（基础数学专业论文）平面曲线伸缩流.pdf

摘要 本文遵循g a g e h a m i l t o n 研究曲线收缩流的思路，针对特殊的平面曲线收缩 流和扩展流。我们得到了相类似的一些结论，文章共分三部分。 第一章是| j 言和预备知识，主要是介绍了曲线发展流的一些历史知识和背 景，并列出了下文中要用到的一些引理和定义。 第二章是本文的主体部分，主要研究曲线收缩流。首先根据曲线在切向分量 一k 发展是不影响曲线的发展形状，我们引入了曲线的一些几何变量的发展方程； 其次我们简要地回顾g a g e h a m i l t o n 研究曲线发展的一般步骤；最后我们考虑沿 曲线的内法线以曲率的函数为发展速度的一类特殊的曲线族，证明了在初始曲线 为凸的闭平面简单曲线条件下，曲线将保持凸的，并且它的面积和周长将同时收 缩，并在有限时间内成为一个点。 第三部分是对曲线扩展流的介绍，通过变换我们将发展方程用m i n k o w s k i 支集函数来表示。限制曲线在外法向上的演化速度是另一类特殊的曲率函数，研 究相应的方程，我们得到了在初始为凸的闭简单光滑曲线的条件下，曲线的最后 形状是渐近地趋于一个圆。最后我们提出一些今后研究的课题。 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，f o l l o w i n gt h ei d e a so fg a g ea n dh a m i l t o n ，w ei n v e s t i g a t e s o m es p e c i a lp l a n a rc u r v a t u r ef l o wo fc o n t r a c t i o na n de x p a n s i o n t h ep a p e r c o n s i s t s o f t h r e ec h a p t e r s i nt h ef i s tc h a p t e r , w eb r i e f l yr e v i e wt h eh i s t o r ya n db a c k g r o u n do f c u r v a t u r e f l o wt h e o r ya n ds o m eb a s i cf a c t sa b o u tc o n v e xp l a n a rc u r v e sa n dg i v es o m el e m m a s a n dd e f i n i t i o n su s e di nl a t e rc h a p t e r s t h es e c o n dc h a p t e ri st h em a i n p a r to f t h ed i s s e r t a t i o n f i r s ta c c o r d i n gt ot h ef a c t t h a tt a n g e n t i a lc o m p o n e n t so ft h ee v o l u t i o nd on o ta f f e c tt h eg e o m e t r i cs h a p eo f t h e e v o l v i n gc u r v e s ，w ei n t r o d u c et h ee v o l u t i o ne q u a t i o no f g e o m e t r i cq u a n t i t i e sf o rt h e g e n e r a lp l a n a rc n r v e s t h e nw e d e s c r i b et h ew o r ko f g a g e h a m i l t o nb r i e f l y l a s tw e c o n s i d e ra s p e c i a lc u r v a t u r ef l o wo f c u r v ew h i c he v o l v e sw i t hs p e e df u n c t i o no f t h e p r i n c i p a lc u r v a t u r e sa l o n g t h ei n n e rn o r l r la n ds h o wt h a tc o n v e x i t yo ft h ec u r v ei sk e p t a n di t sl e n g t ha n da r e aa r ec o n t r a c t e di f t h ei n i t i a lc l o s e dc u r v ei ss m o o t h a n dc o n v e x s ot h ef i n a ls h a p eo f t h ec u r v ew i l lb eap o i n ti nf i n i t et i m e i nt h et h i r dc h a p t e r , w ei n t r o d u c eg e o m e t r i ce x p a n s i o no f c o n v e xp l a n a rc u r v e s w ed i s c u s st h ee v o l u t i o ne q u a t i o nu s i n gm i n k o w s k i ss u p p o r t f u n c t i o nw i t ht h es p e e d f u n c t i o no fc u r v a t u r ea n ds h o wt h a t t h e s h a p e s o fc n r v e sb e c o m er o u n d a s y m p t o t i c a l l y w h e nt h ei n i t i a lc l o s e dc u r v e si ss m o o t ha n dc o n v e x - l a s tw ep u t f o r w a r ds o m en e w p r o j e c t sc o n s i d e r i n g i nf u t u r e 致谢 本文是在管志成教授的指导下完成的，我衷心的感谢恩师多年的严格要求， 耐心帮助和不断鼓励。从师几年来，管老师渊博的知识、严谨的治学态度、敏锐 的洞察力和高尚的人晶给我留下深刻的印象。在他的循循善诱下，我在得到知识 技能的同时也懂得怎样做人，我懂得了无论做什么事情，都应该有严谨的学习态 度和求实的工作作风，这必将影响我一牛；而且管老师在生活上也给我以莫大的 关心和支持。在此，我对管老师表示衷心的感谢，同时也非常感谢在学习和牛活 上给我关怀的尊敬的师母，祝他们身体健康，万事如意。 在本文的写作过程中，我得到了方道元教授的指导，在此表示由衷的谢意。 同时也感谢两位师兄陈旭锋和王贵对一些疑难问题的解决。 几年来，好友黄越夏、韦明俊、赵江、胡晴锋、罗政等在生活和学习上给了 我许多帮助，在此表示感谢，愿他们在学业和事业上取得更大的成功! 最后，还要感谢在精神上支持、鼓励我和在生活上关心、爱护我的家人。 浙江大学颈士论文 第一章前言和预备知识 1 1 历史和背景知识 近年米，基于各种物理现象和现实问题的需要，几何学者和专家开始处理曲 线和曲面，这些曲线和曲面受各种外力的影响，产生相应的流。尤其是那些沿着 曲线或曲面的法线以主曲率的函数为速度的曲线的发展已经引起了广泛的关注。 最简单的例子是曲线收缩流。考虑平面简单闭曲线，曲线上每一点的发展速 度等于该点的曲率，即令x ( u ，t ) ：【日，6 】 o ，t ) 一r 2 是一族简单平面闭曲线， x 。( “) = x ( u ，0 ) 是初始曲线，则曲线收缩流可以定义为 f z ，= k n ，( 1 1 ) l x ( u ，o ) = x o ( “) ，( 1 2 ) 其中k 是曲率，是单位内法线，下标是关于时间的微分。如果l ( t ) 和一( f ) 分别 表示曲线的周长和面积，经过简单的计算得到 工，= 一扯2 d s ，( 1 3 ) a 。= 一d 胁= 一2 x ，( 1 4 ) 其扣s = s ( u ，f ) 是曲线在t 时刻的弧长参数，( 1 4 ) 表明曲线围住的面积是以常数在 减少，在t = a 。2 x 时刻，面积为0 。如果初始曲线是半径为r 的圆，则它在演化 过程中是保持圆的，而它在f 时刻的面积是z 一2 m ，所以它的演化时间为；r ：。 而( 1 t 3 ) 表明在同样周长下圆的收缩速度是小于其他曲线的收缩速度的，事实上由 c a u c h y s c h w a r z 邵一圭( f 胁) 2 - 一等 ( 1 5 ) 等号当且仅当k 为常数的时候才成立，即此时曲线为圆。 对于收缩流的研究，在八寸年代初，g a g eh a m i l t o n 证明了在( 1 1 ) 和( 1 2 ) t ￥j 条件下，当初始曲线为凸的平面简单闭曲线时，则在演化过程中曲线将保持凸的， 且越变越圆，并在有限时间内收缩成点( 1 6 】， 2 0 ， 1 ) 。在1 9 8 7 年，g r a y s o n 证明了任何平面嵌入闭曲线将在演化过程中变成凸的，最后收缩为点( 2 】) 。 浙江大学硕士论文 在1 9 8 6 年，基于 1 6 ， 2 0 和 1 】，g a g e 讨论了平面保面积曲线流( 2 1 ) 扛邓一争， ( 1 6 ) i x ( u ，o ) = x o ( “) ， ( 1 7 ) 他证明了如果初始曲线是凸的，则演化曲线将保持r l l 的，且在演化过程中变得越 来越圆，最后成为半径为、! 堑的圆。但是遗憾的是他不能得到g r a y s o n 同样的 y 万 结果，直到现在这还是个开问题。在1 9 8 7 年h u i s k e n 研究了高维情形下的保 体积平均曲率流，得到了相似的结论( 2 3 】) 。1 9 9 7 年a t h a n a s s e n a s 研究了对称旋 转表面的保体积平均曲率流( 【2 2 ) 。 最近对于平面曲线流的研究有两个新的方向，一个是曲线扩展流，有 u r b a s ( 1 2 1 4 】) ，h u i s k e n ( 4 】) 和g e r h a r d t ( 1 3 ， 2 4 】， 2 5 ， 2 6 ， 2 7 】) 等人的研究； 另一个是平面不变曲线流，见文献 2 8 一【3 3 。 对于其他的曲线流，b r a k e ( 3 ) 和h u i s k e n ( 4 ) r 研究了平均曲率流，x s o ( 5 ) 研究了高斯曲率流，( 同样的结果可见c h o w ( 6 ，7 】) ) ，h a m i l t o n ( 8 ， 9 】) 和 a n d r e w s ( 1 0 ) ，对于更一般的齐次收缩流可以见a n d r e w s ( j 1 1 ) 。 1 2 定义和预备定理 在本文中我们主要考虑一类收缩流和扩展流，为方便起见，我们先列出一 些引理和定义，设s 和k 分别表示曲线在f 时刻的弧长参数和曲率， 定义1 1x ( u ) = ( x ( “) ，y ( “) ) ：【口，b 】斗r 2 称为一简单正则闭c ”曲线，若对 “ 口，b 】， i j ( “) = ( x 。( “) ，y ( “) ) ( 0 , 0 ) ，且x ( a ) = y ( 6 ) ，x + ( ) = x 。( 6 ) ， z ”( “) = x ”( 6 ) 。 定义1 2 不妨设x 是包含原点o 的闭的正则c ( k 2 ) 凸曲线，称x 的m i n k o w s k i 支函数p ( 曰) 为0 到x 上的点( x ，y ) 的切线的距离，如下图所示： 浙江大学硕二k 论文 y r 缸，y ) 瓤 爿。 。 2 。 下面的关系式是不难得到的( 3 7 1 ) d s = l x ( ”) 伽 三= f 出= 肛1 阻= f 4 础) 眠 彳= 三f ( 叫。一 。) 咖= 互1f 8 p 2 ( 口) 一( p ( 口) ) 2 d 占， ( 1 8 ) ( 1 9 ) f 1 1 0 ) t ：罢等：熹。 ( 1 1 1 ) ( x 2 + y 2 ) j p ( o ) + p ( 占) 、。 引理1 1 ( i 九l 性 1 5 ) 一条正向简单闭平面曲线是严格凸( 凸) 的当且仪当它的 曲率k o ( k 0 1 。 引理1 2 ( 闭条件 1 】) 一个正的2 x 周期函数k ( o ) 表示一条闭凸曲线的曲率当且 仪当f ”忘挑。 引理1 3 ( g a g e si n e q u a l i l t y 1 6 】) 若曲线是凸的，则f 5 2d s 堕a 。 引理1 4 ( 1 5 】) x 是一条闭的平面曲线，则上2 4 x a 0 ，等号成立当且仅当x 是 圆。 1 3 本文的结论 本文主要有以下的几个t 作： 1 ) 遵循g a g e研究曲线收缩流的思路，考虑如下的曲线族和初始条件_hamilton 浙江大学硕士论文 百a x = 雕) ， ( 1 1 2 ) 【x ( u ，o ) = x 。( “) ， ( 1 1 3 ) 其， | ( = e k 一1 ，当初始曲线为严格r l i 的平面简单闭曲线时，则曲线在演 化过程中曲线是保持凸的，且在有限时间内曲线将收缩到点。 2 1 类似于收缩流的研究介绍了扩展流的相应的结论，考虑如下问题： ( 孀) j 警_ g ( 呲 ( 1 1 4 ) 【x ( u ，o ) = x o ( “) ( 1 1 5 ) 其中x 。是平面上严格凸的嵌入闭曲线，g ：墨r + 是正的光滑函数，g 0 ， 是外法线。设p ( o ) 是它的支函数。则问题( x g ) 等价于下面的问题( e g ) ： ( 朐j 詈- g ( 埘， 【p ( u ，o ) = p o ( “) ，0 s 对于( p g ) 有下面的结论( 2 6 】) ： ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 定理：设g 是任意正的函数满足g 1 0 ，p ( o ) 是曲线的支函数，若对v p s 1 有 ( p o ) ( 口) + p 。( 曰) 0 ，则对任何f 0 ，问题( p g ) 存在唯一的解 p c 。( s 1 o ，丁) ) ，且p 满足( 力( 目) + p ( 目) 0 ，l i r a ，+ r p 。m ( f ) = o 。此外存在 仪依赖于p 。的常数c ，使得i p o o ( 扫) i c 。同时还存在一个常微分方程 _ - d r ：g ( r ) ( o f r ) 的解r o ) ，使得p 。i 。( f ) 胄( r ) p 。o ) 。如果作变换；：导， c l i且 鄙( 耻肿) 则谁“沪l i l c 2 ( s ：) - - 斋。 浙江大学硕士论文 第二章平面曲线收缩流 在这一章我们主要研究简单平面闭曲线收缩流，有两部分，第一部分是传 统的收缩流，丰要是介绍m g a g e 和h a m i l t o n 所作的工作( 【1 】) ；第二部分是遵循 m g a g e 和h a m i l t o n 思路研究一类新的曲线收缩流。 2 1 传统的曲线收缩流 2 1 l 概念和基本公式 考虑曲线流x ( “，r ) ： ，6 o ，o o ) 斗r 2 ，它的演化方程和初始条件是 f x ，= a ( u ，t ) t ( u ，t ) + f l ( u ，t ) n i x ( u ，o ) = x o ( “) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 其中丁。n 分别是曲线的单位切线和法线，x 。( “) 是给定的平面简单闭曲线。假设 g ( 甜，f ) = i j j i = ( x 。2 + y 。2 ) ， 0 = l ( t ，x ) 定义弧长参数s ( ”，f ) = j g ( 善，f ) 嘶 ， 下面的等式是初等的： ala加 瓦2 i 瓦瓦2 9 r = 土g 掣o u ，= 去婴o u ，七= 土g 警，增 删 三o ) = e g ( 虬r ) 幽= 4 出， 钟) = ；j ( 磅一删= 一；f ：2 “m 一 _ 2 “ ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 浙江大学硕十论文 = 2 = 2 2 9 a 。+ 2 f l ( 一k 9 2 ) = 2 9 ( a 。一g k p ) 同时有等：2 9 粤，所以命题得证。 o to t 引理：s 妄芸= 妄鲁+ ( i l k 百o a ) 丽6 。 证明：妄妄= 瓦0 ( 9 1 幽o ) 一争三+ 吉妄亳 一古c 吼一触，嘉+ i 1 瓦0 瓦0 = c 一詈+ 肚，妄+ 芸昙 = 杀昙+ ( i l k 一面o c t ) 丽0 。 引理2 4 i o t ：( 础+ 笔) ：( 幽+ 土娑) ， o td s 2 廿缸 _ o n ：一( 础+ 氅丁：一( 赫+ 上笃丁。 o to s 2d 甜 证明：百o t = 言( 警) = 丽o 百o x ) + ( i l k o 凼a ) o 洳x ；昙( 盘r + f i n ) + ( i l k o a - ，t 0 s珊 ：o 。a t + a k n + o f f _ n 一胛+ f l k t o 。a t ：( a k + 娑) 。 屯荡o so sd s 阱有詈一o 讲n , t t = - ，矿o t 丁- - ( 础+ 等r 。 下面给出了曲线长度和面积的演化方程，它表明曲线在演化过程中切向上 的分量是不影响曲线长度和面积的。 咖z s 丝d t = 一忡，警= 一恤。 证明：对于简单闭曲线，f 吼= o ，则 警= f = 心一威g ) d u = - f 黝= 一灿， 警= 一j 1i 瓦0 + ) a u 6 塑坚查兰堡主丝苎 一 ：一；j ( 詹 = = s e p g + 盘。一 丘秽一 a g k 一 尻d u a ( + ) 一 盘g 一 a g k + 矽( + ) 】砌 = 一；且磨一a 一 幻归 一 昭t + f l ( g + ) 】幽 f 触= 一f 触。 由于r 和n 可以表示成t = ( c o s 0 ，s i n 0 ) ，n = ( 一s i n 0 ，c o s o ) ， 引理：s 掣o t = 础+ 挈o a = 赫+ 土g 警，警= 堙。 c wd “ 证明；百o t = ( 一s i n 疗，c 。s 口) 警= 警，再由引理2 4 可以得到第一式的证明。第 二式是由娑：罂宴：培。 0 口删 引理z ，豢；警+ 口警+ 肚2 = ；1 如a ( 、g la 抛, 8 ，、 + i a 瓦o t c + 肚2 ， 证明：百o k = 妄罢= 瓦0 百0 0 + ( i l k o 珊a ) o 出0 = 杀( 出+ 警) + ( i l k 一警 = 熹s ( a k + 璺o s + c 犀一署，t = 等t + 口芸+ 警+ 防2 一警tos(碍u so s u 3 = 警+ 嘻。 注记2 , 1s 和t 是不独立的，我们对于固定的t ，以0 作为一个变量，f = f 为另 一个变量，则目，f 是独立的。对曲率关于臼，f 的演化方程有 引理z s 等纠箬。 证明：由链式原则得 豢= 姜謇+ 等等= 姜+ 嚣+ 警，= 筹+ 础等+ 七鐾0 0 翌0 0e a faa 88 ta ra e 、a s 8 ta 8 丝：堕塑：堡 8 sa 88 s8 e 。 7 浙江大学硕士论立 望：望塑： 望 a sa 毋瓠a 目 磐：旦( 望) ：j j 旦伸望1 ：丝望+ k ：氅， 8 s 2a 8 、a s 。8 8 、a 8 。a 88 88 e z 。 再由引理2 7 可以得到所需的结论。 注记2 2 ：从以上的引理，我们知道，l a 的演化方程是不依赖于x ，在切线上 的分量，这隐含着切线上的分量是不影响演化曲线的几何形状的，因此为方便 起见我们可以选择合适的口，我们有下面的定理： 定理2 1 闭正则曲线x ( “，f ) 的演化方程为x ，：a t + f i n ，三是任何一个连续函 数，我们可以通过改变参数空间，使得置：三丁+ 厨r ，其中是不依赖于曲率 参数的。 证明：见 3 7 2 1 2 几个例子 在这一部分中，我们将充分利用上面的结果给出几个平面曲线流的例子。 例2 1 当o r = o , p = ，演化方程可以写成，x ，= k n 。( 1 】) 利用前面的引理，我们可以得到： 塑：一k z 小堡：竺，型：一丛r ，塑：丝， a c。a t髓8ta sa t瓠 丝：1 0 2 k + n 丝：一如：d s ，坐：一2 才。 a f出2d t j d t 例2 2 当口= o ，= l ，曲线演化方程为：z = n 。 相应的公式是 害= 一垤，詈= 詈= 百0 0 = o ，誊= n 警= 一舾= 之玎，面d a = 一弘“a 在该例中，切线r ，法线，和角度0 是与时间无关的，其他的几何量可以直接 算出来的。由周长公式得到( ) = l 。一2 硝( 三。是初始曲线的长度) 。如记f + = ， 面积公式可写成坐d t = 2 m - l o , 则有a ( f ) = 4 + m 2 _ l o t = o 一嘉) 2 + 4 一等己冗q 冗 塑坚查堂堡主丝壅一 这隐含着在扣f + 之前曲线收缩到点，其他的几何量为昙( 去) = - 1 ， 志= 志吐呲垆煮， 这表明经典解是不存在的，所以当初始曲线为凸的，仅当 s ( m 。是固定的正常数) 口) 时，有 定理2 3 设x ( ，f ) 是满足( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 的一族曲线，且m o 乡乞，则 x ( ，f ) 将随时问收缩到一点。 定理的证明由下面一系列的引理得到。 引理2 9 在占( r ) ，三乡厶的条件下，三o ) 和彳( f ) 都是严格单调递减的。 证明：詈= 一4 ( 扰一1 ) 山乱( f ) - 6 2 a 0 。 4 占 由于k ( o ，0 ) k o ，则存在民，使得丸 6 0 ，从而w ( 0 ) 民。假设结论 不成立，则存在( 占，) ，使得当f 誓，而，即 在( 曰，t + ) 处，k 取到正的极小值。由最大值原理得到矛盾，所以在发展过程曲线 是严格凸的。 引理2 1 1 k 。m ( f ) = i _ n r k ( o ，r ) ，0 口2 x ) 是非减的。 证明：用反证法。由引理2 1 0 中的变换，取d ，使得t 。( 0 ) = w 。( o ) n 0 如仔征f ，便得 w 。( f ) = j r 。p 弦一= w 。m ( o ) 一a 。令 气= i n f t i w 。；。( f ) = w 。( o ) 一a ) ，由w 的连续性，存在( 岛，t 。) ，在该点上有 害( 岛，岛) 。，万a 2 w 【a ，气) 。，w ( o o , t o ) o ，与( 2 2 。) 式矛盾，所以。) 是非减 的。 引理2 1 2 竺是单调递减的。 一 证明：由引理2 5 ，得到 面d 了l 2 ) = 2 l l , a - l 2 a , ) = 紊 2 删( 2 ，r - 8 妒出) 珂( l - 9 2 x ) 】 六 2 “( 2 n - s - - 筹) 一l 2 ( l 一咖) 妣 从而，由此和等周不等式仃1 5 1 1 ，有 4 盯竺芷 a 4 ( 2 2 1 ) 浙江大学硕+ 论文 注记2 3 在【o ，t 上，若三( r ) o ， 由于三( f ) 是严格单调的，则 鸳三( f ) 存在 记为 0 。 由此和( 2 2 1 ) 式，有 坤) 4 o 和a ( t ) 6 。= 攀。( 2 2 2 ) “0 下面定义平均曲率k 为 k + = s u p g ：k ( o ，f ) ，o 在某个长度为刀的区问上 。 ( 2 2 3 ) 由文献 1 n - i 得 0 t + 三， 彳 即k 在 o ，t 】上是有界的。 f 2 2 4 ) 硼2 1 3 j l 旨f ( a ) = o i ，( 6 ) = 。，且h 女，6 ，一a ， 口。( 2 2 7 ) 2 c ，贝u6 f - - a t 占。 证明：州反证法。如引理不真，则存在d o ，使得v c ，存在( 口，b ) ，满足b n d 使得当口( d ，b ) 时，成立k ( 0 ，t ) c ，从而有 f ”i n t ( 良t ) d o d l n c + ( 2 x d ) l n k 。自( o ) 由c 任意性，可取c 充分大，上式不成立，得到矛盾，引理得证。 引理2 1 6 存在仅依赖于初值和m 。的常数d ，使得f x k a 2 d 0 f k 2 d o + d 。 证明：由方程( 2 1 5 ) ，条件( h ) 和分部积分，得到 浙江大学硕士论文 导f ” h 2 - - r 珈f 4 呱一 d o = 2 ( k + k a o ) d o = z m 巾d o 2 t 4 t o , d 0 击扣帆 上式两边积分后，应用c a u c h y 不等式得到引理的证明。 引理2 1 7 若r 4 1 n k ( 0 ，t ) d o ：i ! e 0 ，丁】上是有界的，则t 在s 1 o ，丁) 上是一致有界的。 证明：由r t n k ( o ，r ) d 目的有界性和引理2 1 6 ，v 6 0 ，存在c ，如有区问( 口，6 ) ， 且b a 6 ，使得当0 ( 口，6 ) 时，成r ( 0 ，r ) c 和r ( 日，f ) = c 。从而v0 ( 口，b ) 由引理2 1 6 有 ( 目) = c + f k e d o c + 拈( f 8 女如) 2 c + 历( f 5 k 2 d o + d ) 。 令女。为k 的最大值，则有t 。c + d ( 2 刀：。+ d ) 2 ，取j 0 ，p ( o ) 是曲线的支函数，若对v o s 1 有( 风) ( 口) + p 。( 占) 0 ，则对任何r 0 ，问题( p g ) 存在唯一的解 p c ”( s 。【0 ，丁) ) ，l s lp 满足( p ) ( 口) + p ( 曰) 0 ，l i m 。p m o ) = o o 。此外存在 浙江大学硕士论文 仅依赖于p 。常数c ，使得l p 。( 臼) 1 兰c 。同时还存在一个常微分方程 辈：g)(of 占 0 ，则有 ( p ) 卯( 疗) + p ( 口) 6 0 e 证明：由p ( 口) 的连续性得到，存在一个正数占，使得在s 1 0 ，s 上有 ( p ) 卯( 目) + p ( p ) 0 。设v ( 曰，f ) = g ( p 阳+ p ) ，0 s 1x o ，r ) ，贝u 在s 1x o ，占】上有 v ( 扫，o ) g ( 占) o 。由：；= g ( p 甜+ p ) ( v 卯+ v ) ，口s 1 【o ，s ) ，及g o ，贝4 讲 由极值原理可以得至u v ( o ，f ) g ( 艿) 0 ，0 s 1 “o ，s ) 上；又因为g 是严格单调 的，因此在口s 1x o ，f ) 上有( p ) ( 曰) + p ( 目) 占 0 。重复同样的过程得到命题是 成立的。 3 2 梯度的有界性 3 2 1 命题3 2 ( 一阶导数的有界性 3 5 】) 如果p ( o ，t ) 是( p g ) 在s 1 “o ，t ) 上的解，g 是满足上述条件，则存在一个仅 依赖于p 。的正常数a ，使得 叫b 叫斗n ( 孚) | ， ( 3 s ) 其中x 1 ，z 2 s 1 = r 1 2 ；c z ，t o ，t ) 。 证明：假设口s 1 ，定义( x ) = p o ( x ) - p 。( 2 0 一x ) ，因为p o ( z ) c 。，则是一个 l i p s c h i t z 函数，在 0 一厅，刎上有，w a ( 0 一万) = w o ( 0 ) = 0 ，这个表明存在 ( 口) r ， 使得2 ( o ) s i n ( o x ) w d x ) ，0 一万x 臼。 浙江大学硕士皓文 定义p x ( 鳓( x ，r ) = p ( 2 0 一z ，f ) + 2 ( o ) s i n ( o x ) ，则p 。9 是( 3 3 ) 的解，且满足初 始条件p 。8 b = p o 。叭，p 0 1 。( x ，f ) = 风( 2 0 一工，f ) + 3 , ( 0 ) s i n ( 8 一x ) 。因为g 0 ， 且在( 目一万) u 回 o ，r ) 上，有p 圳= p ，所以由极值原理得到在 曰一万，口】 o ，丁) 上，p 。们一p 0 ，即p ( 2 0 - x ，t ) + 2 ( 0 ) s i n ( 0 一x ) p ( x ，r ) ， 口s ，x p z ，p ，r 【o ，丁) 。取x = x d p = 兰l ：；兰王，得到 p ( x 2 ，f ) + 五s i n ( 兰2 ) p ( x 。，f ) ， 所以结论成立。 推论3 1 ，在命题3 2 的条件下，有l 岛i 要， 目s 1 “o ，r ) 。 和p 。( f ) 一p m i ( f ) c ，其i _ j c 仅依赖于风。 3 2 2 二阶导数的有界性 定义3 1 设，( f ) ，r 口，b 】是l i p s c h i t z 函数，则定义 d z z c ：1 i n l s u p f ( t + _ h ) 一- f ( t ) c ， ( 3 7 ) a t 斗。门 一d + f c ：l i m i n f 丛盟二型c d t _ + o h d - f c ：l i m s u p 盟= 丛二盟s c t i t _ o ( 3 8 ) ( 3 9 ) 一d f c ：l i m i n f 理盟= 业- c 。 ( 3 1 0 ) d t _ + o h 引理3 2 ( 3 6 】) 令，( f ) 是定义在【，b j 2 的l i p s c h i t z 函数，则有 1 ) m ) 0 ，若当州口1 6 m 。，有型孑 0 ，则，( 6 ) 0 ，若当吲啪 ，p ) 0 ，有型孑o ，月j j f ( b ) 。 3 ) 仰) = 。，若当吲咖】，她有型孑 o 则，( 啦。 浙江大学硕士硷文 4 ) ，( 6 ) ：o ，若当f 。，6 】，) 。，有型孑。，则，。) 。 定义3 2 y 是欧氏空间中个紧集，g ： d ，6 y 斗r 是一光滑函数，定义 i 厂o ) = s u p g ( t ，y ) ：y y ) ， 【f ) = i n f g ( t ，y ) ：y y 。 日i 理3 3 令e o ) = y ：g ( t ，y ) = ，o ) ) ，y 2 ( t ) = y ：g ( t ，y ) = ( f ) ) ，贝0 有 1 ) 竽s s u p 她， y e 驰) ，托 删， ( 3 1 1 ) 2 ) - 警- t f ( r ) s u p 言吕( f ，y ) ：y ei p ) ，fe a ，6 ， ( 3 1 2 ) 3 ) 等- t h ( t ) 抽嗉她y ) ：y e ，f 【咖】， ( 3 1 3 ) 4 ) d d f - h ( f ) i n f 妄t t g ( f ，y ) ：y 艺( f ) ) ，f n ，6 ， ( 3 1 4 ) 命题3 3 ：令p ( 口，f ) ( p g ) z c f ：s 1 o ，r ) 上的解，则有l p 知( p ，) i c 。 证明：令w = 圭( 办2 + p * 2 ) ， 计算得到 罢! = p 0 9 ( a ，p ) + p b ( a ，p ) 口= 一， p 础 g ( p 卯+ p ) ( p 卯+ p ) 卯+ g ”( p 卯+ p ) ( p 卯+ p ) e 2 】+ p 口g ( p 卵+ p ) ( p 瑚+ p ) 日 利用w 0 = p o o ( p 卯+ p ) 口，w o o = p 卯( p 卯+ p ) 筒+ p 鲫( p 帮+ p ) p ，可以得到 詈：g b * + p ) w o 口+ g ”( p 叫m 岬枷一d 岬) ( 邯b p 叩辩) 一 取c 。仅依赖于风，使得w ( 目，o ) = ； ( 风) 。2 + ( p o ) 。2 】c 。，；( 害) 2 g ，对任意 的t o ，r ) ，定义，p ) = m a x w ( o ，f ) = w ( p f ，f ) ， 在( 只，f ) 上我们有 = o ，w 0 ，这个表明在( n ，) 上，有= o 或者( p + p ) p ；0 。因为 ( 0 ) c 。则对任意的f o r ) ，若有，( f ) c ，则p 0 ，否则有 ，( r ) = ；胁2 ( n ，f ) j 1 i 2 ) 2 c 。，矛盾，所以在( 只，r ) j z ：f f ( p m + p ) 一。，从而 塑垩查兰竺主丝塞 在( b ，f ) 上有署o ，再由引理3 2 ( 1 ) 和引理3 3 ( 1 ) 得到 o ，) ，( f ) 0 。 计算得到a ，( w d = 日( w ) ( w 口) + h 。m ) ( w 口) 口w 口+ ( h ( w ) + h 。( w ) w ) w o 由于o 去w 茎c ，所以有日( w ) + h 。( w ) w c 。由极值原理得到 - c ， 再有p 脚+ p o - 西匹而c。即p 卿百石而c 一岛c ， 类似地得到上式的下界估计。 命题3 5 ( 4 阶导数的有界性) 在命题3 4 的条件下，有 l p 4 1 ( 0 ，) 旧c ，0 s 1 o ，丁) ，其中c 是仅依赖于m ，g ，p 。的一个正常数。 证明：w 卯= g ( p 鲫+ p ) ( p 4 + p 静) + g “( p 船+ p ) ( p o o o + p a ) 2 ， a ，( 锄) = 限( ) b = 日( w ) ( ) 卵+ h