（应用数学专业论文）奇异超线性二阶周期边值问题的多重正解.pdf

摘要 到目前为止，许多学者研究了具有分离边值条件的微分方程正解的存在性，参见文 献【1 ，1 0 ，1 5 ，2 0 l ，其文中正解的存在性通过在锥中构造全连续算子，利用不动点定理和 格林函数的正性给予证明而对奇异二阶非线性周期边值问题的结论却不是很多在文 献f 1 4 ，1 6 ，i z 中，作者利用k r a s n o s e l s k i i 的范数形式的锥拉伸和锥压缩定理得到了单个 和多个解的存在的充分条件 本论文主要研究具有奇异超线性的周期边值问题多重正解存在性问题证明了在一 些合理的条件下，且非线性项具有奇异和超线性时，此问题至少存在两个正解证明主 要依赖非线性l e r a y s c h a u d e r 抉择定理和锥上的k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，同时格林 函数在证明中也起到了非常重要的作用 第个正解是运用非线性l e r a y - s c h a u d e r 抉择定理得出，第二个正解是用k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理被发现的除了锥不动点被用在存在性问题上，另一个工具一上下解方法 一也被广泛应用事实上，上下解方法是非常普遍的被应用在解的存在性问题上 关键词：周期边值同题；奇异超线性方程；正解；l e r a y s c h a u d e r 抉择；锥不动点 定理；格林函数 a b s t r a c t m a n ya u t h o r sh a v ei n v e s t i g a t e dt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hs e p e r a t e db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，f o re x a m p l e s ，8 e e ，【1 - 1 0 ，1 5 ，2 0 lt h e p r o o fo ft h e x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v es o l u t i o n si sb a s e do na na p p l i c a t i o no faf i x e d p o i n tt h e o r e mf o rc o m p l e t e l yc o n t i n u o u so p e r a t o r si nc o n e sa n dt h ep o s i t i v ep r o p e r t i e so f t h eg r e e n sf u n c t i o n h o w e v e r t h e r ea r ef e wr e s u l t so ns e c o n d - o r d e rn o n h n e a rp e r i o d i c d l f i e r e n t i a le q u a t i o n se x c e p t r e c e n t l y ，t h ea u t h o r so f 1 4 ，1 6 ，1 7 c o n s i d e r e dt h ea b o v e p r o b l e ma n dg a v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa b o u tt h ee x i s t e n c eo fs i n g l ea n dm u l t i p l e s o l u t i o n sb ye m p l o y i n gt h en o r m - t y p ee x p a n s i o na n dc o m p r e s s i o nt h e o r e mi nc o n e sd u e t ok r a s n o s e l s k i i i nt h i sp a p e r ，w ea r ed e v o t e dt oe s t a b l i s ht h em u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v e s o l u t i o n st os u p e r l i n e a ra t t r a c t i v es i n g u l a re q u a t i o n sw i t hp e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n s i ti sp r o v e dt h a t8 u c hap r o b l e mh a sa tl e o a tt w op o s i t i v es o l u t i o n su n d e ro u rr e a s o n a b l e c o n d i t i o n s o u rn o n l i n e a r i t ym a yb es i n g u l a ri ni t sd e p e n d e n tv a r i a b l ea n ds u p e r l i n e a r a ti n f i n i t y t h ep r o o fr e l i e so nan o n l i n e a ra l t e r n a t i v eo fl e r a y - s c h a u d e rt y p ea n do n k r a s n o s e i s k i if i x e dp o i n tt h e o r e mo nc o m p r e s s i o na n de x p a n s i o no fc o n e s t h eg r c c n f u n e t i o i sa l s oi m p o r t a n ti nt h ep r o o f t h ee x i s t e n c eo ft h ef i r s ts o l u t i o ni so b t a i n e d u s i n gan o n l i n e a ra l t e r n a t i v eo fl e r a y - s c h a u d e r ，a n dt h es e c o n do n ei sf o u n du s i n ga f i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n ，b e s i d e sf i x e dp o i n tt h e o r e m si nac o n eu s e di nt h ee x i s t e n c e p r o b l e m s a n o t h e rt o o l 一t h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o l l s _ i sa l s ou s c di nt h e l i t e r a t u r c i nf a c t t h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n si sm u c hm o r ef r e q u e n t l yu s e d k e yw o r d s ：p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；s u p e r l i n e a rs i n g u l e xe q u a t i o n s ；p o s i - t i r es o l u t i o n s ；l e r a y - s c h a u d e ra l t e r n a t i v e ；f i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e s ；t h eg r i n s f u n c t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意 学位论文作者签名；望整磐日期：1 鲤皇：丝 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留，使用学位论文的规定，即；东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被 查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印，缩印或其它复制手段保存，汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：塑熟坚指导教师签名：撼翊 日 期：j ! 堕l ! ! 翌日期：毒翌2 1 ! 生兰 学位论文作者毕业后去向， 工作单位：塞纽勃圭 通讯地址；蔓型宦! l l 岛考 电话 邮编 阱国一。斡o z 雌 j l 毒口o o 引言 本文研究下面奇异超线性周期边值问题t 搿端“) 护z - - f m ( t , z ) , 】( 1 t ) e j ( o x 1 k 【0 1 1 ( 1 1 ) lz ( o ) = z ( 1 ) ，z 1 1 ) = 1 1 ( 1 ) 卜“7 这里定义d 1 j ( t ) = p ( t ) e ( t ) 为准导数。其中系数p ( ) ，g ( f ) 是定义在i o ，1 】上的可测函 数，且p ( t ) 0 ，q ( t ) 0 ，a ei o ，1 】，f ( t ，) c ( xx r ，r + ) ，r + = ( 0 ，+ o 。) 我们主要关心的是非线性项f ( t ，善) 在o = 0 是具有奇性的；f ( t ，z ) 在z = + o o 是 超线性的 在物理学上，如果 l i 观，( t ，z ) = + o o ，( 1 2 ) z u 称( 1 1 ) 在z = 0 是吸引奇异的 如果 。墨巾，z ) 肛。+ o 。t ( 1 3 ) 称( 1 1 ) 在o = + o o 是超线性的 在过去一些年的研究中，奇异二阶微分方程已经有了一些初步的研究成果大部分 论文主要讨论p ( t ) = - 1 ，q ( t ) = 0 和p ( t ) = - 1 ，q ( t ) 0 然而，对于v ( t ) l 且q ( t ) 0 主要的结论还没有在文献被提出或推广， 当v ( t ) = 1 ，q ( t ) = m 0 时，文献【1 4 】中，j i a n g 假设，是超线性的或次线性的 得到了方程( 1 1 ) 的一个正解而文献【1 6 ，l7 1 给出了方程( 1 1 ) 至少存在两个正解的结 论，条件比文献【1 4 】中的条件弱在这两篇文献中得到解的存在性的证明都使用范数形 式的锥拉伸或压缩的k r a s n o s e l s k i i 的不动点定理。另外解的存在性的证明还经常利用上 下解方法 本文的主要目的是研究奇异超线性周期边值问题( 1 1 ) 的多重正解存在性本文主 要使用菲线性l e r a y - s c h a u d e r 抉择定理，锥不动点定理及上下解方法进行正解的存在性 证明 本文是这样组织的第一部分为引言，第二部分给出了在证明中要用到的引理和定 理第三部分主要研究正定的情况，其中f ( t ，z ) 是正的，第一个正解由l e r a y ，s c h a u d e r 抉择定理得到，第二个正解由锥不动点定理证明半正在第四部分中研究，第一个正解 由锥不动点定理得到，第二个正解由上下解方法证明一些用于解释的例子在第三部分 和第四部分给出 1 二预备引理和定理 线性非齐次周期边值同题( 1 1 ) 中第个方程相对应的齐次方程 一( p ( t ) z ) + g ( t ) 。= 0 ，0 t 1 ，( 2 1 ) 设“( ) 和口( t ) 是方程( 2 1 ) 且分别满足初值条件， u ( o ) = 1 ，u 吣o ) = o ；v ( o ) = 0 ， 【1 1 ( o ) = 1( 2 2 ) 的解 令 m = 缸( 1 ) 一t ，【1 l ( 1 ) 一2 ( 2 3 ) 引理2 1 1 1 6 lm 是一正数，即m 0 定理2 1 t 6 i 周期边值问题 搿笺r e ( 1 亨) 。骗j ( o 鲶瑟坯1 a ， 1z ( o ) =，z 【1 ) = 。眦1 ) 一7 的解可表示为一 z ( t ) 2 j o g ( ，s ) ( s ) d st 【o ，1 】，( 2 5 ) 这里 g ( t 1s ) = 等u “( s ) 一u p 砀i ( 刈1 ) 巾) + f 学“( t ) ”( s ) 一巫芸j “( s ) v ( t ) 0 s 曼t 1 ， 【生生舄h “( s ) 口( t ) 一! 乒u ( ) ( s ) 0 ss 1 ， 常数m 满足( 2 3 ) 式 定理2 2 f 1 6 l 边值问题( 2 ，4 ) 的格林函数在条件m 0 下是正的，即 g ( t ，s ) 0 ，t ，s 【0 ，1 】( 2 6 ) 令 a = 。r a 。i n 。g ( t ，s ) ，b = m 。a 。x ，g ( t ，s ) ，口= a e ( 2 7 ) 则b a 0 且0 口 0 定理3 1 假设y ( t ，。) 满足下面条件 ( c 1 ) 任意的常数l o 存在函数芘卜0 使得，( ，。) 札( ) ，v ( t ，z t o ，1 1 x ( o 动这 里丸卜0 意味着对所有的t i o ，l 】，丸( t ) 0 和对在- - + 正p a 度的子集上的t ，c l ( t ) 0 ( q ) 在( 0 ，o 。) 存在连续非负函数9 ( z ) 和h ( z ) 使得 f ( t ，z ) 9 ( $ ) + ( z ) v ( t ，z ) f o ，i 】( o ，0 0 ) 而且。( 0 ，0 0 ) 时，g ( 。) 0 是不增的函数， ( ) 9 ( z ) 是不减的函数 ( 仍) 存在一个正数r ，使得 而顶再 怕i i 其中口和( t ) 见第2 节 则( 1 1 ) 至少存在一个正解z 且0 i l x l i r 证明；我们将利用l e r a y - s c h a u d e r 抉择定理来证明解的存在性 令o = 珊，n o + 1 ， ，其中选择n o l ，2 ， 使得 i i u l l g c a r ) ( 1 + h ( r ) g ( r ) ) + 1 n o 0 ， 这里1 表示通常意义下的在( o ，1 ) 上的l l 模 所以 z 。( f ) = g ( t ，s ) ( $ ，z 。( s ) ) 如+ 1 i n 。上g ( t , 8 ) m 胁( s ) ) 出+ 1 加 r l g ( ，s ) 机( 8 ) d s + l i n j o = z ，( t ) + 1 i n a i i 毋，i h = ：5 为得到相对原始问题( 1 ，1 ) 的转换问题( 3 6 ) 的解，需要证明： 的n n o ，有 z 驯日 因为6 s z 。( ) sr ，令 m 1 2 卸m s ，x l l ：m 州a x m ，。) 2 御m a x 1 】io t c t ，8 ) i 5 ( 3 7 ) 存在常数抒 0 和所有 ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 则 u = i i2 t m e a x o , 1 矗( t ) = t “e o “, l lq ( 司，( 。( s ) ) n 如= ：日 由| i z 。l | r 和( 3 ，8 ) 知协) 。o 在1 0 ，1 1 上是有界的而且等度连续。根据a r z e l a - a s c o l i 定理知 z 。 。肺存在一个子序列 。) 挺n ，在i o ，1 1 上一致收敛到函数$ c l o ，l 】 由i i x 。8 r 和( 3 7 ) ，v t ，z 满足j z ( t ) 曼r 而且，。满足积分方程 ，1 x n k ( t ) ；厶g ( t ，s ) 饰，z m ( s ) ) 幽+ 1 k 令一o 。，因为f ( t ，。) 在【0 ，1 lx 峨r 】是一致连续的，则 ，l 霉( t ) = a ( t ，s ) i ( 8 ，：r ( s ) d s ， j 0 所以z 是( 1 1 ) 一个正解， 最后不难证明i i x l l 0 ，且p 0 足一个正数 则 ( i ) 当口 o ；且 ( i i ) 当口1 时，【l1 ) 至少存在一个正解对于任意的0 p 0 c o = “f 。( ) 0 e o = m t a x e ( t ) 0 p 翌毪笋，例 6 所以( 1 1 ) 至少存在一个正解，如果 。 严 川= 鬻翌驾铲 注意到当口 r ，使得 面丽丽习而r 虿丙玎丽剑u i i ， 其中口和u ( t ) 见第2 节 则除了定理3 1 中构造的解。外，问题( 1 1 ) 至少还存在另一个解i 且r i r 证明：令x = c o ，1 1 ，k 为x 中的锥，令n l = 屏，n 2 = b r 是x 中的球由算子 t ：k n ( h z f h ) 一k 即 ( t x ) ( t ) = g ( t ，s ) f ( s ，z ( s ) ) d s ( 3 1 2 ) j 0 及k 的定义，对任意的z k n ( n 2 n 1 ) 都有0 口r x ( t ) s r 首先证明当z k n 锄1 时，i t x l l 恻 事实上，如果当2 k n a n l 时，恫_ r 与前面( 3 5 ) 式的证明类似可以得到l i r z l l 1 时的情况令c ( t ) 0 对所有的z 验证条件( c 4 ) ，令 9 1 ( z ) = b l x 一，h i 扛) = 肛l 扩+ e l ， 7 其中 条件( 岛) 为 b l = 哩n 6 ( t ) o ， c 1 = 瑚； n c ( t ) o ，e l = 如归8 ( t ) o p 塑斋铲 ( 3 1 3 ) 因为当r 一+ o o 时，上式右端趋近于0 所以，对于任意给定的0 1 ，且对于所有的t ，a ( t ) 0 ，c ( t ) 0 则对于每一个p 且 0 0 是不增的，h ( z ) g ( z ) 是不减 的，使得f ( t ，z ) = f ( t ，z ) + msg ( x ) + ( z ) ( 凰) 存在r 鼍础使得而i 面赢礴 瞅其中，= 鲁，睁f | = m a x o 0 是不增的，h i ( z ) 9 l ( z ) 是不减 的，使得f ( t ，z ) = f ( t ，z ) + m g l ( x ) + l ( ) ( ) 存在r 使得石丽面噶洒 m x ( t ) ，vt 【o 1 1 ，r i i x t l r 如果( 4 , 2 ) 成立，则口( c ) = x ( t ) 一m w ( t ) 是( 1 1 ) 的一个正解且r 4 - 肌川r ，因 为对于所有的te 【o 。l 】， 一扫o ) ) 7 + q o 扣= f ( t ，z ) = 一p ( t ) ( 嚣( ) 一 f u 7 ( f ) ) + 碍( t ) ( z ( ) 一m w ( t ) ) = 一( ( p ( f ) z 7 ( t ) - p ( t ) m o v o ) ) 7 + q ( t ) x ( t ) 一m q ( t ) t a ( t ) ；一( ( ) z 7 ( ) ) 7 + q ( t ) x ( t ) 一m = f ( t ，z ( ) 一m w ( t ) ) 一m = y ( t ，x ( t ) 一m w ( t ) ) = f ( t ， ( ) ) 所以只需研究问题( 4 2 ) 令x = c o ，1 】且k 是x 中的一个锥，k 由( 2 8 ) 所定义令 n r = 扛x ：0 z | l r ) ，n r = 扛x ：i i x l i r 且定义算子t ：k n ( 晓凡n ，) 一k 即 ，l ( z 。) o ) = j og ( 。，s ) f ( 5 ，z ( s ) 一 4 u 扣) ) 如，0 。s 1 ( 4 3 ) 9 因为对忱k n ( 矗且珥) ，有r s i l z l ls r ，这样0 a h r m i i , i is z ( t ) 一 灿( t ) r 又 因为f ：1 0 ，1 】 口r m 1 1 w i i ，捌一1 0 ，) 是连续的，由定理2 5 ，算子t ：n ( 磊凡n r ) 一k 有定义并且是紧的 首先证明 i t z l i m 怕“对于0 1 所以得到对任 意的t 【0 ，l 】， ( t x ) ( t ) = 詹g ( t ，s ) f ( s ，z ( s ) 一觚j ( s ) ) 幽 si ；g ( t ，s ) 9 ( z ( s ) 一肌o ) ) 1 + 爱爱等三筹爱崭) d s 詹e ( t ，s ) 9 ( r m 1 1 w 1 ) 1 + 簧碧 d 8 = u ( b ( 口r m i i “，i i ) 1 + 爱鲁) i i u l l g ( a r m i i u i i ) 1 + 美筹 r = l i x l i ， 又因为a r m i i u i i 。( f ) 一m w ( t ) r 这意味着i i t z l i i ，即( 4 5 ) 成立 由( 44 ) ，( 45 ) 和定理2 4 知，t 有一个固定点。k f l ( 而烈n r ) 且r i l z l l r 显 然，z 是( 4 2 ) 的一个正解定理4 1 证毕 推论4 2 考虑下面的边值问题 搿裟“。) x 。= t t ( x - a x lj ( o 蒜o 0 gg e ， iz ( o ) ；z ( 1 ) ，1 ) = z f l j ( 1 ) ； ”7 1 0 其中口 0 ，卢 1 且女：【0 ，1 】一冗是连续的，选取p 0 使得 ”州铷s u p ，斋器 g l 二：o “1 j ” 这里日= l l k 1 则问题( 4 6 ) 有个正解z c 0 ，1 】，一c o ，1 】 证明：应用定理4 1 当m = p 日时，且 9 ( 士) = g l ( z ) = 弘z 一。， ( z ) = p ( 士卢+ 2 h ) ， 1 ( z ) = = p z 芦 ( 4 7 ) 显然，( h 1 ) - ( h 2 ) 和( 1 1 4 ) 是满足的 令 m ，= 谛高裟，吲掣问， 因为丁( 删掣) = 0 ，t ( o o ) = 0 ，则存在r ( 铆业，o o ) 使得 砷) = 矧脚s u p ，甜；等等可 这意味着存在常数r ( 掣业，o o ) 使得p 1 这样定理4 1 的所有条件是满足的则存在性是成立的推论4 2 证毕 定理4 3 假设f ( t ，) 满足条件( h i ) 一( h s 和下面的条件： ( h 6 】存在一个常数l m ，垤 0 使得对所有的( ，z ) 【0 ，1 1 ( o ，】 f ( t ，z ) l9 ( z ) l 成立 则除了定理4 1 中所构造的解z ，问胚( 1 1 ) 有另一个正解且0s 忙+ m “，1 l 0 ，使得 c 1 u 1 1 1 ，使得 赤 击i 1 ，则 e ；( t ，口( 0 一m ( t ) ) 工，vt l n o 所以8 ( t ) 是方程( 4 1 0 ) 的一个严格的下解引理4 4 证毕 引理4 5 假设( 凰) 一( 风) 成立，则对问题 l 一( p ( t ) + q ( t ) z g _ 1 m u ( t ) ) ( 1 + 粥) ，t j = 【o ，i i ，n 伽，( 4 1 1 ) iz ( 0 ) = 。( 1 ) ，x 1 1 ( 0 ) = $ 1 1 1 ( 1 ) ； 、 至少存在一个正解风( ) ，t 【0 ，1 】且f 慨0 “ 证明：我们主要用l e r a y - s c h a u d e r 抉择定理证明解的存在性由( 凰) ， l p f l 9 ( ”一 f f p i l ) ( 1 + h ( r ) g ( r ) ) r 考虑下面的方程 搿兰麓m ) 扣x 1 ( 0 = a 触g ( x - j ( 1 m ) ；“d 1 + 孙t j - i o “ ( 4 1 2 ) 1z ( o ) = z ( i ) ， 。i ”( o ) = z f l ( 1 ) ； 、。7 其中a 【0 ，1 l 且如( 。) = 9 ( m “扛，l n ) ，易见鲰( z ) 关于。不增 问题( 4 1 2 ) 等价于下面的不动点问题，在c o ，1 】中。 = a ! k 反 其中矗为 ( 霸口) ( t ) = 上1g ( t ，s ) 鲰( s ) 一朋。( s ) ) ( 1 + ( r ) 9 ( r ) ) d s ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) 下面证明对va 0 ，1 1 满足( 41 3 ) 的任意不动点一定满足9 n l l r 否则，假设对某个 a 【0 1 】，伊足方程( 4 1 3 ) 的一个解且使得l l n l i = r 则类似定理3 1 中的证明，可以证明 忪j j r 由i r ，利用非线性l e r a y - s c h a u d e r 抉择定理使得( 4 1 3 ) ( 当 = 1 时) 存在不动 点，表示为风且i l 风0 r 即( 4 1 1 ) 存在一个正解风且i i 岛0 r ，引理4 5 证毕 引理4 6 假设( h i ) 一( h 6 ) 成立，则风( z ) 是问题( 41 0 ) 的一个上解 证明：由引理4 5 ，知艮( ) 足方程( 4 1 1 ) 的一个解 当风( t ) 一m c v ( t ) ；1 时， 晶( t ，风( t ) 一m w ( t ) ) = f ( t ，风( ) 一m w ( t ) ) 鲥眦卜肌雠+ 糕窘端) - o ，e ( t o ) = 0 ，2 ”( t o ) 0 ，则幻( ) 一( 如) ) 0 由于q ( o ) 一m w ( t o ) = 叫( 。o ) 2 怕0 而1 ；1 ，, k t o ) 一m t a ( t o ) = c l l u l l l 且 一( p ( 锄z 犯。) ) 7 + 。) 印。) = m + 郎。) 一( 埘一鳜( 风( 瑚一m u ( ) ( 1 + 筹) m + 口一嘞( 。) _ m 圳) ( 1 + 筹) s m 叫+ 器) 0 ， 则与一( p ( t ) ：似o ) ) 7 + q c t ) z ( t o ) 0 矛盾，从而引理4 ，7 证毕 定理4 3 的证明：由引理4 4 ，引理4 5 ，引理4 6 ，引理4 7 ，知道( 4 1 0 ) 有一个解矗且 c o x o q ( ) 磊( ) 风 r 所以解i 。属于陋怕 r 】| 由于i 。在【o ，1 1 中足有界和等度连续的序列，由a r z e l a - a s c o l i 定理知序列忙。) 。n o 中存在一子序列 。h 在【o ，1 】中一致收敛于函数i c l o 1 】又由于忙川 0 则对于每一个p ，问题( 4 6 ) 至少存在两个不同 的正解 结论 本文的主要目的是研究奇异超线性周期边值问题( 1 1 ) 的多重正解存在性证明了这 样的问题在合理的条件下至少存在两个正解，第一个正解是通过非线性l e r a y - s c h a u d e r 抉 择定理得出，第二个正解是用锥不动点定理证明的 除了锥不动点被用在存在性问题上，另一个工具一上下解方法一也被广泛应用事 实上，上下解方法是非常普遍的被应用在解的存在性问题上 第二部分给出了在证明中要用到的引理和定理第三部分主要研究正解的情况，其 中f ( t ，z ) 是正的，第一个正解由l e r a y - s c h a u d e r 抉择定理得到，第二个正解由锥不动点 定理证明半正即f ( t ，o ) 2 一m 对于m 0 ，在第四部分中研究，第一个正解由锥不动 点定理得到，第二个正解由上下解方法证明 1 4 参考文献 【1 】l h e r b e ，s h ua n dh w a n g m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so fs o m eb o u n d a r yv a l u ep r o b - l e m s j ，zm a t h a n a l a p p l ，1 9 9 4 ，1 8 4 ：6 4 0 - 6 4 8 【2 1 l he r b e ，h w a n g o nt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j 】 p w c a m e r m a t h s o c ，1 9 9 4 ，1 2 0 ：7 4 3 - 7 4 8 【3 】p w e l o e ，j h e n d e r s o n p o s i t i v es o l u t i o n sf o rh i g h e ro r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j l e l e c t r o n i c 工d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s , 1 9 9 5 ，3 ：1 - 8 【4 】pw e l o e ，j h e n d e r s o na n dp j y w o n g p o s i t i v es o l u t i o n sf o rt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m s j ，d y n a m i cs y s t e m sa p p l i c a t i o n s ，1 9 9 6 ，2 ：1 3 5 - 1 4 4 f 5 】z l i u ，f l i m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rn o n l i n e a rt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s j 】 j ，m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 6 ，2 0 3 ：6 1 0 - 6 2 5 6 1j h e n d e r s o n ，h w a n g p o s i t i v es o l u t i o n sf o rn o n l i n e a re i g e n v a l u ep r o b l e m s j ，m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 7 ，2 0 8 ：2 5 2 2 5 9 7 1p w e l o e j h e n d e r s o n p o s i t i v es o l u t i o n sa n dn o n l i n e a rm u l t i p o i n tc o n j u g a t ee i g e n v a l u e p r o b l e m s j ，e l e c t r o n i c ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 9 7 ，3 ：i - i i 8 1 p we l o e ，j h e n d e r s o n p o s i t i v es o l u t i o n sf o r ( n - 1 ，1 ) c o n j u g a t eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s j 】 n o n l i n e a ra n 以1 9 9 7 2 8 ：1 6 6 9 1 6 8 0 9 】j h e n d e r s o n ，e r k a u f m a n n m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rf o c a lb o u n d a r yv a l u ep r o b - l e n l s p ，c o m m a p p l a n a l ，1 9 9 7 ，1 ：5 3 - 6 0 1 0 1d g u o ，v l a k s h m i k a n t h a m m u l t i p l es o l u t i o n so ft w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so f o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e s j ，m a t h a n a l a p p l ，1 9 8