（基础数学专业论文）φfree+n李代数.pdf

摘要 摘要 n 一李代数作为李代数的自然推广，是基本乘法运算为n 元线性运算的一种代数系 统( 当n = 2 时，即为通常李代数) n 一李代数保持了李代数的一些很好的性质和结 构( 参见后面所列参考文献) 由于是多元运算，n 一李代数与李代数也存在着很大的不 同，如李代数中的根系理论在几一李代数中就不能得到佗一李代数结构的很多方面尚 不十分清楚本文主要研究一类特殊的扎一李代数一一行e e 竹一李代数 首先，给出一f r e en 一李代数的定义，讨论其性质，得到几一李代数c - f r e e 的充要 条件 其次，在任意域上，得到了可解的n 一李代数一f r e e 的等价条件以及n 一李代数可 解的等价条件，并进一步讨论了- f r e en 一李代数的性质 再次，在特征零域上得到了- f r e e 扎一李代数的分类定理及l e v i 分解定理 最后，给出了+ 1 ) 一维佗一李代数关于一f r e e 的分类，并给出了例子 关键词n 一李代数；f r a t t i n i 子代数；f r a t t i n i 理想；一f r e e ；l e v i 分解 a b s t r a c t a b s tr a c t a nn l i ea l g e b r ai san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no ft h ec o n c e p to fal i ea l g e b r at ot h e c a s e ，w h e r et h ef u n d a m e n t a lm u l t i p l i c a t i o no p e r a t i o ni s 佗一a r y , 几2 ( w h e n 几= 2 ，t h e d e f i n i t i o na g r e e sw i t ht h eu s u a ld e f i n i t i o no fal i ea l g e b r a ) i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h es t r u c t u r ea n dp r o p e r t i e so fn - l i e a l g e b r a sh a v i n g t r i v i a lf r a t t i n ii d e a l - - d e s i g n a t e dc - f r e en - l i ea l g e b r a s t h i st h e s i sc a nb ed i v i d e di n t of o u rp a r t s i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r ，w ep r o p o s et h ed e f i n i t i o no f - f r e en - l i ea l g e b r a s a n dt h e nd i s c u s ss u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o ra nn - l i ea l g e b r at ob ec - f r e e i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ，w ef i r s t l yo b t a i nt h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n so fc - f r e e s o l v a b l en - l i ea l g e b r a s a n dt h e nw ef i n dv a r i o u sc o n d i t i o n so nf r a t t i n ii d e a lw h i c ha r e e q u i v a l e n tt ot h es o l v a b i l i t yo fn - l i ea l g e b r a s t h e ya r ed i s c u s s e do v e ra na r b i t r a r yf i e l d f i nt h et h i r dp a r to ft h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h es t r u c t u r eo f 一行e en - l i ea l g e b r a s w eg i v et h ec l a s s i f i c a t i o nt h e o r e ma n dt h el e v id e c o m p o s i t i o nt h e o r e mo fc - f r e en - l i e a l g e b r a so v e raf i e l do fc h a r a c t e r i s t i cz e r o w ea l s of i n dm o r ep r o p e r t i e sa b o u tf r a t t i n i i d e a l i nt h el a s t p a r to ft h ep a p e r ，w ed i s c u s st h ec l a s s i f i c a t i o no f ( n + 1 ) - d i m e n s i o n a l n - l i ea l g e b r a s0 nc - - f r e eo v e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l do fc h a r a c t e r i s t i cz e r o a n dw e o b t a i n ( n 十1 ) - d i m e n s i o n a ln - l i ea l g e b r a sli s 一行e ew h e n 成m l l 2 k e yw o r d s n - l i ea l g e b r a s ；f r a t t i n is u b a l g e b r a ；f r a t t i n ii d e a l ；c - f r e e ； l e v id e c o m p o s i t i o n i i - 河北大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名：毋孑日期：2 竺2 年二月二二l l 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方格内打“ ) 作者签名：i 羔簦 导师签名：日期：边2 年上月上e 1 1 i n t r o d u c t i o n 1 i n t r o d u c t i o n i nt h el a s tf e wy e a r s ，n a j r yg e n e r a l i z a t i o n so ft h ec o n c e p to fl i ea l g e b r ah a sa t t r a c t e d al o to fa t t e n t i o nd u et oi t sc l o s ec o n n e c t i o nw i t hd y n a m i c s h i s t o r i c a l l y , t h ef i r s tw o r k d e d i c a t e dt ot h i st o p i cw a st h ep a p e ro fv t f i l i p p o v 1 】i n1 9 8 5 ，v t f i l i p p o vi n t r o d u c e d t h ec o n c e p to fa nn - l i ea l g e b r a ，w h i c hi san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no ft h ec o n c e p to fa l i ea l g e b r at ot h ec a s ew h e r et h ef u n d a m e n t a lm u l t i p l i c a t i o no p e r a t i o ni s 礼一a r y 几2 ( w h e n 仡= 2 ，t h ed e f i n i t i o na g r e e sw i t ht h eu s u a ld e f i n i t i o no fal i ea l g e b r a ) i ni t ， h ec o n s i d e r e d 佗一蛳rm u l t i l i n e a ra n ds k e ws y m m e t r i co p e r a t o ro p e r a t i o nx l ，】 s a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n gg e n e r a l i z e dj a c o b ii d e n t i t yw a sc o n s i d e r e d ： ，z n 】，y 2 ，】_ i = 1 ， 耽，耽，z n 】， w h i c hw a sd e f i n e da st h eo p e r a t o ro fa nn - l i ea l g e b r a s i nt h i sp a p e r ，e x a m p l e so fn - l i e a l g e b r a s ，d e v e l o p e ds t r u c t u r a ln o t i o n ss u c ha ss i m p l i c i t y , n i l p o t e n c ya n dc l a s s i f i c a t i o no f ( 礼+ 1 ) - d i m e n s i o n a ln - l i ea l g e b r a sw e r eg i v e n t a k i n gi n t oa c c o u n to ft h er e l a t i o n sb e t w e e nl i ea l g e b r a sa n d n - l i ea l g e b r a s ，w en a t u r a l l yf i n dt h a ts o m eo ft h ef u n d a m e n t a lp r o p e r t i e so fl i ea l g e b r a sc o n t i n u et op r e v a i lo n n - l i ea l g e b r a si ng e n e r a l s om a n y i m p o r t a n tr e s u l t sh a v eb e e nf o u n di nn - l i ea l g e b r a s i n 1 】 e x a m p l e so fn l i ea l g e b r a s ，d e v e l o p e ds t r u c t u r a ln o t i o n ss u c ha ss i m p l i c i t y , n i l p o - t e n c ya r eg i v e n a n dv t f i l i p p o v 1 】a l s oi n v e s t i g a t e da l l ( 几十1 ) - d i m e n s i o n a ln - l i e a l g e b r a so v e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l d 砸w i t hc h a r a c t e r i s t i cz e r o a n dp r o v e dt h a t t h e r ea r ep r e c i s e l yn + 4s u c ha l g e b r a su pt oi s o m o r p h i s m i n1 9 8 7 ，s h m k a s y m o v ，i 1 1 2 】， i n t r o d u c e da n dd i s c u s s e dk - s o l v a b i l i t y , k - n i l p o t e n c y , c a r t a ns u b a l g e b r a s ，k i l l i n gf o r m s a n dr e p r e s e n t a t i o n so fn - l i ea l g e b r a s ，h ea l s op r o v e da na n a l o go ft h ee n g e l st h e o r e m b e c a u s eo ft h em u l t i p l eo p e r a t i o n ，t h es t u d yo fn - l i ea l g e b r a si sm o r ec o m p l i c a t e dt h a n t h a to fl i ea l g e b r a s ，a n dt h e r ei sag r e a td i f f e r e n c eo fs t r u c t u r eb e t w e e nt h e m f o re x a m - p i e ，t h ef a m o u sj a c o b s o n st h e o r e ma n dt h er o o t st h e o r yo fd e s c r i b i n gs i m p l el i ea l g e b r a s c a nn o tb eg e n e r a l i z e di ns t u d y i n gn - l i ea l g e b r a s i nr e c e n ty e a r s ，b a ir u i p us t u d i e dt h e s t r o n gs e m i s i m p l en - l i ea l g e b r a s ，t h ed e c o m p o s i t i o n ，s o l v a b i l i t y , n i l p o t e n c yo fn - l i e 1 河北大学理学硕士学位论文 a l g e b r a si n 【1 3 1 6 i n 【9 - 11 ，b a ir u i p ua l s os t u d i e dt h es t r u c t u r a ln o t i o n s - f r a t t i n is u b - a l g e b r aa n dj a c o b s o nr a d i c a lo fn - l i ea l g e b r a s b u tt h es t u d yo nt h es t r u c t u r eo f 扎一l i e a l g e b r a si sf a rf r o mb e i n gc o m p l e t e d w en e e dt op r o p o s em o r es t r u c t u r a ln o t i o n so ff i - n i t ea n di n f i n i t ed i m e n s i o n a ln - l i e a l g e b r a st oh e l pu su n d e r s t a n dt h es t r u c t u r eo f 佗一l i e a l g e b r a s i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h es t r u c t u r ea n dt h ep r o p e r t i e so fn l i ea l g e b r a s h a v i n gt r i v i a lf r a t t i n ii d e a l - - d e s i g n a t e dc - f r e e 仃一l i ea l g e b r a s i ns e c t i o n1 ，w er e c a l ls o m ed e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n so fn - l i ea l g e b r a s ，a n dg i v e s o m eb a s i cp r o p e r t i e so f 仃一l i ea l g e b r a s ，m o s to fw h i c hc a nb ef o u n di n 1 2 3 a n d 4 】 i ns e c t i o n2 ，p r o p o s et h ed e f i n i t i o no f 一f r e en - l i ea l g e b r a s ，s t u d yt h ep r o p e r t i e s o fi t ，a n dg i v et h es u f f i c e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o ra n 佗一l i ea l g e b r at ob e 一f l e e i ns e c t i o n3 ，w ef i r s t l yo b t a i nt h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n so f 西一f r e es o l v a b l e 佗一l i e a l g e b r a s a n dt h e nw ef i n dv a r i o u sc o n d i t i o n so nf r a t t i n ii d e a lw h i c ha r ee q u i v a l e n tt o t h es o l v a b i l i t yo f 竹一l i ea l g e b r a s t h e ya r ed i s c u s s e do v e ra na r b i t r a r yf i e l df i ns e c t i o n4 ，w ep r o v et h ec l a s s i f i c a t i o nt h e o r e ma n dt h el e v id e c o m p o s i t i o nt h e o r e m o f 西一f r e en - l i ea l g e b r a so v e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l do fc h a r a c t e r i s t i cz e r o a n d m o r ep r o p e r t i e sa b o u tf r a t t i n ii d e a la r ef o u n d i ns e c t i o n5 ，w es t u d yt h ec l a s s i f i c a t i o no f ( n + 1 ) - d i m e n s i o n a ln - l i ea l g e b r a so n c - f r e e ，a n dg i v es o m ec o r r e s p o n s a b l ee x a m p l e s 一2 - 2 p r e l i m i n a r i e so f 钆一l i ea l g e b r a s 2 p r e l i m i n a r i e so fn - l i ea l g e b r a s f i r s t l y , w ew i l lr e c a l ls o m ef u n d a m e n t a lc o n c e p t sa n dt h e o r e m so fn - l i ea l g e b r a s ， w h i c hc a nb ef o u n di n 【1 - 4 d e f i n i t i o n2 1a nn - l i ea l g e b r ai sav e c t o rs p a c elo v e raf i e l df ，o nw h i c h t h e r ei sd e f i n e da nn a r ym u l t i l i n e a ro p e r a t i o n 【，】s a t i s f y i n gt h ei d e n t i t i e s ： a n d 陋1 ，z n 】_ ( 一1 ) r ( 矿 z 口( 1 ) ，z 矿( n ) 】， ，】，y 2 ，y n 】 ，j ，j = ， i = 1 ，陋t ，可2 ， ，z n 】， ( 2 1 ) ( 2 2 ) where盯ther m m e t r i c ，a n dt h en u m b e r7 ( 口) u a l 01where r u n so v e rt h es y m m e t r i cg r o u pa n dt h en u m b e ri se q u a lt o0o r1 ，盯 ， 7 ( 口) ， d e p e n d i n go nt h ep a r i t yo ft h ep e r m u t a t i o n 仃 d e f i n i t i o n2 2t h es u b a l g e b r ao fa nn - l i ea l g e b r ali sas u b s p a c ebo fl ， s a t i s f y i n g b ，引b a ni d e a lo fa nn - l i ea l g e b r al i sa s u b s p a c ei o fl ，s a t i s f y i n g ，l ，l 】i i f 【，l ，别= 0 ， ii sc a l l e da ni m b e d d e da b e l i a ni d e a lo fl i fia n dja r ei d e a l so fl ，t h e ni + ji s a l s oa ni d e a lo fl l 1 = l ，l 】i sc a l l e dt h ed e r i v a t i o na l g e b r ao fl b yi d e n t i t y ( 2 2 ) e v e r ys u b s p a c eo flc o n t a i n i n gl 1i sa ni d e a lo fl d e f i n i t i o n2 3ad e r i v a t i o no fa nn - l i ea l g e b r ali sal i n e a rt r a n s f o r m a t i o nd o fli n t oi t s e l fs a t i s f y i n gt h ec o n d i t i o n d ( x l ，如】) = ，d ( x t ) ，】， i = 1 f o rz 1 ，z n l b yv i r t u eo f ( 2 2 ) ，f o rz l l ，i = 1 ，n 一1 ，t h el e f tm u l t i p l i c a t i o n a d ( x l ，一1 ) ：l 一三，a d ( x l ，z n 一1 ) ( 芗) = x l ，x n 一1 ，引，v y 己， i sad e r i v a t i o no fl 3 - 河北大学理学硕士学位论文 d e f i n i t i o n2 4a ni d e a l ，i sc a l l e dn i l p o t e n ti fi r = 0f o rs o m er 0 ，w h e r e o = ia n db yi n d u c t i o n d e f i n e 1 5 + 1 = j 8 ，i ，l ， f o rs o m e8 0 w h e nl = i ，li sc a l l e dn i l p o t e n tn - l i e a l g e b r a i fj ，ja r en i l p o t e n t i d e a l so fl ，t h e n ，+ ji sn i l p o t e n t ，t h el a r g e s tn i l p o t e n ti d e a lo fli sc a l l e dt h en i l r a d i c a l o fl ，d e n o t e db y ( 己) d e f i n i t i o n2 5a ni d e a lii sc a l l e dk - s o l v a b l e ，2 k 佗，i f ，( 7 ，七) = 0f o rs o m e r 0 ，w h e r e ，( o ，七) = ia n db yi n d u c t i o n ，d e f i n e i ( 8 + 1 ，七) ： ，、- 、，- n - k f o rs o m e8 0 i ti sc l e a rt h a ti fii sk - s o l v a b l e ，t h e nii sp - s o l v a b l e ，w h e r ek p w h e nl = i ，li sc a l l e d 忌一s o l v a b l en l i ea l g e b r a i fi ，ja r ek - s o l v a b l ei d e a l s ，t h e n ，+ ji sa l s ok - s o l v a b l e ，t h el a r g e s ts o l v a b l ei d e a li sc a l l e dt h ek - r a d i c a lo fl ，d e n o t e d b yr k ( l ) e s p e c i a l l y , i f 尼= 2 ，li ss i m p l i f i e ds o l v a b l en l i ea l g e b r a ，t h e2 - r a d i c a l r 2 ( l ) i ss i m p l i f i e db yr i fl h a sn on o n z e r ok - s o l v a b l ei d e a l s ，t h e nli sc a l l e dk - s e m i - s i m p l e 佗一l i ea l g e b r a w r h e n 七= 2 ，li sc a l l e ds e m i s i m p l en - l i ea l g e b r a c l e a r l y , i f li sn i l p o t e n t ，t h e ni ti sk - s o l v a b l e ( 七2 ) d e f i n i t i o n2 6t h es u b s p a c ez ( l ) = z li 陋，l ，叫= o ) o f 礼一l i ea l g e b r a 厶i sc a l l e dt h ec e n t e ro fl o b v i o u s l y , z ( l ) i sa nn i l p o t e n ti d e a lo fl t h e o r e m2 1 1 2 a ni d e a l ，i san i l p o t e n ti d e a lo fli fa n do n l yi ff o r 比，比 l ，i = 1 ，死一2 ，a d ( x ，x l ，x n - 2 ) i san i l p o t e n tm a po fi t h e o r e m2 2 【1 1 】li sa n 佗一l i ea l g e b r a ，i sa ni d e a lo fl ，7 r ：己叫l ii s ac a n o n i c a lh o m o m o r p h i s m ，t h e nt h e r ee x i s t sao n et oo n ec o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nt h e i d e a l s ( s u b a l g e b r a s ) o flc o n t a i n i n gia n dt h ei d e a l s ( s u b a l g e b r a s ) o fl i ，t h a ti si fj i sa ni d e a l ( s u b a l g e b r a ) o fl c o n t a i n i n gj ，t h e n7 r ( t j r ) i sa ni d e a l ( s u b a l g e b r a ) o fl i ， c o n v e r s e l yi fw i sa ni d e a l ( s u b a l g e b r a ) o fl i ，t h e n7 r - 1 ( ) i sa ni d e a l ( s u b a l g e b r a ) o fl c o n t a i n i n gi i na d d i t i o ni fi = r a d k ( l ) t h ek - r a d i c a lo fl ( k 2 ) ，t h e nl ii s k - s e m i - s i m p l eo ro n ed i m e n s i o n a l 垂 河北大学理学硕士学位论文 4 t h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n so f 矽- f r e es o l v a b l en - l i e a l g e b r a s t h i sc h a p t e r ，w ef i r s t l ys t u d yt h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n so f - f r e es o l v a b l e 佗一l i e a l g e b r a s a n dt h e nw ef i n dv a r i o u sc o n d i t i o n so nf r a t t i n ii d e a lw h i c ha r ee q u i v a l e n tt o t h es o l v a b i l i t yo fn - l i ea l g e b r a s w ew i l ld i s c u s st h e mo v e ra na r b i t r a r yf i e l df d e f i n i t i o n4 1t h e s u b s p a c e z ( a ) = z ：z a ，囟，a ，l ，纠= o i sc a l l e dt h ec e n t e ro fa ，w h e r eai sas u b a l g e b r ao fn - l i ea l g e b r al t h es u b a l g e b r a 地( a ) = _ ( z ：。l ，陋，a ，a ，捌a ， i sc a l l e dt h en o r m a l i z e ro fai nl z l ( a ) = z ：z l ，【。，a ，l ，翻= o ) ， ( 4 1 ) ( 4 2 ) i sc a l l e dt h ec e n t r a l i z e ro fai nl i ti sc l e a rt h a ti fai sa ni d e a lo fl ，t h e nz l ( a ) a n d n l ( 4 ) a r ei d e a l so fl w ed e f i n et h eu p p e rc e n t r a ls e r i e so flb yl e t t i n g 玩( l ) = 0a n d 五( l ) b et h e i d e ao fls u c ht h a t z ( l z 一1 ( l ) ) = 磊( l ) 历一1 ( l ) ，( i 1 ) o b v i o u s l y , 磊( l ) ( i 0 ) a r ei d e a l so fla n d 历( l ) = z ( 己) w ed e n o t eb yh ( l ) t h e f i n a l t e r mi nt h eu p p e rc e n t r a ls e r i e so fl t h e o r e m4 1 【2 1 i f ，歹a r ei d e a l so f n l i ea l g e b r al ，2j ，ji sk - s o l v a b l e ( 惫2 ) ， a n d7 = i ji sak - s o l v a b l ei d e a lo f 乙= l i j , t h e nii sk - s o l v a b l e t h ef o l l o w i n gu s e f u lt h e o r e m4 2i sp r o v e db yf 9 t h e o r e m4 2 i fli sas o l v a b l en - l i ea l g e b r a ，a n dii sam i n i m a li d e a lo fl ，t h e n ii sa na b e l i a ni d e a lo f 已 1 0 - 4 t h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n so f 击一f r e es o l v a b l en - l i ea l g e b r a s p r o p o s i t i o n4 1 i fli san i l p o t e n tn - l i ea l g e b r aa n dhi sap r o p e ri d e a lo fl ， t h e nhnz ( l ) 0 p r o o f i ti ss u f f i c i e n tt os h o wt h a ta n ym i n i m a li d e a lm o fli sc o n t a i n e di nz ( l ) t h e r ee x i s t san o n - n e g a t i v ei n t e g e ris u c ht h a tm n 五( 己) = 0a n dm nz i + i ( l ) 0 t h e nmnz 0 1 ( l ) = ms i n c emi sm i n i m a la n dm z 汁1 ( l ) s o m ，l ，l 互+ 1 ( l ) ，l ，纠z i ( l ) b u t m ，l ，纠m ，h e n c e a n dm z ( l ) m ，l ，别五( 三) nm = 0 p r o p o s i t i o n4 2 i fli sa d ln - l i ea l g e b r aa n dmi sam i n i m a li d e a lo fl t h e n n ( l ) 垦玩( m ) p r o o f i fmn n ( l ) = 0 ，t h e n m ，( l ) ，l ，翻= 0a n dn ( l ) z l ( m ) i fmnn ( l ) 0 ，t h e nm ( 三) s i n c emi sm i n i m a l ，b yp r o p o s i t i o n4 1 ， mnz ( ( l ) ) 0a n dm n 玩( ( l ) ) 0 w ew i l lp r o v em n z ( n ( l ) ) i sa ni d e a lo fl i nt h el i g h to fn ( l ) i sa n i l p o t e n ti d e a lo fl a n dj o c o b ii d e n t i t y , t h e n h e n c e a n dn ( l ) 玩( m ) 玩( ( l ) ) ，l ，纠况( ( l ) ) 瞰n 玩( ( l ) ) ，l ，捌mn 况( ( 三) ) p r o p o s i t i o n4 3 l e tlb ea n 佗一l i ea l g e b r a t h e n a s o c ( l ) n ( l ) 玩( s d c ( l ) ) p r o o f t h ef i r s ti n c l u s i o ni so b v i o u s t os h o wt h es e c o n d ，w ed e n o t e 竹 s o c ( l ) = 。坛， i - - - - - 1 1 1 河北大学理学硕士学位论文 w h e r et h e 必，i = 1 ，2 ，礼a r em i n i m a li d e a l so fl b y p r o p o s i t i o n4 2 ，n ( l ) z l ( m , ) f o ri = 1 ，2 ，竹t h e n 竹n ( l ) n 玩( 坛) = 玩( 。必) = z l ( s o c ( l ) ) i = 1 i - - - - 1 p r o p o s i t i o n4 4l e tlb ea nn - l i ea l g e b r aw h i c hi s - f r e e ，t h e n z l ( s o c ( l ) ) = a s o c ( l ) = ( l ) p r o o f b yp r o p o s i t i o n4 3 ，i ti so n l yn e c e s s a r yt os h o wt h a tz l ( s o c ( l ) ) = a s o c ( l ) f o rc o n v e n i e n c e ，l e ta = a s o c ( l ) a n dc = 玩( s o c ( l ) ) s i n c eai sa b e l i a na n d 妒( l ) = 0 ，t h e r ee x i s t sas u b a l g e b r abo fls u c ht h a tl = a - k b t h e n a + ( b nc ) = ( a + b ) n ( a + c ) = lnc = c w ew i l lp r o v e b = bn c = 0 s u p p o s e 百0 w ec l a i mt h a t 百i sa ni d e a lo fl s i n c e ai sa b e l i a n w eo b t a i nt h a 土 万，三，捌= 阿，a + b ，a + b 】 匿，a ，b ，b + 厣，b ，b + 0 - t - + 0 b u t 厣，a ，b ，b 】= 0b e c a u s ea s o c ( l ) a n d 百z l ( s o c ( l ) ) a l s o w h i l e 犀，b ，b 】 b ，b ，b 】sb 匿，b ，b c ，b