（应用数学专业论文）可转换债券条款分析及定价研究.pdf

摘要 可转换债券是一种介于债券与股票之间，兼有债务性与期权性的中长期混 合金融工具。它属于公司债券的范畴，赋予债券投资者一定的权利，即在可转 换债券发行后直至到期目，投资者可依其个人的意志，选择将可转换债券持有 至到期日获得收益，或选择在某一时间将债券转换为发行公司的股票。本文旨 在利用数学方法对可转换债券进行条款分析及定价研究。 本文首先介绍了可转换债券的性质特点，研究可转换债券的现实意义，国 内外研究现状分析以及本文的研究思路，另外该部分也对可转换债券的概念， 性质及各类条款进行了数学化表述，是全文的基石。第二章主要针对可转换债 券特色条款中的可提前转换这一美式债券性质进行分析，由可转换债券中可提 前转换所引出的最优停时问题，可以利用鞅论来确定可转换债券实施转换的理 性执行策略。笔者对其中的关键环节给出了连续时间情形下的定理及其证明。 第三章着重考虑可转换债券特色条款中的赎回转换对策，基于可转换债券的赎 回转换条款涉及到发行者与投资者双方的选择意向与收益情况，笔者运用对策 论思想，构建了一个非合作二人霉和对策，进而求解其n a s h 平衡点并分析各种 情况下平衡点的意义。第四章侧重于单因素模型下可转换债券的最优转换边界 及定价分析，运用偏微分方程理论中基本解的思想，对可转换债券的美式自由 边界问题进行探讨。最终，笔者给出了定价分解公式并确定了最优转换边界所 满足的积分方程。第五章推广了单因素模型，首先介绍了随机利率前提假设下 的最普通的二因素模型，并且由易到难逐步增加约柬条件：笔者不仅在二因素 模型中通过引入信用风险因子来考虑信用风险建立了相应的定价模型，并且 更迸一步，笔者借助偏微分方程中变分不等式这一工具，得到了具有可赎回可 回售条款的可转换债券定价方程的弱形式，从而有助于数值方法求解。 关键词：等价鞅测度，理性执行策略，菲合作n 人对策，n a 5 h 平衡点，b l a c k s c h o l e s 模型，基本解，变分不等式，弱形式。 a b s t r a c t t h ec o n v e r t i b l eb o n di sak i n do fm i d - l o n g - t e r mm i x e df i n a n c i a lt o o lw h i c hi s b e t w e e nt h eb o n da n dt h es t o c k i te n d o w ss o m er i g h t st ot h ei n v e s t e rt oc o n t i n u e h o l d i n gt h eb o n dt i l lt h ee x p i r yd a t eo rt oc o n v e r tt h eb o n d t ot h es t o c kb e f o r et h e e x p i r yd a t e i nt h i sp a p e r 、o u rp u r p o s ei s 七oa n a l y s es o m es p e c i a lp r o v i s i o n sa n d s t u d yt h ep r i c i n gp r o b l e mo fc o n v e r t i b l eb o n d s t h ef i r s tp a r ti st h eb a s eo ft h i sp a p e r s e c o n d l y , w ed i s c u s so n eo ft h ed i s - t i n g u i s h e dp r o v i s i o n so ft h ec o n v e r t i b l eb o n d ，t h ec o n v e r t i b i l i t yw h i c hb r i n g st ot h e p r o b l e mo ft h eo p t i m a ls t o p p i n gt i m e c a r r y i n go u ts e v e r a lt h e o r e m sa n dt h e i r p r o o f su n d e rt h ec o n t i n u o u st i m eb a c k g r o u n d ，w ew o r ko u tt h er a t i o n a le x e r c i s e p o l i c yo nt h eb a s i so fm a r t i n g a l et h e o r y t h i r d l y , w es t u d ya n o t h e rd i s t i n g u i s h e d p r o v i s i o n ，t h es t r a t e k y o f c a l l i n ga n dc o n v e r t i n g w eu s et h es t r a t e g yt h e o r yc oa n a l - y s eat w o - p e r s o nn o n c o - o p e r a t i v eg a m es t r u c t u r ef o rt h ec o n v e r t i b l eb o n d a n dt h e n s o l v et h en a s he q u i l i b r i u mp o i n t sw i t ht h ee c o n o m i cs e n s e f o u r t h l y , w es t i c kt o t h e p r i c i n ga n dt h eo p t i m a lc o n v e r tb o u n d a r yu n d e rt h eo n e - f a c t o rm o d e l a p p l y i n g t h ef u n d a m e n t a ls o l u t i o ni nt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w ed i s c u s st h ea m e r i c a nf l e e b o u n d a r yo ft h ec o n v e r t i b l eb o n da n dp r o b ei n t ot h eo p t i m a lc o n v e r tb o u n d a r ya n d t h ep r i c i n ga n a l y s i s f i r h l y ，w ei n t r o d u c eat w o - f a c t o rm o d e l su n d e rt h es u p p o s e o fr a n d o mr a t ea n dm o r e o v e r w ea d dt h ec r e d i tr i s kt ot h er a n d o mr a t et w o - f a c t o r m o d e lb yi n t r o d u c i n gt h ei n s t a n t a n e o u sr i s ko fd e f a u l t f u r t h e r m o r e w es t u d yt h e p r i c i n gp r o b l e mw i t ht h ec a l l a b l ea n dp u t t a b l ep r o v i s i o n s w eo b t a i nc h ew e a kf o r m u l a t i o nc h a ti sh e l p f u lt ot h en u m e r i c a lc o m p u t a t i o n k e y w o r d s ：e q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e ，r a t i o n a le x e r c i s ep o l i c y ，n - p e r s o n n o n - c o o p e r a t i v eg a m e 、n a s he q u i l i b r i u mp o i n t ，b l a c k - s c h o l e sm o d e l ，e u n d a m e n t a l s o l u t i o n ，v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，w e a kf o r m u l a t i o n 1 1 硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位各注 林武怠教授华苯怿踅蚰濑瓣 主席 蒋莩敫别敏寺受j 曼j 晰魂托随潴 港生花副敬- 授华舂黼杰帮峻酶 萤浩l 军抖 币酶秸蓬大懒烈 秘书 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：查墨 日期：兰堕：! l 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版，保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名：掀晶导师签名：警议 日期- 笙，占，l 1 第一章引言 1 1 可转换债券介绍及其研究现状 可转凌债券( c o n v e r t i b l eb o n d ，简称可转债或c b ) 是一种介于债券与股票之 间的蔽有债务性与期投性的中长期混合金融工具。它属于公司债券的范畴，赋 予债券投资者一定的权利，叫在n j _ 转换债券发行后直至到期臼，投资者可依其 个人的意志，选择将可转换债券持有至到期日获得收益，或是选择在某一时间 将债券转换为发行公司的股票。由于可转换债券的双重性质，相比于单纯的金 融工具( 如股票、债券) ，它具有独特的优势? 一方面，对于投资者而言，可转 接债券既可能提供相当子腔票的收益，又具有保险措旖，因为若投资者欣弃转 股权利仍可持有债券至到期日以获得稳定收益共享发行公司的成长以获取 利润t 同时又能规避通胀与利率波动等一系列风险；另一方面，对发行公司来 说，由于可转换债券的票面利率比同等级同期限的公司债券低，并且它是以发 行债券的形式出售隐含的脸票期权，从而降低或限制了融资成本+ 在一定程度 上能改善公司蔚负倭状况。 可转抉债券以其独特的融资模式逐渐成为西方发达国家证券市场不可或缺 的重要组成部分。并为这些国家和地区金融市场的繁荣和企业竞争力的提升起 到了积极的推动作用。作为中国国内唯一的期权衍生产品，可转换债券于二十 世纪九十年代初期进入中国金融市场，经过一段时闻的低迷之后2 0 0 z 年可转 换债券的发行高开低走。使撂市场特彤急转壹下，短短半年肘闯里，可转换债 券的销售出现了巨大的逆转。迸 k 2 0 0 3 年以后可转换债券的发行更是方兴未 艾，仅上半年就发行了6 只。可转换债券的独特魅力逐步为更多投资者认可，可 转换债券的行情也普遍看涨。 由于中国资本市场一直存在股权融资比例过高、投资品种匮乏、金融创新 困难等同雳，需要推出债券类和权迂类金融产晶并完善相关的交易市场，恧可 转换债券作为一种混合金融工具，其市场的发展对完善中国资本市场、改善融 第一章引言 2 资结构有着重要的意义。正式加入w t o 后。随着资本市场的进一步歼放，中国 必须借鉴国外可转换债券市场的发展经验来加速中国可转换债券市场的发展， 促进经济腾飞。从长远看来，可转换债券必将成为中国证券市场上主要的金融 工具之一。因此，对可转换债券进行科学正确的定价具有极其深远的意义。 对可转换债券进行研究的核心表现在其定价问题以及上市前的转股价格预 测方面。从形式上看，可转换债券近似于普通公司债券与认股权证的结合体，因 此其价值由两部分决定：一部分是债券价值，又称为直接价值，它是当可转换 债券作为普通公司债券时，投资者在到期时所获取的收益，即各期现金流量的 贴现值总和：另一部分即为转换价值，即当投资者在一定时间将债券转换为股 票而获得的收益。 可转换债券起源于十九世纪中期的美国。对其定价的理论研究可以分为两 个阶段：一是二十世纪七十年代中期以前的经典理论部分，二是此后的近代理 论部分。 经典理论部分对可转换债券定价的研究仅限于对其价值特征的大致定性刻 画。到二十世纪六十年代，直至七十年代初期，可转换债券定价基本思路是：首 先假定未来某个时点可转换债券价值为其直接价值和转换价值中的最大随，然 后将该值贴现至初始时间，以此作为可转换债券的价格。这一方法在可转换债 券这种金融品种自身还不够完善的情况下，得到了较为广泛的应用。但是这种 在固定时点上不考虑提前行使转换权的做法，在操作上具有很大的缺陷。即便 如此，经典理论的研究在现代可转换债券定价模型中仍用途广泛尤其是在边 界条件的确定方面。 七十年代中后期，微观经济学出现了划时代的突破，目- p b i a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 期权定价理论的产生。该理论为衍生证券定价提供了基本思想和般方法。最 早将期权定价方法运用于可转换债券定价问题的是i n g e r s o u ，b r e n n a n 和s c h w a r c z ( 1 9 7 7 ) 。在他们的模型中，可转换债券价值依赖于唯一的标的变量公司的 市场价值，这一标的变量的运动服从一定形式的随机扩散过程。通过确定随机 微分方程的边界条件，倒向求解回到任意时刻便可得到方程的解，即可转换债 券的价格。但是，由于公司的市场价值往往不可交易，其市价不能通过直接观察 得到，这就使得参数估计比较困难。之后，m c c o n n e l l 4 和s c h w a r t z ( 1 9 8 6 ) 以股票 第一章引言 3 价格作为标的变量。提出了一个单因素可转换债券定价模型，此后大多数可转 换债券定价均以该模型为基础。c a r a y a n n a p o u l o s ( 1 9 9 6 ) 选用c o x - i n g e r s o l l - r o s s 模型，引入不确定荦j 率，构建了更为复杂的二因素模型。由于可转换债券的股 权性和债券性为其根本特征，二因素模型越来越成为国内外可转换债券定价的 主要研究手段。 1 2 本文的研究思路 本文首先对可转换债券的概念、性质及条款等给出数学化表述，在此基础 上展开对可转换债券的条款分析及定价研究。 在条款分析方面，由于可赎回可转换条款是可转换债券中极具特色的两个 方面，从而本文将对此着重分析：考虑到可提前转换是一个对发行者与投资者 双方面言都意义重丈的最优停对问题，利用鞍论这一未定权益定价中的现代金 融理论精髓，本文讨论可转换债券进行转换的理性执行策略：而对于赎回转换 条款，则运用对策论思想构建了一个非合作二人零和对策并进行相应的对策分 析。 在定价研究方面，由于可转换债券类似于美式期权，因此不可避免地要探 讨自由边界问题，即要确定最优转换边界并对此作定价分析。本文运崩得微分 方程中基本解的思想，在单因素模型下推导出可转换债券价值分解式并给出 自由边界所满足的方程。进步本文将定价模型推广到二因素模型巾，由此 考虑随机利率下的信用风险问蹶，通过引入瞬时违约风险因子得到新的可转换 债券定价方程。最后本文采用变分不等式的方法，考虑具有赎回回售条款的 二因素模型的弱形式，从i i 西有助于可转换债券定价方程的数值求解。 1 3 相关概念的数学表述 1 3 1 前提条件 本文在连续时间的慵形下对可转换债券进行研究，为此，作以下前提假设 ( i ) 可转换债券的转换条款不变 ( i i ) 无税，无交易费 第一章引言 ( i i i ) 市场是无摩擦的( 交易连续，借贷与卖空无限制) ( i v ) 不存在套利机会 l 3 2 统一规定 4 记到期日为丁的单位可转换债券的价值为y ，标的股票价格为s ，随机变量 服从几何布朗运动： d s = u s m + o s 鼎 其中p 为漂移率，a 为波动率，w 为标准布朗运动。 无风险利率为r ，红利支付为d ( s ，t ) ( 与时间无关时d = q s ，g 为红利率) 。 在选定时间可将每单位可转换债券转换为n 单位价格为s 的股票，或者可以不转 换债券，持有至到期日取得收益z 。 1 3 3 特色条款 由于可转换债券具有不同设计条款，从而对于不同可转换债券，其定价模 型的终值条件和边界条件也各具特色： ( i ) 终值条件： v = m a x ( n s ，z ) ( t = t ) ( i i ) 边界条件： 因为股价非常高时，可转换债券持有者将债券转换为股票，所以有 y n s ( s o 。) 而股价菲常低时，可转换债券的期权部分价值趋于0 ，此时的可转换债券价 值为纯债券价值，所以有： v z e 一7 ( t 一。( s o ) ( i i i ) 转换条件： 理性投资者在任何对候都希望获得最大化的可转换债券价值。然而m c e o n n e l 和s c h 谢z ( 1 9 8 6 ) 的研究成果表明，可转换债券的价值应大于或等于其转换价值， 第一章引言 5 因此有： y 三n s ( i v ) 赎回条件： 大多数可转换债券都附有赎回条款，即在定条件下( 通常规定在一段时 间内，股价大于当前转股价格的倍( 1 ) ) ，发行可转换债券的公司有权在任 何时候或特定时闻段内购回债券，但由于一般的可转换债券都存在赎回公告期， 债券持有考可在此期间选择转换。带有这种条款的债券价值显然比不具有这种 条款的债券低。假定发行者可以以尬的价格赎回债券，则由赎回条款产生的约 柬条件为： v m a x ( 五，n s ) ( v ) 回售条件： 有的可转换债券具有回售条款，即在一定条件下( 通常规定在一段时间内， 股价小于当前转股价格的m 倍( m 1 ) ) ，赋予投资者将可转换债券以一定价格 回售给发行者的权利。它实际上为可转换债券设置了一条最低价格的下边界， 从而增加了债券的价值。假定允许可转换债券持有者以 的价格回售可转换债 券，则由回售条款引入的约束条件为： v 2 1 3 4 稀释因子 以上论述是在可转换债券不影响公司市场价值的假设下进行的，实际上， 债券转换为标的股票，公司就要发行n 单位新股，其市场价值就会发生变化，从 而边界条件和终值条件都要作相应调整： 若为转换前的股数，则在债券转换前整个公司的资产价值为n s v ( 存 在一y 是因为公司在可转换债券发行方面具有义务) ，从而股票价格实际上_ 州n s i - 一v 。 由于可转换债券的价值不小于其转换价值，故有： y 扎n s 了f - 一v 即 矿i j n l 予n s 该条件给出了债券转换时的价格下界。 第一章引言 6 同时观察可知v s ( 取= l 肘，股价为5 o ) ，该式表示? 当债券 价格过高时，允许公司破产。 把。= 蒜称为稀释因子，当号一。时，由；晶一1 ，转换条件变为y n s 。 从而若考虑可转换债券对公司市场价值的影响，只须将n 变为m - 即可。所以 为方便起见，本文论述中暂不加入稀释因子z 。 1 3 5 信用风险 可转换债券定价中违约风险十分重要，因为倘若发行公司破产，可转换债 券的持有者将得不到任何息票，也不能将债券转换为具有价值的股票，在不考 虑信用风险的情况下，当股价低迷时。可转换债券的交易就如同普通债券交易， 不能反映出公司的运作情况和信用水平。本文暂且先假设无违约风险，而在稍 后部分将特别探讨信用风险问题。 第二章特色条款分析之一一理性执行策略 2 1 可转换债券的动态定价理论 假设将可转换债券定义为一个适应过程u ，则在任何停时r t ，投资者可 以执行转换得到收益： 以= 赫z ，蓦 称这一停时为一个执行策略。 若卢为无风险债券价格过程，则： 口f _ 唧( z 幽) 定义2 1 1 一个交易蓑略是一个适应过程日，特别规定在时间t 及状态u 的情 况下，持有最) 单位债券 引理2 1 1 1 1 】假设s z 允许一个等价鞅测度q 存在，已知( 卢s ) ，y 为一个冗 余证券的价格过程，则( x ，y ) i ( 卢，s 1 ，一y ) 在h 2 ( x ，y ) 中不允许套利存 在当且仅当y 口为一个q - 鞅。其中h 2 = p l 2 ：e ( ，名卵出) o ) 对于可转换债券u ，可记x 兰( 卢，s ) ，；矿，因为无套利，并且市场完全， 则由引理2ll 可知，u z 为q 一鞅，具有执行策略r 的可转换债券可以用等价鞅测 度q 来定价，即它具有价格过程v 7 ，满足： v = 印( 妒。弭) ，其中仇，je x p ( - r s d s ) 由于可转换债券是一种复合型衍生证券，兼有普通债券和美式期权的双重 性质，其定价比较复杂。投资者能否获得丰厚的回报，取决于能否抓住有利时 7 篓三重壁鱼墨塾坌堑垄= 二二墨丝垫堑筻堕 ：8 机适时地作出决定：将可转换债券转换必股票或者继续持有。这就涉及到最 优停时问题： 定义2 1 2 一个理性执行策略即为最优停时问题 v o = s u pw( 2 1 1 ) f f ( 0 1 的解，其中r ( ) 表示在陟t 】间的停时集合 定义2 1 3 称一个交易策则是自融资的，若它满足 e x t 2 e 。x o + j o e s a x 4t s t ，t 定义2 1 4 一个超复制策略口是一个自融资交易策略，并且满足性质 吼弼三砺耽 0 ，列 定理211 【1 1 若市场无套利，假设停时r 为( 211 ) 的解，则可转换债券的初 始价格必为w 证明：( 1 ) 若v o 0 ，产 生套利，这与条件矛盾。从而v o 略。 ( 2 ) 若v o w ，可转换债券发行者在初始时刻以卖掉可转换债券，且可 转换债券投资者以初始市场价值唁= 岛函采取超复制策略( 这里先假设存在 这样的超复制策略，稍后将予以证明) ，从而初始时可转换债券发行者的利润 为一咐 0 ，而对任何执行策略r ，可转换债券投资者获得收益毋，而超复制 策略市场价值为以墨弭，即量在时刻r 的要求收益可用超复制策略的市场 价值覆盖，可转换债券发行者的收益为弭一0 ，- 墨0 ，从而产生套利，与条件 矛盾，因此v os w 。 综上( 1 ) ( 2 ) 得：v o = v o 口 第二章特色条款分析之一理性执行策略 定义2 15 美式正则条件为：扩为非负连续过程，耳) 2 ， _ = s u p t i o t ：阢t 短期利率过程r 有界。 定义2 1 6 护为形如： ，； 阢= e x p ( 一 d s ) 阢 j 0 的一个过程，称矿为q 鞅下眵的s n e l i 包络，若它满足 嘶= s u p 印( 及) 丁 r e f ( t ) 定义2 t7e ( x ) = 圳巩x t 兰，v t ，女为常数) 称为双重篾略集，其中的下界 务件是一种信用约束，防止套利产生 引理2 1 2 若市场完全，则存在一个自融资交易策略p 满足 其中z 为一个q 一鞅。 并且，定义为 的过程尉是一个q 一较 h 。= e e x p c z 。 r 。d 5 ) 显然，可转换债券定价满足美式正则条件，以下证明可转换债券中超复制 策略的存在性： 定理212 假设美式正则条件满足，则存在超复制交易策略目0 ( x ) ，初4 t i 为8 。- x o = w 证明：在美式正则条件下，因为： 眦= s u p 砰( 舜) r r f 9 如r 厂厶 p 暇 舀 1 | 砷 塑三至鲎鱼叁鳌坌堑垄= = ：三垦丝垫盈皇型l 二1 0 则对v t 时，取t 舜时，r 不是理性执行策略： 因为若矸0 = m “ 舜，s u p 。r ( ，1 印( 眠) 】 玩，则： = s u p 。r e ? ( 眠) 镰 = e x p ( 一r 。如) 以 = 瞄 ( 1 ) 若对于v s f ( t ) ，v f 工1 ( s ) 都有 则由 从而 其中尹r ( 7 - ) 满足： 故此时r 非最优停时。 ( 2 ) 若j i r ( r ) 使得 玩2s u p 印( 嘶) l e r ( s ) 眠= m “ 睨，s u pe 字( 川) l e r s ) 纾；= 以= 咐 s u p 斛( ，) 碑( 眠) 罗f s u 风e r f ，】眠 = 印 s u p 。r ( ，) w 】 = 吁 盱= s u pw 5 r ( r ) 瑶 s u p 砰( 川) l e r o ) 口 1 2 箜三童壁鱼墨鏊坌堑查二二= 墨丝垫堑箜堕一一 一：1 3 从l 雨： 峙= s u pe 拿( ) r 扣) 所以： w s u p 甜辟 s u p ! r ( 。) 印( m ) s u p 娜印 印( s u p i f ( 。) 嘶) = s u r 印 s u p , e r 。) 吼 s 睇 s u p i r f 。) m 1 同：。现在对f 作类似于对s 的分析： 在类似于( 1 ) 的情况下，可以得到结论： w 婿 其中t r ( s ) 满足： 盱= s u pv o f f 陌1 否则，在类似于( 2 ) 的情况下继续随着时间向后推导，一旦出现类似于( 1 ) 的情况，就可作出r 非最优停时的结论。倘若一直没有类似于( 1 ) 的情况出现， 则类似于( 2 ) 反复递推，最终可以得到： w 邸( 、) = 砰( 西) = 订 综上( 1 ) ( 2 ) 的分析，可知总3 f + f ( t ) 使得： 婿 吁 即r 非最优，从而r 不是理性执行策略。 由 分析知，理性执行策略 f 茎一= i n f t ：眦= 玩) 又因为： 职( 瞬) ! s u pf s ( 玩) = 坼。= 玩。 第二章特色条款分析之一理性执行策略 对上式左右同时取期望霹得到： 玩= e r a ) 兰邵( 辞。) ：舜。 即： w v o 。 从而r o 是理性执行策略 由此褥到结论：可转换债券定价的理性执行策略为： 一= i n f t ：眦= 玩 口 1 4 第三章特色条款分析之二赎回转换对策 如果可转换债券是可赎回的，则当赎回条件得以满足时，发行者可以选择 赎回债券。由于一般的可转换债券都存在赎回公告期。可转换债券投资者可以 选择在此期间进行转换，由此，可以将这种“发行者可赎回。投资者可转换”的 利益抉择作为对策论中的一个非合作二人零和对策来进行探讨。 所谓非合作二人零和对策，即指有两个局中人参与其中，局中人之间互不 合作，对于策略的选择不容许在事先有任何交换信息的行为，不容许订立任何 强制性的约定。每个局中人的目标是希望得到尽可能丰厚的利润，寻求尽可能 有利的策略，并且双方的利害关系是对抗性的，有利于个局中人的对策，必 然不利于另一个局中人。 3 1 构建对策 根据可转换债券的基础知识，可将发行者1 与投资者2 的抉择对策列表如下 策略2 转换2 不转换 i 赎回 l ：z e r ( r 1 ) 一n s l ：z e 一c t - t ) 4 - v 一必 2 一z e r ( t t ) + n s2 ：一z e - r ( ? 一) + 儿 fl 不赎回 1 z e r ( t 一】一n s1z e r f r t 1 2 ：一z e r ( r f ) + n s2 ：一z e - r ( t 一 + 矿 ( 列表1 ) 其中为简化起见，假设发行者在赎回条件一经满足后立即作出决定，而投 资者在随后的一段公告期截止时刻t 作出抉择。列表中的函数分别表示各局中人 在时刻t 所获得的收益。 把以上列表分别写为两个支付矩阵： 1 5 z e 一( ? 一) + y a 磊 z e r ( 丁一t ，j s s 霹 n 一 一 一 一 r r 一 一 压盈 ，一 | | a 箜三重壁鱼叁鏊坌堑垄三二= 壁旦壁堡堕堡 一 一二1 6 其e a 代表发行者1 的支付矩阵，b 为投资者2 的支付矩阵。 现在应用对策论知识来探讨以上抉择对策 3 2 对策理论 定义321 当非合作对策的局中人是n 个时，称为非合作叭对篆。对策由三 个因素确定： ( 1 ) 局中人的集i = 1 ，2 ，n ) ( 2 ) 每个局中人t 有- - 4 - i 策略的有限集& = s ( 1 = ( s n s 毁 i = i ， ，n ( 3 ) 每个局中人洧一个支付函数r ，i = 1 、，n 每个局中人；选定一个策略s ( 4 ) 后形成对策的一个局势s = ( s j “，s ( “) ，其 中s ( 1 s ，i = l ，n 。对于对策的每一个局势8 = ( s ( ”，一，s ( “1 ) ，每个局中 人2 得到支付r = r ( s ) i = 1 ，、n ，即为对麓在鲍策略下的支付函数。 因此个非合作n 人对策r 可用下面记号表示： fi ， s ) ： 只) 】 ( 3 2 1 ) 其中，= ( 1 2 n ) ， s = s t ，s 。 ， 只 = p 1 ，p j 引入记号： s i i t “) = f s 往) 5 “一1 、t o ，s ( ”“、，、5 ( 8 ) 该记号表示在局势8 = ( s ( ”，s ( ”) 中，第j 个局中人把他的策略从s ( 换成 其他局中人的箢略不变这样得到的新局势就是s 懈”，显然有：s w 。，= s 定义32 2 设s + 是非合作n 人对策( 32 1 ) 的一个局势，如果对于每一个i j 和 每一个s ( 。) s ，( s ；) = s g ，= 1 ，m ；) ，有： 只( 5 + j i s ( 1 ) 只( s + ) 刖称r 是r 的一个平衡局势或平衡点 峨y + 弘纂 第三章特色条款分析之二赎回转换对策 冈为在个非合作n 人对策中，对于纯策略而言的平衡点不一定存在，从而 需要考虑局中人的混合策略： 定义3 2 3 对于每一个i ，设。是局中人i 的一个混合策略，即为定义 在s 上的一个概率分布： 。( ) = 伽h z 黧) 其中z g 0 ，女= i ，m 。是l z 0 1 = i 局中人。以概率z 2 选择纯篆略s g ，= l ，m ，称z = ( 。) 为对 策r 的一个混合策略局势。 类似地，定义记号： 蚓。“) = ( 茁，z ( 川) ，z ( “，工( 冲“，茁( ”1 表示在混合策略局势z = ( 。( “，z ( “) 中，第i 个局中人把他的混合策略。换 成另一个混合策略z ( “，其他局中人的策略不变，所得到的新混合策略局势即 为x l l z ”，显然：z 。( ) = 。 因此，在混合策略的情形下，非合作n 人对策r 表示为： f e i ， 五 ， p j 】( 322 ) 其中= 1 ，2 ，n ， 墨) = x l ，墨 ，x i = z ( = ( z i “z 段1 ) 只) = fp l ，只 ，只= 只( 5 ) ，z = 1 ，n 设e t = 最( 。) ，表示局中人z 在混合策略局势。( 。i ”，一) 下得到的期望 支付。 定义3 2 ，4 设。+ 是非合作n 人对瓮( 3 ，2 2 ) 的一个混合震略局势，如果对于每一 个2 ，乖，每一个z ( 4 1 x ，有e ( r 忪) s 丘( 矿) ，则称是r ( 在混合策略下) 的一个平衡局势或平衡点 以下介绍平衡点的一些重要性质： 定理32 i 1 5 】设r ； ，f 五) ， 只) 1 是非合作i 从对策，矿是r 的平衡点的充要 条件是：对于每一个局中人悌，每一个纯策略s ( 1 & ，有： 最( z ( ) 茎e 扛。) 1 7 第三章特色条款分析之二赎回转换对策 这里晟( # 。i i s ( 1 ) 是将。的混合蓑略矿( 4 ) 换成一个纯策略s ( 后的期望支付 证明：南定义，必要性显然 充分性：若量( 矿 l s ( 1 ) s 置( r ) 成立，即对每一个t 有： 丘( z + l | s ) s 最( 。+ ) ，= 1 ，m ，( 3 2 3 ) 设z “) = z ? ，z 凛) 五是局中人。的任一个混合策略，将【323 ) 中的m ；个 不等式两端依次乘以z g 得到： 最0 。l s ) z g 磊( r ) z 2 ，= t m 。 对从1 到m i 求和得到 又因为 从而 即z 是r 的平衡点。 丘( z f z ( 2 1 ) s 五( 。1 ) ，z = 1 ，n 进一步，j f n a s h 证明了混合策略下平衡点必定存在： 定理3 ，22e l s l ( n a s h ) 每一个非合作n 人对茕1 1 葺汜 置 ， 只必有平衡点。 3 3 赎回转换对策的平衡点及其意义 基于以j ：对策论中有关非合作n 人对策平衡点的理论知识，以下来求解可转 换债券赎回转换对策的2 2 双矩阵对策平衡点： 以x = 血，l o ) ，y = ( y ，1 一) 分别表示发行者1 和投资者2 的混合策略，即 发行耆以概率z 选择殡回可转换债券，以概率l z 决定不赎回；投资者以概率y 选 择转换可转换债券，以概率1 一y 决定不转换。其中0 z s l ，0 茎s l 。 1 8 拇k z 0 匠 0 时，即y 帆，解为 ( 2 ) q 瓶，解为： 类似地，由于e 2 ( z ，y ) = x b y v ，令 z = 0 0 z 1 工= l z = 0 0 n s ，解为z f 0 ，l j ，口= o ( i i i ) 当r 20 ，r 强，解为 ( 2 ) r o 时，即y 蛆，解为 y = 0 o 可 i g = 1 = 0 0 魑对， j ( 2 ) n s y 尬时， 裟裟 解为。 o ，1 】，= l 解为z ( o ，l 】，= o 解为z o ，1 j ， 0 ，1 8 1 口 0 0 口 1 口= l o 口 一 i | 一 z o o o o 茁 ，、l，、l 第三章特色条款分析之二赎回转换对策 从而可归纳为以下列表 2 1 l 条件 v = 舷= n sv = m ， n sv 虬 n s l n s v 厶 i 平衡点 z 0 ，1 】z 0 ，l 】。 o ，1 z o1 11z = d j 池)扩 o ，1 分= j掣= o可= l 口= 0 i 条件v n s 幌m o 礼s v v n sn s ( 、i v n s = 从 矿 ；平衡点 z 0 ，口1z 够，1 3z 【0 ，1 0 = lz = l ( o 彩搿= i分= l可= o可 0 ，l 】 ( 列表2 ) 至此，求得了所有情形下可转换债券赎回转换抉择的非合作二人零和对策 的所有平衡点。 下面分析以上所求平衡点的意义： ( i ) 当y = 舰= n s 时，无论对于发行者还是投资者，均可依其意志进行自 由选择。 ( 2 ) 当v = n s 时。发行者可依其意志进行自由选择，但对于投资者丽 言，无论发行者是否选择赎回可转换债券，其收益( v 或尬) 均大于转股价值n s ， 所以他必定会选择不转换可转换债券。 ( 4 ) 当v 耽 n s 时，发行者可依其意志进行自由选择，但对于投资者而 言，无论发行者是否选择赎回可转换债券，其收益( v 或n 疋) 均小于转股价值n s ， 所以他必定会选择转换可转换债券。 ( 5 ) 当礼s y 慨时，对于投资者而言，无论发行者是否赎回可转换债券， 他若决定转换可转换债券，转股价均要低于可转换债券价值( v 或 厶) ，这显然 不合算，从而他必定不转换可转换债券；而对于发行者而言，由于赎回价高于 可转换债券价值，他必定选择不赎回可转换债券。 第三章特色条款分析之二麒回转换对策 f 6 ) 6 当v n s 尬时。对于发行者而言，若投资者不转换可转换债券，赎 回价值高于可转换债券价值，从而他必定以较小概率( s 口) 赎回可转换债券； 丽对于投资者而言，由于发行者不太可能赎回可转换债券，而转股价又高于可 转换债券价值，所以他必定选择转换可转换债券。 ( 7 ) 当眦 n s v 时，对于发行者而言，若投资者不转换可转换债券，赎 回价值低于可转换债券价值从而他必定以较大概率( p ) 赎回可转换债券； 而对于投资者而言，考虑到发行者极有可能赎回可转换债券，而转股价又高于 赎回后所得收益，所以他必定选择转换可转换债券。 ( 8 ) 当批 v n s 时，发行者可依其意志进行自由选择，但对于投资者而 言，无论发行者是否选择赎回可转换债券，其收益( v 或a 厶) 均小于转股价值n s ， 所以他必定会选择转换可转换债券。 ( 9 ) 当n s 地 v 时。对于发行者而言，无论投资者是否转换可转换债券， 若他决定赎回可转换债券，只须付出低于可转换债券价值的资金，所以他必定 会赎回可转换债券：而对于投资者而言，由于转股价低于赎回价，他必定选择 不转换可转换债券。 ( 1 0 ) 当n s = 峨 v 时，对于发行者而言，无论投资者是否转换可转换债 券，若他决定赎回可转换债券，只须付出低于可转换债券价值的资金，所以他 必定会赎回可转换债券：而对于投资者而言，由于转股价等于赎回价他可依 其意志避行自由选择。 因为在非合作n 人对策中还不存在较简单的令人满意的“最优策略”以及对 策的“值”等概念，而定理只保证了平衡点的存在性，所以求解出平衡点与怎样 定义菲合作n 入对策的解还有一定距离。 第四章单因素模型下可转换债券的最优转换边界及定价分析 4 1 可转换债券的单因素定价模型 由于可转换债券是一种复合型衍生证券，兼有普通债券和美式期权的双重 性质，其定价比较复杂。投资者能否获得丰厚的回擐，取决于能否抓住有利对 机，适时地作出决定：将可转换债券转换为股票或者继续持有。为了获取利益， 每个投资者都关心这个问题。从数学理论上来说。可转换债券定价问题是一个 自由边界问题。所谓自由边界，即为一条有待确定的交界线。它把区域f o s o 。0 tsn 分为两个部分一部分是继续持有区域l ，此时投资者应仍旧持 有可转换馈券，不宜作出转换决定；另一部分是终止持有区域2 ，此时投资者 应立即实行可转换债券转换。本文中称此自由边界为最优转换边界f ：s = s i ( o ) 。 因为s 充分大时，可转换债券应立即转换，反之。s 较小时，应继续持有，从而 可认为： e l = “s ，t ) l o s ( t ) 毋( t ) ，0 曼t r ) e 2 = ( ( s ，t ) 1 毋( t ) s ( t ) 0 0 ，0 tst 显然对每个可转换债券持有者而言，需要了解最优转换边界的曲线位置， 以便拟定最优转换方案。遗憾的是，由于可转换债券类似于美式期权，求解可 转换债券价格没有显式表达式本文将就其价格与最优转换边界的一些性质展 开探讨。为确定记，在无风险利率r 为常数的情况下，可转换债券的价格取决于 标的股票的价值即y = v ( s ，t ) ，在此先考虑无赎回及回售条款的啦因素可转 换债券定价模型： 基于b l a c k * s c h o l e s 框架，在区域1 上进行定价分析： 构造一个投资组合n ，其中包含一单位可转换