（机械电子工程专业论文）形位误差计算机评定系统的研究.pdf

摘要 摘要 p s e 钮o a 零件的形位误藏对机械产晶的质量有很大的影响，因此准确测得和评定零件的 形位误麓一直题国内外普遍关注的问题。 自从形状和位羹公纛的阐家标准g b l 9 5 8 。8 0 颁布以来，有关形使误差的评定理 论、评定方法等受到了广泛的关注。与长度测蹩、角度测量及箕误麓评定相比，形 位误差测量和评定有较商的难度，我国开始着手研究的时间较短，但它已经对我国 的工业生产和科学技术进步起到了很大的促进作用，关于形位误差评定的理论方法、 数学模鍪及解算方法的研究，邑达到了国际先逶承平。毽簸整体上麓，瑾论研究还 不够系统鞠完藩，鼷实舔生产应用还存一定的差距。又因为对予它静磺究要涉及瓣 较多的避代数学知谈，因而成为工程科学帮基础科学共同关心静课题。 本文搽讨了应焉线饿规翻研究形位误差评定静理论和方法，将务释形往误差雏 包容浮建统一予一个线性援鲻模澄之中，据j 邈疑霹进行| 曩趱熬瑷谂磷究，又傻予程 廖运算，确保了结粟精确、麓冀抉遮。 为了开发形位谟差谤定系绫，在形笾误差谬定理论及方法遴嚣了磷究积探讨， 围绕该谖熬本文主要进行了以下凡个方嚣戆璎究王幸# ： l 。本文蓠先讨论了数学规划与线性嫂划的一般暇理，阐明了线性规划约分类、 数学表述、几傅解释、嬲的撼质，提出了求鳃线性规划的单纯形解法，并为该算法 绽到了翊皮的计算机程序。 2 澎霞误熬的几何模型建立。在回转运动群及微分凡 可学豹基础上，探讨了照 线、曲飚的微分形式及标架逡算。从而结合各类形位误差的特征，建立了形位误差 评定的几何模型。对于非线性模型，基于“小偏茇假设”和“小误麓假设”将其转 化为线性模型。 3 。形位误藏的规划模型建立。撮键线往规划的特点，分析了形彼诶麓包窑评定 的特征，系统地研究了图标函数及约束条件，对样点数据进行了坐标变换的处理， 建立了评定形位误麓的线性数学规划模型，具体包括单包容评定和双包容评定。并 对规划模型的可靠性进行了分析，给出线髋模黧的谈差估计。 4 。驻最小条件僚为评定的基本原粥，应甬缀差极小亿臻论探讨了形彼诶麓评定 静列剐准鄹并对最小条箨的究分往避行了论述。零蠲多维萄法几何图解法对涮剐准 则进行了几何图示，使判涮具有受强的直观往。 5 编翻彤位诶羲评定软件，逛用v c + + 6 0 语言编弦，通过系统的分类，筏啬各 摘要 种评定问题的共性。大量实算骏诞所编评定软件，考察了目标函数和约束条件的正 确性、程序的可行性。通过用本方法得到的数据处理结果，与现有的几种求解形位 误差的评定方法进行对比，以求对形状误差的评定能够在精度与速度上谢所突破。 利用形缎误差评定软件，并采用数控技术和光魄技术可以开发与其聚合的硬 孚 系统，改造瑗有豹误差蒺| | 量仪，实瑷徽援控澍下兹形馥误差数据采集秘麓缝评定。 关键词：形位误差评定，线性规划，单纯形法，包容评定，最小条件 - i i a b s t r a c t t h eg e o m e t r i ce r r o ro f w o r k p i e c e m a k e s g r e a te f f e c tt om e c h a n i c a lp r o d u c t t h e r e f o r e ， t h a t m e a s u r i n ga c c u r a t e l y a n de v a l u a t i n gt h e g e o m e t r i c e r r o ro fw o r k p i e c ea r et h e q u e s t i o n t h a ta l w a y sb e p a i da t t e n t i o nt oi nt h e w o r l d t h e t h e o r ya n dm e t h o do f t h eg e o m e t r i ce r r o re v a l u a t i o ng e te x t e n s i v ea t t e n t i o nw h e n g b l 9 5 8 8 0w a se n a c t e d 。c o m p a r i n gw i t h t h em e a s u r eo f l e n g t ha n da n g l e ，t h em e a s u r e a n de v a l u a t i o no ft h eg e o m e t r i ce r r o ra r ev e r yd i f f i c u l t o u rc o u n t r yb e g i nt or e s e a r c ho n i tn o tl o n ga g o ，b u ti ti sa l r e a d yi m p o r t a n tt ot h ed e v e l o p i n go u ri n d u s t r ya n d t e c h n o l o g y t h e t h e o r y , t h em a t h e m a t i c a lm o d e l a n da r i t h m e t i co ft h eg e o m e t r i ce r r o re v a l u a t i o na r e s t u d i e dh a v e c a u g h tu p w i t hi n t e r n a t i o n a ll e v e l b u tt h e s t u d y o ft h e o r yi sn o t s y s t e m a t i s mo rp e r f e c t t h e r ei s s o m ed i s t a n c et ot h ep r a c t i c a lp r o d u c t i o n ，b e c a u s ei t r e l a t e st ot h em o r d e nm a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e ，i ti s c o n c e r n e db yt h e e n g i n e e r i n g s c i e n c ea n df o u n d a t i o ns c i e n c e i nt h i sp a p e r , t h et h e o r ya n dm e t h o d so ft h eg e o m e t r i ce r r o re v a l u a t i o nb yl i n e a r p r o g r a m m i n ga r ed i s c u s s e d ，a n da u n i v e r s a lm o d e lo ft h eg e o m e t r i ce r r o re v a l u a t i o ni s e s t a b l i s h e d s oi ti sb eu s e dt os t u d yn o to n l yo nt h et h e o r yb u ta l s oo np r o g r a m i n g ，a n d i tm a k e ss u r et h a tc a nb ea c c u r a t ea n d r a p i d c a l c u l a t i o n c e n t e r e da r o u n dt h es u b j e c t ，t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h et h e o r ya n dm e t h o do ft h e g e o m e t r i c e r r o re v a l u a t i o n ，a n dt h em a i nw o r ki sa sf o l l o w s ： 1 。i nt h ef i r s tp a r to f p a p e rt h em a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n ga n dl i n e a rp r o g r a m m i n g b a s i c t h e o r y a r ed i s c u s s e d 。t h e c l a s s i f i c a t i o n ，m a t h e m a t i c a le x p r e s s i o n ，g e o m e t r i c e x p l a n a t i o n ，c h a r a c t e ro f t h es o l u t i o na r ee x p l i c a t e d a n dt h es i m p l e xm e t h o df o rl i n e a r p r o g r a m m i n gi sp u tf o r w a r dt os o l v et h em o d e l s ，a n dt h ec o m p u t e rp r o g r a mf o rt h e s o l u t i o ni sw o r k e do u t 2 。t h eg e o m e t r i cm o d e lo f t h e g e o m e t r i ce r r o re v a l u a t i o ni se s t a b l i s h e d 。o n t h eb a s i s o ft h er o t a t i o n g r o u p sa n dt h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , t h ep a p e rs t u d i e st h e c u r v e sa n ds u r f a c ef u n d a m e n t a ld i f f e r e n t i a lf o r ma n dt h em e t h o do fm o v i n gf r a m e s a c c o r d i n gt h ec h a r a c t e ro f t h eg e o m e t r i ce r r o lt h em o d e lo fe v a l u a t i o ni s e s t a b l i s h e d ， n o n l i n e a rm a t h e m a t i c a lm o d e lc a nb el i n e a r i z e do nt h eb a s i so ft h et h e o r yo f “t h el i t t l e i a b s t r a c t w a r p a n d t h el i t t l ee r r o f 。 3 t h ep r o g r a m m i n gt h e o r yo f t h eg e o m e t r i ce r r o re v a l u a t i o ni se s t a b l i s h e d i nt e r m s o f t h ec h a r a c t e r i s t i c so f l i n e a rp r o g r a m m i n g ，t h ef e a t u r e so f t h eg e o m e t r i ce r r o re n c l o s u r e e v a l u a t i o na r e a n a l y s e d t h eo b j e c t i v e f u n c t i o n sa n dr e s t r i c t i v ec o n d i t i o n sa r e s y s t e m a t i c a l l yr e s e a r c h e d ，a n dt h ec o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o nt os a m p l e dd a t ai sm a d e t h el i n e a rp r o g r a m m i n gm o d e l sa r ee s t a b l i s h e dt oe v a l u a t et h eg e o m e t r i ce r r o r , w h i c h i n c l u d et h es i n g l ee n c l o s u r ee v a l u a t i o na n dd o u b l ee n c l o s u r ee v a l u a t i o n t h er e l i a b i l i t y o f m o d e l sa r ec h e c k e da n dt h ee r r o r so f t h el i n e a rp r o g r a m m i n gm o d e l sa r ep r e s e n t e d ， 4 o nt h eb a s i so ft h ea n a l y s i so ft h em i n i m u m c o n d i t i o n ，t h ej u d g e m e n tp r i n c i p l eo f t h e g e o m e t r i c e r r o re v a l u a t i o ni s g i v e na c c o r d i n gt ot h et h e o r yo nm i n i m i z i n gt h e e x t r e m a ld i f f e r e n c ef u n c t i o n a n da l s ot h es u f f i c i e n c yo f m i n i m u mc o n d i t i o ni sd i s c u s s e d 。 t h e g e o m e t r i c c r i t e r i ai s p r e s e n t e db yu s i n gg r a p h i c s o l u t i o ni n p o l y d i m e n s i o n a l d e s c r i p t i v eg e o m e t r y , w h i c h m a k e sm o r e c l e a r l yf o rt h ee v a l u a t i o n 。 5 t h ep r o g r a m so ft h eg e o m e t r i ce r r o re v a l u a t i o nc a l lb eo b t a i n e du s i n gv c + + 6 0 l a n g u a g e ，a n ds y s t e m a t i cc l a s s i f i c a t i o ni sm a d e w h i c hs h o w st h ec o m m o nc h a r a c t e r i s t i c s o ft h ep r o b l e m s b yr u n n i n gt h ep r o g r a mw i t hs o m e p r a c t i c a le x a m p l e s ，t h ec o o r e c t n e s s o ft h eo b j e c t i v ef u n c t i o n sa n dr e s t r i c t i o na n dt h ef e a s i b i l i t yo ft h ep r o g r a ma r ec h e c k e d b yw a y o f l a r g ea m o u n to fc o m p a r i s o na m o n gt h em e t h o dp u tf o r w a r di nt h ep a p e ra n d s o m e e x i s t i n g m e t h o d sf o r g e o m e t r i c e r r o r e v a l u a t i o n ，i t i si n d i c a t e dt h a tt h e m a t h e m a t i c a lm o d e l sa n da r i t h m e t i ce s t a b l i s h e di nt h e p a p e ra r em o r ea c c u r a t ea n d e f f i c i e n ti nc a l c u l a t i o n b yu s i n gt h es o f t w a r e ，t h et e c h n o l o g yo f n ca n dt h et e c h n o l o g yo f o p t i c s ，w ec a l l i m p o l d e rt h eh a r d w a r es y s t e m ，d e v e l o pt h em e a s u l 陀i n s t r u m e n t t h es y s t e mo fd a t a a c q u i s i t o n a n d i n t e l l i g e n t i z e de v a l u a t i o nw i l lb er e a l i z e d k e y w o r d s ：g e o m e t r i ce r r o re v a l u a t i o n ，l i n e a rp r o g r a m m i n g ，t h es i m p l e xm e t h o d ， e n c l o s u r ee v a l u a t i o n ，t h em i n i m u me o n d i t i o n - 郑州大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 随着近代科学的迅速发展和生产水平的不断提高，机加工工业的制造精度和与之相应 的检验测量器具都有了很大程度的提高和完善。因而对有关形位误差的评定方法、评定理 论、解算方法等问题的研究，便成为计量学领域研究的热点“。 零件的形状和位置误差对机器、仪器的工作精度、寿命等性能都有直接的影响，对于 在高速、高压、高温、重载条件下工作的机器和精密机械仪器，其影响则更甚。对于任何 一个加工完的零件，其形位误差是否符合设计要求，需要经过准确地测量和数据进行误差 评定才能知道。因而，准确地测量和评定零件的形位误差，不但可作为零件验收的依据， 还可以用来分析形位误差产生的原因，为提高零件加工精度和装配精度提供了可靠的依据。 因此，通过对零件形位误差的测量和评定，可为检验机械产品的质量提供保证“1 。 本章主要阐述课题的背景、来源、目的、意义和国内外概况，最后介绍本文的工作。 1 2 研究形位误差评定的目的和意义 形状和位置误差是评定零件制造质量的一项重要技术指标。零件在加工过程中会产生 或大或小的形状误差和位置误差。它们会影响机器、仪器仪表、刀具、量具等各种机械产 品的工作精度、联结强度、运动平稳性、密封性、耐磨性和寿命等，甚至还与机械工作时 的噪音大小有关。例如，机床主轴装卡盘的定心锥面对两轴颈的跳动误差，会影响卡盘的 旋转精度；在齿轮传动中，两轴承孔的轴线平行度误差过大，会降低齿轮的接触精度。又 如，平面的形状误差，会减少互配零件的实际支撑面积，增大单位面积的压力，使接触表 面的变形增大。因此，为了保证机械产品的质量，保证零部件的互换性，需确保形状和位 置公差在规定的范围之内”。 早在工业化发展初期，人们就注意到了零件的形位误差对机械产品质量有很大的影响。 自从6 0 年代初期，第一台坐标测量机诞生到今，人们就一直致力于坐标测量机上进行测试 形位误差理论和其评定方法的研究。随着微型计算机技术的日趋发展和计算机的普及应用， 特别是坐标测量机日益广泛应用于生产、科研等各个领域，使检测手段发生了质的变化。 由于对机械产品几何参数互换性要求的曰臻完善，形位公差在机械工业中应用非常普遍， 如何正确快速测量和评定形位误差，对提高生产率和产品质量，对现有设备的合理充分使 用都起着十分重要的作用。 我国开始着手研究的时间较短，只是从7 0 年代末至8 0 年代初开始。但它已经对我国 郑州大学硕士学位论文 第一章绪论 的工业生产和科学技术进步起到了很大的促进作用。关于形位误差评定的理论方法、数学 模型及解算方法的研究，已达到了较高水平。但从整体上看，理论研究还不够系统和完善， 离实际生产应用还有一定的差距，使得我国企业内部的检测设备并没有多大程度的改善。 综合研究发现，目前现有的形位误差测量仪器和测量方法除直线度误差、圆度误差等少数 误差项目可以得到符合定义的误差值外，测量其它各项形位误差大都只能得到近似值，有 时还会产生较大误差。其中重要的原因是这些测量仪器和钡4 量方法在形位误差数学模型的 建立、数据采集和处理方法等方面不符合形位误差各自的定义，存在较大的原理误差。因 此，误差评定与算法的研究工作对测试软件的开发与应用有着极其重要的意义，目前人们 对形位误差评定数学模型与算法的研究仍然在不断深入和加强，各种新模型与算法不断出 现，然而准确、高效、可靠的算法仍然是寻求的目标之一。 因此研究具有实用价值的形位误差评定的理论及方法，并利用计算机能够处理大量 的数据、运算速度快等特点编制软件系统，从而达到提高评定结果的准确性、稳定性和处 理数据的计算效率，这是本文的最终目的。 1 3 国内外形位误差评定现状与发展 1 3 1 国外发展概况 对于形位误差评定理论及其数据处理的研究，国外在这一领域起步较早。从研究零件 的直线度误差入手，到现在的对平面度误差、圆度误差、圆柱误差的测量与评定，经历了 一百年左右的时间，其中英、美、德、日等先进的工业国家在这个领域的研究已达到较高 的水平，其研究成果在本国的各仪器制造公司生产的仪器和公开发表的文献中可见一斑。 关于直线度与平面度误差的测量与评定，在国外发表了不少论文。英国学者 a j s c a r r ”。提出用最小二乘直线n 最d - 乘平面为参考要素，分别评定直线度误差和平面 度误差。印度学者t s r m u r t h y 等“建立了直线度误差和平面度误差最小二乘和垂直最 d , - 乘评定法的数学模型，并应用蒙特卡罗法、单纯形替换法( n e l d e r 叫e a d 法) 和螺旋 线搜索法等几种最优化算法求解最小区域直线度和平面度误差值。美国学者s h o s s i e n c h e r a g h i 等”1 提出了一种求解最小区域直线度和平面度误差的最优化方法。该方法首先将 直线度和平面度误差评定表示为具有线性目标函数和非线性约束条件的非线性规划问题， 然后通过变量代换和去除多余约束的方法，将原始问题转化为只有两个不等式约束的线性 规划问题。它是利用直线搜索技术，通过对7 组直线度数据和5 组平面度数据的计算并与 现有算法比较，表明该算法的计算精度较高，但提供的运算时间来看，该算法的收剑速度 并不快。 关于f 园度和圆柱度误差评定的数学模型与算法，在国外也有不少相关的论文发表。英 国学者d g c h e t w y h d 等建立了圆度误差最小区域、最小外接圆和最大内切圆的线性规划 郑矧大学颈圭学经论支 第一章绪论 模型，研究了参考蜗线与圆之间的关系，说明用参考蜗线代替参考圆不但在计算机上便于 处避，孬且在实黪巍l 量条 孛下精度迮足够惑。羊s 。r m u r t h y 等对最小二乘法、垂壹鼹小 二蘩法、正交多项式法、表面袋开法等尼静丽程度误差评定的数学模型滋行了总结军嚣讨论， 通过对多组实际数据的运算结果进行对比，袭明用垂直最小二乘法得到的圆柱度误麓值最 小。日本学者“1 用最d , - - 乘法和最小区域法对圆度和圆柱度误差进行了评定。从3 个试件 载嚣柱凄误差谔懋结栗看，爰黻小二乘法积激小区凌法浮定辩稳差较大。其中一镶嚣季孛谔 定的结果分别为5 8 6 朋f 和3 5 2 p m 。美国学者u r o y ”簿基于计算几何学的理论提出了 一种求最小区域圆柱度误差的方法，利用平筒点集凸包的v o r o h o i 图的。陛质，可求得墩小 区域溷匦翻搀准确位置，从嚣褥到圆柱瘦误麓的准确值。美国学者k i s t e nc a r r “”等建立 了瘸袋小区域法、最小步 接豳渡稻最大肉魏溺法评定嚣穗震误差戆 线魏麓翊模鍪，遴过 一系列线性规划妊逼近非线性规划的解，实例表明评定结果的精度很黼。 从国外研究出的各种测量仪器中，也可以看出其形位误差评定理论与技术的发展程度。 鳃荚圜r a n kt a y l o rh o b s o n 公霹生产t a l y r o n d 3 0 0 圆度与影状蒺l 量纹“袋惩空气毒囊承疆 转螽，径向回转耩度为0 0 2 5 1 h m ，立柱导轨豢线度为0 5 j 袱5 0 0 r i o n ，测头径向移动熹度为 0 5 j 堋2 0 0 m m ，传感器分辩率为0 0 1 2 e n ，可测量垂直与水平直线度、圆度、圆柱度、 平行度、垂直度、同轴度、跳渤等形位误差，可进行谐波分析，还配有测量活塞用的专用 较传。佼器还琵蠢专震徽辊，浆雳l 接魅囊溺头，对工锋豹嚣柱表嚣麸辜囊淘与径离送行季羞 描，自动完成数据采集与处理。还有德国f a g 公司生产的f m s 4 2 l o 形状测量系统“、德国 p e r t h e n 公司生产的“测量圆柱表面用的高精度数控测量系统”，美国f e d e r a lp r o d u c t s 公髑等生产的搜嚣，也可完成鞠应豹测量与湃定。 1 3 2 国内发展概况 我国自“形状和位置公差”的国家标准颁布以来，有荚形位误差的测量与评定理论也 褥到了突飞猛逶鹣发展。磷究菠圈峦最褪豹豢线度、平瑟发、弱鏊度误麓逐步扩大至l 黯强 柱度、圆锥度、对称度、平面孑l 组位置及跳动等位置误差颂目的评定。程数学模型的研究 方磷，由过去单纯地建立与求解数学模型逐步深入到目标函数的凸凹性、解的唯一陛、解 的黢纯篷准则等较深层次懿磷爽“。在算法璐突方蟊，由攀绝地套用最撬纯理论中理凑箕 法，逐步发震到络合形位误蓑瓣特点对现育舞法加戳改进，戳提高它们鹣运算精度秘潺算 速度，同时还提出了不少实用的新算法。并鼠在理论研究的基础上，根据实际生产的浠要 已研究出一些微机控制的形位误差测量装置翻在线测量系统。这些成绩的取得，表明我国 形袋误差戆浮定承乎获上一个羧台玲。 在国内对于殿线度和平面谈差评定的研究，已取得了一定的成果。例如，张玉等“”研 究了直线度和平谳度误差最小二乘评定法，通过“正交化”处理，简化了计算公式。他们 还掇出了求解最小区域直线度谈差的凸多边形法，并通过实侧计算说明了这魏方法谤冀精 度秘速度饶予黄念分害法等壹线搜索技术。转獾行“”提毒了基于最小医袋法，采用p o w e l1 郑卅l 大学硕士学位论文 第一章绪论 优化方法进行评定直线度和平面度，该方法数学模型简单，但在测点坐标的任意性方面需进 行检测或变换，因而影响运算的速度。施杰等“用网格法、0 6 1 8 法、惩罚函数法及单纯 形替换法求解最小区域的平面度误差，给出了7 组数据的计算结果，从这些结果来看，用 不同算法求得的误差值有时相差较大。何真、梁晋文等“利用计算机对平面度误差测量数 据进行分析，绘出了目标函数的等值线，从而验证平面度误差目标函数为单谷函数。张善 钟等”“提出了求平面度误差的“有序判别法”，方法以最小区域准则为基础，直接以排序 的高点和低点构成的初始平面进行最小包容区域的判定和搜索，最终求得平面度误差值。 关于圆度误差、圆柱度误差评定的数学模型和算法国内也相应有了不少的报导。张玉 等“研究了圆度误差的最小二乘评定法，提出了用半径偏差表示的最小二乘圆圆心公式， 使用十分方便。田朝平等“提出利用置换算法评定圆度误差，该方法利用置换原则来不断 改变评定中心的位置，从而计算出符合最小条件的圆度误差，具有一定的通用性。梁荣茗 “介绍了五种圆柱度误差的电算法：最小区域法、最小二乘法1 、最小二乘法2 、最小外 接圆柱法和最大内切圆柱法，采用了方向加速和步长加速法计算。但文中并没有给出最小 二乘圆柱参数的计算公式，而是采用优化的方法去逼近。从计算实例看，用后四种方法得 到的结果与用最小区域法行到的结果相比，平均相对误差小于5 ，但优化算法的收敛速度 较慢。范裕健”。建立了以直角坐标数据表示的圆度、圆柱度误差评定的无约束最优化模型， 将各种评定方法统一表示成极大值极小化形式，并使用求解非光滑极值的o v e r s h o o t s e a r c h 方法和b f g s 变尺度法求解，并利用栅点技术提高收敛速度。赵则祥、赵卓贤”“利 用均方逼近原理分别对圆度、圆柱度误差的评定进行研究，推出了适用于单螺旋线测量法 和双截面加单螺旋线测量法确定理想轴线的参数公式，虽然该方法比最小区域法评定值偏 大，但对于一般精度的工件能够满足要求。 对于其它形位误差项目的数学模型和算法的研究还比较少，安立邦等“利用鞍点规划 的方法研究了在框架复合运动条件下，平面孔组位置度误差的评定模型，以及最小条件和 解算方法。张青等9 “利用最小圆柱包络法研究空间直线度误差，用迭代法求解非线性方程 组，并用最小条件判别式判断是否达到最小条件。 随着理论研究的深入，形位误差评定从对单个的研究开始向系统的理论研究转化。熊 有伦“”在线性极差极小化理论的基础上建立了线性范围内形状误差评定的统一数学模 型，将各种形状误差的评定归结为线性极差极小化或线性极大值极小化问题，给出了遵循 最小区域评定的置换算法和最小条件的统- - n 另 j 准则。刘健、钱名海等。”3 “将各种形状误 差评定问题统一表示成鞍点规划模型，采用了求解线性规划的对偶单纯形法进行求解。所 有的这些成果，都为形位误差评定数学模型和算法的深入研究创造了条件。 另外，从我国不同时期研究出的各种测量器具，可以看出我国关于零件形位误差评定 技术的发展过程。在7 0 年代，上海机床厂研制和生产的h y q 系列圆度仪。3 ，其主轴回转 精度已达到0 0 2 5 x m ，配有i b 卜_ p c 微机，能用四种国际通用的评定方法进行数据处理， 其主要性能指标，已基本上达到了国外圆度仪的水平。从8 0 后代初，西安交通大学研制的 - 4 - 郑州大学硕士学位论文 第一章绪论 d q r 一1 j 型圆度测量和评定系统“，其测量精度达0 0 4 , u m ，评定精度达0 0 2 # m 。1 9 8 2 年北京市机电研究院成功地研究配备微机的y z l f 一1 型圆柱度仪”。该仪器采用液体静压 轴承回转工作台，径向回转精度为0 1 2t a n ，精密立柱采用花岗岩，立柱滑板在导轨上移 动的直线度精度为0 8 5 , u m m m ，电感式传感器的分辩为0 0 1 , u m 。仪器配备了用最小二乘 法和最小区域法评定圆柱度误差的软件。此后，西安东风仪表厂、北京机床所、中原量仪 厂等也相继研制并生产了圆柱度仪系列产品，从整体情况看，我国生产的圆柱度仪在制造 精度、自动化程度、软件功能等方面同国外同类产品相比，还有一定差距。但经过2 0 多年 的努力，我国在形位误差测量技术理论与应用研究领域同世界先进水平的差距在逐渐缩小。 总之，关于形位误差评定的研究，已从过去的低维问题转向高维问题。研究方法从过 去的“一对一”，逐步归于理论化。研究的内容也从个别问题逐步转向系统化。但目前仍有 很多问题需要解决，如评定理论中关于最小条件的研究，受特征点位置关系约束较大，而 对特征点的总数及分配比的要求还不够明确，一些评定问题的解算方法、评定软件等还需 进一步的完善和开发，同时应提高评定结果的准确性、稳定性和处理数据的计算效率。本 文将致力于探讨形位误差的线性规划和求解，以期对形位误差的评定在计算效率和计算精 度上有所突破。 1 4 论文工作简介 本课题来源于河南省自然科学基金项目仿形数字化加工技术研究，编号：0 0 4 0 5 3 1 0 0 。 本文主要探讨了形位误差评定理论，其中包括形位误差的几何模型和规划模型，并利 用数学规划的方法对所建立的形位误差评定的数学模型进行求解，最后实现计算机评定。 主要工作如下： 1 探讨了线性规划的原理、数学模型、解的性质以及线性规划的解算方法一单纯形 法。 2 根据形位误差几何特征，建立了平面曲线和一般曲面形状误差的统一几何模型，对 典型的位置误差评定几何模型进行单独讨论。 3 建立形位误差包容评定的线性规划数学模型，并给出各种形位误差的最d , - 乘评定 的公式。 4 应用线性规划的最优条件，结合形位误差评定的具体特点，探讨形位误差评定的最 小条件。利用几何图示法对最小条件进行描述，对于高维复杂的形位误差采用投影法解决 最小条件图示问题。 5 对所建立的线性规模数学进行可靠性分析论证，并对线性化模型误差进行估算。 6 编制一个关于形位误差评定的系统软件，其中包括形位误差的最小二乘法、最小区 域法、最小外接法、最大内接法评定程序。 5 郑州大学硕士学位论文第二章线性规划的原理 第二章线性规划的原理 本章将讨论约束最优化问题中的线性规划，即目标函数和约束函数都是线性的约束最 优化问题。首先给出线性规划的各种形式，然后讨论将各种线性规划化为标准形式，并给 出线性规划的几何解释。 2 1 线性规划的各种形式 2 1 1 线性规划的标准形式 线性规划问题的数学模型有各种不同的形式，目标函数有的要求极大化，有的要求极 小化；约束条件可以是等式，也可以是不等式；决策变量一般是非负约束，但也可以在 ( 一。，+ 。) 范围内取值。但是，不论是何种形式，线性规划问题的数学模型都可以统一变换 为标准型。一个具有m 个约束条件和n 个变量的线性规划的问题的标准形式，可以用以下 形式来表示： r a i n1 2 c ，x ， ( 2 1 ) j = 1 “嘞。= 6 ， i = 1 “2 - m z ，0j = 1 , 2 ，” 其中：式( 2 1 ) 称为目标函数，x 。是待确定的非负的决策变量， 价格系数，b 称为右端项系数。 如果采用向量矩阵表示法，则标准型线性规划可写成 m i i l c l x s r 一x = 6 c ，是与决策变量相对应的 ( 2 2 ) x o 其中：1 = i x l ，z ：，】7 称为决策变量向量；c = c 。，c ：，c 。】t 称为价值向量 6 = 【6 。，6 ：，6 。】为资源向量； 彳= q lg 1 2o h d 2 l口2 2口2 ” 爿为一个mx 月阶矩阵，称为线性规划的系数矩阵。 塑篓奎堂至主堂垒鎏塞笙囊鍪墅塑受壁i i 墨 2 1 2 线性规划的一般形式和麒范形式 对予线性纛翊嚣一般影式可写藏 r a i n 甲， j = 1 胍t x j 6 _ b q 勖盖，= 6 ， z 0 ，= 1 , 2 ，t 对于线性规划的典范形式可写成 r a i nq 鼍+ e 2 x 2 + c n 矗 s ，t x l十艨t * “x m “十a l 封x h = b l x 2 + a 2 m + l x + i 十日知= b 2 x 。+ ，+ i j “+ a n n x # 篇 x i q t j = 1 , 2 ，一携 b 0 ，i = 1 ，2 ，m 如果采用向凝矩阵法表示，则线性规划的典范形式也可写成 r a i ne ；x | c ；x n s t i x l + n x n = b x j o ，x _ 0 其中c ，= 【c ，c 。， ! tc ，= 【c 槲焉。焉l r x ，= 两，x ：，】7x ，= i x 洲，靠。，】7 j = 队，1 rn = a 。，甜。，】7 2 。2 将各秘线性规翅纯菇搽灌澎式戆方法 ( 2 3 ) ( 2 。4 ) ( 2 国 将各种线性规划化为标准形式时，可采用如下的方法： 一、负号法 # 若爵标函数燕求极大亿静线性函数郎m a x z = 勺x j ，这时只需令= - z ，予楚脊 ，；l r a i n z = 一c j x , i ，这样就将极大化问题转化成极小化问题。若有一个解x = k ，x ：，】7 产l 髓铰z 这蓟最夸，剿该解必鹱馁z 达到最大。 一7 一 郑州大学硕士学位论文 第二章线性规划的原理 二、松驰变量法 对于“”约束，可以引入松弛变量使它变为等式约束。考虑“”约束中的第p 个 不等式： 口。x ，蔓6 ， 引入新变量一+ 。0 ，可使原不等式转换成为 。，+ x = b ， ( 2 6 ) 其中x 。即为松驰变量。 三、剩余变量法 对于“”约束，可以引入剩余变量使它变为等式约束。考虑“”约束中的第q 个 不等式： o - b 。 引入新变量x 。0 ，可使原不等式转换成为 。厂+ q = b q ( 2 7 ) 其中- + 。即为剩余变量。 在引入“个松弛变量、v 个剩余变量后，线性规划将含有t + “十v ：n 个变量、聊个不 等式约束，从而化成了标准形式，即 m i n 勺。， = l s t d x j + x f 十p = b p p = 1 ，2 ，- ，“ x j 0 ，= 1 , 2 ，一，r + “+ v 必须指出的是，在引入了松驰变量或剩余变量以后，它们与其它决策变量一样，都是 线性规划的一部分，这些变量始终保持为非负值，而且在最优解中松驰变量和剩余变量的 值对原线性规划的分析很重要。 四、自由变量的消除 在标准型线性规划中要求决策变量是非负的。如果实际问题没有这种约束，也就是说 某些变量可以任意取值，这些变量即为自由变量。那么为了要求所有变量都有非负限制， 通常可以用两个非负变量的差来表达。例如柳的符号不受限制，则可引进非负变量x n ，x 。， 8 一 = q +k “ 一 i 0 口 口 口 闩，f厶一，f厶同 郑州大学硕士学位论文 第二章线性规划的原理 算令x i = x i t - 瓤：，这样就可以使线性禳划里所有盼变羹都转化为窍非受限制斡变量。 五、浆一t 法 在线憾规划数学模型中，约束方程的常数项6 要求大于等于零。若为负值则方程两边 同乘一1 。 2 3 线性舰划解的性质 一、线性规划的可行域是凸多面体。 萋设蠢豹孬起量是p j ，p ；，p ：，蚕熬芳两量怒熟，b ：，瓦，鄹可嚣域d 霹表示残 旦 d = x i p ，z j = 6 ，x ，0 ；l 根据“线性规划问题的每一个非负限制x ，0 都是一个闭半空间。r n k o 。”和 “套疆令祭阙静交点为熬多嚣傣。”“8 母知，线注瓣翻懿可季亍域怒凸多嚣蕊。 二、凸集的极点。 设x l ，x 2 r “且_ 喾x 2 ，, l j x 。和x 2 的线性组合的榘合称为线段，而和x ：称为线段的端 点。若x 怒嚣霹x ，的严格凸组合，受4 称x 是线段的肉点。若凸集d 中豹某个点茗不能表示 成这个集合中另外两个不鞫点鹃严貉鼹组合，荑| l 煮x 称为凸集d 瀚极点。 三、麓本可行解。 满足a x = 6 的x 称为方程组a x = 西的解，而满足线性规划中约束a x ：b ，x 0 的 x 称走线性规划( 2 。8 ) 的可行解，它对于求熬线性援划越罄关键兹作越。如设 a = k ，痒，吒r 羹可激冀成 口1 x l 十a 2 x 2 + 一a n x n = b 那么称列向擞毋与变量雄是互相对应的。a 中m 个线性无关列向量组称为基。熬中的每个 列岛量稔为蒸舞量。蔗中瓣箕余囱鬟秣爻菲基囊量。褒上式孛，确定了一个基螽，与基囱 量所对应的变量称为基变爨，与非基炎摄对应的变鬣称为非基变量。设置、是a ：6 的一 个解。若它有m 个分量在a 中所对应的列向量可以构成基嚣，而其余m m 各分最全部为 o ，贝抟x 。强a x = 矗黪荧予基嚣的基本鳃。若a x = 矗魄基本鼹j 蠢同时成立：墨0 ， 蟊l 称瓢是约柬a x ：矗，x 0 关于鏊嚣豹基本可行解。设嚣是一个基，若( 2 8 ) 存在关 于口的基本可行解，则称露是可行基；褥则称为非可行基。若基本可行解中基变擞的取值 都大于0 ，则该解称为非退化的；否则称为退化的。 霾、蘩零霹露舞与羧杰戆露痤关系。 可以证明，约束a x = b ，x 0 的基本可行解与遮组约束所确定的可行域的极点在一 定条件下是一一对应的。 即若名楚嫩聍矩阵，o 是由约束( 2 1 ) 确定豹可行域，刚x 必d 豹极点黪兖要条彳孛 是：x 是基本可行解。 一馨一 郑州大学硕士学位论文第二章线性规划的原理 证：充分性 设x = b 。，x ：，扎，0 ，u 1 0 o 】7 是基本可行解，与之对应的基向量是 口l ，口2 ，l ，则有 x l a l + x 2 a 2 + - + 工口l = 6 以下来证明，x 不能表达d 中另外两个不同点u 和v 的严格凸组合，从而证得x 是 极点。使用反证法。假定 x = 口l u + “2 v 写成分向量形式是 x j2 z 1 ，+ 盘2 v j j = 1 , 2 ，疗 其中a i , 口：( 0 ，0 j - a 。+ 口2 = l 。由于x ，u 和y 的分量都是非负的，上式表明，当x 的 某个分量为零时，u 和v 的相应的分量也必为零。因此，有如下形式： u = b