（应用数学专业论文）强度≥3的覆盖阵列及相关的组合构型.pdf

苏州大学学位论文使用授权声明 0 m 刚洲i i i 删 y 17 3 3 3 6 9 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属在年月解密后适用本规定。 非涉密论文口 一t l 论文作者签名：兰呈全! 坌日期：z 2 ：王= 垫 导师签名 强度3 的覆盖阵列及相关的组合构型 摘要 摘要 设n ，t ，k ，t ，入为正整数，其中2 t k 一个大小为，强度为t ，度为 k ，阶数为口，指标为入的覆盖阵列，记为c a x ( t ，惫， ) ，是一个取自口元符 号集x 上的nxk 阵列( 表) ，使得它的每一个nxt 阵列包含任意的x 上 的扣元组至少a 次当“至少换作恰好，相应地定义了一个正交表，记 为o a a ( t ，k ，口) 对于给定的亡，k 和t 7 ，满足c a ( n ；t ，七， ) 存在的最小正整数 被称作覆盖数，记为c a n ( t ，忌，u ) 若n = c a n ( t ，七，”) ，对应的c a ( n ；t ，詹，) 称为是最优的覆盖阵列包括正交表为其子类，是一类引人注目的重要的组 合设计，在统计、计算机科学、编码和密码等方面有着许多重要的应用，长 期以来受到广泛的关注有关t = 2 的覆盖阵列和正交表问题已取得了大量 的研究成果然而，t 3 时问题变得非常复杂，同时相关的结果并不十分 多本论文对t 3 的覆盖阵列及相关的组合构型展开了深入研究，研究的 对象涉及到覆盖阵列和覆盖数、正交表、相对差矩阵及有序正交表这些研 究对象都具有非常重要的理论和应用价值 在第二章，我们利用分圆理论及w e i l 关于乘法特征和的定理，构作了 许多新的相对差距阵，其中包括关联于一个a d d e r 的r d m ，r d m 以及五 行的循环相对差距阵 在第三章，我们利用关联于一个a d d e r 的r d m ，r d m ，给出了强度和 度分别为( 3 ，5 ) ，( 3 ，6 ) ，( 4 ，6 ) 的覆盖阵列的新的构作方法，并改进了相应的覆盖 数的已知上界 i 摘要强度3 的覆盖阵列及相关的组合构型 在第四章，我们首先利用3 b d 方法，构作出近年来第一批新的o a ( 3 ，5 ，4 n + 2 ) s ，其中礼最小为6 2 ；并且讨论了强度为3 ，度为6 ，指标大于l 的正交表 的存在性，得到了一批新的o a a ( 3 ，6 ，口) s 在第五章，我们利用有序正交表，刻画了具有预定性质的正交表r d o a 与( t ，t + 3 ，s ) 一n e t s 的联系，这是n i e d e r r e i t e r 的一个定理的推广，由此得到了 n e t s 的新的构作方法利用r d o a s ，得到了新的( t ，t + 3 ，s ) n e t s 关键词：覆盖阵列；覆盖数；正交表；相对差矩阵；有序正交表；存在性 作者：李阳 导师：殷剑兴( 教授) c o v e r i n ga r r a y so fs t r e n g t h 3a n dt h e i r a b s t r a c t c o v e r i n ga r r a y so fs t r e n g t h 3a n dt h e i r r e l a t e dc o m b i n a t o r i a lc o n f i g u r a t i o n s a b s t r a c t l e tn ，t ，庇，u ，ab ep o s i t i v ei n t e g e r s ，w h e r e2 t k ac o v e r i n ga r r a yo fs i z e ns t r e n g t ht ，d e g r e e ，o r d e r 口a n di n d e x 入，d e n o t e db yc a a ( t ，k ，口) ，i san k a r r a yo v e ra 钞s y m b o ls e t s u c ht h a ti ne v e r yn 亡s u b a r r a y , e a c ht - t u p l eo c c u r sa t l e a s tat i m e s w h e n “a tl e a s t ”i sr e p l a c e db y “e x a c t l y ，i td e f i n e sa no r t h o g o n a l a r r a yd e n o t e db yo a a ( t ，k ， ) t h em i n i m u ms i z enf o rw h i c hac a ( t ，k ，t ，) e x i s t si s c a l l e da c o v e r i n gn u m b e ra n dw r i t t e na sc a n ( t ，k ，口) t h ec o r r e s p o n d i n gc ao fs i z e n = c a n ( t ，k ，u ) i sc a l l e do p t i m a l c o v e r i n ga r r a y si n c l u d i n go r t h o g o n a la r r a y sa si t s s u b c l a s sb e l o n gt oa ni m p o r t a n ta n dh i g h - p r o f i l ea r e ao fc o m b i n a t o r i c s ，t h e yh a v en i c e a p p l i c a t i o n si ns t a t i s t i c s ，c o m p u t e rs c i e n c e ，c o d e sa n dc r y p t o g r a p h y , a n dt h u sa t t r a c t c o n s i d e r a b l ea t t e n t i o nf o rl o n gt i m e f o rt = 2 ，m u c hw o r kh a sb e e nd o n eo nc a s a n d o a s f o rt = 3 ，h o w e v e r ，t h eq u e s t i o nb e c o m e sv e r yd i f f i c u l ta n dn o tt o om u c hr e s u l t s a r ek n o w n i nt h i st h e s i s ，w er e s e a r c hd e e p l yo nc a so fs t r e n g t he q u a lt oo rm o r et h a n 3a n dt h e i rr e l a t e dc o m b i n a t o r i a lc o n f i g u r a t i o n s t h er e s e a r c ho b j e c t si n c l u d ec o v e t i n g a r r a ya n dc o v e r i n gn u m b e r ，o r t h o g o n a la r r a y s ，r e l a t i v ed i f f e r e n c em a t r i c e sa n do r d e r e d o r t h o g o n a la r r a y s ，w h i c ha x ea l lo fi m p o r t a n tv a l u e sb o t hi nt h e o r ya n da p p f i c a t i o n i nc h a p t e r2 ，ab u l ko fn e wr e l a t i v ed i f f e r e n c em a t r i c e si n c l u d i n gr d m sa s s o c i a t e d w i t ha na d d e r ，r d m sa n dc r d m sw i t hf i v er o w sa r eb e i n gc o n s t r u c t e dv i ac y c l o t o m i c t h e o r ya n dw e i lt h e o r e mo nm u l t i p l i c a t i v ec h a r a c t e rs u m sc y c l o t o m y i nc h a p t e r3 ，n e wc o n s t r u c t i o n so fc a sw i t hs t r e n g t ha n d d e g r e e ( 3 ，5 ) ，( 3 ，6 ) ，( 4 ，6 ) f r o mr d m sa s s o c i a t e dw i t ha na d d e ra n dr d m sw e r eg i v e na n dt h ec o r r e s p o n d i n g k n o w nu p p e rb o u n d so fc o v e r i n gn u m b e r sw e r ei m p r o v e d i nc h a p t e r4 ，f i r s t l y , b yu s i n g3 b dm o t h e d s ，t h ef i r s tb u l ko fo a ( 3 ，5 ，4 n + 2 ) i n r e c e n ty e a r sw i t ht h es m a l l e s tn = 6 2w a sg i v e n ：t h e nt h ee x i s t e n c eo fo r t h o g o n a l a r r a yo fs t r e n g t h3 d e g r e e6a n di n d e xm o r et h a no n ew a so b s e r v e v e da n ds o m en e w i i i a b s t r a c t c o v e r i n ga r r a y so fs t r e n g t h 3a n dt h e i r o a x ( 3 ，6 ， ) sw e r ec o n s t r u c t e d i nc h a p t e r5 ，b ye m p l o y i n go r d e r e do r t h o g o n a la r r a y s ，al i n kb e t w e e no r t h o g o n a l o fs t r e n g t h3w i t hp r e s c r i b e dp r o p e r t i e sr d o a s a n d ( t ，t + 3 ，s ) - n e t sw a sg i v e n ，w h i c h g e n e r a l i z e so n et h e o r e mo fn i e d e r r e i t e ra n dt h u sg i v ean e wc o n s t r u c t i v em e t h o do f n e t s t h e nb yu s i n gr d o a s ，n e w ( t ，t + 3 ，s ) 一n e t sw e r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：c o v e r i n ga r r a y s ；c o v e r i n gn u m b e r ；o r t h o g o n a la r r a y s ；r e l a t i v ed i f f e r e n c e m a t r i c e s ；o r d e r e do r t h o g o n a la r r a y s ；e x i s t e n c e i v w r i t t e nb yl iy a n g s u p e r v i s e db yp r o f y i nj i a n x i n g 目录 第一章绪论1 1 1 研究对象及其背景1 1 1 1 覆盖阵列及覆盖数1 1 1 2 强度为3 的正交表3 1 1 3 可换群上的相对差矩阵4 1 1 4 有序正交表6 1 2 主要结果7 第二章相对差矩阵及其构作1 2 2 1 主要已知结果1 2 2 2 一般复合构作方法1 3 2 3 分圆理论的应用1 6 2 4 w e f t 关于乘法特征和的定理的应用1 9 2 5 关联于个a d d e r 的( t ，叫；4 ，1 ) r d m s 2 2 2 6 一批新的( t j ，叫；4 ，1 ) 一r d m 。8 2 6 2 7 ( 移，叫；5 ，1 ) 一c r d m 存在性结果的改进3 1 第三章新的覆盖阵列及其构作3 3 3 1 预备知识3 3 3 2 构作方法3 4 3 3 覆盖数c a n ( t ，七，t ，) 的新的上界3 5 3 3 1 c a n ( 3 ，5 ，t ，) 的改进3 5 3 3 2 c a n ( 3 ，6 ，钉) 的改进3 9 3 3 3 c a n ( 4 ，6 ，u ) 的改进4 2 第四章新的正交表4 6 4 1 主要已知结果4 6 4 2 o a ( 3 ，5 ，4 n + 2 ) 的存在性4 8 4 2 1 构作方法4 9 4 2 2 辅助设计的构作5 3 4 2 3 o a ( 3 ，5 ，4 n + 2 ) 的无穷类5 5 4 3o a a ( 3 ，6 ，秽) 的存在性5 6 第五章有序正交表6 0 5 1 ( t ，m ，s ) - n e t s 与o o a s 6 0 5 2 一类具有特殊性质的正交表6 1 5 3 n i e d e r r e i t e r 的一个定理的推广6 2 5 4 新的( t ，t + 3 ，s ) n e t s 6 6 进一步研究的问题7 l 参考文献7 3 附录8 4 攻博期间完成论文情况8 6 致谢8 7 强度3 的覆盖阵列及相关的组合构型 第一章绪论 第一章绪论 覆盖阵列是一类引人注目的重要的组合设计本文研究强度3 的覆盖 阵列及相关的组合构型下面我们对本文的研究对象及其相应的背景做简 单的描述我们主要采用组合设计理论专著【7 ，2 4 1 中的定义 1 1 研究对象及其背景 1 1 1覆盖阵列及覆盖数 定义1 1 1 设x 是一个u 元符号集一个覆盖阵列( c o v e r i n ga r r a y ) ，简记 为c 如( ；t ，七，t ，) ，是一个元素取自x 的n k 阵列( 表) ，使得它的每一个 n t 阵列包含x 上任意的乒元组至少入次这里称t 为强度( s t r e n g t h ) ， k 为度( d e g r e e ) ， 为阶数( o r d e r ) ，n 为大小( s i z e ) ，入为指标( i n d e x ) 通常，若亡在记号中被略去，我们默认它为2 如果入= 1 ，我们也略去 它，简记为c a ( ；t ，k ，t ，) 除此之外，当不需要强调时，我们也将其省略 在相关文献中，覆盖阵列也以其它一些形式出现s e r o u s s i 和b s h o u t yf 9 s 研究过的t - s u r j e c t i v ea r r a y s ，s t e v e n s 和m e n d e l s o h 等【9 8 】研究过的t r a n s v e r s a l c o v e r i n g s ，k s r n e r 等 3 ，7 4 ，9 5 ，9 0 研究过的t - q u a l i t a t i v e l yi n d e p e n d e n tp a r t i t i o n s 均是与覆盖阵列等价的组合研究对象 覆盖阵列在统计、计算机科学、编码和密码等方面有着许多重要的应 用，关于这些，可参看文献【6 ，1 2 ，2 5 ，6 4 ，7 4 ，1 0 0 ，1 0 4 ，1 0 7 】等覆盖阵列是统 计实验设计中筛选小强度的实验因子的交互情况时被引入的因子作用的 响应由覆盖阵列的列表示，其中每一个列上的各个元素表示因子的设置或 值当其中每个因子的值被指定时，覆盖阵列的个行用来表示一次作用 c a a ( ；亡，k ， ) 表示的实验中，所有的t 个因子的个组合均被实验了至少 一次近年来，基于组件的软件开发是软件开发的一种新范型，它是现今 软件复用理论实用化的研究热点在构件对象模型的支持下，通过复用已有 的构件，软件开发者可以“即插即用 地快速构作应用软件这不仅可以节 1 第一幸 绪论 强度3 的覆盖阵列及相关的组合构型 省时间和经费，提高工作效率，而且可以产生更加规范、更加可靠的应用软 件但这种软件开发模式给软件测试者带来许多新的问题，提出了挑战这 是由于组件间容易产生一些不可预料和不可估计的交互错误，而这些交互 错误又非常复杂且数量多对测试者而言，比较理想的情形就是测试所有可 能的交互作用，但由于时间和成本上的限制，通常情况下这是不太可行的 从而应当确定若干测试集，并且使其能够包含所有可能发生的交互作用，这 样将会大大地减少测试次数节省时间和成本覆盖阵正满足了上述需求，用 它们可以产生合适的软件测试方法使得实验时可以覆盖所有的t 个组件交 互的情形，见文献【2 5 ，3 5 ，3 7 ，6 0 ，6 2 ，6 4 ，7 4 ，9 8 ，1 0 6 】等等在覆盖阵列中，所 谓的强度正是指交互覆盖的强度，度是组件的数目，而阶表示每一个组件的 符号的数目正如【3 5 】描述的那样，上述测试的交互模型并不只是在软件测 试方面，类似的还有农业、药品、工业等其他许多领域而用来满足上述这 种交互覆盖类型问题的主要的组合对象正是覆盖阵列正因为如此，覆盖阵 列现在是国际上一个非常热门的研究对象 最近，组合设计领域中对软件测试的研究有两个比较活跃的方面数学 研究的团体的主要关注于得到覆盖阵列使其实验尽可能少而交互的强度尽 可能大软件研究的团体的注意力则在于用贪婪算法在一个更可行的环境 中去寻找个阵列使更接近于实际检测的需要我们希望建立可以有效产 生且检验次数又比较少的实验 定义1 1 2 对于给定的亡，k 和t ，满足c a ( n ；t ，k ，口) 存在的最小的正整数 被称为是覆盖数，记为c a n ( t ，k ，u ) 如果一个c a ( n ；t ，k ，t ，) 的大小达 到了c a n ( t ，k ，t ，) ，则这个覆盖阵列被称为是最优的 显然由定义知，c a n ( t ，七，u ) 且当t = 1 时有c a n ( t ， ) = 口因此， 我们通常考虑t 2 的情形 由于其广泛的应用价值，覆盖阵列已经吸引了众多学者的广泛的研究 兴趣有关覆盖阵列研究的一个十分重要问题，正如上面所讲的那样，是确 定整变量函数c a n ( t ，k ， ) 的值的通常，通过对于给定的参数t ，k ，t ，构作 2 强度3 的覆盖阵列及相关的组合构型 第一章 绪论 一个尽可能小的c a ( n ；t ，k ，t ，) 来对对覆盖数的下界进行逼近事实上，这 是一个比较困难的组合问题当t 越大时，最优的覆盖阵列越难构作尽管 已经花费了大量的精力，由【3 8 】可知，只有c a n ( 2 ，k ，2 ) 的界被r 6 n y i 等人【9 7 】 完全确定正是因为问题的难度，寻找覆盖阵列的新的有效构作方法吸引了 众多学者的研究兴趣他们利用r o u x 型的积方法、完美h a s h 函数等等一些 方法对覆盖阵列进行了研究，具体可参见【4 ，2 2 ，8 2 ，9 7 】等本论文将对强度 为3 ，4 ，度为5 ，6 的覆盖阵列进行研究，并改进相应的覆盖数的已知上界 1 1 2 强度为3 的正交表 定义1 1 3 设x 是一个u 元符号集个强度为t ，度为k ，阶数为u ，指 标为入的正交表，记为o a x ( t ，k ，t ，) ，就是x 上的一个c a x ( ：、v ；亡，忌，钐) ，它 的每一个n t 阵列包含x 上任意的扣元组恰好a 次 若t 在记号中被略去，我们将默认它为2 如果入= 1 ，我们也略去它， 简记为o a ( t ，七，t ，) 正交表是覆盖阵列中非常重要的子类显然，一个o a ( t ，k ，钉) 就是一个 最优的c a ( t ，k ，t ，) 在实验设计中它们的实验次数最小，从而可以降低试验时 间和成本事实上，覆盖阵列正是在统计实验设计中对正交表应用和研究后 一个自然的推广 众所周知( 见文献【7 ，2 4 ，6 4 ，1 0 4 1 等) ，除去自身良好的应用价值外，正 交表本身也是设计理论中非常基本的重要研究对象，它们在构作其它的组 合对象发挥了重要应用例如，一个o a ( 2 ，k ，t 7 ) 就等价于k 一2 个 阶互相 正交拉丁方( m o l s s ) 关于正交表的存在性结果，当强度为2 时，大量相关的研究结果可参见 【2 4 】构作强度大于2 的正交表是组合设计和统计试验中的一个难点，目前主 要的结果只有零和构作【6 4 】及1 9 5 2 年b u s h 对阶为质数幂的正交表的构作和 积方法以及一些渐进性结果【8 】当钞2 ( m o d4 ) ，文献【7 2 ，7 3 】中给出了强度 为3 ，度为5 的正交表最近，文献f 7 l 】中给出了强度为3 ，度为5 ，6 的若干 正交表类但是对于秽兰2 ( r o o d4 ) ，并没有相关的存在性结果本文中我 3 第一章 绪论 强度3 的覆盖阵列及相关的组合构型 们主要研究度较小的正交表的构作方法和存在性结果，包括u 三2 ( r o o d4 ) 的情形 1 1 3 可换群上的相对差矩阵 定义1 1 4 设g 是任意一个阶数为u 的可换群，运算为加法g 上一个指 标为a 的差矩阵，记为( 锄，k ，a ) d m ，是一个元素取自g 的k s v 矩阵( 奶) ( 1 i 七，1 歹s v ) ，满足对任意两个不同的行r 和h ( 1 r 1 3 ，则c a n ( 4 ，6 ，3 p ) 8 1 矿+ 3 0 p 3 在第四章，我们探讨强度为3 ，度为5 ，6 的正交表的存在性问题一 方面，利用3 b d 方法给出了如下的构作方法。 9 第一章绪论 强度3 的覆盖阵列及相关的组合构型 定理4 2 3 假定( x ，9 ，召1 ，岛，玩，玩) 是个s - f a nt d ( 3 ，七，g ) ，且这s 个f 抽设 计有个共同的平行类p ，而两两没有其它相同的区组令m 和讹( 1 i s ) 是给定的非负整数记伽= 釜。驰如果存在 ( 1 ) 一个t d ( 3 ，k ，m ) ； ( 2 ) 一个i t d ( 3 ，七；m + m t ，佻) ，其中1 i 8 ； ( 3 ) 一个i t d ( 3 ，k ；m + w ，伽) ； ( 4 ) 一个t d ( 3 ，k ，仇+ w ) ， 则存在一个t d ( 3 ，七，r a g + 伽) ，它含有子设计t d ( 3 ，k ，m + w ) 和t d ( 3 ，七，仇) ( 如果b o 0 ) 由此构造了第一批具体的强度为3 ，度为5 ，指标为1 的锄+ 2 阶正交表 定理4 2 1 1 设z 是任意奇正整数，g 是任意一个正整数，它的质因子不小 于7 ，且g 三3 ( r o o d4 ) 则 ( 1 ) 当z 兰1 ( r o o d4 ) 时，存在个o a ( 3 ，5 ，口) ，其中 = 3 5 x g + 5 三2 ( m o d4 ) ( 2 ) 当z 三3 ( r o o d4 ) 时，存在个o a ( 3 ，5 ，u ) ，其中钞= 3 5 x g + 7 兰2 ( r o o d4 ) 另一方面，对于强度为3 ，度为6 ，指标大于1 的正交表的存在性问题， 亦有如有结果： 定理4 3 8 设钞是一个正整数，它有形如t ，= 2 a 3 钟谚妒的质因子分 解，其中鳓5 则对任意的a 2 ，除了可能的例外： ( 1 ) ( 口，卢) = ( 1 ，1 ) a n d 入【3 ，5 ，7 ) 或 ( 2 ) ( 口，p ) = ( 0 ，1 ) a n da = 2 则存在一个o a a ( 3 ，6 ，口) 1 0 强度3 的覆盖阵列及相关的组合构型 第一章绪论 在第五章，我们对与( t ，m ，s ) n e t s 有着密切联系的有序正交表进行研究 我们引入了新的概念r d o a ( 3 ，8 ，b ) ，刻画了它们与有序正交表之间的等价 关系，进而得到其与n e t s 之间的联系 定理5 3 3 一个o o a x ( 3 ，s ，3 ，b ) 存在当且仅当一个r d o a x ( 3 ，8 ，b ) 存在，或等 价地，一个r d t d a ( 3 ，8 ，b ) 存在 定理5 3 4 一个基为b 的( t ，t + 3 ，s ) n e t 存在当且仅当一个r d o a b , ( 3 ，8 ，b ) 存 在，或等价地，一个r d t d 6 t ( 3 ，s ，b ) 存在 利用上述定理和相关结论，我们得出n e t s 的新的无穷类 定理5 4 4 对任意的整数b 3 且b 6 ，存在一个基为b 的( o ，3 ，4 ) n e t s 定理5 4 5 对任意的整数b 4 且b 2 ( r o o d4 ) ，存在一个基为b 的( 0 ，3 ，5 ) 一 n e t s 定理5 4 6 对任意的整数g c d ( v ，4 ) 2 及g c d ( v ，1 8 ) 3 ，存在一个基为b 的 ( 1 ，4 ，6 ) - n e t s 定理5 4 7 对任意的质数幂数q 4 及任意的非负整数t ，一个基为q 的 ( t ，t + 3 ，q + 1 ) 一n e t s 存在特别地，一个基为q 的( o ，3 ，q + 1 ) 一n e t s 存在 g = - 章 相对差矩阵及其构作 强度3 的覆盖阵列及相关的组合构型 第二章相对差矩阵及其构作 在这一章，我们将研究相对差矩阵构作及其存在性结果 2 1 主要已知结果 在组合设计理论中，相对差矩阵( 差矩阵) 已经引起了相当程度的研。 究兴趣许多的学者对其构作及其存在性做出了贡献，大量不同的构作方法 可见于相关的文献中显然，若一个( t ，伽；k ，1 ) 一r d m 存在，则对任意的整数 入 0 及z k ，一个( u ，w ；g ，入) r d m 亦存在下面，我们列出关于入= 1 ， k 5 的相对差矩阵的已知结果，它们中的大部分将在后文中起到不同的作 用 定理2 1 1 【5 5 】一个( ，3 ，1 ) c d m 存在当且仅当t ，3 ，钐三1 ( m o d2 ) 定理2 1 2 【5 5 】一个初等a b e l i a n 群上的( u ，4 ，1 ) d m 存在当且仅当口4 ， 口2 ( r o o d4 ) 定理2 1 3 5 5 ，4 9 】设t ，5 为一奇数且( ，2 7 ) 9 ，则一个( ，4 ，1 ) c d m 存 在，但不存在一个( 9 ，4 ，1 ) 一c d m 定理2 1 4 【1 1 6 令q 4 是个正整数，它有形如u = 2 a 3 钾谚矽的质因 子分解，其中胁5 则满足下列情形之一时，存在一个( 4 ，2 9 ；加) c r d m ： 1 钮= 2 且( a ，p ) ( 1 ，0 ) 或( 0 ，1 ) ； 2 加= 4 且( 口，) = ( 1 ，0 ) ； 3 伽= 6 且( a ，p ) = ( 0 ，1 ) 定理2 1 5 【2 ，2 4 】设口是一个奇正整数令 e = 3 ，9 ，9 p ：p 是个奇质数且不等于5 ，7 ，1 1 ，1 3 ，1 7 ，2 3 ，2 9 ，3 1 ，1 0 9 ) 如果uge ，则一个( ，5 ，1 ) c d m 存在 1 2 强度3 的覆盖阵列及相关的组合构型第二章 相对差矩阵及其构作 定理2 1 6 4 7 】设p 5 为一质数则 1 一个( 印，6 ；5 ，1 ) c r d m 存在； 2 若p 兰1 ，1 3 或1 7 ( r o o d2 4 ) ，一个( 2 p ，2 ；5 ，1 ) c r d m 存在 定理2 1 7 【4 5 】g a l o i s 域的乘法表是它的加法群上的一个( q ，q ，1 ) d m 下面是关于关联于a d d e r 的相对差矩阵的两个结果 引理2 1 8 【7 1 】对任意的一个整数仇，设它有形如3 口5 储1 蛾舻，乃7 的 质因子分解若q 1 且p 1 ，则存在关联于一个a d d e r 的一个( 2 m ，2 ；4 ，1 ) 一 r d m 引理2 1 9 【7 1 】对任意的质数幂q 4 ，存在关联于一个a d d e r