（基础数学专业论文）通量与扭结映射作用量差的关系.pdf

一7 一中国科学技术大掌 摘要 本文研究a u b r y - m a t h e r 集上的不同微分同胚映射的轨道所围成 的图形的面积一通量，我们要验证在圆柱面上通量等于差值w 。， 它定义为极小和极大轨道上的作用量之差。考虑连接极小轨道和极 大轨道的光滑曲线时，m a c k a y ，m e i s s 和p e r c i v a l 计算了这样的 区域的代数面积，这个区域由上述曲线和它们的像围成。他们发现 这个面积等于极小和极大轨道上的作用量之差引入梯度流，我们 能够对所有的扭结映射构造连接路径，则通量就是所在的连接路径 上的临界点上的作用量的差的和。 关键词：a u b r y m a t h e r 集，通量，极小( 大) 轨道，扭结映射 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw es t u d yt h e f l u x , w h i c hw a s p r o p o s e d a sam e a s u r e o fm a x i m u md i f f u s i o no fo r b i t so ft w i s td i f f e o m o r p h i s m sa c r o s s a u b r y - m a t h e rs e t s i nt h i sp a p e rw ee v a l u a t e “f l u x o fa u b r y m a t h e rs e t o ft w i s td i f f e o m o r p h i s mo fc y l i n d e ri nt e r m so fd i f f e r e n c eo fa c t i o n so f m i n i m a la n dm i n i m a xc o n f i g u r a t i o n s k e y w o r d s ：a u b r y - m a t h e rs e t s ，f l u x ，m i n i m a l ( m i m i m a x ) c o n f i g u r a t i o n ， t w i s tm a p s 一3 一中国科学技术大学 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名： 年月日 一4 一中国科学技术大学 致谢 本文的研究工作是在导师胡森教授的悉心指导下完成的，在这 里向他表示衷心的感谢。我从本科大四开始跟随胡森老师学习数学物 理和几何的相关知识，几年来在学业上取得很大的进步，这与胡老师 的严格要求和耐心指导是分不开的，在学习科研和生活中，胡老师言 传身教为我树立了良好的榜样。他经常给我有益的建议和鼓励，帮我 克服研究中遇到的难题，在这一过程中，我也体会到了数学研究的艰 辛和问题解决时的喜悦。胡老师对科研的喜爱和执着，工作的勤奋和 认真，以及对学生的关心和照顾，给我留下了至深的印象。同时，我 还要感谢陈卿教授，他指导过我的本科毕业论文，而且一直很关心我 的学习与生活。 感谢我们组的师兄弟们，与他们一起讨论数学问题，互相鼓励， 对我的帮助很大。几年来我们组坚持开设讨论班，这对我也是一种很 好的锻炼和提高。 时光飞逝，我在中国科学技术大学数学系度过了多年的学习时 光，在这几年中，科大的严谨和朴实的学风一直影响着我，数学系积 极向上的学术氛围为我的学习提供了良好的环境，在这里要感谢数学 系的黄稚新和张伟等老师，以及我本科时的班主任宣本金和屠彩凤老 师，她们在我顺利完成学业的过程中给以了很大的帮助，特别感谢同 窗陈小伍和张国华两位同学，我们在一起度过了很多难忘的时光。在 5 一中国科掌技术大掌 今后的学习和工作中，我会继续严格要求自己，争取更大的进步，我 以我是科大数学系的学生而感到自豪。 最后，谨以此文献给我的父母和家人，感谢他们为我的学业和 生活所付出的艰辛以及对我无微不至的关怀和支持。 一9 一中国科学技术大学 第一章a u b r y m a t h e r 理论简介 1 1 维环面上的测地线 在一个黎曼流形上的一条测地线被称为具有极小长度是指如果每一段的长度 都是这两点间的距离在 h 】中，h e d l u n d 研究了一个紧的，定向的，具有亏格1 的无界曲面，它的万有覆盖提升具有极小长度这些是m o r s e 的早期工 作m o r s e 已经研究同样的问题在一个紧的，定向的，具有亏格大于1 的无界曲 面上在 h 】和 m o 】中使用的方法是相似的但是h e d l u n d 得到的结构与m o r s e 得到的结果不太一样，对我们来说，h e d l u n d 的结构和最近的相关结果有关系 b a n g e r t 和b i a l y , p o l t e r o v i c h 推广了h e d l u n d 的工作，他们独立地证明了考虑 2 维环面上的测地线时，a u b r y 和l ed a e r o n 的结果可以做相应的推广 我们稍微改变以下m o r s e 和h e d l u n d 的术语，称呼其万有覆盖具有最短长度的 测地线为a 类测地线在这一节，我们对这个a 类测地线描述结构定理，这个 定理由h e d l u n d , b a n g e r t ，b i a l y 和p o l t e r o v i c h 得到这些结果平行于a u b r y 和 l ed a e r o n 的结果，他们通过研究f r e n k e l k o n t o r o v a 模型得到他们推广了 m a t h e r m a t l 的关于单调扭结映射的结果下面的大多数情况下，我们只给出 结果而不给出证明大部分的证明可以在b a n g e r t b 1 和m a t h e r t ，f o m i m a t - f 的文章中找到 沿着h e d l u n d 的文章【h 】，我们在2 维环面丁2 上考虑任意一个c 2 的黎曼度量 g ，丁2 的万有覆盖是r 2 ，我们用季表示g 在r 2 中的提升当我们说r 2 的测地线， 我们指欧几里德空间中的直线当我们说r 2 中宽为2d 的带时我们指那些距 离一条固定的直线j d 的欧几里德点集，我们称，为带的中心线 h d l u n d 证明了如果y 是在( r 2 ，g ) 中彳类测地线，那么任何r 2 中的提升歹都在 一个适当的带中 艮明显如果p 歹那么矿p 的两部分都有无穷的长度相应 的，连接相应边界部分的每条线段都在矿相遇从这里我们下结论，中心线的坡 一1 0 一中国科学技术大掌 度由y 唯一确定我们称之为y 的渐进坡度渐进坡度为一实数或是0 0 h e d l u n d 证明了对于每个s r u o o ) ，在( r 2 ，g ) 中有一个彳类的测地线 我们说渐进坡度是有理的是指它是有理数或者是0 0 ，否则我们说是无理的 h e d l u n d 证明了4 类测地线的特征明显的依赖与坡度是有理数还是无理数 他证明了当坡度是有理数时有两类彳类测地线首先是，有周期( 又叫闭的) 的 测地线 一条测地线可以看成是一个映射y ：r - - 9 , t 2 满足一个关联于给定的黎曼度 量的欧拉拉格朗日方程我们视两条测地线是相同的是指如果我们能够对其 中一条测地线作重新参数化得到另一条 一条测地线y 被称为周期的或说是闭的，如果存在t 0 使得r ( t + t ) = r ( t ) 对 所有的，r 成立这样的一条周期测地线确定了单位圆s 1 = 口c ：h = 1 ) 到 丁2 一个映射y ；为) ，；( e 2 枷) = y ( 阳) 如果我们在一个一般流形m 上考虑测 地线这决定了s 1 到m 映照一个自由同伦类 y ，丁】在r 2 的特殊情形，映射的 自由同伦类是且( 丁2 ；z ) 由于丁2 的基本群是交换群于是 y ，z 】h 1 ( 丁2 ；z ) 在一个紧致无界的黎曼流形上，每一个自由同伦类包含一个最短的周期测地 线应用到z 2 上这意味着每一个日。( 丁2 ；z ) 中的元素包含一条最短的周期测 地线但是注意到根据前面的描述，两条测地线认为是相同的是指可以从一条 测地线通过重新参数化得到另一条测地线同调类中一条闭的测地线被决定 到相差一个符号h , - h 在零同调类中最短的测地线是常数测地线h e d l u n d h 证明了在丁2 中的非 零积分上同调类中一条最短的测地线是一个4 类测地线，并且相反的，一条周 期的彳类测地线在它的同调类中是最短的 我们称一个非零的积分上同调类是可除的，是指它能够写成另一个不同的积 分上同调类的正的倍数否则我们称它是不可除的我们有且( 丁2 ；z ) = z 2 q ( 丁2 ；z ) 的一个元素h 有形式( g ，p ) ，这里p ，q 是整数它是不可除的当且仅 一1 1 一中国科学技术大学 当p ，q 中至少一个非零，且它们互素 我们考虑丁2 的一个积分同调类h 并且假定h = n h 0 ，这里n 是一个正整数，是 一个不可除的同调类h e d l u n d 证明了h 中的一条最短的测地线卷绕t , o 中的最 短测地线n 次 我们考虑相对互素的整数，p 和g 我们已经看到在同调类( g ，p ) 中的一条最短 的测地线是么类测地线它有渐进坡度p q 于是，h e d l u n d 的理论描述了所有 渐进坡度p q 的彳类测地线它们是在同调类( 口，p ) 中最短的测地线每条这 样的最短的测地线是一条简单闭曲线，两两不相交，它们的并集是丁2 的一个闭 子集m 妒 集合胁，2 ，g 非空，因为同调类( g ，p ) 中至少包含一条最短的测地线对于一般的度量， 正好仅有一个更精确的说，x c r 2 ，有一个开的稠密集“m 在具有c 7 黎曼度量的空间 t 2 中，使得给定c 7 拓扑，对g u p , q , n n 类( q ，p ) 中恰好有一条最短的测地线 从曲面的拓扑分类的结果知道，m i n p ，叮的闭包的每一个分支微分同构于一个开的环面 它的闭包要么同构于一个闭的环面，要么它就是丁2 第一种情况发生在有超过一条最短 的测地线，而第二种情况发生在只有一条最短的测地线( 在同调类( g ，p ) 中) 在第二种情 况下，我们可以沿着测地线割开r 2 ，得到一个闭的环面于是，在上述任何一种情况下，我们 n n - - + g j 的g n ，其内部是施门p ，g 的闭包给出的分支 在一个闭的环面上的第一类积分同调群是无限大的圆并且每一个定向边界分支定义了 一个生成元对于如上构造的闭的圆环，我们选择一个生成元并且相应的定向两个边界把 丁2 上的黎曼度量拉回到闭的圆环上给出了其上的一个黎曼度量这两个定向边界是同 调类中最短的闭的测地线也是生成元并且，它们是同调类中仅有的最短的闭的测地线 在这种情况下，m o r s e 【m o 】证明了在闭的圆环上存在至少两条非闭的么类测地线 m o r s e 还证明了，每一条在圆环内部的彳类测地线，其中一条口渐进逼近到圆环的边界 一1 2 一中国科学技术大学 分支另一条渐进逼近到圆环的边界分支这意味着，一个边界分支是y o ) 当f - - 9 , - - - 0 0 时 的极限集，而另一个边界是y ( f ) 当f o o 时的极限集 我们称一条在圆环内部的彳类测地线为一条m o r s e 测地线习惯上是选择圆环的一个边 界分支并称它为底部分支，而另一个则为顶部分支我们考虑一条m o r s e 测地线) ，并对它 做相合于边界的定向当，口渐进逼近到圆环的底部并且渐进逼近到圆环的顶部，则 我们说 ，从底部跑到顶部，相应的，也有从顶部跑到底部 有至少一条彳类测地线是从圆环的底部跑到顶部 我们现在回到具有渐进坡度p q 的么类测地线，我们上面介绍了具有渐进坡度p q 的 闭的彳类测地线的h e d l u n d 的理论h e d l u n d 还证明了，具有渐进坡度p q 的非闭的a 类测地线位于朋锄，口的分支中因此每一条这样的测地线位于坳z p ，g 闭的连通分支中 它在相应的闭的圆环中是一条m o r s e 测地线，相反的，所有的m o r s e 测地线是圆环面上的 a 类测地线 以上完成了h e d l u n d 的关于4 类测地线的描述 1 2 在万有覆盖中看测地线 我们考虑两条具有不同的渐进坡度的彳类测地线y 。和y 。和它们在万有覆盖中 的相应的提升由于和y 有不同的渐进坡度，由m o r s e 的相交引理，提升一定 相交，并且只相交一次 m o r s e 的相交引理： 在一个黎曼流形上，两条不同长度的极小测地线相交至多一次 我们考虑一条周期的具有无穷大渐进坡度的彳类测地线r ，设f 为它在万有 覆盖中的提升定义映射t ：r 2 专r 2 为t ( x ，y ) = ( x + l ，y ) h e d l u n d 的结果 是i 是一条简单闭曲线则有z p n r 7 f = o 对任何整数j ，j 成立，这里f j 设蚴瓦= l g - i ( m i n ) ，这里r 和万：r 2 专t 2 = r 2 z 2 定义为投射我们 考虑一条彳类测地线y ，具有渐进坡度c o ，歹是它在万有覆盖中的提升我们 一1 3 一中国科学技术大学 有矿与t7 f 仅仅相交一次由于歹与r f 都是彳类测地线的提升，我们可以定 义映射瓦：f 广、m 瓯专( 行) n 尬瓦通过瓦( f n 歹) ；行n 矿，这是一个定义 好的双射 我们让u ：r 2 一r 2 定义为u ( x ，力= ( x ，y + 1 ) 明显地，u ( 两= f 我们为f 选择光滑的参数s 使得u 0 ) = s + 1 我们引用上面的b a n g e r t b l 】和 b i a l y , p o l t e r o v i e h b i p 】的结果，他们说两条具有同样的渐进坡度的测地线不相 交因此，应用j o r d a n 曲线定理，瓦：f n 埘玩专( 行) n 膨既是一个保序的映 射因此丁。元是一个保序映射，它把f n 朋瓦映到自己，这里i = 上的序定义为 用参数s 定义 很明显有，t 一1 瓦u = z 一1 匠= u t - 1 瓦这也可写成t - 1 瓦o + 1 ) = t - l 瓦( s ) + 1 参数s 允许我们把f 和r 等同起来对于一个连续映射歹：r _ r 使得 7 + 1 ) = 7 ( s ) + 1 对s 尺成立p o i n c a r e 证明了三帆+ 细7 ”( s ) 刀存在并且独 立于j 这个极限叫做7 的( p o i r l c a r e ) 卷绕数，我们记为声驴) 我们把映射r 一1 元推广到i = n m m o 的完备区间上，把i = 和r 等同起来，这个扩 张的映射是一个b i l i p s c h i t z 的同态五：r r 使得五o + 1 ) = 五( s ) + 1 注 意到瓦的定义，我们有万( 五) = 6 0 一个上面的映射7 ，考虑它的在商空间t = r z 上的定向保持的商映射 厂：丁一r 另一方面，每一个定向保持的丁的自同态映射也是由这种方式得到 我们设p ( ) = 歹( 乃( m o d l ) 丁这是一个定义好的映射因为另一个的提 升如果有形式为7 + 拧，聆z ，则歹( 歹+ 力) = 万( 7 ) + ，1 如果厂是一个定向保持的丁的自同态映射，并且p ( 厂) 是无理数，则存在唯一的 一个极小集，cr ( 看 h e r ，c h a p t e r 2 】或者【b l ，c h a p t e r 2 ) 偶对( ，门叫做一 个d e n j o y ；陂小集( 在，不是所有的丁的情况下) 更一般的，如果x 是一个拓 一1 4 一中国科学技术大学 扑空间，g ：x 专x 是一个同态，f ：t r 是一个单位圆上的定向保持的同态， ，t ，p ( f ) 是无理数，并且g 拓扑共扼于厂，则偶对( x ，g ) 也是一个d 刨o y 极小集 这里需要回顾两个拓扑动力系统中的术语： 设：x x 是一个同态，】，是x 的闭的，不变子集，它被称为厂的极小集，是指 它的唯一的闭的不变子集是空集或者是】，本身彳艮明显，】，是极小集当且仅当 厂的每一个y 中的轨道在】，中稠密 如果f ：x x 和g ：y 一】，是两同态映射，它们被称为拓扑共轭，是指如果存 在一个同态h ：x y 使得加= h f 成立 1 3 连续动力系统中的d e n j o y 极小集 到目前为止，我们定义了离散动力系统中的d e n j o y 极小集，如果( x ，) 是一 个离散的动力系统，也是一个d e n j o y 极小集，而( y ，甲) 是一个连续动力系统，且 拓扑共轭于( x ，) 的悬浮，则我们称( e 甲) 也是一个d e n j o y 极小集 我们回顾前面的一些结果： 如果f ：t 专r 是一个圆上的定向保持的同态，并且p ( f ) 是无理数，则存在一 个极小集，在t 的情况下，偶对( ，力叫做一个d e n j o y 极小集 当，= r 时，拓扑共轭于丁的旋转彤( ，) 定义为 欠p ( 小p ) - - 0 + p ( f ) ( m o d l ) ，0 t 也就是说，存在一个同态h ：r r 使得 坳一= r p ( ，) 对于( ，门的悬浮，有类似的结果：要么它是一个d e n j o y 极小 集，要么它拓扑共轭于r 2 上的一个k r o n e c k e r 流，即一个连续的动力系统 ( 臼l ，0 2 ，t ) 专 i + a t ( r o o d l ) ，0 2 + f l t ( m o d l ) ) ，这里a ，卢是实数 我们回到m n 的研究 我们在m n 上构造一个连续动力系统k ，让m i n 上一点以单位速度从左到 一1 5 一中国科学技术大学 右沿着测地线运动换句话说，设r 是条渐进坡度为的么类测地线，f 是r 在万有覆盖上的提升，设似y ) 歹，我们让吼( o ，y ) ，尹) 为在f 上的点，它与 ( x ，y ) 的g 一距离是l f l ，如果f 取正数，则说它在( x ，y ) 的正的一面，反之，则称在 ( x ，y ) 的负的一面我们令匕何( x ，y ) ，f ) = 万( 吼( ( 工，y ) ，f ) ) ，这里石：r 2 专丁2 为投射这里我们取速度为单位速度只是为了叙述方便，取其他速度也是可以 的 我们令= ，为所有彳类测地线的并集( 渐进坡度为缈且经过厶) ，由于厶是z 的一个闭子集，且在l 作用下不变我们有= ， m i n 。的一个闭子集，且在连续 动力系统匕下不变，由于厶是无的唯一的极小集，我们也有= 是 ( m i n ，已) 唯一的极小集很明显，( 二，l ) 拓扑共轭于( 丘，冗) 的悬垂这意 味着( ：，l ) 是d e n j o y 极小集或者拓扑共轭于r 2 上的一个k r o n e c k e r 流 我们总结一下关于连续动力系统( m i n 。，l ) 的讨论，其中c o r q ( m i n ，l ) 有唯一的极小集二，偶对( 二，匕) d e n j o y 极小集或者拓扑共轭 于t 2e 的一个k r o n e c k e r 流 1 4 作用量的极小轨道 我们在前面的章节提到，h e d l u n d ，b a n g e r t , b i a l y 和p o l t e r o v i c h 的理论是考虑了 2 维圆环面上的彳类测地线这个理论与f r e n k e l k a n t o r o v a 的模型类似，考虑保 面积的扭结映射的极小作用轨道b a n g e r t b 1 】统一了这些理论，把它们都解释 为通过”变分原理”来寻找”极小相位”的问题 我们在这里不讨论b a n g e r t 的统一理论，而是讨论另一种统一化方法，它部分 的来自m o s e r m o s 的想法他证明了，在圆柱面上的保面积的扭结映射能表 示成一个时间和态空间为圆的周期的拉格朗日作用量d e n z l e d e e 明了结 果类似于我们前面对a 类测地线的讨论，于是，我们沿着m o s e r 的想法展开讨 论，将得到具有一个自由度的拉格朗日系统的相关结果 一1 6 一中国科学技术大学 m a t h e r 将这些结果一般化了，把圆周推广为一个闭的( 也就是紧致的，无界的) 任意维数的流形这个推广的关键的一步是得到关于不变测度的结果然后从 不变测度的结果中导出轨道的相关结果这个想法首先是由k r y l o f f 和 b o g o l i u b o f f k r - b o 提出的 一个自然的推广是找一个c 7 的拉格朗日作用量l ：t m t 斗r ，它满足 l e g e n d r e 条件和超线性增长条件这里m 是一个闭流形( n q 做态空间) ，t m 是 它的切从，t = r z 是一个1 维的环面( 或者n qn ) ，并且，2 于是，l ( m ，) 定 义为一m m ，1 ，t m 。，f 尺，并且三( 所，v ，t + 1 ) = l ( m ，1 ，f ) 下面我们陈述 l e g e n d r e 条件和超线性增长条件 l e g e n d r e 条件：对每一个m m ，我们有d 2 ( l i t m 。) 是处处正定的 超线性增长条件：对于每个c 0 ，存在b 0 使得三( v ) - c i i 叫i - b 对每个 1 ，t m 成立 l e g e n d r e 条件暗示着：l i t m 。是严格凸的，也就是说，对每个v ，w t m ，v w ， 和每个0 a 1 ，我们有l ( 2 v + ( 1 一a ) 叻 肛( v ) + ( 1 一a ) 三( w ) 超线性增长条 件等价于以下两个条件：1 l o , ) 1 1 i ，t l 专- t - o o 当删专时 2 l 是有下界 我们称y ：，b 】专m 是绝对连续是指如果对每个 a , b 】和每个光滑的局 部坐标系统x 1 ，x 。，我们有一。y 是绝对连续的如果y ：【口，b 卜争m 是m 中 绝对连续曲线我们定义它的作用量为 彳( 7 ，) = 仁( y ( ，) ，矿( ，) ，) 西这里， 矿( f ) = a r ( t ) a t t m r ( ，) 由于y 是绝对连续的，矿o ) 几乎对每个f 【口，6 】有定 义映射f 寸矿o ) ：【口，b 】专t m ，是可测的，这里聊配备了b o r e l 集的仃一代数 由于三是c 7 的和有下界，上面的积分是定义好的( 如果允许取值为+ o o ) l e g e n d r e 条件和超线性增长条件为t o n e l l i 的定理提供了合适的条件假设 t o n e l l i 的定理论证了极小化a ( r ) 的绝对连续曲线的存在性下面陈述该定理 一1 7 一中国科掌技术大掌 我们假设m 是一个完备的无边界的黎曼流形，三：t m t 专r 是一个c 7 拉格 朗日项，2 ，满足l e g e n d r e 条件和超线性增长条件 t o n e l l i 的定理：( 固定端点边界条件) 设口 6 和聊。，m ，m 作用量在所 有的绝对连续曲线y ：【口，b 】寸m 上取极小值，这里r ( a ) = m o 和r ( b ) = 聊i 对于周期边界下的t o n e l l i 的定理，我们需要加一些条件，我们假设肘允许一 个群g 的对称作用( 保持度量不变) ，并且有一个紧子集z 满足g z = m t o n e i l i 的定理：( 周期边界条件) 设口 6 ，作用量在所有的绝对连续曲线 ，：【口，b 】专m 上取极小值，这里y ( 口) = r ( b ) 通常，我们考虑的周期边界条件是b a 是一整数，或者是自治系统，也就是说， l = l ( m ，v ) 不依赖于时间当这些条件中的一个满足时，y ：【口，b 】专m 极小化 作用量，称它为一个周期t o n e l l i 极小子 如果m 是无界的，一个c 1 的t o n e l l i 极小化子是c 的并且满足欧拉拉格朗日 方程这一方法可以在a k h i e z e r a k ，3 6 节】看到( 为了看到欧拉一拉格朗日方程 的一个解 ，是c 7 的，我们使用哈密尔顿的公式哈密尔顿量日是c 的，于是， 哈密尔顿的方程有c 川类的系数并且解也是c h 由于l e g e n d r e 变换是c 1 的，欧拉拉格朗日方程的任何形如( y ，矿) 的解是c “1 的由于矿是c ”1 的，所以 我们有y 是c 7 的) 这不是对的，然而，一个t o n e l l i 极小化子对于一个c 。的拉 格朗日量来说必须是c 1 的( 在一个闭的态空间上) ，满足l e g e n d r e 条件和超线 性增长条件作为例子，看b a l l 和m i z e l b a - m il ，2 】由于这个原因，我们在拉 格朗日量上加上一个附加条件如下： 欧拉。拉格朗日流的完备性 对于每一个气r ，i n m ，1 ，t m 脚，存在三 的欧拉拉格朗日方程的唯一解y ：r 专m ，它满足初值条件y ( “) = m 和 d r ( t ) d t i ，。，o = ， 落实到局部坐标系统x ，x 。，定义在一个m 的开子集u 上，有一个经典坐 一1 8 一中国科学技术大掌 标系统 ”，x 。，戈”，j 。) 定义在g - t u ，这里石：t m 专m 为投射设 y ：( 口，6 ) 专m 是一条c 1 曲线，( 口，6 ) ，假定r ( t o ) u 和 ( y l ( t o ) ，“o 。) ，矿l 瓴) ，九( f 。) ) 是( r ( t o ，d y ( t 。) 出) 的坐标表示 d y ( t o ) 衍t m y ( f o ) 表示y 在f = f o 的导数则 ；，瓴) = a t ，) 西 我们记t 为a l l o x 每( a l o x l ，砚叙。) 和t # ( o l l c 藏l ，a l i c 茏。) 这些定义 在7 r u 我们回忆一下，如果y ：( a , b ) 一u 是一条c 2 曲线，那么y 的欧拉一拉格 朗日方程为导t ( ) ，( f ) ，矿( f ) ，f ) = t ( ) ，o ) ，矿( f ) ，t ) 一条c 1 曲线，：【口，b 卜r 满 a t 足欧拉拉格朗日方程当且仅当它是三的一个极值，也就是说， 6 6 f l o ( t ) ，矿( ，) ，f 渺= 0 我们考虑一个连通的闭的流形肘，设p ：詹专m 是一个覆盖空间我们考虑 一个c 7 t o n e l l i 拉格朗日量三：t m xt 专r ，这里，2 我们设 z = 三。( d p xi d r ) ，这里印：确专t m 是p 的微分，i d r t 的恒等映射z 是三 的拉回如果y ：o r 专m 是一条连续曲线( 这里，是r 的连通子集) ，它的一个 提升是一条连续曲线歹：j 专衍使得p 。歹= y 彳类测地线的一个自然的一般化是：考虑绝对连续曲线y ：r 专m 的集合，它 们在厨的提升是t 0 n e l l i 极小化子在 m a t 2 ，我们称这样的曲线为詹极小化子 由于三假定是c 7 的，与三相关的欧拉拉格朗日流假设也是完备的，任何这样 的曲线是c 7 的 在 m a t 2 q b 我们引入的基本概念是”极小测度”或者”不变测度的极小化作用” 在 m a t 2 中我们考虑的测度是删丁上的b o r e l 概率测度一个b o r e l 测度 是，一族满足可数加的非负函数( 定义在t mxt - 的b o r e l 子集族上) 说它是 一个概率测度意味着有一个总质量1 ，也就是说，l a ( t m xt ) = 1 通常b o r e l 概 1 9 中国科学技术大掌 率测度简称为概率 欧拉一拉格朗日向量场e = e t 生成一个流= m 这是一个c 7 映照 ：p r 专p ，这里p - 删t ，有下面的方程组刻画 掣= e ( 细，嘞， 对( c o ，f ) p xr 成立，和 ( 国，0 ) = ，我们设， ) = ，t ) ，所以 ，：p p 是一个c 7 微分同构 如果是p 上的一个b o r e l 测度，它的拉回映射定义为，。j l l ( 渤- j l l ( ，q ) 对p 上任何b o r e l 子集q 成立u 称为不变的是指西，。= p 对所有f r 成立 在【m a t 2 】中一个基本的研究对象是不变概率，也就是，t m x t 上的b o r e l 概率 测度且对国不变我们给不变概率配各两个量：它的平均作用量 4 ( 肛) = 彳( p ) - l 脚ru + 和它的s c h w a r t z , m a n 旋转向量 p ( ) 日- 0 t ；r ) ，由下面的方程唯一刻画p 和= ( j 9 ( p ) l 所】m ) + 所】r ，在 彳( j l l ) 班= ( y ( f ) ，矿( f ) ，t m o d l ) ：f 尺和y 是一个弱c 一极小化子) 在最近的语言e e ，集合髓。，么“。，也，m 。，a u 。分别称为”m a t h e rs e t ， m a n e s e t ， p r o j e c t e dm a t h e rs e t ， p r o j e c t e da u b r ys e t 这些集合之间的关系可以总 结为下面的交换图： 必ca u 。c cc 睨c t m t 山 上山7 r m cca u 。 m xt 由图定理，左边的两个竖直箭头是b i l i p s c h i t z 同态映射我们从图表中略去 7 r ( 也) ，z r ( 彬) 是因为它们通常不是单射 一2 1 一中国科掌技术大学 2 1 介绍 第二章通量与扭结映射作用量差的关系 在【3 】中，m a c k a y , m e i s s 和p e r c i v a l 引入“通量 的概念，用来度量连接 a u b r y m a t h e r 集的不同微分同胚映射的轨道所围成的图形的面积。在这篇文章 中，我们要验证在圆柱面上上面所定义的通量等于差值w 。，它定义为极小和 极大结构上的作用量之差。 给定一个旋转数( ) ，我们知道存在一个a u b r y - m a t h e r 集以，它由旋转数为6 0 的极小作用量轨道组成。当彳。是旋转不变的曲线时，我们定义此时通量为零； 当彳。不是旋转不变的曲线时，我们定义此时通量为以下的区域的面积的下确界， 这个区域是用光滑曲线连接极小轨道和极大轨道而成。当旋转数为有理数是，我 们需要找出极大轨道，我们进一步加以区分旋转数为里和两种情况，对于 gg 这两种情况的冲量的计算是十分不同的。旋转数为旦时的极大轨道通常为一个 目 椭圆周期轨道，而旋转数为芝时的极大轨道为上述轨道的同宿轨道。当旋转数 口 为无理数时此时不需要找出极大轨道，详细的说明在后面的第四节给出。 考虑连接极小轨道和极大轨道的光滑曲线时，m a c k a y ，m e i s s 和p e r c i v a l 计算了这样的区域的代数面积，这个区域由上述曲线和它们的像围成。他们发现 这个面积等于极小和极大轨道上的作用量之差。m a t h e r 将这一情况推广到了当旋 转数为无理数时情形，他给出了此时相应的定义而且证明了以下的结论：存在一 个旋转数为的不变曲线当且仅当呒，= 0 。这一结论也是基于通量的计算而得 到的。 在这个位型空间中，我们有p e r c i v a l 拉格朗日作用量，从这个作用量出发， 一2 2 一中国科学技术大学 我们可以定义梯度流，取相应的度量为2 度量。我们要做的主要工作是用分段曲 线去连接两个极小轨道，这两个轨道是l 妇a u b r y m a t h e r 集组成的完备的区间的端 点。问题是在这两个端点之间可能存在其他的驻点。一个关键的因素是考虑到梯 度流的单调性，由这个性质我们知我们连接出的图形是有序的，而且我们能够对 所有的扭结映射构造连接路径，则通量就是所在的连接路径上的临界点上的作用 量的差的和。召e a n g e n e n t 的工作基础上，c g o l e 做了一个类似的构造，在我们 这篇文章中，我们给出 a n g e n e n t 的结果的一个简单的证明，而且所有的构造也 都是比较明显的。 2 2 记号和定理的叙述 在这一节我们介绍这篇文章的记号和基本概念。 一个扭结映射厂是圆柱面r z r 至0 自身的保面积的微分映射 f ( x ，y ) = ( x ，y ) 满足影 gg 函数渺在x p 也是定义好的，对于任意口，有 y x pi 矽( y ) 口) 是紧致集设c 为使得 窖叮 x 和阮在 w c ) 的同一连通分支内的最小数我们知道在 w = c 中存在一个稳定的相 位。它给出了一个旋转数为旦的极大周期轨道 g 这样我们可以定义一个在有理数旦上的函数为 口 = 形( 旋转数为詈的极大周期轨道) 一形( 旋转数为詈的极小周期轨 言 口 g 道) 进一步，我们我们知道存在一个唯一的函数既，c o 尺，使得就是刚才定义 g 的函数，而且有既在无理数上连续，但是通常来说，它在有理数上不连续另外， 既在无理数上也可以按如下方式定义 设x = ( ，x ) 为一个相位，x 是极小的是指如果对任何 中存在一个稳定相位，它给出了旋转数为c o 的一个极大轨道孑 这样我们可以定义 呒= 上确界 f 考虑所有的完备空间的选取 从上述介绍，我们知道既给出了通量的一个下界，对于上界，我们的想法是 一2 5 一中国科学技术大学 找到一条连通的梯度流，它连接x 一( ) 和i ，这时候，困难在于在丘一一中还存在 其他的奇点，而且从i 出发的轨道可能到达除了x 一和k 之外的其他奇点在第五 节我们将证明一个重要的引理，引理说一条流线经过的奇点可以被规定一个顺序。 在这个规定的顺序下，这些奇点给出了位型空间的一个自然分割对于任何两个局 部极小奇点我们能够构造一个极大的奇点继续这个讨论我们可以构造x 国j j + 中 的一条曲线，它由分段连接的轨道来连接x 一，i 和丘这些连接轨道在一个自然顺 序是唯一的我们定义作用量的差为作用量在这些相应的极大和极小奇点上的 差之和至此我们可以画出圆柱面上的曲线的连通轨道，在第四节我们将证明由 这些曲线和它们的像所围成的区域的面积等于上述作用量的差，即我们证明了 下面的定理： 定理：对于扭结映射，通量等于作用量在一连通路径上有序的局部极大和 极小轨道上的差值之和 2 3 在相平面中构造曲线和计算代数面积 在这一节，我们在位型空间中的曲线外构造相平面的图表这些曲线的对应关 系实际上是双射假定在l 有一曲线( ，( ，) ，) ，r 使得 u i ( - o o ) = x iu ( o o ) = 墨，这里x 和i 是工。中的两个奇点 我们在圆柱面上定义曲线到曲线的映射，我们构造两条曲线口和c f 如下， c ，由如下关系给出 ( ，u ，( f ) ) 一( u i 0 ) ，u o ) ) 专( ( f ) ，a l h ( u ，( f ) ，”( f ) ) ) 或者简写成，f r 专 。( f ) ，a l h ( u 。( f ) ，u m ( r ) ) ) c f 简写成t r 专 ，( f ) ，- a l h ( u 形) ，甜p ) ) ) 很容易看到c ，和c f 的端点是( x y ，一) 和( 墨，只) ，这里 乃= a l 办( ，而+ 1 ) ，只= a 】 ( 亏，墨+ 1 ) 一2 6 一中国科学技术大学 我们还有厂( c ，) = c 7 。，它由下面等式得到 f ( u ，( f ) ，a l h ( u ，( ，) ，u f + lo ) ) ) = ( “，+ lo ) ，a 2 ( 甜，p ) ，u ，+ l ( f ) ) ) 我们现在计算c 广和c 7 之间围成的代数面积，它是 d x 7 一地= p ：h ( u 。o ) ，“m ( f ) ) 幽m o ) + p 。办( ( f ) ，”m ( r ) ) 如，o ) 如果我们对所有的i 求和，我们有 = ( 0 2 h ( 1 , _ 1 ( f ) ，) ) + a - 地( f ) ，“m ( ，) ) 砒o ) = ( 0 2 h ( 吩( f ) ，“m ( f ) ) 也( f ) + a l 办( ( r ) ，甜( f ) ) 幽，( ，) - - z ( 办( 墨，墨+ 1 ) - h ( x ，x m ) = 形( ，墨，) 一形( ，t ，) 上面的计算由m a c k a y , m e i s s ，和p e r c i v a l 给出，它给出t a u b r ym a t h e r 集上通 量的一个下界既 2 4 通量的计算 在这一节，我们考虑如果我们在x 。有一条曲线( ，“，( f ) ，) ，t r 使得 单：一婴，f z ，( 4 1 ) d t瑚； u i ( 瑚) = x i - u ( 佃) = i ，i z ( 4 2 ) 我们将计算在c ? 和c f 之间围成的几何面积，它是 ( a 。庇( “雕) ，甜o ”+ a ：h ( u i _ l ( t ) , u t ( f ) ) 幽) = ( 豢灿州啪) = ( 争2 衍 以上的计算给出了几何面积，因为婴和掣在