（工程力学专业论文）考虑阻尼效应的双柔性杆重复撞击.pdf

ab s t r a c t t h e i m p a c t s p h e n o m e n a o f r o d - l i k e s t r u c t u r e a r e o f w i d e s i g n i f i c a n c e i n t h e f i e l d o f e n g i n e e r i n g , e s p e c i a l l y t h e re p e a t e d i m p a c t s b e t w e e n s o m e fl e x i b l e s t r u c t u r e s c a n c a u s e s o m e u n e x p e c t e d p r o b l e m s , s u c h a s v i b r a t i o n s , w e a r s , i m p a c t n o i s e s a n d f a i l u r e s e t c . t h e i n fl u e n c e o f t h e r e p e a t e d i m p a c t s b e t w e e n fl e x i b l e s t r u c t u r e s o n t h e d y n a m i c b e h a v i o r s o f t h e s y s t e m n e e d t o b e i n v e s t i g a t e d d e e p l y a n d f u l l y d u e t o t h a t t h e h i g h - p r e c i s i o n a n d h i g h v e l o c i ty m e c h a n i s m i s e x p e c t e d . t h e p h e n o m e n o n o f r e p e a t e d l o n g i t u d i n a l i m p a c t s b e t w e e n t w o fl e x i b l e r o d s c o n s i d e r i n g d a m p i n g e ff e c t h a s b e e n i n v e s t i g a t e d i n t h e p r e s e n t p a p e r . t h e t r a n s i e n t w a v e p r o p a g a t i o n b a s e d o n s t n e n a n t s r o d t h e o ry w a s p r e s e n t e d a n d t h e p r o b l e m o f r e p e a t e d i m p a c t s w a s s o l v e d b y t h e e x p a n s i o n o f t r a n s i e n t w a v e f u n c t i o n s i n a s e r i e s o f e i g e n f u n c t i o n s . t h e e ff e c t s o f t h e t r a n s i e n t w a v e p r o p a g a t i o n i n d u c e d b y i m p a c t s a n d d a m p i n g e ff e c t w e r e f u ll y c o n s i d e r e d d u r i n g t h e p h a s e s o f i m p a c t a n d s e p a r a t i o n c o r r e c t l y . t h e n e w m e t h o d o f s o l v i n g t h e i m p a c t f o r c e w a s p r e s e n t e d t h a t a v o i d e d t o s o l v e t h e i m p a c t f o r c e fr o m t h e s t r o n g l y n o n l i n e a r e q u a t i o n c o u p l e d o f i m p a c t f o r c e w i t h i m p a c t mo t i o n s . f u r t h e r , t h e e ff e c t s o f i n i t i a l i mp a c t v e l o c i ty a n d a i r d a m p i n g c o e ff i c i e n t o n t h e i m p a c t f o r c e a n d t r a n s i e n t re s p o n s e s w e r e i n v e s t i g a t e d i n d e t a i l . t h e n u m e r i c a l r e s u l t s s h o w n t h a t t h e p r e s e n t m e t h o d c a n s i m u l a t e t h e p r o c e s s e s o f m u l t i p l e i mp a c t s a n d t h e t r a n s i e n t w a v e p r o p a g a t i o n s s u c c e s s f u l l y . s o m e u s e f u l c o n c l u s i o n s c a n b e o b t a i n e d b a s e d o n t h e a n a ly t i c a l a n d n u m e r i c a l r e s u l t s : 1 . t h e a n a l 西c a l s o l u t i o n s o f t h e r e p e a t e d i m p a c t s b e t w e e n t w o fl e x i b l e r o d s c o n s i d e r i n g t h e d a m p 吨 e ff e c t h a v e b e e n i n t r o d u c e d r e a s o n a b l y . 2 . t h e n u m e r i c a l r e s u l t s s h o w e d t h a t t h e d a m p 吨 e ff e c t i s n o t r e m a r k a b l e d u r i n g i n i t i a l s t a g e s o f r e p e a t e d i m p a c t s , s o i t c a n b e n e g l e c t e d . 3 . a ft e r s o m e i m p a c t s p h a s e s t o o k p l a c e , t h e d a m p i n g e ff e c t w o r k e d g r a d u a l l y . i t h a s a n o u t s t a n d 吨 i n fl u e n c e o n t h e s y s t e m r e s p o n s e w i t h t h e n u m b e r o f t h e re p e a t e d i m p a c t s i n c r e a s i n g . t h e d a m p i n g e ff e c t n o t o n l y i n fl u e n c e d t h e f o r c e re s p o n s e s , t h e d i s p l a c e m e n t a n d v e l o c i ty r e s p o n s e s o f s t r u c t u r e s , b u t a l s o h a d i n fl u e n c e o n t h e t i m e w h e n t h e i m p a c t p h as e s o r t h e s e p a r a t i o n p h a s e s h a p p e n e d . t h e r e f o re, t h e e s s e n t i a l c h a r a c t e r i s t i c w i l l b e c h a n g e d . k e y w o r d s : r e p e a te d i m p a c t ; tr a n s ie n t r e s p o n s e ; im p a c t f o r c e ; d a m p 吨 e f f e c t 声明 本学位论文是我 在导师的指导下取得的研究成果， 尽我所知， 在 本学位论文中， 除了 加以 标注和致谢的 部分外， 不包含其他人已 经发 表或公布过的 研究成果， 也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的 材料。 与我一同 工作的同 事对本学位论文做出的贡献均 己在论文中作了明确的说明。 研 究 生 签 名 : - a玉- 叫年 7 p /o f 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档 ， 可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容， 可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、 借阅或上网公布本学位论文的 全部或部分内 容。 对 于保密论文， 按保密的 有关规定和程序处理。 研究生签名: 州年 7 ” /l? h 绪论 1 工程背景和意义 在航空航天、 机械制造、 土木工程等领域存在着由 间隙 或撞击 运动而导致的冲击 或碰撞振动。 例如， 飞船对接引 起的 碰撞、 大型太阳能帆板因关节间隙产生的碰撞振 动、 飞行器稳瞄系统的 非光滑性导致的碰撞振动、 海洋平台 桩腿受到海冰的往复挤压 碰撞、机械手在作业中对产品的 碰触、电动冲击机械等等11 刃 . 在各类机械系统中， 有一些是利用重复撞击作为 驱动力的， 如: 电 动锤、 振动进 料器、 振动筛、 打桩机、 针式打印 机、 撞击阻尼器等。 而在其他各类机械系统中， 存 在大量的重复撞击现象， 是我们不期望的， 但又是难以避免的。 这类机械系统的操作 过 程中 ， 产生重 复 撞 击 现 象 有 各 种各 样的 原 因 ，比 如 不必 要间 隙 的 存在， d u b o w s 咏 s . a rt 和w i n fr e y ,r c 等 对 此 方 面 进 行了 比 较 详 细 的 研 究 . 通 常 间 隙 在 铰 链 机 构中 的 现 象 较为 常见， 如 平 面 机 构6 和空间 机 构 s1 ， 在 热 交 换 管 道 支 撑 点 处的 支撑13 和定 子 上的旋转圆盘i ii 等等， 这些无法避免的间隙导致对机构间 撞击力的不确定、 峰值极大 n l 、 剧烈振动 1x 1 和明 显的 非线性m , 11 1 等问 题。比 如 做间 歇运动的 机械 装置，因 为撞击 的存在， 会产生撞击力引起速度的跳跃变化。 产生撞击的另外一个原因就是在机构操 作过 程中 获 取质 量 或 两 柔性 构 件间 的 接 触， 比 如 机 器 手131 f 阀 门 系 统111 ， 管 道系 统t31 热交换堆l ie ， 打印 机17 . 18 1 ， 地震中 地壳的 移动 19 1 和 在一些机器的 工 具2 31 中 都存在这样 的撞击问题。 杆结构作为工程应用中的基本单元，相应的撞击问 题普遍存在于高速机械系统 2 1 1， 航空航天结 构 11 中. 例如， 飞船对接引 起的 碰撞， 大型 太阳 能 帆 板因关节间隙 产 生的 碰撞， 飞行器稳瞄 系统的 非光滑性导致的 碰撞振 动等。 生 物结 构团， 地震时 桥梁 结构国， 纳米杆结构(2 1 1 f 微机械系统2 3 1 以 及复合材料结构【洲 中， 也存在此类撞击问 题。 由多个柔性构件之间的相对运动和相对变形引发的重复不断的 撞击事件， 自 上世 纪六十年代由 前苏联科学家开始研究以 来， 发现在工程结构系统中是一个非常普遍的 现象。 特别是高速高精度机械系统， 不期的 重复碰撞总会带来许多问 题， 如系统动力 性能下降， 振动，噪音，失准，失稳等等。同时，碰撞也引 起碰撞力的 增加和突变， 降低机构的疲劳寿命. 撞击的存在通常会降低系统的 运作能力， 甚至有时候会危及产 品的质量。 因此， 减小部件损耗， 提高含间隙的 使用效率、 寿命及安 全性， 是机械工 程领域1待解决的一个重要课题。另一方面，由 于重复撞击造成的 非线性和奇异性， 使系统的动态响应变得十分复杂， 也迫切需要人们对重复撞击问 题对系统的动力学影 响进行更加深入和全面的研究。 1 . 2 国内外发展概况及研究现状 硕士论文 _考虑 阻尼效应的双柔 性杆重复撞击 1 . 2 . 1撞击问 题的研究 对于 撞 击问 题的 研究由 来已 久 (271， 也 有了 很多 的 研究 成 果28- 321 。 而 对于 典 型结 构 的 碰撞问题，许多著名的 专家学者都曾 做过研究。本世纪初 s t n e n a n t 和 t i m o s h e n k 曾研究过梁的横向碰撞， s t .v e n a n t 假定物体和梁碰撞后不分开，t i m o s h e n k o在 s t n e n a n t 工作的 基础上考虑了 碰撞接触面的局部接触变形。 他们都用了脉冲响应函 数 和模态叠加法， 这种方法的 缺点 在于难以 保证求解积分方程的 精度和效率， 时间步长 的 选 择也 对计算至 关重 要。 s t .v e n a n t 和b o s s in s e q 给出了 均匀杆纵向 碰撞波传 播的 解 析解， 其假设条件是碰撞接触面必须是光滑的 平行平面， 但解的 形式将随着波在杆内 来回传播的次数增加而变得越来越复杂，并且波动法只适合杆结构的经典 碰撞问 题， 因 此波动法几乎不能 推广成为工程实用的方法。 h e r t z 认为整个碰撞接触时间 是从接 触开始到接触载荷达到最大值所须时间的两倍。g o l d s m i t h总结并发展了前人所做的 工作， 并介绍了其他学者从微分方程出发得到质点和e u l e r 梁横向 碰撞问题的解析解。 碰撞过程本身是一个很复杂的 过程， 它与 物体接触时的 相对速度、 接触面的几何 形状及接触持续时间、 局部塑性变形等有密切的关系。 正确地刻画碰撞过程的作用机 理是解决问 题的 理论基础。 牛顿、 p o i s s o n 及w h i t t a k e r 理论构成了经典碰撞动力学理 论的 框 架。 在 对 撞 击系 统 进 行 动 态 分 析时 ， 用于 描 述 碰撞 过程的 模型 有3 种: ( 1 ) 瞬 时 冲击模型。 假设冲击时间 为零， 在碰撞过程中只考虑能量的 损失， 使用恢复系数的 概念， 直 接得到 碰撞前后 速度之间的 关系; ( 2 ) 分段线性模型， 这种模型 可以 描述碰 撞的压缩和恢复过程，可以 考虑碰撞中接触力的大小变化和碰撞时间: ( 3 ) 考虑碰撞 中的局部变形的模型。 用h e rt z 接触理论描述接触力， 该理论能较好地反映接触力的 变化， 但由 于其表达式为非线性形式， 使之在理论上进行动态分析时比较困 难. 关于碰撞问题的求解，目 前主要有以 下四个方法: 1 ) 最 简 单的 就是 用 冲 量 定 理 和 牛 顿 定 律， 取定 恢复 系 数e ， 其 量 值等 于 在 两 碰 撞体 相互作用力的方向 上，分离速度对接近速度的比值。有时候这种方法归纳为 p o s s i o n 假说。但是这种方法无法确定碰撞过程中的撞击力。 2 ) 第二 种方法 就是为了 能 够描述重复 撞击对系统长期振动 行为的 影响 ， “ 撞击振 子模型” ， 它以s h a w 1 9 8 3 年的 论文为成熟的标记。 “ 撞击振子模型” 将参与撞击的 构 件简化为振子弹簧+ 质量。 弹簧表示结构件的柔性， 撞击效应则用刚体碰撞模型 ( 又 称 “ 离散模型，) 来处理。 采用牛顿碰撞定律或泊松碰撞定律，加上库仑摩擦定律， 描述撞击前、 撞击后的 速度跃迁和冲量的 变化。 对于重复撞击振动系统， 该 模型曾 经 发现了丰富的复杂非线性动力学行为， 包括: 周期运动、 准周期运动、 混 沌运动和多 种通向 混沌的 途径等。 该 模型的 数学描述相对简单， 也不涉及撞击力求解的问 题。 但 是它显然不能分析撞击过程的 细节， 也 不能考虑撞击导致的瞬态波传播的 效应。 研究 所发现的非线性动力学行为， 由 于模型的过于简单化， 可能使人产生一定的 疑问。 有 2 鉴于此， 采用“ 撞击振子模型” 作 研究的 系统对象， 一 般被 称为“ 撞击一 振动系统” . 尽管它的 模型相对简单， 但若用来研究多点接触或带摩擦的刚 体碰撞问题， 目 前仍遗 留 有许多物理机制和应用数学问 题尚 待解决。 也有一些研究者利用h e rt z 弹性接触变 形理论， 假设接触面为圆形而接触力以 抛物线形状分布来研究。这种方法是忽略了 波 传播影响的 准静态方法， 对模型的改进没有产生本质的 影响。 3 ) 第三 种方 法 是以d u b o w s 玲为 代 表的 一 些专 家， 为了 使 模型 更 合 理些， 将质量 和刚度相对较大的构件简化为弹簧， 而将另一个柔性构件用连续体模型处理. 我们称 这类模型为“ 半连续体模型” 。 该模型已 经可以计算撞击力， 研究撞击过程，并可以 考虑柔性构件对撞击的动力响应。 4 ) 随 着研究的 发展， “ 全连续 体模型，的出 现， 可以 认为 是重复撞击系统研究发 展的一个必然结果。 它将所有参与撞击的 柔性构件都处理为 连续体模型， 能够考虑撞 击产生的瞬态效应， 分析构件的动态强度， 也能够分析受重复撞击影响的系统的长期 非线性动力学行为， 但是这在理论和数值分析上面临着更大的困 难。 多柔体系统的碰 撞问 题与多刚体系统的碰撞有着明 显的不同， 多刚体发生碰撞时， 碰撞力 在瞬时同时 影响刚体上的所有点。 而对柔性体来说， 当碰撞力作用于柔性体上的一点时， 产生的 应力 波将以 有限的 速度在构 件中 传播。 r i s m a n t a b - s a n y 和s h a b a n a l 采用广义的 动量平 衡法研究了作回转运动的柔性梁发生轴向 碰撞的情况， 指出 在选取足够数目 的广义坐 标的前提下，经典的动量平衡法可有效地应用于多柔体系统的 研究 . k h u li e t i 和 c h a n g z i 分别在动量平衡 法的 基 础上， 研究了多柔 体系 统的 碰撞问 题。 w u t 提出了 用 子结构法解决柔性体的碰撞问题， 洪嘉振等将该方法应用于航天器伸展机构接触碰撞 的动力学分析当中。 但目 前用“ 全连续体模型” 研究重复撞击系统的工作很少， 具体的原因， 除了缺 乏必要的 精确理论和方法描述撞击导致的瞬态波在柔性结构中的 传播， 以 外， 另一 个重要的原因是在求解撞击力时， 存在很大的困 难。 同 时， 次碰撞过程的测试也非常 困难。 1 . 2 . 2应力波理论 因为柔性体的 撞击必然涉及撞击应力波的 传播，故 本节对应力波理论作一简介。 挠动沿空间的传播称为波， 波是物质运动的一种重要形式， 任何一种波总携带着波源 及传播介质物理特性的 信息。 利用这种特点， 人们常常把波作为 传递信息和研究介质 物理特性的重要手段。 对于空间中的电 磁波 ( 包括光波) 和空气中的声波， 我们是很 熟悉的。 作为波动问 题的一个分支， 固 体中的波也成为一些科学技术领域中的重要问 题。 弹性固体中应力波的传播的 研究有一个悠久而特殊的 历史。 弹性应力波方面的 早 硕士 论文考 虑阻 尼效 应的 双 柔 性 杆 重复 攫 进一一 一一一一 一 一 期工作， 受到一种直到1 9 世纪中 叶仍然占主导地位的 观点的 促进， 这种观点认为光可 以 看成 是 扰 动 在 一 种 弹 性以 太 中 的 传播。 这一 观 点 也为 c a u c h y 和 p o s s i o n 所接 受， 并 在很大 程度 上推动他们发展了 现在人们所称的弹性理论。 在l o v e 的著作 数学弹性理 论 的 历 史 介 绍 部 分 ， 讨 论了 p o s s i o n ,g r e e n 和 c a u c h y 进 行的 关 于 弹 性固 体中 波的 传 播 的早期研究。 十九世纪后期， 由 于在地球物理领域中的应用， 人们对弹性固 体中应力 波的研究 的兴 趣 又 浓厚 起 来。 在1 8 8 0 年至1 9 1 0 年之间， r a y l e i g h , l a m b 和 l o v e 对发 现特殊的 波 传播效应做了突出的贡献。 当时，由于需要关于地震现象、 勘探技术和核爆炸检测方 面更精确的知识， 固 体中 波的 传播一直是地震学中 一个非常活跃的 研究领域. 地震学 中 所 关 心的 波 传播问 题 在b u l l e n . e w i n g 等 人 和卡尼 阿的 著作中 进 行了 讨 论. 就工程应用而言， 对波传播效应真正感兴趣的是出 现在4 0 年代初， 当时， 特殊的 工艺要求需要关于在高速载荷作用下结构性能方面的知识，引起对弹性波的广泛兴 趣. 弹性波的发展在当时也受到下面几方面技术发展的刺激:如高速金属成型加工、 超声波应用、 压电 现象等。 研究固体中波传播的 专著有k o l s k y 和s c h o c h 的 著作。 另外， m i k l o w i t z 发表了 一篇评论性文章， 文中列出了 到1 9 6 4 年为 止该 领域内的 大部分文献。 以 往碰撞应力波问 题的 研究多着眼于简单的碰撞， 然而， s t o i n o v i c i 和h u r m u z l l u 对一杆自由 落体碰撞无限 大平面试验， 以 期测得自由 杆的反弹速度， 却发现在几微秒 中 会 发 生十 九 次的 快 速 碰 撞和反 弹， 而 这些 碰 撞 用眼 睛是 无 法 看 见的 m。 其实 早 在 7 0 年前， 依据梁的 碰撞实验结果， m a s o n s 就己 对重复内 碰撞作过 试验性的 叙述， 得 出 在肉 眼看来的 一次简单碰撞， 其实包含了多 个的 快速连续的次碰撞。 目 前建立了 一 些 关 于 这 种 现 象的 理 论 和实 验 * -a ， 但仍 处 于 起步 阶 段. 1 . 2 . 3杆撞击问 题的 研究现状 在工程结构中， 多见低速的弹性碰撞事件， 碰撞事件的发生不是孤立的事件， 往 往出 现重复碰撞现象。 至今为 止， 对杆碰撞问题的 研究主要集中于一次碰撞问 题， 对 二次 碰撞问 题 及重复 碰撞问 题的 研究很少. b a o 和d e n g 使 用叠 加法给出 了 细 长 圆 锥 形 的 截 面 杆 受 到 质 点 纵向 碰 撞 时 的 精 确 解 析 解， e s c a l o n a , m a y o 和d o m i n g u e z m 应用差分法研究了刚性球轴向撞击弹性杆的二次撞击，s e i f r i e d , s c h i e h l e n和 e b e r b a r d o 用弹塑性有限元方法研究了弹塑性球对弹性杆的二次撞击， z a n a r d o , h a n 和 m o d e n s 4 n 应用有限元法通过间隙单元考虑了桥接板的撞击问题，m e t a l l i d i s 和 n a t s i a v a s s 1 研究杆撞击弹簧的周期性和稳定性。 对杆撞击问 题的 解析分析方法主要可以 归为两类: 一是波传播方法( 特征线分 析 法) ， 另一 种是模态分析法。 吴家强采用模态分析方法， 分析了 任意支撑条件下杆从 撞击到分离 之间的一次冲击动力响应. e b e r h a r d 0 1 应用波传播方法， 对圆锥杆撞击刚 4 性地面问 题进行了 研究， 应用特征线法描述了 应力波在杆中的 传播和反射等现象， 但 其解的形式随着波在杆中的传播的次数增加而变得越来越复杂， 无法实现对重复撞击 问题的研究。 对杆重复撞击问 题缺乏研究的主要原因是: 重复撞击问 题中， 撞击过程和分离过 程交叉出 现，撞击机理复杂，将产生复杂的撞击瞬态波的传播。 1 . 2 . 4 考虑阻尼效应的 杆撞击问 题 撞击问题所涉及阻尼包括外部阻尼和结构阻尼两种， 外部阻尼可认为与运动速度 成正比， 而实际结构的结构阻尼特性是十分复杂的。 可以说， 到目 前为止，尚 未建立 一种完备而有效的阻 尼模型， 能确切地反映实际结构的阻尼特性。 已 有的各种阻 尼模 型都是在经验架设前提下提出 来的。目 前所进行的碰撞振动研究中， 阻尼按其特性的 不同 大致可分为两类: 粘性阻 尼和结构( 滞后) 阻 尼。 在粘性阻尼系统中， 阻尼力与振 动速度成正比， 方向 与速度相反。 对于实际金属结 构， 其阻尼主要来源于金属材料本 身的内部摩擦 ( 内耗) 及各部件连接界面之间的相对滑移。 故结构阻尼主要是由 材料 内阻尼和滑移阻尼两部分组成。现在对于阻尼系统的研究主要集中在多自由度系统 中， 且常采 用线性阻 尼器，以 简化研究问 题的 难度(4y -es . 在应用弹性碰撞模型 所做的 研 究中 ， d u b o w s h y 01 曾 使 用 线 性 粘 滞阻 尼 器 与 h e rt z 弹 簧 来 模 拟 碰 撞 过 程， l .e e csn 提 出 非线性阻尼模型。这种基于h e rt z 定律和阻尼函数来描述的碰撞过程在碰撞振动的连 续分析中 得到了 普遍应用阴. 金栋平，胡海岩根据弹性体碰撞理论和结构模态分析， 提出一种简便方法识别两弹性结构的碰撞恢复系数和碰撞速度， 进而可确定碰撞阻尼 阅. 随着对研究构件精度和可控化的要求不断提高 和“ 全连续体模型” 的引 入， 无限 多 个自 由 度阻 尼系统的 研究已 成为 一个新的 研究 热点阅。 1 . 3 本文研究的 主要内 容 本学位论文采用 “ 全连续体模型” ，考虑撞击产生的瞬态波的传播效应， 采用合 理的撞击力的分析方法， 研究考虑阻尼效应的双柔性杆系统的重复撞击问 题， 分析和 计算结构的 瞬态动力响应和撞击力响应。 具体如下: 1 ) 第二、 三章研究了 考虑阻 尼效应的 双柔性杆的 纵向 单次和重复撞击问 题， 应用 瞬态波函 数的 特征值展开法， 对两柔性杆在撞击和分离过程中的瞬态响应问 题 进行了 理论分析， 给出了能 够研究重复撞击问 题的 理论方法，并通过 v c + + 编程技术得到列 举实例的瞬态响应图。 2 ) 第四 章利用撞击过程中两杆组合结构的撞击接触界面上的应力计算撞击力的 时间历程， 该方法解决了 撞击力计算的精度和收敛性问 题， 突破了 重复撞击研究的 瓶 颈问 题， 可以 计算重复撞击过程的撞击力， 并通过编程得到了实例中的 撞击力时间 历 硕士 论文考虑阻 尼效应的双柔 性杆 重复撞击 一一 程图。 3 ) 第五章对重复 撞击的 影响因素 进行了分析。 在重复 撞击计算过程中 ， 充分考虑 了撞击 过程的瞬 态效应和阻尼效应， 仔细比 较研究了不同 初始撞击速度、 不同结构参 数和不同 空气阻尼 系数对重复撞击过程中瞬态响 应和撞击力响应的影响。 研究 分析表 明， 该文 方法能够得到 合理的 结论， 并且可以 推广到 计算结 构更加复杂、 撞击次数更 多的复 杂组 合结构。 4 ) 第六章总结了本文的研究结果，并对下一步研究提出了建议和展望。 硕士论文 _ _考虚阻 尼效 应的 双柔性杆重复撞击_ 2带阻尼双柔性杆的单次撞击理论分析 2 . 1引言 对于连续系统， 例如梁、 杆和板等， 固然也可以 近似地看成具有离散质量和弹性 参数的 系统， 作为多自由 度振动系统来分析。 但是撞击问 题不仅历时短暂， 且会产生 瞬态撞击波， 该瞬态波在结构中的 传播， 并在无限自 由 度的 连续体结构中， 能够激发 结构的高频响应， 而采用简化自 由 度得到的多自 由 度振动系统分析， 对有些实际问 题 往往过于粗糙， 容易丢失很多撞击问 题引发的重要的动力学行为。 采用连续体模型来 研究系统的动力响应时， 系统中的位移等参数就不再是随时间t 变化的一元函 数， 而 是与时间和位置有关的二元函数，控制方程为偏微分方程。 本章采用全连续体模型， 研究考虑阻尼效应的双柔性杆轴向 撞击问题， 运用瞬态 波函数的 特征函 数展开法， 充分考虑撞击产生的瞬态波效应， 给出单次撞击过程中的 瞬态波函 数解。 并给出了 计算实例， 刻画了 应力波在柔性体中的传播过程， 分析了阻 尼效应的影响。 2 . 2 柔性阻尼杆轴向单次碰撞问题的模型 杆2 以 初始 速 度v u 撞 击 杆1 ， 杆1 的 左 端固 定， 右 端 在 撞 击 过 程中 与 杆2 左端 接 触， 杆2 右 端同 时 作 用 外 部 激励f ( t ) 。 杆1 的 弹 性 模 量为凡， 密 度为p , 横 截面 积人， 长度1 1 ， 杆2 的 弹 性 模 量为凡， 密 度为八， 横 截 面积a 2 ， 长 度1 2 。 e , p , a, 1 ; .fe 2 , 几1 -4 2 , 1 2 1 f 假设两柔性杆的撞击仅发生在接触面的公法线方向上， 撞击接触面之间没有摩擦 阻尼。利用s t . v e n a n t 杆撞击理论，不计体力时，得到杆1 和杆2 的波动方程如下: l)2) (2(2 杆 1 : a 2 u , ， 8 u ,， 8 2 u , ，户 十 t一=百 甲=十 8 1 一c7 t a - x ; 0 5 x , s 1 , 杆 2 : a 2 u , ,. s u , - - 嗯 于十 1一 一 食 ci = j. -/ a 2 a 2 u 2 =几 二 三 甲 了 口 x 2 o 5 x 2 t ) ( 2 .4 3 ) ( 2 . 4 4 ) 由 初值条 件式( 2 .5 ) 确定4 ( 0 ) 和m0 ) ， 得到 4 . ( 0 ) =a o w ( x , ) u io ( x0 ) dx , + q . ( 0 ) = f o ab u( 2 .4 5 ) 孙。 2艺t-1 m0 )= ze 孙0. (x,)vio( x0 ) dx, + q . ( 0 ) = b u . - b ,( 2 .4 6 ) 其中 b . = 一 p 2 a 2v o b 2 _ _ )c 2. f , a a j (m ,t) = te 2 (coo 、 一 令 .t) + 六sin(, l-.一f24 . t ) ) a m . , t ) = e 2 r 2 sin( m; - f 2 4 t) v w 一 -4 几 ( 。 = 华 奥 竿 共e 一。 于 co s(t 脸 一 zd (m ,t) = f 0a (a - n e 0 - e c o s(,iw - f .t) + w. 十“瞬 -j)，4 2 “ 一 f e 2 sin(,iro! 一 令 t) j ( co, t ) = _ . . 2了 一 姆 侧- 万. 2y f ep 2 4 . s ln (,icj 一 二t) u4 i (o. t)一 汁 co s咖 一 2e cos( ; - .t)- f_ 万 e - . ， ， f z、 厕 sm l m , - 4 .) 众 帆 ，。 = 华蜂 导 斗 - a e -0 十 ， 于 co s(, 佼 一 二 d ) m .十a( a一j) y 一4 . 2 w 2 一 f a_ 于_ :_ ， 1 _ . 2 f 2 了 - - ， 产 二 二 二 二 二 = 二 一 4 - 吸 1 w . ， ， . i.f 2一 ， 一4 2 , ico 一 .4 由 式( 2 . 4 5 ) , ( 2 .4 6 ) , ( 2 . 4 7 ) 可得 特征函 数 表达 式 q ( t ) = f o ab , - j ( w , t ) + b , - b o - l ( u , t ) + b , a d ( m , t ) 9 ( t ) = f ab , - j ( m . , t ) + b , - b o - i ( u t , t ) + b , a i j ( co , t ) ( 2 . 4 7 ) 2 . 3 . 3结构动力响应 通过以 上对特征函 数和时间函 数的 求解，容易得到两杆的 动力响 应分别为 2 . 3 . 3 . 1 位移响应 u ,( x , , t ) 一 u , ( x , t) + 艺o , ( x , ) q , ( t ) u 2 ( x v t ) = u 2, ( x 2 , t) + 艺0 2n ( x 2 ) q . ( t ) ( 2 . 4 8 ) 其中 准静态位移解为 f ( t ) t h ,=一-x , 人 _， 、 ，x ,乙 u , .=一户( t ) ! 一+=1 ”_ e 2 a 2 e , a , 特征函数为 0 , ( x , ) = b , s in k l x , 0 2 . (x 2 ) = b ,n a 2 . c o s k 2 x 2 + b 2 s in k 2 . x 2 l 时间函数为 q . ( t ) = g n ( 0 ) - j ( o, t ) 十 4( 0 ) - i ( o), t ) + b , ad( o ) , t ) 式中系数分别为 城 = p , a , 1 , ,从 = p 2 a 2 1 2 a 2 = s i n ( k , l , ) b , k z r 1 2 1 一i m , m , s in k ,_ 1, , i 户十气护丁 二2 二 v 寸 、 ， 二 a ,e , . kh cos(k,a 2e 2 k2.,二“ ， 谷厂 丁 万犷、 i ( m ,t ) = e 图2 . 3 两杆首次撞击接触面速度响应曲线 当 撞 击 发 生 后， 撞 击 应 力 波 从 接 触 界 面向 杆1 的 固 定 端 ( x , = 0 ) 传 播 ， 当 t = 0 .5 z 时，应力波阵面到达杆 1中间位置 ( 如图2 .4 ) ;当t = 0 . 8 r 时，应力波阵面到达杆 1 的x , = 0 .2 1, 位置( 如图2 .5 ) 。 当t = 1 .2 : 时， 波阵 面己 经 在固 定端反射， 反 射后 波阵 面的 应力 幅 值为 反 射 前的2 倍， 并已 到 达x , = 0 .2 1 , 位 置( 如图2 .6 ) ; 当t = 2 : 时 ， 反 射的 波阵 面 到 达x , = , 位置( 如图2 .7 ) . 可见， 在 应 力 波 经 过 两 杆两 端反 射与 透 射 后， 发生阶跃形式的波叠加和波消减， 其结果于经典的应力波理论吻合， 表明瞬态波特征 值展开法，能够准确地描述撞击问题中瞬态波的传播特征。 闷刁 刁-3 -2-10 窗几芝)忍巴衍 -2-10 星芝。5坦1价 ， 4 一，一一 0 .0 0 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 1 5 0 .2 0 0 . 2 5 ， 小- 甲一，一，一，一一 0 . 0 0 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 1 5 0 . 2 0 0 . 2 5 x 1 ( m )x 1 ( m ) 图2 .4 s = 0 . 5 时刻杆1 中应力波传播图图2 .5 r = 0 . 8 时刻杆1 中应力波传播图 -8刁 宙q-乏)55巴衍 书-5刁 .q-芝5的巴沉 -30 茄0 . 0 5。1 0 0 . 1 5 0 . 2 0 0 . 2 5-6 + -0 .0 00 . 0 5 0 . 1 0 0 . 1 5 0 . 2 0 0 . 2 5 x 1 ( m ) x 1 ( m ) 图2 . 6 a = 1 . 2 时刻杆1 中应力 波传播图图2 . 7 r = 2 时 刻杆1 中应力波传播图 - 2 . 0 f = 0 . 0 2 k g / m - 仁0 一， 6 y -1 .2 fn u 一。 ，。 e - 0 . 4 0 . 0 - 1 0 1 2 3 4 5 t 图2 . 8单次撞击撞击力响 应 当t = 0 时，两杆发生撞击，由于撞击的瞬态效应，使得撞击力瞬间增大，在图 2 .8 中可以清楚地看到撞击力的这一阶跃现象。当z = 1 时， 杆2 右端施加作用力产生 的压缩波传到两杆接触面位置， 使得撞击力再次发生阶跃， 随后的时间里，由 于应力 波不断在杆件的端部发生反射或透射， 当其所产生的压缩波或拉伸波传播到两杆接触 面时，撞击力就会发生新的阶跃变化。 通过对图2 .8 中 有无考虑阻尼效应两种情况的 对比 发 现， 在两柔性杆的单次 撞击 中， 阻尼对撞击力响应几乎不产生影响， 这是因为空气稀薄， 空气阻尼系数较小，而 且撞击过程在瞬间完成。这一结果与实际情况相符。 2 . 5 小结 本章采用全连续体模型， 运用瞬态波函 数的 特征函数展开法， 充分考虑撞击产生 的瞬态波效应， 给出考虑阻尼效应的 两柔性杆结构单次撞击的瞬态波函 数解， 并结合 计算实例进行数值分析。 瞬态波传播的计算结果与经典的应力波理论完全吻合， 表明 瞬态波函数特征值展开法能够准确的 分析两杆组合结构在单次撞击过程中的瞬态响 应问 题和瞬态波的传播情况。 另外， 计 算结果表明， 在两杆的首次撞击过程中， 撞击 瞬态响 应中的阻尼效应几乎可以 忽略。 这表明 如果仅研究柔性杆结构撞击初期的瞬态 应力和瞬态变形响应， 或者说仅研究撞击初期的结构动态强度和动态刚度， 则可以 忽 略阻尼的影响 ( 包括外部阻尼和结构阻尼) ，这一观点对工程应用十分有价值，并将 大大简化计算分析过程。 硕 士 论 文考 虑 阻 尼 效 应的 双 塞 性 抚 戛 筐 鱼 一 一 一一 3考虑阻尼效应的双柔性杆重复撞击分析 3 . 1 引言 在重复 撞 击 过 程中 ， 撞 击过程 与 分离 过 程 交叉出 现， 撞击机 理复 杂， 将产生复杂 的撞击瞬态波的 传播。 而且， 撞击与分离过程的 瞬态波传播的持续效 应， 将对后续过 程的 动力响应产生显著影响， 增加了 分析的 难度， 这也是难以 使用特征线等方法进行 分析的原因 之一。 另外， 撞击力出现在一个强非线性方程中， 直接从该方程求解， 需 要应用时间的 离散方法地推计算， 可能出 现收敛问 题， 也导致了 瞬态响 应分析的困 难。 重复撞击与 单次撞击不同。 在重复撞击和分离过程中， 撞击加载和分离卸载产生 的瞬态波， 会激发弹性体内的高频振动， 并且具有持续效应。 撞击过程杆的初始位移 分布和初始速度分布为前次 分离 过程结束时 杆中的 位移分布和速度分布， 分离过程的 杆的初始位移分布和初始速度分布为前次撞击过程结束时杆中的位移分布和速度分 布。因此每一次的状态对后续的响应都存在影响。 本章考虑阻 尼效应， 对柔性杆的 轴向 重复撞击过程进行分析。 应用瞬态波函 数特 征 值展 开 法m ， 分 别 求 解 碰 撞 过 程 和 分离 过 程的 瞬 态响 应， 充 分 考 虑 瞬 态波 传 播的 影 响。 3 . 2 柔性阻尼杆轴向 重复撞击问 题的 模型 杆2 以 初 始 速 度v u 撞 击 杆1 ， 杆2 右 端同 时 作 用 外部 激励f ( t ) 。 杆1 的 弹 性 模 量 为e , ， 密 度 为a， 横 截 面 积a , ， 长 度l, ， 杆2 的 弹 性 模量 为e 2 ， 密 度为p z ， 横 截 面 积a 2 ， 长 度12 . f - 1 , aa1 f e 2 , p v a 2 1 2 , f 假设两柔性杆的撞击仅发生在接触面的公法线方向 上， 撞击接触面之间没有摩擦 阻尼。利用s t .v e n a n t 杆撞击理论， 不计体力时，得到杆1 和杆2 的波动方程为: 杆 1 : a 2 u , . i a n _ -2 a 2 tk 气丁犷甲i一 二 ，一h 二犷下 d c优o - 石 ( 3 . 1 ) 0 t z . + i ) = u z ( x z t z m + i ) v , 伪t z r + i ) = v , 认 t 2 a , ) v 2 ( x 2 v t z . + i ) = v2 ( x 2 t z . + 1 ) ( 3 .