（概率论与数理统计专业论文）c01空间上一类极端事件概率的估计.pdfVIP

垡! 窒塑圭二耋壑蔓查堡塑主箜堡盐 i i i 摘要 本文考虑敢值予c o ，l 】的粼程莓酶分布，令f 是定义在黔，薰】上的连续 函数，事件 f 一 ( t ) ，( 亡) ，对某个亡【0 ，l 】) 本文的目的是利用极值理论估计事件f 发生的概率，我们构造统计量并证明其弱 相合性 关键词：随机过程；弱收敛；极值理论 a b s tr a c t t h i sp a p e rc o n s i d e rt h et a i lp o r p e r t yo fas t o c h a s t i cp r o c e s s e w i t hc o i l - t i n u ss a m p l ep a t h w eu s ee x t r e m ev a l u et h e o r yt oe s t i m a t et h ep r o b l i l i wo f a s p e c i a lf a i l u r es e tf w e a kc o n s i s t e n c yi sp r o v e d k e yw o r d s ：r a n d o mp r o c e s s ；w e a kc o n v e r g e n c e ；e x t r e m ev a l u et h e o r y 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的 研究成果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研 究成果，均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担 由此论文而产生的权利和责任 声明入签名) ：在小囊 洳7 年妇f 严墨 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论 文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的 少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的 标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规 定 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书 2 、不保密( ) 。 ( 请在以上相应括号内打 ) 作者签名：在小炙日期：沙d 7 衬月【矽日 导师签名：粹沥 日期：少夕年；月矿日 c 0 , i ，空间一类极端事件概率的估计 1 第一章弓l 言 本文我们尾c o ，1 】表示定义在【o ，l 】区闻上的连续函数，g + f o ，l 】= ， c o ，主】，之。且不恒等于o 表示定义在冷，1 】区闻上的的非负连续丞数，恒等于 0 的函数除外 假设，6 为独立同分布取值于c o ，1 】的随机过程。，是定义在【o ，1 】 上的连续函数，事件 f 一 ( t ) ，( 亡) ，对某个芒 0 ，1 】成立) 例如毒表示某年洪水水位的最高记录，f 表示河堤的高度，事件f 表示河堤 在某处决州逸灾难事彳牛本文的目的是估计事件f 发生的概率如果事件f 很少发生，则很难用经验分布来估算f 发生的概率，这时我们要利用极值理论 说明；在本文中出现的字母张若未特努l j 指明，则其均为正整数 首先假设喜在极值吸弓l 场内，鄢存在c o ，1 】中的函数列，a 站( 害) 至0 和兰k ( z ) 使随机过程 m a x ： 0 ，使得 警a t ( s一等，8 一。 3 ) )7 ( 主) 7 、7 垡! 窒塑二耋坚蔓整堡垫圭塑堡笪 2 对霉 0 局部致成立，t 【o ，1 】致成立其中阢( z ) 然( 志) 。( z ) 为 点( z ) 的反嚣数 ( 并且在( 1 1 ) 中可取岛( 墓) = 玩( 铭) ，a ( 考) = 魄( 礼) 使( 1 2 ) 成立) 和 ( i i ) 若蜀 ) = 尸( ( t ) z ) 表示毒在t 点的边缘分布，当n _ o o 时，随机过程 1 l 云t m 鲻a x n f 巧悉两 弱收敛于过程 ( 1 + 7 ( 亡) 叩( 亡) ) 粕 力了叙述方便，令 燃f 厕1 ( ( 丢) = = 葫丽 以及 霹( 亡) = ( 1 + ，y 0 ) 露( 害) ) 布 注意到霹( 磅秘幺( 亡) 取值于c + 黔，1 】；我们在c + p ，1 】定义测度 u s ( e ) = s p 言( o ) e 其中e 为c 峰p ，1 】上的b o r e l 可测集，s 0 ， 由文献 5 】中定理2 4 知( 1 4 ) 成立的充分必要条件是； 存在c + 【o ，1 】上的某个测度，使得当8 _ o o 时 ( 1 4 ) ( 1 5 ) 上述收敛是在c o ，1 】空间测度的弱收敛( 参见文献 5 】中定义2 2 ) 其中与 可( 亡) 的关系为 p ( _ ( 亡) 0 和c + f 0 ，1 】 上的8 卵以可测集e 有 l ，( 8 e ) 2 三p ( 8 四 ( 1 7 ) 其中 a e 一 a ，曰) 在极值理论中f 一 ( 亡) ，( t ) ，对某个亡c 【0 ，1 1 成立) 即f 与样本量n 有 关 定义孙= p ( f ) ，并考虑序列惫= 一0 0 ，鲁一0 ，当耗一o o 对 我f j 有以下推理 省p ( 5 ( t ) 厶( 亡) ，对某个t o ，1 】) = p ( 1 丽 弼而1 而，对某个t 【o ，1 】) = p ( 1 丽 致芦，对某个考p ，l 】) = 罢警( 夕琶矿【o ，1 m 亡) c ，l 毳槲t 【o 1 】) 1 5 i k ( 9 c + o ，l m 亡) ，对某个t 【o ，1 1 ) 蓼i 笔叫白g + 归，l 】，夕( 亡) 花( 啦对某个j p ，l 】) ( 1 8 ) 这里 然而k f 厕1 而 k 锄2逖1-fdf竹(t)1 o 毳( 考) ，对某个t p ，l 】) 垡1 2 窒! 曼二耋坚墨查堡塑至塑堡盐 4 已不是小概率事件，可以利用经验分布来估计v ( s h ) ，定义z ( t ) 一c n h ( t ) = 警 蜀而1 丽，则有 识罢o ) ) = 玖( 一最( 厶( 墓) ) ) 嚣厶( 妻) 另方面利用( 1 3 ) 有：当警足够大的时， 墨! 堡：u ：1 ：! n 苎! 。堡! 量! 竺! ! ：u i ：! n 苎! ! ! ! 竺二竺二：! 吼( 警)a n ) 7 ( t ) 利用上式可以反解出z ( 古) ，从而可以得到h ( t ) 的近似表达 m ) 1 1 + 谗) 警) 南 ( 1 - 9 ) 下面我们介绍相关统计量：我们称矗，嚣( t ) 竖，摊( t ) 曼& ，怯( t ) 为& ( t ) 的顺序统计量，其中i 拳1 ，2 ，他定义样本函数： 砖( 亡) = 老( 1 0 9 秸( t ) 一l o g & 确摊( t ) ) ，j l ，2 ( 1 。1 0 ) 首先，我嚣j 给出7 ( 妻) ，砚( 警) ，阮( 蓍) 的估计量： 诺( t ) = i 2 ) ( t ) h i l l 估计( 1 1 1 ) 钟h 可1 ”甓r ( 1 1 2 ) ( 亡) = 磁( 亡) 十篱( 亡) 矩佑汁( 1 1 3 ) 反( 芸) = 靠一七( ) ( 1 1 4 ) a 啦【, i 7 5 ) = & 一知( 亡) 诘( 亡) ( 1 一篱 ) ) ( 1 1 5 ) 对于固定的t ，它们就是维极值理论中常见的统计量( 参见文献【8 】) ，我们记 矽可n ”谢f 铲v 】 南 熟) = 西赫 c o ，1 1 空i i i i l 一类极端簪仟概平的估计 5 其中 。鼍一l l 一赢“垆嘉若j z ) h ) 是示性函数记估计量： 诎扣丢擎 ( 1 1 6 ) 勰扣妻喜目 ( 1 1 7 ) 文献【6 】中给出了e 述统计量具有弱相合性。假设( 1 1 ) 成立，对于k o o ， 冬叶0 有 其中? + ( 考) = = 7 ( 力v0 其审? 一( 妻) = v ( t ) a0 其中c 0 ， s u p | 砖( 考) 一矿( 考) | 三0 ( 1 1 8 ) o t 1 s u pl 筲( 妻) 一? 一( t ) l 三0( 1 1 9 ) o t 1 s u pi ( 亡) 一- y ( t ) l 三0 唧s u s p 。l 避铲卜 恶l 器一l | 三。 娥| & 3 扩| & 玉( 2 k ) i l s c 马l ，l & & ：= 厂c + 【o ，1 】；l i f l l c ) 、i，、j、，、，、l， o 1 2 3 4 2 2 2 2 2 l 1上，工，量，上 ，i、，i，i、，、，i、 从( 1 8 ) 和( 1 9 ) 我们给出砌的两个估计量： 6 剞一去掘d l l 如p 五n ( 线渐t 【o ，1 】) 江1 ，2 0 2 5 ) 其中 霞= 艘1 ( 1 倒小警t ) 杰 ot镌i， 础归丢( 1 + 谢警) 彘 下章我们要证明在定条件下，鳓的估计量舞) ，i = l ，2 具有弱裰合性 堂! 窒塑二耋丝蔓查堡壅主塑堡笪 7 第二章结论 定理2 1 ：假设( i i ) 成立，并且存在正的常数d ，k 瓣满足 p f 赢丽v d e ，篇l( 2 1 ) 这里 e 端 雪c o ，王】，l 箩( 害) 一箩( 3 ) | 是( 一l o gi s - t 1 ) 一3 ( 譬( 曲v 譬s ) ) ，建卜功s ，害黔，l l 并毯有序列满是 w i n f o 0 局部致地成立，其中 甄黻艄( 舅) = j 厂1 霉矿一lj 1 v 妒( t ) 一1 如匆 并且p 譬c 0 ，l 】，s u p o s 毯1 0 ( t ) ) 0 。员l 对于任何序列凳一k ( n ) _ 置满足： 当绍_ 0 0 时 锯艘1 川等) 卜o ( 2 4 ) o 0 ，使得如果3 ，我们就 可以得裂以下的不等式； f j u t o x ) - 铲5 r t ( s ) z * ( ) - 1 一肿洳) | 一1i o g 罄魂+ 霄锚蛰一1 d u ) ( c n h ( t ) ) 一了f a t ( n 。) ( t n ( 暮) + 七) ( 1 + 0 ( 毒) ) t q ( 幻( c h ) 垡型窒! 雯二耋坚墨量堡墨至塑焦鲨 1 0 a t ( 警) ( ( 幻+ 动( 1 + i n ( t ) ) 叫i n f 。茎，y ( t ) ( c r i ) 其中 ( 亡) 滓匿趣， 熙扑 二篇甾 ：= 矛k f ：u 而1 ( o - 丽l d u 瓦矽f ：骊u y ( t ) - 1 d u 当7 ( 亡) 0 时上式右边收敛到o ；当7 ( t ) o ，z 0 都存在& 0 ，如果3 8 e 就有 ( 墼铲a t一器) 朝妒 ( 3 3 )、 ( 搿) ，v r 十、，o 。叶”，“ 。”7 玑( $ ) 、7 ( 参见文献( 1 】) 其中a t ( s ) 以及 a t ( s ) 、玩a t ( ( s s ) i 一，y + 。) ) + a t ( s ) 对于任何字刭惫= 凳( 辣) _ 。一0 0 ) 并满足( 2 4 ) 和( 2 5 ) ，就有 娠裟1 | 五( 芸) | _ 。 0 t 万 现在我们应用文献1 3 中定理2 3 来获得估计量盈( 警) ，玩( 鼍) ，节( t ) 的联合渐近正 态性，这就包含了( 3 2 ) ，完成弓 理3 。1 的证瞬 弓i 理3 21 段设定理2 1 的条件成立，则 瞪s u 到p 鬻叫轧髓哪。o 曼t s ll 前一l l _ 嘎髓哪。 证明；我 j 将要证明 s u p | l o g ( e n h n ) 一l o g ( c , h ( t ) ) | so ，髓一0 0 慨4 ) ( 3 5 ) c f o , i i 空阍一类极端事件概率的估计 1 1 它是与( 3 4 ) 等价的对于固定的t 【0 ，l 】，我们有 b g 胪r 警尝z 峄志 ( 铷= ( 1 + 零( 害) 珏) 髑) ，和 b g 蕊) ：丽1b g ( 1 例铲) 茹z 赞志 因此 | l o g ( e n h n ( 考) ) 一l o g ( c r i b ( t ) ) | = l 荤赤l ：| 芦铲一峨粤赢| l 帮一学l ( 九( 亡) ) a ( 1 一m ) 1 1 笔铲一峄忡( 亡) ) a ) 心 因为专鳓有界，所以要得裂( 3 5 ) 的结论只须证明 厶( 亡) 一u , n )( c n 鼠( 警) 坤) ) 一1 5 ( t ) ) ( 毳( 素) ) 弓叫三0( 3 。6 ) 为此我们需要证明 l i m l o g 万e n ：0 ( 3 7 ) ”v 局 雨我们正好可以扶注2 2 及( 2 3 ) 可得到我们用下式来替代( 3 7 ) s u pll o g 矗( 亡) ) 荆一7 dl 因此 垡型窒塑二耋坚叠查堡垫主箜焦笙 1 2 一s u pl 弓( t ) 一7 ( 纠l o g ( c 叽h ( t ) ) 0 t s l = o a k 一) 1 0 9 ( c n 九( t ) ) 三o ，砧一0 0 ( 3 8 ) ( 紫一晔) ( ( 亡) ) 却 = ( 帮一鱼铲) ( 是( 亡) ) a t l + 绵( 1 ) ) = ( 掣+ 警) ( 器一学) ) ( 毳( 1 ) 严( 1 + 唧( 1 ) ) = ( 帮一峄) ( ( 亡) ) 刊器( 1 + ( 1 ) ) + ( 学一 鱼d 呸碧 竽墨) ( 锡a ( d ) 一7 d ( 1 + 唧( 1 ) ) + 照蔓唔彗薹笋生( 赶( 亡) ) 一7 ( 豢誉一1 ) ( 1 + 唧( 1 ) ) + 坠铲) ( 毳( ) 一礤吼( 蓍) 鼋( 蓍) ( 1 - i - o p ( 1 ) ) 接下来我们将要从这四个方面分别考虑 由( 1 2 2 ) 和( 3 1 ) ，可得到： 思 ( 毪铲一峄( 洲厂瓣器| 暑。 接着由( 3 7 ) 导出： i 世学一熊驴l i ( c ，l 九( 亡) ) 刊t )i 孕( t ) l ”、”，7 一( 是( 套) ) 一你0 坤矿( 沪1i1 一妒( t ) 一7 ( t ) l d u ( 塑瓯噼0 ) 一仲) 1 ) ( 踯) ) 一7 ( 。r 纛。u y ( o 一1l o g u v d u d p ( 惫每) 嘶( 亡) ( 危( 亡) ) 由此结合( 2 3 ) 可得到 思| 峄一峄删啪卅嶙。 g 堡魁窒! 冀二耋墼亟量堡塑至塑焦笪 1 3 类似的也可以得到 恶l 峄( 删广( 器叫伽 程7 趱l 警( 删厂器l 三。 至此( 3 6 ) 得证，从而引理3 2 得证 定理2 1 的证明；因0 s 九( 亡) 对某个亡c 【o ，1 】成立 一烈19 l l ，荆 s 川黼【o 1 】胜) ，蕾= l ，2 ( 3 1 1 ) 最后( 3 1 0 ) 和( 3 1 1 ) 包含( 2 6 ) ，定理2 1 得证 参考文献 1 】g 。d r a i s m a ，l p e n ga n dt tp e r e i r a ( 1 9 9 9 ) ab o o t s t r a p b a s e dm e t h o d t oa c h i e v eo p t i m a t i n gt h ee x t r e m e - v a l u ei n d e x e x t r e m e s ，2 ，3 6 7 - 4 0 4 【2 】a b m d e k k e r s ，j h j e i n m a ha n dl d eh a a n ( 1 9 8 9 ) a m o m e n t e s t i m a t o rf o rt h ei n d e xo fa ne x t r e m e - v a l u ed i s t r i b u t i o n a n n s t a t i s t 1 7 ，1 8 3 3 - 1 8 5 5 阁j 。e i n m a h la n dt 。l i n ( 2 0 0 6 ) 。a s y m p t o t i cn o r m a l i t yo fe x t r e m ev a l u e e s t i m a t o r so na n n s t a t i s t 。3 4 ，4 6 9 - 4 9 2 。 陶e 。g i n e ，m h a a na n dp v a t a n ( 1 9 9 0 ) m a x - i n f i n i t e l yd i v i s i b l ea n dm a x - s t a b l es a m p l ec o n t i n u o u sp r o c e s s p r o b a b t h e o r yr e l a t e df i e l d s ，8 7 ，1 3 9 - 1 6 5 【5 】l d eh a a na n dt l i n ( 2 0 0 1 ) o nc o n v e r g e n c yt o w a r d sa l le x t r e m ev a l u e d i s t r i b u t i o ni nc 0 ，l j a n n p r o b a b 。2 9 ，4 6 7 - 4 8 3 网l d eh a a na n dt l i n ( 2 0 0 3 ) w e a kc o n s i s t e n c eo fe x t r e m e v a l u ee s t i m a t o mi nc 0 ，l 】a n n 。s t a t i s t 。3 1 ，4 1 9 9 6 - 2 0 1 2 嘲l d eh a a na n ds 。i 。r e s n i c k ( 1 9 9 3 ) e s t i m a t i n gt h el i m i td i s t r i b u t i o no f m u l t i v a r i a t ee x t r e m e s ，c o m m u n i c a t i o