（应用数学专业论文）关于banach空间中随机算子问题的研究.pdf

户j ， ， 孝 l ： 摘要 摘要 i i i l l l i l l l f l h l l h l l l l l f l l h i i l f l l j l i l l 删 y 1 1 7 1 1 4 h i i i h 7 j i i i t 0 i l r l j 1 0 l f l l i1 1 r l l l 随机非线性算子理论是随机非线性泛函分析理论的重要组成部分之一，和 近代数学的很多分支都有密切的联系，尤其在建立各类随机积分方程解的存在性 问题中起着非常重要的作用本文主要利用随机拓扑度理论、随机不动点指数理 论、半序方法以及迭代方法来研究b a n a c h 空间中随机非线性算子的随机不动点、 随机算子方程和随机歧点，全文分为三章 第一章介绍随机非线性算子的随机不动点理论的历史背景、现状和关于 b a n a c h 空间中随机非线性算子的相关知识 第二章在b a n a c h 空间中利用随机拓扑度和随机不动点指数理论，讨论了在 不同边界条件下，随机半闭卜集压缩算子方程的随机解、随机半闭卜集压缩算 子的不动点和z c x 空间中一类随机算子方程随机解的存在性的存在情况，得到 了一些新的结论，同时推广了一些重要的定理 第三章首先，在由锥导出的半序空间中，利用迭代和半序方法，研究了随 机混合单调算子的随机耦合不动点的存在性以及迭代序列的收敛性；其次，讨论 了随机凝聚算子的随机歧点问题，得到了一系列很好的结果 关键词：随机不动点；随机半闭1 集压缩算子；随机混合单调算子；锥；随机拓 扑度；随机歧点 玎 a b s t r a c t r a n d o mn o n l i n e a ro p e r a t o rt h e o r yi sa ni m p o r t a n tp a r to ft h er a n d o mn o n l i n e a r f h n c t i o na n a l y s i st h e o r y i th a sm u c hc l o s e d r e l a t i o nt ot h en e o t e r i cm a t h e m a t i c a l b r a n c h e s e s p e c i a l l y , i tp l a y sa l le s s e n t i a l r o l ei ne s t a b l i s h i n gt h ee x i s t e n c eo ft h e s o l u t i o n so fs e v e r a lk i n d so fr a n d o mi n t e g r a le q u a t i o n s i nt h i st h e s i s ，r a n d o mf i x e d p o i n t so fr a n d o m n o n l i n e a r o p e r a t o r r a n d o mo p e r a t o re q u a t i o n s a n dr a n d o m a m b i g u o u sp o i n ti nb a n a c hs p a c ea r es t u d i e db ya p p l y i n gt h er a n d o mt o p o l o g i c a l d e ：g r e et h e o r y r a n d o mf i x e dp o i n ti n d e xm e t h o d ，p a r t i a lo r d e ra n d i t e r a t i v em e t h o d s t h e r ea r et h r e ec h a p t e r si nt h i st h e s i s i nc h a p t e ro n e ，t h eb a c k g r o u n d sa n dc u r r e n ts i t u a t i o no fr a n d o mf i x e dp o i n t t h e o r i e s 0 fr a n d o mn o n l i n e a ro p e r a t o r sa r ei n t r o d u c e da n dt h ek n o w l e d g ea b o u t b a n a c hs p a c e sa r eg i v e n i nc h a p t e rt w o ，i nb a n a c hs p a c e ，u t i l i z i n gt h em e t h o do fr a n d o mt o p o l o g i c a ld e g r e e a n dr a n d o mr a n d o mf i x e dp o i n tt h e o r y , w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fr a n d o ms o l u t i o n s o nr 卸d o ms e m i c l o s e d1 s e tc o n t r a c t i v eo p e r a t o re q u a t i o n s ，r a n d o mf i x e dp o i n to n r a n d o ms e m i c l o s e d1 s e tc o n t r a c t i v eo p e r a t o ra n de x i s t e n c et h e o r e mo fs o l u t i o no f r a n d o me q u a t i o ni nt h ez c xs p a c e w ea l s oo b t a i ns e v e r a ln e w r e s u l t sa n de x t e n da s e r i a lo fi m p o r t a n tt h e o r e m s i nc h a p t e rt h r e e f i r s to fa l l ，p a r t i a lo r d e rs p a c ei sr e f e r s e dt oi nc o n e ，w es t u d y t h e e x i s t e n e eo fc o u p l e df i x e dp o i n ta n dc o n v e r g e n c eo f i t e r a t i v es e q u e n c eo fr a n d o m m i x e dm o n o t o n eo p e r a t o rb ya p p l y i n gp a r t i a lo r d e ra n di t e r a t i v em e t h o d s ；s e c o n d a r y , w ed i s c u s st h ep r o b l e mo nr a n d o ma m b i g u o u sp o i n to f r a n d o mc o n d e n s i n go p e r a t o r a s e f i e so fr e s u l t sa r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：r a n d o mf i x e dp o i n t ；r a n d o ms e m i d o s e d 1 - s e tc o n t r a c t i v eo p e r a t o r ； r a n d o mm i x e d m o n o t o n eo p e r a t o r s ；c o n e ；r a n d o mt o p o l o g i c a l d e g r e e ；r a n d o m a m b i g u o u sp o i n t i i i 目录 目录 第1 章引论l 1 1 历史背景与现状1 1 2 预备知识2 第2 章随机不动点和随机算子方程1 0 2 1随机半闭1 集压缩型算子方程的随机解1 0 2 2 随机半闭1 集压缩算子的若干定理1 6 2 3z c x 空间中一类随机方程随机解的存在性定理2 4 第3 章随机耦合不动点与随机歧点2 9 3 1 随机混合单调算子的随机耦合不动点定理2 9 3 2 随机凝聚算子的随机歧点3 4 致谢4 1 参考文献4 2 攻读学位期间的研究成果4 5 i v 第1 章引论 第1 章引论 随机泛函分析是概率论与泛函分析之间的一门边缘学科，它是- - ( - j 新的数 学学科随着科学的发展，随机非线性分析已成为现代数学中的重要研究方向之 一，特别是其中的随机不动点理论和随机积分方程理论随机不动点理论是目 前迅速发展的随机非线性泛函分析理论中的重要组成部分之一，该理论被创立 后，立即成为研究各类随机方程的有力工具而随机积分方程理论与近代数学 的很多分支都有着紧密的联系，已经在许多科学技术领域中，如电话通讯理论、 力学、化学反应力学、生物种群的增值理论和随机控制系统中得到了广泛的应 用研究随机非线性算子的随机不动点方法有很多，其中随机拓扑度方法、随机 不动点指数方法、半序方法以及单调迭代方法是需要特别注意的本章主要介 绍随机算子方程和随机不动点理论的历史背景、现状和相关的预备知识 1 1 历史背景与现状 随机算子方程和随机不动点理论的研究最初始于二十世纪五十年代，以 h a n g 和s p 面c e k 为代表的捷克布拉格学派对随机不动点理论作了奠基工作在研 究非线性泛函分析中的算子方程问题时，由于b a n a c h 压缩映照原理、s c h a u d e ， 不动点定理和k r a s n o s e l s k i i 不动点定理起到非常重要的作用，因此，早期的工作 就是将这些定理随机化，并把所得的结果应用到随机线性或非线性积分方程解 的研究中在我国，王梓坤先生首先向国内介绍了这一分支，接着张石生，丁 协平，李国祯，朱传喜等学者在这一领域的研究方面做了大量工作，取得了丰 富、有价值的成果 众所周知，在实b a n a c h 空间中，非线性算子的l e r a y s c h a u d e r 拓扑度与不 动点指数理论是研究非线性算子方程理论的基本方法之一因此，李国祯在1 9 9 3 年和1 9 9 6 年分别提出了随机拓扑度理论和随机不动点指数的概念，这为研究随 机算子的随机不动点定理提供了一种基本方法利用随机拓扑度理论和随机不 动点指数定理，朱传喜推广了很多著名定理，如：r o t h e 定理、p e t r y s h y n 定理、 以及a l t m a n 定理等 第1 章引论 在介绍利用半序方法和迭代技巧证明随机不动点存在性之前，先来介绍半 序方法在非线性分析中的应用郭大钧及其学生孙经先、杜一宏等从二十世纪 八十年代初，开始利用半序方法研究缺乏紧性和缺乏连续性条件的非线性问题， 并获得了一系列新的结果，主要有：( 一) 在完全不考虑紧性的条件下，只利用和 序相关的某些不等式，得到了增算子、减算子以及混合单调算子的不动点的存 在性定理和迭代序列收敛性定理，并将其应用到无界区域上的非线性积分方程 中( 二) 在完全不考虑连续性的条件下，只利用弱紧性条件，得到了增算子的一 些新的不动点定理，并将其应用于右端有间断项的非线性微分方程中( 三) 将半 序方法系统的应用到b a n a c h 空间中的非线性积分微分方程另外，李福义、梁 展东、张志涛、李国祯、许绍元等分别对各类单调算子不动点的存在性、唯一 性以及迭代序列收敛性问题做了相对深入的研究 近年来，李国祯及其学生段华贵等学者在实b a n a c h 空间中引入了随机单调 算子和随机混合单调算子概念，利用单调迭代技巧与锥理论证明了不动点的存 在性和唯一性；利用可测函数的复合定理与极限定理证明了函数的随机性，并 将此结果应用到随机h a m m e r s t e i n 积分方程的求解之中，这为随机不动点理论的 发展开辟了新的方向 本文在前人研究的基础之上，继续讨论b a n a c h 空间中随机算子的随机不动 点相关问题 1 2 预备知识 在本文中我们设( q ，a ，) 是一个完全概率测度空间，也就是说：q 是一个 非空抽象集合，其中元素称作基本事件；a 是q 中某些子集所构成的口一代数； 是a 上的一个概率测度【5 】，即是定义在a 上的一个非负集函数，满足下面三 个条件： ( 1 ) ( 4 ) 【o ，1 】，v a a ； ( 2 ) ( q ) = 1 ； ( 3 ) 可列可加性：设4 a ，扛1 ，2 ，并且4n 彳，- - 0 ，f _ ，则有 2 第1 章引论 m 垮z c 让 设x 和y 都是b a n a c h 空间，b ( x y ) 表示由x 到y 的有界线性算子全体 构成的b a n a c h 空间，b ( x ) 表示由x 到x 的有界线性算子的全体构成的b a n a c h 空间，a 矗表示几乎处处 定义1 2 1 【5 1称可测的向量值函数x ：qjx 为广义随机变量或x 一值随机 变量或b a n a c h 空间值随机变量，简称随机变量 设x 是可分的b a n a c h 空间，v ( n ，x ) 是定义在q 上的x 一值随机变量全体构 成的集合，则矿( q ，x ) 关于加法和数乘运算是封闭的，也就是说y ( q ，x ) 是一个 线性空间线性空间矿( q ，x ) 有如下的极限定理： 定理1 2 i 5 1 ( 极限定理) 设 矗p ) 】y ( q ，x ) ，若 矗p ) ) 弱几乎处处收 敛于向量值函数x ( ) ，则x ( 甜) 矿( q ，x ) 由于在可分的b a n a c h 空间中，x ( o ) 是随机变量铮x ( o ) 是强随机变量 营x ( 甜) 是弱随机变量，因此当x 是可分的b a n a c h 空间时，无需说明是强还是 弱，只要说是x 一值随机变量即可 定义1 2 2 【5 1 设映照t ：q x _ y ，满足对觇x 取定，丁( 甜，x ) = y p ) 为一 y 一值随机变量，则称算子t ( 或丁( 。，z ) ) 是随机算子称随机算子7 1 ( ) 在x 0 x 处是连续的，如果对所有的q ，r ( ) 在而处连续，即只要 矗) x ，毛_ x o ， 就有丁( 甜) 矗_ t ( o ) x o 如果v 甜q ，丁( ) 是x 到) ，的连续算子，则称丁( ) 在 x 上是连续的，或称7 1 p ) 在x 上是连续随机算子 定义1 2 3 【5 1 若随机算子t ：qjb ( x - - - ) y ) 满足：存在一非负实值随机变量 m ( 甜) ，使对比x ，有咿( 甜) ，x l l - - m ( o ) l l x u ，口矗，则称r ( 甜) 是有界线性随机算 子，或随机有界线性算子 在连续随机算子和有界随机算子定义给出后，我们有了随机不动点的定义， 3 第1 章引论 该定义是本文核心定义之一 定义1 2 4 t 5 】设映照r ：q x - - ) x 是随机算子，若映照f ：qjx 满足： 丁p ) f ) = f ) a s ，则称f p ) 是随机算子丁p ) 的广义不动点，若映照f 可测， 则称f ( ) 是丁( d ) 的随机不动点 以下处处假设e 是实b a n a c h 空间，d 是e 的子集，于是有d xdce xe 定义1 2 5 ( 1 ) 设e 是实b a n a c h 空间，如果p 是e 中某非空凸闭集，并且 满足下面两个条件： ( a )x p ，a 0 = a xp ； ( 6 ) z p ，- - x ep x = 伊，矽表示e 中零元素； 则称p 是e 中一个锥 ( 2 ) 设尸是e 中一个锥，如果p 。o ( p 6 表示p 的内部) ，则称p 是e 中一 个体锥 在e 中给定一个锥j p 后，则可在e 中的元素间引入关系：即对v x , y e ， 都有y x p ，则记为x y ，称此关系”是由锥p 导出的半序；若x y 且 x y ，则记为工 0 ，使得当忙i i = 0 恐i l = 1 ，五p ，屯p 时，恒有 忙+ 恐0 艿，则称锥p 是正规的 利用正规锥的定义，可以证明以下定理是相互等价的，锥p 是正规的充分 必要条件如下： ( 1 ) 存在常数 o ，使当o x y 时，蕴涵n l l y l i ( 此性质称为范数关于 p 是半单调的) ； ( 2 ) 任何区间【五，而 - 卅西x 恐) 都是有界的； 4 第1 章引论 ( 3 ) 如果毛z 。，且艺_ x ，以_ x ，则有乙一z 定义1 2 7 【u 设e 实b a n a c h 空间，s 是e 中有界集令 口( s ) = i n f 6 os 可表为有限个集的并：s = u s ，使每个s 的直径d ( s ) 毋 i - - i 显然，0 a ( s ) 枷，a ( s ) 叫做s 的非紧性测度 非紧性测度有如下性质( s ，t 是中有界集，a 是实数) ： ( 1 ) a ( s ) = 0 s 是相对紧集； ( 2 ) s c t j a ( s ) 口( 丁) ； ( 3 ) 口( 歹) = 口( s ) ； ( 4 ) a ( s u t ) = m a x a ( s ) ，口( r ) ； ( 5 ) a ( a s ) = h 口( s ) ，其中a s = x l x = a z ，z s ； ( 6 ) a ( s + t ) 口( s ) + 口( 丁) ，其中s + t = x ix = y + z ，y s ，z t ； ( 7 ) a ( e 6 s ) = a ( s ) 定义1 2 8 【2 2 】如果可分的实b a n a c h 空间e 满足t y u 条件： ( 一) e 是实数域足上的代数，即： ( 1 ) e 对乘法封闭，即对比，y e ，都有x y e ； ( 2 ) v a er ，v x ，y ee ，有( a x ) y = x ( a y ) = a ( v ) ； ( 以) e 没有幂零元，即比e ，甩n ，若石0 ，则有r 0 ； 则称e 为z c x 空间 殳 在z c x 空间中，记x x x = x ”，其中x ee ，甩n 定义1 2 9 旧设户是e 中的锥，如果满足下列条件： ( i ) v x , y e 声，由0 - x 0 i l x l l - o 。，则对几乎 所有的缈q ，d e g 岱( ( ，) ，d ，p ) 有意义，且由下列概整值函数定义： d e g ( f ( r a ，x ) ，d ，p ) = d e g l s ( f ( o ，。) k ，d ，p ) ” ( 1 2 1 ) 其中q 。= 。：f ( ，) 全连续，p ee f ( w ，a d ) ) ，且( q 。) = 1 ，f ( c a ，x ) l 是 ，x ) 在q 。上的限制为了书写方便，我们简记 d e g ( f ，d ，p ) = d e g ( f ( a ，x ) ，d ，p ) ，由定义可知，随机全连续场的随机拓扑度具有 l e r a y - s c h a u d e r 拓扑度的基本性质，如正规眭，可加性，同伦不变性，可解性， 切除性，缺方向性等 下面介绍本文另一个重要定义： 定义1 2 1 4 8 1 随机连续有界算子a ：q 历一e 称为e 一值随机半闭1 集压 缩算子，若对几乎所有的t o eq ，爿( 以) 是d 上半闭1 - 集压缩算子( 即对v i n eq ， ，一彳闭，对任意取定的，彳( 皑d ) 为1 集压缩算子，也就是说 口( 彳( ，d ) ) 口( d ) ) 9 1 ，且对任意的x 面，彳( ，x ) ：q e 是e 一值随机算子 在引入随机拓扑度性质前，首先介绍随机收缩核和随机不动点指数的定义： 定义1 2 1 5 t 1 0 】设d 是拓扑空间x 的子空间，如果存在随机连续映射 ，：f a x x d ，使得当x ed 时，- ( ，z ) = 艺，则称d 是x 的随机收缩核， ，：f 2 x x - - - ) d 叫做随机收缩映射 定义1 2 1 6 【r 】设x 是e 中一个收缩核，d 是x 中有界开集，a ：q 历j x 是随机半闭l - 集压缩算子，且对v ( d ，z ) f f z x o d ，都有a ( c o , x ) x ，则定义彳在d 上关于x 的随机不动点指数i r ( a ，d ，x ) ，即： i r ( a ，d ，x ) 全袭( 彳k ，d ，x ) 。 ( 1 2 2 ) 其中q 。= ：彳p ，) 是随机半闭l 一集压缩算子，v ，x ) eq x o d ，彳( 皑x ) 对， 7 第l 章引论 ( q 。) = 1 ，彳i 是彳在q 。上的限制 质： 定理1 2 2 嗍由( 1 2 2 ) 式定义的随机不动点指数k ( 彳，d ，x ) 具有如下基本性 ( 1 ) 正规性：设v ( ，x ) eq 历，都有彳( 纰x ) = 而，则 不( 彳，。，x ) = 1 , x o d l ( 2 ) 口- j j f l 性：若d l ，d 2 是d 中关于x 互不相交的开集，对几乎所有的山q ， x ed ( qud 2 ) ，a ( w , x ) x ，则 i r ( a ，d ，x ) = i r ( a ，q ，x ) + i r ( a ，d 2 ，x ) ( 3 ) 同伦不变性：设日：n x ( o ，1 】历) j x 是随机连续算子；对几乎所有的 山q ，任意取定的t e 【o ，1 】，h ( ，t ，) ：历一x 是半闭1 集压缩算子；对任意给 定的( ，工) q 历，h ( ，x ) ：【o ，1 】一x 对任何岛【o ，1 的连续性关于x 历是一 致的，且当( ，t ，x ) f l x o ，q x a d 时，( ，t ，功艺- 则对于f 【o ，1 】，有 则 i r ( h ，d ，x ) = c o n s t a n t 。， ( 4 ) 随机可解性：若瑶( 彳，d ，x ) o o 。，则a 至少有一个随机不动点 ( 5 ) 保持性：若y 是x 的收缩核且彳( ，d ) c 艺，则 瑶( 彳，d ，x ) = i r ( a ，d n y ，】，) 。， ( 6 ) 切除性：若d 1 是d 中开集，对每一个甜qr x ed q ，有彳( 皑砷z ， i r ( a ，d ，x ) = ( 彳，d l ，x ) 。 8 第1 章引论 定义1 2 1 7 1 设，是尺中的一个区间，缈：，_ r ，如果缈满足 以t x + 0 - t ) y ) f 烈x ) + ( 1 一t ) t p ( y ) ，觇，y j ，z y ，t e ( o ，1 ) ， 则称缈是，上的严格凹函数 定义1 2 1 8 1 u 设g 是e 的非空凸子集，矽：g r ，如果砂满足 矽( 红+ ( 1 一t ) y ) t o ( x ) + ( 1 一f ) 矽( 少) ，v x , y eg ，x y ，t e 【o ，1 】， 则称痧是g 上的严格凹泛函 注：引言中所介绍的定义和定理中，不失一般性均可省去“几乎处处a 矗 9 第2 章随机不动点和随机算子方程 第2 章随机不动点和随机算子方程 众所周知，非线性算子的l e r a y s c h a u d e r 拓扑度理论和不动点指数理论是 研究算子方程的基本方法之一类似的，在研究随机非线性算子的随机算子方程 和随机不动点定理时，随机拓扑度与随机不动点指数理论是一种基本的方法 2 1 随机半闭卜集压缩型算子方程的随机解 设e 是可分的实b a n a c h 空间，( q ，a ，l a ) 是一个完全概率测度空间，其中l a 是 a 上的一个概率测度，( e ，b ) 是一个可测空间，其中b 表示e 中所有开子集所产 生的盯一代数，x 是e 中的一个凸集，d 是x 中的一个有界开集，a d 是d 在x 中的边界，a 表示非紧性测度并且记r = ( - - 0 0 ，扣) ，r + = 【0 ，4 - o o ) 引理2 1 1 若x 是凸集，则a x 一屏也是凸集，其中a , f ，l a 是实数 证明对比，y c r x - p u x ，f ( 0 ，1 ) ，其中x = a x a 一似x 2 ，y = a y l 一励儿， x a ，x 2 ，力，儿x ，从而有 t r + ( 1 一t ) y 2 t ( a x a f l l a x 2 ) + ( 1 一t ) ( a y l f l l a y 2 ) = a ( t x ，l + ( 1 一t ) y 1 ) 一f l a ( t x 2 + ( 1 一t ) y 2 ) a x f l u x 由凸集定义知，a x 一戽是凸集 引理2 1 2 n 2 1设e 是可分的实b a n a c h 空间，x 是e 中凸闭集，d 是x 中 的一个有界开集，实数l a 1 ，若a ：q d _ x 是随机半闭卜集压缩算子，且 p d ，使得 彳( 皑曲戤，v ( 皑x ) f 2 x 0 d ，口l a ，且口是变数， 则随机算子方程, 4 ( t o , x ) = l a x 在d 中必有一个随机解 引理2 1 - 3当0 m i t 1 ，0 1 时，有 ( a t + f l a ) ” 1 ，0 1 ， 显然f p ( f ) = a m ( a t + i l i a ) ”1 - a m ( a t ) ”1 = a m ( ( a t + f l l a ) ”1 - ( a t ) ”1 ) ，则由 0 m 1 ，知缸) 知 1 0 第2 章随机不动点和随机算子方程 f ( t ) ( ) = ( 掣+ 励) ”一( 掣) ”一触” = m ( ( 口+ ) ”一矿一历 m ( 口+ 一矿一) 1 ，0 口l ，a + f l ( a t ) ”一触”( 2 ) ( a t - f l i t ) ” l ，0 t r 0 ，因此( ，) 是 ( l ，枷) 上的严格单调增函数，又由t 知 f ( t ) f ( f 1 ) = ( 掣+ 助) ”一( 掣) ”+ 础” = t ”( ( 口+ ) ”一矿+ ) m ( a m 一矿+ ) 0 即( 掰+ 触) ” ( a t ) ”一似” ( 2 ) 令f ( t ) = ( a t - 础) ”- ( a t ) ”一触”，t i t 1 ，0 口l ，j la + p l 显然得，缸) = a m ( ( a t 一触) ”1 - ( a t ) ”1 ) 知 f ( t ) f ( f 1 ) = ( 掣一助) ”一( 掣) ”一触” = “( ( 口一) ”一矿一) “( a m 一矿一) 0 ，都有 伊( 0 口彳( 皑工) 一局“x 1 1 ) 口矽( 0 彳( 皑x ) l i ) 一矽( 0 x i i ) ( 2 l1 ) 则随机算子方程a ( c a , x ) = 1 2 x 在d 中必有一个随机解 1 1 薹 第2 章随机不动点和随机算子方程 证明根据引理2 1 2 只须证a ( c o , x ) 3 , x ，v ( 皑x ) f 2 x b d ，五 采用反证法，若存在凡i ，q ，x 0 o d 使得a ( a ) o ，x o ) = 凡而代入( 2 1 1 ) 得 即 缈( 0 纸而一励而胪婶( 快旷励( 陋) 卵( 0 九0 ) 缈( 0 峨- p u - , , ：o i l ) + , a q , ( 1 l u x ：o i i ) 训货一去础) 1 ) + 触知凡m ( 2 1 2 ) 几瓜 又由于0 ed ，而0 d ，凡1 ，故气目，从而i i 缸o l i o 又由于口 o 和气1 ，知o 货一似 1 ，由缈的严格凸性知 础口一去触) i ) + 励( 到无i i ) = 烈一去似) o 气卜( 卜口+ 去触) ) + 励( 砉慨而i + ( 1 一砉) 俐) ( 口一去触m 慨”( 1 _ 口+ 去助m ) + 砉烈。气”( 1 _ 斧缈( ) = ( 口一去触m 忱”去触缈( i l 九l i ) = 印( 慨1 1 ) 即烈( 口一去触) 快”励( 砉f i 凡i | ) 1 ，i t l ，口，( o ，1 】，且口 0 ，则随机算子方程彳( 纰功= 肛在d 中必 1 2 第2 章随机不动点和随机算子方程 有一个随机解 证明令烈f ) = f 五，f r + ，名 1 因为叭f ) - - ；t ( ；t o t 柚，由于名 l ，从而 矿( ，) 0 ，也就是说缈：尺+ 一尺+ 为严格凸函数，且似o ) = 0 ，根据定理2 1 1 知 结论成立 推论2 1 2 设9 d ，a ：q d _ x 是随机半闭卜集压缩算子，且 训口彳( 皑x ) 一励x 吟即( 愀皑刮1 ) 一励( i l 膨0 ) ，v ( 皑x ) q a d ， 1 ，口，( o ，1 】，ra 0 ，其中缈：月+ 一尺+ 二阶可导，缈( 0 ) = 0 ，且当s ，t 0 时，纵s ( f + 1 ) ) 一( s f ) 0 ，则随机算子方程a ( c o , x ) = p x 在d 中必有一个随机解 证明由定理2 1 1 知只须证妒：r + 一r + 是严格凸函数 事实上，x 4 v x ，y r + ，不妨设x y o ，令s = j c y ，t = l ，则x = s ( t + o ， x 。y y = s t ，于是欢x ) = 矿( s o + 1 ) ) ( s t ) = 瞅y )即是上的严格增函数，也 就是说矿 0 ，从而由凸函数定义知：妒：r + - - ) r + 是严格凸函数，由定理2 1 1 知 结论成立 注2 1 1 在推论2 1 1 中取o l = 1 ，= 1 ，t = 1 ，名= 2 即为a 1 t m a n 定理 的随机形式，因此推论2 1 1 是a t m a n 定理的一种推广形式 。 与定理2 1 1 及其推论类似，相应的有下面的定理2 1 2 及其推论： 定理2 1 2 设9 d ，a ：q 石jx 是随机半闭卜集压缩算子，若存在严 格凹函数驴：口一r ，烈0 ) = 0 ，使得对v ( 让x ) q a d ，l ，a , f l e ( 0 ，1 】， 且口 0 ，有 妒( 0 c # 彳( 皑x ) 一舡x 1 1 ) c 砷，( 0 4 ( 锻z ) 0 ) 一印( 0 z 0 ) ( 2 1 4 ) 则随机算子方程彳( 以x ) = p x 在d 中必有一个随机解 推论2 1 3 设o ed ，a ：q xd x 是随机半闭卜集压缩算子，且满足 i i 口彳( 皑x ) 一声江z 0 2 口i i 4 ( 以x ) l r 一l l u x l l 五，v ( 皑工) q a d ， 1 3 第2 章随机不动点和随机算子方程 0 0 ，则随机算子方程a ( c o , x ) = z x 在d 中 必有一个随机解 推论2 1 4 设口d ，a ：q 石一x 是随机半闭卜集压缩算子，且 驴( 0 c z 彳( 皑x ) 一舡x i i ) c w ，( 0 彳( c 玩x ) i i ) 一6 坝0 z i i ) ，v ( c o , x ) ef z x 3 d ， l ，a , l g e ( o ，1 】，且口 o ，其中缈：一r + 二阶可导，e ( o ) = 0 ，且当s ，t 0 时，( s ( f + 1 ) ) 一( 盯) x 是随机半闭卜集压缩算子，如果存在 严格凸泛函矽：e - - - - r ，妒( 目) = 0 ，使得对v ( 皑x ) f 2 x 3 d ，l z l ，a , y e ( 0 ，1 】， 目口 0 ，有 矿( 口彳( 织功一石江x ) 口妒( 彳( 以x ) ) 一石幼( 功 ( 2 1 5 ) 则随机算子方程彳( 她x ) = x 在d 中必有一个随机解 定理2 1 4 设0 ed ，a oq d x 是随机半闭1 一集压缩算子，如果存在严 格凹泛函妒：ejr ，矽( 9 ) = 0 ，使得对v ( 皑x ) c t x 3 d ，1 ，口，( 0 ，1 】，且 口 0 ，有 矿( 口彳( 皑x ) 一局“x ) a 妒! 4 ( 皑x ) ) 一( 功 ( 2 1 6 ) 则随机算子方程a ( 织x ) = x 在d 中必有一个随机解 定理2 1 5 设秒d ，a ：q djx 是随机半闭卜集压缩算子，实数1 ， 口，夕( 0 ，1 】，且口+ 1 ，如果存在连续增函数缈：尺 o 一r ，使得 v ( 以z )