第七章北航 材料力学 全部课件 习题答案.pdf

1 第七章 弯曲变形 7-2 图示外伸梁 AC，承受均布载荷 q 作用。已知弯曲刚度 EI 为常数，试计算横截面 C 的挠度与转角， 。 题 7-2 图 解：1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分 支座 A 与 B 的支反力分别为 2 3 , 2 qa F qa F ByAy AB 段（0x1a） ： 1 2 1 1 2 2d d x EI qa x w 1 2 1 1 1 4d d Cx EI qa x w (a) 111 3 11 12 DxCx EI qa w (b) BC 段（0x2a） ： 2 2 2 2 2 2 2d d x EI q x w 2 3 2 2 2 6d d Cx EI q x w (c) 222 4 22 24 DxCx EI q w (d) 2. 确定积分常数 梁的位移边界条件为 0 0 11 wx处，在 (1) 0 11 wax处，在 (2) 连续条件为 2121 wwaxx处，在 (3) 2 2 2 1 1 21 d d d d x w x w axx处，在 (4) 由式（b） 、条件（1）与（2） ，得 0 1 D， EI qa C 12 3 1 由条件（4） 、式（a）与（c） ，得 EI qa C 3 3 2 由条件（3） 、式（b）与（d） ，得 EI qa D 24 7 4 2 3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为 EI qa x EI q 36 3 3 2 EI qa x EI qa x EI q w 24 7 324 4 2 3 4 22 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为 3 3 EI qa C 24 7 4 EI qa wC 7-3 图示各梁，弯曲刚度 EI 均为常数。试根据梁的弯矩图与约束条件画出挠曲轴的 大致形状。 题 7-3 图 解：各梁的弯矩图及挠曲轴的大致形状示如图 7-3。 3 图 7-3 7-6 图示简支梁，左、右端各作用一个力偶矩分别为 M1与 M2的力偶。如欲使挠曲轴 的拐点位于离左端 l/3 处，则力偶矩 M1与 M2应保持何种关系。 题 7-6 图 解：梁的弯矩图如图 7-6 所示。 依题意，拐点或 M=0 的截面，应在3/ lx处，即要求 3 : 3 2 : 12 ll MM 由此得 12 2MM 图 7-6 7-7 在图示悬臂梁上， 载荷 F 可沿梁轴移动。如欲使载荷在移动时始终保持相同的高 度，则此梁应预弯成何种形状。设弯曲刚度 EI 为常数。 4 题 7-7 图 解：在位于截面 x 的载荷F作用下，该截面的挠度为 3 )( 3 EI Fx xw 因此，如果将梁预弯成 EI Fl xw 3 )( 3 的形状，则当载荷 F 沿梁轴移动时，载荷始终保持同样高度。 7-8 图示悬臂梁，弯曲刚度 EI 为常数。在外力作用下，梁的挠曲轴方程为 3 axw 式中，a 为已知常数。试画梁的剪力与弯矩图，并确定梁所承受的载荷。 题 7-8 图 解：1. 内力分析 EIax x w EIM6 d d 2 2 EIa x M F6 d d S 梁的剪力、弯矩图如图 7-8 所示。 图 7-8 2. 外力分析 0 d d 2 2 x M q 在区间 AB内，由上式与剪力、弯矩图的连续性可知，在该区间内既无分布载荷，也无集中 5 载荷。 由剪力、弯矩图可知，截面 B的剪力与弯矩分别为 EIaF B 6 - S, EIalMB6 在梁端切取微段 BB，并研究其平衡，得作用在截面 B 的集中力与集中力偶矩分别为 EIaF6 （） EIalM6 e （） 7-9 图示各梁，弯曲刚度 EI 均为常数。试用奇异函数法计算截面 B 的转角与截面 C 的挠度。 题 7-9 图 (a)解：1.求支反力 由梁的平衡方程0 B M和0 y F，得 )( 2 )( 2 a M F a M F e By e Ay ， 2建立挠曲轴近似微分方程并积分 自A向右取坐标x，由题图可见，弯矩的通用方程为 0 e e 2 axMx a M M 挠曲轴的通用近似微分方程为 0 e e 2 2 2d d axMx a M x w EI 将其相继积分两次，得 CaxMx a M x w EI e 2e 4d d (a) DCxax M x a M EIw 2 e3e 212 (b) 3确定积分常数 梁的位移边界条件为： 6 在0x处，0w (c) 在ax2处，0w (d) 将条件(c)代入式(b)，得 0D 将条件(d)代入式(b)，得 12 ea M C 4建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为 12212 1 e 2 e3e x aM ax M x a M EI w 由此得AC段与CB段的挠曲轴方程分别为 ) 1212 ( 1 e3e 1 x aM x a M EI w 12 )( 212 1 e2e3e 2 x aM ax M x a M EI w 5计算 C w和 B 将ax 代入上述 1 w或 2 w的表达式中，得截面C的挠度为 0 C w 将以上所得C值和ax2代入式(a)，得截面B的转角为 EI aMaM aM a aM EI B 12 ) 124 4 ( 1 ee e 2 e )( (b)解：1.求支反力 由梁的平衡方程0 B M和0 y F，得 )( 4 1 )( 4 3 qaFqaF ByAy ， 2建立挠曲轴近似微分方程并积分 自A向右取坐标x，由题图可见，弯矩的通用方程为 22 224 3 ax q x q x qa M 挠曲轴的通用近似微分方程为 22 2 2 224 3 d d ax q x q x qa x w EI 将其相继积分两次，得 Cax q x q x qa x w EI 332 668 3 d d (a) DCxax q x q x qa EIw 443 24248 (b) 3确定积分常数 7 梁的位移边界条件为： 0 0wx处，在 (c) 0 2wax处，在 (d) 将条件(c)与(d)分别代入式(b)，得 16 3 0 3 qa CD ， 4建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为 16 3 24248 1 3 443 x qa ax q x q x qa EI w 由此得AC段与CB段的挠曲轴方程分别为 ) 16 3 248 ( 1 3 43 1 x qa x q x qa EI w 16 3 )( 24248 1 3 443 2 x qa ax q x q x qa EI w 5计算 C w和 B 将ax代入上述 1 w或 2 w的表达式中，得截面C的挠度为 )( 48 5 4 EI qa wC 将以上所得C值和ax2代入式（a） ，得截面B的转角为 )( 48 7 16 3 )2( 6 )2( 6 )2( 8 3 1 33 332 EI qaqa aa q a q a qa EI B (c)解：1.求支反力 由梁的平衡方程 0 y F和 0 A M，得 )( 2 1 )( FaMFF AAy ， 2建立挠曲轴近似微分方程并积分 自A向右取坐标x，由题图可见，弯矩的通用方程为 axFax Fa Fx Fa M2 2 3 2 0 挠曲轴的通用近似微分方程为 axFax Fa Fx Fa x w EI2 2 3 2d d0 2 2 将其相继积分两次，得 DCxax F ax Fa x F x Fa EIw Cax F ax Fa x F x Fa x w EI 3232 22 2 64 3 64 2 22 3 22d d (b) (a) 3确定积分常数 8 该梁的位移边界条件为： 0 0wx处，在 (c) 0 d d 0 x w x处，在 (d) 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 00CD， 4建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为 2 64 3 64 132 32 ax F ax Fa x F x Fa EI w 由此得AC段、CD段和DB段的挠曲轴方程依次为 )2( 6 )( 4 3 64 1 )( 4 3 64 1 ) 64 ( 1 3232 3 232 2 32 1 ax F ax Fa x F x Fa EI w ax Fa x F x Fa EI w x F x Fa EI w 5计算 wC和 B 将ax代入上述 1 w或 2 w的表达式中，得截面C的挠度为 )( 12 3 EI Fa wC 将以上所得C值和ax3代入式(a)，得截面B的转角为 )( 2 )( 2 )2( 2 3 )3( 2 )3( 2 1 2 22 EI Fa a F a Fa a F a Fa EI B (d)解：1.求支反力 由梁的平衡方程0 B M和0 y F，得 )( 12 11 )( 12 7 qaFqaF ByAy ， 2建立挠曲轴近似微分方程并积分 自A向右取坐标x，由题图可见，弯矩的通用方程为 33 6612 7 ax a q x a q x qa M 挠曲轴的通用近似微分方程为 33 2 2 6612 7 d d ax a q x a q x qa x w EI 将其相继积分两次，得 Cax a q x a q x qa x w EI 442 242424 7 d d (a) DCxax a q x a q x qa EIw 553 12012072 7 (b) 9 3确定积分常数 梁的位移边界条件为： 在0x处， 0w (c) 在ax2处， 0w (d) 将条件(c)代入式(b)，得 0D 将条件(d)代入式(b)，得 3 720 187qa C 4建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为 720 187 12012072 7 1 3 553 x qa ax a q x a q x qa EI w 由此得AC段与CB段的挠曲轴方程分别为 ) 720 187 12072 7 ( 1 3 53 1 x qa x a q x qa EI w 720 187 )( 12012072 7 1 3 553 2 x qa ax a q x a q x qa EI w 5计算 C w和 B 将ax代入上述 21 ww或的表达式中，得截面C的挠度为 )( 240 41 4 EI qa wC 将以上所得C值和ax2代入式(a)，得截面B的转角为 )( 720 203 720 187 24 1 24 16 24 47 33 EI qa EI qa B 7-10 图示各梁，弯曲刚度 EI 均为常数。试用叠加法计算截面 B 的转角与截面 C 的 挠度。 题 7-10 图 (a)解：由F产生的位移为 )( 48 )( 16 3 1 2 1 EI Fl w EI Fl CB ， 10 由 e M产生的位移为 )( 16 )( 3 2 e 2 e 2 EI lM w EI lM CB ， 应用叠加法，得截面B的转角及截面C的挠度分别为 )( 1648 )( 316 2 e 3 21 e 2 21 EI lM EI Fl www EI lM EI Fl CCC BBB (b)解：AB梁段及BC梁段的受力情况示如图 7-10b(1)和(2)。 图 7-10b 由图(1)可得截面B的转角为 )( 4 ) 2 )( 2 ( 1 2 EI FllFl EI B 由图(1)和图(2)，应用叠加法得截面C的挠度为 )( 48 11 24816 ) 2 ( 3333 3 EI Fl EI Fl EI Fl EI Fl w l ww CBBC (c)解：AB梁段及BC梁段的受力情况示如图 7-10c(1)和(2)。 图 7-10c 由图(1)可得截面B的转角为 )4( 24 ) 2 ( 324 22 23 ab EI qbqa EI b EI qb B 由图(1)和图(2)，应用叠加法得截面C的挠度为 )3b4( 248 )4( 24 323 4 22 2 aab EI qa EI qa ab EI qab waw CBC (d)解：求 B 时可以书中附录 E 的 7 号梁为基础，以 x 代替 a，以 q(x)dx 代替 F，写出 B 端截面的微转角 x lEI xqxlx B d 6 )()( d 22 (a) 11 式中，q(x)为截面 x 处的载荷集度，其值为 x l q xq 0 )( (b) 将式(b)代入式(a)后两边积分，即得截面B的转角为 )( 45 d 6 )( 3 0 0 2 222 0 EI lq x EIl xlxq l B 求 wC可以教材附录E中 8 号梁为基础，所求截面C的挠度为表中所列的一半，即 )( 768 5 2 1 4 0 EI lq wC 7-12 图示外伸梁，两端承受载荷 F 作用，弯曲刚度 EI 为常数。试问： (a) 当 x / l 为何值时，梁跨度中点的挠度与自由端的挠度数值相等； (b) 当 x / l 为何值时，梁跨度中点的挠度最大。 题 7-12 图 解：在端点力偶矩Me作用下，跨度为a的简支梁的中点挠度为 EI aM wC 16 2 e 将梁端载荷F简化到截面D与G，得简支梁DG的受力如图b所示,梁端各作用一附加力偶矩 Fx。根据上述公式，简支梁DG中点的挠度为 8 )2( 16 )2( 2 22 EI xlFx EI xlFx fC (a) 在上述二力偶矩作用下，截面D的转角为 EI xlFx EI xlFx EI xlFx D 2 )2( 6 )2( 3 )2( （） 所以，外伸梁端点A的挠度为 2 )2( 33 33 x EI xlFx EI Fx x EI Fx f DA (b) 为使梁跨度中点C与梁端A的挠度数值相等，即使 x EI xlFx EI Fx EI xlFx 2 )2( 38 )2( 32 得 12 lx152. 0 为使梁跨度中点 C 的挠度最大，由式（a） ，并令 0128 8d d 2 xlx EI F x fC 得 6 l x 7-14 图示各刚架，各截面的弯曲刚度与扭转刚度分别为 EI 与 GIt，试用叠加法计算 自由端形心 C 的水平与铅垂位移。 题 7-14 图 (a)解：由图 7-14a 可以看出，在力偶矩Fa作用下,杆段 AB 的截面 B 产生水平位移Bx与 转角 B ，其值分别为 )( )( )( 22 )( 22 EI Fah EI hFa EI Fah EI hFa B Bx 由此得截面 C 的水平与铅垂位移分别为 )( 2 2 EI Fah BxCx )( )3( 3 3 23 ha EI Fa a EI Fa BCy 13 图 7-14 (b)解：由图 7-14b 可以看出，杆段 AB 处于弯扭受力状态，截面 B 的铅垂位移与转角分 别为 )( )( 3 t 3 GI Fal EI Fl B By 由此得截面 C 的水平与铅垂位移分别为 0 Cx )( 3 3 3 3 3 t 2333 EI Fa GI Fal EI Fl EI Fa a EI Fl BCy 7-16 试用叠加法计算图示各阶梯形梁的最大挠度。设惯性矩 I2 = 2I1 。 题 7-16 图 (a)解：容易判断，最大挠度发生在截面C处（见下图） 。 如图 7-16a(1)所示，梁段AB在 F 和 Fa 作用下，有 )( 4 3 2 3 2 1 2 2 2 22 2 EI Fa EI Fa EI aFa EI Fa B 和 14 )( 12 5 6 5 23 1 3 2 3 2 2 2 3 EI Fa EI Fa EI aFa EI Fa B 图 7-16a 由图(2)可得 )( 3 1 3 EI Fa C 最后，应用叠加法求得最大挠度为 CBBC a )( 2 3 34 3 12 5 1 3 1 3 1 2 1 3 EI Fa EI Fa a EI Fa EI Fa (a) (b)解：不难判断，最大挠度发生在中间截面G处。 图 7-16b 如图 7-16b(1)所示，由于左右对称，截面G的转角必然为零。由此可将图(1)求 G 的问题 转化为图(2)所示悬臂梁求挠度 B 的问题， 并可利用本题(a)中所得的结果， 只需将式(a)中的 F更换为2/F即可。最后求得的最大挠度为 )( 4 3 ) 2 ( 2 3 1 3 1 3 EI FaF EI a BG (b) 15 7-17 图示悬臂梁，承受均布载荷 q 与集中载荷 ql 作用。材料的弹性模量为 E，试计 算梁端的挠度及其方向。 题 7-17 图 解： )( 16 3 )2(8 12 8 4 4 3 44 Eb ql bEb ql EI ql z Cy )( 2 )2(3 12 3 )( 4 4 3 43 Eb ql bbE ql EI lql y Cz 梁端的总挠度为 4 4 22 4 4 22 01. 2 2) 16 3 ( Eb ql Eb ql CzCy 其方向示如图 7-17，由图可知， 36. 5 32 3 tan Cz Cy 图 7-17 7-19 试求图示各梁的支反力。设弯曲刚度 EI 为常数。 16 题 7-19 图 (a)解：此为三度静不定问题，但有反对称条件可以利用。 此题以解除多余内约束较为方便。在 e M作用面B处假想将梁切开，并在其左、右面各施 加一2/ e M，在切开截面仅有反对称内力 B FS存在，示如图 7-19a。 图 7-19a 变形协调条件为 0 BB ww (a) 截面B的挠度之所以为零，这是由反对称条件决定的。 利用叠加法，得 3S2e ) 2 ( 3 ) 2 )( 2 ( 2 1l EI F l M EI w B B (b) 将式(b)代入式(a)，于是得 l M F B 2 3 e S 方向如图所示。 据此可求得其它支反力为 )( 4 )( 4 )( 2 3 )( 2 3 ee ee M M M M l M F l M F CA CyAy ， ， (b)解：此为两度静不定问题。可在梁间铰B处解除多余约束，得该静不定结构的相当系 统如图 7-19b 所示。 图 7-19b 变形协调条件为 BB ww (d) 物理关系为 EI aF w EI aF EI qa w By B By B 3 38 33 4 ， (e) 17 将式(e)代入式(d)，得 16 3qa FBy 由相当系统的平衡条件，求得其它支反力为 )( 16 3 )( 16 5 )( 16 3 )( 16 13 22 qa M qa M qa F qa F CA CyAy ， ， 7-21 题 7-20 所示传动轴，由于加工误差，轴承 C 处的位置偏离轴线= 0.25mm， 试计算安装后轴内的最大弯曲正应力。已知轴的弹性模量 E = 200GPa。 解：此为一度静不定问题。 传动轴的相当系统示如图 7-21。变形协调条件为 wC (a) 图 7-21 在多余支反力 Cy F作用下，截面C的挠度为 EI lF w Cy C 3 2 3 (b) 将式(b)代入式(a)，得 EI lFCy 3 2 3 由此得 3 2 3 l EI FCy 由图可知，梁内的最大弯矩发生在截面B，其值为 2 max 2 3 l EI lFM Cy 由此得梁内的最大弯曲正应力为 MPa9 .46Pa1069. 4 m200. 04 N050. 000025. 0102003 4 d3 )( 2 3 7 22 9 22 max max l E W I l E W M zz 7-22图示结构， 梁AB与 DG用 No18 工字钢制成， BC为圆截面钢杆， 直径 d = 20 mm， 18 梁与杆的弹性模量均为 E = 200 GPa。若载荷 F = 30 kN，试计算梁与杆内的最大正应力，以及 横截面 C 的挠度。 题 7-22 图 解：设杆 BC 受拉，轴力为 FN。在载荷 F 与轴力 FN作用下，梁 DG 中点 C 的铅垂位移为 EI aFF EI FF C 6 )( 48 )(2a)( 3 N 3 N 1 梁杆结构 ABC 的下端截面 C 的铅垂位移则为 EA aF EI aF C )7 . 0( 3 N 3 N 2 根据变形协调条件， EA aF EI aF EI aFF)7 . 0( 36 )( N 3 N 3 N 得 2 N 4 . 1 13 Aa I F F (a) 对于No18工字钢， 3-64-54 m10185 ,m101.661660cmWI 杆BC的横截面面积为 24- 2 m1014. 3 4 (0.02m) A 代入式（a） ，得 N10818. 9 m)2)(m1014.(3 )m10.661 (4 . 1 13 N1030 3 22-4 45 - 3 N F 而梁AB与DG的最大弯矩则分别为 mN19636m)2(N)10818. 9( 3 Nmax, aFMAB mN20182 2 m)2(N)10818. 9N1030( 4 2)( 33 N max, aFF MDG 根据上述分析，得杆BC横截面上的正应力为 MPa3 .31 m1014. 3 N10818. 9 2-4 3 BC 19 梁内的最大弯曲正应力为 MPa1 .109 m10185 mN20182 36 max, max W MDG 而截面C的挠度则为 8.11mmm1011. 8 )m101.66)(Pa10200(6 m)2(N)10818. 9N1030( 6 )( 3- 45 -9 3333 N 1 EI aFF C 7-23图 a 所示结构，由梁 AB 与杆 CB 组成，并承受铅垂载荷 F 作用。梁各截面的弯 曲刚度均为 EI，杆各截面的拉压刚度均为 EA，且 I=Al2/2，试计算梁的最大弯矩与杆的轴力。 题 7-23 图 解：本问题属于一度静不定。在载荷 F 作用下，杆 BC 轴向受拉，轴力用 FN表示，梁的 受力如图 b 所示。 设杆的轴向变形为l，梁截面 B 的挠度为，则变形协调条件为 l2 (a) 梁截面 B 的挠度为 3 2 3 N EI l F F 杆的轴向变形为 EA lF EA lF l NN 22 将上述二式代入式（a） ，得补充方程为 EA lF EI l F F N 3 N 2 3 2 由此得杆 BC 的轴力为 123 2 2 6 2 2 N F l A I Fl F 而梁的最大弯矩则为 123 23 2 N max Fl l F FM 20 7-24 图示刚架，弯曲刚度 EI 为常数，试画刚架的弯矩图。 题 7-24 图 解：图 a 与 b 所示结构均为一度静不定问题。解除C端的多余约束，代之以多余约束反 力 Cy F，由变形协调条件 0 Cy 解得此二刚架的多余约束反力依次为 )( 8 1 )( 8 9 e qaF a M F CyCy ， 此二刚架的弯矩图分别如图 7-24a 和 b 所示。 图 7-24 7-25 图 a 所示梁，弯曲刚度 EI 为常数。若欲使梁端支座 A 旋转，则需在 A 端施加 多大的力偶矩 MA，并求相应的支反力。 题 7-25 图 21 解：取相当系统如图 b 所示，在 FAy与 MA作用下，截面 A 的挠度与转角分别为 EI lM EI lF y A Ay A 23 2 3 EI lM EI lF A Ay A 2 2 由上述二式，并分别令 AA y , 0 即 0 23 2 3 EI lM EI lF A Ay EI lM EI lF A Ay 2 2 经联立求解，于是得 l EI MA 4 ， 2 6 l EI FAy 并从而有 l EI MB 2 ， 2 6 l EI FBy 7-26 如图 a 所示，一长度为 l、弯曲刚度为 EI、重量为 W 的细长直梁，放置在水平 刚性平台上。设在梁端施加铅垂载荷 F=W/3 后，部分梁段离开台面，试求分离段的长度 a、 梁端的挠度与梁内的最大弯矩。 题 7-26 图 解：梁段 BC 与水平刚性平台紧贴，各截面的挠度、转角与曲率均为零，即 0)( , 0)( , 0)( xwxwxwax时，当 22 当不考虑剪力对梁变形的影响时，弯矩与梁轴曲率)( x w 成正比，所以，梁段 BC 各截面的弯 矩均为零，横截面 B 的弯矩也为零。 根据上述分析，梁段 AB 可简化为悬臂梁（图 b） ，但截面 B 处的支反力偶矩为零，即 0 2 1 3 2 a l W a W MB 由此得 3 2l a (a) 利用叠加法，得截面 A 的挠度为 EI a l W EI aW wA 833 43 将式（a）代入上式，得 243 2 3 EI Wl wA 梁段 AB 的弯矩方程为 2 1 2 1 3 x l W x W xM 而在梁段 BC 内，各截面的弯矩均为零，于是得梁的弯矩图如图 c 所示，最大弯矩为 18 max Wl M 7-27 如图所示，梁左端 A 固定在具有圆弧形表面的刚性平台上，自由端 B 承受载 荷 F 作用。试计算截面 B 的挠度及梁内的最大弯曲正应力。平台圆弧表面 AC 的曲率半径 R、 梁的尺寸 l，b 与以及材料的弹性模量 E 均为已知。 题 7-27 图 解：1.计算截面B的挠度 设在F作用下梁段AD与圆弧形表面贴合，并设DB段的长度为x，则由图 7-27a 得 EI Fx R 11 由此得 FR EI x (a) 23 图 7-27 由于贴合段梁的曲率为常值，可知此段的弯矩也是常值。据此可画出梁的弯矩图，示如 图 b。根据梁的约束条件及图 b，可进一步推知其受力情况，示如图 c。 由图 c 得截面B的挠度为 EI Fx x EI xlFx EI xlFx wB 3 )( 2 )( 3 2 (b) 再将式(a)代入式(b)，化简后得到 )( 6 )( 2 32 2 2 RF EI R l wB 2计算梁内的最大弯曲正应力 由图 b 可知，梁内的最大弯矩（绝对值）为 R EI M max 由此得最大弯曲正应力为 R E 2 max 7-28 图示匀质梁，放置在水平的刚性平台上，若伸出台外部分 AB 的长度为 a，试 计算台内梁上拱部分 BC 的长度 b。设弯曲刚度 EI 为常数，梁单位长度的重量为 q。 题 7-28 图 解：由于此梁在截面C以右的部分曲率处处为零，因此截面C处的曲率、转角及弯矩也 都为零，即 24 0 0 CC M， 假想此梁从截面C处切开，并取梁段AC为研究对象，可将其画成图 7-28 所示的外伸梁。 图 7-28 由以上分析可知，在均布载荷q（梁自重）作用下，有 0 6224 23 EI bqa EI qb C 由此得到 ab2 顺便指出，这种解法是初等的，未考虑剪切变形的影响，致使分离面 C 处出现集中力形 式的支承反力。 7-29 图示匀质梁， 放置在水平刚性平台上。 若在横截面 A 作用一铅垂向上的载荷 F， 试建立该截面的挠度与载荷 F 的关系。设弯曲刚度 EI 为常数，梁单位长度的重量为 q。 题 7-29 图 解：可从该匀质梁的上拱部分提取力学模型，如图 7-29 所示。 图 7-29 与上题相同的理由，这里有简支梁两端截面的转角和弯矩均为零。 由图可知，截面A的挠度为 EI ql EI Fl 384 5 48 4 3 (a) 该梁左端截面的转角为 EI ql EI Fl C 2416 3 2 (b) 由于 0 C 25 故有 qlF 3 2 或写成 q F l 2 3 (c) 将式(c)代入式(a)，得到 3 4 43 2048 9 ) 2 3 ( 384 5 ) 2 3 ( 48EIq F q F EI q q F EI F 7-30 图示梁 AB 与 CD，B 端、C 端与刚性圆柱体相连，其上作用一矩为 Me的集中 力偶。试画梁的剪力、弯矩图。设二梁各截面的弯曲刚度均为 EI，长度均为 l，圆柱体的直径 为 d，且 d = l/2。 题 7-30 图 解：此为三度静不定结构，有反对称条件可以利用。 该结构相当系统的一部分如图 7-30a 所示。 图 7-30 静力学方面，由刚性圆柱体的力矩平衡可得 e1 2MFdM (a) 几何方面，考虑梁AB，其截面B的挠度与转角之间应满足协调关系(请读者自己画出结 构变形图以帮助理解） ) 2 (dw BB (b) 26 物理方面，有 EI Fl EI lM EI lM EI Fl w BB 2 23 2 1 2 1 3 ， (c) 将式(c)代入式(b)，得补充方程 ) 2 ( 223 2 1 2 1 3 EI Fl EI lM d EI lM EI Fl 注意到2/ ld ，由上式得 FlM 18 11 1 (d) 将式(d)与式(a)联解，得 e1 e 31 11 31 18 MM l M F， 求出F和 1 M后，画梁AB的剪力与弯矩图分别如图 b 与 c 所示。梁CD的剪力图与图 b 左右对称，其弯矩图与图 c 反对称，这里未画出。 7-31 图示静不定梁 AB，承受集度为 q 的均布载荷作用。已知抗弯截面系数为 W， 许用应力为。 (1) 试求载荷的许用值q； (2) 为提高梁的承载能力，可将支座 B 提高少许，试求提高量的最佳值及载荷 q 的相应 许用值q 。 题 7-31 图 解：(1) 求0时的q 此为一度静不定问题。解除B端的多余约束，代之以多余反力 By F，将截面B的挠度 EI ql EI lF w By B 83 4 3 (a) 代入变形协调条件 0 B w 可得 8 3ql FBy (b) 自B端向左取坐标x，弯矩方程为 27 2 2 )(x q xFxM By (c) 由条件 0 d )(d x xM 得)(xM取极值的位置为 q F x By 0 (d)