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曲阜师范大学硕士学位论文 某些非自伴算子代数间的映射问题 摘要 算子代数间的局部映射问题主要是研究算子代数间的映射在每一点的局 部性质( 如局部导予，局部自同构，局部等距等) 能否决定该映射的某种整体 性质，这已成为算子代数理论的个研究热点之一本文对某些非自伴算子代 数主要是可换子空问格代数问的局部映射问题和保持问题进行了研究 全文分为两章 第一章主要研究d i g r a p h 代数上的在幂等元上满足导子运算性质的线性映 射问题，证明了这样的映射为导子；此结果推广了有关局部导子的结论 第二章主要研究有限维可换予空间格代数上的保幂等元的线性映射问题 和完全分配的可换子空间格代数的线性的满的2 一局部等距反自同构问题；证 明了保幂等元的线性映射为j o r d a n - 同态以及每个线性的满的2 - 局部等距反 自同构是等距反自同构 曲阜师范大学硕士学位论文 关键词 d i g r a p h 代数导子局部导子j o r d a n 同态可换子空间格可换子 空间格代数局部自同构局部反自同构幂等元 些皇堕蕉盔堂堡主堂垡丝壅 s o m ep r o b l e m s0 nt h e l o c a lm a p p i n g sf o r n o n 8 e l f a d j o i n to p e r a t o ra l g e b r a s a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n c e r n st h ep r o b l c m so nt h el o c a lm a p p i n g sa n dt h el i n e a r m a p p i n g sp r c s e v e r i n gt d e m p o t e n t sf o rs o m en o n - s e l f a d j o m to p e r a t o ra l g e b r a s i tc o n s i s t so ft w oc h a p t c r 8 i nc h a p t e r1 ，w es t u d yt h et h el i n e a rm a p p i n gb a t m f y m gt h ep r o p e r t yo f t h ed e r v i a t l o no p e r a t o r a t m no ne v e r yi d e m p o t e n tl r lad i g r a p ha l g e b r a ，a n d s h o wt h a ts u c han m p p m g s 塔ad e r i v a t i o n w h i c hg e n e r a l i z e st h er e s u l t so nt h e l o c a ld e m v a t l o no fd i g r a p ha l g e b r a s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h el i n e a rm a p p i n g sp r e s v e r m gi d e m p o t e n t so f t h ef i m t ed l m e n m o n a lc s la l g e b r a sa n dt h eh n e a rm l r j e e t l v e2 - l o c a li s o m e t m c a n t l a u t o m o r p h i s mo nt h ec o m p l e t e l yd l s ；t n b u t i v ec o m m u t a t i v es u b s p a c el a t t i c e a l g e b r a s 。a n ds h o wt h a tt h el i n e a rm a p p i n g sp r e s v e r i n gi d e m p o t e n t s a r ej o r d a n h o m o m o r p h m m sa n ds u c ha 2 - l o c a li s o m e t r i ca n t i a u t o m o r p l u s mi sa l s oa8 1 1 a n t m u t o m o r p h m m k e y w o r d s d i g r a p ha l g e b r a ，d e r i v a t i o n ，l o c a ld e r i v a t i o n ，j o r d a n - h o m o m o r p h l s m ，c o m - m u t a t i v es u b s p a c el a t t i c e ，c o m m u t a t i v es u b s p a z el a t t i c ea l g e b r a ，l o c a la u t o - m o r p h m m ，l o c a la n t i a n t o m o r p h i s m ，i d e m p o t e n t s 第一章有限阶d i g r a p h 代数上的满足( 木) 条件的映射 1 1 引言 设一4 是一个线性结合代数，m 为a 一模，目为一4 到朋内的线性映 射称q 是一个导子，如果对任意a ，b a ，成立r l ( a b ) = r i ( a ) b + a 叮( b ) ； 称叩是一个线性局部导子，如果对任意a a ，存在( 依赖于a ) 导子似：a 一m ，使得q a ( a ) = q ( a ) 局部导子的概念最早是由k a d m o n 及l a r s o n 和 s o u r o u r 引入并研究的在【1 】中，k a d l s o n 证明了v o nn e u m a n n 代数到其正 规对偶双模的每个有界的局部导子都是导子；对于b a n a c h 空间x 上的有界 线性算子代数艿( x ) ，l a r s o n 和s o u r o u r 证明了，b ( x ) 到自身内的每个有界 的局部导子也是导子( 【2 ) 此后，人们开始研究其它算子代数上的局部导子问 题如h a nd e g u a n g 和w e ls h u y t m 证明了套代数上任意范数连续的局部导 子是导子( 【9 】) ，j i n gw u 在 1o 】和f l l 】中研究了某些自反算子代数上的局部 导子问题在c 一代数局部导子理论方面，b ej o h n s o n 的结果最为漂亮，在 f 1 2 1 中，他证明了p 一代数到自身上的有界局部导子是导子当然，类似于 k a d r s o n 的局部导子，人们可以定义。局部自同构”和“局部等距”等算子代 数问的局部映射在4 1 中，d o nh a d w m 和& a n k ml i 证明了交换子空间格 代数上的局部自同构是j o r d a n - 自同构；drl a r s o n 和a r s o u r o u r 证明了 无限维b a n a c h 空间上的所有有界缵 生算子构成的b a n a c h 代数上的局部自同 构是自同构( 2 】) 算子代数间的局部映射问题主要是算子代数间的线性映射在每一点的局 部性质( 如局部导子，局部自同构，局部等距等) 能否完全决定该映射的某种整 体性质人们可以将其进一步加深，沿许多方向进行推广，如现在已有的2 - 局部导子，2 - 局部自同构，局部j o r d a n + 一导子，局部n - 上循环等( 见 【8 】i 【1 3 】，1 1 4 1 ， 1 5 】， 1 6 1 ，【1 8 】) 本章我们将局部导子的概念推广到更一般的情形， 蔓二里查堡堕里! 壁兰些垡墼兰丝煎星f 1 2 墨堡塑堕塑 即仅在一个幂等元上满足导子运算性质的映射( 【5 】) 设印为代数4 到其双模 m 上的线性映射，我们称q 满足( t ) 条件，如果对于a 中的任意幂等元p ( 即 p 2 = p ) ，有 町( p ) = 叩( p ) p + p y ( p ) ( ) 本节主要研究对象为有限阶的d i g r a p h 代数，我们先来回顾它的定义 定义复数域c 上的代数a 被称为n 阶d i g r a p h 代数，如果存在n x n 阶 矩阵单位集 点0 ) 。( 第1 行第j 列为1 ，其它位氍为0 ) ，使得该集合包含了所 有矩阵单位 风) 。1 ，2 ，。以及在矩阵乘法下封闭，并且此矩阵单位集张成了 整个代数a 有限阶的d i g r a p h 代数又被称为有限维的可换子空问格代数，是一类非 常重要的( 非自伴) 自反算子代数在【2 6 中，g l l f c a t h e r 和m o o r e 刻划了 d i g r a p h 代数的自同构；在【3 】3 和【1 5 】中。c r i s t 研究了d i g r a p h 代数上的局 部导子和局部自同构，得到了有限阶d i g r a p h 代数到其自身上的每个局部导子 都是导子( 3 1 ) 本章主要推广了c r i s t 关于有限阶d i g r a p h 代数上的局部导子 的结果，即研究其上的满足( ) 条件的映射是否是导子的问题，得出了如下主 要结果 定理1 设4 是一个有限阶d i g r a p h 代数，町a 一4 为线性映射且满 足；对任意p 2 = p a ，成立q ( p ) = y ( p ) p + p 目( p ) ，则q 是一个导子 1 2 有限阶d i g r a p h 代数上的满足( 术) 条件的映射 本节主要证明第一节中的主要定理，我们用 厶( c ) 表示n x n 阶复矩阵代 数，设4 ( c ) ，记a = ( 2 ，j ) ：岛a ) 上述定理1 的证明需要五个引 理即引理2 1 至引理25 其中涉及s c h u r 乘积的概念，我们先来回顾一下 2 曲阜师范大学硕士学位论文 定义设目为4 到自身上的线性映射，若存在矩阵s = ( s l j ) “( c ) ，使 得对于4 中的每个矩阵a = ( ) 都有 q ( a ) = ( ) ， 则称q 是4 上的s e h u r 乘积，记为叩( a ) = s a a a 引理2 1 设口是由 e k ：。= 1 ，2 ，扎 生成的 如( c ) 的对角代数，如 果线性映射q a + a 满足( + ) 条件，则q 可以写成如下形式：叩= j + 巩 其中6 ：a 。4 是内导子；线性映射彳：a a 满足( + ) 条件，并且t 7 ，零 化口 证明考察线性映射, 7 i v 口a 当。，时，因( 既+ 易，) 2 = ( 点k + 易，) ，所以 q ( 点k + 易，) = ”( 既+ 易，) ( e k + 局j ) + ( 甄4 - e j ，) 7 7 ( e k4 - 易，) ， 上式左右两边分别乘以既和易，得玩q ( e 。+ 局，) 蜀，= 0 从而 ( 玩) 易，+ 既_ ( 易，) = ( 口( 既) 既+ 既町( 既) ) 易j + 玩( q ( 玛，) 岛j + 易j h ( 马，) ) = 风q ( 既) 易，+ 既q ( 易，) 局，= e t q ( 既+ 蜀，) 易，= 0 ， 所以q ( e 。易j ) = 0 = q ( ) 易j + l ”( 马，) 令q l d = 6 l ，对任意a ，b d ，设a = ；j ，b = j 易j ，则 5 1 ( a b ) = 5 1 ( n 。既) t j = 5 1 ( 置。) ( 马，) + ( 。e ；) 毋( 局，) = j - ( a ) b + a 西( b ) t j l ， 3 第一章有限阶d i g r a p h 代数上的满足( + ) 条件的映射 即西是从可换的v o nn c u m a n n 代数口到a 的一个导子，从而由文f 6 ，定理 1 08 知，存在t a ，使得对任意d d ，有5 1 ( d ) = t d d t 定义一4 上的内导子6 ，使得5 ( a ) = t a a z a a 令矿= 町一6 ，显然 线性映射q 7 满足( ) 条件，并且目7 零化d 特别地，对任意z = 1 ，2 ，一，7 1 , ， 都有矿( 甄) = 0 证毕 引理2 2 设 e ， ( ；，) 是生成a 的矩阵单位，口：一a 为满足( ；) 条件的线性映射，且q 零化口，则存在s ”c ，使得q ( ) = s q e , j ，其中 ( z ，j ) a 证明设。j ，岛a 由于( 玩士) 2 = ( 玩士e , j ) ，所以 ，叩( 玩+ ) = q ( 丘。+ ) ( 玩+ e , j ) + ( 玩+ ) 町( + 岛) t 卵( 如一) 。q ( 层。一) ( 邑一) + ( 既一) 目( b 一日) 即 ，_ ( ) = _ ( ) 既十q ( 岛) + 既q ( 岛) + 岛q ( ) 。一叩( ) = 一口( 岛) 既+ 町( ) 一e 。q ( 岛) + q ( 岛) 上述两式分别相加，相减后得到 0 = q ( 岛) + 岛q ( ) ，( 1 ) q ( ) = 町( ) 层；+ 既q ( ) ( 2 ) 同理，根据( 易，士e ，) 2 = ( 易j 士e ，) ，可得 目( ) = 町( ) + q ( e , j ) ( 3 ) 由方程( 2 ) ( 3 ) ，则存在s ，t c ，使得 q ( 点b ) = s e 0 + e j ， 4 曲阜师范大学硕士学位论文 结合( 1 ) 得t = 0 ，即日( e ，) = s e 0 令8 = ，有q ( e 0 ) = g , j 证毕 由引理2 2 ，若线性映射口满足( ) 条件且零化口则存在s = ( 8 。) 磊( c ) ，其中8 。= 0 ，。= 1 ，2 ，使得对任意a = ( a ”) a 有卵( a ) = s $ a ，即h 为一4 上的s c h u r 乘积 引理2 3 设日：4 - 4 是个s c h u r 乘积映射； 町( a ) = s a ，a a ， 其中s = ( 8 l j ) 为一确定的矩阵且满足s 。= 0 ，仇= 1 ，2 ，n 则r 是一个导 子，当且仅当，对满足( 2 ，j ) ，( j ，七) ，( 。，k ) a 的任意。，j ，k ，成立+ s j k = 8 。k 证明如果q 是导子，则对任意( z ，j ) ，0 ，七) ，( 。，k ) a ，有 同时 q ( e 0 易k ) = ( e ) = 8 谵e k ， q 陋e | 心= q t e l 0 e ，k + e | n 0 e 3 曲= 8 0 e t 3 e | k + e u 8 ，k e 体= t 8 ”+ s j k ) e t k 从而8 ”+ 8 3 k = 8 d c 反之，对任意a ，b a ，设 a = 毛，b = 岛 ( t , 3 ) e a ( 1 ，j ) a 则对任意( z ，k ) a ，i ( a b ) 的第( 。，k ) 位置的数值为 8 l 女弓* = s 舭。毛 j， ，_ i c a ) b + a t i ( b ) 的第( 2 ，k ) 位置的数值为 s | j 6 ， + 8 j k a 。= ( + s j 加。* 333 5 第_ 掌壹壁! 阶d i g r a p h 代数上的满足( + ) 条件的映射 因总成立8 。+ s j k = s 墙，由人中的( 。，k ) 的任意性，我们有 q ( a b ) = 口( a ) b + a q ( b ) 即卵为导子证毕 引理2 4 设一4 厶( c ) ，b a 靠( c ) 是两个子代数，a 相似于侈，即存 在可逆矩阵x ，使得b = x 。4 x ，如果妒：b 一8 为线性映射，定义目为 一4 到自身内的映射； 则 q ( r ) = y 妒( x _ 1 t x ) x ，t a ， ( 1 ) 妒为导子当且仅当日是导予 ( 2 ) q 在a 上满足( ) 条件当且仅当妒在8 上满足( t ) 条件 证明如果妒是导子，对任意a l ，a 2 a ，有x a l x ，x 一1 a 2 x b ，从 而妒( x “a t x x “a 2 x ) = 妒( x “a l x ) x a 2 x + x a 1 x 妒( x a 2 x ) ， 于是x l p ( x - 1 a l x x 一1 a 2 x ) x 一1 = x 妒( x a l a 2 x ) x 一1 = x ( 妒( x _ 1 a 1 x ) x - 1 a 2 x + x a l x 妒( x a 2 x ) x _ 1 = x ( 妒( x _ 1 a 1 x ) x 。a 2 x ) x 。+ x ( x a 1 x 妒( x a 2 x ) ) x 一1 = x 妒( x 。a 1 x ) x “a 2 + a 1 x 妒( x 1 a 2 x ) x 即，7 ( a 1 a 2 ) = ”( a 1 ) a 2 + a l 目( a 2 ) ，”是导子 如果q 是导子，对任意b 1 ，b 2 艿 有x 且x ，x 玩x 一1 一4 ，从而 町b 1b 2 x - 1 ) = n ( x b l x “x b 2 x _ 1 ) = o ( x b l x 一1 ) x b 2 x 一1 + x b l x 一1 目( x b 2 x 一1 ) 即x 妒( b 1 8 2 ) x 一1 = x 妒( x 一1 x b l b 2 x 一1 x ) x 一1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 由引理2 4 ，我们仅需证明在上述7 + y - 代数上的满足( + ) 条件的线性映 射是导子即可 设a 是上述任意个代数，对任意a ，b a ，设a = ( ；，) a , j 岛，b = ( i ，f ) b k t e k t ，则有 ”( a b ) = 叩( 岛b k l 勖) = q ( 岛风) ， “j ) ( k ，1 ) o ，j ) ( 知i ) e a r l ( a ) b + a y ( b ) = q ( ) b k l e k , + q ( b k j e k f ) o jj ( ，j ) ( 4 j ) ( kz ) a = 垴加( 岛) 如+ q ( 魄) ) ( z ，j ) a ( k ) e a 下面来证明，对于a 中的任意矩阵单位，风f ，成立 q ( 岛魄) = q ( e , 3 ) 风l + q ( 风f ) 7 篁二垩查堡堕旦! 壁! 吐垡墼圭箜煎星! 1 2 叁堡堕堕堑 显然当4 是第3 个代数时，引理2 1 已给出证明 当是第6 个代数时，我们分以下八种情考虑 ( 1 。) 当z 七时，由引理2 1 的证明过程，我们已有 吼既e k k ) = q ( e 。) e k k + 鼠q ( 风如 ( 2 。) 当z j 1 0 a 时。由引理2 2 的证明过程，有 q ( 岛e , 2 ) = q ( 岛) + q ( 岛) ( 3 。) 当。j ，a 时，根据( 玩+ 岛) 2 = 既+ 岛，( e 2 j + e , 2 ) 2 = 局，+ 所以 ，q ( 死+ e , 2 ) = q ( + ) ( 最；+ e , 2 ) + ( 最；+ e , 2 ) q ( 最；+ e , 2 ) 、q ( 易，+ e , 2 ) = 目( e 2 ，+ 岛) ( 十) + ( 易，+ 毛) 7 7 ( 局，+ 毛) 结合( 2 。) 展开化筒后得 叩( e , 2 ) = q ( 岛) 既+ q ( 岛) + 叩( 玩) + 最。卵( 岛) ，( 1 ) 目( e , 3 ) = q ( ) 易，+ j 0 口( 易，) + q ( 易，) j 0 + 易，目( e , 2 ) ( 2 ) ( 1 ) j 弦乘玩得既 ( 岛) = e 。目( e , 2 ) 玩+ 岛町( 玩) + e 。q ( 既) + e ；q ( ) ， 从而 ”( 玩) = 一e ；q ( ) 玩一e 。”( 瓯) ， ( 3 ) ( 2 ) 式右乘玩得 目( 岛) 甄= e , 2 q ( 岛j ) 鼠+ 局，q ( 岛) & ，( 4 ) ( 3 3 ( 4 ) 两式相加得 q ( ) 既+ 毛目( 以) = e , 2 q ( t 2 j ) 既+ e 2 j q ( 岛) 玩一玩q ( e , j ) 玩一e t c e ) ， 8 曲阜师范大学硕士学位论文 由q ( 玩) = 矸( e i 。) 最+ e 。叩( 既) ，左右两边分别乘e 。和e 0 得 e ；町( 邑) 点= 0 又将( 2 ) 式左右分别乘点k ，得 玩q ( e , j ) 风= q ( 日，) 玩 所以 ”( ) 既+ 岛”( 丘。) = q ( ) e 。 因4 是第6 个代数，直接验证可得只要e 0 a ，总有 马，町( ) 玩= 0 于是口( 岛) e 。+ q ( e 。) = 0 ，同时结合( 1 ) 式又有町( f 0 ) = 日( e j + 正k q ( e ，) 同理，将( 1 ) 式左乘易，与( 2 ) 式右乘易，相加后得 町( 易，) + 易，q ( 毛) = 玛，”( e , j ) 既+ s j j 叩( 邑) s , j 一口( 易，) 局，一易，町( ) 局， 由q ( 易，) = ”( 易，) 易，+ 易，q ( 易，) ，左右两边分别乘e 0 和易，得 点k q ( 马，) 易，= 0 将( 1 ) 式左右分别乘岛，得 马，目( 岛) 马，= 易，q ( 既) 岛 又结合易，q ( j 0 ) 置。= 0 ，得到q ( 局，) 1 0 + 易j q ( 岛) = 0 ，结合( 2 ) 式又有 叩( 岛) = q ( 岛) + 岛町( ) 我们有 目( 既) = 目( 玩) 岛+ 既q ( ) ， 9 第一章有限阶d i g r a p h 代数上的满足( + ) 条件的映射 目( 岛玩) = 叶( e , j ) 既+ 岛q ( 玩) ， ”( ) = ( ) + q ( ) ， q ( 弓，e , 3 ) = q ( 易，) e 0 + 局j 日( 岛) ( 4 。) 当z ，j ，k 互不相等，岛a 时，由于( 取k + e 。+ 0 ) 2 = j + 晟t + 玩，所以 目( b + 风+ e , j ) = 日( 取+ 取+ ) ( 取k + 既+ ) + ( 玩+ 风+ ) 目( 玩 + 既+ ) 结合( 1 。) ( 2 。) ( 3 。) ，展开化简上式后得 7 ( 最k ) + e k k ( 毛) + 卵( ) e k k + 岛q ( 风k ) = 0 ( 5 ) 应用_ ( ) = _ 旧) 岛+ 鼠日( 岛) ，口( e h ) = 口( e “) 展女+ 尾t 口( ) ，( 5 ) 式即 为 鼠口( 鼠k ) e , j + e k k q ( 玩) 岛+ 最。q ( ) 玩k + ，7 ( e k k ) e k k = 0 ( 6 ) 将( 6 ) 式右乘玩k 得 邑口( ) 风k + 民q ( e k k ) e k k = 0 ， 即”( _ ) + e , 3 q ( 鼠k ) = 0 结合( 5 ) 式又有q ( 点) j + e k k ( 丘0 ) = 0 所以 q ( 风岛) = q ( 最k ) 岛+ e k k ，7 ( ) ， ”( ) e k k = 目( 岛) e “+ 岛叮( e “) ( 5 。) 当z j ，岛a ，易，a 时，由于 ( 玩+ 易，一一易。) 2 = 2 ( 既+ 易，一毛一易。) ， 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 即 f 墨! 墨2 二鱼二墨1 1 2 ：墨! 墨2 二丝二墨! 、 n ， n ， 从而 2 q ( + 岛j e 易一局。) = q ( 邑+ 易，一最，一易；) ( 风+ 易j 一一易。) + ( 既+ 易3 - - e b 一易。) q ( 玩+ e 0 一层，一易。) 结合( 1 。) ( 2 。) ( 3 。) ，整理后得 q ( 置；) + _ ( 岛，) = 叩( 岛) 目；+ 岛q ( 易。) + q ( 易；) 点0 + 易；q ( 最，) ( 7 ) 将q ( ) = 目( 既) + 邑q ( ) ，町( ) = 目( e , j ) + 7 7 ( ) ， 目( 易；) = q ( 日j ) 岛。+ 岛，q ( 局。) ，町( 易。) = 町( e j 。) 风+ 易。”( 玩) 代入( 7 ) 式得q ( ) + q ( 目，) = q ( e j + e ；q ( e 0 ) 易。+ 既q ( e 。) + 岛q ( 易。) e ； 从而 + 町( 易，) 易，+ 岛j q ( 易。) e 0 + 易j q ( 局j ) + 马；q ( ) 局j 鼠q ( ) 岛t + 岛q ( ) 玩+ 勘q ( ) + 局t q ( ) 易，= 0 ( 8 ) 将( 8 ) 式左乘局，得 于是 易，”( 易；) 邑，+ 易；q ( e , j ) 局，= 0 q ( b ) + 矸( 局，) = q ( ) 岛。+ 目( 易。) + 口( 易，) 易，+ 易j 町( 日。) 岛 + 马，_ ( 易，) + 易川( 毛) 目j = 口( 点0 ) 岛。+ 日( 易。) + q ( 易j ) 箜二里查垦堕旦熊! 业垡塾占丝煎星f 1 2 叁堡塑噻堑 得到h ( 既) = ”( e 0 ) 局；+ 毛q ( 易囊 所以 q ( 岛局z ) = 可( ) 易；+ 岛口( 岛；) ( 6 。) 当。，j ，z 互不相等，f 0 a ，l 6 a 时，根据( + 玩+ j 乙+ e f ) 2 = ( 易j + 局l + 0 + 最1 ) ，则有 q ( + 而+ 玩+ 玩) = 叩( 易j + 玩+ + 玩) ( 易，+ e f l + + 岛) + ( + 玩+ + 玩) q ( 易，+ 玩+ 岛+ 玩) 结合( 1 。) ( 2 。) ( 3 。) ( 4 。) ，整理得 ”( ) 风+ e l j 口( 玩) + q ( e 1 ) 岛+ 玩q ( ) = 0 将q ( 岛) = q ( 岛) 易，+ 岛q ( ) = t 7 ( 日。) 乜+ e 。q ( ) ， 目( 岛) = 目( 鼠) 勖+ e g q ( 局f ) = q ( 玩) 风+ 鼠q ( 日) 代入上式得到 目( 岛，) + q ( 或。) + 岛目( 岛) + 蜀q ( 既) = 0 ( 9 ) ( 9 ) 式左乘玩得 岛q ( 马，) e z + 叩( e f ) e f = 0 ， 即目( 岛) 玩+ 毛日( 玩) = 0 同理，当# ，j ，互不相等，e b 一4 ，点k a 时，考虑( 点+ 最k + + ) 2 = ( 玩+ 取k + + ) ，结合( 1 。) ( 2 。) ( 3 。) ( 4 。) ，可得目( e j ) + 日( e b ) = 0 所以 口( 玩) = q ( 岛) 风十岛q ( 玩) ， q ( ) = 口( 岛) + 岛_ ( ) 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 7 0 ) 当。，j ，k 互不相等，岛一4 玩。a 时，则亦有最口= 鼠。e , j 考虑 町( 既+ + + ) = ”慨+ 岛+ 既+ ) ( 蜀+ 岛+ 既+ ) + ( 既+ + 风+ ) 口( 既+ - 4 - 玩+ ) 结合( 2 。) ( 3 。) ( 4 。) ( 6 。) ，整理得 ”( ) = q ( ) 鼠。+ 岛q ( 玩。) + 口( 既) 岛+ 玩”( ) ( 1 0 ) 将q ( ) = , j ( e k k ) + e k k 0 ( ) ，”( 最；) = 町( e k k ) e k , + g k k q ( e k 。) ， q ( ) = q ( e ；) + e ；叩( ) 代入( 1 0 ) 式，得到 q ( 鼠女) + 玩聊( ) = e 。q ( 岛) 鼠；- 6 岛q ( 峨i ) 玩+ ”( 鼠。) 岛+ 觑。_ ( ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 式左右两边分别乘玩得 局； ( ) 既+ 目( 鼠k ) e k 。= 0 ， 即q ( 毛) 风。+ 岛”( 鼠。) = 0 ，结合( 1 0 ) 式又有q ( ) = q ( 取。) 岛+ 最。q ( ) 于是 口( 岛既) = ”( ) 鼠。+ 岛q ( 玩) ， q ( 圾。岛) = q ( 舷。) + 玩；q ( ) ( 8 。) 对于互不相等的。，3 ，k ，f ，当正0 a e k z a 时，考虑 。町慨+ 玩+ + 玩) = 目( e t + 玩+ + 鼠f ) ( e 。+ 风k 十岛+ 玩1 ) + ( 玩+ 玩k + + 鼠1 ) 6 ( 甄+ 最+ + e k ) 结合( 1 。) ( 2 。) ( 3 。) ( 4 。) ，整理得 q ( 岛) e k z + 岛q ( 玩2 ) + q ( 如) 岛+ f q ( 岛) 1 3 第一章有限阶d i g r a p h 代数上的满足( + ) 条件的映射 = q ( ) e k z + 岛 7 ( e k k ) e k f + 最f 口( 玩) e , j + 砜q ( b ) = 0 ( 1 2 ) 将( 1 2 ) 式右乘e t , 得 岛q ( ) e k t + e j q ( e k k ) e k t = 0 ， 即叩( 毛) e k l + 岛l ( e k t ) = 0 于是 目( e k l ) = q ( 岛) e k l + 岛7 ( 耽) 以上我们证明了当4 是第6 个代数时，对于4 中的任意矩阵单位e ，玩f ， 成立q ( 岛鼠f ) = q ( ) e k l + e j q ( 玩) 如果一4 是第4 或第5 个代数，证明过程同( 1 。) 至( 8 。) 如果a 是第1 或第2 个代数，我们对( 3 。) 中的证明易，q ( 点0 ) e k = 0 的 过程作如下改动 显然，当岛a 时，亦有易。a ，由( 2 。) 的结果q ( 岛) + 毛t 7 ( 岛) = 0 ，将其左右两边分别乘易。和 ，得历j q ( 民) e 。= 0 其它的证明过程同( 1 。) 至( 8 。) 如果a 是第7 个代数，对( 3 。) 中的易，口( ) 丘k = 0 的证明可通过结合 对第1 个代数和第6 个代数的证明过程得到，其余同( 1 。) 至( 8 。) 综上所述，任取一4 为上述7 个代数之一，任取一4 中的矩阵单位e l 。鼠z ， 总有 q ( e j 鼠1 ) = q ( ) e k t + q ( ) 所以竹是导子证毕 洼同引理2 5 ，如果一4 如( c ) ，则 是导子 定理1 的证明由引理25 ，当4 如( c ) 或坞( c ) 时，q 是导 子，因此我们假设馆4 由引理2 1 和引理2 2 ，日是4 上的s c h u r 乘积映射 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 并且我们可假设，存在矩阵s = ( s 。) 。使得= 0 ，。= 1 ，2 ，竹，且 q ( a ) = s a ，v a a 隹甜 = o _ 1 i 。， 1 5 箜二里查堕堕里坚! 业垡墼占塑煎星( 塑叁堡塑堕壁 同理，可以得到6 的s c h u r 矩阵是 ( 。苫) 我们仍然有8 ”+ 8 3 k = 8 n + 8 , k = 0 + 8 , k = 8 , k 矛盾 所以r l 是导子证毕 由定理1 ，我们容易得到如下推论，此是 3 】中的主要结果 推论2 设4 是有限阶d i g r a p h 代数，则a 上的每个局部导子都是导子 我们可以将定理1 推广到具有逼近( + ) 条件的映射上 定理3 设a 是有限阶d i g r a p h 代数，町：a 4 是有界线性映射，若 对任意幂等元p a ，都存在伽：a 一4 为满足( ) 条件线性映射，使得 q ( p ) = l i m 珊( p ) ， 则q 满足( t ) 条件，进而_ 是导子 证明由r h , ( p ) = ( p ) p + p ( p ) 故町( p ) = r i ( p ) p + p r i ( p ) ，所以q 满足( t ) 条件，进而q 是导子 推论4 设4 是有限阶d i g r a p h 代数，”：a 一4 是逼近局部导子，则 是导子 定理5 嘲设r 是一个含有单位元的交换环，并且i 1 存在，令a = 靠( r ) ， m 为一个对偶a 一双模如果线性映射r l ：a 朋满足( + ) 条件( 持别 的，如果7 7 是一个局部导子) ，则r l 是一个导子 虽然此结论m a t e jb r e s a r 和p e t e r 雪e m r l 在【5 】中证明过，但我们可以 用另外不同的方法给出证明，它类似于引理2 5 中的对第1 个代数的证明。在 此略过 类似于局部2 - 导子和局部2 一自同构的概念，我们容易引入下列概念： 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 定义设一4 为有限阶d i g r a p h 代数，”a 4 映射( 无线性条件) ，若 对任意幂等元p ，q a ，存在q p q ：a a 为线性映射且满足( ) 条件，使 得 v ( p ) = 豫o ( p ) ，y ( q ) = 叩p ，口( q ) 称目满足局部2 的( ) 条件 我们有下述问题； 问题q 满足( ) 条件吗? 1 7 第二章可换子空间格代数间的线性映射 2 1 引言 设，t 为可分的h l l b e r t 空间。用b ( n ) 表示h 上的所有有界线性算子的集 合咒上的子空间格，是指由竹中的闭子空间组成的集类c ，且满足z0 c ， 咒c ，并且对于c 中的任意一族子空间f 尬 ，有a m r c ，v m r c ，其中 a 露表示子空间集 m r 的交，v 坼表示子空间集 m 线性张成的“的 闭子空间由于咒中的每个闭子空间k 与“到k 上的正交投影b r 对 应，因此我们常常将闭子空间k 和投影p u 不加区分于是，我们也可以用投 影的语言叙述子空间格的定义，此时，a p 厶和v p 知，分别表示h 到闭予空 间a 尬和v 坛上的正交投影着对任意投影p i q c 有尸q = qp 则称 c 为可换子空间格，简记为c s l ；进步地，若可换子空间格c 满足完全分配 率，则称c 为完全分配的可换子空间格用a l g c 表示使得格c 中的每个投 影不变的所有有界线性算子构成的集合，即a l g = f 謦) it p = p t p , v p c ) 易证，a l g c 为8 ( 氕) 中的弱算子闭的子代数且咒上的恒等算子， 属于a l g c ，我们称之为c 的子空间格代数 可换子空间格代数是一类十分重要的非自伴算子代数，它包含了套代数， d i g r a p h 代数等本章主要研究可换子空间格代数问的局部映射同题和保持问 题由于套的良序性，套代数中的相关问题已有较完善的结果，但对于般的 可换子空间格代数，人们的研究仅限于有限维的情形在 3 和【1 5 】中，c r l s t 证明了有限维可换子空间格代数上的局部导子是导子，局部自同构是自同构或 反自同构；在f 2 3 1 中，x i e 和l u 研究了有限维可换子空间格代数上的2 一局 部自同构，在对称性条件的假设下，证明了每个2 - 局部自同构是自同构，而 在一般情形下，该结果不再成立在f 4 1 中，d o nh a d w m 和j i a n k ml i 研究 了完全分配的交换子空间格代数上的线性的满的2 局部等距自同构，证明了 每个这样的映射为等距自同构 曲草师范大学硕士学位论文 定义设一4 和8 为n 4 结合代数，”：a b 为线性映射，若对任意 a ，b a ，有 t _ i ( a b + b a ) = 目( a ) 叩( b ) + y ( b ) 7 1 ( a ) ， 则称町是一个j o r d a n - 同态 易知q 是j o r d a n 同态当且仅当，对任意a a ，成立7 ( a 2 ) = 7 ( a ) 2 在f 5 1 中，m a t e jb r e g a r 和p e t e r 雪e m r l 证明了：若r 是个有单位元的交 换环并且 存在，召是r 上的任意线性代数，如果线性映射0 ： 矗( r ) - 8 保幂等元即0 将。( r ) 中的每个幂等元映为8 中的幂等元，则0 是一个 j o r d a n - 同态本文我仃】将证明，有限维h i l b e r t 空间上的可换子空间格代数 间的保幂等元的线性映射也都是一个j o r d a n - 同态，即下面的定理1 定理1 设c 是有限维h i l b e r t 空间咒上的一个交换子空间格，” a l g c a l g f - 为保幂等元的线性映射即满足；对任意v p 2 = p a l g c ，有 q ( p ) 2 = 7 i ( p ) ，则q 是j o r d a n 一同态 注在【4 】中，h a d w i n 和l l 给出了定理1 的结论，但并未给出证明本 章将借助于矩阵单位的技巧，给出此结果的一个初等证明 设a 是一个线性代数，称线性映射”：a 一4 为局部自同构，如果对 任意a a 存在一4 上的自同构驰，使碍f f ( a ) = ，_ i a ( a ) 称映射( 不一定是 线性的) ”：a - 4 为2 一局部自同构，如果对任意a ，b a ，存在自同构 讹口一4 ，成立 _ ( a ) = y a ，b ( a ) ，q ( b ) = 町a ，口( b ) 类似地，我们可以定义局部反自同构，2 局部同态及2 局部反自同构等如 果4 是个口代数，也可定义2 局部+ 一自同构和2 局部t 一同态的概 念本章我们利用类似于【4 1 中h a d w i n 和l i 的方法，对完全分配的可换交换 子空间格代数上的2 - 局部等距反自同构进行了研究，得到了如下定理t 第二章某些算子代数问的局部映射 定理2 设c 是h l l b e r t 空间 上的一个完全分配的可换交换子空间格， 如果q 是a l g c 上的线性的满的2 - 局部等距反自同构映射，则q 是一个等距 反自同构 2 2 保幂等元的线性映射 本节主要证明定理1 ，我们需要下面两个引理 引理2 1 设咒和瓦为两个h l l b e r t 空闻，a 和侈分别是b ( n ) 和b ( c ) 内的两个子代数，且4 和艿相似，即存在可逆线性映射t 8 ( 咒，t c ) ，使得 a = t 4 口t ，若口是4 到自身内的线性映射，定义0 为8 上的线性映射t e ( b ) = t o ( t 。b t ) t ，b b ，则 ( 1 ) ”是j o r d a n - 同态当且仅当口是j o r d a n - 同态 ( 2 ) q 保幂等元当且仅当0 保幂等元 证明易知0 为8 到自身内的线性映射，并且对每个b 嚣，有口( b ) 2 = t 7 i ( t - 1 b t ) 2 t 一，因此，目( b ) 2 = o ( b ) 当且仅当 ( 丁- 1 b t ) 2 = u ( t b t ) ，v b 8 ，此当且仅当口) 2 = 目( a ) ，v a 8 因此”是j o r d a n 一同态当且仅当0 是 j o r d a n - 同态 设p b 为幂等元，则丁- 1 p 丁为一4 中的幂等元，因此口( p ) 2 = o ( p ) 当 且仅当y ( t 。p t ) 2 = o ( t p t ) 故”保幂等元当且仅当0 保幂等元证毕 g 哩2 2 设c “为1 1 维复向量空间，c 是c ”上的交换子空间格，一连= a l g e 矗( c ) 为相应的可换子空间格代数，设0 ：4 一4 是保幂等元的线 性映射，则0 为4 上的j o r d a n - 同态 证明不妨设c = o ，p l ，p 2 ，p a ，p 竹。“，其中只 厶( c ) 为投影 由于只只= 只只，v z ，j ，则由高等代数知识，它们可以同时对角化，即存在 酉算子u 厶( c ) ，使得u 只扩都是对角距阵，。= 1 ，2 ，n 令c = 睦阜