（计算数学专业论文）椭圆边值问题基于自然边界归化的三角波方法.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了 谢意。 作者签名：望堡缝 日期：垄殳! ：竺望 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门+ 或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进人 学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编人有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用 本规定 作者签名：兰垂整 日期：型5 ：笠圭2 摘要 在本论文中，我们研究一类椭圆边值问题基于自然边界归化 的三角波方法利用自然边界归化原理，获得了单位圆内或单位 圆外的一类椭圆边值问题的p o i s s o n 积分公式和自然积分方程 据e q u a k 提出的三角波，用h e r m i t e 型三角波作为基函数构造 有限元子空间，用于边界上具有掣+ 1 个节点的g a l e r k i n 离散，来 数值求解自然积分方程和p o i s s o n 积分公式证明了有限元求解 的刚度矩阵是一个块对角阵，且其子矩阵是某种对称，块循环矩 阵给出了刚度矩阵元素的计算公式，此计算公式十分简单，为 有限项的代数运算对于2 j + 2x2 i + 2 阶的刚度矩阵，我们仅仅需 要计算2 ( 2 j + 1 ) 个元素给出了算法的收敛性，对近似解的误差 估计作了详细分析最后，给出了一些数值实验数值结果表明 三角波方法优于通常的多项式插值的数值结果 关键词：椭圆边值问题；自然边界归化；h e r m i t e 三角波； 内问题；外问题 2m a o t e r kd e g r e ep a p e r a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t r i g o n o m e t r i cw a v e l e tm e t h o d sb a s e do nn a t u r a l b o u n d a r yr e d u c t i o nf o rac l a s so fe l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a r ei n v e s t i g a t e d p o i s s i o ni n t e g r a le q u a t i o n sa n dn a t u r a li n t e g r a l e q u a t i o n so ft h ee l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si na ni n t e r i o r u n i td i s ko ra l le x t e r i o ru n i to n ea r eo b t a i n e db yt h ep r i n c i p l eo f t h en a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o nm e t h o d h e r m i t et r i g o n o m e t r i c w a v e l e t si n t r o d u c e db yq u a k 【m a t h c o m p ，6 5 ：2 1 4 ( 1 9 9 6 ) ，6 8 3 7 2 2 】 a st r i a lf u n c t i o n sa r eu s e dt oc o n s t r u c tt h ef i n i t ee l e m e n ts u b s p a c e t h e ya r eu s e dt ot h eg a l e r k i nd i s c r e t i z a t i o nw i t h2 5 + 1n o d e so nt h e b o u n d a r yt os o l v ep o i s s i o ni n t e g r a le q u a t i o n sa n dn a t u r a li n t e g r a l e q u a t i o n sn u m e r i c a l l y i ti sp r o v e dt h a tt h es t i f f n e s sm a t r i xo ft h e f i n i t ee l e m e n ts o l u t i o ni sab l o c kd i a g o n a lm a t r i xa n di t se l e m e n t s a r es o m es y m m e t r i ca n db l o c kc i r c u l a n ts u b m a t r i c e s t h es i m p l e c o m p u t a t i o n a lf o r m u l a eo ft h ee n t r i e si nt h es t i f f n e s sm a t r i xa r e o b t a i n e da n dt h e ya r ea l g e b r a i co p e r a t i o n so ff i n i t ed e g r e e t h e s e s h o wt h a tw eo n l yn e e dt oc o m p u t e 2 ( 2 j + 1 ) e l e m e n t so fa 2 j 十2x2 j + 2 s t i f f n e s sm a t r i x t h ec o n v e r g e n c eo ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n sa n d t h e i re r r o re s t i m a t e sa r eo b t a i n e d f i n a l l y , s o m en u m e r i c a le x a m - p l e sa r ep r e s e n t e dt os h o wt h a to u rm e t h o d sa r ee f f e c t i v e k e yw o r d s ：e l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；n a t u r a lb o u n d - a r yr e d u c t i o n ( n b r ) ；h e r m i t et r i g o n o m e t r i cw a v e l e t ；i n t e r i o rp r o b - l e m ；e x t e r i o rp r o b l e m s h a hz h e n g d u om a s t e r sd e g r e ep a p e r a p r i l ，2 0 0 6 p r e f a c e a sw ew e l lk n o w n ，m a n yb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c a l lb er e d u c e di n t ot h e i re q u i v a l e n ti n t e g r a le q u a t i o n so nt h eb o u n d a r y , w h i c h h a st h ea d v a n t a g eo fr e d u c i n gt h en m n b e ro fd i m e n s i o n sb y1 t h e r ea r em a n y d i f f e r e n tw a y sf o rt h er e d u c t i o no ft h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，w h i c hl e a dt o v a r i o u sb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d s h o w e v e r ，t h ed r a w b a c kl i e si nt h a tt h es t i f f - n e 鹤m a t r i c e sa r en o ts p a r s e h e n c et h ec o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t yf o rt h ed e n s e s t i f f n e s sm a t r i c e se l i m i n a t e st h ea b o v ea d v a n t a g es u c ha 8l o w e r i n gt h ed i m e n s i o n s o ft h ep r o b l e m ， 。 g e n e r a l l y , t h es i n b 血a ri n t e g r a le q u a t i o n sw i t ht h ec a u c h yk e r n e lp l a y 姐 i m p o r t a n tr o l ei nt h ec l a s s i c a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d s i n 【9 j ，h a d a m a r d i n t r o d u c e dt h ec o n c e p to ft h ef i n i t ep a r tf o rd i v e r g e n ti n t e g r a lw i t hh 油o r d e r s i n g u l a r i t i e sa n dd i s c u s s e dt h ec o r r e s p o n d i n gs t r o n g - s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n s w i t ht h ek e r n e lo fh i g ho r d e rs i n g u l a r i t y i ti si m p o r t a n tt 0c a l c u l a t et h ee n t r i e s o ft h es t i f f n e s sm a t r i c e so fb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d s s i n c et h ee n d1 9 7 0 s f e n ga n dy uh a v ed e v e l o p e dan e wb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，i e ，c a n o n i c a lb o u n d a r yr e d u c t i o no rn a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n t m e t h o d ( s e e 2 - 5 1 ) i tj sb a s e do nt h en a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o nv i a t h eg r e e n 8 f o r m u l a ea n dt h eg r e e n sf u n c t i o n s t l 艳n a t u r a li n t e g r a le q u a t i o n s w h i c ha r e t h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ed i r i c h l e td a t aa n dt h e i rc o r r e s p o n d i n gn e u m a n nd a t a , a r eh y p e r s i n g u l a r ，a n dt h e yc a nb eu n d e r s t o o di nt h es e n s eo fh a d a m a r df i n i t e p a r t n a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o di sd i f f e r e n tf r o mt h ec l a s s i c a lb o u n d a r y e l e m e n tm e t h o d s ，i th a sm a n ya d v a n t a g e s ，s u c ha s ：i t se n e r g yf u n c t i o n a li si n v a z i - a n t ，t h e r e f o r et h es y m m e t r ya n dt h ec o e r c i v e n e s so fb i l i n e a rf o r ma r ep r e s e r v e d ； t h es t a b i l i t yo ft h en u m e r c a ls o l u t i o n sa r ee x c e l l e n t ；t h es t i f f n e s sm a t r i c e sa r e v e r ys i m p l e tb e c a u s et h es t i f f n e s sm a t r i c e sa r ec i r c u l a n to rb l o c ke i r c u l a n t ；i ti s f u l l yc o m p a t i b l ew i t ht h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) ，a n dc a nb ec o u p l e dw i t h 3 4 t r l g o n o m e t r l cw a v e l e tm e b o d s f e m n a t u r a l l ya n dd i r e c t l y i nr e c e n ty e a r s ，w a v e l e tm e t h o d sh a v eb e e ns h o w nt ob ee l 丑c i e n ti nt h e a p p l i c a t i o n si nn u m e r i c a ls o l u t i o n so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n di n t e g r a l e q u a t i o u s ( s o e 9 - 1 2 d t h ea i mo ft h i sp a p e ri st oa p p l yt r i g o n o m e t r i cw a v e l e t f u n c t i o n st oo b t a i nn u m e r i c a ls o l u t i o no ft h eb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n ( b i e ) d e r i v e df r o mt h ee l l i p t i ce q u a t i o n a sw ea l lk n o w n t h en a t u r a li n t e g r a le q u a t i o n ( n i e ) c o n t a i n sh y p e r s l n g u l a rk e m e i s t h eh y p e r s i n g u l a ri n t e g r a l su r ev i e w e da s t h ef i n i t ep a r ti nt h es e i l o fh a d a r n a r d y u 6 t7 】h a sg i v e ns o m en i e 8a n dt h e p o i s s o ni n t e g r mf o r m u l a ef o rh a r m o n i c ，b i h a r m o n i c ，p l a n ee l a s t i c i t ya n ds t o k e s p r o b l e m s b yu s i n gp i e c o w i s ep o l y n o m i a le l e m e n t s ，t h en i e i sd i s c r e t i z e d ，a n dt h e c o m p u t a t i o n a lf o r m u l a eo ft h ee n t r i e so ft h ec o r r e s p o n d i n gs t i f f n e s sm a t r i c e sa r e o b t a i n e ds u c c e s s f u l l y h o w e v e r t h e s ef o r m u l a ea r ee x p r e s s e d8 8s o m ec o n v e r g e n t s e r i e s t h e r e f o r e ，t h es e r i e sm u s tb et r u n c a t e d ，o rs o m ea p p r o x i m a t es u m m a t i o n f o r m u l a ei su s e di np r a c t i c a lc o m p u t a t i o n i ti sn e i t h e rc o n v e n i e n tn o ra c c u r a t e t oc a l c u l a t et h es t i f f n e s sm a t r i c e s i nt h i sp a p e r ，i no r d e rt oo v e r c o m et b e s e d i s a d v a n t a g e sa b o v ea n dt oi m p r o v ey _ u ，8r e s u l t s w eu s eq u a k bh e r m i t e - t y p e t r i g o n o m e t r i cw a v e l e t s 1 】a st r i a lf u n c t i o n st od i s c r e t i z et h en i eo ft h ee l l i p t i c p r o b l e mi na l lu n i td i s k ，a n da l s oo b t a i nt h ec o m p u t a t i o n a lf o r m u l a eo ft h ee n t r i e s i nt h es t i f f n e s sm a t r i c e s t h e s ef o r m u l a ea r en ol o n ge x p r e s s e d 勰s e r i e s t h e yo n l y c o n t a i ns e v e r a ls i m p l et e x m s a n di ti 8v e r yc o n v e n i e n ta n da c c u r a t et og e n e r a t e 8s t i f n e s sm 址r i 】c w ea l s of i n dt h a tt h es t i f f n e s sm a t r i xi sv e r ys i m p l e ，t h a ti s ，i t i sa l s oac i r c u l a n to rb l o c kc i r c u l a n t f u r t h e r m o r e ，i ti st op o i n to u tt h a tb e s i d e s a ni n t e r i o ru n i td i s kw ea l s oc o n s i d e rt h i sl 【i i l do f e l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i na l le x t e r i o ru n i to n eb ys i m i l a rw a y f o n o w l n g i st h eo u t l i n eo f t h ep a p e r c h a p t e r1w ei n t r o d u c eq u s k bt r i g o n o - m e t r i ch e r m i t ei n t e r p o l a n tw a v e l e t sa n dt h e i rp r o p e r t i e s c h a p t e r2 ，w ei n v e s - t i g a t et r i g o n o m e t r i cw a v e l e tm e t h o d sf o r e l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si n t h ei n t e r i o ru n i td i s k ，a n dc h a p t e r3t r i g o n o m e t r i cw a v e l e tm e t h o d sf o re l l i p t i c b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si nt h ee x t e r i o ru n i td i s ka r es t u d i e db ys i m i l a rw a y s h a hz h e n g d u o m a s t e r sd e g r e ep a p e r a p r i l ，2 0 0 s 一一= = = r = ：= = = = = = ：= = = ；= ：# 一 c h a p t e r1 h e r m i t et r i g o n o m e t r i cw a v e l e t s i nt h i sc h a p t e r ，w es h a l lg i v eab r i e fi n t r o d u c t i o no fq u a k 8w o r ko nt h ec o n - s t r u c t i o no fh e r m i t e - t y p ei n t e r p o l a t o r yt r i g o n o m e t r i cw a v e l e t sa n dt h e i rp r o p e r - t i e s m o r ed e t a i l sc 2 , nb ef o u n di n 【1 1 f o ra l l ，l n ，t h ed i r i c h h tk e r n e l 以( p ) a n di t sc o n j u g a t ek e r n e l 巩( 口) a r e 删= 揍- 秽：羞 扯! ， t 目聋2 丌z ， ( 1 2 ) 0027rz o b v i o u s l y , c k ) ，d n ( 日) 磊，w h e r e 磊d e n o t e st h e l i n e a rs p a c eo ft r i g o n o - m e t r i cp o l y n o m i a l sw i t hd e g r e en o te x c e e d i n gn t h ee q u a l l ys p a c e dn o d e so r t h ei n t e r v a l 【o ，2 7 r ) w i t ha d y a d i cs t e ps i z ea r ed e n o t e db y 屯。= 等，f o ra n y ，n o ，a n d n = 0 川1 一，+ 1 1 ， ( 1 3 ) t w h e r en o2n u o ) ，i e ，n oi st h es e to fa l ln o n - n e g a t i v ei n t e g e r s d e f i n i t i o n1 1 ( s c a l i n gf u n c t i o n ) f o ra l lj n 0 ，t w os c a l i n gf u n c t i o n s 垛( ，矗o ( 口) a r ed e f i n e d 船 矽+ i - 1 蠕( = 赤d k ( o ) ， ( 1 4 ) 脚 妨t o ( 口) = 赤( 锄一l + j 1 s i n ( 2 。+ 1 ) ( 1 5 ) f o rb = 0 ，1 ，十1 1 ，d e f i n e 吃。( p ) = 吃o ( 0 一易，n ) ，s = 0 ，1 f u r - t h e r m o r e ，f o rt h es o k eo fc o n v e n i e n c e ，l e t 吃n ( p ) 2 吃nm o d e 掣+ i ( ，540 ，1 ， f o r a n y n z 5 等船 n缸 。衄 = 巩 6 l e m m a1 1 f 1 1 f o ra n y 歹n o ，w eh a v e 谚o c o ) = 妨，o ( 口) = 守哿篡一 1 ”一纠喊唿篡 a n dt h e i rd e r i v a t i o n sa r eg i v e nb y ( 0 0 ( 口) ) 7 = ，；丽1 c o s ( 2 而1 + i p ) - 1 s i n ( 2 j + 嘉s i l l ( 口) 二1 2 ，口簪2 ，r z ( 以o ( 口) ) = 2 巧+ 3 + 1 口) 。“q 。叫。f 一 i1 ， 口2 1 r z t h e o r e m1 1 ( i n t 也r p o l a t o r y 觯r “o ，t h es c a l i n g ，h c “o n 曲f o ra l lj n o ，t h ef o l l o w i n gi n t e r p o l a t o r yp r o p e r t i e sh o l df o re a c h 七，n = 0 ，1 ，+ 1 一i 谚。( k ) = 髭，( t 商。( 如t ) ) = 0 ， 一 ( 1 6 ) o 如( 屯) = 0 ，( 谤，。( 岛，t ) ) 一堙 ( 1 7 ) d e f i n i t i o n1 2 ( s c a l i n g 如n c t i o ns p a c e ) f o ra l l 歹n 0 ，d e f i n et h es c a l i n g f u n c t i o ns p a c e 巧嬲 巧= s p a n 谚a o ) ，矗。( 口) ，f l = 0 ，1 ，+ 一1 a saf i r s ts t e po fs t u d y i n gt h es p a c e sk ，t h ef o l l o w i n gr e s u l ti n d e n t i f i e st h e t r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a l sw h i c hf o r ma l t e r n a t i v eb a s e so ft h e s es p a c e s t h e o r e m1 2 f o ra n yj n o ，w eh a v e u = s p a n l ，c o s 0 ，c o s ( 2 i + 1 一z ) o ，s i n 0 ，s i n 2 j + 1 盯 c o n s e q u e n t l y , d i m v # 一2 t + 2 p r o o f b yt h ed e f i n i t i o no ft h ef u n c t i o n 佛，i ti sc l e a rt h a t 嘞a n di t s t r a n s l a t e sb y 百n f fa r ee l e m e n t so f 五，+ l lcs p a n ( 1 ，c o s 0 ，c o s ( + 1 1 ) 0 ，s i n e ，s i n 驴十1 口) c h a p t e r1 h e r m i t et r i g o n o m e t r i cw a v e l e t s7 a l s o ，i ti sa p p a r e n tt h a t 妒；。oi sa ne l e m e n to ft h i ss p a n at r a n s l a t i o no f 妒；，ob y 芸d o e sn o tc a u s ea n yp r o b l e ma st h et e r r as i n2 3 ”0i s n o ta f f e c t e d a l t o g e t h e r ， t h i sm e a n st h a t 巧cs p a n 1 ，c o s0 ，c o s ( 2 j + 1 1 ) e ，s i n0 ，s i n2 j + 1 口) t h e e q u a l i t yf o l l o w sf r o mt h ei n t e r p o l a t i o nc o n d i t i o n s ( 1 6 ) a n d ( 1 7 ) ，w h i c hs h o w t h a tt h ef u n c t i o n ss p a n n i n gka r ei n d e e dl i n e a r l yi n d e p e n d e n t ，a n dt h e r e f o r ew e h a v ed i m 巧= + ” m o r e o v e r ，t h e o r e m1 2i m p l i e st h a t 巧c 巧+ l f o rj h o 工2 【o ，2 叫= c l o s u r e l 。( uv s ) ，nv j = ” t h e r e f o r e ， 巧) 墨一1f o r m sa h e r m i t e - t y p em u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ( m r a ) o fl 2 0 ，2 丌】 l e m m a1 2 f o r j n o ， = 0 州1 一，扩11 ，w eh a v e j ( 1 ) 篙1 吣一；_ i t i 1 ，篡 ( 1 8 ) 馨吣矿 茹虬u 篡 。， 篙i 胁= 馕- 2 2 j + l + 叫2 j s i n - 20 一+ l , n ，, ，篡埘一 篆1 = 茹? 酊2 咏霉 埘 + a - - 1 ( 5 ) s i n k o j m = 0 ， n n ；( 1 1 2 ) 篙1 胁= p 毗小n 4 0 ；, n 埘 篙1 舳一舻+ 1 叩篡 n 妨 8 t r i g o n o m e t r i cw a v e l e tm e t h o d s m a s t e r sd e g r e ep a p e r 掣：1 一lf 一2 卜1 【( 2 巧+ 3 3 ) 一3 c o t 20 j + l n 1c o t 乃+ l 一， ( 8 ) s i n k o j 矿 f l o ，( 1 1 5 ) 脚 l0 ， n ：0 p r o o f , e q u a t i o n s 1 8 ) ，( 1 1 2 ) 一( 1 1 5 ) a o b v i o u s j yv a l df o r 船= 0 i ti se a s y t 0 唧t h a t ( 1 9 ) - ( 1 1 1 ) h o l db yu s i n g 扛。b 到1 川) ，言肛副1 1 ) ( 2 n + 1 ) a n d b 。胪= 跏+ 1 ) 】2 ，嘲删v e l y n o w w ep r o v e ( 1 8 m 1 5 ) w h e n n 、# o - 0 ”，州- l w e k n o w t h a t o j 俨等三南协协z b y ( 1 1 ) ， 一 。 s o ( 1 8 ) h 0 1 d 8 f o r 竹0 s i n c e 2 s i n o # 一一i虿s瓦inoj,n一互12 = 一l 28 i n 巩。 2 竺i 二! 竺! 型：二逆 2 咖； n a m e l y 2 s i n ；西州1 ( 口) = c o s 互1 一c o s ( 矿1 一；) 口 t a k i n gt h ef i r s td e r i v a t i v ey i e l d s 砖甄1 1 誓薯主南咖p 埘= 一；咖；+ ( 扩i 一；) s t n p 一；) 口 。” t h er e s u l to f 觚e v a l u a t i o no f ( 1 1 6 ) a tt h ek n o t s c a l lb er e w r i t t e nt o p r o d u c e d c 0 8 0 j + l , n 现+ l l ( o j , n ) + 2 s i n o j + l + i - 1 ( 。) ：一；萄n 乃+ 。一+ ( z ，+ t 一；) 菌n 白+ 。 1 1 7 = 坳 瞄 一脚 = 柏n 舭脚 = 西 玩一- ( 纠= s i n k s j ，n = 0 ， d v 一l ( = k c o s k g j 一 。s t n ；助- 删“n ( 舻一 2 8 i n 8 z 孑- 70 二分茹8 如埘一一p 一；) 2 觚p “一；) a 。 f r o m ( 1 1 ) 姆帆w ec a u o b t a i nt h ev a h e 8o fd 掣+ l _ i ( ) a n d l ( 岛，n ) 西；+ i l ( 岛一) = 2 巧+ 1 2 js i n 一2 岛+ 1 一 w h i c hp r o v e ( 1 1 0 ) a n d ( 1 1 3 ) t op r o v e ( 1 1 1 ) a n d ( 1 1 4 ) ，w em a k eu s eo ft h ef o l l o w i n gf a c ta g a i n 嘲；如- 。( 口) + 2 s i n ；毛m 。( = 一：西n ；+ p + l _ ；) 加( 一护 一 以 瞄酽 一脚 一 = 巳。既 如 n 一脚 一 t t 0 白一西 t a k i n gt h ef i r s td e r i v a t i v ea n dt h es e c o n dd e r i v a t i v e ，r e s p e c t i v e l y , y i e l d s 4 “! 嚣1i 0 譬骂翟；写们聊 = 一驴c o s 互+ ( 一；) 2 c o s ( 一扣 u 1 哪 套：驾韩3 象8 翟雾) z 。，= 一扣；一( 一势n p 一护 u 。哪 西硝+ - 一l ( 乃。) = s i nk o j , n = 0 ， 岛一l ( a j 。) = k c n s k o j ，。= 一， d 莹+ 1 - - 1 ( 易0 = 2 材十1 t 毋+ l 。， z ) 参+ i l ( 乃，n ) = 2 巧+ 2 3 2 巧s i n 一2 如+ l m w h i c hi m p l y ( 1 1 1 ) a n d ( 1 1 4 ) ， s i m i l a r l y , w ec a no b t a i nt h ee q u a t i o n ( 1 1 5 ) ， t h ef o l l o w i n gl e m m af o rt h ei n n e rp r o d u c t so ft h es c a l i n gf u n c t i o n sm a y b ef o u n di nf 1 1 t h i sl e n m m i m p l i e st h a tt h es c a l i n gf u n c t i o n sa r en o tm u t u a l l y l e m m a1 3 f l j t h ei n n e rp r o d u c t so ft h es c a l i n gf u n c t i o n s0 1 1l e v e lj n o c 蛐= 嘉嚣_ ( 2 ) ( 或，枷； 赤眦h 詹鼽 ( 3 ) ( 咄枷： 一手。蟛? l 2 3 j + 2 一2 4 1 + 5 虑2 m ，i女*#*tl* c h a p t e r1h e r m i t et r i g o n o m e t r i cw a v e l e t s1 l d e f i n i t i o n1 3 ( w a v e l e tf u n c t i o n s ) f o ra l l ，n o ，t w ow a v e l e tf u n c t i o n s 蠼o ( 口) ，蛆o ( 口) a r ed e f i n e db y 蠼。( p ) = 而1c 0 8 “p + 矿知( 3 2 j 一七) c o s 口， k - - - - m t o + l t + ，一1 1 蠕( 口) = 而玎8 i 删+ 赤8 删+ 2 口 f o rj n 0 ，n = 0 ，1 ，+ 1 1 ，d e f i n e 蛾。( 口) = 蛎p 一如，。) ，8 0 ，1 f u r t h e r m o r e ，n z o ，l e t 睨n ( 口) = 咙nm d e2 ，+ l ( p ) ，s = 0 ，1 t h ew a v e l e tf u n c t i o n 蠼o p ) i sa h i g h - f r e q u e n c yf u n d a m e n t a li n t e r p o l a n to f f u n c t i o nd a t e d e f i n i t i o n1 4 w a v e l e t 鲫回f o ra l l 歹n o ，d e f i n et h ew a v es p a c e 吻 f o l l o w s 叼= 印肌 峨( 口) ，以。( 口) ，竹= 0 ，1 ，+ 1 1 ) t h e o r e m1 3 ( i n t e r p o l a t o r vp r o p e r t i e so ft h ew a v e l e t s ) f o r8 j lj n o ，t h e f o l l o w i n gi n t e r p o | a t o r yp r o p e r t i e sh o l df o re a c h 七，竹= 0 ，1 ，+ 1 1 哦。( 如。t ) = 嚣，( 蠓( 屯- ) ) = 0 ， ( 1 2 1 ) 暖。( 岛) = 0 ，( 呓。( 易 ) ) = 露 ( 1 2 2 ) ( 1 2 1 ) a n d ( 1 2 2 ) i m p l yt h el i n e a ri n d e p e n d e n c eo fa l lw a v e l e tf u n c t i o n s 锻n ( 口) a n d 以n ( 口) ，w eh a v e c o r o l l