（运筹学与控制论专业论文）保险精算的信息熵方法.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 生存分析和风险理论是精算研究中的两个核心问题。本论文以信息熵理论 为基础，对生存分析中的死亡率修匀、死亡率预测和风险理论中的保费定价、 破产概率等问题进行了研究，并给出了相应的计算模型和方法。本文的具体内 容如下： 第一章为文献综述和选题背景。首先简要介绍了精算学研究的主要问题， 并对生存分析、保费定价原理及破产概率的研究现状和主要方法进行了重点的 介绍。然后，对信息熵方法在会融领域的应用进行了回顾，最后介绍了本文的 研究工作。 第二章简要介绍了信息熵的概念和两种推断概率分布的准则，即最大熵原 理和最小叉熵原理。利用凸规划的对偶理论，分别推导出最大熵和最小叉熵问 题的对偶规划，从而可以极大地减少计算工作量和有助于两个熵优化原理的推 广应用。并针对极大极小问题，给出了熵正则化和指数( 乘子) 罚函数两种不 同的求解方法，并证明了两者之间的对偶等价关系。 第三章将熵优化方法作为一种统计推断的工具，应用到寿险精算中的生存 分析问题，针对死亡率修匀和死亡率调整，建立了两个死亡率修匀模型( 分别 为最大熵修匀模型和多目标修匀模型) 和一个死亡率预测模型( 最小叉熵模 型) 。同现有的模型相比，这三个模型在保证计算精度的同时，在理论分析和 计算效率上都有了很大的改进。 第四章将信息熵引入保费定价，依据熵作为概率不确定性度量的内涵。对 以均值- 方差为基础的几种保费计算原理进行了修正。在修正后的定价原理中， 考虑了不同的概率选择可能带来的“系统”风险，为合理的保费定价提出了一个 新的思想。 第五章提出了一个新的保费定价方法，即叉熵正则化方法，并导出了一个 指数型的保费定价公式。该方法具有两个突出特点：( 1 ) 保费定价公式可以看 作是对最大索赔额的光滑近似，其近似程度由一个光滑参数( 相当于风险厌恶 系数) 控制；( 2 ) 在其推导过程里包含了一个由先验( 预估) 概率求后验( 真 实) 概率的过程，并且给出了这一概率变换的显式表达式。 第六章将大偏差理论应用到风险理论中，对破产概率问题进行了研究，给 保险精算的信息熵方法 出了两种计算盈余过程破产概率的方法。一种是根据c h e r n o f f - y 程求率函数的 方法，另一种是根据最小叉熵原理求率函数的方法。通过大偏差理论计算破产 概率的方法，为求破产概率提供了一种简便的新方法。特别是通过叉熵函数的 方法，解决了复杂概率分布情况下的破产概率计算问题。 第七章对全文进行总结，并在此基础上提出了几个可以依据本文内容进一 步展开的工作方向。 关键词：信息熵：保险精算；生存分析；保费原理；大偏差 i l 大连理工大学博士学位论文 - _ _ _ _ 。 _ 。_ _ 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ _ 。- _ _ 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ 。一 a b s t r a c t s u r v i v a la n a l y s i sa n dr i s kt h e o r ya r et w oc e n t r a lp r o b l e m si na c t u a r i a ls c i e n c e b a s e do nt h ei n f o r m a t i o n a le n t r o p yt h e o r y , t h i sd i s s e r t a t i o n f o c u so ns e v e r a l i m p o r t a n tp r o b l e m s ，s u c ha sm o r t a l i t yg r a d u a t i o n ，m o r t a l i t yp r e d i c t i o n ，i n s u r a n c e p r i c i n g a n dr u i n p r o b a b i l i t y ，a n dp r o p o s e sc o r r e s p o n d i n g m o d e l sa n d c o m p u t a t i o n a la l g o r i t h m s m a i nc o n t e n t so ft h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： i n c h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n d a n dm o t i v a t i o no ft h i sd i s s e r t a t i o na r e i n t r o d u c e dt o g e t h e rw i t har e v i e wo fs o m ee x i s t i n gm e t h o d sa n dm o d e l s f o r s u r v i v a la n a l y s i sa n dr i s kt h e o r y f i n a l l y ，m a i nr e s e a r c hw o r ko ft h i sd i s s e r t a t i o n i sd i s c u s s e d c h a p t e r2 i sd e v o t e dt oi n t r o d u c i n gt h ee n t r o p yc o n c e p ta n de n t r o p y o p t i m i z a t i o np r i n c i p l e s ，w h i c h a r et h et o o l sf o r p r e d i c t i n g t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n b a s e du p o nt h ed u a l i t yt h e o r yo fc o n v e xp r o g r a m m i n g ，w ed e r i v et h e c o r r e s p o n d i n gd u a lp r o g r a m so ft w oe n t r o p yo p t i m i z a t i o np r o b l e m s f i n a l l y ，w e i n t r o d u c et w om e t h o d s ( t h ee n t r o p yr e g u l a r i z a t i o na n dt h ee x p o n e n t i a lp e n a l t y ) f o r s o l v i n gt h em i n - m a xp r o b l e m ，a n de x p l o r et h ed u a l i t yr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e s e t w oa p p r o a c h e s i nc h a p t e r3 ，t h eg r a d u a t i o na n dp r e d i c t i o nm o d e l sf o rm o r t a l i t ya r es t u d i e d b a s e do nt w oe n t r o p yo p t i m i z a t i o np r i n c i p l e s ，w ep r e s e n tt w og r a d u a t i o nm o d e l s a n do n em o r t a l i t yp r e d i c t i n gm o d e lt h a ti n c l u d et h em a x i m u me n t r o p yg r a d u a t i o n m o d e l ，t h em u l t i o b j e c t i v eg r a d u a t i o nm o d e la n dt h em i n i m u mc r o s se n t r o p y p r e d i c t i o nm o d e l ，r e s p e c t i v e l y t h e yi m p r o v e t h e e x i s t i n g m e t h o d si n c o m p u t a t i o n a lp r e c i s i o na n de f f i c i e n c y i nc h a p t e r4 ，t h ec o n c e p to fi n f o r m a t i o n a le n t r o p yi s f u l l ye x p l o r e di nt h e c o n t e x to fi n s u r a n c ep r e m i u mp r i n c i p l e s a na d d i t i o n a lt e r mo fp r e m i u mi sa d d e d t ot h em e a n - v a r i a n c eb a s e dp r i c i n gm o d e l s ，i no r d e rt oc o v e rt h es y s t e m a t i cr i s k a r i s i n gi nt h es e l e c t i o no fp r o b a b l yd i s t r i b u t i o n s i nc h a p t e r5 ，w ep r o p o s ean e wp r e m i u ma p p r o a c h ，t h ee n t r o p yr e g u l a r i z a t i o n m e t h o d ，a n dd e r i v ea ne x p o n e n t i a l - t y p ep r e m i u mf o r m u l a t h em a i nf e a t u r eo ft h i s n e wa p p r o a c hl i e si nt h ef a c tt h a tap r o b a b i l i t yt r a n s f o r m a t i o np r o c e s s ，f r o ma n t i i 保险精算的信息熵方法 e s t i m a t e do n ei n t oa r e a l ”o n e ，i se m b e d d e di nt h ep r e m i u md e r i v a t i o na n d t r a n s f o r m a t i o nf o r m u l ai se x p l i c i t l yg i v e n t h i sd o e sn o to n l ym a k et h ep r e s e n t a p p r o a c he a s i l yu n d e r s t o o d ，b u ta l s oe s t a b l i s h e saf i r ml i n ko fi tw i t hs o m ef a m o u s p r o b a b i l i t yt r a n s f o r m a t i o na n dp r e m i u mp r i n c i p l e s i nc h a p t e r6 ，t h el a r g ed e v i a t i o nt h e o r yi se m p l o y e di nr i s kt h e o r y t h er u i n p r o b a b i l i t yf o rt h es u r p l u sp r o g r e s si sd e r i v e db a s e du p o nt h ec r a m e rt h e o r e m t w oa p p r o a c h e st oo b t a i n i n gt h er a t ef u n c t i o na r ed i s c u s s e d ，o fw h i c ht h eo n ei s r e l i e do nc h e r n o f ff o r m u l aa n dt h eo t h e ri st h r o u g ht h ec r o s se n t r o p y i np a r t i c u l a r t h el a t t e rm e t h o dc a nb eu s e dt oo b t a i nt h er a t ef u n c t i o nu n d e rt h ec o m p l e x p r o b a b i l i t i e s t h el a s tc h a p t e rg i v e sas u m m a r yo ft h ed i s s e r t a t i o na n ds o m ep o s s i b l e e x t e n s i o n so ft h ep r e s e n tw o r k k e y w o r d s ：i n f o r m a t i o ne n t r o p y ；a c t u a r i a l s c i e n c e ；s u r v i v a l a n a l y s i s ； i n s u r a n c ep r e m i u m ；l a r g ed e v i a t i o n ，v 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：址日期： 2 ，。6 。6 。7 6 保险精算的信息熵方法 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文 版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名 指导导师签 碰年笪月丛日 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 本章首先简要阐述了精算科学的研究概况，然后对与本文研究相关的生存 分析乖风险理论中的几个具体问题进行了回顾，并对近年来信息熵方法在经济 和金融领域中的应用进行了介绍。最后，介绍了本文的选题背景乖主要研究工 作。 1 1 引言 保险业是经营风险的特殊金融服务行业。保险公司经过评估保险标的风险 大小，以收取合理的保费为条件，一旦保险标的发生损失，公司即按保险合同 规定的保险责任赔付被保险人的损失。在日常生活中，人们频繁地使用“风险” 这个词，但是由于个人面临的具体问题不同，所以对风险这个概念的理解和描 述也各不相同。对于保险业，风险一词有其特定含义。一般地可以将风险定义 为：在一定条件下和特定的期间内，某一事件的实际结果与预期结果的差异。 实际结果往往是不确定的，可以用一个随机变量表示，则预期结果就是它的 数学期望e ( x ) ，而风险就是它们之间的差异，即( 一e ( ) ) ，它也是一个随 机变量。正是这种( 未来发生的) 实际结果的不确定性，才导致了风险的存在。 保险精算学1 1 。1 是一门结合数学、统计学、计算机科学、保险学、金融学、 会计学和经济学等多种学科的交叉科学，它以现代数学和统计学为基础，对保 险经营中的某些问题进行定量化的分析和研究，为保险公司的经营决策提供依 据和方法。它通过对未来不确定性事件的分析，研究不确定性对未来可能造成 的财务影响。在保险领域中，精算学主要解决的问题包括人口死亡率( 生存率) 的测定、生命表的编制、保险条款的设计、费率的厘定、准备金的计提、盈余 的分配、险种创新以及投资等问题。 保险精算的信息熵方法 相对国外来说，我国保险业的起步比较晚，而且自1 9 世纪初叶西方保险 业传入中国之后的一百多年中，精算在中国一直是个空白。改革开放后，我国 的经济迅猛发展，它推动了中国保险业的发展，精算对保险公司经营的安全性 和稳定性已经被越来越多人所认识。特别是加入世贸组织以后，我国的金融市 场已经逐步开放，这就使得国内银行业和保险业等金融机构逐渐失去了各种特 殊的政策保护，外资金融机构将享有国民待遇，我国金融市场将进入一个全面 竞争的时代，而作为保险公司的核心精算，更是面临着极大的挑战。 1 2 精算学研究的主要问题及其研究现状 保险精算学包括寿险精算学和非寿险精算学。寿险一般以人的生命为保险 标的，而非寿险是以各种自然灾害和意外事故为保险标的。精算学最早起源于 寿险业务的保费计算，即寿险精算学。经过了几百年的发展，针对寿险中的一 些问题的模型化和定量计算已经取得了很多成果。而进入到了2 0 世纪，随着 人们对自身保障的需求越来越多，非寿险领域的精算问题也日益增多。到了 2 0 世纪7 0 年代，非寿险精算学已经发展成为一个独立的分支学科。 人寿保险1 4 】_ 【6 1 是以人的寿命为保险标的，每个人的死亡对家庭和社会的 伤害以及人的生存价值本身并没有统一的标准，一般是由承保人提供各种可选 择的保额，即寿险中每个投保人的赔偿额是固定的。这里唯一的不确定量是被 保险人的死亡时间或生存时间。另外，因为寿险保险期长，就要考虑保费的利 息问题，也就是保额的现值问题，所以生存分析【7 】_ 1 9 】和利息理论【1 0 i - 【1 2 】是构成 寿险精算的两大核心。 与寿险相比，非寿险1 3 1 1 6 1 - - 般是指人身意外伤害保险、财产保险、医疗 保险和责任保险等。非寿险的特点是：风险的种类繁多、影响风险发生的因素 多，赔偿方式复杂。因此，非寿险精算没有寿险精算那样系统和标准，常常是 一类问题对应一类方法，有时甚至在同一类问题中也要随时间和环境的变化而 大连理工大学博士学位论文 修正计算方法。这时保险业务知识和统计分析是融合在一起的，必须以实际效 果来衡量方法的优良，但非寿险作为一个独立的研究领域也有一些较为成熟的 问题和方法，如费率厘定【17 】_ 【2 ”，损失分布的估计( 2 2 】- 【2 7 1 及信用理论【2 8 1 2 9 1 等。 至今非寿险精算已经发展了两个重要分支：一是损失分布理论，研究在过去有 限的统计资料的条件下未来损失的分布情况以及损失和赔款的相互关系等问 题；二是风险理论15 】【1 6 【如1 ，通过对损失频率和损失幅度分布的分析，研究这 种出险次数和每次损失大小的复合随机过程，以期洞察保险公司应具备多大的 基金，方可不”破产”，以及评估”破产”概率的大小等问题。风险理论是决策 者对风险进行定量的分析和预测的一般理论。 纵观保险精算的研究，其核心的问题就是费率厘定。保险公司收取的保 费应该在能保证自身运营安全的条件下，还要对投保人足够公平。在费率厘定 中，必然要面对的一个问题，就是防范风险。在以往对风险产生原因的研究中， 人们已经逐渐达成了一种共识：即风险是由不确定性引起的。在寿险中，引起 风险的不确定的因素包括被保人的死亡率和在被保人保障期间内的利率，而非 寿险的风险理论中涉及到的保费定价原理的研究、破产概率的研究等等也都是 为了能够更合理的制定保费，提留准备金，从而达到降低风险的目的，在过去 的研究中，人们提出了很多办法来试图减少影响保险公司不确定的因素，但是 由于未来事件的不可预知以及缺乏公认的恰当的风险度量工具，因此，这些问 题带来的不确定性一直是保险公司风险的来源，直至今日仍然是精算研究所关 心的热点问题。 本文对寿险保费计算中与死亡率相关的死亡率修匀、死亡率预测和非寿 险保费计算中与风险理论相关的保费定价原理和破产概率等几个问题进行了 研究，下面，将对这几个领域的研究内容及概况作以介绍。 保险精算的信息熵方法 1 2 1 死亡率修匀和死亡率预测的发展概况 生存分析主要研究的是生存模拟，藉以表示生存分布情况。实际上，生 存模型是一类特殊随机变量的概率分布。生存分析主要包括两个主要部分，一 个是生存模型的选择，该领域近年来的研究热点主要集中于死亡率预测模型的 研究；生存分析的另一个部分就是死亡率修匀技术的研究。下面将就死亡率预 测和死亡率修匀技术的研究概况分别作以介绍。 1 2 1 1 死亡率预测的研究概况 在寿险精算中，生存模型通常指的是研究对象的生存或死亡的概率( 有 时也包括研究对象在保险期间退保的概率) 。生存模型始终贯穿寿险和养老金 经营中，在寿险精算中占据着极其重要的地位。 关于生存模型的研究已经有了几百年的历史，1 6 9 3 年，英国著名的天文 学家e h a l l e y 编制了第一个较完整的生命表，这也是第一个较为正式的生存模 型。早期的精算实务、教学和研究都围绕着生命表的编制问题。从e h a l l e y 的 第一张生命表到现在，人们对生存模型进行了大量的研究，该方面的很多问题 已经得到了很好的解决。大部分国家和保险公司都根据自己的发展状况和特点 制定了生命表，为保险费率的制定提供了必要的条件。但是，随着人们生活水 平的提高，医疗技术的进步，死亡率的变化趋势有了变化，人类的死亡率整体 上呈现出一种下降的趋势，这将直接影响到保费计算，也增加了保险公司安全 运营的风险，因此近年来，对生命表的研究重新又成为精算研究者所关注的热 点。 近年来，很多人对未来死亡率的变化进行了研究，b e r i n s t o l n i t z a n d t e n e b e i n ”】研究了人类发展史中男性和女性的死亡率，从数据发现，在1 9 世纪， 男性的死亡率要低于女性，而到了2 0 世纪，这种现象发生了变化，男性的死亡 率要高于女性。但是人类的死亡率整体出现了一种下降的趋势。在1 9 9 7 年s o a 4 大连理工大学博士学位论文 的会议上 3 2 1 ，众多学科的学者对加拿大、墨西哥和美国的死亡率的变化趋势 及其对社会养老保险的影响作了研究和探讨，他们最终得出的结论是，对大多 数人群，死亡率整体呈现一种降低的趋势，他们的平均寿命有所增加，特别是 在二十世纪，人类平均寿命有了显著的提高。 虽然上个世纪人类的平均寿命呈现了显著的增长，但是研究也表明，从近 年来死亡率的发展趋势可以看出，这种增长已经呈现出一种减缓的趋势。l e e 3 3 1 对这种现象进行了研究，他发现，产生这种现象主要是因为两个原因：一个是 在发达国家，死亡率的降低主要体现在老年人群，另一个原因就是，与年轻人 相比，老年人的死亡率降低的量对人类平均寿命的影响要小。因此，导致了近 年来人类平均寿命增加的减缓，因此，他认为死亡率的变化是服从一种矩形降 低的形式。但是，这个结论并没有得到一致的认可，b e l l ，w a d e i l a g o s s ”1 对美 国的人口数据进行了分析，他指出，最高的生存年龄呈现一种稳步增长的趋势。 l e e 和c a r t e r ”1 也指出，对某些特殊的年龄段，死亡率服从一种对数线性递减 的模型。为了预测未来死亡率的变化趋势，人们建立了很多模型，近年来比较 有代表性的模型有四个： 一、 c m i b ( c o n t i n u o u sm o r t a l i t yi n v e s t i g a t i o n sb u r e a u ) 模型3 6 3 7 】 c m i b 模型是美国精算学会在修正1 9 7 9 1 9 8 2 和1 9 9 1 1 9 9 4 年的生命表时采 用的一种模型，该模型的具体形式如下： r f ( x ，f ) = 口( z ) + 1 一口( x ) - e l - f ( x ) “ q x ，= q 钟r f ( x ，) 其中，吼，代表未来的待估死亡率，g 0 代表已知的基准死亡率，e f ( x ，f ) 代 表衰减因子，即该模型是用一个基准时间的死亡率乘上一个衰减因子来获得待 求的死亡率，其中衰减因子r f ( x ，) 由一个两参数的指数衰减的模型来表示。 该方法在计算中考虑到了专家对未来死亡率变化的看法和现有的经验生命表 对预测未来死亡率的参考作用，但是在计算衰减因子时，没有一种明确的计算 保险精算的信息熵方法 方法。 二、a l h o s p e n c e r 模型蚓 1 9 8 5 年，a l h o n s p e n c e r 3 s l 提出了一个时间序列模型来预测死亡率，该模 型假设待求的出生率，死亡率等服从一个基于随机过程 y ( t ) l t z 的“近似”线 性模型，具体形式如下： y ( r ) = ( f ) + s ( f ) i ，( f ) = 岛( ，) + 1 7 ( r ) j = l ( s ( ，) ) = 0 其中，厂( ，) 代表出生率，吁( f ) 代表偏离原出生率均值的量，该模型的优点 是在计算的过程中加入了对不确定性的度量，并且该不确定量是随时间变化 的，虽然在计算中对不确定量采用了非定值，这种度量更灵活，但是它对未来 死亡率预测的计算结果在有些时候和理论分析不相符，因此该方法的可信度较 低，在实际中应用很少。 三、 曲线模型 1 9 7 1 年，b r a s s l 3 9 1 提出了一个基于标准生命表来预测未来死亡率变化趋势 的曲线模型，其具体形式为： l o g i t ( 1 - i ) = c t + f l l o g i t ( 1 一) 其中，t 和t 分别代表活到x 岁的人的生存率的经验值和估计值。通过确 定参数可求出待估的死亡率。还有一种较流行的曲线模型是h e l i g m a n 和 p o l l a r d ( 1 9 8 0 ) 提出的八参数模型【40 1 ，该模型为含八个参数的曲线模型。以上 这两种曲线模型在计算中都考虑了专家对未来死亡率变化的意见和标准生命 表中的死亡率，它们的优点是可保证待求死亡率曲线的光滑性，缺点就是计算 量比较大。 6 大连理工大学博士学位论文 四、l e e c a r t e r 模型 近年来，被广泛使用的一种预测死亡率变化趋势的模型是l e e c a r t e r 模型 35 1 “1 ，其具体形式为： i n ( m x ，) = q + b x k , + t ， 其中，为年龄为x 岁的人在第r 年时的中心死亡率，q 和t 为与年龄x 相 关的参数，t 为一个时间序列因子，q ，为假定均值为0 ，方差为吒的误差项。 该模型假定未知的死亡率分布为一种含参数的指数形式，然后通过参数估计来 确定死亡率分布，该模型的主要问题也是计算量比较大，而且对未知死亡率分 布的估计没有固定的方法。 从以上的分析可以看出，人们虽然在预测未来死亡率的研究中建立了很多 模型，但是迄今为止，没有一种在理论上被大家公认，而且计算上也很简便的 模型。鉴于生存分析对未来寿险经营的影响很大，因此，预测未知死亡率分布 模型的研究在当前以至以后的一段时间内仍将是寿险精算的一个研究热点。 当i j 生存分析中另一个重要的研究方向就是死亡率修匀技术，它是编制生 命表中一个重要的技术关节，也是当前精算研究的重要课题之一。 1 2 1 2 死亡率修匀的发展概况 修匀指的是利用初始估计，结合先验观点修正初始估计值的数学方法。通 过修匀处理，将一个连续变量的不规则的观察序列转化为与观察值序列相和谐 的光滑的有规则的修正序列。 在以往的研究中，修匀法主要分成两大类【9 】：一类为表格数据修匀，主要 方法有图像方法、方差补整方法、移动加权平均方法、w h i t t a k e r 方法、b a y e s i a n 修匀方法等等，另一类称为参数修匀方法，主要有一般的参数修匀方法、分段 参数修匀方法( 也叫样条修匀) 等等。这两类方法主要的区别是，前者是直接 保险精算的信息墒方法 对观察所获的表格( 或离散) 数据进行修匀，这种方法的修匀表达式显含初始 估计值“，而不是年龄x ，修匀算子是“，的函数。后者是假设修匀值是某种参 数形式，如g o m p e r t z 模型、m a k e h a m 模型、w e i b u l l 模型等等，修匀过程是通 过获取参数的最佳估计值，然后获取修匀值的。 国外很多学者应用上面提到的修匀方法作了很多实际研究。在表格修匀法 中，近年来常用的方法有w h i t t a k e r 修匀方法和b a y e s i a n 修匀方法。1 9 2 4 年， w h i t t a k e r l 4 2 i 提出了w h i t t a k e r 修匀方法，之后，h e n d e r s o n 对这种方法作了进 一步的研究1 4 3 】【4 ”对将该方法付诸实用方面做出了重要的贡献，故该方法也 常被称为w h i t t a k e r h e n d e r s o n 方法，因为该方法适用于各类数据的修匀，因 此至今在实践中仍被广泛的应用。但是，该方法在计算过程中形式过为复杂， 而且模型中的拟合算子和光滑算子之间的比例系数不是很好确定，对不同的人 群，该系数往往不同，这些给该方法的应用带来了很大的困难。另一种在近年 来比较流行的修匀方法是b a y e s i a n 修匀法【4 5 】_ 【4 扪，该方法在修匀过程中是用试 验数据来修正先验概率，因其内含主观性而遭到争议。也因此限制了该方法的 应用。 对参数修匀方法，人们也做了大量的工作。a n a n d a 4 9 1 应用参数修匀来求 死亡力，他假定死亡力分布为两参数的w e i b u l l 和两参数g o m p e r t z 分布，然后 通过贝叶斯估计来估计参数模型中的未知参数，进而求出死亡力。h a r r y 等假 定死亡力满足m a k e h a m 形式，对加拿大1 9 8 2 1 9 8 8 1 50 1 ，1 9 8 6 1 9 9 2e 5 1 】两个时间 段的死亡率分别进行了修匀。参数修匀的优点在于它假定死亡率满足一种光滑 的函数形式，因此可以保证修匀后死亡率的光滑性的要求，但是由于该方法在 使用的时候要选择一种分布来作为死亡率分布，因此，不如 w h i t t a k e r h e n d e r s o n 修匀适用范围广。 迄今为止，没有一种修匀方法能在绝对意义下看成是“最好的”或是正确无 误的，只是在某种特定场合下，可以认为某一个特殊的方法比另一个好。给出 大连理工夫学博士学位论文 一种理论上更客观合理、计算上容易实现，并能广泛适用于各类数据的修匀方 法一直是该领域研究追求的目标。 以上我们介绍了关于生存分析中的两个热点问题的研究概况。下面，本 文将对风险理论中的两个热点问题：保费定价原理和破产概率的研究概况分别 作以介绍。 1 2 2 保险定价理论研究的主要问题及发展概况 在保险定价中，最主要的问题就是保费定价问题，这也是保险精算中的 个核心问题。下面将对保险定价理论的发展概况作以介绍。 与一般的商品定价相比，保险定价要困难得多，主要是因为：( 1 ) 一般 情况下，保险费率一旦厘定，则其在保险合同期内不能改变；( 2 ) 保险标的风 险不是固定不变的，而且它受到很多个不可预知因素的影响。保险定价实质上 是对一个不断变化的风险对象确定相对固定的价格。 从风险的内在特性来讲，在为一风险确定保险费时，除了要将未来的损 失用一个概率分布来描述外，还必须选用一个保费定价原理。保费定价原理中 定价的保费一般由两部分组成，一部分是用于索赔的纯保费，另一部分是附加 保费，纯保费是为了在给定的期望损失分布下，支付投保人的索赔，而附加保 费是为了化解在未知索赔和期望索赔发生差异时产生的风险，通过将风险合理 的量化来制定恰当的保费是保费定价原理的最终目的。在保费定价原理的研究 中，人们根据对风险的不同度量方法，建立了不同的保费定价原理。下面，将 对建立保费定价原理的几种经典方法作以介绍。 1 2 2 1 建立保费定价原理的几种方法 在以前的研究中，人们已经给出了许多保费定价原理。建立这些原理的 方法，大致可以分成三大类： 保险精算的信息熵方法 一、实效( a dh o c ) 方法 这类方法是基于损失分布函数的一阶矩或( 与) 二阶矩，并用它们来度 量风险，设定出直观合理的保费定价原理，然后再对它进行检验，看是否符合 希望满足的保费定价原理的性质。我们熟悉的一些保费原理，如等价原理、期 望值原理、方差原理、标准差原理、半方差原理等，均属于此类。因为这类保 费定价原理在保险实践中有着广泛的应用，因此很多人对它们的性质和应用作 了大量的研究1 j 【2 】【1 6 】【17 】【5 2 】- 【55 1 。这类原理最大的一个缺陷就是对不同的分布不 具有一般适用性，对损失分布为正态分布时的风险度量比较客观，而对很多严 重偏斜的分布，这些原理的度量是不准确的。而实际上，保险中关心的损失分 布通常都是严重右偏的，对这种情况，只用前两阶矩来度量风险显然不准确， 因此，这些定价方法不能客观地反映出标的的风险大小。r a m s a y ( 1 9 9 3 ) 5 6 1 在研 究附加保费的时候，试图引入三阶矩来度量风险，高阶矩的引入显然使风险度 量更全面，但是在计算上的难度也相应增加了。2 0 0 1 年，阙紫康【5 7 1 就由于信 息的不对称而带来的不良后果( 如逆向选择、道德风险等) 作了很好的阐述，同 时为优化保单、合理定价提出了不少建议，但没有涉及到定量的分析。在上述 的这些原理中，除了等价原理和最大损失原理能够满足理想保费原理的五个性 质外，其余的几个保费原理仅能满足五个性质中的一部分。 二、特征( c h a r a c t e “z a t i o n ) 方法 与前面的保费定价原理完全不同，该类方法首先假定保费定价原理需要 满足的一些属性，然后再通过这些性质推导出相应的保费定价原理。 1 9 9 1 年，v e n l t e r 5 8 】对定价原理是否满足无套利的性质进行了研究，他认 为，能够满足层次可加性的唯一定价模型是那些由转换分布生成的模型，在这 样的模型下，每一层的保费就等于相应层的期望损失。考虑到层次的可加性， 他认为应采用调整分布原理来定价。受v e n l t e r 的启发，1 9 9 5 年，w a n g 5 9 1 提出 了截尾分布函数的幂变换，也称比例风险转换，该转换模型在超损失层具有一 1 0 大连理工大学博士学位论文 些很好的属性。此后，很多人在w a n g 的工作基础上做了很多研究。1 9 9 6 年， w a n g l 6 0 】对比例风险变换下的风险排序问题进行了讨论。1 9 9 9 年，y o u n g l 6 1 1 在 j x l 险转换模型的基础上，提出了一个最优保险定价模型。l a n d s m a n 等i 6 2 1 针对 组合风险提出了一个修正确定等价模型，对组合风险的保费定价进行了修正。 张鸿雁等6 3 】在期望值保费原理和风险调整保费原理的基础上，建立了一个调 和保费的新的定价模型，该模型通过引入一个保险调和指数，根据它的不同取 值，将保险人的风险厌恶态度与被保险人的支付能力结合在一起，具有一定的 实用价值。沈银芳【6 4 】在定价组合风险的“修正确定等价”风险度量模型基础上， 引入了一个风险度量安全系数，建立了一种适用范围更广的组合风险的度量模 型一安全修正风险度量，将风险度量和保费定价结合起来，并将适用于个体风 险的平均值原理推广到了组合投资和组合风险的度量和定价中，具有一定实用 性。 三、经济( e c o n o m i c s ) 方法 这类保费定价原理是通过一些经济方面的理论导出的，它们基本上都建立 在效用理论的基础上。效用保费原理是用一个适当的效用函数来标定风险的选 择，用保费来作为风险的度量。最著名的就是根据期望效用理论导出的等价效 用原理，常用的是指数保费原理，它是效用函数取指数函数时对应的保费原理。 基于同样理论导出的另一个著名的保费定价原理是e s s c h e r 保费定价原理。这 两个原理在保费定价原理的研究中得到了广泛的关注。1 9 6 1 年，b o r c h l 6 5 1 将效 用的概念引入保险领域，并分析了经济理论在保险中的应用1 6 6 1 ，为效用理论 在保费定价上的应用奠定了基础，1 9 7 0 年，b u h l m a n n l 6 7 1 基于效用理论，导出 了零效用保费，之后，g e r b e r 【6 8 】对保费的可加性进行了研究，并在零效用原理 的基础上，把效用函数取为指数函数，得到了指数保费，并对指数保费的性质 进行了分析。指数效用原理对应的保费定价公式满足理想保费的五个性质，因 此在保费定价的理论研究中，该方法受到了很多学者的推荐。y 0 u n 2 和 z a r i p h o p o u l o u 【69 1 ，y o u n g 70 1 ，m o o r e 和y o u n g 7 1 1 用它来定价动态市场的不同保 1 i 保险精算的信息熵方法 险产品，m u s i e l a 和z a r i p h o p o u l o u 7 2 1 将指数保费原理扩展到金融领域，对不完 全市场的金融证券进行定价。 保费定价原理的研究已经取得了一定的成果，但是，面对复杂的保险问题， 给出一个在理论上合理，在实际计算中方便易行的保费定价原理仍然是保险精 算工作的一个重点和热点问题。 在保费定价原理的研究过程中，存在着几个经典的理论，下面将对这些经 典的保费定价理论分别作以简单介绍。 1 2 2 2 几个经典的保险定价理论 一、期望损失理论 期望损失理论是所有定价模型的基础。它是投保人与承险人在保费上达成 一致的关键因素。很早以前，很多人就开始对期望损失进行了研究。但直到1 9 4 4 年，n e u m a n n 和m o r g e b s t e r n 2 1 将这一理论发展的比较完善。与期望损失有关的 定价模型有很多，该类模型的结构大体由两大块组成，即期望损失与附加保费。 基于该理论建立的模型主要有等价原理、期望值原理、方差原理、标准差原理、 半方差原理等等。 二、效用函数理论 1 9 6 1 年，b o t c h 6 5 】将效用理论引入到保险经济领域，从那以后，这个理论 在定价中一直处于一个显赫的位置，其保险定价模型为u ( w o p ) = e ( u ( w o 一) ) 其中“为效用函数，w 0 为初始财富，p 为保费，为损失。在这个理论框架下， 欧洲的许多精算师又发展了许多保费原则，如指数效用原理等。其实，基于期 望损失理论的方差原理可以看成指数效用原理的一个近似，对指数效用原理的 保费作泰勒展开，取其展开式的前两项，即可得到方差原理。指数效用原理对 应的保费定价公式满足理想保费的五个性质，因此在保费定价的理论研究中， 1 2 大连理工大学博士学位论文 该方法受到了很多学者的推荐。 三、y a r r i 对偶理论 1 9 8 7 年，y a a r i t 7 3 】将对偶理论引入保费定价中，提出了对偶理论保险定价 原理，其数学表达式为1 一尸= f 隋一，( ，) 出，其中1 是初始财富。当投资者为 风险厌恶者时，对偶效用函数h 是一个凸函数。对偶理论的出现打破效用理论 是对不确定的情况作抉择的唯一合理的有效理论工具。 四、w a n g 的风险调整原理 受v e n t e r 的启发，1 9 9 5 年，w a n g 【5 9 1 提出了风险调整模型：尸= f s 。( ，) ；西， 其中& ( ，) 为生存函数，它与分布函数的关系是：s 。( ，) = 1 一f ( x ) ，p ( p 1 ) 为 j x l 险厌恶指数，p 为保费。从上式可以看出，通过风险指数的转换考虑到承包 人对风险的态度，原来的期望损失变大了，从而收取的保费也相应增多了，这 样做的结果是增加了承保的安全性。在这个保费定价原理下，对于不同的分布， 风险厌恶系数转换的程度不同，对分布越不对称的情况，口的转换效果越明显， 但对有的分布，得到的保费与实际要求是不相符的，如当分布为佩雷托分布时， p 的微小变化会导致保费成倍的增加，这种情况显然与保险公司收取保费的实 际情况不相符。 目前，此模型已被广泛的应用于巨灾保险，再保险等领域，y o u n g 6 1 】在 w a n g 的风险调整模型的基础上提出了最优定价模型： u ( ，) = 三一( w - x + 1 ( x ) 一p ) = ( 1 - g ) “( w p ) + q f “( w - - x + ，( x ) 一p 矿( x ) 出 在上式中，( x ) 代表损失补偿，w 为投保人的原始财富，q 为不受损失的 概率a 投保人的目的是使效益函数v ( z 1 的值最大，通过计算可以求出相应的 保险精算的信息熵方法 的最佳，和p 。这个模型把主要立场放在投保人一方，是个理想模型，但遗 憾的是保险公司在定价时不会顾及到每个投保人的意愿。 五、其它 除了上面提到的经典理论外，有关保费定价的研究还有很多，并且也具有 较高的价值。2 0 01 年，a l e x a n d r o sz i m b i d i s 和s t e v e nh a b e r m a n t 7 4 】提出了一个定 价模型： b = ( 1 + 挣) e ( x ) 一6 ( 最。一鼠) 其中，只为极限剩余值，当一。 s 。时，j 取1 。此模型 是在剩余过程信息的基础上定价的。考虑到计算剩余过程的滞后性，同时从特 定控制理论出发，他还对模型进行了进一