（基础数学专业论文）通过非线性边界流耦合的热方程组的blowup分析.pdf

洪亮；通过非线性边界流耦合的热方程组的b l o w - u p 分析 摘要 本论文主要讨论了通过非线性边界流耦合的热方程组的临界指标，以及奇性 解的渐近性分析( b l o w - u p 速率) 我们特别引进了包含所有这些非线性指标的特 征代数方程组，以简洁而本质地刻鸢所有非线性指标之间的这种相互作用，并讨 论了临界指标与爆破速率等解的性质之闻的本质联系 在第一章绪论中主要介绍了本文所研究问题的实际背景及发展现状在第二 章中我们首先引入与系统参数有关的特征代数方程组，用以统一而简洁地刻画所 研究间题的临界指标等关键特征，随后利用临界指标我们得到了系统解的整体存 在和有限时刻b l o w - u p 的判定准则在第三章中得到了此热方程组的解的爆破速 率估计 关键词：非线性边界流；临界指标；整体解；爆破；爆破速率 盔垄望三奎堂塑主堂垡丝塞 b l o w - u pa n a l y s i sf o rh e a te q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a rb o u n d a r yf l u x a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t hc r i t i c a le x p o n e n t sa n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n s ( b l o w - u pr a t e ) t oah e a tp a r a b o l i cs y s t e mc o u p l e dv i an o n l i n e a rf l u x b yi n t r o d u c i n g ac h a r a c t e r i s t i ca l g e b r a i cs y s t e ma s s o c i a t e dt ot h ep r o b l e m ，w eg e tbc l e a rd e s c r i p t i o n o nt h ec r i t i c a le x p o n e n t sa n dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n s ，r e s p e c t i v e l y i nt h ei n t r o d u c t i o n ，w ea v et h eb a c k g r o u n dt ot h es t u d yo fn o n l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o n s i nc h a p t e r2 ，w ee s t a b l s ht h ec r i t i c a lb l o w - u pe x p o n e n t sf o rt h ec o u p l e d n o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，w h e r et h es oc a l l e dc h a r a c t e r i s t i ca l g e b r a i cs y s t e mi s i n t r o d u c e d i nc h a p t e r3 ，w ee s t a b l i s ht h eb l o w - u pr a t e so ft h e p r o b l e m k e yw o r d s ：n o n l i n e a rf l u x ；c r i t i c a le x p o n e n t ；g l o b a ls o l u t i o n s ；b l o w - u p ；b l o w - u p r a t e 独创性说明 作者郑重声明。本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果。也不包含为获得大连理工大学或其他单位的学位 或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中 做了明确的说明并表示了谢意 作者签名：逝日期，兰生皇j 胡7 罚 洪亮通过非线性边界流耦合的热方程组的b l o w - u p 分析 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解。大连理工大学硬士、博士学位论文版 权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版。允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编学位论文 作者签名，盗! 碰 导师签名 塑五年 3 7 1 绪论 这一章我们首先介绍本文所研究问题的实际背景，发展状况以及本文 的主要内容之后叙述本文应用的主要理论工具一最大值原理和比较法则 1 1 引言 非线性科学是当代科学重要而活跃的研究领域从自然现象提出的非线性 模型中，非线性抛物方程模型占有相当的比例。例如，自然界广泛存在的扩散现 象，渗透理论，相变理论，生物化学以及生物群体动力学等领域都提出了这类方 程由于自然界的极端复杂，所提出的模型也是极端复杂的对于非线性抛物方 程( 组) 来说，非线性项可以是反应项、扩散项、对流项、边界项以及它们相互 之间各种不同的耦合关系所有这些各不相同的非线性项都有可能导致解的奇性 产生本论文的目的就是研究各种非线性项相互作用时，对解的奇性的影响 我们先来回顾一下前人所做的工作对于半线性方程( 组) 的情形，已经有很 系统的结果，在文献【18 中，f r i e d m a n 等 考虑了撕= u + 妒且附加d i r i c h l e t 边值条件的初边值同题。他们得到解整体存在和有限时亥j 爆破的充要条件以及爆 破速率估计，爆破速率为( t t ) 一豳0 1 ) 在文献【1 7 】中，l 6 p e z - g o m e z 等 考虑了初边值问题 t 妊= u ，( 茁，t ) n ( 0 ，t ) ， 丹_ ， 丢三= 9 ( 乱) ， ( 2 ，t ) i ，n ( 0 ，t ) ，( 1 1 1 ) v u ( 霉，0 ) ；u o ( 毋) ，$ n ， 碍到了问题解整体存在和有限时刻爆破的充要条件。在文献1 6 】中，丑h 和y i n 研 究了系统( 1 1 1 ) 中g ( u ) = 妒的情况下的爆破速率估计，爆破速率为p t ) 一j 南 0 1 ) 在文献1 1 9 】中，r o d r f g u e z , - b e r n a l 和t a j d n e 研究了具有吸收项的半线性 方程 毗= t 上一，( 乱) ， ，t ) q ( 0 ，t ) ， 筹刊咄 ( 州) 8 q ( o it ) 扯1 ，2 ) t ( 嚣，0 ) = t 幻( 霉) ， 2 矗。 得到了系统解整体存在和有限时刻爆破的条件 3 大连理工大学硕士学位论文 在文献 1 3 ，1 4 ，2 0 】中，郑斯宁研究了具有d i r i c h l e t 条件的初边值问题 t t = t 上十t 正乱伊1 ，t ) n ( 0 ，r ) ， 铆= u + 让相矿2 ，扛，t ) q ( 0 ，t ) ， r 11 吼 u ( $ ，t ) = ( ，t ) = 0 ，( z ，t ) 6 l n ( 0 ，r ) ， 、。7 t ( ，0 ) = t 正o ( 王) ，口( 王，0 ) = ”d ( 茁) ， z n ， 得到解整体存在、整体有界和有限时刻爆破的条件，并在一定的假设条件下得到 口的爆破速率分别为( t t ) ，( t t ) 一，这里r 是爆破时间，而q ，卢是以下 线性矩阵方程组的解 rp 1 一i口1 、，口、一，i 、 脚q 2 1 卢一、1 王明新在文献【2 2 】改进了上述问题中关于爆破速率的研究，去掉了【蝎中的某些 条件也得到同样的爆破速率结果 对于附加n e u m a n n 边界条件的初边值问题 u t = u ，仇= ，( q t ) n ( 0 ，? ) ， 塞= u 口1 矿z ，塞= t 钰庐， ( 叫) 鼬( o t ) ， ( 1 1 4 ) u ( o ，0 ) = t 幻( 嚣) ， ( z ，0 ) = o ( o ) ，$ n ， d e n g 在文献【2 4 】中对q l = 翔= 0 的情形做了研究，得到解整体存在和有限时刻 爆破的充要条件，后来王明新在文献【2 3 】中得到解的爆破速率估计， u ，”的爆 破速率分别为( t t ) 一，p t ) 一。这里卢如上， 自1 9 6 6 年f u j i t a 对半线性抛物方程( 1 ) 啦= u4 - 矿的研究取得关于临界 指标的开创性成果以来，包括a f r i e d m a n ，丑l e v i n e ，f w e i s s l e r ，y g i g a ，v a g a l a k t i o n o v 在内的批著名数学家进入这一研究领域方程( 1 ) 的f u j i t a 临界指 数标为p c = i + 2 i n ( n 为空间维数) 和p o = 1 ：当p 曼珈时初值问题的解整体存 在；p o p p c 时解对大初值有 限时刻爆破，对小初值整体存在此后，人们开始研究各种非线性抛物方程和方 程组的f u j i t a 临界指标，例如对非线性扩散方程( 2 ) 砘= t ”+ 妒有p 0 = m 和 p c = m + 2 ，上个世纪九十年代以前和九十年代关于临界指标的研究工作的综 述分别见文献【2 5 】和【2 6 】 本文第二章、第三章正是在这些前人工作的基础上，对t = 让，吨一。附 加潞= 钍幻伊4 - u m ，g | = 牡口廿一必为边界条件的初边值问题进行研究，得到了 解整体存在和爆破的临界指标以及爆破速率 1 2 预备知识以及发展现状 本节首先介绍了反应扩散系统的相关知识以及本文所凭借的主要理论工具t 最 大值原理和比较法尉，接着介绍反应扩散系统的爆破理论以及奇性传播问题下面 我们给出反应扩散系统的相关基础知识 4 洪亮t 通过非线性边界流耦合的热方程组的b l o w - u p 分析 1 2 1 反应扩散系统 在数学上通常把以下半线性抛物型方程组 甓= d ，t ) u + ， ，u ，v t ) ，( t t ) n r + ) ( 1 2 i ) 称为反应扩散系统，其中nc ，m m 1 ，$ = ( 1 ，霉。) ，t = ( u 1 ，) 竺= ，( 2 芸，瓷嚣蔷器； 凛1 ，_ l 擘，器) ，0 = l ，m ) ，d ( 霉，u ) = ( 奶( $ ，t ) ) ，( t ，j = ，2 ，m ) 。 u ( z ，0 ) = ：u o ( 。) ，。r ，( 1 , 2 2 ) 和各种边值问题，即ncr ，有界，讹表示n 的边界，方程( 1 , 2 1 ) 满足边界条 件 ( 1 ) d i r c h l e t 条件； u ( z ，t ) = g ( $ ，t ) ，( $ ，t ) 0 nxi 扩；( 1 2 3 ) ( 2 ) n e u m a n n 条件l 未= 如，( 叫) a q r + ； ( 1 2 4 ) ( 3 ) r o b i n 条件 爰+ h ( z ，t ) = 9 ( 写，t ) ，( $ ，t ) a q r + ； ( 1 2 t 5 ) ( 1 2 1 ) 的与时间无关的解满足 一d ( ，u ) 钍= ，( 文v u ) ， 茁n ， ( 1 2 6 ) 我们把定常问题( 1 2 6 ) 与( 1 2 3 ) ，( 1 2 6 ) 与( 1 2 4 ) 或者( 1 2 6 ) 与( 1 , 2 5 ) ( 其中 g ( 毛t ) 兰口( 。) 一l i n l + 。9 ( z ，t ) ) 的解称为( 1 2 1 ) 与( 1 2 3 ) ( 或( 1 2 4 ) 与( 1 2 5 ) ) 。 ( 1 2 2 ) 问题的平衡解或定态解( 1 2 1 ) 的空闻均匀的解满足常微分方程组 豢= ，( u ) ，( ，( u ) ；球，u ，v u ) ) ( 1 2 _ 7 ) 还可以研究( 1 2 1 ) 的行波解u ( 茁，t ) = u 和一矗) ( 设n = i ) 由于( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) 是( 1 2 1 ) 的特殊形式。我们也把( 1 2 1 ) ( 1 2 e ) o 2 7 ) 的耦合组称为反应扩散方程 组 ( 1 2 1 ) 中的d 和，也可依赖于t ，d ( 甄t ) u 也可以替换为非线性抛物算子， 边界条件也可以是非线性的，也可以是一个泛函。等等 反应扩散方程研究中的基本问题是- ( i ) ( 1 - 2 1 ) 的行波解的存在唯性及稳定性 5 大连理工大学硕士学位论文 ( n ) ( 1 2 1 ) 的平衡解的存在性，尤其是当问题依赖于某些参数时平衡解的分 叉结构以及平衡解的稳定性问题 ( n i ) ( 1 2 1 ) 的初值问题、初边值问题的整体解( 包括周期解和概周期解) 的 存在唯性及稳定性 ( i v ) 当解没有整体解时解在有限时刻的4 爆破”( b l o w - u p ) 问题。以及解 的其他性质例如。熄灭区”( d e a dr e 咖n ) 和奇性传播( s i n g u l a r i wp r o p a g a t i o n ) 问 题 ( v ) 计算方法问题解决( i ) ( i v ) 中各种问题的计算问题有一些困难，需要发 展一些新的行之有效的计算方法 1 2 2 相关基本概念 本节我们介绍一些与本文研究相关的基本概念首先引入具有如下初边值条 件的抛物型方程的一般形式- 豢+ 三弘一，扛，厶t ) ， o ，t ) o t ， 旦 ；g ( 茹，t ) ，(。，t)st，(i 2 8 ) t ( o ，0 ) = ( 击) ， o q ， 其中 址一轴删) 磊+ e 轴咐) 嚣， 鼠u 一口篆+ 6 ( 。，t ) ( 霉，t ) 岛， ( 1 2 9 ) f t t = 芸+ l m q t = q x ( 0 ，t ) ，s = a qx ( 0 ，? ) ， ( 。，t ) ，( z ，t ) c ( q r ) ，一r 是0 t 上的抛物算子 定义1 1 爆破 若存在常数t ( 0 0 ， 0 范围内的实值函数，g 为连续函数，那么 我们在g 1 空间内对于缸 0 ， 0 ，考虑系统t 嘶= 让+ ，似i ) ， 仇；u + 9 ( u ，) 6 若存在厶( t ，。) 0 ，且轧( t ，u ) 0 ( 其中u 0 ，口 0 ) 。则我们称此系统为奎耦 合的t 反之则称之为完全非耦合的 1 3 基于最大值原理的比较法贝q 以及上下解方法 本节我们给出在以后章节中经常使用的一些基本原理及公式 1 3 1 最大值原理和比较法则 最大值原理和比较法则是反应扩散系统的理论基础，通过这些原理可以引 出研究抛物方程( 组) 解的有效工具一上下解方法，也可以对解的上下界进行估 计，讨论解的爆破性以及对爆破速率进行估计由于这些原理在本文中使用频率 较高，故在此我们不加证明的给出最大值原理和比较法则的几种形式 设f 2 是r n 中的区域，写= ( 。l ，x 2 ，z n ) q ，0 t = n ( o ，t ) ，珊= a n ( o ，t ) 唔 l 三杀一二o + c ( ，t ) ， 0 ，t ) q t ， 兰n 咖 t ) 禹+ 砉槲) 玉， 兰i j = 1 咖 t ) 磊+ 否槲) 玉， b u = 口p ，t ) 筹+ 6 江，亡) t ， 扣，t ) r r - 对上述算子，我们假设t ( 1 ) ( 毛t ) ，玩( z ，t ) ，c ( z ，t ) 都是q t 中的连续函数i ( 2 ) l o 在q t 内一致椭圆，即存在正常数如，d 1 ，使得对任意的( ，q t 及 任何非零实向量f = ( a ，缸，如) ，都有 此时，工在e r 内是一致抛物的 ( 3 ) 在q t 内c ( 。，t ) 有界； ( 4 ) 口( 蕾。亡) 妇，t ) 在聊上非负连续且b ( 嚣，+ b ( x ，t ) 0 在以上假设下，我们有如下强极值原理 定理l 。l 设u ( z ，t ) c 2 a f ) ，且在q t 申满足一l o u o 一l o uso ) 如果u ( z ，t ) 在0 r 内部某点( 。o ，亡0 ) 达到最小值m 溅最大值m 那么在0 r 中，u ( z ，t ) = mr 或u ( 嚣，t ) = m j 即若t ( z ，t ) 在口了内不为常数，则u ，t ) 只 能在珊上取得最大值和最小值，如果a n 还满足内切球条件且在珊上的莱点 ( z o ，t o ) 达到最小值绒最大值 那么当u ( z ，t ) 在q r 内不为常数时，在0 0 ，t o ) 处 有嘉 o ) 定理1 2 设u ( x ，t ) a 2 1 ( q t ) n o ( 磊) ，对于任意( $ ，t ) q t ，c ( z ，t ) 0 且工t 冬 7 屯 一 白 e如 叼 0 ，而c ( z ，t ) 是一个定义干q t 的有界 函数，则u ( 茁，t ) 0 干砺而且若在璐上t ( 岛0 ) 不恒等于零，则u 亡) o 千q r 对于方程组的情况我们也引用一个正性引理( 【8 】第4 8 0 页引理5 1 ) ： 引理1 2 若函数b 1 2 ，b 2 1 ，吼和凡一= i ，2 ，在它们的定义域中都是非负的，且 矾o ( 。) f ； = l ，纠非负且不恒为零。则如下方程组存在唯一正解 ( u t ) t l i 砺一q 砺= 承， ，亡) e q r ， 等= b t l 0 1 + 6 2 沈+ ，江l ，2 ，( 茁，t ) 野， 砜( 为o ) 号阢o ( $ ) ，n 1 3 2 上、下解方法 下面我们引入一些基本概念和解决问题常用的方法 考虑抛物方程的初边值问题 t h 一u = ，( 霉，t ，钍) ，( o ，t ) 0 7 ， b u = 9 ( x ，t ，u ) ，( o ，t ) r ? ， u ( 牙，0 ) = u o ( 。) ， 。瓦 这里，在0 丁，( j 是某个适当的区间) 中是一致h s l d e r 连续的 定义1 5 若有函数西( 毛t ) g ( 爵) ng 1 ，2 ( q r ) 满足 砜一工。豇，( 当，t ，_ ) ，扣，t ) q t ， b 西g ( x ，t ，_ ) ，( z ，t ) f t ， 西( 霉，0 ) t 幻( 。) ，z 西， 8 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) 洪亮；通过非线性边界流辍台的热方程组的b l o w - u p 分析 则称豇( z ，t ) 为“只i j p 只甜的上解；类似地，若有函数笪( 霉，t ) 满足 鱼一l o u _ ，( o ，t 型) ，( $ ，t ) 口t ， b u _ g ( 为t ，坠) ，( $ ，t ) r r ， 型( 茹，0 ) t 正o ( o ) ， 七n ， 则称坠( t ) 为以s o - ( i ，剐的下解 根据最大值原理和比较法则，我们容易得到如下定理t 定理t 3 设豇t ) ，型( 。，t ) 分别是p s o - ( i 3 钟的上、下解。且，关千u 是c 1 的，贝1 i 西( 霉，t ) 型( ，t ) 若u + 是以只j ，一p 只剀的解，且1 j 西( 岳，t ) t + ，笪( 。，t ) su + 考虑抛物方程组的初边值同题 等= 上删( 蛳) + 0 ，t l 蚍，u m ) ， ( 蜀t ) q t ，( 1 3 4 ) 且t t = g t ( u l i ，u m ) ，( 霉，t ) p t ，( 1 3 5 ) t q ( 写，0 ) = t “0 ( o ) ，2 n ( = 1 ，2 ，竹) ( 1 3 6 ) 这里三帆是形如l o 的算子，鼠m = 0 4 鬻+ 风q ，其中系数啦，砘满足0 4 ，钆0 ， 啦+ 钆 0 。 和，。u 1 ，。) ，肼( u l ，t 。) 关于哟，j t 递增，t ，j = 1 ，2 ，m 类 似地我们也可以定义上下解t 将( 1 3 4 ) 一( 1 ，3 6 ) 中的。= ”号都交为“4 时， 称为上解，而将( 1 3 4 ) 一( 1 3 6 ) 中的。= ”号都变为。”时，称为下解通常 我们记上解为( _ l ，碥。) ，下解为，笪。) 根据比较法则。我们容易得到如下定理； 定理1 a 设磕( z ，t ) ，监( 卫，t ) 分别是口，4 ，一0 ，印的上、下解，且 一= l ，2 ，m ， 关于嘶d = 1 ，2 ，m ，是g 1 的，则砺( z ，t ) 盟( 而t ) 若u ：是以只印一口只剀的 解，则砚( z ，t ) 让：，蛆( z ，t ) su ：，t = 1 ，2 ，m 关于上下解的有序性的理论及证明。见文献1 2 1 】中第三章第四节以及第五章 第二节的有关内容 对于一致抛物的初边值问题，其局部解( 相对时间变量t ) 总是存在的，那么 解的最大存在时间是有限的还是无限的，即解是在有限时刻b l o w - u p 还是整体存 在；在最大存在时间t 0 ，口t ，屈0 ( i = 1 ，2 ) ；u o ，如非 为了描述该系统解的整体存在与爆破的临界指标及爆破速率，我们构造特征 方程组： ( 锄f 叶岛p 一7 ) ( 三) = ( 1 1 ) ， 口岛一7 l 死一 其中q = 1 一( 口l 一1 ) + = i ，口1 5 1 ，7 = i + 慨一1 ) + = m a x t 岛，1 ) 即； n 。五f = 苦 ，忍= ；i 二t q f - = 口五2 五+ 翮1 ( i 4 - 4 ) 我们将在第二章看到临界指标可以用( i n ，1 加) = ( o ，0 ) 表示在第兰章我 们将证明，当a 1s1 时，t 的爆破速率是- o ( 口一t ) 一q 2 ， 的爆破速率是t 0 ( 仁一t ) 一勺2 同时注意到，当口1 1 时，是爆破的平凡情况，我们将构造另外 一个特征方程组从而得到爆破速率 1 0 2 通过边界流耦合的热方程组的临界指标 2 1 问题简介 在这一章里，我们考虑如下通过非线性边界流耦合的热方程组： 嘶= a u ，饥= ，o q 。t ( 0 ，t ) ，( 2 1 1 ) 嚣= u v p - i - u a l ，嚣= 俨谗一庐， z 舳，：e ( o i 巩( 2 1 _ 2 ) 让( 茁0 ) = t o ( $ ) ， ( o ，0 ) = t 加( 。) ， $ q ，( 2 1 3 ) 这里q 是r 中具有光滑边界a n 的有界区域，a 却是8 n 上的外法向量，常 数p ，q 0 ，屈00 = 1 ，2 ) ，初值t o 和是正函数，在q 上满足相容条件 众所周知，系统( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 描述了在两种固体混合介质中的热传导以及一 些化学反应过程由抛物方程的经典理论( 见文献1 7 ，8 】) ，我们知道系统( 2 1 1 ) - ( 2 1 3 ) 存在局部古典解 王明新等人在文献f 1 2 】中研究了如下抛物系统 撕= t ，饥= ，o 0 ，t ( 0 ，t ) ，( 2 1 4 ) 嚣= 俨护，崭= 舻庐， 蜒砚，t ec o , 巩( 2 1 5 ) u ( $ ，0 ) = = u o ( 。) ，口( 茹，0 ) = t 帕( 卫) ， 霉n ( 2 , 1 6 ) 他们得到系统( 2 1 4 ) ( 2 1 6 ) 的解整体存在的充要条件是； 口2 1 ，风 1 ，艘 ( 1 一q 2 ) ( 1 一岛) k ，d e r l _ g1 3 】( 对于特殊情形a 2 = 如= 0 ) 和j d 。r o s s i 【1 0 1 讨论了系统( 2 1 4 ) - ( 2 1 6 ) 的正径向解( u ，t ，) 的爆破速率- d ( 一t ) 一讥) ，o c c t t ) 一m ) ，其中 m = 再若，伽= 而鼍 ( 2 l7 ) 并且满足ta 2 1 时，是爆破的平凡情况，我们将构造另外 一个特征方程组从而得到系统的爆破速率 2 2 临界指标 在这一节中，我们得到了系统( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 解的整体存在和爆破的临界指 标主要结论叙述如下t 定理2 1 当a 1 1 时，系统俾1 ，一俾砂的解对任意正初值在有限时刻爆破 定理2 2 假设i n 或1 n 0 ( 相当干n 或n 0 ) ，口1 1 那么系统阻u 一 阻甜的解对任意正初值在有限时刹爆破 定理2 3 假设1 h ，i , 2 0 ( 相当于n ，印 0 ) 那么系统阻j ，一俾1 剐的解 整体存在 定理2 4 假设( i n ，1 胁) = ( 0 ，0 ) 并且a 1 1 那么我们得到如下结论； ( i ) 当0 2 7 时，系统偿1 j j 一偿j 印的解对任意正初值在有限时刻 爆破 定理2 1 的证明t 考虑如- f a 个方程： 阢= u _ 0 u ：u a l 口玎 u ( 茁，0 ) = 如( ) ( 墨t ) n ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) a n ( 0 ，t ) o n ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 我们知道当口l 1 时，系统( 2 2 1 ) 一( 2 2 3 ) 的解对任意正初值在有限时刻爆 破f 6 】显然，我们能选择( 阢0 ) 作为系统( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的一对下解这样我们 就得到了系统( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) ，当口1 1 时，对任意非负非零初值在有限时刻爆破 的结论 口 定理2 1 的证明表明，口1 1 是系统( 2 1 1 ) 一( 2 。1 3 ) 有限时刻爆破的一个平 凡情况，在下面的证明中我们总假设口1 1 为了证明下面的定理，我们需要在n 中引入几个符号令p o 是 妒+ a 妒= 0 茁n ；妒= 0 。 1 2 ( 2 2 4 ) 洪亮。通过非线性边界流耦合的热方程组的b l e w u p 分析 的对应于第一特征值1 0 的第一特征函数其中 o ，帅 0 ，且【| 伽( z ) 怯一1 那 么存在正常数q ( i = i ，2 。3 ) ，使得i v 妒o ( 茹) l c 1 对所有z q 成立并且当$ e8 n 时，有c 2 一曼sc 3 ，令n 1 = 伽q ：d i s t ( x ，a n ) 0 足够小，那么有l v 蜘( 圳警芦磊1 并且存在正常数 c ( 0 ，1 ) ，使得l p o c t ，名两2 由( 2 1 8 ) 我们知道，定理2 中l t n 或1 胁 0 的假设可以包含在下面三种 情形中 ( a ) 埘 ( 1 一口2 ) ( 7 一岛) ，其中a 2 1 ，愚7 ； ( b ) 融 7 ，口2 1 ； ( c ) a 2 1 ，岛7 或岛 7 ，a 2 i 定理2 , 2 的证明构造下解t 蝴) = 南e 删川叫) = 矿b 砰e 删，z 呱吲。，i h ) 其中p o 是( 2 2 4 ) 的第一特征函数。规范化为i l 妒o ( x ) l l 。= 1 ，a ，b ，k ，厶h 1 ， c 0 待定通过简单计算，我们得到， 鱼= a c k ( h d ) 一耳一1 e = 辨一a c ( h 吐) 一k 一2 i p 0 ( 。) e - ：e g j 曼a c k ( h d ) 一x 一1 e 二甜， a u _ = a ( v i ，o o ( x ) ) 2 ( h d ) 一t 一2 e = 害兽簪+ a 钿如) ( 一矗) 一l 一1 e = 删 如果。壳1 那么 丝a ( v l p o ( 函) ) 2 ( 一d ) 一耳一2 e 二! 孚：a 鼋( 一c 亡) 一耳一2 e = ! 孚； 如果n 2 ，那么 a u _ a k 妒o ( x ) ( h 一丘) 一k - - l 制a a c 4 ( h c 亡) 一耳一1 e 删 类似地，我们有， 型t 5 b c l ( h d ) 一1 e 删， g n ， a v _ ；b 谚仰一c j ) 一l 一2 e 删，卫彘1 ， 型b c 4 m 一西) 一l 一1 e 捌，。庇2 令c = 血n 岳，矗，静，争) ，则有t 蛾s 丝，盥型， 忙，t ) n ( 0 ，i h ) ( 2 2 5 ) 由于妒o = 0 ，嚣8 q ，所以当( 笪 蓟8 q ( o ，；) 时，通过简单的计算可以得 大连理工大学硬士学位论文 筹= 南( 一掣) 南， ( 2 z 妒矿= 丙i a a 丽2 b p 荔， ( 2 2 7 ) 祟曼上旦， (2删(h丽兰- c t ) l + i ：( h - c t ) 研+ l l z 。乃j 望p = 藻， ( 2 2 9 ) 扎若籍s 庐赫 ( 2 z m ) 情形( a ) ：因为p q ( i a 2 ) ( 7 一岛) ，其中a 2 1 ，岛s7 所以可以找到足够 大的a b k 和l 估得 a t 8 a 。2 b p ， b 7 ( c 3 十1 ) a q b 岛， g ( 1 一a 2 ) 十1 sl p ，工( 7 一岛) k q 一1 情形( b ) ：当如 7 ，d 2 1 时，显然，我们可以找到a ，b ，k ，l 满足 b c 8 ，a q c 3 + 1 ， 却1 ，k q 1 情形( c ) ：当口2 1 ，庇s7 ( 或岛 1 ，嘞1 ) 时，我们也能选择a ，b ，k ，l 使得 b 9 c 3 ，b 7 ( c s + 1 ) a 。b 历， l p 1 ，工( 7 一岛) 耳口一1 通过对以上三种情形( b ) ，( b ) 和( c ) 的讨论，由( 2 2 5 ) - ( 2 2 i 0 ) 立即可以得 到 面o u 矿z 妒+ 矿t ，器s 型口妒一矿z ( 2 2 1 1 ) 再令h = m 雠 ( 畚) i ，( 翕) 壬) ，其中m = m i n u o ( z ) 如( $ ) ) ，那么对任意正的初 值，我们有t 型( 。，0 ) u o ( 茹) ，型( 孔0 ) s 如( 露) 因此( 盐，型) 是系统( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的 一对下解，又因为( u ，塑) 在有限时刻爆破，这样定理证明完毕 口 定理2 3 的证明 条件1 n ，1 胁s0 等价于0 ：2 1 ，岛 1 ) 两种情形分别加以证明 引理2 1 假设口2 1 ，角1 ，愚 7 = 1 和粥( 1 一a 2 ) ( 1 一岛) 那么偿1 j ，一 俾1 印的解是整体存在的 1 4 璧壅：堡垫韭垡堡垄墨塞塑鱼塑整查堡垒墼里! ! 里坚坌堑 证明构造上解 豆( $ ，t ) = e k t ( 1 一譬) + m ，。( 。，t ) = e l t ( 1 一警) + m ，( ，t ) q ( o ，r ) 其中l p o 是( 2 2 4 ) 的第一特征函数，正规化为i l 妒o ( z ) f | 。= 1 ，正常数肖，l ，am 满 足 m = m a x 1 1 u o l l 。，f j | | 。) ， a = m 舣 毒 ( m + - ) p + 。+ ( m + - ) q ) 丢( m + t r + 如，- ) 墨l 2 a ( a o + ( a 一1 ) 砖) ， k ：l l l 一毗 ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) 驴k 。k ( 1 一等) 譬， 址舻( 学+ 与掣) ( 1 一竽) a - ，蛐唧。州- 1 ) 碍) 类似地。我们有， 魂2 百b e - - ，a 0 a e n ( o + ( 一1 ) 遗) 应用( 2 2 1 4 ) ，巍们得到， 龟日，砚0 另外，甚弛啪= 0 ，$ 8 q ，我们有。 赛鲁山m ， 面劬矿s ( m + 1 ) p + 。2 e ( x 2 + p 工”， 豇。1s ( 彳+ 1 ) 。1 e k 。，。( m + 1 ) 。1 e 耳 应用( 2 2 1 s ) ，我们有， 赛泸矿+ 碑，( 州) 施( 0 当哥在a q 上时，我们有 册a , 、- 互。- 2 4 e n 霞穹百彘( m + 1 ) 2 + 如e ( k q + l 如) t 应用( 2 2 1 3 ) ，( 2 2 1 5 ) ，和p qs ( 1 一口2 ) ( 1 一岛) ，有 嘉豇a 毋一移，( 州) 腩( o 1 5 ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) 大连理工大学硬士学位论文 最后，利用( 2 2 1 2 ) ，我们得到 豇( 茁，0 ) t 幻( 。) ，o ( 霉，0 ) d ( 。) ( 2 2 1 9 ) 不等式( 2 2 1 6 ) _ ( 2 2 1 9 ) 表明( 矗，o ) 是系统( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的一对上解，因此系 统( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的解是整体存在的 口 引瑶2 2 假设口2 1 ，如 1 = 风，p c ( 1 一a 2 ) ( 融一岛) 那么，系 统俾i j ，一俾j 彤的解是整体存在的 证龋构造e 解； 面o ，t ) = e k e ( 1 一娑) + m 日o ，t ) = b e n 和) ， 其中啪是( 2 2 4 ) 的第一特征函数，正规化为0 蜘( 茹) 怯= 1 ，h c x ) 满足下列方程 酬= a = 哥，眯f 2 x ( 0 ，巩 掣乩 ( 蚶叫呱 于是存在正常数c 5 ，c 6 ，使得c 5 ( 。) 2 a c x 。+ c a 一1 ) 碍) ，工乏， k ：l 工 i q o 通过简单计算，我们有t 仇簪，豇s a e m ( ( a - 1 ) c ) ； 砚= b l e 忙) b l c 5 e n ，a v = a b e n 应用( 2 2 2 3 ) ，有 证乜l龟0 在勰与对( 磁口) 简单计算。我们得到t 筹2 詈出础， 俨护+ f i a lsc m + 1 ) a 2 b p 瑶e ( k + p l 弦+ ( m + 1 ) 。1 9 价 宰：b e 豇0 ， 面口行角一护1 ( 且4 + 1 ) 。b 加c 皆8 ( k 口+ 二加”一b 血罐1 e 骗。 ( 2 2 2 0 ) ( 2 2 2 1 ) ( 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 3 ) ( 2 2 2 4 ) ( 2 2 2 5 ) 应用( 2 2 2 2 ) 和( 2 2 2 4 ) ，有 嘉泸矿+ 萨，( 州) 锄( 0 圆 ( 2 2 2 6 ) 由( 2 2 2 1 ) ，( 2 2 2 4 ) 和p gs ( 1 一d 2 ) 一阮) ，我们知道：舻。肋一护zs0 ，因此 寡扭护一 ( 州) 锄x ( o ，t ) ； 最后由( 2 , 2 2 0 ) ，( 2 2 2 i ) ，得到 口0 ，0 ) m = i i u o l i * 钍0 0 ) ，0 0 ，0 ) b c 5 v o ( x ) 不等式( 2 2 2 5 ) 一( 2 2 2 8 ) 表明( 豇，o ) 是系统( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 统( 2 1 1 ) 一( 2 i 3 ) 的解是整体存在的 定理2 4 的证明 证明对于情形( i ) 和情形( i i ) 的证明 明中得到 ( 2 2 2 8 ) 的一对上解，因此系 口 我们可以分别从定理2 3 和定理2 2 的证 口 1 7 3 通过边界流耦合的热方程组的爆破速率 3 1口1 1 时的爆破速率 在这一部分，我们对系统( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的爆破速率进行研究我们只考虑 径向解u ( x ，t ) = t ( 江l ，d ，v c x ，t ) = ( i 霉i ，t ) ，其中n = b r = $ r ：r = | 霉l ( r ) 我们总是假设下面的条件成立- ( h 1 ) 初值是径向的、非负的，并且在磊上u o ，a v o o ； ( h 2 ) 0 n , 2 口+ 1 ，0 庞 ( 1 一口2 ) ( 1 一岛) ； ( h 3 ) 在有限时刻t “口同时爆破。 根据( h 1 ) 和比较原理，我们知道，在nx ( 0 ，t ) 内有；t r ，脚，啦，砚0 令 r r c t ) = 。q f 。( ，t ) = 。( r ，t ) ，v ( t ) = 。擎。( ，t ) = ( r ，t ) ，