（电路与系统专业论文）基于提升小波的MR图像自适应阈值去噪研究[电路与系统专业优秀论文].pdf

硕士擘住论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 磁共振成像技术以其无创无损无污染、成像参数多以及能够观察人体内各组织 解剖及能量代谢特征等独特优势被广泛应用于医学诊断和科研。然而，由于其成像 机制、外部环境以及被测对象等都会给磁共振成像引入噪声，使得磁共振图像的处 理和应用带来两个方面的问题：一是背景中的大量噪声会大大降低无损压缩率，不 利于m r 图像的传输；二是噪声的存在会大大降低磁共振图像的质量，使得一些组 织的边界变得模糊，细微结构难以辨别，增加了对图像细节识别与分析的难度，因 此，图像的后处理去噪对于提高图像质量非常重要。 传统的低通滤波方法在降低噪声的同时会模糊图像的细节，而基于小波变换的 图像去噪方法凭借其良好的时频特性能够在降低图像噪声的同时较好地保持图像 的细节，因此基于小波变换的图像去噪方法已成为当前图像去噪领域的主流技术。 但是现有的基于小波的去噪方法大多是针对高斯噪声的，而磁共振图像中的噪声服 从r i c i a n 分布，其不同于高斯噪声的最大特点是r i e i a n 噪声是信号依赖的，而非独 立同分布，因而使得从信号中分离出噪声更加困难。本文在分析现有小波去噪方法 的基础上，从小波去噪的基本理论、小波提升算法以及实际磁共振图像噪声统计分 布特性三个方面展开，分析研究了基于提升小波变换的磁共振图像闽值去噪算法。 主要工作有以下两个方面： 1 在介绍小波及其提升算法基本理论的基础上，分析了小波的消失矩特性对 图像重构误差的影响，提出了利用提升算法提高双正交小波消失矩的改进算法。通 过提升算法对传统小波提高消失矩后，改善了小波的性能，使小波具有更好的振荡 性，能够更好地捕捉图像的细节，从而提高了重构信号的精确度。改进后的算法不 仅易于理解，而且降低了计算复杂度，易于工程实现。 2 在从理论上分析现有基于小波的闽值去噪方法的基础上，根据磁共振图像 的特点及其噪声的分布特性，提出了一种对小波系数进行分块处理的阈值去噪方 法。通过对分解后每个层次上的各高频系数矩阵分为多个子矩阵分别进行不同阈值 的选取，实现在不同的对比度区域选取不同的阈值的目的，从而使阈值的选取更具 有自适应性。其中闽值的选取模型是基于图像对比度、小波分解层次以及小波系数 的绝对中值三个参数来确定的。 硕士擘住论文 m a s t e r st h e s i $ 果。 仿真结果表明，本文提出的算法在低信噪比和高信噪比时均取得了良好的效 关键词：磁共振成像；图像去噪；小波变换；提升格式；r i c i a n 分布；自适应 阙值 i l a b s t r a c t m a g n e t i cr e s o n 柚c ei m a g i n g ( m r 1t e c h n i q u e sh a v eb e e na p p l i e dw i d e l yi n t h e m e d i c i n ed i a g n o s i sa n dt h es c i e n t i f i cr e s e a r c hf o ri t su n i q u ec h a r a c t e r ss u c h a s n o n - i n v a s i v e ，p o l l u t i o n - f r e e ，i m a g i n gm e c h a n i s mw i t hs e v e r a lp a r a m e t e r s a n dt h e c a p a c i t yo f r e f l e c t i n gi nv i v oo r g a n i z a t i o n , e n e r g ym e t a b o l i s mf e a t u r e se t c h o w e v e r , t h e n o i s ec a u s e db y i m a g i n gm e c h a n i s m ，t h eo u t s i d ee n v i r o n m e n ta sw e l la st h ep a t i e n t sw i l l m a k et h ep r o c e s s i n ga n da p p l i c a t i o nb a s e do nt h em ri m a g e sf a c et w op r o b l e m s o n ei s t h a tt h en o i s ei nt h eb a c k g r o u n dc a l ld e c r e a s et h el o s s l e s sc o m p r e s s i o nr a t i os e r i o u s l ya n d t h eo t h e ri st h a tt h en o i s ec a l lm a k et h eb o u n d a r yf u z z ys ot h a tt h er e c o g n i t i o na n dt h e a n a l y s i so ft h ei m a g ed e t a i lb e c o m em o r ed i f f i c u l t y s od e n o i s i n go ft h em ri m a g eh a s v i t a ls i g n i f i c a n c ef o rt h em e d i c a ld i a g n o s i sa n dt h es c i e n t i f i cr e s e a r c h t h ew a v e l e tt r a n s f o r mh a sb e c o m eo n eo ft h ei m p o r t a n tt o o l si nt h ef i e l do fi m a g e d e n o i s i n g w i t ht h eg o o dt i m e f r e q u e n c yc h a r a c t e r st h ed e n o i s i n gm e t h o d sb a s e do nt h e w a v e l e tn o to n l yc a nr e d u c en o i s eb u ta l s ok e e pt h ei m a g ed e t a i l s s ot e c h n i q u e sb a s e d o nt h r e s h o l d i n go f w a v e l e tc o e f f i c i e n t sa r eg a i n i n gp o p u l a r i t y 船a p p r o a c h e st od e n o i s i n g i m a g e i nm o s to ft h ed e n o i s i n gm e t h o d s t h en o i s em o d e l sa r ea s s u m e da sg a m s i a n d i s u - i b u f i o n h o w e v e r , t h en o i s ei nt h em ri m a g e so b e y sr i c i a nd i s t r i b u t i o n u n l i k e a d d i t i v eg a l l s s i a nn o i s e ，r i c i a nn o i s ei ss i g n a l - d e p e n d e n ta n dc o n s e q u e n t l ys e p a r a t i n g s i g n a lf r o mn o i s ei s av e r yd i f f i c u l tt a s k b a s e do nt h ea n a l y s i so fp r e s e n tw a v e l e t d e n o i s i n gm e t h o d s ，t h i sp a p e rs t u d i e san e wt h r e s h o l d i n gm e t h o du s i n gaw a v e l e t t r a n s f o r mi m p r o v e db yl i f t i n gs c h e m ef o rm ri m a g e t i l i sp a p e rm a i n l yf o c u s e so nt w oa s p e c t sr e s e a r c hw o r k f i r s t l y , a c c o r d i n gt ot h e t h e o r yo fw a v e l e ta n di t sl i f t i n gs c h e m e ，w ea n a l y z eh o wt h ep r o p e r t yo ft h ew a v e l e t e f f e c tt h ec o n s t r u c t i o nf f f r o ro ft h ei m a g ea n dt h e np r o p o s eai m p r o v e dm e t h o dt o i n c r e a s et h ev a n i s h i n gm o m e n to faw a v e l e tb yl i f t i n ga l g o r i t h m b yi n c r e a s i n gt h e v a n i s h i n gm o m e n t ，t h ep e r f ；o r m a n c eo f t r a d i t i o n a lw a v e l e ti si m p r o v e dt oh a v et h ea b i l i t y o fc a p t u r i n gm o r ed e t a i l sw i t hab e t t e rv i b r a t i o n , c o n s e q u e n t l y e n h a n c e st h e r e c o n s t r u c t i o np r e c i s i o n b e s i d e s ，l i f t i n gi m p l e m e n t a t i o n so fw a v e l e tt r a n s f o r mo f f e r s o t h e rt w oa d v a n t a g e si nc o m p a r i s o nt ot h et r a d i t i o n a lw a v e l e t ，e g f a s t e ra n di n - p l a c e c a l c u l a t i o n s 1 i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s s e c o n d l y , a c c o r d i n gt ot h em ri m a g ec h a r a c t e r i s t i ca n dt h en o i s ed i s t r i b u t i o n p r o p e r t y , am o r es e l f - a d a p t i v et h r e s h o l ds e l e c t i o nm e t h o di sp r o p o s e dt ot h r e s h o l d i n g w a v e l e tc o e f f i c i e n t s o ne a c hd e c o m p o s i t i o nl e v e l ，t h ec o e f f i c i e n tm a t r i xo ft h eh i g h f r e q u e n c yi sd e b l o c k e dt os e v e r a ls u b - m a t r i x e s 1 1 1 ed e c o m p o s i t i o nl e v e l t h ec o n t r a s t a n dt h ea b s o l u t em e d i a n o fas e l e c t e ds u b m a t r i xa t ec o m b i n e dt od e t e r m i n et h e t h r e s h o l du s e dt op r o c e s st h ec o r r e s p o n d i n gc o e f f i c i e n t so ft h es u b - m a t r i x s ot h e t h r e s h o l d sd e t e r m i n e db yt h i sm e t h o dh a v eab e t t e rs e l f - a d a p t i v ep e r f o r m a n c e a l a r g en u m b e ro fe x p e r i m e n t so nm ri m a g ea r ep e r f o r m e d t h es i m u l a t i o nr e s u l t s i n d i c a t et h a tt h ed e n o i s i n ga l g o r i t h mo nm ri m a g ep r o p o s e di nt h i sa r t i c l eo b t a i n sa b e t t e rp e r f o r m a n c e e s p e c i a l l yf o rm ri m a g ew i t hl o w e rs i g n a l - n o i s er a t i o k e yw o r d s ：m r ；i m a g ed e n o i s i n g ；w a v e l e tt r a n s f o r m ；l i f t i n gs c h e m e ；r i c i a n d i s t r i b u t i o n ；s e l f - a d a p t i v et h r e s h o l d i v 硕士擘住论文 m a $ t e r st l l e s l s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：撕半 日期：盒叼年f 月日 学拉论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阕。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：狄乾i 华 ，一- 日期跏7 午月7 7 日 导师签名：李磅运 日期j p 。7 年占月，日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。匾丞盗塞握銮匿遗蜃；旦坐生z 旦= 笙i 旦三生蕉查： 作者签名：承艳华 日期：山刁年月p 导师签毒譬够 奠 日期：j ，o ，7 年，月 1 日 i 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 1 1 课题研究意义 第一章绪论 磁共振成像( m a g n e t i cr e s o n a n c ei m a g i n g ，简称m r i ) 是一种无创伤的、能够 观察身体内各组织解剖结构及能量代谢的成像方法【l 】。在其成像过程中完全没有放 射性污染，分辨率高，可任意层面断层，对人体无电离辐射损伤。而且，不同于现 有各种影像学成像技术，参与磁共振成像的因素较多，得到的图像信息量大，在医 疗诊断中有很大优越性和应用潜力。近年来，随着超导技术、低温技术、电子技术 和计算机技术等相关技术的进步，磁共振成像技术及其成像设备的研发均得到了飞 速发展，检查范围基本上覆盖了全身各系统，并在世界范围内推广应用。赵喜平博 士曾经在其著作【1 】中总结了磁共振成像的七大优点： 多参数成像，可以提供丰富的诊断信息 高对比度成像，可以得出详尽的解剖学图谱 任意方位断层，使得医学界从三维空间上观察人体成为可能 人体能量代谢研究，有可能直接观察细胞活动的生化蓝图 不使用造影剂，可观察心脏和血管结构 无电离辐射，一定条件下可进行介入m r j 治疗 无骨伪影干扰，后颅凹病变清晰 但是，不可否认，由于磁共振成像机制本身的限制，磁共振成像的时间空间分 辨率和信噪比之间存在着矛盾。快速磁共振成像会导致低的信噪比和对比度，在提 高图像时间分辨率的同时大大降低了图像的质量。磁共振图像中的噪声主要来自硬 件电路和被成像对象两个方面，以热噪声和生理学噪声为主。噪声的存在给磁共振 图像的处理和应用带来两个方面的问题：一是背景中的大量噪声会大大降低无损压 缩率，不利于图像的传输；二是噪声的存在大大降低了图像的质量，导致人体组织 的边界变得模糊，一些细微结构尤其是患者的病变部位难以辨别，严重影响着医疗 诊断结果。因此对磁共振图像进行去噪处理以提高信噪比，并且在此基础上开展进 一步的研究与应用成为磁共振图像处理的重要课题。 由于图像的细节部分和噪声部分都分布在高频分量，在去除噪声的同时必然会 损失一定的细节，而医学图像的细节部分正是分析问题和i 临床诊断的关键。因此如 何在最大程度上去除噪声的同时更好的保留图像的细节特征是图像去噪中永恒的 硕士擘饭论文 m a s t e r st h e s i s 主题。传统的低通滤波器去噪方法在消噪的同时容易引起图像细节的模糊，而基于 小波的去噪方法凭借小波变换的良好的时频特性在降低噪声的同时能够较好地保 持图像的细节特征，但是大部分的去噪方法是针对高斯噪声模型的。而磁共振图像 中的噪声服从r i c i a n 分布，其复杂的分布特性使得磁共振图像的去噪问题具有相当 的挑战性。 本文在传统小波的去噪算法基础上从两个方面进行了改进，提出了一种基于双 正交小波提升算法的阂值去噪方法。 1 2 本文主要工作及结构安排 本文的主要工作分为下面两个部分： 为了获得良好的去噪效果，首先要保证对图像进行小波变换后得到的小波系数 能够更真实地反映原图像中的信息，并且在利用处理后的系数重建图像时能够最大 限度地减小重构误差，因此选择一个好的小波基函数是非常重要的。本文通过分析 研究传统小波变换的特点以及提升算法的基本原理，提出了一种用提升算法提高双 正交小波消失矩的改进算法。与经典的m a l l a t 算法相比，用此算法对磁共振图像进 行变换有以下几个优点：( 1 ) 提升后的小波的消失矩提高了两阶，改善了小波的性能， 使小波具有更好的振荡性，更好地捕捉图像的细节，从而提高了重构信号的精确度； ( 2 ) 变换过程中因其进行原位运算( i n - p l a c e ) 而不占用辅助存储空间：( 3 ) 计算量减小梅 近一半。 在利用提升算法对图像进行变换后，确定一个合理的阈值来对变换后的小波系 数进行处理是闯值去噪算法中非常关键的一个环节。阈值过大会损失图像的细节信 息，阈值过小则去除噪声不彻底。阈值的确定方案要根据实际图像中噪声的分布特 性以及小波变换后小波系数的分布特性来选择。在磁共振图像中，噪声呈r i e i a n 分 布，其分布特性是局部信号依赖的。本文通过分析磁共振图像中噪声在不同信噪比 下所呈现的不同分布及小波变换后图像的小波系数统计特性提出了一种对小波系 数进行分块处理的自适应闯值选取方法。该方法通过对分解后每个层次上的高频系 数矩阵分为多个子矩阵分别进行不同阂值的选取，实现在不同的对比度区域选取不 同的阈值的目的。由于每个阈值的计算综合考虑了该子矩阵所对应区域的图像对比 度、所在的分解层次以及小波系数的绝对中位三个参数，使得选取的阔值具有更好 的自适应性。 最后，通过仿真验证了本文算法的优越性。 本文结构安排如下：第一章阐述了磁共振图像去噪的意义；第二章和第三章分 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 别介绍了有关小波的基本理论以及小波的提升算法；第四章简要介绍了磁共振成像 的基本原理以及磁共振图像中的噪声特性，概括了基于小波的磁共振图像去噪方法 的研究状况，总结了在图像去噪算法中决定去噪效果的三大重要因素：小波基的特 性、阈值和阈值处理规则。第五章是本文的重点部分，从如何选取小波基函数和如 何确定更具自适应性的阈值两方面展开，详细论述了本文提出的算法理论及其实现 步骤，并对仿真结果进行了分析和总结。第六章是对本文的总结并展望了磁共振图 像去噪方法研究的未来发展方向。 l y 硕士擘住论文 m a s t e r s t h e s l s 第二章小波基本理论 虽然与小波分析1 2 4 的基本概念有着密切联系的数学工作可以追溯到二十世纪 初期，例如1 9 1 0 年h a a r 提出的正交规范基，但小波分析真正作为一门理论或学科 被研究仅仅是最近2 0 年的事，它无论是对数学还是对其他应用学科都产生了深远 的影响。小波分析的出现，是不同学科、不同领域的交流与交叉学科发展的结果。 小波变换的基本思想来源于可变窗口的伸缩和平移，继承和发展了g a b o r 变换 的局部化思想。其方法可追溯到1 9 1 0 年h a a r 提出的h a a r 基，这就是最简单的小 波。但由于h a a r 基的不连续性，它没有得到广泛的应用，1 9 3 6 年l i t t l e w o o d - p l e y 对 f o u r i e r 级数建立了l p 理论。l p 理论在频域内有以任意尺度分析函数的能力，可 以说l - p 理论是多尺度分析的雏形。1 9 5 2 1 9 6 2 年，c a l d e r o n - z y g r o u n d 建立了奇异 积分算子理论与l p 理论的高维推广。1 9 7 5 年，c a l d e r o n 用c a l d e r o n 再生公式给 出了抛物型空间h i 的原子分解，它的离散形式已接近于小波的展开。p e e 协e 于1 9 7 6 年在使用l p 方法给出b e s o v 空间统一描述的同时，引入了b e s o v 空间的一组基， 其展开系数的大小刻画了b e s o v 空间本身。1 9 8 1 年，s t r o m b e r g 通过对h a a r 系数的 修正，引入了s o b l e v 空间h s 的正交基，这其实是一组规范正交基。以上所述均为 小波分析打下了坚实的数学基础。 1 9 8 1 年，法国地质物理学家m o f l e t 在分析地质数据时基于群论首先提出了小 波分析这一概念。1 9 8 5 年，法国数学家m e y e r 首次提出光滑的小波正交基，后被称 为m e y e r 基，对小波理论做出了重要贡献。1 9 8 6 年，m e y e r 及其学生l e m a r i e 提出 了多尺度分析的思想。1 9 8 8 年，年轻的女数学家d a u b e c h i e s 提出了具有紧支集的 光滑正交小波基- - d a u b e c h i e s 基，为小波应用研究增添了催化剂。后来，信号分析 专家m a l i a t 将通信理论中的镜像滤波器组的概念、数字图像处理中塔式分解的概念 以及正交小波基的概念巧妙地结合起来形成了多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ， 简称m r a ) 理论，并提出了小波分解和重构的快速算法m a l l a t 算法。这是小波理 论突破性的成果，其作用和地位相当于f o u r i e r 分析中的f f t ( f a s t f o u r i e r t r a n s f o r m ) 。 m m i m 算法的提出宣告小波分析从理论研究走向宽广的应用研究。此后小波分析进 入了蓬勃发展的阶段。国内小波研究起步较晚，直到1 9 9 0 年才有论文公开发表。 1 9 9 4 年形成国内的小波研究高潮，并且已经取得重要进展。中国国家自然科学基金 委员会已将小波分析与信号处理列为鼓励与重点资助研究领域，这也是小波研究在 我国迅速发展的原因之一。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 与f o u r i e r 分析和g a b o r 变换相比，小波分析主要研究函数的表示，即将函数 分解为“基本函数”之和。而“基本函数”是由一个小波函数经伸缩和平移而得到的， 它可以对信号逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分， 能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了f o u r i e r 变换的困难问题，成为继f o u r i e r 分析以来在科学方法上的重大突破。 2 1 小波的定义 定义2 1 跚设函数( r ) r ( 月) n r ( r ) ，并且驴( o ) = o ，即e 缈( f ) 出= o ，则 称( f ) 为一个基本小波或母小波。对母小波( f ) 做伸缩和平移可得： 叫沪丽1 ( 等) b 。) ( 2 - 1 ) 称 ( f ) 为小波函数，简称小波。其中，口为尺度因子，b 为平移因子口变量反 映函数的尺度( 或宽度) ，b 变量检测小波函数在f 轴上的平移位置。一般地，母小波 ( ，) 的能量集中在原点，小波函数。6 ( ，) 的能量集中在6 点。 在工程应用中，常假设口 o 。这时在小波。( f ) 的定义中，尺度因子口的作用 是将基本小波妒( f ) 做伸缩，口越大，( 丢 越宽，小波的持续时间随口变大而增宽； 幅度与石成反比减小，但小波的形状保持不变。虬( f ) 中的去作用是使具有不 同4 值的小波虬，( f ) 的能量保持相等，即0 虬，。o ) l l ：= l l ￥q ) l l ：。 定义2 2 嘲设妒( r ) r ( r ) n r ( r ) ，且满足条件 勺= e 肾 则称矽为允许小波，式( 2 2 ) 称为允许条件。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由勺 o 且矿( o ) = o ，其中c 是一个常数，则式 ( 2 - 2 ) 成立a 这表明，允许条件与e ( ，砂= o 几乎是等价条件。 从小波的定义可知，小波函数不仅要求具有一定的振荡性，即它包含着某种频 率特征，而且还要求具有一定的局部性，即它在一个区间上恒等于0 或很快地收敛 于0 ，这也是( f ) 称为小波的原因。常见小波函数的表达式及其特性在各小波分析 文献中均有详细介绍，在此不再赘述。 2 2 连续小波变换 定义2 3 设， f ，( f ) 是基本小波，j ( ，) 是由( 2 一1 ) 式定义的连续小波函数对于 ，( ，) 三2 ( r ) ，其连续小波变换( c o n t i n u ew a v e l e tt r a n s f o r m ，简称c w t ) y g ： 喝b 6 ) _ 南肌) 妒( 讲= ( 舰，) ( 2 - ，) 其中，a 0 、b 、f 均为连续变量，+ ( ，) 表示( f ) 的复共轭。 由以上定义我们可以看出，小波变换和傅里叶变换一样，也是一种积分变换， w t j ( 口，b ) 为小波变换系数。但它不同于傅里叶变换的地方是，小波基具有尺度d 和 平移6 两个参数，所以函数一经小波变换，就意味着将一个时间函数投影到二维的 时间一尺度相平面上，这样有利于提取信号函数的某些本质特征。 可以证明，若采用的小波( f ) 满足容许条件，则对任何厂( f ) r ( r ) 和在，上 连续的点x r ，存在连续小波变换的逆变换，其公式为： 厂( ，) 。吉ee 吉哆( 岛6 ) ，a ( ，) 砌彩 ( z 卅 其中，口，b r ，口0 。 6 硕士擘位论文 m a s t e r l st h e s i s 2 3 离散小波变换 在连续小波变换中，虬。( ，) 中三个变量口、b 、，均为连续变量。然而在实际应 用中，为了方便用计算机进行分析、处理，信号厂( f ) 需要离散化为离散序列，口和 b 也必须离散化。在连续小波变换中，若令参数a = 2 - j , b = k 2 ，其中_ ，k z ，则 离散小波为： 佃，( t ) = 2 j 2 妒( 2 t k ) ( 2 5 ) 在上式中常用蚧( f ) 记，2 - 一，( t ) 。但须注意不可将记号，t ( f ) 与连续小波的 记号，6 ( t ) 混淆。基于离散小波( ，) 的离散小燃( d i s e r e t e w a v e l e t t r a n s f o r m ， 简称d w t ) 为： 喝( ，后) _ ( ， = 2 s ze 巾) 2 t - k ) d t ( 2 - 6 ) 由连续小波变换的概念可知，利用小波( f ) 可得到任意信号，( f ) 的连续小波 变换降乃( a , b ) ，并且用这些小波变换可重构原信号，( r ) 。然而，小波变换是尺度 一时间平面上的连续函数，它们之间存在很大的相关性，因此我们希望能够在一些 离散尺度和或离散位移下计算小波变换，使得在降低小波变换相关性的同时，又不 丢失信息，即用这些小波变换仍可以重构信号。因此，对于离散小波变换，我们最 关心的问题之一是，小波在满足什么条件下，可以由离散小波变换重构原始信号? 这个问题的讨论涉及到数学上的框架理论 2 1 。 定义2 4 在希尔伯特h 中的一族函数 。，如果o 一 曰 m 存在，对所 有的厂h ，有 a i i ：t 1 2 - e i ( s ，讥) 1 2 - - - b 1 1 ：1 1 2 ( 2 7 ) k 称 眈是h 中的一个框架，a ，b 称为框架界。常数口 0 保证了变换是可逆的。 若a = b ，则称为紧致( t i g h t f r a m e ) 框架，此时 7 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s k 1 2 = a i i s l l 2 ( 2 8 ) 如果一= b = 1 ，则 2 ；l ( s ，) 1 2 = l l s l l 2 ( 2 9 ) 这时， 虮 。是正交框架；若0 虮8 2 - - 1 ，则 。是规范正交基。 定义2 5 如果当基本小波函数经伸缩和平移引出的函数族 i s ；，( f ) = 2 舻矿( 2 。t - k ) ，i z 具有如下性质： 4 l l s l l 2 ，) 1 2 b i i i i l 2 ，0 a b o o ( 2 - 1 0 ) 我们称 ( f ) 恤：构成了一个小波框架，上式为小波框架条件。 小波框架的性质有以下几点： ( 1 ) 满足小波框架条件的，其基本小波必定满足容许性条件。但并不是所有满 足容许性条件的小波，在任意离散间隔及尺度基数下都满足小波框架条件。 ( 2 ) 离散小波变换具有非收缩时移共变性。 ( 3 ) 离散小波框架存在冗余性，离散小波变换仍然有冗余。但是当框架界a = b = 1 时， 肚( ，) 小：就成了r ( r ) 中的正交基，这时信号的离散小波分解就相当于正交 分解，称为正交离散小波变换，它是无冗余变换。 如果离散小波序列 ，t p ) m ：构成一个框架，上、下界分别为a 和b ，根据 上面讨论的函数框架重建原理，当a = b 时( 紧框架) ，由框架概念可知离散小波的逆 变换为： ，( f ) 2 丢( 厂，- ) 彤，( r ) = - i z ”：( j ，七) ( ，) ( 2 ) 由上可知，信号的重构误差和a 、b 的值有着密切的关系，为保证j ( ，) 能构 成一个重构误差较小的框架，就需要框架接近紧框架。 8 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 2 4 多分辨分析 多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ，简称m r a ) 是小波分析中最重要的概念 之一，又称多尺度分析，它是m a l l a t 在研究图像处理时建立的理论。m r a 不仅为 正交小波的构造提供了理论依据，同时，它的思想又和多采样滤波器组不谋而合， 使得我们又可将小波变换和数字滤波器的理论结合起来。因此，多分辨率分析是小 波理论中的精髓，具有非常重要的地位。 小波分析能够提供r ( r ) 中具有良好局部化性质的正交基，把r ( r ) 中的函数 与，2 ( z ) 中的数列等同起来，从而把分析问题转化为代数问题来解决。多分辨分析 的思想是先在能量有限函数空间r ( r ) 的某个子空间建立基底，然后利用简单的伸 缩与平移变换，把子空间的基底扩充到p ( r ) 中。多分辨分析的定义如下： 定义2 6 设 巧 ，z 是空间中的一个闭子空间序列，如果满足如下四个条件： ( 1 ) 单调性：c 巧一lc 巧c 巧“c ，w z 。 ( 2 ) 逼近性：q 巧= o ，旦_ = r ( 月) ，这里用肖表示集合的闭包x 。 ，eze ( 3 ) 伸缩性：，( f ) 巧营厂( 2 f ) 巧+ p w z 。 ( 4 ) 平移不变性：，( f ) ，厂( f k ) v o ，v k z 。 ( 5 ) r i e s z 基存在性：存在函数妒，使舻( ，一女) 眦构成的一个r i e s z 基， 即 ( f 一) ) 。是线性无关的，且存在常数a 与b ，满足o 爿b 正 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 总的来说，硬阈值方法可以很好地保留图像边缘等局部特征。但重构后的图像 会出现振铃和伪吉布斯效应等视觉上的失真。而软阈值方法处理结果则相对平滑得 多，但也可能会造成边缘模糊失真现象。针对这一点，b r u c e 和g a o 提出了一种半 软阂值函数，该方法通过选择两个合适的阂值可以在软阂值方法和硬阈值方法之间 达到很好的折中。 ( a ) 硬阂值函数( b ) 软阈值函数 ( c ) 半软阈值函数 图4 2 阈值函数 ( 2 ) 比例萎缩法 相对于阈值萎缩方法来说，比例萎缩法有更大的灵活性。从某种意义上来讲， 阈值萎缩可看作比例萎缩的一种特例( 比例为0 和1 ) 。比例萎缩的特点主要在于它 具有对信号的某一局部的适应能力。s h a r k 3 0 等人针对小波阈值萎缩中统一阈值倾 向于“过扼杀”，而s u r e 阂值倾向于“过保留”的特点，给出了一个隶属度函数，然 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i $ 后将两个阈值之问的系数按照隶属度进行萎缩，并得到了非常好的效果。m a l f a i l 等人则通过将图像一般不存在的孤立边缘点的先验知识与小波图像h o i l d e r 指数相 结合，利用b a y e s 估计理论给出了小波系数“主信”的概率，并以此来进行比例萎缩， 从而大大消除了由噪声引起的伪边缘。在运用比例萎缩1 3 ”方法的文献中，有许多都 是基于m m s e ( m i n i m u mm e a ns q u a r ee r r o r ) 估计。而b a d u l e s c u 等人则通过将 m m s e 估计和中值滤波相结合，解决了利用小波在混合噪声情况下的去噪问题。 阈值萎缩法计算速度快，并且软阈值去噪可以得到原始信号的最优估计，但它 的去噪效果依赖于信噪比的大小。另外，阈值的选择对去噪效果有很大影响。实际 应用时应该根据具体情况来灵活选择。 基于b a y e s 方法的比例萎缩法是非常有效的，尤其是先验模型参数由局部空间 范围决定的空间自适应估计比例萎缩法去噪性能更好。 2 投影方法 投影方法的原理在于将带噪信号以一种迭代的方式，投影到逐步缩小的空间。 由于最后的空间能更好地体现原信号的特点，所以投影法也能够有效地区分噪声和 信号。投影方法有m a t c h i n gp u r s u i t s 法和m c d ( m u l t i p l ec o m p a c td o m a i n ) 或p o c s ( p r o j e c t i o no n t oc o n v e xs e t ) 两类【3 2 1 。其中，m a t c h i n gp u r s u i t s 法是通过指定一族小 波或波函数，并将带嗓信号向此函数族进行投影，然后再对残差投影，循环反复直 到残差最后达到一定的条件。m a t c h i n gp u r s u i t s 法是m a l l a t 等人首次提出的，他们 用g a b o r 函数库张成投影空间并用来去噪。k r i s h n a n 等人在进行膝盖接合图的去噪 时，对小波变换、小波包变换和m a t c h i n gp u r s u i t s 法进行了比较，发现m a t c h i n g p u r s u i t s 法比较适合这类图像的去噪，并由此得到了较为令人满意的效果。而m c d 和p l c s 法同m a t c h i n gp u r s u i t s 法很相似，也是基于投影原理，只不过信号的投影 空间有所不同。 3 相关方法 相关方法主要是基于信号在各层相应位置上的小波系数之间往往具有很强的 相关性，而噪声的小波系数则具有弱相关或不相关的特点来进行去噪的。一幅无噪 图像在进行多层小波分解后，其变换系数在各尺度间有较强的相关性，在边缘处具 有很强的相关性；而噪声的小波变换在各尺度间却没有明显的相关性，而且噪声的 小波变换主要集中在小尺度各层次中。基于这一观察，人们提出了利用小波变换系 数相关性区分信号与噪声来完成去噪的方法，简称s s n f ( s p a t i a l l ys e l e c t i v en o i s e f i l t r a t i o n ) 。由于s s n f 是一种迭代方法，迭代的终止规则是看剩余系数的能量是否 接近于噪声的能量，因此噪声方差的估计在这个方法中是非常重要的。 硕士擘住论文 m a s t e r st h e s i s 4 4 基于小波变换的磁共振图像去噪研究概况 在m r 图像去噪方法的研究中，可以从两个角度把去噪方法进行分类。从被处 理图像数据的类型可分为：( 1 ) 对幅度图像进行处理；( 2 ) 对复图像数据进行去噪， 即分别对实部和虚部中的g a u s s i a n 噪声进行处理；( 3 ) 对幅度图像进行平方后进行 去噪。从对小波系数的处理方法上可分为小波收缩法、系数相关法以及两者的结合 使用。 最早将小波闽值萎缩用于磁共振图像去噪的是w e a v e r 等人1 3 3 1 ，他们把小波阅 值去噪用于人体脖颈磁共振幅度图像的去噪。由于在低信噪比情况下，磁共振幅度 图像的小波系数和尺度系数不是无噪信号的小波系数和尺度系数的无偏估计，其偏 差是局部信号依赖的，因此，偏差很难消除。这个方法既没有考虑到r i c i a n 噪声的 特有性质，也忽略了对幅度图像进行小波变换后存在的固有偏差，因此效果并不理 想。后来，w o o d 和j o h n s o n l 3 5 】基于小波包变换分别对m r 原始数据的实部和和虚部 进行阈值去噪，与直接对幅度图像去噪相比，对复数数据去噪具有更好的去噪性能。 但分别对原始数据的实部和虚部进行去噪会导致相位图像和幅度图像的失真。 z a r o u b i 和g o e l m a n 3 6 l 基于正交小波变换分别对复数m r 图像的实部和虚部进行阈 值去噪，实验结果表明，在高信噪比的区域，对复数图像去噪的效果和对幅度图像 的去噪效果相当，但在低信噪比的区域，对复数图像去噪的效果要优于对幅度图像 的去噪效果。为了克服对幅度图像和对复图像处理时存在的失真问题，n o w a k l l 5 j 提出了一种基于平方幅度图像小波变换的磁共振图像去噪算法( w b r n r ) 。平方幅度 图像中的噪声服从非中心的卡方分布，平方幅度图像工2 ( m ，押) 的小波系数是平方信 号s 2 ( m ，n 1 的小波系数的无偏估计量。平方幅度图像x 2 ( m ，疗) 的尺度系数虽然是平 方信号s 2f m ，n 1 的尺度系数的有偏估计，但偏差为常数，很容易校正。该方法的主 要优点是考虑到了噪声的非高斯性和小波系数与尺度系数存在的偏差。对于低信噪 比的磁共振图像，基于平方幅度图像小波变换的空间自适应滤波方法得到的图像比 基于幅度图像小波变换的空间自适应滤波方法得到的图像具有更高的对比度。 基于系数相关法和多尺度基的思想，x u 等人1 3 9 l 于1 9 9 4 年提出了一种基于各尺 度相应位置上的小波系数之间相关性的磁共振图像去噪方法。该方法所依存的原理 为：利用相邻尺度小波系数的乘积进行去噪，由于奇