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南京理工大学博士学位论文 v l s i 中互连线工艺变化的若干问题研究 摘要 随着超大规模集成电路制造业的飞速发展，互连线的工艺变化问题已成为影响集 成电路设计与制造的重要因素。目前对于该问题的分析方法一般都采用互连线的等效 集总模型，这在一定程度上减小了问题的复杂性，简化了分析过程。但互连线的等效 集总模型毕竟只是互连线的一种近似，而这种近似的代价却是精度的损失。 本文着重研究超大规模集成电路中互连线的工艺变化问题，以互连线的分布参数 模型为基础，展开了互连线工艺变化对其寄生分布参数影响的研究，并从互连线的瞬 态响应、正弦稳态响应、延迟度量以及a b c d 传输矩阵等方面探讨了工艺变化对互 连线传输性能的影响。其主要研究工作为： 对互连线电容参数提取的有限元方法进行了具体推导，并通过数值算例比较了电 容参数提取的三种场区解法( 有限差分法、有限元法和测度不变方程法) 的计算复杂 性、计算速度和计算精度。为计算因导体尺寸微小变化而导致的电容参数的变化，通 过对电势表达式进行拉格朗日展开提出了非均匀网格精确计算方法，该方法不改变电 场求解的代数方程组规模，而能够快速、稳定地获得较高精度的电容参数。 针对互连线电容参数场区提取方法中的角点奇异性问题，给出了角点附近区域电 势分布的数学模型，通过采用有限级数逼近该数学模型的解析解，提出了一种新的导 体电量计算方法，并进行了级数逼近的误差分析。该算法克服了邓肯矫正需要选择角 点积分区域的不足，有效地校正了导体角点奇异性引起的电容参数提取的计算误差， 且计算精度与稳定性都比较好。 基于电报方程建立了互连线的随机模型，结合精细积分算法与蒙特卡洛方法分析 了该互连线随机模型的瞬态响应，通过对模型输出信号的正态性进行偏度峰度检验 给出了最差情况估计。对于正弦激励情况，利用伊藤公式推导出无耗互连线相应的随 机微分方程解的一阶矩的解析形式，给出了二阶矩的数值计算方法，最后估计出输出 信号振幅与相移的上下界。 基于e l m o r e 延迟度量提出了工艺变化下的互连延迟估计式。对于工艺参数变化 量与互连线寄生参数之间不存在解析表达式的情况，提出采用数值仿真及曲线拟合的 方法得到其近似关系式，并对延迟一阶变化量与二阶变化量分别进行分析，给出了互 连延迟的统计特性计算方法；对于工艺参数变化量与互连线寄生参数之间存在解析表 达式情况( 例如线宽工艺参数变化) ，推导出了互连延迟均值与方差的计算公式。 考虑互连线工艺变化的空间相关性，将互连线工艺变化建模为具有相关性的连续 随机过程；提出采用k a r h u n e n l o c v e 展开将该随机过程表示为一组独立随机变量的 展开式，从而进行解耦；对解耦后得到的工艺变化下的电报方程，应用随机迦辽金方 摘要 博士论文 法求解。该方法避免了蒙特卡洛法需要大量样本的不足，并且可以得到互连线传输信 号的半解析表达式。 推导出了工艺变化下互连线a b c d 矩阵所满足的积分方程，采用随机迦辽金方 法求解该积分方程，求解过程中通过数学变换简化了计算：此外，考虑到a b c d 矩 阵适于分析二端口网络级联问题的特性，提出了将互连线先分段再级联的求解互连线 a b c d 矩阵的方法。 关键词：工艺变化互连线超大规模集成电路参数提取电报方程瞬态响 应延迟度量a b c d 矩阵 南京理工大学博士学位论文 v l s i 中互连线工艺变化的若干问题研究 a b s t r a c t w i t ht h eg r e a td e v e l o p m e n to fv e r yl a r g es c a l ei n t e g r a t e dc i r c u i t sm a n u f a c t u r i n g ， i n t e r c o n n e c tp r o c e s sv a r i a t i o n sh a v e b e e nav e r yi m p o r t a n tf a c t o ri m p a c t i n gt h ed e s i g na n d m a n u f a c t u r eo fi n t e g r a t e dc i r c m t s a tp r e s e n t ，t h ea n a l y s i sa p p r o a c h e sf o rp r o c e s s v a r i a t i o n sn s et h ee q u i v a l e n tl u m p e dm o d e lo fi n t e r c o n n e c t sg e n e r a l l y , w h i c hr e d u c e st h e c o m p l e x i t yo ft h ep r o b l e ma n ds i m p l i e st h ea n a l y s i s h o w e v e r , t h ee q u i v a l e n tl u m p e d m o d e lo f i n t e r c o n n e c t s i s j l i s t t h e a p p r o x i m a t i o n o f i n t e r c o n n e c t s ，a n d i t l e a d s t o t h e l o s so f t h ea c c u r a c y t h i sd i s s e r t a t i o nc o n c e n t r a t e so nt h ep r o b l e mo fi n t e r c o n n e c tp r o c e s sv a r i a t i o n si n v l s i t h er e s e a r c h e sa r eb a s e do nt h ei n t e r c o n n e c tm o d e lw i t hd i s t r i b u t e dp a r a m e t e r s w e e m p h a t i c a l l ys t u d y t h ei m p a c to fi n t e r c o n n e c t p r o c e s sv a r i a t i o n s o bt h ep a r a s i t i c p a m m e t e mo fi n t e r c o n n e c t s ，a n dt h e nr e s e a r c ht h ei m p a c t o fi n t e r c o n n e c tp r o c e s s v a r i a t i o n so nt h et r a n s m i s s i o np e r f o r m a n c eo fi n t e r c o n n e c t si ns e v e r a lw a y ss u c ha s t r a n s i e n tr e s p o n s e ，s i n u s o i d a ls t e a d ys t a t er e s p o n s e ，d e l a ym a l x i ca n da b c dt r a n s m i s s i o n m a t r i x g e n e r a l l y , t h em a i nr e s e a r c hp o i n t si nt h i sp a p e ra r e a sf o l l o w s ： w e p r o v i d et h ed e t a i l e dd e r i v a t i v eo f f i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rc a p a c i t a n c ee x t r a c t i o n o fi n t e r c o n n e c t s ，a n di t l a k eac o m p a r i s o no nc o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t y , c o m p u t e ds p e e d a n dc a l c u l a t i o na c c u r a c yo ft h r e ek i n d so ff i e l dm e t h o d s ( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，f i n i t e e l e m e n tm e t h o da n dm e a s u r e de q u a t i o no fi n v a r i a n c e ) f o rc a p a c i t a n c ee x t r a c t i o n t o c a l c u l a t et h ec a p a c i t a n c ev a r i a t i o nd u et ot h es l i g h tv a r i a t i o no f c o n d u c t o rd i m e n s i o n s ，t h e l a g r a n g ee x p a n s i o ni sa p p l i e dt o t h ev o l t a g ee x p r e s s i o n , a n dan o v e lm e t h o dw i t h n o n - u n i f o r m 鲥d si sp r o p o s e dt oc o m p l e t et h ec a l c u l a t i o no f c o e f f i c i e n t si nt h ec a s eo f t h e a b e r r a t i o no fc o n d u c t o rs i z e s o u rr e v i s i o nm e t h o dc a ng e ta c c u r a t er e s u l t sf a s ta n ds t a b l y , w i t h o u ta n yc h a n g eo ft h es c a l eo fs y s t e mo fe q u a t i o n sf o rt h ec o m p u t a t i o no fe l e c t r i c f i e l d a i m e da tt h es i n g u l a rp r o b l e mo fr e e n t r a n tp o i n t sd u r i n gt h ep r o c e s so fc a p a c i t a n c e e x t r a c t i o n ，t h em a t h e m a t i c a lm o d e lo fe l e c t r i c f i e l dn e a rt h er e e n t r a n ti sg i v e na n di t s a n a l y t i c a ls o l u t i o nf o r m a ti sd e r i v e d f i n i t es e d e se x p a n s i o ni su s e dt oa p p r o x i m a t et h e a n a l y t i c a ls o l u t i o n , a n dan o v e lm e t h o di sp r o p o s e dt oc a l c u l a t et h ec h a r g eo fc o n d u c t o r t h ee r r o ra n a l y s i so f a s y m p t o t i ca p p r o x i m a t i o no f f i n i t es e r i e se x p a n s i o ni sa l s og i v e n o u r m e t h o da v o i d sc h o o s i n gt h ei n t e g r a ll e n g t ho ft h er e e n t r a n tc o m e r , a n dc a nb eu s e dt o c a l c u l a t et h ec h a r g eo f t h ec o n d u c t o rc o n v e n i e n t l ya n de f f i c i e n t l y a b s l l u c t 博士论文 b a s e do nt h et e l e g r a p he q u a t i o n ，t h es t o c h a s t i cm o d e lf o rt r a n s m i s s i o nl i n e si s p r o p o s e d ，a n dt h ep r e c i s ei n t e g r a t i o na l g o r i t h mi sc o m b i n e dw i t hm o n t ec a r l om e t h o dt o a n a l y z et h et r a n s i e n tr e s p o n s eo ft h es t o c h a s t i cm o d e l j a r q u e - b e mt e s ti sm a d ef o rt h e n o r m a l i t yo ft h em o d e l so u t p u ta n dt h ew o r s t c a s ee s t i m a t i o ni sg i v e n i nt h ec a s eo f s i n n s o i d a le x c i t a t i o n , l o s s l e s sl a a n s m i s s i o nl i n e sa r ec o n s i d e r e d t 1 1 ea n a l y t i cf o r mo ff i r s t m o m e n to f t h ec o r r e s p o n d i n gs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss o l u t i o ni sd e r i v e db yu s i n g i t o sf o r m u l a , a n dt h en u m e r i c a lc o m p u t a t i o nm e t h o df o rs e c o n dm o m e n ti sg i v e n ，f i n a l l y t h eu p p e ra n dl o w e rb o u n do f t h eo u t p u ts i g n a l sa m p l i t u d ea n dp h a s es h i f ti se s t i m a t e d w ep r o p o s et h ei n t e r c o n n e c td e l a yf o r m u l aa f f e c t e db yp r o c e s sv a r i a t i o n s ，w h i c hi s b a s e do ne l m o r ed e l a y i nt h ec a s eo ft h a tt h e r ei sn oa n a l y t i c a lf o r mb e t w e e np r o c e s s v a r i a t i o n sa n dp a r a s i t i cp a r a m e t e r s ，w ea p p l yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa n dc b r v ef i t t i n gt o o b t a i nt h ea p p r o x i m a t i o ne x p r e s s i o nb e t w e e nt h e m f i r s to r d e rv a r i a t i o na n ds e c o n do r d e r v a r i a t i o na r ea n a l y z e ds e p a r a t e l y , a n dt h em e t h o dt oc a l c u l a t et h es t a t i s t i c a lc h a r a c t e r i s t i c s o fi n t e r c o n n e c td e l a yi sp r o p o s e d a sf o rt h ec a s eo f t h a tt h ea n a l y t i e a lf o r me x i s t s ( s u c h a sw i r ew i d t hv a r i a t i o n ) ，t h ef o r m u l a st oc a l c u l a t et h em e a nv a l u ea n dv a r i a n c eo f i n t e r c o n n e c td e l a ya r ed e r i v e d c o n s i d e r i n gt h es p a t i a lc o r r e l a t i o n so fi n t e r c o n n e c tp r o c e s sv a r i a t i o n s ，w em o d e l p r o c e s sv a r i a t i o n sa sc o n t i n u a ls t o c h a s t i cp r o c e s s e sw i t hc o r r e l a t i o n f o rd e c o u p l e i n gt h e s p a t i a lc o r r e l a t i o n ，w ee x p r e s st h e ma sa ne x p a n d e df o r mo fi n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s b yk a r h u n e n l o e v ee x p a n s i o n t h e nw eu s es t o c h a s t i cg a l e r k i nm e t h o dt os o l v et h e d e c o u p l e dt e l e g r a p he q u a t i o ni nt h ep r e s e n c eo fp r o c e s sv a r i a t i o n s i nt h i sw a y , g r e a t n u m b e ro fs a m p l e sn e e d e db ym o n t e - k a r l om e t h o di sa v o i d e d ，a n dt h es e m ia n a l y t i c a l e x p a n s i o no f t r a n s m i s s i o ns i g n a lc a nb eo b t a i n e d w ed e r i v et h ei n t e g r a t e de q u a t i o nt h a tt h ea b c dm a t r i xo fi n t e r c o n n e c t ss h o u l d s a t i s f y , a n da p p l ys t o c h a s t i cg a l e r k i nm e t h o dt os o l v ei t d u r i n gt h es o l v i n g ，m a t h e m a t i c a l t r a n s f o r m a t i o ni sp r o p o s e dt om a k et h ep r o c e s ss i m p l e r c o n s i d e r i n gt h a ta b e dm a t r i xi s s u i t e dt ot h ea n a l y s i sa b o u tt h ec a s c a d ep r o b l e mo f t w o - p o r tn e t w o r k s ，w ep r o p o s et h a tw e c a l ls e p a r a t et h el i n ei n t os e g m e n t sa n dt h e nc a s c a d et h e mt oo b t a i nt h ea b c dm a t r i xo f t h el i n e k e yw o r d s ：p r o c e s sv a r i a t i o n si n t e r c o n n e c t sv e r yl a r g es c a l ei n t e g r a t e dc i r c u i t s p a r a m e t e re x t r a c t i o nt e l e g r a p he q u a t i o nt r a n s i e n tr e s p o n s ed e l a ym a t r i ca b e dm a t r i x 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：年月日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：年月 日 南京理工大学博士学位论文 v l s i 中互连线工艺变化的若干问题研究 1 1 选题背景与意义 1 绪论 半导体集成电路( i n t e g r a t e dc i f c u i t s ，i c ) 发明以来，集成电路产业一直以指数增 长率迅猛发展，这得益于半导体集成电路技术的不断进步。集成电路的更新换代是以 其所加工的最小线条尺寸( 称为特征尺寸) 的缩小、晶圆尺寸和芯片集成度的增加为 标志的，其中特征尺寸的缩小最为关键。因此，集成电路技术对代以其所加工的特征 尺寸来称谓。集成电路的特征尺寸从最初的1 0 岫1 缩小到5 1 u n 、i p m 、o 5 m ，目前 已进入深亚微米( d e e ps u b m i c r o n ，d s m ) 及超深亚微米( v e r yd e e ps u b m i c r o n ， v d s m ) 阶段，并向纳米级推进。按照国际半导体工业协会2 0 0 1 年修订发布的“国 际半导体技术发展规划”( i n t e r n a t i o n a lt e c h n o l o g yr o a d m a pf o rs e m i c o n d u c t o r s ) ，到 2 0 1 4 年集成电路将进入3 5 r i m 技术时代。器件尺寸的缩小和芯片集成度的提高，一方 面使器件和电路的性能得到提高，另一方面也使单位电路功能的生产成本下降，这是 集成电路产业能够按指数规律发展的原动力【i l 。 文献【1 】指出，当集成电路技术发展到深贬微米技术时代以后，技术的进步和特征 尺寸的缩小将导致互连线横截面和线间距减小、互连密度以及互连引线层数增加，互 连线的电阻、电容及电感寄生效应将会严重影响电路性能，包括信号传输延迟的增加 以及信号传输畸变的更加显著，互连已成为决定集成电路性能、封装密度、可靠性、 制造产率和成本的最重要因素之一。而随着集成电路工艺的继续发展，互连线产生的 问题将会更加严重。文献 2 】指出，当集成电路技术发展至j e l o o n m 技术时代以后，微 电子技术将面临着器件和互连技术两个方面的挑战。对于器件而言，这些挑战包括漏 感应的势垒降低效应、栅介质的直接隧穿效应、迁移率降低效应以及可靠性等问题； 而对于互连技术来说，导线电阻率的降低、新型互连材料的集成、互连引线和通孔图 形的加工、芯片平坦化的控制和高可靠性等方面的实现将是严峻的挑战。器件所面临 的上述问题一旦得到解决，其尺寸缩小将使得器件门延迟减小，性能更加提高；而对 于互连来说，即使尺寸缩小所带来的技术和物理问题能够得到很好解决，也会出现单 位长度互连延迟增加和互连性能降低等一系列新的问题，这是互连技术不同于器件技 术的特点之一。此外，互连线截面的不断缩小直接导致其电阻不断增大，虽然在工艺 加工过程中采用了多种手段( 比如增加互连线厚度，用铜曩连线取代铝互连线等) 来 缓解豆连线电阻不断增大的趋势，但这些措施仅仅是减缓了这种趋势，并不会从根本 上改变这种趋势唧。传统的设计方法是以器件为核心的，因为这种趋势的出现而使传 统设计方法面临许多问题，诸如时序不收敛、信号完整性以及功耗过大等等。所以传 统的以器件为核心的设计方法可能向以互连线为核心的新的设计方法转变 4 1 。 1 绪论博士论文 目前。随着集成电路制造行业的飞速发展，互连线的工艺变化问题已经成为集成 电路制造业的一个新挑战。我们知道，在超大规模集成电路( v c r yl a r g es c a l e i n t e g r a t e dc i r c u i t s ，v l s i ) 制造过程中需要数百甚至上千个工艺步骤，这些工艺步骤包 括增层、光刻、渗杂以及热处理等等。在这么多的工艺步骤中总是不可避免的会存在 各种工艺上的变化，这些工艺变化来自于污染、温度以及一些不可预料的因素，因此 工艺的变化是带有随机性的。工艺变化直接造成了集成电路物理结构的改变，并进而 影响电路的性能。在传统的v l s i 设计与分析中，对集成电路工艺变化问题的考虑往 往只是针对器件，而目前v l s i 制造工艺和技术的水平己进一步提高，集成电路中互 连线对工艺变化的灵敏度在相应增加。加利福尼亚大学的w a y n ed a i 等人指出，对 于1 3 微米及以下工艺，互连线的延迟分析不能再忽略工艺变化的影响。如果没有考 虑工艺变化，那么说一个r c 提取工具的误差在1 0 以内是没有意义的，因为工艺变 化可能超过了标称值的1 0 n 。毫无疑问，集成电路特征尺寸的不断减小会在工艺流 程中引入更多不确定因素，互连线的工艺变化将使得互连线的寄生耦合效应更加难以 预测与控制，该问题已经引起集成电路领域众多专家学者的关注。 目前对互连线的工艺变化问题的研究一般都是基于互连线的等效集总模型，即用 一组电阻、电容等独立元件的组合来代替连续的互连线，相应的，工艺变化也只需一 组随机变量来刻划。对于互连线的等效集总模型，其传输特性往往只需建模为代数方 程( 组) 或者常微分方程( 组) ，这在一定程度上减小了问题的复杂性，简化了分析 过程。但是互连线的等效集总模型毕竟只是置连线的一种近似，这种近似的代价是精 度的缺失。随着信号频率的不断提高以及集成电路特征尺寸的持续减小，互连线的等 效集总模型已不能满足电路设计与分析的精度要求。因此，需要将互连线建模为分布 参数系统( 即传输线模型) 并采用偏微分方程( 组) 刻划其传输特性，而工艺变化也 不是一组随机变量，而是连续的随机过程。 本文主要研究了超大规模集成电路中互连线的工艺变化问题。研究工作基于互连 线的分布参数模型展开，研究了互连线工艺参数变化对互连线寄生参数的影响，进而 从互连线的瞬态响应、正弦稳态响应、延迟度量以及a b c d 传输矩阵等方面研究了 工艺变化对互连线传输性能的影响。本文的工作对于超大规模集成电路的设计、制造 与测试有着重要的理论意义与实际应用前景。 1 2 互连线的工艺变化问题 1 2 1 互连线分布参数系统 电路系统是用于实现电能传输、信号处理以及测量和控制功能的系统，其中的电 流与电压是能量和信号的载体。互连线，顾名思义是连接电路中各个器件的连接线。 2 南京理工大学博士学位论文v l s l 中互连线工艺变化的若干问题研究 在低频信号的电路中，所建立的电路系统模型均假设电场能量全部集中在电容器里， 磁场能量全部集中在电感器件中，只有电阻器件才消耗能量，而连接这些器件的互连 线被认为是无阻抗、无导纳的理想连线，电流在上面留过不会有损耗，电压在上面传 递不会有电压降。这样的电路模型称为集总电路模型( 1 u m p e dc i r c u i t m o d e l ) 。 然而，在两根互连线间加上电压并有电流通过互连线时，在互连线上及其周围空 间是会产生电场和磁场的。如果激励电压随时间改变，则上述的电场和磁场也将随时 间而变化。时变电磁场的普遍规律决定了互连线上的电压和电流随时问和空间变化的 规律。随着电路中信号频率的升高，互连线将呈现很强的分布参数特征( 即互连线的 寄生耦合效应) ，具体表现为：电流流过互连线时，连线中的导体会发热，表明互连 线有分布电阻效应；线和线之间、线与接地面之间会出现漏电流，表明它们之间有分 布漏电导；不同互连线各自的电场相互之间影响开始增强，表明互连线之间将有较强 的分布电容效应；同时互连线周围的磁场也在增强，表明互连线有较强的分布电感效 应。当电路信号的频率相当高时，互连线的分布参数效应将极大地影响整个电路的性 能。( 注意，这里所说的“频率相当高”是相对而言的，它与互连线的长度有关，譬 如：3 0 0 0 米长的互连线可能在频率达到1 m h z 的时候才要考虑其分布参数效应，而3 毫米长的互连线可能要在频率达到1 g h z 的时候才需要考虑其分布参数效应。目前超 大规模集成电路的工作已达g h z ，对于几厘米长的互连线而言，这样的工作频率足 以使其分布参数效应强大到影响整个电路系统的性能。) 下面讨论如何通过数学模型 刻划互连线的分布参数效应。 分布参数系统中表征系统性能的参数并不是只在离散的位置上取值，而是在连续 的位置上都有取值，就互连线而言其分布参数是沿着线连续地分布的。互连线的分布 参数以每单位长度的参数大小来表征。记z 为互连线上的位置，并将互连线的分布参 数划分为工艺分布参数和寄生分布参数。工艺分布参数，简称工艺参数，表征互连线 的物理结构与材料，它包括导体的形状尺寸和间距以及介质的分布和介电常数等等。 寄生分布参数，简称寄生参数。表征互连线电学特性( 即前面提到的互连线寄生耦合 效应) ，包括：电阻分布参数联z ) ，表示单位长度线段上的电阻大小，是反映电流 流过金属导体而引发热损耗大小的电路参数，其单位为q ，m ；电容分布参数c ( z ) 。 表示单位长度线段上的电容大小，是反映互连线周围空间电场储能特性的电路参数， 其单位为f m ；电感分布参数三( 力，表示单位长度线段上的电感大小，是反映互 连线周围空间的磁场储能特性的电路参数，其单位为h m ；电导分布参数6 k ) ， 表示单位长度线段的两导线间的漏电导，是反映因绝缘不完善而引起线间电流泄漏的 电路参数，其单位为s m 。 互连线的工艺分布参数是其本征特性，即互连线制造出来之后其工艺分布参数就 完全确定下来；而寄生参数主要是由工艺分布参数决定，但它同时也会受到激励以及 1 绪论 博士论文 其它外界因素的影响，比如频变寄生参数会随激励信号频率的改变而改变。 1 2 2 数学建模与分析 对集成电路中互连线的分析一般分为两个步骤：参数提取，即应用电磁场理论， 根据互连线的工艺分布参数提取互连线的寄生参数；根据寄生参数建立互连线上电 流与电压的数学模型，并通过电路理论分析互连线的传输特性。互连线的参数提取， 也称为寄生提取，是根据互连线的硬件结构尺寸计算其寄生分布参数的过程。互连线 的参数提取一直都是该研究领域的热点，提取方法有微分方程法，积分方程法以及其 它一些数值方法。参数提取方面的具体内容将在第2 章进行讨论。 基于互连线的参数提取可以进一步研究互连线的传输特性，即互连线上的电压、 电流随时间变化的规律和在指定时刻电压、电流的沿线分布规律，这需要确定在任意 工作状态下互连线上电压、电流均应满足的约束条件，即建立它们的数学模型。 显然，电流和电压的取值是与时间有关的，即它们的值会随时间变化而变化。而 且，由于互连线的分布参数效应，线上不同位置的电流、电压在相同时刻的值也会不 同，因此电压和电流可以分别表示为u ( z ，r ) ，i ( z ，f ) ，其中r 表示时间，z 表示互连线上 的位置。 考虑互连线上位置z 处一长度为z 的线元，当位足够小时，可认为该线元是均 匀互连线，并且忽略该微段上电路参数的分布性而采用集总电路模型来等效代替，如 图1 2 2 1 所示。 堑：型：型：2墨i 三2：= 丝丝： ) “( ：，) 斗l l 甜( z + z ，f ) 连续模型 集总模型 z z + z 图1 2 2 1 互连线分布参数模型及等效集总模型 整个均匀互连线可以视为由一系列这样的微段线元级联而成，应用基尔霍夫定律 得n - 4 南京理工大学博士学位论文v l s i 中互连线工艺变化的若干问题研究 整理后得： 心也力叫纠一p 埘瓴甜酢，& 刳、。， 心地恻列) 一( g 协( z 也讣c 缸垒型 仁蓑嬲兰攀 s ， 【一掣咽z 州硝) + c 掣 一 i 一! i ! ! ：! ! ；：! ! ：r ( ：) j ( ：，+ s l ( ：) j ( ：，s ) 泷、 ( i 4 ) l 一垦笔盟：g ( z ) u ( 硝) + j c ( z ) u ( 邵) 7 1 2 3 工艺变化问题 为表述方便，不妨将没有考虑工艺变化问题的互连线模型称为确定性模型。1 2 1 小节和1 2 2 小节所讨论的都是互连线的确定性模型，其建模与分析过程可以用如图 1 2 3 1 所示的关系图来表示。 图1 2 3 1 中左边一列从物理意义上解释了互连线的分析思路，右边一列则建立 了与其对应的数学模型。 哮错 枇 阮 羞应 1 绪论 博士论文 互连线制造工艺 k 定 互连线的结构与组成h 工艺参数 扛定l 互连线的电学特性一寄生参数 扛定 互连线的传输性能- 卜电报方程 物理模型数学模型 图1 2 3 1 互连线的确定性模型分析 对于考虑了工艺变化的互连线模型，不妨称之为互连线的工艺变化模型。互连线 的工艺变化是指制造工艺变化，顾名思义是由于集成电路制造过程中一些不理想的影 响因素而导致的工艺上的偏差。工艺变化直接导致了工艺参数的变化，在不引起混淆 的时候我们也将工艺参数变化简称为工艺变化。与图1 2 3 1 相类似，我们可以用图 1 2 3 2 来解释互连线的工艺变化模型的建立与分析过程。 制造工艺变化 j 导致 ， 结构与组成发生交化一工艺参数变化 扣致 电学特性发生变化+ 寄生参数变化 护致 1 l，7 传输性能发生变化崎卜电报方程变化 物理模型 数学模型 图1 2 3 2 互连线的工艺变化模型分析 图1 2 3 2 只是互连线工艺变化问题的一种比较简单的描述，但其确实提供了研 究互连线工艺变化问题的一种思路，本文的研究工作也是在此基础上展开的。 1 3 互连线工艺变化问题的研究现状 工艺变化可以看作是理想的工艺状况发生了偏差，因此互连线工艺变化问题的解 决与互连线确定性模型的分析有着密切关系。目前不少研究互连线工艺变化问题的工 作都是在互连线确定性模型分析的基础上来展开的。 本小节首先对互连线确定性模型的分析方法作简单介绍，然后综述置连线工艺变 化问题的研究现状。 6 南京理工大学博士学位论文v l s i 中互连线工艺变化的若干问题研究 1 3 1 确定性模型的研究现状 由1 2 小节的讨论可知互连线的分析需两个步骤：第一步提取互连线的寄生参数； 第二步利用寄生参数，对互连线的传输性能进行仿真与分析，并根据仿真与分析结果 进行电路版图布局、布线的优化。 准确快速地提取互连线寄生参数是研究互连线的前提与基础，互连线的参数提取 有两类经典方法：微分方程法和积分方程法。微分方程法主要包括有限元法 6 - 硌l 、有 限差分法 1 4 - t 7 】等。其原理是将求解区域剖分成若干网格，利用网格的局部特性建立方 程组来求解。由于求解区域被离散化，使得微分方程法对结构有很强的适应性；缺点 是需要选取合适的截断边界条件，这可能会导致求解区域大，计算复杂度高等问题。 积分方程法主要包括矩量法【1 8 - 1 明和边界元法 2 0 - 2 2 等。矩量法是在给定格林函数前提 下，求锯电荷分布所满足的积分方程，其求解的两个步骤是格林函数的确定和积分方 程的求解。边界元法将边界广义位移和广义力作为独立变量，以满足场方程的奇异 ( 源) 函数作为加权函数，是一种特殊格式的加权余量法。积分方程法的求解区域一 般较小，计算复杂度因此而降低：缺点是要涉及格林函数的求解问题。 除了上述两类方法，近年来又有不少新方法涌现，比如部分元等效电路法( p a r t i a l e l e m e n te q u i v a l e n tc i r c u i t , p e e c ) 五们、测度不变方程【2 刀等。p e e c 将三维空间的电 磁结构等效为由许多部分电阻、部分电容、部分电感等集总元件所组成的网络，利用 已有的电路模拟软件( 如s p i c e ) 来分析。这种方法存在的主要问题是所形成的等效 网络规模太大，计算效率较低。测度不变方程( m e a s u r e de q u a t i o n so f i n v a r i a l l c e ，m e t ) 【2 s 】是一种新的分析思路，该方法在一定程度上解决了由于截断边界加入后计算精度和 效率的兼顾问题，在此基础上又提出了不少改进算法 2 9 - 3 0 o 上述这些参数提取方法的提出，使得互连结构寄生参数提取在精度与速度上都得 到了很大的改进，在此基础上可以进行互连线传输性能的分析与研究。目前互连线传 输性能的分析主要有两大类方法，即直接时域法和频域变换法。 直接时域方法是建立互连线的时域模型，然后直接在时域中进行分析求解。其基 本做法大都是在时域中将时间和空间变量进行分离，得到互连线的离散模型，进而求 解。直接时域方法算法直接，分析速度快，但是对含有频变参数元件的电路求解时很 困难。有限差分法、特征法以及微分求积法是目前较常见的直接时域方法。有限差分 法是通过差分形式的代数方程组来代替微分方程，选择不同的差分格式可以得到不同 的时域模型。特征法 3 1 , 3 2 的主要思想是沿特征线方向将偏微分方程转换为常微分方程 求解，对于某些形式的偏微分方程求解是非常有效的，可以得到简单的递归形式，因 而具有较高的计算效率【3 2 】。微分求积法( d i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r e ，d q ) 的主要思想是 将某坐标方向上的微分算子用一系列离散点的函数值加权逼近，将偏微分方程化为常 7 i 绪论博士论文 微分方程或代数方程求解。该方法应用了高阶多项式逼近，能够在取较少离散点的情 况下得到较高的精度。由于d q 法用到比其它数值方法少得多的离散点，它对内存和 机时的要求不高，计算量相应能大大降低。d q 方法可以很容易地应用于非均匀互连 线的情况j 。 频域变换法需首先推导出互连线的频域网络函数或频域的电路描述方程，然后借 助拉普拉斯变换( l a p l a c et r a n s f o r m ) 或傅立叶变换( f o u r i e r t r a n s f o r m ) 得出时域响 应函数，它具体又可分为以下几种：解析方法，即完全借助于解析推导实现频域至 时域的转换，这种方法一般只限于简单的无耗t e m 互连线；快速傅立叶变换法( f a s t f o u r i e rt r a n s f o r m ，f f t ) ，是一种借助于高效数值方法实现的傅立叶变换，首先在复 频域推导出网络函数或电路描述方程，在一定的频率范围内取间隔均匀的许多频率取 样点，按离散傅立叶交换的方法变换到时域，也得到相应的时域取样点，当取样间隔 足够小时，离散的数据可足够精确地表示时域响应函数。f f t 方法的适用范围很宽， 但如果取样点不是足够多的话，容易引起频谱混迭而使结果不可靠；数值反拉普拉 斯变换法( n u m e r i c a li n v e r s el a p l a c et r a n s f o r m a t i o n ，n i l t ) 1 ：，4 - 3 6 ，是一种实现拉普拉 斯变换和反变换的数值方法。n i l t 方法最初用于线性电路的瞬态分析，使用时每个 时间点上的解是通过对电路方程若干次复频域上的求解而得到的，由于其独特的优 点，被认为是瞬态分析的一种重要方法p “。 上述分析方法均为纯粹的数值计算方法，都存在着计算量大算法复杂度高的问 题。为了提高互连线频域模型的分析效率，人们引入了有理逼近。基于频域有理逼近 的方法是目前最为流行的互连线分析方法，它可以视为一种半解析方法，其中最常用 的是帕德逼近( p a d ea p p r o x i m a t i o n ) 。标准的p a d e 逼