从微分方程的角度谈共振.doc

,725000(department of mathematics, ankang university, shaanxi ankang 725000)摘要：本文以一道物理问题数学摆的微小震动为例，结合质点的振动理论，建立微分方程，并且根其解的形式，说明共振现象发生的原因。然后，针对与共振相关的生活问题和灾难问题，提出预防措施.关键词：数学摆；微分方程；共振现象中图分类号：o175.1文献标识码：a文章编号：1671-4792-(2011)9-0247-03abstract: with the together physical problem-mathematics puts smallly to vibrate for example, combine tvibration theory that the quality orders, establishment differential equation, and explain resonance the causephenomenon according to the form that it solves. then, aim at the living problem linked to resonance and disastproblem, put forward to prevent from measure. keywords:mathematics puts; differential equation; resonance phenomenon 0 引言共振现象极为普遍，在声、光、无线电、原子内部 及工程技术中经常遇到。共振现象有其有利的一面， 例如：收音机利用电磁共振进行选台，一些乐器利用 共振来提高音箱的效果等。但是，共振现象也有其不 利的一面，如共振时因为系统的振幅过大，会造成机 器设备的损坏等。1940 年著名的美国科马海峡大桥 断塌的部分原因就是阵阵大风引起桥的共振。1与共振现象有关的基本概念 固有频率：任何物体产生共振后，由于本身的构成、大小、形状等物体的特征，原先以多种频率的振 动，渐渐会固定在某一频率上振动，这个频率为固有 频率。强迫振动：当一个振动系统经常受到一个外力的作用，这种振动为强迫振动。共振现象：驱动力的频率与该物体的固有频 相等时，振动的振幅达到最大，这时所产生的现象 为共振.2 分析产生共振现象的因素为了简单起见，这里仅仅讨论质点振动的共 现象。振动是日常生活和工程技术中常见的一种 动形式，例如钟摆的往复摆动、弹簧的振动、乐器 弦线的振动、机床主轴的振动、电路中的电磁振 等。振动问题的研究，在一定条件下可以归结为 阶常系数线性微分方程的问题来讨论。下面所举 力学典型例子数学摆作为具体的数学模型，利用 系数线性微分方程的理论，讨论有关自由振动和 迫振动的问题，并阐明有关的一些物理现象。2.1 无阻尼自由振动基金项目：安康学院重点扶持学科基础数学建设项目(azxz0107)考察无阻尼的数学摆的微小强迫振动方程可写为：（1）记，这里 0 是常数，式（1）变为:（5）（2）令，h 为已知常数，p这是二阶常系数齐次线性微分方程，它的特征方程为：2 +2=0特征根为共轭复根：1，2= i因此，方程（2）的通解为：为外力圆频率，这时式（5）变为:（6）方程（6）的对应齐次线性微分方程的通解为(4),现求式（6）的一个特解，如果 p，则式（6）有形如:（7）=mcospt+nsinpt（3）=c1cost+c2sint的解，这里 m、n 是待定常数。将式（7）代入式（6），若取，则式（3）可以比较同类项系数，得到:写成:（8）（4）=asin(t+)因此，方程（6）的通解为:这里 a、 代替了 c1、c2 作为通解中所含的两个任意常数。从通解（4）可以看出，不论反映摆的初始状态的 a 与 为何值，摆的运动总是一个正弦函数，它是 t 的周期函数，这种运动称为简谐振动。振动往返一次（9）从式（9）可以看到，摆的运动由两部分叠加而成。第一部分是无阻尼的自由振动，它是系统本身的 固有振动，它是按周期变化的；第二部分是由外力而 引起的强迫振动项。因此，考虑强迫振动时主要就考所需的时间称为周期，记为 t，这里虑后一项。如果外力的圆频率 p 愈接单位时间内振动的次数称为频率，记作 v，这里 v=近固有圆频率 ，则强迫振动项的振幅就愈大，表示随着时间的增大，摆的偏离将无限增加，这种现象；而 =2v 称为圆频率，从而得出结论：以通过调节系统的固有频率来避免，此时关于生活中的共振给出几点遐想。3.1 生活中的实例（1）挑水问题。少林寺的和尚挑水的时候，尽管 水桶里的水很满，但溅出来的水却很少，原因如下： 少林寺为了锻炼和尚的体能，防止他们偷懒，把和尚 挑水用的木桶底部都弄成尖的，为了节省体力，他们 双手拎桶走的很快，这就是说他们走路的频率远远 大于水桶里水的频率，所以不会发生共振的现象，所 以溅出来的水就很少；另一种是农夫挑水时走的较 慢，但他走路的频率小于桶内水的频率，所以水也是 不会溅出来的。因此，挑水时，为了使水桶里水不溅 出来，就必须保证人行进的外在频率与桶里的水固 有频率不相等，即一种是走路的外在频率大于桶里 的水固有频率，另一种是走路的外在频率小于桶里 的水固有频率。（2）过桥问题。1831 年，一队骑兵在通过英国曼 彻斯特附近的大桥，“哒哒”的马蹄节奏分明有力，不 幸一声响，人马纷纷坠入河中。这是由于马蹄的节 奏产生的频率与桥的固有频率一致，而引发的共振 现象，试想：如果骑兵“无组织”，“无纪律”散乱的过害，我们可以在地震将发生的无人居住的地面，对面实施炸药引爆，扰乱驱动力的频率，使其通过低 率的小地震，打破地壳中板块运动中的地震频率 地面的固有频率相等的情况，以减少地震对人类 危害。（2）海啸问题。海啸也可看做是一种共振现象为避免其危害，我们可以通过一种用电脑控制的人驾驶的巨轮去捣乱海水的流速方向，有意识的 坏地壳