（电力系统及其自动化专业论文）证据理论在负荷预测中的应用.pdf

a b s t r a c t a b s t r a c t e l e c t r i cp o w e ri n d u s t r yi st h eb a s eo fn a t i o n a le c o n o m yo fac o u n t r y , t h ee l e c t r i cp o w e rs y s t e m ss a f e t y a n de c o n o m i c a l l yr u n n i n gw i l la f f e c tt h ed e v e l o p m e n to fe c o n o m y t h eo p e r a t i o n a lg u i d a n c eo fp o w e r s y s t e mi sac o m p l e xa n do r g a n i cw h o l eb o d y , t h e r e i n t o 1 0 a df o r e c a s t i n gi s a l li m p o r t a n te l e m e n t 工d a d f o r e c a s t i n gi st h ec o n d i c t i o no fm a k i n gp l a n sf o re l e c t r i cp o w e rg e n e r a t i n ，p o w e rt r a n s m i s s i o n ，p o w e r d i s t r i b u t i o n ，e t c t h ee l e m e n t st h a ti n f l u e n c ee l e c t r i c a ll o a da l em a n y , t h el o a dw i l lb ei n f l u e n c e db ye c o n o m y , t h e c o u n t r y sp o l i c y , c l i m a t ea ns oo n t h eo t h e rh a p h a z a r dr e a s o n st h a tb r i n gt h el o a d sc h a n g ea l s oh a v e m a n y , f o re x a m p l e ，u n c o n v e n t i o n a l i t yw e a t h e r , b i dh o l i d a y , e t e s ot h el o a df o r e c a s t i n gi s av e r yc o m p l e x w o r k a tp r e s e n t ，t h e r ea r eag r e a td e a lo fm e t h o d so fl o a df o r e c a s t i n g ，b u te v e r ym e t h o dh a si t ss h o r t c o m i n g t h a tw i l lr e s u l ti np r e c i s i o n su n s t e a d i n e s so ff o r e c a s t i n gr e s u l t t h ep a p e ri n t r o d u c e se v i d e n t i a lt h e o t yt o s y n t h e s i z em a n i f o l dw a y so fl o a df o r e c a s t i n g ，a n dm a k e st h ep r e c i s i o no fp r e d i c t e dv a l u e sk e e p i n g e x c e l l e n t t h em o s t l yw o r ko ft h i sp a p e ra r e ： ( 1 )i n t r o d u c et h ee v i d e n t i a lt h e o r ys i m p l y , a n dd i s c u s st h ep r a c f i c m i t yo ft h ee v i d e n t i a lt h e o r yi nt h e f i e l do fl o a df o r e c a s t i n g ( 2 )i n t r u d u c e ss o m ec l a s s i c a lw a y so fl o a df o r e c a s t i n g ，f o re x a m p l e ，t i m es e r i e sm e t h o d ，r e g r e s s i o n a n a l y s i sm e t h o d ，e t c o p e r a t e sa ni n s t a n c eb yt h e s em o t h o d sa n dc o m p a r e st h ep r e d i c t e dv a l u e s w i t ht h et r u t hv a l u e s ( 3 ) p e r f e c tt h et r a d i t i o n a ll o a df o r e c a s t i n gm o d e l ，a n di n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fs u b j e c t i v ew e i g h t ， o b j e c t i v ew e i g h ta n dc o m p o s i t ew e i g h t ( 4 ) a p p l i e st h e e v i d e n t i a lt h e o r yt ol o a df o r e c a s t i n g s y n t h e s i sm a n i f o l dm e t h o d so f l o a d f o r e c a s t i n gb ye v i d e n t i a lt h e o r y , a n dt h ep r e c i s i o no fp r e d i c t e dv a l u ew i l lb ee n h a n c e d t h ew a y o fs y n t h e s i z em a n i f o l dm e t h o d so fl o a df o r e c a s t i n ga r et e s t e db yp r a c t i a ls a m p l e s t h er e s u l t s h o wt h a tt h ew a yi se f f e c t i v e ( 5 ) d e v e l o pas o f t w a r eo fl o a df o r e c a s t i n g i n t r u d u c e st h es o f t w a r e s s t r u c t u r ea n di t sp r i m a r y f u n c t i o n ( 6 )m a k eas u m m a r y a n da n e x p e c t a t i o n o f t h e p a p e r k e yw o r d s ：p o w e rs y s t e ml o a df o r e c a s t i n g ；t h ee v i d e n t i a lt h e o r y ；d e m p s t e rc o m p o s i t i o np r i n c i p l e s y n t h e s i so fm a n i f o l dm e t h o d so fl o a df o r e c a s t i n g l i 东南大学硕士论文 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证 5 而使用过的材料。与我 一同t 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：砖督 日期：丑哪f ) 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括 刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南人学研究生院办理。 研究生签名：陆静翩躲房尉慨办弓 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 电力工业是一个国家国民经济的基础。电力工业的发展若不适应整个国民经济的发展。将成为 整个国民经济发展的瓶颈，迟滞国民经济的发展速度。随着国民经济的发展，对电力工业的要求也 越来越高。 电力系统的任务是尽可能经济地提供给用户可靠、安全的电能。电能作为一种能源、一种提供 消费的商品，有其独有的特点。那就是即时性，生产的即时性、消费的即时性，电能在现阶段尚无 法进行大量储存。因此，对电网调度部门和规划设计部门来说，未来电网内负荷变化的趋势和特点 就属于必须要掌握的基本信息。于是，负荷预测就成为电力系统管理的重要内容之一，它是电力系 统安全、经济运行的重要保证。 电力系统的负荷预测是指基于系统本身的运行特性，从己知的经济、社会发展以及电力需求情 况出发，通过对历史的数据进行分析和研究，对系统负荷作出预先的估计和推测。根据预测时间的 长短，可以将负荷预测分为长期、中期、和短期及超短期负荷预测。长期负荷预测可以达到3 0 年， 中期预测通常为1 至5 年，短期负荷预测为一天或几周，超短期负荷预测仅仅对未来几分钟或几小 时进行预测。 中长期负荷预测主要用于电力系统长期规划，它是制订电力系统发展计划、规划的基础，也是 计划、规划工作的重要组成部分”z i 。它的目的是为合理安排电源和电网的建设进度提供宏观决策的 依据，使电力建设满足国民经济增长和人民生活水平提高的需要。 短期负荷预测在保证电力系统经济、安全、可靠运行方面都起到了重要作用。它主要为以下几 个方面提供数据： ( 1 ) 基本的发电计划 ( 2 )计算机在线电网控制 ( 3 )电力系统安全分析 电力系统的调度部门为了满足电网的发电出力和用户负荷之间的平衡，需要运行人员在前一天 提供误差较小的负荷预报数据，并按其制定发电计划，包括机组开停计划、水火电协调计划以及交 换功率估算等等。 提高负荷预测的水平，有利于计划用电管理有利于合理安排电网运行方式和机组检修计划 有利于节煤、节油和降低发电成本，提高电力系统的经济效益和社会效益。 1 2 负荷预测的现状 目前，负荷预测的方法很多，但总体来说，这些方法大概可以分为两大类：一类是主观预测法， 一类是客观预测法”j 。 主观预测法又称为经验预测法，它主要依靠专家或者专家组的判断，不是依靠数学模型。主观 预测法的优点在于预测者可以综合考虑大量的资料、信息，得出综合结果：缺点在于，主观预测法 严重依赖预测者的知识结构、经验，并且缺乏系统科学的方法去研究过往的资料，不同的预测者预 测结果可能大相径庭。主观预测法往往只是给出一个方向性的结论，不会涉及到电力负荷变化的具 体轨迹和结构。属于主观预测的负荷预测模型有直观分析法、人工智能法( 包括依赖于专家经验的 专家系统和人工神经网络) 、类比法、主观概率法等等。 客观预测法的核心是建立负荷模型。负荷模型是历史数据统计资料的概括，它反映的是历史数 据内部结构的一般特征，与历史数据的具体结构可能并不完全吻合。模型的具体表现形式就是负荷 1 东南大学硕士学位论文 预测公式。根据公式得出与观察值有相似结构的数值，这就是预测值”1 。客观预测法的主要优点是： 不受主观愿望的影响，使用数学方法在以往的数据资料上建立了数学模型，因而，某种程度上而言， 客观预测法是科学的，但是在实际的电力负荷预测中，客观预测法的结果也不尽如人意，它的复杂 性在于，影响负荷的因素复杂而庞大，使用客观预测法很难将所有因素考虑进预测的数学模型中， 一种数学模型往往只能考虑到部分因素，这就使得客观预测法的预测结果有片面性。属于客观预测 法的预测方法有趋势外推法、回归模型预测法、时间序列预测法等等。 直观分析法：直观分析法主要是预测者根据自己和别人的经验、常识以及所掌握的统计资料进 行判断性预测，其中涉及到的数学工具比较简单。常用的方法有专家预测法、指标换算法等等”1 。 趋势外推法：电力负荷一方面有其不确定性，另一方面，在一定条件下，电力负荷又有着明显 的变化趋势，如水平趋势、线性趋势、季节性趋势，周期性趋势等等。一旦找到了负荷的变化趋势， 按照这种变化趋势就能对未来的负荷情况做出预测，这就是趋势外推法”1 。 回归模型预测法：根据负荷过去的历史数据，通过数理统计中的回归分析法，即通过对变量的 样本数据进行统计分析，确定变量之间的相关关系，从而实现预测的目的。 时间序列预测法：一个随着变鼍t 变化的最) ，( f ) ，在 t 2 l “ l 处的观测值 y l ( ) y 2 ( 屯) ，ly 。( r 。) l 组成的离散有序集合，称为一个序列。如采变量t 表示时间，则一组按时 j 顺序排列的观测数据就是一个时问序列。将负荷数据当作一个随时间变化的序列进行处理，寻找 负荷历史数据随时间的变化规律。电力负荷时间序列预测法的因变量( 预测i f l 标) 和自变量均可以 是随机变量。如因变量是待测的电力负荷，那么自变量就是负荷自身的过去值。根据历史负荷，找 出负荷自身的变化规律，然后据此来预测将来的负荷w 。 由于负荷预测是根摧电力负荷的过去和现在推测未来的数值，所以，负荷预测必然有着不确定 性、条件性、时间性的特点。同时负荷与社会经济结构、经济水平、天气情况等存在着复杂的非 线性关系。因此，准确地进行负荷预测是一项复杂的工作。目前的负荷预测方法存在的问题主要在 于：在采用某种预测方法进行负荷预测时，往往只能用单一的模型，由于各种模璀自身的局限性， 一种负荷模型常常只能考虑到部分影响负荷的冈素，例如，时间) - 葶y j j 法模型4 i 能考虑到与负荷相关 的其它因素的影响、州归法模要4 难以同时考虑到多种相关因素的影响，这种负荷模犁先天的局限性， 影响了负荷最终的预测精度。比较埋想的负荷预测方法，虑该是能够博采众长，将多种负荷预测模 型综合起来，各个模型取长补短，互为补充，提高最终的负荷预测精度。 1 3 本文所作的工作 为了能够综合多种负荷预测模型，本文将证据理论引入了负荷预测领域。证据理论( 又称 d e m p s t e r - s h a f e r 理论，简称d r s 理论) 是贝叶斯统计学的推广。它强调各类证据对命题的支持程 度，将不确定和不知道明确区分开来。证据理论通常将要解决的问题分成若干子问题，每个子问题 依赖于独立的证据。先得出证据对各个子问题的支持度，然后通过d e m p s t e r 合成法则进行直和运算， 获得最终命题的支持度，从而进行判断、决策。 本文具体的研究对象是2 4 点的日负荷预测( 预测出第二天0 ：0 0 到2 3 ：0 0 的整点的负荷值) 。 本文的主要内容有以下四部分： ( 1 ) 绪论，阐述论文的背景以及意义，简单介绍负荷预测的现状。 ( 2 ) 对证据理论做一个简单介绍，并且就证据理论在电力系统负荷预测问题上的应用初步引进 实用化探讨。 ( 3 ) 介绍了常用的负荷预测方法。列举了每种预测方法的优缺点。并以实例佐证。改进了传统 的负荷预测综合模型，提出了主观权重、客观权重以及合成权重的概念。合成权重的确定综合考虑 了主客观的因素，更加合理。 2 第一章绪论 ( 4 ) 证据理论在负荷预测中的作用，应用证据理论综合多种负荷预测方法，获得负荷预测精度 的改善。通过实例对应用证据理论综合多种预测方法进行了试算，试算的结果表明了这种方法的有 效性。 ( 5 ) 根据第( 4 ) 部分内辑开发的2 4 点日负荷预测软件。简要说明软件的结构流程，以及一些 主要功能。 ( 6 ) 总结，对论文已经完成的工作做出总结，对还需完善的地方提出展望。 3 东南大学硕士学位论文 2 1 引言 第二章证据理论 证据理论诞生的标志是1 9 7 6 年s h a f e r 的证据的数学理论一书的出版。另一个为证据理论做 出重大贡献的人是a p d e m p s t e r 。为纪念s h a r e r 和d e m p s t e r 对证据理论的发展所作出的贡献，证据 理论又称为d e m p s t e r - s h a f e r 理论，简称d s 理论。d e m p s t e r 首次给出了上下概率的概念，并第一 次给出了不满足可加性的概率。而且他针对统计问题给出了两批证据( 即两个独立的信息源) 合成 的原则。s h a f e r 的证据理论就是在d e m p s t e r 工作的基础上产生的口。 证据理论是建立在集合论基础上的一种概率解释。一个命题的概率可以看作是对该命题赋真值， 不过该真值不是非真即假非此即彼，而是可以取【o ，1 】之问的所有值，换句话说该命题为真的程度并 不是仅仅是1 或者0 ，而是介于1 和0 之间的所有的有理数。证据理论认为每个命题的概率就是指 该命题为真的程度”j 。 证据理论的出现为不确定性知识的表述和推理提供了一种方法。人类以目前的知识水平，对很 多问题的认识带有大量的不确定性：未知性、模糊性、多可能性和矛盾性等等。证据理论可以对不 确定和不知道做明确的区分。能够处理不确定性知识是人类智能的所特有的，证据处理是人的一项 智能活动。证据理论可以将人的证据处理的能力赋予机器，因而证据理论的研究也给专家系统的实 用性研究提供了丰富的内容。 本章简单的介绍一下证据理论，并对证据理论的实用性做了一点探讨。 2 2 证据理论的基本内容 2 2 1 概率的三种解释以及概率的构造性解释3 在s h a f i c r 的证据理论出现以前，概率的解释可以分成三种：客观解释，个人主义解释以及必要 性解释。 客观解释又叫必要性解释。根据这种解释，要求出一个事件的概率必须要求出该事件重复出现 的概率。数学概率论以及数理统计所采用的概率就是在一种广泛频率解释下的概率。 个人主义解释又称为主观解释或者贝叶斯解释。在这种解释看来，概率与某个人的行为相联系， 由某人在进行赌博或某种带有不确定性结果的活动中所表现出来的行为来反映。 必要性解释又称逻辑主义解释。逻辑主义解释把概率看成是命题与命题之间联系程度的度量。 这种联系程度是纯客观的，与人的作用毫无关系。逻辑主义者把概率理论看作一种逻辑学，认为它 的对象是人的推理过程。概率理论研究的推理是可以合理的赋予某个权重的推理。如果说演绎推理 由前提必然可以得到结论，那么概率推理由前提可以在一定程度上得到结论”j 。 以上三种解释都没有涉及概率推断的构造性特征。频率主义解释和逻辑主义解释赋予概率一种 客观属性，概率的得到与人类活动毫无关系。贝叶斯解释把概率解释成人的偏好或者主观意愿的度 量，但是它没有强调也没有要求概率如何构造”j 。为命题赋予真值在贝叶斯解释看来，完全是人主 观判决的的结果，与证据毫无关系，尽管有时也谈证据，但是根本不强调证据，即贝叶斯解释片面 强调人的判决作用，忽视证据的作用。为命题赋予真值在逻辑主义解释看来完全是证据作用的结果， 是证据与该命题逻辑关系的体现，是纯客观的。频率解释也将概率归结为个事件的客观属性，是 由该事件发生的频率( 作为证据) 决定的。因此逻辑主义解释和频率主义解释片面强调证据的作用， 忽视人的判决作用。不管是何种解释，概率的得到都可以看成是在为一个命题赋真值只不过该真 4 第二章证据理论 值并不是非0 即1 、非真即假，而是可以取 0 。1 】之间的数。我们求某个命题的概率也就是确定它为真 的程度。 证据解释给了概率一种新的解释。s h a f t e r 指出：对于概率推断的理解，我们不仅要强调证据的 客观性而且也要强调证据估计的主观性。数字化的概率并没有独立于人类判决的客观属性，在人思 考之前也不会在人的头脑中存在。但是，人可以在客观证据的基础上构造出这样一个数字化的概率 出来。根据概率的构造性解释，概率就是一个人在证据的基础上构造出的他对某一命题为真的信任 程度，简称为信度。 例如，某人对“明天下雪”的命题给出的概率是0 6 ，即是说，根据某些证据，比如，气温降低、 云层低压等，经过分析得出的对“明天下雪”为真的信任程度( o 表示完全不相信命题，1 表示完全 确定命题为真) 。 信度与传统频率解释下的概率的一个重要区别就是信度只满足半可加性，不满足可加性”“。而 传统的概率解释必须满足可加性。半可加性是指满足式( 2 1 ) ，可加性则是满足式( 2 2 ) 。 如果弘，a ，l ，a o ( n 蔓t j 任意自然数) ，那么 b e f ( u = 4 ) z e t a ) 一p ( 4 ia j ) + l + ( 一1 ) ”1 p ( i ：1 4 ) ( 2 1 ) i = 1 i o ，则称a 为焦点元素( f o c a le l e m e n t ) ，所有焦元的并称为核心( c o r e ) 。 定义2 2 设 为识别框架。如果集函数b e l ：2 。af o ，1 】满足： ( b 1 ) b e l ( ) = 0 ( 2 5 ) ( b 2 ) b e l l 0 ) = 1 0 3 ) v a , ，a ，l ，a o ( n y 口任意自然数) b e l ( u t = , 4 ) p ( 4 ) 一p ( 4a j ) + l + ( 一1 ) ”1 p ( i ：。a ) i = 1 l j 则称b e l 为框架 上的信度函数。 基本信度分配m 和信度函数b e l 是一一对应的关系，它们之间的关系如下： 如果m 是一个基本信度分配，那么信度函数b e l 可以由下式得出： v a c _ o b e i ( a ) = e m ( 口) 显见：b e f ( 。) = m ( 口) = 1 如果b e l 是一个信度函数，那么基本信度分配m 可由下式导出： v a u o m ( a ) = ( 一1 ) a - n l b e l ( b ) 2 2 3 证据处理模型 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 设现有一个判决问题，建立证据处理模型的步骤可以概括为： 1 首先确立识别框架o 。只有确定了识别框架 ，才能将对命题的研究转化为对集合的研究。 识别框架的选择依赖于我们的知识，依赖于我们的认识水平，也依赖于我们所知道的和想知道的情 况。 2 根据证据建立一个信度的初始分配，即证据处理人员对证据加以分析，确定出证据对每一个 集合( 命题) 本身的支持程度，而不去管它的任何真子集( 前因后果) 。 3 分析前因后果，算出我们对所有命题的信度。从直观上看，一批证据对一个命题提供支持的 话，那么它也应该对该命题的推论提供同样的支持。所阻对一个命题的信度应该等于证据对它的所 有前提本身提供的支持度的总和。 证据可以对一个或者多个命题提供支持。用来衡量证据对每个命题的支持程度即为信度，用上 一节定义的信度函数b e l 表示。信度函数b e l 是由基本信度分配m 得来的，基本信度分配，l 是信度 的一种初始分配。信度函数b e l 和基本信度分配m 之间的关系见公式( 2 8 ) ( 2 9 ) 。现设a 为识别 框架中的信团，b e lm j 称为赋予命题a 的信任度。是分布在a 的所有子集的概率总值，它是a 的 所有子集的基本信度分配值( b p n ) 之和。 6 第二章证据理论 当基本信度分配m ( a ) = jo 1 , a a = 8 口时，信度函数的结构最简单，对应的信度函数为 曰d ( a ) 2i 。1 , ，a a = 0 口，该信度函数成为空信度函数( v a c u 。u sb e l i e f 劬“。n ) 。空信度函数用在无任 何证据的情况下。 2 2 4 众信度函数和似真度函数 众信度函数( c o m m o n a l i t yr u c t i o n ) 与基本信度分配和信度函数是一一对应的即是说，众信度 函数与基本信度分配和信度函数所承载的信息是相同的。众信度函数是从另一个侧面对证据的描述。 定义2 3 设 为识别框架，函数m ：2 9a 【o ，1 】，是框架。上的一个基本信度分配。函数 q ：2 8a 【o ，1 】由下式定义1 5 j ： v a 0 ，q ( ) = 芝：m ( b ) ( 2 1 0 ) cf 称q 为框架e 上的众信度函数。v a e 0 ，q ( a ) 称为a 的众信度值。 由定义可知，对于一个集合( 命题) a c e ，它的众信度值q ( a ) 反映了包含a 的集合( 被a 所 蕴含的命题) 的所有基本信度值之和。信度函数b e l 是从一个结论的前提这个角度描述信度的，而 众信度函数q 是从一个前提的结论这个角度描述信度的。 关于一个命题a 的信任单用信度函数来描述还是不够的，因为b e l ( a ) 不能反应出我们怀疑a 的 程度，即我们相信 为非真的程度。所以为了全面描述我们对a 的信任情况还要引入一个概念来表 示我们怀疑a 的程度。 定义2 4 设b e l ：2 。_ 1 0 ，1 1 是e 上的一个信度函数。定义d o u ：2 。_ o ，i 】和p l ：2 e _ 【o ，l 】如下 v a c 0 d o u ( a ) = b e l ( a ) ( 2 1 1 ) p i ( a ) = i b d ( a ) ( 2 ，1 2 ) 称d o u 为b e l 的怀疑函数，p f 称为b e l 的似真度函数”j 。 v a c 0 ，d o u ( a ) 称为a 的怀疑度；p l ( a ) 称为a 的似真度。d o u ( a ) 表示我们怀疑a 的程度， 而p i a ) 表示我们不怀疑a 的程度或者说我们发现a 可靠或者似真的程度。 根据式( 2 1 2 ) 可以用与b e l 相对应的基本信度分配m 来表示似真度函数p f v a c 0 州( ) = 1 - b e l ( a ) = m ( b ) - m ( 占) = m ( 丑) ( 2 1 3 ) 4 c ob o ab i - 若a ib 口，则称a 与b 相容。( 2 1 3 ) 式表明，e t ( a ) 包含了所有与a 相容的那些集合( 命题) 的基本可信度值。对比( 2 8 ) 式和( 2 1 3 ) 式可知： v a c 0 b e l ( ) p i ( a ) 这意味着，p i ( a ) 是比b e l ( a ) 更为宽松的一种估计，或是b e l ( a ) 是比p l ( a ) 更为保守的一种估计口l 。 证据理论利用信任度和似真度，即( b e i ( a ) ，p i ( a ) ) 来描述a 的不确定性，由于b e l ( a ) sp l ( a ) ，所 以对于一个给定的子集a 可以定义 b e i ( a ) ，p i ( a ) 】为子集a 的信度区间。 信度区间的宽度p l ( a ) 一b e l ( a ) 定义为无知的程度，简称无知度。无知度可以看成是在给定证据 的条件下关于一个假设的不确定性的度跫。根据证据，这部分信度既不能分配到该假设上，也不能 分配到该假设的反上。( 1 ，1 ) 表示为真，( o ，o ) 表示为假，( o ，1 ) 表示对a 一无所知。由此可见， 7 查壹查堂堡主堂些丝兰 证据理论可以把不知道和不确定区分开，p i ( a ) 一b e l ( a ) 的值反映了对a 不知道的信息，这是证据理 论的优点，由于e l ( a ) 、b e i ( a ) 分别表示了对a 信任的上、下限，因此d e m p s t e r 将p i ( a ) 称为a 的上 限概率，b e i ( a ) 称为a 的下限概率嘲。 2 2 5 证据理论与贝叶斯统计学之间的关系 定义2 5 如果o 为识别框架，函数d ：o a 【0 l 】满足 d ( p ) = 1 畦0 则称该函数为贝叶斯概率密度函数，简称为贝叶斯密度函数( b a y e s i a n ( p r o b a b i l i s t i c ) d e n s i t y f u n c t i o n ) 。 定义2 6 设0 为识别框架，函数b a y ：2 。a 【o ，1 】满足： 1 】b a y ( p ) = 0 【2 】b a y ( o ) = 1 3 】若a ，b 0 且a ib = 那么 b a y ( a t j b ) = b a y ( a ) + b a y ( b ) 则称该函数为贝叶斯概率函数，简称贝叶斯函数( b a y e s i a n ( p r o b a b i l i s t i c ) f u n c t i o n ) 。 如果d 是一个贝叶斯密度函数，那么由下式定义的函数b a y ：2 8a 【o ，l 】是贝叶斯函数： q a c 0 b a y ( a ) = m d ( p ) ( 2 t 1 4 ) 反之，如果b a y 是一个贝叶斯函数，那么由下式定义的函数d ：o a 【o 1 是贝叶斯密度函数。 v o e 0 d ( o ) = b a y ( o )( 2 1 5 ) 由( 2 1 4 ) 式和( 2 1 5 ) 式可知： 1 贝叶斯函数是非减的；即，若a c b ，则b a y ( a ) b a y ( b ) 。该结论可以直接由( 2 1 4 ) 式推得。 2 对于o 的任何子集类 ，a ，l ， 1 ) 有 i ua 2 u lu a 。( 一1 ) “i i 。，al ( 2 1 6 ) ，1 2 l ， 1 ，f 前面介绍了贝叶斯函数的相关概念和性质。那么贝叶斯函数和信度理论有什么联系和区别呢? 如果d 是贝叶斯密度函数，那么由下式定义的函数m 是基本信度分配。 v p om ( ( 9 ) = d ( 口) ：对0 的所有非单点子集a m ( a ) = 0 。 反之，如果m 是基本信度分配，而且满足 对e 的所有非单点子集a ，m ( a ) = 0 那么由 v o 0 d ( 口) = m ( f 8 j ) 所定义的函数d 是贝叶斯密度函数。 总之，当我们的信度只分配到单点集上，对非单点集不分配任何信度时，所得到的基本信度分 配是贝叶斯密度函数。 如果b a y 是贝叶斯函数，那么b a y 也是信度函数，它所对应的基本信度分配m 满足( 2 1 7 ) 式 ”( a ) 2 1 0 b ，a y a ( 为a ) 其a 它。的非0 单点0 子集 f ， = 归) ， 又如果d 是该贝叶斯函数b a y 的密度函数，那么d 满足( 2 1 8 ) 式 v p 0 d ( 8 ) = m ( 口 ) 如果b e l 是信度函数， 若所对应的基本信度分配m 定义为： ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 第二章证据理论 v oe0 l ( p ) ) = 丑e z ( 口) ) 对0 的所有非单点子集a ，m ( a ) = 0 则b e l 是贝叶斯函数，它所对应的贝叶斯密度函数d 为： v o 0 d ( 日) = 州旧) ) 。 综上所述，贝叶斯函数是满足其基本信度分配只将信度分配到单点上，而在其它非单点集上不 分配任何信度的信度函数。因此，贝叶斯函数是一种特殊类型的信度函数。证据理论是贝叶斯统计 学的推广，而贝叶斯统计学是证据理论的特例。 2 2 6m 、b e l 、p i 、q 的几何意义3 1 如果我们将e 的元素看成点，那么我们就可以将我们的信度看成是一种半流动的“信质” ( s e m i m o b i l e “p r o b a b i l i t ym a s s a s ”) ，这些信质可以从一点移动到另一点，但是要局限在0 的各个 子集中。 m ( a ) 反映了对 本身( 而不管前因后果) 的信度大小，即反映了局限于a 而爿i 局限于a 的任何 真子集的总信质。换一种说法，m ( a ) 即是局限于a 中可以自由移动到a 的每一点的信质。 b e l ( a ) = m ( b ) 是分配到a 上的总信度，它综合了a 的所有前提本身的信度，所以，b e l ( a ) 是 而 局限于a ，可以在a 中自由流动但不一定能够达到每一点的总信质。 q ( a ) = m ( b ) 是a 的所有结论本身的信度之和，所以q ( a ) 是可以自由移动到a 的每一点但不 cf 一定局限于 中的总信质。 p l ( a ) = m ( 口) 是所有与a 相容的命题本身的信度之和，所以p i ( a ) 是可以自由移动到a 但是 而k 不一定局限于a 也不一定可以自由移动到a 的每一点上的总信质。 2 3d e m p s t e r 合成法则4 1 d e m p s t e r 合成法则是证据理论的核心内容之一。d e m p s t e r 合成法则可以反映证据的联合作用。 对于同一识别框架上基于不同的证据所得到的信度函数，只要这几批证据不是完全冲突的，就可以 用d e m p s t e r 合成法则计算出一个新的信度函数，这个新的信度函数就可以作为在那几批证据的联合 作用下产生的信度函数。该信度函数称为原来那几个信度函数的直和，直和用符号。表示。 2 3 1 信度函数的合成 设b e l l 、b e l 2 是同一辨识框架。上基于两个独立证据的信度函数，”l 和m 2 分别是其对应的基本 信度分配，设焦点元素分别为a l 、a 2 、”、a k 和b l 、b 2 、b l ，设： m d a o m 2 ( q ) 1 ( 2 1 9 ) 那么，由下式定义的函数m ：2 8a 【0 ，1 】是基本信度分配 f 0 ，a = 妒 m ( 舻 章生! 坐竖型，a ( 2 2 0 ) il 一w 一玛( 4 ) ( b 7 此即两个信度函数合成的d e m p s t e r 合成法则，记为b e l lo b e l 2 。 由m 所给定的信任函数的核心等于b e l l 的核心和b e l 2 的核心的交。如果( 2 1 0 ) 式不成立，即 是说两个独立证据式完全冲突的。那么，b e l ，和b e l 2 的直和就不存在。 东南大学硕士学位论文 d e m p s t e r 合成法则可以用图2 一l 、图2 2 、图2 - 3 进行解释。在图2 1 、图2 2 中， 0 ，l 】中的某 一段表示由各自的基本信度分配决定的某一焦元上的基本信度值，并不表示整个的识别框架。图2 - 3 中横坐标是m l ，纵坐标是m 2 ，每根竖条表示m 1 分配到焦点元素a l 、a 2 、a k 上的基本信度值， 每根横条表示m 2 分配到焦点元素曰l 、曰2 、曰。上的基本信度值。横条和竖条的交是一个矩形， 该矩形具有测度m 】( a i ) m 2 ( 马) ，因为它是同时分配到a i 和马上的，所以将b e l l 和b e l 2 合成，就 是将m 】( a 1 ) m 2 ( 鱼) 分配到a i f l 丑1 上。 0 图2 - 1m i 信度分配 k i 4 。： o 图2 - 2m 2 信度分配 图2 - 3d e m p s t e r 合成法则的空间解释 给定a e ，若有 ib j = a ，那么h ( ) 鸭( 口，) 就是确切地分配到a 上的一部分基本信度值， 所以确切地分到a 上的总的基本信度值为 m ( 4 ) 鸭( 马) i 以2 但是当a = 口时，按照这种理解，将有一部分基本信度值分配到空集上，这显然是不合理的，不 符合基本信度分配的定义。这部分没有意义的基本信度值要丢弃，这样，总的基本信度值就不再为 1 ，为此，我们对剩下的基本信度值进行归一化处理，即对非空集合上的基本信度值乘上一个系数胃， k 的定义如下式 k = ( 1 一玛( 4 ) ( b 伪1 ( 2 2 1 ) i 皿= + 显然，经过归一化处理后，基本信度分配值满足总的基本信度值为1 的要求。这种方法称为归 1 0 苎三兰堡堡型堡 一化，k 称为归一化常数。 对于更一般的情况，当信度函数有n 个，则1 1 个信度函数的直和b e l ib e l 2 0 b e l n 可以用公 式( 4 ) 逐次两两计算，也可以直接根据b e l l 、b e l 2 、& f n 所对应的m l 、m 2 、m 。来计算出对 应的m ，具体求法如下： 设b e l l 、b e l , 、b e l t , 是同一识别框架。上的信度函数，m l 、m 2 、m 。是对应的信度分配， 如果b e l tb e l 20 l0 b 以存在且基本信度分配为m ，则 v a o ，a 妒 m ( a ) = km ( a 耽( a ) r a n ( a n ) ( 2 2 2 ) n n n | = 其中 牛高 2 帆_ 州帆) 。) 心1 2 3 此即多个信度函数合成的d e m p s t e r 法则“。 对于一个识别框架 上的b e l , ，占e l ，b e l 它们能够进行d e m p s t e r 合成的条件是 b e l j ，b e l 2 ，l ，b e l 存在，由下面的定理可以判断b e l ib e l 2o lb e l 是否存在。 定理2 1 设b e l i ，b e l 2 ，l 占e 是同一识别框架 上的信度函数，啊，l ，分别是其对应的基本 信度分配，c m ，l ，分别是其对应的核心，q l ，q 2 ，l ，g 分别是其对应的众信度函数。那么下列 条件是等价的 【l 】i ili = ； 【2 】v a o ，a 妒 q l ( a ) q 2 ( a ) lg ( ) = 0 【3 】j ，如，l e 0 满足 1 ilia = 妒且 b e l , ( 4 ) = 1 ( f = 1 ，2 , l n ) ： 【4 3 a ，b 0 满足a ib = 且有巨，易，l ，耳和g l ，g 2 ，l ，g j 使得 a = 巨i 岛ili 巨 b = g t ig ，ilie 而且对每一个e 或g j ( i = 1 ，2 ，l ，r ；j = k 2 ，l ，j ) ，至少存在一个b e l , , 满足8 e l , ( e ) = i 或b e l t ( g ) = i ； f 5 】依靠任何顺序计算既b e l 2o lb e l 都是失败的。 2 3 2 冲突权重 两批证据在同一识别框架上的作用，只要不是完全一致的，就会表现出冲突性。在上一节阐述 的d e m p s t e r 合成法则时提到，在用d e m p s t e r 合成法则求啊和鸭的直和时，如果4 ib j = ，那么 就丢弃啊( 4 ) 他( e ) a 在啊和鸭合成的整个过程中所丢弃的总的基本信度值为 f = 啊( 4 ) 鸭( 岛) ( 2 2 4 ) i 毋却 当 1 日，= 时，啊和分别给两个不相容的命题赋予了信度，这也就是说玛和所对应的两批 证据在这个问题上发生了冲突。e 值越大，说明这两批证据的冲突越大；反之，值越小，说明这 1 i 至堕查兰竺主兰垡丝奎 两批证据的冲突越小。因此，e 值可以用来反映这两批证据间冲突程度的大小。我们用冲突权重 ( c o n f i c tw e i g h t ) 来衡量两批证据之间的冲突程度。冲突权重的定义如下式： l o g = l 。g 壶一l o g ( 1 一d ( 2 2 5 ) 玛和m 2 间或者对应的b e l l 1 1 b e l 2 间的冲突权重l o g k 记为c o n ( b e l t ，b e l 2 ) 或者c o n ( m a ，r i b ) 。因为k 总 是大于或者等于1 ，所以c o n ( b e l l ，b e l 2 ) 可以取任意大于等于0 的数。如果m 和一点也不冲突，那 么，e = o 进而c o n ( r ，鸭) = o ；如果蚋和r n 2 完全冲突，那么，e = 1 而c o n ( 玛，鸭) = 一。 同理，当口吐，b e l 2 ，l ，b e l 是同一识别框架 上的信度函数，可以定义觇，b e l 2 ，l ，b e l 之间的 冲突权重为： c o n ( b e l 。l ，b e l 2 ) = l 。g k = i 。g 击l 0 9 0 叵) 其中 e = 玛( ) 慢( ) l ( ) i l l j 冲突权重满足可加性，即是： 设b e l t ，b e l 2 ，l ，b 以是识别框架 上的信度函数，且b e l i b e l 2 0 l0 8 p 存在，那么 c o n ( b e l 】，b 吐，l ，b e ，b e 0 + 1 ) = c o n ( b e l l ，b e l 2 ，l ，b e t ) + c o n ( b e l lb e l 2o l0 b e l ，b e l + 1 ) 2 4 证据理论的应用 证据理论主要用来解决不确定性问题，只要涉及到不确定性推理和判决问题的领域