（概率论与数理统计专业论文）t分布与标准正态分布近似转化的研究.pdf

，、： s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rs u np i n g n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y d e c e m b e r2 0 0 7 j “ 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 = 也 思0 学位论文作者签名：夕 饼 日 期：伽崎仰硼 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： j，llj 东北大学硕士学位论文 摘要 t 分布与标准正态分布近似转化的研究 摘要 本文研究了t 分布与标准正态分布的近似转化问题，分别得到两种分布的概率 密度函数、分布函数以及分位点之间的关系，表达式精确至自由度n 的7 阶。t 分 布和标准正态分布的应用非常广泛，尤其在测量不确定度的问题上，经常出现自由 度不为整数的情况，用传统的查表方法难以得到精确的结果，必须用s p s s 和s a s 等统计软件计算。本文推出的公式从理论上较好的解决了这类问题。论文首先介绍 了t 分布和标准正态分布及本文的主要工作，其次介绍了本文所要用到的关于数学 分析，不确定度方面的知识，然后利用这些知识对两种分布的密度函数和分布函数 进行展开，求得两种分布的密度函数和分布函数的近似关系，在此基础上，推出两 种分布的分位点之间的相互表达式。最后对于推出的公式在实际问题中进行检验和 应用。 关键词：t 分布；标准正态分布；分位点；不确定度 东北大学硕士学位论文a b s t r a c t r e s e a r c ho na p p r o x i m a t et r a n s f o r m a t i o no f j - l 一 t - d i s t r ib u t i o na n ds t a n d a r dn o r m a l d i s t r i b u t i o n a b s t r a c t t h i st h e s i sr e s e a r c h e st h ea p p r o x i m a t et r a n s f o r m a t i o no ft - d i s t r i b u t i o na n ds t a n d a r d n o r m a ld i s t r i b u t i o n f o rp r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o n ，d i s t r i b u t i o nf u n c t i o na n dc r i t i c a l v a l u eo ft w ok i n d so fd i s t r i b u t i o n ，w eo b t a i nt h er e l a t i o n so ft h e mb ym a t h e m a t i c a l d e d u c i n g t h ef o r m u l a s a r ea c c u r a t et os e v e no r d e r so ft h e d e g r e eo ff r e e d o m t - d i s t r i b u t i o na n ds t a n d a r dn o r m a ld i s t r i b u t i o na r ew i d l yu s e d ，e s p e c i a l l yi nt h ep r o b l e m o fu n c e r t a i n t y , t h ed e g r e eo ff r e e d o mi sf r e q u e n t l yn o ti n t e g e r ，t h ec a l c u l a t i o ni sm u s tb y t h es o f t w a r eo fs p s sa n ds a s w i t h o u tf a m i l i a rw i t ht h a t ，t h ef o m u l a r sw ed e d u c e d c o u l ds o l v et h i sp r o b l e mw e l l w ef i r s t l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo f t - d i s t r i b u t i o na n ds t a n d a r dn o r m a ld i s t r i b u t i o na n dt h em a i nr e s u l to ft h i st h e s i s ，t h e n g i v es o m ek n o w l e d g ea b o u tm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n du n c e r t a i n t y u s i n gt h ek n o w l e d g e w ee x p a n dt h ep r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o na n dd i s t r i b u t i o nf u n c t i o na n do b t a i nt h es e v e n o r d e r sa c c u r a t ef o r m u l a so fp r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o na n dd i s t r i b u t i o nf u n c t i o no ft w o k i n d so fd i s t r i b u t i o n ，f u r t h e r m o r ew eg e tt h ee x p r e s s i o n so fp e r c e n t i l e so ft - d i s t r i b u t i o n a n ds t a n d a r dn o r m a ld i s t r i b u t i o n b yu s i n gd i f f e r e n tn u m b e ri nt h ef o r m u l a so b t a i n e d ， w ed i s c u s st h er e a s o n a b l eo ft h ed e d u c i n g ，t h e na p p l i c a t et h ef o r m u l a si nr e a lp r o b l e m s a tl a s tw et e s ta n da p p l yt h ef o r m u l a si nr e a lp r o b l e m s k e yw o r d s ：t - d i s t r i b u t i o n ；s t a n d a r dn o r m a ld i s t r i b u t i o n ；p e r c e n t i l e s ；u n c e r t a i n t y 1 i i -i 东北大学硕士学位论文目录 目录 声明i 中文摘要i i a b s t r a c t i i i 第1 章引言1 1 1t 分布和标准正态分布的介绍1 1 2 本文的研究背景及意义2 1 3 本文的主要工作2 第2 章预备知识5 2 1 泰勒公式5 2 2 临界点和分位点的关系7 2 3 测量不确定度的概念及分类7 2 3 1 标准不确定度的确定8 2 3 2 合成不确定度的确定。8 2 3 3 扩展不确定度的确定9 第3 章，分布与标准正态分布的近似转化1 1 3 1t 分布的概率密度函数的展开。1 1 3 2t 分布的分布函数的展开1 4 3 3 标准正态分布分位点k 以t 分布分位点t 表达1 6 3 4f 分布分位点f 以标准正态分布分位点k 表达1 9 第4 章两种分布近似转化的应用2 3 4 1t 分布概率密度函数数值的计算2 3 4 2t 分布概率分布函数数值的计算2 3 4 3 不确定度评定2 4 4 4 矿产品抽样方法检验2 5 第5 章总结2 7 5 1 本文综述2 7 5 2 下一步该做的工作一2 7 参考文献2 9 致诩寸3 1 i v 东北大学硕士学位论文第1 章引言 第1 章引言 1 1t 分布和标准正态分布的介绍 正态分布于十九世纪初由德国著名数学家高斯( g a u s s ) 在研究测量误差理论时 正式引进，是我们最常见的一种分布，所以又称为常态分布。无论从理论或应用角 度看，正态分布在概率论与数理统计中都占有中心重要地位，而且，它的重要性是 多方面的i 。 正态分布是自然界里最常见的一种分布，例如测量、射击、年龄以及机械制造 过程中所发生的误差都是遵从正态的。人的生理尺寸、农作物的收获量也都非常近 似的服从正态分布。一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个随机 因素所起的作用都不是很大，则这个指标遵从正态分布，这点可以利用概率论的中 心极限定理来加以证明。正态分布具有许多良好的分析性质，由于正态分布的这些 独特性质，对于正态分布的理论研究已经取得了相当完满的结果，为了能够尽可能 地利用这些结果，人们常常把某一个分布来和正态分布相比较，或是设法把某一分 布变换为正态分布，以及用正态逼近作各种近似的计算，以此来解决实际应用中的 许多问题。 正态分布能够导出许多其它的重要分布【2 1 ，如z 2 分布、t 分布和f 分布等等的 推导就是在正态变量的前提下推演出来的，仅就这三个通常被称之为样本分布的分 布而言，它们对于丰富和充实统计推断理论和实践起了巨大的作用。同时，在概率 论与数理统计的理论分析中对于正态分布的分布类型大多有着成熟的结论，借此验 证了我们许多假设的正确。因此，正态分布是概率与数理统计理论中起着重要意义 的分布。 t 分布又称为“学生氏分布，是w s g o s s e t t 在1 9 0 5 年首先发表的。当时为了 摆脱他的老板的专利权，他用笔名“s t u d e n t ”发表了他的文章。由于概率论的发展， 大子样推断理论已日趋完善，但大子样的抽取在人力、物力上花费较大，时间耗费 较长，科研、生产中对大子样抽取往往存在许多实际困难，因此采用小子样推断， 上述缺点可以避免，又可保证检验的科学性。 在实际工作中，t 分布广泛用于不确定度评定和检验分析等实际问题【3 】f 4 1 ，t 分 东北大学硕士学位论文第1 章引言 布是概率统计进入实际应用的重要标志。如果统计量的总体方差盯2 己知的话，则可 应用正态分布知识解决问题。然而大多数实验场合，总体方差仃2 不知道，需要从实 验中得到的一组数据中去求样本方差s 2 ，如果样本很大，可以近似用s 2 代替o r 2 ， 而许多情况测得的一组数据不够多，这种小样本情况仍用正态分布来处理就会带来 很大误差，正确处理这一情况则需要应用t 分布【5 1 。 1 2 本文的研究背景及意义 t 分布的概率密度函数我们已经很熟悉了，但是其分布函数则要由定义获得， 也就是用对密度函数进行积分的方法得到。由于密度函数的形式比较复杂，所以积 分工作会随着随机变量和自由度的复杂化而变得难于计算，甚至无法通过积分得出 结果。而用定义由分布函数的取值计算随机变量的数值也很繁冗，一般人们利用例 如查表法、e x c e l 工具来进行数值计算。随着科学研究的发展，t 分布在不确定度的 评定及精细计算、抽样检验以及疾病医疗中得到了广泛的应用，而往往在这些问题 中对于t 分布的自由度的要求由整数变为小数，传统的方法不能应对这种变化，s p s s 和s a s 两种统计软件的出现解决了这类问题。 对于t 分布和标准正态分布的概率密度函数和分布函数，可以通过将t 分布的密 度函数的每一部分展开，得到其关于标准正态分布的密度函数的表达式【刚，本文利 用这种思想，将表达式精确至自由度t 的一7 阶，并由分布函数的定义，对于密度函 数的表达式进行积分，得到分布函数的表达式，并由此推出两种分布的分布函数取 值相同时，分位点的相互表示。得到的表达式可以解决t 分布的分布函数和分位点 的求值问题，利用推出的公式可以避免查表和e x c e l 对于自由度必须为整数的局限 性，通过实例计算，得到的结果和统计软件是一致的，从而从理论上解决了这类计 算问题。 1 3 本文的主要工作 t 分布和标准正态分布在统计学中有着非常重要的地位，本文对于两种分布的 概率密度函数、分布函数以及分位点进行研究，得出他们之间的关系，推导式精确 至自由度以的一7 阶，并通过代入具体数值讨论了推出的公式的合理性，并且在不确 定度评定和矿产品检验的实例中对于推出的结果进行了应用，解决了实际的问题。 从理论的角度解决了自由度不为整数的t 分布的计算问题。 2 东北大学硕士学位论文第1 章引言 m 炉蔫等 标准正态分布的密度函数为 m ) z 去p 、二兀 首先通过对t 分布的密度函数进行展开，得到它和标准正态分布的密度函数之 间的关系式： ，( f ，万) 刊删砉孚 由于t 分布的分布函数为： 心，万) = ，。，( f ，以渺， 。 由概率密度函数和分布函数之间的关系，通过对于所推出的概率密度函数的近似表 达式进行积分，求得t 分布的分布函数p ( f ，刀) 和标准正态分布的分布函数m o ) 之间的 关系式： 讹小毗) 一嘶) 器驸 l 当t 分布和标准正态分布的分布函数相等时，即 p ( f ，以) - l 厂o ，一渺一驴o 一西 )，一， 对于两种分布的分布函数展开比较，得到标准正态分布的分位点k 以t 分布的分位点 t 表达的式子： + 砉砉蚴 接着由上述的表达式反演出t 分布的分位点t 由标准正态分布的分位点k 表达的 式子： + 妻砉 ， 最后在实际应用中利用推出的表达式进行计算，验证了推出公式的合理性。尤 东北大学硕士学位论文第1 章引言 其是在不确定度评定和矿产品检验的问题上，可以有效而直观的解决自由度不为整 数的情况下，对于t 分布概率密度函数、分布函数和分位点的求值问题。 4 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 2 1 泰勒公式 第2 章预备知识 泰勒中值定理：如果函数厂o ) 在含有x o 的某个开区问( 口，b ) 内具有直到0 + 1 ) 阶 的导数，则对任一x e ( a ，b ) ，有 ，= f ( x o ) + ，滩一而) + 笋g 一而) 2 + + 挚。一两广+ r 上式称为泰勒公式。 其中 删= 需。训一+ 1 这里宇为与x 之间的某个值。 证明：令 以( x ) = f ( x o ) + f ( x o x z 训+ 掣。训2 + + 掣彬 以( x ) = + 一而) + 上去半。一而) 2+ + 掣。一而) “ 贝i j r o ) 一厂( 工) 一p x ( j ) 只需要证明毛一号兰鲁。一而广1 ， 亭为与x 之间的某个值。 r o ) 在开区间( 口，6 ) 内具有粤到q + 1 ) 阶的导数，且 r ( x o ) - r ( x o ) = r ：( x o ) - 一时( 而) 一。 对两个函数r o ) 及( 工一) ”1 在而与x 为端点的区间应用柯西中值定理， 器嚣x - x o 掣) - 02 器- x o ) 岛在咖加)( x 一) ”1 ( ”1 ( 刀+ 1 ) ( 岛 。 矶一 再对o ) 与( 刀+ 1 ) ( x - x o ) “在以而和岛为端点的区间上应用柯西中值定理， 石器。石譬糕- , c o ) - 02 n ( = n 器( 受在与缶之间)( 以+ 1 ) ( 爵一) 4 ( 刀+ 1 ) ( 岛 “ + 1 ) ( 岛一) ”1 砣。”。砚 依次推出， 器一觜( 亭在与毛加地在毛瓢加) r ( 槲o ) 厂( 1 ( 工)( 毋+ 1 ( 工) 0 ) 5 一 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 因此， 洲- 需广1 ， ( 亭为与x 之间的某个值) 。 如果对于某个固定的咒，当x ( 口，6 ) 时，l 厂州( 工) i sm ，则 r o ) l 一 ，”1 ( 亭) ( n + 1 ) 1 0 一x o ) ”1 s q + 1 ) ! l i m 墨盟。o x ( x - - x 0 ) “ 即当x 呻而时，r ) - o ( x - x o ) “】称为佩亚诺余项。 一x o ) r ， 如果取一0 ，则亭在0 与x 之间，泰勒公式则转化为带有佩亚诺余项的麦克劳 林公式： 则近似公式为： m 州o ) + ，( 岍掣 + ，”( o ) 刀! _ ，( o ) + ，协+ 掣 + 误差估计式则相应变成l 心o ) 每 常用初等函数的麦克劳林公式： m o + 1 ) ! 工r i ，。1 + 工+ + + 兰+ 2 1矗! x 4 + d 0 “) 厂“( 0 ) ，+ 1 厅! h ( 1 + 工) z 工一萼+ 手一+ ( 一矿篙+ 。“) ( 1 + 工) ”= 1 + 眦+ m ( m r - 1 ) 工2 + 一争扣+(矿丽x2n+lsmx - - 1 +o(x5 舢2 )一工一一+ 一+ i 1 - 一+ 一， 3 l ! 、7 ( 2 ，l + 1 11 、 -一面x2+百x4一百x6cosx 1 + + ( - i 矿高+ o ( ( x 2 j - ) - 一一+ + + i l 一一+ ， 2 14 ， 倪 、7 ( 锄) ! 7 6 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 2 2 临界点和分位点的关系 已知一个随机变量x ，它所服从的分布的密度函数为f ( x ) ，在置信概率p 下的 临界点a 要满足式子 p ( 小口) = 厂( 工皿= p 由临界点的概念，自由度为以的f 分布在置信概率p 下的临界点0 ( 甩) 则要满足： 州s 。( n ) ) = _ ：) ，( f ，咒如= p 标准正态分布置信概率p 下的临界点k 则要满足： p ( 小七) 一驴( 石皿一p 由于f 分布和标准正态分布的概率密度函数都具有对称性，因此在置信概率p 下 的临界点f ，( 刀) 和七就是概率中定义的上( 1 一p ) 2 分位点。 当置信概率相同时，也就是式子 州s 。( 以) ) 一：) ，( ，厅如一p p ( 小七) 一正9 ( z 皿 成立时，两种分布的临界点对应的分布函数的值也应该相同，即 p ( t ，( 甩) ，以) 。( 七) 。华 2 3 测量不确定度的概念及分类 测量不确定度( u n c e r t a i n t yo fm e a s u r e m e n t ) 是与测量结果相关联的参数，用于表 征合理地赋予被测量值的分散性。它意味着对测量结果的正确性或准确度的可疑程 度，是用于表达测量结果的质量优劣的一个指标。即使不确定度的数字很大，测量 结果也有可能接近于被测量真值( 尽管是未知的) ，即不确定度不表示余下的误差， 而只表示对被测量真值认识不足的程度。有时，简称为不确定度。不确定度是与测 量结果紧密相联的，离开了“测量”这个过程，测量不确定度是不存在的。一个完 整的测量结果一般应包括对被测量的最佳估计及其分散性参数两部分。分散性参数 即为测量不确定度，它应包括所有的不确定度分量。即除了不可避免的随机影响对 7 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 测量结果的贡献外，还应包括由系统效应引起的分量，诸如一些与修正值和参考测 量标准有关的分量，它们对分散性均有贡献1 7 1 【8 1 。 测量不确定度在使用中根据表示的方式不同有三种不同的术语【9 j ：标准不确定 度、合成不确定度和扩展不确定度。标准不确定度( s t a n d a r du n c e r t a i n t y ) ：用标准差 表示测量结果的不确定度，一般用符号u 表示；合成( 标准) 不确定度( c o m b i n e d s t a n d a r du n c e r t a i n t y ) ：当测量结果由若干个其他量的值求得时，测量结果的合成不 确定度等于这些量的方差和协方差加权和的正平方根，其中权系数按测量结果随这 些量变化的情况而定。合成不确定度一般用符号“。表示；扩展不确定度( e x p a n d e d u n c e r t a i n t y ) ：规定了测量结果取值区间的半宽度，该区间包含了合理赋予被测量值 的分布的大部分。扩展不确定度用符号u 或u 。表示。 2 3 1 标准不确定度的确定 标准不确定度的a 类评定方法【1 0 l ： 用对被测量重复观测并根据测量数据进行统计分析的方法，得到的实验标准偏 差就是a 类标准不确定度，即髯一仃。当被测量y 取决于其他五，x ：，以时，则y 的 估计值y 的标准不确定度以，将取决于置的估计值t 的标准不确定度u 而，为此要首先 评定丐的标准不确定度其方法为：在其他x ，( j 一f ) 保持不变的条件下，仅对置 进行刀次等精度独立测量，用统计法由厅个观测值求得单次测量标准差q ，则鼍的 标准不确定度1 1 。的数值按下列情况分定：如果用单次测量值作为x ；的估计值墨，则 ， 一q ：如果用甩次测量的平均值作为置的估计值薯，则一 标准不确定度的j 5 f 类评定方法： 当被测量x 的估计值x 不是由重复观测得到时，估计方差“；或标准不确定度u 。， 可用石的有关信息或资料来评定。这时要根据经验或有关的信息和资料，分析判断 被测量的可能区间( 一a , a ) ，并假设被测量值的概率分布，由要求的置信水平( 包含概 率) 估计包含因子k ，则测量不确定度叱为：心一形，其中口为区间的半宽度。 2 3 2 合成标准不确定度的确定 当测量结果受多种因素影响形成了若干个不确定度分量时，测量结果的标准不 确定度用多个标准不确定度分量合成后所得的合成标准不确定度u 。表示。根据情况 的不同“，的求法如下1 1 1 l ： ( 1 ) 如果测量结果的标准不确定度包含若干个不确定度分量，可用各不确定度分 8 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 量的合成得到。当各分量互不相关时， 合成标准不确定度为单个标准不确定度的 平方和根值，即l l c 。善m ? ( 2 ) 如果被测量y 由n 个其他量x 。，x ：，j 的函数关系确定： 】，= ，( x l ，x 2 ，彳) 这些五包括了对测量结果的不确定度有明显的贡献的量。被测量】，的估计值为 y ，n 个输入量的估计值为而，屯，。因此测量结果为y = ，( _ ，屯，如) ，测量结果 的合成标准不确定度比。( y ) 为： 引y ) t 羹( 善卜( 玎+ 2 萋薹善毒“( 誓 ) 其中，以( 毛) 为毛的不确定度；要为薯的灵敏度系数；“( 毛，工，) 为毛和z ，之间的 捉 相关系数。 2 3 3 扩展不确定度的确定 在一些商业、工业、规范应用中，以及当涉及健康与安全时，常需要提供一个 不确定度测度，以给出测量结果区间，合理赋予被测量的值分布的大部分可望含于 其中，这个不确定度测度成为扩展不确定度 1 2 - 1 4 1 。 ( 1 ) 扩展不确定度u 的表示 u 由合成不确定度l l c ( y ) 乘以包含因子七得到，即u = k u 。( y ) 测量结果可表示为 y ；y u ，y 是被测量】，的最佳估计值。 ( 2 ) 包含因子七的选择 严格说来包含因子七的计算是基于下式得到： p y 一地。( y ) s ys y + 妇。( ) ，) ) = f 二= 留厂( h ) 咖= p ( 其中p 为置信水平) ( 2 6 ) 根据对被测量y 的掌握情况，包含因子k 的计算方法如下 1 5 - 1 7 1 ： 1 、己知被测量y 的概率密度厂( “) ，此时依据置信水平p ，由式( 2 6 ) 便可得到 包含因子k ，然而由于影响测量结果y 的因素很多，或者由于受测量条件的限制， 没有足够的数据来估计其概率密度函数，因此这种情况很少。 2 、被测量y 由刀次等精度独立测量y l , ) ，：，- y 。计算得到，且只一( ，仃2 ) ，计算 得最佳值为： 9 东北大学硕士学位论文 第2 章预备知识 y = 歹专弘 s ( y ) 一 y 恬) ，砉学小可( y - a ) 叫川) 由f ( 万- 1 ) 分布临界值f pn - 1 ) 知： p 吲卜1 ， 2 p 得到包含因子七一f ，n - 1 ) ，于是由多次测量分散性引起的平均值y 的扩展不确定度 u - t p ( 万- 1 ) s ( y ) 3 、被测量y 由测量模型方程y z 厂( 置，五，彳) 确定，其中x 置，x ：，扎 通 常为一些可直接测量的量，物理量及有关其它量，不妨设置的不确定度和自由度( 求 不确定度时所用总和中的项数与总和的限制条件数之差) 分别为h ( x ；) ，嘎， 根据韦尔奇一萨特思韦特( w s ) 式可得： 掣r ( 以) s ( y ) 弋”7 ) 耋掣，辄) z 脚小都， 从而根据 尸耐引巾 得到包含因子七= t p ( 咒) ，即求得扩展不确定度ut p ( n ) s ( y ) 。 在实际应用中，包含因子k 的值是根据y u 的区间要求的置信水平而选择的。 一般k 在2 3 范围内选取。当k = 2 时，间的置信水平约为9 5 。当要求更高的置信 1 0 第3 章t 分布与标准正态分布的近似转化 自由度为，l 的t 分布概率密度函数为 正态分布的近似转化 f ( t 川一篙盯l + b ，刀) 一- = li i 刀以r ( 二) l ”j h 装c 书山n 灿石 西( 罢) 、2 7 、2 7 由于【1 8 1 ，有展开式 l n ) 一p 一2 ) h ，p - p + 产1 ( 劢) 南一丽1 + 诼1 矿一丽1 矿+ 。矿) l n r 噎) 一j n j 1 ) 1 n 云n 一三+ 三l n ( 幼) + 石1 一石1 + 芤8 孬一面8 + 。o 。8 ) l l l r 吁n + 1 ) 山r ( 三) 山石 ；1 n o + 拟n 钱1 + 扑+ 1 卜去卜+ 别+ 志怫广一1 】 + 志【1 _ ( 1 + 州一1 n n + o ”8 ， 111111l | l21 蕾+ 。_ - _ _ _ _ _ _ 。一_ _ _ _ _ - 。一+ 一 22 2 n2 3 n 2 2 4 n 2 5 n 42 6 n 2 x 7 n 62 8 n 7 22 - 1 1 东北大学硕士学位论文第3 章t 分布与标准正态分布的近似转化 1 ，1 11 1 1 1 、 1 ，3 3 4 3 4 53 4 5 6 + 石【一i + 一1 1 2 一一7 1 3 + 一一n 5 + 了) + 丽【i 一面+ 百一矿 + 志c 寻+ 券m - 8 ，+ 丽( i + 丽) 们) zh2一上+鬲1一鬲124 n2 4 n2 0 n + 品1 1 2 n + 。( 疗趣) j)， 、， l i l ( 1 + x ) 一x 一手+ 手一i x 4 + ”( 一1 z s l ) m 卜1 + 腻+ 1 r e ( m _ - 1 ) + 坐尘掣“( - l x 1 ) 篙一十啪峥山卅 t 洲1 + 一1 2 2 n2 3 x 3 1 1 3 一南+ 南州n 1 2 万懿p 【_ 一一磊+ 瓦而+ 0 i 一洲昙+ 南一南+ 南) + 丢( 11 五万卜2 6 3 2 n 6一丽1 + 赤) + 壶( 杀+ 丽1 一意斋) + 未( 赤一赤) + 壶( 杀+ 去) + 击( 击) + 击( 赤) 枷， + 丽i 虿一7 面j + 页【丽+ 虿丽j + 石i 两j + 而【虿可j + d ( 以。) j 一击1 一击+ 毒+ 嘉一斋一署+ 券+ 筹叫叫。万l 卜石+ 丽+ 丽一万一丽+ 丽+ 万+ 0 【圹l 又可作展开： 。一坐l i l l ( 1 1 - 。i , - ) _ 一一n - 一- 2 、 n 7 - 一譬陪一虿t 4 + 一砉+ 虿t l o 一百1 1 2 + 而t 1 4 一孬1 1 6 + d ( n 1一t l i 一虿+ 虿一石+ 虿一百+ 而一孬+ 0 pj 1 1 2 1_i_lj j ： 一 、， 产一n +l ，l -。_-_。l n 由上式可推得： e x p ( x l + 屯+ 屯+ + 毛+ 气+ 而) 噜叫”矧+ 屯+ + 别+ 卜拍+ 知+ 矧 + x s + x a 毛+ 碣+ 知+ 扣+ 责如+ 别 + 【+ 柏+ 确+ 丢+ 三如+ 主霉+ 毛硝+ 妻如+ 丽6 _ 2 屯2 + 夏5 五4 而+ 云茸 + 卜+ 眠+ 铫+ 弛+ 三也+ 三嘲+ 丢如+ 主也+ 壶矗 因此， + 姜如+ 昙j r 2 + 等瑙+ 张+ j 1 五2 确+ i 7 1 x 7 j + 。僻) 旧百= p 【1 + 击( 一4 ) + 丽1 ( 3 n 2 ) + 衰c m m 6 + 1 1 & s _ 2 2 t l o + t 1 2 ) + ( 2 5 2 0 0 t 8 2 7 9 3 6 t l o + 7 1 6 0 t 1 2 6 0 0 t 1 4 + 1 5 t 1 6 ) + 瓦击葫( 一9 0 7 2 m 1 。+ 1 1 0 8 3 扩一3 4 5 7 矿+ 4 0 4 m 1 6 - 1 9 酽+ 鸳) 1 3 志 东北大学硕士学位论文 第3 章t 分布与标准正态分布的近似转化 故得形式 + 万志( 4 1 9 1 2 6 诎1 2 - 5 5 1 3 5 2 9 & 1 4 + 1 9 8 2 8 3 6 1 6 2 8 9 1 1 6 9 1 8 + 1 9 2 7 8 0 t 一5 7 9 6 t 2 2 + 6 3 t 2 4 ) + 虿i ：j f 苎了i 瓦- ( 一1 5 5 6 7 5 5 2 m 1 4 + 2 1 7 2 3 5 5 2 m 1 6 8 7 1 5 9 4 5 & 1 8 + 1 4 9 5 2 11 2 t 2 0 一1 2 6 1 7 3 & 2 2 + 5 4 3 4 9 2 4 1 1 3 4 t 2 6 + 9 t 勰) + d ( 甩一8 ) 】 m 小嘲) l ；半即略去d ( 呐 m 咖去p 【1 + - 刍n ( - 1 - 2 f + t 4 ) + 赤( 3 + 1 矾跚4 2 8 ) + 互丁妄三( 1 5 6 f 2 3 3 t 4 9 2 t 6 + 1 1 3 f s _ 2 2 f 1 0 + t 1 2 ) + 志( 一9 4 5 1 8 0 m 2 + 1 9 8 m 4 + 6 3 6 m 6 + 1 8 3 3 m s _ 2 6 6 1 & 1 0 + 7 1 0 0 t 1 2 6 0 0 t 1 4 + i s p 6 ) + 万丽1 ( 一1 7 9 5 5 + 1 8 9 m 2 + 4 4 5 5 t 4 - 7 8 0 0 t 6 _ 2 1 2 7 m 8 6 3 撕1 。 + 1 0 3 7 0 2 t 1 2 3 3 9 7 6 t 1 4 + 4 0 2 5 f 6 1 9 0 t t m + 3 t 2 0 l + 瓦万1 忑丽( 2 4 6 3 6 1 5 + 4 5 2 4 触2 _ 2 9 7 6 7 5 0 t 4 - 1 7 1 2 3 4 m 6 1 + 3 7 2 0 4 6 5 t 。+ 9 2 5 4 9 5 2 t l o + 2 8 4 1 7 7 8 9 1 2 5 0 8 1 6 5 2 0 t 1 4 + 1 9 3 0 2 7 3 t 1 6 - 2 8 6 7 2 2 9 1 8 + 1 9 2 4 0 2 t 加一5 7 9 6 t 2 2 + 6 3 f 2 4 ) + i 瓦丽 ( 1 1 1 4 8 6 3 7 5 4 9 2 7 2 3 0 t 2 1 1 1 1 0 3 6 5 f 4 + 1 2 9 3 8 9 4 0 t 6 + 4 5 0 4 8 1 5 t 8 1 4 0 7 8 6 1 0 t 1 0 3 2 6 9 4 6 6 9 t 1 2 1 0 2 9 0 7 5 1 2 2 1 4 + 1 9 7 6 6 6 3 9 7 t 1 6 8 4 2 8 0 2 5 9 1 8 + 1 4 7 5 9 5 2 1 j f 加一1 2 5 5 9 4 0 t 2 2 + 5 4 2 8 5 t 2 4 1 1 3 4 t 2 6 + 9 t 2 8 ) 】 ( 3 1 ) 3 2t 分布的分布函数的展开 已知 1 4 标准正态分布的近似转化 例如： r ，砸矽一一t 卜1 砸) + ro 一驴”2 舛) a t ，j f _ 。t 2 q 口( t ) d t = 一t q a ( t ) + f 。垆o ) 出= 。伊( f ) + 西o ) f 。f 4 伊( f 渺= - t 3 q a ( t ) + 吐。f 2 妒。渺一_ f 3 砸) 一3 t q 一( t ) + 3 西( f ) 因此得到， ，。( 一1 2 t 2 + f 4 砌( f 渺一一f 3 砸) + ( 。( 一1 2 t 2 + 3 t j 2 砌( f 渺 ，一 一 一- - t 3 伊( f ) + 厂( 一l + t 2 切( f ) i 出- f 匆( f ) 一t q a ( t ) + r ( 一1 + 1 ) 妒( f ) 协 j ，一 一- - t 3 驴( f ) 一t q 口( t ) r ( 3 + 1 2 1 2 + 3 0 t 4 2 8 t 6 + 3 t 8 砌( f 渺 ，一 = 一3 t 7 c p ( t ) + r0 + 1 2 t 2 + 3 0 t 4 7 t 6 砌( f 皿 ，o 一一3 t t 驴( t ) + 7 t 5 驴o ) + l ( 3 + 1 2 2 5 t 4 ) 驴( f 渺 一一童7 妒( f ) + 7 t 5 妒( f ) + s t 3 驴1 0 f ) + ，。( 3 3 t 2 ) c p ( t ) d t 。一3 t 7 q a ( t ) + 7 t 5 驴( f ) + 5 f 3 驴( f ) + 3 t 驴( t ) 1 气 东北大学硕士学位论文第3 章t 分布与标准正态分布的近似转化 所以，由式( 3 1 ) p ( f ，小! m 疗妙却o ) ；| ；删 依次推得： 墨( f ) = - 妻- 2 ( t 2 + 1 ) r d t ) = 两1 ( 3 t 6 _ 乃4 5 t 2 - 3 ) r 3 ( t ) = 两1 ( f l o _ 1 1 t s + 1 如6 + & 4 一盈- 1 5 ) ( 3 2 ) ( 3 - 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) l o ) 一虿i 专五否o s t l 4 3 7 5 f 1 2 + 2 2 2 5 t l o _ 2 1 4 1 t 8 _ 9 3 9 f 6 2 1 4 + 9 1 2 + 9 4 5 ) ( 3 6 ) 毛( f ) ；丁未焉 1 8 - 1 3 3 t 1 6 + 1 7 驰1 4 7 5 1 & 1 2 + 5 9 9 如1 0 + 2 4 吣s + l l 诎6 + 1 8 0 t 4 + 5 3 5 5 t 2 + 1 7 9 5 5 ) ( 3 7 ) 瓦( f ) 一万未丽( 钮恐一4 3 4 7 f + 1 0 1 1 1 5 f 1 8 - 9 4 6 0 4 扩+ 3 2 3 7 5 4 丑1 4 - 2 2 5 3 3 9 酽 一8 7 6 2 8 2 t 加一3 8 4 1 5 0 t 8 + 2 6 3 1 1 5 t 6 + 1 2 9 4 6 5 t 4 2 3 2 9 4 2 5 t 2 2 4 6 3 6 1 5 ) ( 3 8 ) r 7 ( t ) = 万未面( 9 t 2 6 8 9 1 t u + 3 2 0 1 m 2 2 - 5 1 9 7 1 m + 3 8 4 5 6 1 t m - 1 1 2 1 3 6 4 酽 + 7 0 3 4 3 6 4 t 1 4 + 2 6 0 7 9 4 8 t 1 2 + 1 2 0 8 6 5 5 t 埔一7 8 3 4 0 5 t 8 2 5 4 5 8 3 0 t 6 - 4 8 8 1 8 7 0 t 4 3 5 5 1 9 7 1 5 t 2 1 1 1 4 8 6 3 7 5 ) ( 3 9 ) 3 3 标准正态分布分位点k 以t 分布分位点t 表达 当p ( t ，订) = o ( i ) 时，求表达式 七一r + 善v 了1 e o ) 将o ( i ) 按泰勒公式在f 展开 v ( t ，刀) 一m ( 七) 1 6 ( 3 1 0 ) 东北大学硕士学位论文第3 章t 分布与标准正态分布的近似转化 叫f ) + 艄卅+ 等) 2 + 乎肚f ) 3 + 掣矿 + 学”) 5 + 学删+ 学删+ d 【删】 由于 9 “( f ) = ( 一1 ) ”h 。( t ) c p ( t ) 得到爱尔米特多项式【1 9 l ： q ( f ) = f h 2 0 ) = f 2 1 h 3 0 ) t f 3 3 t h 4 0 ) = f 4 一c a t 2 + 3 h 5 0 ) = f 5 一l o t 3 + 1 5 t h 6 0 ) - t 6 1 5 t 4 + 4 5 t 2 1 5 于是，由式( 3 2 ) ，得 吣嘲，盼叫却。，推驯卜一。等盼川 3 - ( f 3 叫盟4 1 ， 七, z - f 三n 卜4 搿+ 3 ) 业5 , j l , - q 三 叫5 v m 3 删鲁盼删卜6 啦昨均等鼢叫7 + d ( 门- 8 ) i 中矾) 善砉互( f ) = p ( f ，疗) 所以， 丢b o ) + 也( f ) + 寺色( f ) + n 4 ( t ) + - 砉b s ( t ) + 古瓯( f ) + 1 刀b 7 ( t ) 一 刍忙删2 + b i ( t ) b 2 ( t ) + 4 刀b 2 ( t ) 2 + 吾删删弓删圳 1 7 东北大学硕士学位论文第3 章t 分布与标准正态分布的近似转化 + b 2 ( t ) b 3 ( t ) + 1 刀b 3 ( t ) 2 4 刀b i ( t ) b s ( 咖；岛( f ) 聃) + 4 刀b i ( t ) b 6 ( t ) + 2 ，b ：( f ) 色o ) + 2 - 弓- b 3 ( t ) b 4 ( t ) 刀 n i + 3 - - - 一- ( - 1f 1 b 。( t ) 3 + - 暑b l ( t ) 2 皿( f ) + 砉且o ) 2 b o ) + 吾b o ) b ：o )