p s c h i t z 映射，其中2 - l i p s c h i t z 常数k 1 ，且 满足( a o p p ) ，又对任意的z ，y ，z x ，如果z ，y ，z 是共线的，那么，( z ) ，( y ) ，( z ) 必也是共线的，则，是2 一等距映射 6 第2 章赋伊范空间中渐近伪压缩映象的不动点迭代逼近问题 第2 章赋伊范空间中渐近伪压缩映象的不动 点迭代逼近问题 2 1 引言及主要引理 本章处处设e 是具共轭空间的赋伊范空间( p 1 ) ，e + 是e 的对偶空间，( ，- ) 表示e 和e 。间的配对，映象j ：e 一2 扩是由下式定义的正规对偶映象t j ( x ) = ，e + ： = 0z1 1 2 = 1 l ，1 1 2 ) ， z e 我们首先在赋p 一范空间的框架下修改i s h i k a w a 迭代序列： 定义2 1 1 设d 是e 的非空p 一凸子集，t ：d _ d 是一映象，x 0 d 是任意给 定的点， 入。) ，t p 。 ，【) ，【厶) 均是【0 ，1 】中的数列由下式定义的序列【z n ) 称为 t 的修改的i s h i k a w a 迭代序列， 0 、。 其中增+ 磁= 1 ，碟4 - 醒= 1 ，v n n 进而我们研究渐近伪压缩和渐近非扩张映象的不动点的迭代逼近问题，从而证 明了渐近伪压缩映象t 的修改的i s h i k a w a 迭代序列收敛到不动点的充要条件我 们还需要以下两个引理 引理2 1 2 1 9 设 d f i ) ， 6 n ) 和 t n ) 均是非负实数列，满足下列不等式 a 。- i - 1 ( 1 - i - t n ) 口r i + k 若是lt n + o 。且甚1k + o o ，则胂l i r a a n 存在特别地，若【) 有一列子 列收敛于0 ，则j i ma n = 0 n 引理2 1 3 比，y e ，坳 + 秒) j ( 。+ ) ，有不等式l lx - l - y1 1 2 _ 1 lz0 2 + 2 ( 可，j ( z + ) ) 成立 注t 文【8 】中的引理( 2 1 ) 在赋p 一范空间的情况下也成立事实上，由歹( z4 - y ) 7 福建师范大学朱耿灿硕士学位论文 - ，扛+ 可) ，我们有 0z + y1 1 2 = z + 可，j ( z + 可) ) = ( z ，j ( x + 3 ，) ) + 白，歹( z + 可) ) 0z i 歹( z + y ) 0 + ( 矽，歹( z + 可) ) ( 1 | z0 2 + i lx + y1 1 2 ) + 白，j ( x + y ) ) 因此，结论成立 2 2 定理的证明 定理2 2 1 设d 是e 中一非空卢一凸闭子集，t ：d d 是具实数列 k ) c 【1 ，+ o 。) 且l i r ak = 1 的一致l - l i p s c h i t z 的渐近伪压缩映象，其中l 1 设 【a 。) ， 如) ，【) ， 晶) 均是【0 ，l 】中的数列，且满足甚o ( 1 一a 。) 卢 + o o 任给 z o d ， z 。) 是由( 2 1 ) 式定义的修改的i s h i k a w a 迭代序列若f ( t ) o ( f ( t ) 表 示t 的不动点集) ，q f ( t ) 是任一给定的点，则t i m | i o 扎一g | j 存在 证明tt 是渐近伪压缩映象，即对任意的z ，y d 存在歹( z y ) j ( z 一) ， 使得 ( t x p ，j ( z 一可) ) k0 $ 一y0 2 因此有 ( ( p 一k ，) z 一( p k , j ) y ，歹( 。一秒) ) 0 这样，对任意a 0 ，有 iz y0 2 = ( z y ，歹( 。一可) ) ( z y 一川( p k ，) z 一( p k d ) u ，歹( z 一可) ) 0z y a 【( p k i ) x 一( p 一k j ) 引0 0z y 所以，有 0z yi i 0 ，使得碟g ，v n n n 故 t n ( l 2 + l 3 + g l 2 1 ) p ： 由a n + 醒+ 群= 1 ，得群( 1 一a n ) 卢，于是 t n ( + 己3 + g l 2 一1 ) 群 + 。 n = 0r i = 0 同理， 6 n 【( 4 l + 2 g + 1 ) 理+ ( 2 l 2 + 2 g l ) 弘挈+ ( 1 一入n ) 卢】g ( 4 l + 2 g + 1 + 2 l 2 + 2 0 l ) p , l l q i + ( 1 一入n ) 卢l l 口0 第2 章赋伊范空间中渐近伪压缩映象的不动点迭代逼近问题 即得器ok 1 和任意的自然数m ，有 0 z n + ，i z n | i5 啬11 1 = n “+ 1 一z n “i f ( m l 2 + 2 l i i q l l + i l q l l ) m i = - 一0 1 以+ + ( m + i l q l l ) m i - - - 一0 1 ( 1 一a n 州) 卢 s ( m l 2 + 2 l i i e l l + i l q l l ) e - f = - 。心+ ( m + i l q l l ) e t = n ( 1 一九) 卢 ；+ = e 福建师范大学朱耿灿硕士学位论文 即证得 z n ) 是c a u c h y 序列，从而 z n ) 收敛不妨设一l j i i i 。lz n = z ，由d 是非 空闭集，f ( t ) 也是非空闭集，于是，由l i m d ( ，f 汀) ) = 0 ，得d ( z ，f ( t ) ) = o ，故 z 尸( t ) 证毕 显然容易得到以下两个推论， 推论2 2 3 设d 是e 中一非空p 一凸闭子集，t ：d d 是具实数列 k c 【1 ，+ o o ) 且l i r ak = 1 的渐近非扩张映象，设 a n ) ，【如) ， ) ， 矗 均是【0 ，l 】中 的数列，且满足器o ( 1 一久n ) 多 + o o 任给x o d ， z n ) 是由( 2 1 ) 式定义的修 改的i s h i k a w a 迭代序列若e 是完备的且f ( t ) 毋，则 z n ) 收敛到t 的个不 动点的充要条件是l i r a i n f d ( z n ，f ( t ) ) = 0 ，其中d ( y ，c ) 为y 到集合c 的距离，即 d ( y ，c ) = 鍪d ( y ，z ) 推论2 2 4 设d 是b a n a c h 空间e 的非空闭凸子集，t ：d d 是具实数列 k 】- c 【1 ，+ ) 且l i r ak = 1 的一致l - l i p s c h i t z 的渐近伪压缩映象，l 1 任给 n x o d ，定义i s h i l a t w a 迭代序列 fz n + 1 = ( 1 一脚) z 。+ h p 铷， n 0 l 鲰= ( 1 一晶) z n + 厶p ， n 0 其中 脚) ，( 矗) 是 0 ，l 】中的数列若f ( t ) 仍且甚o m ，有厶( ) = 0 ，则 d ( y i ，协，讥) = 0 ，歹，七n 引理3 1 2 ( 1 7 1 ) 若非负实数列【z n 】， n ) 满足下列条件， ( 1 ) 对任意的n n ，0 h 0 ，使得对任意的z ，y ，名x ，d ( x ，y ，z ) m ) 定义3 2 1 ( 压缩型映象) 令，为x 上的自映象， ( 1 ) 存在实数q ，卢，y ，且0 a 1 ，0 口，7 i 1 ，使得，对任意的z ，口x ，以下 条件至少满足其一： ( i ) d ( c x ) ，( 可) ，口) sc z d ( x ，y ，口) ， ( i i ) d c f c x ) ，i c y ) ，口) 【d ( z ，( z ) ，a ) + d ( y ，( 秒) ，口) 】， ( i i i ) d ( ，( z ) ，f c y ) ，a ) s7 d c x ，f c y ) ，o ) + d ( y ，( z ) ，口) 】 1 3 福建师范大学朱耿灿硕士学位论文 ( 2 ) 存在满足下式的非负函数a ，b ，c 。 s u p o ( z ，暑，a ) + 2 b ( x ，y ，a ) + 2 c ( z ，y ，口) ) 入 l z p ，口e x 使得对任意的z ，口x ， d ( ，( z ) ，( y ) ，口) 口( z ，可，a ) d ( x ，y ，口) + 6 ( z ，y ，n ) 【d ( 。，( z ) ，n ) + d ( y ，( y ) ，d ) + c ( z ，可，口) 【d ( z ，( 可) ，口) + d c y ，( z ) ，口) 】 ( 3 ) t 存在常数h ，0 h i ，使得对任意的z ，可，口x ， d ( ，( z ) ，( y ) ，a ) h m a x ( d ( x ，口) ，【d ( x ，( z ) ，o ) + d ( v ，( 秒) ，口) 】2 ， 【d ( x ，( y ) ，+ d ( v ，( 卫) ，口) 】2 ) ( 4 ) 存在单调减的函数戗：( 0 ，+ o 。) _ 【o ，1 ) 满足戗 n ，有 由此可见。当佗，m _ + 时，d ( x n ，z m ，a ) _ 0 ，这样证得【z n ) 是c a u c h y 序列， 故收敛，不妨设( z n ) 收敛于g 现证g 是，和夕的唯一的公共不动点利用2 一距离空间的三角形面积不等式， 我们得 d ( ，( 口) ，q ，口) d ( ，( g ) ，z 2 n + 2 ，口) 4 - d ( x 2 n + 2 ，q ，口) - t - d ( x 2 n + 2 ，q ，( g ) ) 又由条件( 3 2 1 ) ，得 d c f ( q ) ，x 2 n + 2 ，o ) h m a z d ( x 2 。+ l ，q ，口) ，【d ( q ，( g ) ，a ) - i - d ( x 2 n + 1 ，z 2 n + 2 ，a ) 】2 ， d ( q ，z 2 n + 2 ，n ) 4 - d ( x 2 。+ 1 ，( 口) ，o ) 】2 ) 结合上面两个不等式，并让死一0 0 取极限，即得 d c q ，( 口) ，口) h 2 d ( q ，( q ) ，a ) 故对一切口x ，有d ( q ，( g ) ，a ) = 0 ，也即f ( q ) = g 同理可得，g ( q ) = g 假设g ，是 ，和夕的公共不动点，则 d ( q ，q 7 ，a ) = d ( ，( 口) ，g ( q 7 ) ，a ) hm a x d ( q ，g ，口) ，0 ，【d ( q ，g ，a ) + d ( 口，q ，a ) 】2 因此d ( q ，g ，a ) h d ( q ，g ，口) ，即口= q ，于是证得g 是，和夕的唯一的公共不动点 我们又可定义序列 鲰) 满足： y o = z o ，! 2 n + 1 = g ( x 2 n ) ，抛n + 2 = ，( z 2 n + 1 ) 同上，可以证得( ) 是x 中的c a u c h y 序列，且 】也收敛于不动点口，( 夕，) n ( z o ) _ 口定理证毕 1 6 m九 - l 胁 一 口 + zzd 胁 0 由已知 a ) 一致收敛于，得；存在正整数，使得对 一切n2n ，z x ，有 d ( 厶( z ) ，( z ) ，a ) ( 1 一九) e 因为，( 3 ) ，故 d ( ，( ) ，( g ) ，a ) hm a x d ( q n ，q ，口) ，( d ( g n ，g ，口) + d ( ，( 甄) ，( g ) ，口) ) 2 】( 3 2 4 ) 再利用2 - 距离空间的三角形面积不等式，可得d ( ，( ) ，( q ) ， ( ) ) = 0 ， 于是 d ( q n ，q ，a ) = d ( ( ) ，( 口) ，口) sd ( 厶( g n ) ，( ) ，a ) + d ( ，( ) ，( g ) ，口) ) 那么，如果对不等式( 3 2 4 ) 中的最大值取( d ( ，q ，a ) + d ( ，( ) ，( q ) ，a ) ) 2 ，可以得 到 。 d ( 口n ，口，口) d ( ，( g n ) ，( 口) ，口) f 生d ( 骱，g ，口) 矛盾所以 d ( ，( ) ，( g ) ，a ) h d ( q n ，q ，a ) 综合上述，对一切n n ，有 d ( q n ，q ，a ) d ( 厶( ) ，( ) ，a ) o h ) e 证毕 定理3 2 5 设，：x - x 满足第( 4 ) 类压缩型映象，则，存在唯一的不动点 1 7 福建师范大学朱耿灿硕士学位论文 口，而且对任一正o x ，迭代序列，n ( z o ) 一q 证明：定义序列z n = ，( z n 1 ) ，n = 0 ，1 ，2 ，因，( 4 ) ，故 d ( x n ，x n + l ，g ) = d ( f ( x ，1 ) ，f ( x n ) ，a ) 0 f l d ( z n i ，z 。，口) + a 2 d ( x 。，x n + l ，a ) + a a d ( x n 一1 ，x n + l ，a ) + q s d ( x n 一1 ，z n ，口) 这里我们简记口t = ( d ( z 俨1 ，z n ，口) ) 由于已知条件的对称性， d ( x n + 1 ，z n ，a ) sq l d ( x n ，x n + l ，a ) + a 2 d ( x , 一1 ，z n ，a ) 4 - a 4 d ( x n 一1 ，x n + 1 ，口) + a s d ( x n ，z n 一1 ，口) 把上面二式相加得 2 d ( x ，+ 1 ，r t ) ( a 1 + q 2 + 2 a s ) d ( x n 一1 ，z n ，口) + ( o i l + t ：r 2 ) d ( x n ，x n + 1 ，口) j r - ( a 3 + 口4 ) d ( z n 一1 ，x n + l ，a ) ( 3 2 5 ) 利用2 距离空间的三角形面积不等式，可得 d ( x n 一1 ，x n + l ，口) d ( x n 一1 ，。n ，a ) + d ( z n ，x n + l ，口) + d ( x n 一1 ，。n ，x n + 1 ) 但由，( 4 ) ，我们令a = t , n - 1 ，得到d ( z n 一1 ，z n ，z 时1 ) a 2 d ( z 舾1 ，z n ，z n + 1 ) ， 则d ( x n 一1 ，2 ：n + 1 ) = 0 ，因此 d ( z n 一1 ，z 舛l ，a ) d ( z n 一1 ，z 住，a ) + d ( x n ，z n + 1 ，a ) 把上式代入( 3 2 5 ) ，整理得 d ( z n ，+ 1 ，a ) - a l 一+ 口a 1 2 一+ 口a ，s + a 4 一+ q 2 a d a d ( 、x n 一1 ，x n - - o r，口) 3 一口1 一口2 一c 1 4 、一，。， d ( z n 一1 ，z n ，a ) 因为啦 0 于是令 心，= 掣捌兰祭搿 由k = d ( z n ，x n + l ，口) p ，即得 r ( k ) r ( p ) n ，利用2 - 距离空间的三角形面积不等式，有 于是，当n ，仇叶+ o o 时，有d ( z n ，z 仇，口) _ o 此即证得 z 。是x 中的 c a u c h y 序列，故收敛，不妨设 z n ) 收敛于口 现证口是，的唯一不动点，假设口z n ，v n d ( ，( g ) ，q ，口) d ( ，( g ) ，x n + l ，口) + d ( x n + 1 ，q ，口) + d ( z n + 1 ，( g ) ，q )( 3 2 6 ) 再由，( 4 ) ，即得 d ( ，( g ) ，x n + l ，a )口1 ( d ( 口，( g ) ，口) ) + a 2 a ( z n ，x n + l ，口) + a 3 d ( q ，z n + 1 ，a ) + a d ( x n ，f c q ) ，口) + a s d ( q ，a ) ( q l + 明) ( d ( g ，( g ) ，n ) ) + a 2 d ( x n ，z n + l ，g ) + ( q 2 + 口3 ) d ( g ，z n + 1 ，口) + 口4 d ( z n ，q ，( 口) ) + ( 0 1 2 + o l 4 + a s ) d ( z n ，q ，口) ( 3 2 7 ) 结合不等式( 3 2 6 ) 和( 3 2 7 ) ，并让礼_ o o 取极限，即得 a f t ( q ) ，q ，n ) ( q 1 + o ，4 ) d ( ，( 口) ，q ，a ) 则对任意的口ex ，有r i f t ( q ) ，q ，口) = 0 ，故f ( q ) = 口 又设口，是，的不动点，于是 d ( q ，g ，口) = d ( ，( 口) ，g ( q 7 ) ，a ) ( a 3 + 0 ：4 + q 5 ) d ( g ，a ) 这样，对任意的a x ，有d ( q ，口，口) = 0 因此q = ，定理证毕 推论3 2 6 设( x ，d ) 是具连续2 一距离d 的2 - 距离空间设 a ) 是x 上的 自映象列，并且满足条件。( i ) 对每一 厶) ，几= 1 ，2 ，存在同一函数啦( t ) ，使其 1 9 m 卜