（概率论与数理统计专业论文）局部时的变差与ito公式新的推广.pdf

山东大学博士学傲论文 羯部时酶变差与i t 8 公式新豹攘广 冯春馨 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ； 英毽器夫堡太学数学系，缸夫燕，l e l l3 t u ，u k ) 中文摘要 经典豹i t 6 公式( 1 9 4 4 ) 嚣要藕数的两次可微，它在随机努考 及其应用，以及与 努耩。偏微分方程，尼镑，餐力系统，金聚释物理的凡手繇霄的应爱帮联系中都起 到了核心的作用但是l t 6 公式对于函数需要二次可微的限制在应用中通常会遇到 一熙困难所以把它扩展到不是很光滑的函数在研究很多问题如有奇异点偏微分方 程及金融数学中都怒攫有用的，一般来说，对予任意的绝对遴续的函数它的导数， 嚣警娃娃存在，雾l 一今连续静警赣，存在应嫒褥 | 噼t 、= f ( x o ) 十i 八x 泓x 8 七a t 对予禽游耀戆馕形撵应酶公式燕 巾，甄) 一，( 。，凰) + r 岳，瓴x , ) d s 十z v f ( 毛弱) 蛾+ a ( o 1 ) ( o 2 ) 在上述两种情形下寻找a ，尤其是鞔道意义的公式是建立扩髅的i t 5 公式黪关键 实醚上，获t a n a k a 唾锈就已经齐始这方垂豹礤究，经馁蘸亮懿逶耀了瑾wl 嘲弓 入 的髑部时，人们耪f 这个公式为t a n a k a 公式m e y e t 3 6 1 给出了一般的一维不含时间 的曲函数的i t 6 公式，至于b r o s a m l e r 【5 】研究了多维的超调和函数，k e n d a l l 2 6 】是 对躐离露敦的，最避对于依赖予时闻的函数在p e s k i r 3 9 】以及e l w o r th y ，t r u m a na n d z h a o 麓孛都寿疆瓷。将秘稽毽瓣蹙m e y e r 貉镁敬及e l w o r t h y - t r u m a u - z h a o 潮分羽 证明了t ( t a n a l m - m e y e r ( 1 9 7 6 ) ) 令f ：r r 是一个凸函数( 或是两个凸函数的差l 肛是二 玲鼯数溅塞，定义魏瓣，母) v 一，磅一审一，( 8 ) ，一o 。 8 b o o 。那么 f ( x t ) 。f ( x o ) + ，v f ( x s ) d x , + ”工t ( z ) p ( d # ) d s ，( o 3 ) j 0j 一 其巾v 一罗是礴舞变差并且嚣文0 p ( 如) 憝l e b e s g u e - s t i e l t j e s 积分，襁巍髀溯 度怒弘如) 。瑶裁弗蔌燕在。淼黪局繇霹。 山东大学博士学位论文 ( e l w o r t h y t r u m a n - z h a o 【7 】) 令x = ( x s ) 。o 是一个连续的半鞅，：【0 ，o o ) r r 满足 ( i ) ，关于t ，z 分别绝对连续， ( i i ) 左导数象，和v 一，在所有的( 0 ，o o ) ra n d 【0 ，0 0 ) r 上的点存在， ( i i i ) 篆，和v 一，左连续并且局部有界， ( i v ) v y ( t ，) 关于( t ，。) 局部有界变差，v i ( o ，) 关于z 局部有界。那么 ( t ，x ( t ) ) 一i ( o ，x ( o ) ) = j ( 。o 。- 。y ( s ，x ( s ) ) d s + r v 一，( s ，x ( s ) ) 正k ，。，+ t + 上。l t ( 。) 如v f i t , x ) 一上j ol “。) d , , z v - f ( 0 0 j 5 ，。) 。4 ( o 4 ) j 一j 一 其中虑眉厶( z ) 也。v 一( 8 ，z ) 是一个关于时间- 空间两参数的l e b e s g u e - s t i e l t j e s 积 分且是按轨道定义的 至于局部时研的关于。的变差，在z e v u z 和y o r 的书 4 1 中第六章 ( 定理1 2 1 ) ：假设( 。) 是k6 】的一列子分割并且满足当n m ，1 4 。l 一0 ，因 此对于任意非负有限的随机变量s ， l i m 萎( 学1 哪) 2 - 4 r 驰+ 。乏。( l i 一刖2 2 是任意一个实数，i e 对于几乎所有的u n ， m 一1 s u p 防”一霹i ， o 。，( o 6 ) ui = 0 其中d = 一n ；g o 2 1 z 。= 是 一n ，n 】的任意分割，f 一 】覆盖了 工；的紧支撑 那么如果9 ( z ) 是有界俨变差的( 1 g 0 是一个连续的半鞅，f ：r r 是一个绝对连续的 函数，其左导数v f ( x ) 左连续并且局部有界假定v f ( x ) 是有界哥变差，其中 1s g 2 因此我们有下面的变量替换公式 f t ， ，( 五) = ，( x o ) + v 一，( 兄) d x a 一v 一，( z 飓霹，( o7 ) j uj - - o o 其中研是五在z 的局部时 ( i i ) 在第二章中，局部时和粗路径，我们证明了半鞅的局部时是粗度为p ( 2 p 3 ) 的粗路径并且对于任何有限俨变差的函数g ( 2 g 3 ) 用l y o n s 的粗路径积 分理论建立了积分譬g ( x ) d l t ( z ) 我们把历：= ( 厶扛) ，g 如) ) 看成个过程得到， 定理2 3 2 假设2 g 4 令g 0 1 那么存在唯一 的x 2 使得x = ( 1 ，x 1 , x 2 ) 是一个粗路径并且存在一族光滑粗路径 x ( m ) 需二l 使 得当对于引理1 2 1 中的分割口，当m 一0 3 时， 2 ，、l s u p ( x ( m ) ：。一砖。m i ) 8 0 ， s = l p 、i 7 该极限既是几乎处处意义下的又是在三1 ( n ，只尹) 中的特别的，当2sg 3 时， x 是联系于z 的点则几何粗路径 因此我们就可以得到m e y e r - t a n a k a 公式对于绝对连续的函数，如果v 一，存在且 是有限哥变差的，2 g o 是一个连续的半鞅，：r r 是一个绝对连 续的函数，其左导数v 一，( z ) 是左连续且局部有界假定v 一，( z ) 是有界口- 变差的， 1 g 3 ，那么 ，l， f ( x t ) 2f c x o ) + j cv 一，( 墨) 城一上。v m ) d l f ( o 8 ) j 0 j 一 i i i 山东大学博士学位论文 当q = 1 时，积分j = v 一，( z ) 如蟛是l e b e s g u e = s t i e l t j e s 积分；当1 g 2 时，是 y o u n g 积分；当2 口 3 时，是l y o n s 的粗路径积分 至于含时间的情形，我们用了两章，即第三章和第四章，做了细致的讨论，定 义了两参数的p ，q - 变差的路径积分并且对e l w o r t h y - t r u m a n z h a o 公式作了推广 ( i i i ) 第三章，两参数的p ，q - 变差的路径积分，主要结果是( 忆妒，皿1 和圣l 在3 2 节 的开头给出了定义) ： 定理3 4 1 令f ( x ，y ) 是一个连续的函数并且存在连续的增函数，x 使得对于任意 的z 1 ，x 2 f ，】，y l ，y 2 y ，们， i f ( x l ，y 1 ) 一f ( z 2 ，口2 ) l 妒( u ( 。2 ) 一4 t ) ( x 1 ) ) + 妒( x ( 抛) 一x ( 1 ) ) 令g ( x ，) 关于( z ，) 是有界垂l ，皿1 一变差并且满足只有有限个大跳的假设 在单调增的凹函数p 和a 满足p ( u ) 一( “) = “使得 三p 【妒( ：) p 渺( 击) 】妒- 【：仇( 熹) 】 0 ，我们可以分别确定。和口的有限的集合日和 日使得 f ”和删邺沪耋薹f c x i - 1 , y 3 - 1 埝喇 s 我们还证明了控制收敛定理，见t h e o r e m3 4 2 ( i v ) 第四章，关于局部时的两参数积分，我们运用第三章的结果去定义积分 伫o o 。启三；也，；9 ( 5 ，z ) 3 1 x t 并且满足只有有限个大跳的假设，那么积分 仁z 钒纠s 卅 5 邮l 艚i m ) 卅等地，x 1 ) ( g ( s j + l , x i + i ) 叫帅舟) 一g ( 町x t + i ) + g ( 8 j ，x 1 ) 1( o 1 2 ) 在定理3 4 1 的意义下是良定义的 如果迸一步假设9 ( s ，z ) 关于z 有界口一变差( 1 日 一 ( o 1 7 ) 特别的，由( 5 3 5 ) ，( 5 3 6 ) ，我们有分部积分公式 t o t ) ，+ 0 0r t 上。g ( t , a ) d a v i ，( o ，x 2 ( ) ) 一上。工g ( 邮) d a , a v i m ，恐( 8 ) ) = 一上。工v i m ，恐( 5 ) ) d ”g o , a ) ， o ( 8 ，口) = l 1 ( 8 ，d ) ，厶( s ，n ) ，l 1 ( 8 ，口) 第一、三、四章包含在文章 1 1 】中，发表在p o t e n t i a la n a l y s i s 第二章是文章 f 1 3 】第五章包含在文章【1 2 】中 关键词，y o u n g 积分，t w c - p a r a m e t e r 两参数的p ，q - 变差的路径积分，局部时 推广的i t 6 公式，随机l e b e s g u e - s t i e l t j e 8 积分，粗路径，粗路径的积分 注：本论文中，当引用到已知的定理或定义时，我用”( ) 竹来区别于自己的结 论，并且保持该定理或定义的序号 i 山东火学博士学位论文 v a r i a t i o no fl o c a lt i m ea n dn e we x t e n s i o n st oi t 6 s f o r m u l a f e n gc h u n r o n g ( s c h o o lo fm a t h a n ds y s t e ms c i e n c e s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 1 0 0 ，c h i n a a n d d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，l o u g h b o r e u g hu n i v e r s i t y , l e l l3 t u ，u k ) a b s t r a c t t h ec l a s s i c a li t 5 sf o r m u l a ( 1 9 “) f o rt w i c ed i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n sh a sp l a y e dac e n t r a lr o l ei ns t o c h a s t i ca n a l y s i sa n da l m o s ta l la s p e c t so fi t sa p p l i c a t i o n sa n dc o n n e c t i o n w i t ha n a l y s i s , p d e s ，g e o m e t r y , d y n a m i c a ls y s t e m s , f i n a n c ea n dp h y s i c s b u tt h er e s t r i c - t i o no fi t s sf o r m u l st of u n c t i o n sw i t ht w i c ed i f f e r e n t i a b i l i t yo f t e ne n c o u n t e rd i f f i c u l t i e si n a p p l i c a t i o n s e x t e n s i o n st ol e s ss m o o t hf u n c t i o n sa r eu s e f u li ns t u d y i n gm a n yp r o b l e m s s u c ha sp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u t i o n sw i t hs o m es i n g u l a r i t i e sa n dm a t h e m a t i c so ff i n a n c e g e n e r a l l ys p e a k i n g 。f o ra n ya b s o l u t e l yc o n t i n u o u sf u n c t i o nw h o s ed e r i v a t i v ere x i s t sa l - m o s te v e r y w h e r e , a n d 氇c o n t i n u o u ss e m i - m a r t l u g a l ej 蠢，t h e r ee x i s t sa ts u c ht h a t ，t ，( 托) = ，( 弱) 十，( 墨) 矗赫+ a t ( o 1 8 ) a n d 妇t h et i m ed e p e n d e n tc a s e t h ec o r r e s p o n d i n gf o r m u l ai s ， t 墨) = f ( 0 ，x o ) + r 杀，( s ，墨冲+ z v f ( s , 墨) d + a t ， 固1 9 ) t of i n da ti nb o t hc a s e se s p e c i a l l yap a t h w i s ef o r m u l ab e c o m e sk e yt oe s t a b l i s hau s e - f u le x t e n s i o nt oi t 5 sf o r m u l a i nf a c ti n v e s t i g a t i o n sa l r e a d yb e g a ni nt a n a k a 4 6 1w i t h & b e a u t i f u lu s eo fl o c a lt i m e si n t r o d u c e di n 秘蹿l 铡。t h eg e n e r a l i z e di t 5 sf o r m u l ai n o n e - d i m e n s i o nf o rt i m ei n d e p e n d e n tc o n v e xf u n c t i o n sw a gd e v e l o p e di nm e y e r 【嘲a n df o r s u p e r h a r m o n i ef u n c t i o n si nm u l t i d i m e u s i o n si nb r e s a m l e r 【5 】a n df o rd i s t a n c ef u n c t i o ni n k e n d a l l 【2 6 】a n dm o r er e c e n t l yf o rt i m ed e p e n d e n tf u n c t i o n si np e s k i r 3 9 la n de l w o r t h y , 2 1 - a m a na n dz h a o 翻m e y e r1 3 8 1a n df a w o r t h y - t m m a n - z h a o 7 1p r o v e d ( t a n a k a - m e y e r ( 1 9 7 6 ) ) l e tf ：r _ 殿b e ac o n v e xf u n c t i o n ( o rd i f f e r e n c eo ft w oc o n v f u n c t i o n s ) a n d 弘i t ss e c o n dd e r i v a t i v em e a s u r ed e f i n e da sp ( 【n ，) ：= v f ( b ) 一v 一，( d ) ， 一。 n b 。t h e n #m f ( x t ) = ，( 甄) + 五v 一，( 恐) d 墨+ 互。如( 。) 弘 ) ”+ ， ( o 2 0 ) i i 山东大学博士攀位论文 w h e r e 审一，( 茁) i so f b o u n d e dv a r i a t i o na n df 毫五( 毒) 芦( c b ) i s8l e b e s g u e - s t i e l t j e si n t e g r a l a s s o c i a t e dw i t ht h em e a s u r ep ( 妇) l fi st h el o c a lt i m eo fs e m i m a r t i n g a l ex ta tz ( e l w o r t h y - t r u m a n - z h a o 【霉) l e tx = 0 磁) # ob eac o n t i n u o u ss e m i m a r t i n g a l ea n d a s s u m e ，：1 0 ，0 0 ) r _ rs a t i s f y ( i ) ，i sa b s o l u t e l yc o n t i n u o u si nt ，r e s p e c t i v e l y , ( i i ) t h el e f td e r i v a t i v e s 岳，a n dv fe x i s ta ta l lp o i n t so f ( 0 ，o o ) ra n d 0 ，0 0 ) r r e s p e c t i v e l y , ( i i i ) 荽，a n dv fa r el e f tc o n t i n u o u sa n dl o c a l l yb o u n d e d ， ( i v ) v f ( t ，# ) i so fl o c a u yb o u n d e dv a r i a t i o ni n ( t ，z ) a n dv f ( o ，z ) i so fl o c a l l y b o u n d e dv a r i a t i o ni nz t h e n f ( t ，x ( t ) ) 一，( o ，x p ) ) ；z o 。- 。f ( s ，孙) ) 如+ r v - ，( 硝( 枷嘱 十，”岛如v 一她，z 卜 o o 0 l , ( x ) d a j - - c o ，v 一，( 菩，。) 扛8 一 ( o t 2 1 ) 一一 h e r e + c o 露氟( $ ) d v f ( s ，z ) i sas p a c e - t l m el e b e s g u e - s t i e l q e si n t e g r a la n dn e e d l e s s t os a y , d e f i n e dp a t h w i s e a b o u tt h ev a r i a t i o no fl o c a lt i m el t ( x ) ( i n ，遗t h eb o o kr e v u za n dy o r 转l l ，c h a p - t e rv i ，t h e yp r o v e d ( t h e o r e ml 2 1 ) ：l e t ( a n ) b e at * q u e n c eo fs u b d i v i s i o n so fh 卅s u c ht h a t n _ o o ，t h e nf o ra n yn o m a e g a t i v ea n df i n i t er a n d o mv a r i a b l es 。 2 y o o a 。( 五爹“一掣) 2 # 4 z 瑶如十a x b 一学) 2 2 ，a l m o s ts u r e l y , i e f o ra l m o s ta l lw q ， m - - 1 8 7 防”一冽9 o o ， ( o 2 3 ) 工，i = o w h e r e d = 一 知 x l c o i 8 蛆a r b i t r a r yp a r t i t i o n t h e nw ee a qd e f i n et h ei n t e g r a l ，：g ( x ) d x l i nt h es e n s eo fy o u n gi n t e g r a l ，i fg ( z ) j so fb o t m d e dq - v a r i a t i o n ( 1 口 ob eac o n t i n u o u ss e m l m a x t i n g a l ea n df ：r _ rb e a na b s o l u t e l yc o n t i n u o u sf u n c t i o na n dh a v el e f td e r i v a t i v ev 一，( z ) b e i n gl e f tc o n t i n u o u s a n dl o c a l l yb o u n d e d a s s u m ev 一，( ) i so fb o u n d e dq - v a r i a t i o n ，w h e r e1 q 2 t h e n w eh a v et h ef o r o w i n gc h a n g e - o f - v a r i a b l ef o r m u l a t f o o f ( x t ) = f ( x o ) + ov f ( x s ) d x a 一上。v m ) 蟊霹， ( o 2 4 ) w h e r e 工 i 8t h el o c a lt i m eo f x ta tz ( i i ) i nc h a p t e r2 ，l o c a lt i m ea 8ar o u g hp a t h ，w ep r o v et h a tas e m i m a r t i n - g a l el o c a lt i m ei sar o u g hp a t ho fr o u g h n e f l 8pf o ra n y2 p 3a n de s t a b l i s ht h ei n t e g r a l j g ( x ) d l t ( x ) f o ra n y f i n i t eq - v a r i a t i o nf u n c t i o ng ( 2 口 3 ) u s i n gl y o n s r o u g hp a t h i n t e g r a t i o n w er e g a r d 忍：= ( 厶( z ) ，9 ( ) a 8o n ep a t ha n dg e t ： t h e o r e m2 3 2a s s u m e2 口 4 l e t 口 0 1 t h e nt h e r ee x i s t sau n i q u ex 2s u c ht h a t ( 1 ，x 1 ，x 2 ) i sar o u g hp a t ha n dt h e r ee x i s ta s e q u e n c e x ( m ) ) 嚣：1o fs m o o t hr o u g hp a t hs u c ht h a tf o rda si nl e m m a1 2 1 ， 砉s 字( 驴( m ) i 1 - 1 ，t - - 如。1 5 ) 训， b o t ha l m o s ts u r e l ya n di nl 1 ，p ) a sm _ o 。i np a r t i c u l a r ，w h e n2s 口 3 ，xj 8 t h ec a n o n i c a lg e o m e t r i cr o u g hp a t ha s s o c i a t e dt oz x n | 东大学博士举位论文 w et h e r e f o r eo b t a i nt h em e y e r - t a n a k af o m m l af o ra b s o l u t e l yc o n t i n u o u sf u n c t i o n | i f v ，e x i s t sa n di so f f i n i t eq - v a r i a t i o nw h e n2 口 3 t h ec a s ew h e n1 口 2w a s e s t a b l i s h e di nc h a p t e r1u s i n gy o u n gi n t e g r a l t h e o r e m2 3 3l e tx = ( x t ) 晓ob eac o n t i n u o u ss e m i m a r t i n g a l ea n d ，：r _ rb e a b s o l u t e l yc o n t i n u o u sf u n c t i o na n dh a v el e f td e r i v a t i v ev f ( x 1b e i n gl e f tc o n t i n u o u sa n d l o c a l l yb o u n d e d 。a s s u m e 审一( x ) i so fb o u n d e dq - v a r i a t i o n ，w h e r elsg 3 ，t h e n “ f o o f ( x d2 f ( x o ) + 五v f ( x s ) d x , 上。v m 磁譬 ( o 2 s ) h e r et h ei n t e g r a lj ：v 一，( $ ) 如 i sal e b e s g u e - s t i e l t j e si n t e g r a lw h e nq ；1 ，ay o u n g i n t e g r a lw h e n1 巷 2a n d8l y o n s r o u g hp a t hi n t e g r a lw h e n2 牵 ) ，唔1 钕磊1 ) 】 0 ，w ec a nd e t e r m i n ef i n i t es e t sha n d h 7o fv a r i a b l e sza n dyr e s p e c t i v e l ys u c ht h a t i f 脚脚沪薹薹f c x i - 1 , y j - 1 ) a t 喇“ w ea l s op r o v ead o m i n a t e dc o n v e r g e n c et h e o r e m 8 e et h e o r e m3 4 2 ( i v ) i nc h a p t e r4 ，t w o - p a r a m e t e ri n t e g r a l so fl o c a lt i m e s ，w eu s et h e r e s u l t so fc h a p t e r3t od e f i n es u c hi n t e g r a l ，j j 留也，z 9 ( s ，z ) c o r o l l a r y4 2 1a s s u m eg ：【0 ，日r _ ri so fb o u n d e dp ，q - v a r i a t i o n ，i e 1 - 1 m 一1、9 s u p i i 岛删l j 3 p q a n ds a t i s f i e s t h e f i n i t e l a r g e e x e i = 0 j = o j u m pc o n d i t i o n ，t h e nt h ei n t e g r a l 仁o 三；也。9 ( s ，z ) = 。( 删f i m 。莓酏( 如仙知h ( s j + l , z 1 ) - g ( s j ，奶+ 1 ) + g ( s j ，甄) 1 ( o 2 9 ) i sw e l ld e f i n e di nt h es e n s eo ft h e o r e m3 4 1 i fa 8 8 u l n ef u r t h e rg ( s ，) i so fb o u n d e d0 - v a r i a t i o n ( 1 口 3 ) i nzu n i f o r m l yi n8 s o t h es u m | - i m - i 口( 勺，氟) b + 。( x i + 。) 一厶，( 吼。) 一三。+ 球扎) 】口( 勺，氟) i 三即+ 。+ 1 ) 一厶，( 吼1 ) 一三。+ 三( 扎) l i ；0 j = o a n d 仁r 如，蚰店 = 。盐钆墨萎蚴帆+ l ( 撕心( 蛳) - l ( 嗣) + 毛( 祝) ( o 3 0 ) 仁r g ( s 瑚电。霹= 仁0 0 r 三：也筇( s ，。) 一仁如地9 ( t 一 ( o 3 1 ) i 山东大学博士学位论文 s ow ec a ng e ta ne x t e n s i o no fe l w o r t h y - t m m a n - z h a o 8f o r m u l a ： t h e o r e m4 2 3l e tx 。( 五) a ! ob eac o n t i n u o u ss e m i m a r t i n g a l ea n da s s u m ef ： 【0 ，o 。) x r 一rs a t i s f y ( i ) fi sa b s o l u t e l yc o n t i n u o u si nt ，zr e p e c t i v e l y , ( i i ) t h el e f td e r i v a t i v e s0 - a n dv 一，e x i s ta ta l lp o i n t so f ( 0 ，c o ) ra n d 【o ，c o ) xr r e s p e c t i v e l y , ( m ) 蔷fa n dv fa r el e f tc o n t i n u o u sa n df o c a l l yb o u n d e d ， ( i v ) v f ( t ，$ ) j 8o fb o u n d e do - v a r i a t i o ni n a n do fb o u n d e dp ，q - v a r i a t i o ni n0 ，z ) a n ds a t i s f i e st h ef i n i t el a r g ej u m pc o n d i t i o n ，w h e r e1 0 3 p q t h e n w eh a v e ： ，咒) = ，( o ，硒) + z t 丽o - ，( s ，x , ) d s 十r v 一，( 岛五) d 墨 一上上。v m ，z ) 也，z e ， ( n 3 2 ) w h e r e 研i st h el o c a lt i m eo fx ta tz ，t h el a s ti n t e g r a li sd e f i n e di n ( 0 3 0 ) ( v ) i nc h a p t e r5 ，s t o c h a s t i cl e b e s g u e - s t i e t i j e si n t e g r a la n da g e n e r a l - i z e di t 6 sf o r m u l ai nt w o - d i m e n s i o n s ，w ee x t e n dt a n a k a - m e y e r 8f o r m u l ai n t ot w o d i m e n s i o n s f i r s t ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fs t o c h a s t i cl e h e s g u e - s t i e l t j e si n t e g r a l ： d e f i n i t i o n5 2 1l e th 协，9 协( h ) t h e nt h ei n t e g r a lo f9w i t hr e s p e c tt ohc a b ed e f i n e d i n m 2 ： ，j t o o，ct o o 上上。9 ( 8 1z ) 也一6 ( s ，z ) = 。船。上- 。妒m ，n ( 5 1z ) 8 ”“( s ，。) ， j 8ac o n t i n u o u sm a r t i n g a l ew i t hr e s p e c tt o ( 五) o t s ta n df o re a c ht t ，( 5 2 6 ) i ss a t i s f i e d h e r e 妒n n i sas e q u e n c eo fs i m p l ef u n c t i o n si n 协( ) ，s t e j c 厶i ( g - ，n ) ( 舭) o 一一) ( 8 ，u ) li 如m s i - - , o , a sm ，n ，m ，n ，_ o o n o t e 妒m nm a yb ec o n s t r u c t e db yc o m b i n i n gt h et h r e ea p p r c d 【i m a - t i o np r o c e d u r e si nl e m m a s5 2 4 ，5 2 3 ，5 2 2 a n dt h e ng i v et w om a i nt h e o r e m s ： i nt h ef o l l o w i n gw ea s s u m es o m ec o n d i t i o n so nf ：r r r ： c o n d i t i o n 倒，( ，) ：r r - 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