（运筹学与控制论专业论文）非线性可积微分差分方程族相关问题的研究.pdf

山东科技大学硕士学位论文 摘要 摘要 为探讨非线性可积微分一差分方程族的形成及性质，本文分别构造了若干个微分一 差分可积模型，并对孤立子方程的的可积性、d a r b o u x 变换、无穷多守恒律、非线性化 作了研究。众所周知，在物理学、化学及生物学中的许多些现象是以微分一差分方程作 为模型建立起来的，如t o d a 晶格方程和v o l t e r r a 晶格方程等。因此对微分一差分可积系 统的研究具有一定的实际意义。然而，不同于连续可积模型，微分一差分可积系统难于 建立，这一方面的相关文献较少。本文中，提出了若干个离散的等谱特征问题，导出了 相应的1 + 1 、2 + 1 维孤立子方程，并利用屠格式对方程族的结构作了近步的研究。为 求解所提出的方程，本文根据谱问题的不同而建立了不同的d a r b o u x 变换，作为应用， 得到了l + 1 、2 + l 维微分一差分方程的孤立子解，并借助于计算机代数给出了解的图形。 众所周知，无穷多守恒律是孤立子方程具有的一种重要性质。本文基于谱问题的特点利 用直接方法导出了1 + 1 、2 + 1 维微分一差分方程的无穷多守恒律。在文章的最后，非线 性化方法被应用于离散的可积系统，从而将一个无限维非线性微分一差分可积系统分解 为两个有限维可积系统。 关键词：可积的微分一差分方程族，迹恒等式，d a r b o u x 变换，孤立子解，无穷多 守恒律，非线性化，计算机代数 山东科技大学硕士学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t f o rt h es a k eo fs t u d y i n gt h ef o r m u l a t i o no fd i s c r e t ei n t e g r a b l es y s t e m sa n dt h e i rm a n y p r o p e r t i e s ，t h ep a p e rh a sl i s t e ds o m em o d e lo fd i s c r e t ei n t e g r a b l es y s t e m s ，a n d ，s o m er e s e a r c h s u c ha st h ei n t e g r a b i l i t y , t h ed a r b o u x t r a n s f o r m m i o n ，i n f m i t en u m b e ro fc o n s e r v a t i o nl a w sa n d t h en o n l i n e a r i z a t i o nh a v eb e e ni n v e s t i g a t e d i nf a c tt h ed i s c r e t ei n t e g r a b l es y s t e mc a nb eu s e d a st h em o d e lo fs o m ep r o b l e mi np h y s i c s ，c h e m i s t r ya n d b i o l o g y , f o re x a m p l et h et o d al a t t i c e e q u a t i o na n dt h ev o l t e r r al a t t i c ee q u m i o n s oi ti si m p o r t a n tt os t u d yt h ed i s c r e t ei n t e g r a b e s y s t e m s h o w e v e r ，i ti sd i f f i c u l tt of m d n e wi n t e g r a b l es y s t e mw h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h a to f c o n t i n u o u si n t e g r a b l es y s t e m sa n dt h e r ei sf e w e rp a p e r sc o m p a r i n gw i t ht h ec o n t i n u o u sc a s e s i nt h i sp a p e r , w ef o r m u l a t e ds o m ed i s c r e t ei n t e g r a b l e s y s t e m sa n dg a v et h ec o r r e s p o n d i n g l a t t i c ee q u a t i o n si n1 + i 、2 + 1d i m e n s i o n sa n da s s o c i a t e dh a m i l t o ns t r u c t u r eb ym e a n so f t h e t r a c ei d e n t i t y t os o l v et h eo b t a i n e dl a t t i c ee q u a t i o n ，w ec o n s t r u c tt h ed i f f e r e n td a t b o u x t r a n s f o r m a t i o ni nl i g h tw i t l lt h ed i f f e r e n ts p e c t r a lm a t r i xb yv i r t u eo fw h i c ht h es o l i t o n s o l u t i o n sr e s u l t ，a n dt h ep l o t so ft h e s es o l u t i o n sa t e g i v e nr e s o r t i n gt o t h es y m b o l i c c o m p u t a t i o n a si sw e l lk n o w nt h a tt h ep r o p e r t yo fp o s s e s s i n gi n f i n i t e l ym a n yc o n s e r v a t i o n l a w si sv e r y i m p o r t a n tf o rs o l f f o ne q u a t i o n s i nt h i sp a p e r ，w ed e r i v e dt h ec o n s e r v a t i o nl a w so f 1 + 1 、2 + 1d i m e n s i o n a ld i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c e e q u a t i o n so nt h eb a s eo fd i s c r e t es p e c t r a l p r o b l e m st h r o u g had i r e c tm e t h o d a tl a s t ，t h en o u l i n e a f i z a t i o nt e c h n i q u eh a sb e e nu s e df o rt l l e d i s c r e t ei n t e g r a b l es y s t e m st os e p e r a t ea ni n f m i t e l yd i m e n s i o n a li n t e g r a b l es y s t e mi n t ot w o f i n i t ed i m e n s i o n a li n t e g r a b l es y s t e m s 。 k e yw o r d s ：i n t e g r a b l ed i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ；t r a c e i d e n t i t y ；d a r b o u x t r a n s f o r m a t i o n ；s o l i t o ns o l u t i o n s ；i n f i n i t en u m b e ro fc o n s e r v a t i o nl a w s ；n o n l i n e a r i z a t i o n ； s y m b o l i cc o m p u t a t i o n 山东科技大学硕士学位论文 1 绪论 1 绪论 1 1 孤立子理论的产生及发展 孤立子又称孤立波，是指一大类非线性偏微分方程的具有特殊性质的解以及 与其相应的物理现象。在历史上，孤子和孤波的概念是从一维浅水槽中小振幅波 的研究开始的，由于人们对自然现象的细心观察而发现了孤波。18 4 4 年，英国科 学家司各特罗素( s c o t tr u s s e l l ) 在他论波动的报告中，讲述了他1 8 3 4 年观 察到的一神奇特的水波现象，认为这种孤立的波动是流体力学方程的个稳定解， 但没有从理论上给孤立波以圆满的解释。直到1 8 9 5 年，瑞典数学家k o v t e w e g 在 指导他的学生d e v r i e s 的一篇博士论文中，提出了一种流体中单向传播的数学模 型，即著名的k d v 方程坼+ 6 u u x + “。= 0 ，用来解释r u s s e l l 观察到的现象，为后来 分析孤立波提供了基础。但由于k d v 方程是非线性的，人们认为两个孤立波碰撞 后，波形会受到破坏而不稳定，并没有引起人们的足够注意。 1 9 6 0 年，g a r d e n 和m o r i k a w a 在研究无碰撞磁流波的过程中，又重新发现了 k d v 方程，激起了人们对k d v 方程的研究兴趣。如今，k d v 方程已被看作数学物 理基本方程。1 9 6 5 年，k r u s k a l 和z a b u s k y 把k d v 方程用于等离子体波的研究时， 借助于计算机通过对k d v 方程的数值研究，详细考察了等离子体中孤立波的相互 碰撞的过程，证实了“这类孤立波在相互作用后波形不变，仍能保持各自的波形和 波速”的论断，故命名孤立波为孤立子。用“孤立子”这个词来生动地描述孤立波 的粒子行为。从此，孤立子作为应用数学中的新概念诞生了。但究竟什么是孤立 子呢? 通常在应用数学中，孤立予被理解为非线性演化方程局部化的行波解，经 过互相碰撞后，不改变波形和波速。在物理领域，孤立子被理解为：经相互作用 后，波形和波速只有微弱改变的孤立波：或者为非线性演化方程能量集中在空间 有限区域，不随时间演化而扩散到无限区域中去的能量有限解。 1 坐查型垫查堂堕圭堂垡堕墨! 堕堡 8 0 年代后，人们对孤立子理论的研究，在世界范围内掀起了热潮。目前，较 为完整的数学和物理的孤立子理论已逐步形成，国内外在这方面已出版很多专著 1 - 8 。解析方法尤其是反散射方法的发展，不仅使人们对孤立子的认识更加深入， 而且发现除k d v 方程外，许多具有物理意义的非线性演化方程，如薛定谔 ( s c h r 6 d i n g e r ) 方程，t o d a 晶格方程等都具有孤立子解，并且还发现了各种各样 的孤立子解，如钟状和扭状孤立子、包络孤立子以及正孤立子、反孤立子等。许 多早年被认为是病态的方程也在新的理论下重新被认识和讨论。 1 2 孤立子理论的分支 孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在流体力学、等离 子体物理、非线性光学、凝聚态物理、超导物理、经典物理和量子场论等领域都 有着广泛的应用。目前，几乎物理学的所有分支都发现了孤子，或存在孤立子的 物理机制，孤立子概念变得越来越重要和普遍了。对于孤立子方程在数学领域内 的研究既推动了数学的发展如李群在微分方程中的应用，同时也使得人们对孤立 子这一物理现象的认识更为深刻。作为应用数学和数学物理的一个重要分支，孤 立子理论的研究方法也是很多的，可以通过几何的方法或工具提出孤立予方程、 可以利用李代数的理论进行可积系统的研究、可以利用数值分析的方法进行孤立 子方程近似解的研究等等。这样丰富的内容和繁多的研究方法，吸引了国内外大 批学者进行较为系统的研究。特别是近十几年来，随着数学物理和计算机的发展， 使得孤立子理论的研究取得了较为丰富的成果。 1 2 1 非线性可积微分差分方程族 寻找和扩充l a x 和l i o u v i l l e 意义下的可积系统是孤立子理论研究的重要课题。 非线性可积微分一差分可积系统，作为构建许多物理学和生物学问题的数学模型， 不仅具有丰富的数学结构，而且在诸如数学物理、统计物理、量子物理、生物物 理等领域有广泛的应用前景。人们对无限维离散可积系统问题的研究是十分必要 的，也有着重要的现实意义。 2 山东科技大学硕士学位论文 1 绪论 但是，建立新的、具有实际物理意义的可积系统仍然是十分困难的。1 9 7 5 年， w a h l g u i s t 和e s t a b r o o k 提出了延拓结构法是迄今比较成功的方法，但计算量很大； 1 9 8 3 年，d r i n f e l i d 和s o k o l o v 以k a c m o o d y 代数为工具系统地构造了k d v 方程的 l a x 表示；d a t e 等发展了f 函数法；1 9 8 5 年，谷超豪院士、胡和生院士基于曲面 论基本方程提出了一类方程的可积性准则。 1 9 8 8 年，屠规彰教授提出用约束形式的变分技巧计算和研究孤立子方程 h a m i l t o n 结构的新方法【9 】：1 9 8 9 年，提出了用迹恒等式构造无限维h a m i l t o n 系统 的有效方法【1 0 1 2 】，该方法被马文秀博士称为屠格式。基于一个谱问题，利用屠 格式导出了许多方程族及其h a m i l t o n 结构，如a k n s 、t c 、t a 、b p t 、t o d a 晶格 等。马文秀博士、耿献国教授、胡星标教授、朱佐农教授、徐西祥教授、张玉峰 教授等做了大量的工作 1 3 2 1 】。 无限维微分差分可积系统，通常采用两种暂行定义。首先是l a x 可积，如果方 程族可写成一对线性问题 删= u 庐，疵= 脚， ( 1 2 1 ) 的可积条件( e 庐) ，= e ) ，或即 u 一( d v ) u + u ，v = 0 ， ( 1 2 2 ) 这里u ，v 是属于同一李代数的矩阵，而【u ，v _ u v v u 表示u 和v 的交换予，则称 该方程族是l a x 可积的。其次，如果方程族可写成一广义的h a m i l t o n 方程 d t ：j 6 ，h ， ( 1 2 3 ) d “ 且具有适合的p o i s s o n 括号，并存在无穷多个彼此对合的守恒泛函 或，鼠 = 0 ， 那么称这个非线性演化方程族是l i o u v i l l e 可积的。 近年来，对于1 + 1 维非线性微分差分方程 2 2 。8 1 人们研究得较多。导出了诸如 a b l o w i z l a d i k 29 1 、t o d a 12 1 、b l a s z a k m a r c i n i a k f 2 0 , 3 0 】晶格孤立子方程等。特别地， 马文秀博士、徐西祥教授在离散可积系统和正、负离散可积流研究上给出了一些 非常好的结果1 5 ，m 】。本文在前人研究的基础上，通过构建新的离散等谱特征值问 山东科技大学硕士学位论文 i 绪论 题，利用屠格式给出了一些新的l + l 【2 2 , 3 l 3 2 、2 十l 维可积晶格孤立子方程族。 1 2 2 求非线性演化方程的精确解 孤立子方程在物理学中的广泛应用， 精确解。由于非线性演化方程的复杂性， 促使人们讨论更多的非线性演化方程的 尚有许多方程无法给出精确解，即使已 经求出精确解，技巧各异、方法不一。对于演化方程精确解的研究，目前已发展 了一系列有效方法，如反散射方法【l 2 】、函数变换方法【8 】、b i c k l u n d 变换与d a r b o u x 变换方法【6 , 3 3 1 、l i e 群方法3 4 1 等。近年来，随着计算机的发展和符号运算如m a p l e 、 m a t h e m a t i c a 的出现，直接构造非线性发展方程的解越来越受到人们的重视，使复 杂、冗长的代数运算直接在计算机上完成，不但过去一些难以求解的方程得到了 解决，而且不断发现许多有重要物理意义的非线性演化方程的新解。 g a r d u e r 、g r e e n e 、k r u s k a l 、m i u r a 等于1 9 6 7 年发现了k d v 方程反散射法， 也称非线性傅立叶变换法( 散射反演方法) 。后来l a x 将g g k m 的思想加以综合 与推广；z a k h a r o v 和s h a b a t 本质地推广了这一方法，求解了高阶k d v 方程，立方 s c h r 6 d i n g e r 方程等；a b l o w i t z 、k a u p 、n e w e l l 、s e g u r 则更加一般化了这一方法； 国内李翊神教授、田畴教授、屠规彰教授、曾云波教授等为发展这一方法作了很 多的工作。利用散射反演方法己成功地求解了许多偏微分方程，还求出了一些孤 立予方程的新解岫】。 1 9 7 1 年，广田( r h i r o t a ) 引入了双线性函数方法，是利用未知函数变化求精 确解的有效工具。随后，陈登远教授、胡星标教授、张大军博士等做了许多工作 2 4 , 3 5 - 3 8 ，并加以推广用于求解微分差分方程的精确解。1 9 9 4 年，王明亮教授、李 志斌教授提出了所谓的齐次平衡法1 3 9 】，也称拟解法，成功地求解了大批非线性演 化方程f 40 1 。范恩贵博士、张鸿庆教授了对这一方法进行了推广t 4 1 】。但这一方法能 否在微分一差分可积系统中加以运用，将是一个有重要意义的课题。 1 9 9 8 年，马文秀博士、乔志军教授等从l a x 阵、r 矩阵及非线性化理论出发， 利用变量分离方法及代数几何工具，提出了构造代数几何解及有限带势解的途径 4 2 44 1 。2 0 0 1 年，刘式适教授、刘式达教授提出了用j a c o b i 椭圊函数展开法求解非 4 山东科技大学硕士学位论文1 绪论 线性波动方程的精确解4 5 4 6 】；朱加民教授等将这一方法推广到了离散可积系统用 以解决非线性微分一差分方程的精确解【4 7 1 。 d a r b o u x 变换方法，由d a r b o u xg 在研究s t u i m l i o u v i l l e 方程 4 9 】中首先引进， 它是求解非线性演化方程显示精确解的一种十分有效的工具。通常从一个平凡解 出发首次或反复多次利用d a r b o u x 变换可分别得到方程的单孤子解和多孤子解。 构造d a r b o u x 变换的关键是寻找一种保持方程的l a x 对不变的规范变换，在这方 面已发展很多技巧并应用于求解多种方程 1 9 , 3 1 , 3 2 , 4 9 5 5 】。 9 0 年代后，谷超豪院士、胡和生院士和周子翔教授还研究了高维空间r ”和高 维时空r “”的可积系统，指出了d a r b o u x 变换仍然有效，可换性定理也有效【56 1 ， 并研究了d a r b o u x 变换何时可逆的问题。程艺教授对积分和离散d a r b o u x 变换做 了进一步的研究 5 7 , 5 8 l 。 以上提到的诸多方法中有的是可以应用到微分差分孤立子方程的求解，如反 散射变换，h i r o t a 方法，d a r b o u x 变换等。在求解非线性微分差分方程的精确解 方面的研究上，本文在第三章，根据离散等谱特征问题的特点构造了不同的变换 矩阵，利用d a r b o u x 变换方法 3 1 , 3 2 】，来研究1 + 1 和2 + i 维微分差分孤立子方程的 孤立子解，并借助于符号计算给出了解的图形。 1 2 3l a x 对的非线性化 l a x 表示和零曲率表示是非线性发展方程的两种换位表示。对于线性谱问题， 曹策问教授于1 9 8 8 年5 9 1 提出了保谱发展换位表示的一般框架；之后，马文秀博士、 乔志军教授等在此基础上做了一系列推广和发展。l a x 表示、零曲率表示及换位表 示的研究对于l a x 对非线性化、l i o u v i l l e 完全可积性的探讨起着奠基石的作用。 特别是l a x 表示已被成功地运用于有限维动力系统的双h a m i l t o n 结构研究中。 1 9 8 9 年，曹策问 6 0 1 教授首先提出在位势函数和特征函数适当约束下，l a x 对非线 性化产生有限维完全可积系统的思想，进而利用可换流的对合解给出孤子方程解 的对合表示。方程l a x 对的空间部分非线性化为一个l i o u v i l l e 意义下完全可积的 有限维h a m i l t o n 系统，而时间部分恰为n 组两两对合的运动积分【6 9 1 。 s 山东科技大学硕士学位论立1 绪论 近年来，耿献国教授1 7 “、徐西祥教授7 ”4 1 等对于离散可积系统的非线性化研 究作了卓有成效的工作。本文基于一个新的离散等谱特征值问题，将l a x 对非线 性化，建立了新的可积辛映射，导出了有限维完全可积晶格孤立于系统。 1 3 研究的意义 孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在流体力学、等离 了物理、经典场论、凝聚态、生物学、非线性光学等方面有着广泛的应用。在许 多科学领域都存在着孤立子及与孤立子理论密切相关的重要问题。利用孤立于理 论已经成功解释了许多物理上长期用经典理论未能得到解答的现象。在应用上， 利用孤赢波来改进信号传输系统，提高其传输率等也取得了可喜的进展。随着孤 立子作为物理问题的深入研究，孤立予的数学理论也应运而生。孤立子理论是数 学和物理学的新的交叉学科，也是应用数学的一个新的分支，足非线性科学的一 个重要方向，它既反映一类非常稳定的自然现象，例如江河中的某一类水波，光 纤中的光信号传播等，体现了一大类非线性现象互相作用的若干特征，并为许多 应用问题提供了启示。这一理论为非线性偏微分方程提供了求显式解的方法，因 而受到数学界和物理学界的充分重视。 孤立子理论不仅在物理学和数学方面有着十分重要的研究意义，而且在生物 学方面也有着十分重要是应用。1 9 8 6 年以后，新的生物能星与传递的孤立子理论 逐步发展起来。理论研究和实验结果都表明“传递神经冲动的确是一种孤立子， 从分子水平上，运用传递生物能量和信息的孤立予模型，可较完整地说明横纹肌 的收缩问题。由蛋白质被污染后的孤立子变化可以说明生命体发病的微机原理， 显然这些研究工作对发展和揭示生物奥秘都有至关重要的意义。 1 9 8 4 年，m o l l e n a n e r 等人研制成功光孤子激光器，并运用于光纤通讯上，从 而使得光纤通讯事业得到迅速发展，这也是孤立子理论运用于实际的个典范， 具有重大的现实意义。 具有熏大的现实意义。 山东科技大学硕士学位论文 l 绪论 1 4 本课题研究的主要内容 通过调研及广泛收集国内外己有的相关资料，仔细阅读并进行分析，找出目 前所研究方向的先进性及存在的不足之处，确定自己要研究的目标和思路。 ( 1 ) 构造尽可能多的1 + 1 、2 + 1 维微分一差分可积模型，研究微分一差分 可积系统的产生及其结构。导出了修正的1 + l 维离散k d v 方程族，建立了其 h a m i l t o n 结构，证明了它的l i o u v i l l e 可积性。基于谱参数的正展与反展建立了新 的微分一差分方程族及其负阶流，导出了2 + l 维m t o d a 晶格方程。 ( 2 ) 对所提出的谱问题通过构造适当的d a r b o u x 矩阵，利用d a r b o u x 变换方 法给出了1 + 1 、2 + 1 维晶格孤子方程的孤立子解，利用符号计算给出解的图形。 ( 3 ) 将l a x 对的非线性化方法，应用于离散等谱特征问题，通过位势函数与 特征函数的约束关系，使无限维h a m i l t o n 系统非线性化为l i o u v i l l e 意义下完全可 积的有限维h a m i l t o n 系统。 ( 4 ) 基于孤立子方程的l a x 对特点，利用直接方法，导出了l + 1 、2 + l 维 微分- 差分方程族的无穷多守恒律。 7 山东科技大学硕士学位论文2 可积的微分一差分方程族 2 1 1 可积性 2 可积的微分差分方程族 2 1 一般理论和方法 设“= ( m ，毪，“，) 7 是一个向量函数，其分量m = m ( h ，f ) 是n 和t 的函数，且 ”z ，t r 。定义位移算子e 和差分算子d 为 ( 厂) ( ) = f ( n + 1 ) ，( 。q r ) ( h ) = f ( n + 1 ) - f ( n ) = ( e 一1 ) f ( n ) ， 从而，记f = e ，( 订) 。对于函数，( 以) ，若存在函数h ，使得，= d h ，则称 f 一0 ( m o d d ) ，即厂0 ( r o o d d ) 铮存在h ，使f = d h 。 定义1 ；两个函数厂= ( z ( 以) ，正( 呻，( 刀) ) 7 ，g = ( g 。( n ) ，g ：( n ) ，名，( 甩) ) 的内积 ( f ，g ) 定义为 ( 厂，g ) = z ( 门) 吕( 玎) 。 利用函数v = ( v l ，v 2 ，匕) 7 定义f = f ( u ，z ) = ，0 ) 的梯度( w ) ( “) 为 ( v 厂) ( “) = - f ：f ( u + 刚l = ( v ，v ) 。 一 定义2 ：一个映p 维向量空间到自身的线性算子，称为h a m i l t o n 算子，如果 对任意的两个函数，和g 的表达式 = ( d v f ，v g ) = 薹喜( ，警“掣bn e zt 2 i v 件v “ 能够满足p o i s s o n 括号，即 f ，g = 一 g ，f ) ， f ， g ，h ) ) + g ， ， ) + 矗， 厂， ) = 0 。 特别地，若 厂，g ) = 0 ，则称，g 是对合的。 8 山东科技大学硕士学位论文 2 可积的微分一差分方程族 对于线性问题e 掣= u t f ，甲，= 矿甲，其中u = u ( u ，丑) ，v = v ( u ，五) 为玎玎矩阵 甲为7 1 维列向量，由相容性条件可得零曲率方程 定义3 ：若演化方程 砂= ( e v ) u - u y 。 ( 2 1 ，1 ) b l t = k ( “) ， 可由( 2 1 1 ) 推出，则称( 2 1 2 ) 为l a x 可积的。 对于演化方程 q ：j 鱼掣， d “ ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 为离散的h a m i l t o n 系，称膏( “) 为h a m i l t o n 函数，如果存在无穷多个守恒泛函鼠 0 = 1 ，2 ，) 满足( b d ，= 0 ， 或，鼠 = 0 ，则称( 2 1 ，3 ) 为l i o u v i l l e 可积的。 2 。1 2 屠格式的技巧 屠规彰教授建立了一种生成l i o u v i l l e 可积的广义h a m i l t o n 方程族的代数格 式，考虑离散的等谱特征值问题 它的时间部分表示为 e 、壬f = 矿甲 甲= v w ， 它们的相容性条件导出了一族微分差分方程 u = ( e v ) u 一谚， ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 通常称为离散的零曲率方程。 设g 是c 上的有限维李代数，g 是相应的圈代数，g = g 圆c ( a ，五1 ) ，设 u = e o + “1 鲁l + + “，e p ， e t = q ( 五) g ，i = o ，t ，2 ，p 。 首先，对待定的矩阵r ，求解驻定的零曲率方程 ( e r ) u 一( ，r = 0 ， 9 ( 2 1 7 ) 山东科技大学硕士学位论文2 可积的微分一差分方程族 设r = f ，五，可得f ，的递推关系。 f 0 取舻f 的正项部分( 1 1 ) + = r ，五一。 t = o 其次，判断表达式是否成立 ( 占( a m r ) + ) u u ( 五m r ) + 兰c q ， ( 2 1 8 ) 若成立，则得到下面的方程族 = ( e v ”渺一泖相 ( 2 1 9 ) 这里v “= ( 兄”r ) + 。否则，应寻求修正项a 。，令矿“ = ( a ”矿) + + a 。，使得下面的表 达式成立 这样，( 2 1 9 ) 等价于方程族 ( e v ) u w i , 1ec e ，。 i = 1 = 以 ) ，m 0 。 ( 2 1 1 0 ) 最后，棚迹恒等式矗帜玎7 旁( _ 鼢，将。，写成它的 h a m i l t 。n 形式k = ，鲁，这里( 也 是相互对合的守恒泛函，j ；是h a m i l t o n 算子， 即满足：，= 一，( j j f g ， ) + j 唐】 ，) + j 【如 厂，g ) = 0 。 2 2 修正的晶格k d v 方程族 本节将分别给出1 + i 、2 + i 维修正的k d v 晶格孤子方程 _ = # ( 气。一k 。) ， = # ( + ，+ 一。) l 。 为此，考虑离散的等谱特征值问题 州舻，啪c 却，呻棚= 仨 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 其中国( a ) = 1 ：厂，“= ( s ) 7 ，五为谱参数且丑= 0 。解驻定的零曲率方程 1 0 刁 山东科技大学硕士学位论文 2 可积的微分一差分方程族 其中f = 才” c ，刀” b 。2 - ” m = 0 一f “ m = 0 ( 盯) u 一口= 0 可得到 s 6 ( 1 ) = 陀，秽+ 口) + 6 ( 1 五= o ，( 2 川 s ( a 1 + a ) + c 2 = 0 ，a n a = r c 一s b 取初始值= 一，坯，b o = 0 = c o ，在a ，i 阻i = o = b j ：。= c h ：。= 0 ，( 1 ) ，下，由( 2 2 4 ) 可唯一确定，6 卅，c 。，m 1 ，其中 其中 a 1 = r ( - i ) s ，6 l = 一一，c l = s ，b 2 = 一r ( - 1 ) ( r _ 2 s 一1 + r ( - o s ) ， c 2 = - s ( r 一1 j + ，百1 ) ，a 2 = 一r ( - 2 ) r 一1 s 一1 s r ( - o ，：掰n 一( r 一1 ) 2s 2 ， 考虑下面的时间演化方程 西，( 五) = r ” ，丑) 中( a ) ， r ”( “，五) = ( a m r ) + + 。 ( 删+ ：艺怍 j - o 、0 1- 包a t k ，小p 由( 2 2 3 ) 与( 2 2 5 ) 的相容性条件推出的下面的方程 ( k 一( e r 哪) u + u f ”= 0 ， ( 2 2 5 ) 导出一族可积的非线性微分一差分方程族 慝c m 竺1 2 2 s a 筵计s ( a m 2 嚣 z 神 l s 。= + 1 + = 一日：) 。 当州= 1 时，第一个非线性可积方程为 其第二个非线性系统，当m = 2 时，为 ( 2 2 7 ) x ) m m 憎 坶 一 一 咿咿 l | i j _ 已 ，、l i = f i r s n ( ，o j 但+ 瑚o ) 一r ( - 1 ) 8 ( r _ 2 j 卜”+ 厂卜d j ) 】， ls h = s r s 1 ( r o j ( 2 + 瑙o ) 一r ( - t ) a ( r - 2 k 卜”+ r ( - i ) s ) 228 ( ) f 飞= 一 ( 一。+ j 。，) 】， ( y ，筹) = 一譬，( y ，警) = 譬，( 矿，警) = 詈 丢薹( 一譬 c 拧，= 旯一7 击兄7 孝 ， 去善( 枷班”掰，降钉 碟 r j 一6 h m 占“ ( 2 2 1 0 ) 其中雷m = 薹玩( 片) = 荟( 譬) ( n ) ，m _ o o 方程( 2 2 6 ) 可表为下面的h a m i l t 。n 结构 山东科技大学硕士学位论文 2 可积的微分一差分方程族 这里 又 r ( 一案= 儿譬，删 j = ( 。e ? 一，r ( 1 ：e 5 ，上；( 乏：) ， 厶，：三( 1 一e 一) 一t ( s e - l r _ r e s ) ，厶：三( 1 一e 一- ) 一，0 9 - l l r _ r e s ) s ， 岛。 ：三( e 1 ) 一ts e - i r - r e s ) r ，厶：三但一1 ) 一( s e - l r - r e s ) s ， r ( r e s s e - l r ) s s ( r e s s e q r ) s j 易知，为h a m i l t o n 算子，即满足j = 一j ，以及j a e o b i 恒等式 其中 ( j j f g ， ) + ( j j g l h ，厂) + ( ，。 j h l f ，g ) = 0 j 。( 州v 】- 杀m + 酬删 口s ” 臣j l = j 。 下面，考虑p o i s o n 括号 ，= n e z 壹i = 1 ( 譬o z t iu 争勋) 。 于是 以及 m 机= 亟8 u ，鲁) = ( 鲁矽1 鲁) = ( 警，r 堕8 u = k 堕d u ，时2 鲁) = 风+ q 一。) ，一一 风+ 1 - 1 ，h 1 ) ， r r 力力 姬姬 一 一心胁 “ ，l = 见 山东科技大学硕士学位论文2 可积的微分一差分方程族 因此， 并且 饵l ，h 0j = t h m + l - 1 ，h 1 、j 。 巩，h j ) ，= 0 ，m ，z 1 ， c 吣c 薹删。= ( 鲁 ) = ( 案，鲁) = m 枷n t 从而， 或) ：o 关于p o i s s o n 括号( 2 2 1 1 ) 两两对合，进而系统( 2 2 6 ) 中的方 2 3 全可积微分差分方程族和修正的2 + 1 维t o d a 方程 这一部分，建立了新的离散等谱问题，基于谱参数的正展与反展导出了全可 占= u ( “，五) ， ( 2 3 1 ) u c “，五，= ( 。1 a r2 ；， ，“= f k 7 s ，：( 爱 ，i+ 占j l 2 其中，= r ( n ，f ) ，s = s ( n ，f ) 是位势函数，丑= 0 。 r = 。 山东科技大学硕士学位论文 2 可积的微分一差分方程族 r 6 ( 1 ，= ；，了a o ) + 丁s b ( 1 ) = 一詈，rrr r a ( o a = 阳z + c a + 肼( 2 3 2 ) ( 1 ) l 一日( 1 ) 丑一s 口( 1 ) = r b a a 一阳 首先给出可积系统的正族方程。将下面的表达式代入( 2 3 2 ) 我们得到 口= a m 2 - ”，b = b , , 2 - ”，c = c 册旯一， m = o 噬：垒，盟+ 础。+ 娥) - 一纽， 一，碟毛= r + i + c 。+ l + j ， ( 2 3 3 ) ( 1 ) 等一啦一s a 0 = 一一 取0 = 一，6 0 = ，坜- 1 ) ，c 0 = ，在边界条件q k = 。= o ，b i u o o = o ，c j l t u = o = o ，( ，1 ) 【“】= ( “，e u ，e 一“，下，q ，b j ，勺，l 能由( 2 3 3 ) 唯一确定，即 旷可r ，掣= 一一万1 一詈，铲一一嘉一， 且有下面的递推关系式成立 令 则有 6 ( 1 ) 。：一篮竖立+ 。醒， r + 1 = 一，( 口祟l + + 1 ) 一j ， ( 2 3 4 ) t u 口墨l a m + 1 = 生一j + s 一，k ， 争m 0 ， ， q q ，。，。，。l 。瑚 = m+ r 山东科技大学硕士学位论文 2 可积的微分一差分方程族 e ( f 炒一u ( f + ”) = l & 一h 乏三乏圹 。s ， i = s ( q 一日祟t ) 当m = 0 时，第一个非线性晶格系统为 r r 0 = - r c 万r + 争喝叫南一争 c 2 3 s ， 下面给出系统( 2 3 5 ) 的h a m i l t o n 结构及l i o u v i l l e 可积性。设( 爿，b ) = f ，( 一b ) ， 直接计算可得 ( 以署) = 百r a + c ，( y ，詈) = _ a - - a _ o ) ，( n 詈) = 云， 其中v ：r ( 厂1 。代入济恒等荒得 旦6 u 荟( 三+ 矗) ( 刀) = 圹刍五7 旦y f 兰+ 旦：五一，旦五r 急l a ，旯、7觑 比较等式两边的五一2 系数，则有 拿n e z k + 等卜却一m a 一口( 1 ) ， c r 九 令m = 0 ，可得f = 0 。从而，系统( 2 3 5 ) 可记为以下h a m i l t o n 形式 赳：，等：0 警 r 1 6 = j 中 + l - 嘏1 r c 胂 r ，m l ， ( 2 3 7 ) 、叫l ， 十 m 叶 ，h 口 露 一 ( h 。一， h “ 鹾 s 、；，。l 竽， 山东科技大学硕士学位论文 2 可积的微分一差分方程族 几o 斟也= 薹( _ 篙卜 经直接计算可知j 是h a m i l t o n 算子，因此系统( 2 3 5 ) 中的方程均为离散h a m i l t o n 方程。递推算子。= 耋：三：) ，其中 中l l ：q 一1 ( r e l 三一l e r ) o + e x l 一e ) 一l ， 0 1 2 ：一1 ( 1 + e ) ( r e l 三一l e t ) s ， 0 2 1 = - ( 1 + e ) 0 一目1 ， 0 2 22 一s ， 并且 ，巾：m ：- r ( 1 + e ) 0 一e ) 。r 一脚1 l r60 j 易知算子m 是h a m i l t o n 算予，从而系统( 2 3 7 ) 具有2 - h a m i l t o n 结构、d ：j 一1 m 是强对称7 7 1 。 下面推导可积负族系统。为此将下面的表达式代入( 2 3 2 ) 我们得到 口= 。彳。五”，6 ：艺吃，。：宝c m ， 一” m = 0 m = 0 畔= 争，等+ 磁，+ 螋，= 一争， 一儿= n 0 + c 。+ s c t 卅+ l ，( 2 3 8 ) t - , ( t ) 二盟p - 一篙一岛2 。= r 吃+ 。一以一屯。 取a 。= 一必，风= o = c 。，于是在边界条件彳，。= 日h ；。= c a 小。= 0 ，( ，1 ) ， “卜( “，e u ，e “，) 下，a ，b i 和q ，l 能由( 2 3 8 ) 唯一确定，即 令 小矗南，b f l ) = i 1 ，c l = ；， 1 7 山东科技大学硕士学位论文 2 可积的微分一差分方程族 则离散的零曲率方程 钐b + 一o 1 ，m 狐 一4j l0 厶l = e ( r 1 ) u u ( r 一) ， 确定如下l a x 可积的负族微分一差分孤子系统 e 离 当m = 0 时，第一个非线性晶格系统为 飞一j r s o ) r ( - o s ( - i ) 。 相似地，系统( 2 3 9 ) 可记为以下h a m i l t o n 形式 姐r 斗。等删 以一。一雄。 ， c m r = ( 一，) 甲 ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) m 1 ( 2 3 1 1 ) 旭一。王三西i ，或= 荟( 兰导 c n m ，忘= 薹h s c 吐 锻玢其中 甲1 1 ：一， v 。：土( 旭一三一三西) ， 甲2 l ：1 ( 1 + e ) ( 1 一e ) 一r ， 甲：一! 一三( 1 + 剐一三( 旭一t 三一三d ) 胛：f l t l 2 。 4 e ，；，l 。脚 i | 肿 r o ，r ：9，气牡 子算 中 推 且 其 递 并 山东科技大学硕士学位论文2 可积的微分一差分方程族 1 ：一三( 1 + e ) ( 1 一e ) 一二， l ：二+ 二