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大学生数学试题及答案考试形式： 闭卷 考试时间： 150分钟 满分：100 分 一、(本题满分10 分) 求极限。【解】 因在上连续，故存在，且=， 所以，。二、(本题满分10 分) 请问为何值时下式成立【解】注意到左边得极限中，无论为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有，当时使用洛必达法则得到 ，由上式可知：当时，若，则此极限存在，且其值为0；若，则，综上所述，得到如下结论：或。三、(本题满分10 分) 计算定积分。【解】 作变换，则 ，所以，。四、(本题满分10 分) 求数列中的最小项。【解】 因为所给数列是函数当x分别取时的数列。又且令，容易看出：当时，；当时，。所以，有唯一极小值。而，因此数列的最小项。五、(本题满分10 分) 求。【解】 考虑幂级数，其收敛半径为 ，收敛区间为，当时，收敛；当时，发散，因此其收敛域为。设其和函数为，则，。于是， 故，。六、(本题满分10 分) 设，其中为连续函数，求。【解】 原方程可写为， 上式两端对求导得 （*） 两端再对求导得 即 这是一个二阶线性常系数非齐次方程，由原方程知，由（*）式知。特征方程为 ， 齐次通解为 设非齐次方程特解为 ，代入得 。则非齐次方程通解为 由初始条件 和可知， 。七、(本题满分10 分) 在过点和的曲线族中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分的值最小。【解】 。 令，得；又，则在处取极小值，且a =1是I (a)在(0,+)内的唯一极值点，故a =1时I (a)取最小值，则所求曲线为。八、(本题满分10 分) 设f (x)在1,1上有二阶导数，且，。证明：1，x1,1。2 f (x) = x在1,1上有且只有一个实根。【证明】1. 由泰勒公式 ， 两式相减并整理得 于是, 由于，因此，。2. 令。则，。但在1,1上连续，由介值定理知，在1,1上至少有一个零点。又由1可知，故在1,1上严格单调，从而至多有一个零点。这样在1,1上有且只有一个零点，即f (x) = x 在1,1 上有且只有一个实根。九、(本题满分10 分) 设在为连续函数,则。【解】令则，则所以 即 c为常数。而 ，特别地 即 。
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