（基础数学专业论文）一类具扩散和时滞belousovzhabotinskii系统的行波解.pdf

扬媸大学磺士学链论文 中文摘要 反应扩散方程组经常被用于描述生态模型，在最近的几十年里，由于反应 扩散方程组的行波解在生态模型中的重要的应用，该问题得到了广泛的研究。 最早的例子是1 9 3 7 年k o l m o g o r o v 等人和f i s h e r 给出的，他们给出了行波解的 存在性。以后很多研究抛物方程的行波解方法得到了发展，比如相平面方法， 度理论的方法和凸指数方法。 大量生态学中的真实证据表明时滞起着一个不容忽视的重要的影响，然而 经典的迭代技术对于含时滞的反应扩散方程组的行波解是不适用的。最近，发 展后的单调迭代的方法被用于证明行波解的存在性。w u 和z o u 利用上下解和 迭代技巧的思想构造了上解的单调序列，并且证明了该序列收敛到反应扩散方 程组的行波解。在2 0 0 1 年，m a 利用了s c h a u d e r 不动点理论证明了反应扩散方 程组行波解的存在性，最近b o u m e n i r 和n g u y e n 改进了常微分方程解的p e r r o n 理论，并且用该理论建立了一个严格的单调迭代方法。 然而，上述文献讨论的反应扩散方程组中都需要满足在上下解所限制的集 合内非线性反应项是拟单调的，这样才能保证构造的迭代序列本身是单调的。 在上述工作的启发下本文将p a o 所提出的反应扩散方程组的方法推广应用于证 明行波解的存在性。 本文安排如下： 首先介绍行波解的背景知识。 第l 节考虑一般的带时滞的反应扩散方程组的行波解，这儿反应项具混拟 单调性质，我们定义了相应的行波解的耦合上下解，以耦合上下解为初始迭代 函数构造了耦合迭代序列，并且证明了在一定的单调性条件下该耦合序列收敛 于行波解。 第2 节将行波解的存在性归结为构造耦合拟上下解，耦合拟上下解在实际 计算中更加容易找到。 第3 节考虑拟单增的反应项，引入有序拟上解和拟下解的定义，并且应用 单调迭代方法证明了行波解的存在性。 第4 节考虑了一个具体的带时滞的b e l o u s o v z h a b o t i n s k i i 模型，建立了有 序的拟上解和拟下解并且得到行波解的存在性。 关键词：反应扩散方程组，生态模型，行波解，混拟单调，波前解， b e l o u s o v z h a b o t i n s k i i 系统；上下解；迭代。 刘江：一类具扩散和时滞b e l o u s o v z h a b o t i n s k i i 系统的行波解 a b s t r a c t r e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e m sa r eu s e dt od e s c r i b ee c o l o g i c a lm o d e l s i nt h e p a s td e c a d e s ，t r a v e l i n gw a v es o l u t i o n so fr e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e m sh a v eb e e n i n v e s t i g a t e di n t e n s i v e l yd u et os i g n i f i c a n ta p p l i c a t i o n si ne c o l o g i c a lm o d e l s s i n c et h ef i r s ti n s t a n c e si nw h i c ht r a v e l i n gw a v es o l u t i o n sw e r ei n v e s t i g a t e dw e r e g i v e ni n19 3 7b yk o l m o g o r o ve ta 1 a n df i s h e r , m a n ym e t h o d sh a v eb e e nu s e dt o s t u d yt h et r a v e l i n gw a v es o l u t i o n so fv a r i o u sp a r a b o l i ce q u a t i o n sa n ds y s t e m s ， f o re x a m p l e ，p h a s ep l a n et e c h n i q u e s ，d e g r e et h e o r ym e t h o d sa n dt h e c o n l e y i n d e xm e t h o d e v i d e n c es u g g e s t st h a td e l a yp l a y sar o l eo fi m p o r t a n c ea n dt h e r e f o r ei ti sa f a c t o rt h a tc a l ln o tb ei g n o r e d h o w e v e rt h et r a d i t i o n a li t e r a t i o nm e t h o df a i l st o h a n d l ed e l a y e dm o d e l s r e c e n t l y ，t h ec l a s s i c a lm o n o t o n ei t e r a t i o nt e c h n i q u ew a s u s e dt oe s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fw a v es o l u t i o n s w ua n dz o ue m p l o y e dt h ei d e a o fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sa n da ni t e r a t i o ns c h e m et oc o n s t r u c tam o n o t o n e s e q u e n c eo fu p p e rs o l u t i o n sw h i c hw a sp r o v e dt oc o n v e r g et oas o l u t i o no ft h e c o r r e s p o n d i n g w a v e e q u a t i o n o ft h er e a c t i o n d i f f u s i o n s y s t e m u n d e r c o n s i d e r a t i o n i n2 0 0 8 ，m ap r o v e ds o m ee x i s t e n c er e s u l t sf o rt r a v e l i n g w a v e f r o n t so fr e a c t i o n d i f f u s i o ns y s t e m su s i n gs c h a u d e r sf i x e dp o i n tt h e o r e m m o r er e c e n t l y ，b o u m e n i ra n d n g u y e nd i s c u s s e da m o d i f i e dv e r s i o no ft h ep e r r o n t h e o r e m ，a n ds e tu par i g o r o u sf r a m e w o r kf o rt h em o n o t o n ei t e r a t i o nm e t h o d h o w e v e r ，i nt h ei t e r a t i o np r o c e s sb ym o n o t o n ei t e r a t i o ni ti sr e q u i r e dt h a t t h en o n l i n e a rr e a c t i o nf u n c t i o np o s s e s s e saq u a s i m o n o t o n ep r o p e r t yi nt h es e c t o r b e t w e e nt h eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s m o t i v a t e db yt h ea b o v ew o r kw ew i l l g e n e r a l i z et h eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o nm e t h o dd e v e l o p e db yp a ot op r o v et h e e x i s t e n c eo ft h et r a v e l i n gw a v es o l u t i o n s t h ea r r a n g e m e n to ft h ep r e s e n t a t i o ni sa sf o l l o w s ：f i r s t ，t h eb a c k g r o u n d a n dh i s t o r ya b o u tt h er e l a t e dw o r ka r ei n t r o d u c e df i r s t 扬州大学硕士学位论文尘 s e c t i o n1d e a l sw i t ht h et r a v e l i n gs o l u t i o n so ft h eg e n e r a ld e l a y e dr e a c t i o n d i f f u s i o ns y s t e m ，w h e r et h er e a c t i o nf u n c t i o np o s s e s s e sam i x e dq u a s i m o n o t o n e p r o p e r t y t h ed e f i n i t i o no ft h ec o u p l e du p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s o ft h e c o r r e s p o n d i n gt r a v e l i n gw a v ee q u a t i o nw e r eg i v e n b yt h et e c h n i q u eo fc o u p l e d i t e r a t i o nw h e r et h ei m t i a ld a t ai sap a i ro fc o u p l e du p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，t h e m o n o t o n i c i t yp r o p e r t y i se n s u r e ds u c ht h a tt h e s e q u e n c ec o n v e r g e st o t h e t r a v e l i n gw a v es o l u t i o n m o r e o v e ri ns e c t i o n2w er e d u c et h ee x i s t e n c eo fat r a v e l i n gw a v es o l u t i o n t ot h ee x i s t e n c eo fa na d m i s s i b l ep a i ro fc o u p l e dq u a s i - - u p p e ra n dq u a s i - l o w e r s o l u t i o n sw h i c ha r ee a s yt oc o n s t r u c ti np r a c t i c e s e c t i o n3d e a l sw i t hs y s t e m sw i t hq u a s i m o n o t o n en o n d e c r e a s i n gf u n c t i o n s ， a n dt h ed e f i n i t i o no fo r d e r e dq u a s i - u p p e ra n dq u a s i - l o w e rs o l u t i o n si sf i r s t i n t r o d u c e da n da ne x i s t e n c er e s u l to fat r a v e l i n gw a v e f r o n ti sg i v e nb yt h e m o n o t o n ei t e r a t i o nm e t h o d i ns e c t i o n4t h em a i nr e s u l ti si l l u s t r a t e db ya n da p p l i e dt oad e l a y e d b e l o u s o v - z h a b o t i n s k i im o d e l sw i t hd e l a yf o rw h i c ht h er e q u i r e dp a i ro fo r d e r e d q u a s i - u p p e ra n dq u a s i - l o w e rs o l u t i o n sa lec o n s t r u c t e da n dt h e nt h ee x i s t e n c eo fa t r a v e l i n gw a v e f r o n ti so b t a i n e d k e y w o r d s ：r e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m ，e c o l o g i c a lm o d e l s ，t r a v e l i n gw a v e ， m i x e dq u a s i m o n o t o n i c i t y ，w a v e f r o n t ，b e l o u s o v z h a b o t i n s k i is y s t e m ；u p p e ra n d l o w e rs o l u t i o n s ；h e r a t i o n s 扬州大学硕+ 学位论文 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得 的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体 已经发表的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名匆p 签字日期2 1 年， 月j 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查 阅和借阅。本人授权扬州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文 数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 导师签名：咧穷幺莎毫 签字日期：7 年厂t 月夕日 刘江：一类具扩散和时滞b e l o u s o v z h a b o t i n s k i i 系统的行波解 o 引言 o 1 生物模型简介 “生态( e c o l o g y ) ”一词最早由德国动物学家黑格尔( e h a e c k e l ) 于1 8 6 6 年提出，而人类用数学的方法研究生态问题则更早，在中世纪出现的f i b o n a c c i 序列就是一个典型的例子。数学生态学的系统性研究始于上个世纪二十年代初 期，1 9 2 1 年美国生态数学家l o t k a 研究化学反应和1 9 2 3 年意大利数学家v o l t e r r a 研究鱼类竞争时分别建立了经典的l o t k a v o l r e r r a 模型： 查：x b y ) ，dt 2 x ( a - b y ) ， 鲁叫蹦棚， ( 0 1 ) 该方程组很好地解释了生态现象。从此微分方程及动力系统的新理论和新方法大 量地应用于传染病学、种群生态学、免疫学等问题的研究。 作为生物学与数学之间的边缘学科，数学生物学( m a t h e m a t i c a lb i o l o g y ) 近年来受到广泛的重视，它是以数学方法和工具研究和解决生物学问题。 数学模型可用来表现和描述真实世界某些现象、特征，也可定量地描述生 命物质运动的过程。一个复杂的生物学问题借助数学模型能转变成一个数学 问题，通过对数学模型的逻辑推理、求解和运算，就能够获得客观事物的有 关结论，达到对生命现象进行研究的目的。 生物的大多数模型是关于时间和空间的问题，可用微分方程来表述，特别 是对种群生态学、传染病动力学等模型的研究( 1 ， 9 ， 1 9 ， 3 7 ， 3 8 ， 4 0 ， 4 3 ， 4 5 ， 6 1 ， 6 4 ) 。其中种群生态学( p o p u l a t i o ne c o l o g y ) 是最成熟和最发展的研究领域，它研究种群内部各成员之间，种群与其他生 物种群之间，以及种群与周围环境非生物因素相互作用的规律。 1 7 9 8 年，英国神父m a l t h u s 在出版的著作人口原理中建立了m a l t h u s 方程 _ d x ( t ) ：肛( f ) ， ( o 2 ) 讲 提出了人口按几何级数增长的理论这一理论的建立开创了用微分方程模型 来研究种群生态学的先河。 扬州人学硕十学位论文 1 8 3 8 年，v e r h u l s t 又在其同事q u e t e l e t 所提出的增长阻抗概念的启发下， 提出了著名的l o g i s t i c 方程 鲁= r x ( 1 一 ( o 3 ) 其中常数， 0 为内禀增长率，k 表示该环境能容纳此种群个体的最大数量， 称为环境的容纳量此方程考虑的是在一定环境条件下的某一单种群，并假 定种群的个体不区分大小，在环境的分布是均匀的，且没有迁出和迁入发生， 环境内资源的供给始终保持一常数，且平均分配给每一个个体。 1 9 2 3 年，意大利数学家v o l t e r r a 建立了描述捕食与被捕食的两种群微分 方程模型( 0 1 ) ，该模型很好地解释了f i n m e 港鱼群变化规律，在几乎所有的 生物学教材中都能找到1 9 2 5 年，美国生态数学家a l o t k a 在研究化学动力 学基础上，亦独立地推导出相同的模型，历史上称之为l o t k a - - v o l t e r r a 模 型该模型在提出食饵种群x ( f ) 的增长符合m a l t h u s 方程垒婴：饿( f ) 的基础 a t 上，假定当捕食者y ( t ) 存在时，单位时间内每个捕食者对食饵的吞食量与食 饵种群规模x ( t ) b - 茈j t l l ，比例常数为6 ，从而有堕掣= a x ( ，) 一b x ( ，) y ( r ) 同时， 假定捕食者吞食食饵后，立即转化为能量以供其繁殖增长，设转化系数为口， 捕食种群的死亡率与种群规模y ( t ) 成正比，比例系数为d ，从而又有 了d y ( t ) ：o t b x ( ，) y ( ，) 一d y ( f ) 令c ：a b ，即得l o t k a v o i t e r r a 系统( 0 1 ) 该系 口f 统描述了种群捕食被捕食关系 最近2 0 年，生态模型的研究主要是对种群动态模型的深化，考虑诸如时 滞、迁移、种内种间对环境资源的竞争、取食行为以及功能响应等效应，出 现了众多颇具影响的研究，国内外在这一领域出现了大量文章，吸引了众多 数学家的注意，如国外的h o f b a u e r 和s i g m u n d ( 见 9 ) ，国内的陈兰荪( 文 6 1 ) ，马知恩( 6 4 ) 等 刘江：一类具扩散和时滞b e l o u s o v z h a b o t i n s k i i 系统的行波解 0 2 反应扩散方程行波解的介绍 对于现代数学来说，抛物方程的行波解理论是发展得最快的领域之一，并 且在生物学、化学、流行病学和物理学等学科都有着重要的价值。所谓行波解 ( t r a v e l i n gw a v e ) 是指解在空间传播时性质保持不变。从物理学的观点来看， 行波解刻画了一个平衡点传播的过程，这些传播过程通常不依赖于初始条件与 传播的介质。如果行波解是单调增加的，则称为波前解( w a v e f r o n t ) 。 行波解的研究已有几十年的历史，它最早是由f i s h e r 发现下列方程 一 一0 u 一2 ：，材( 1 一材) ( o 4 ) 研苏2 、。 具有行波解。该方程用于描述突变基因( m u t a n tg e n e ) 在一维空间上的传播情 况，也被称之为f i s h e r k p p 方程。同一年，k o l m o g o r o v 等人也提出了相同的模 型，用于描述具有l o g i s t i c 增长和空间扩散的种群人口演变情况。此外，由于 问题( 0 4 ) 具有广泛的应用背景，相关文献对此作了进一步的研究。 解的存在性是行波解理论的基本问题，单个的反应扩散方程解的存在性已 经被研究得比较透彻了，主要是利用一类特殊抛物方程的比较原理和常微分方 程的相平面分析。对于用反应扩散方程建立各种生物学现象的模型，许多文章 中都有详细的讨论。因为对于反应扩散方程组，比较原理通常不适用而且相平 面分析也变得很复杂，度理论的方法被提出用于处理行波解。 最近，带有时滞的反应扩散方程组的行波解受到很多的关注。在早先的 s c h a a f 工作中，利用相平面分析和抛物方程的极大值原理，作者系统地研究了 两个方程的扩散方程组，该方程的反应项中含有一个离散时滞。对于拟单调以 及含有一个时滞的扩散系统，z o u 和w u 证明了波前解的存在性。 反应扩散方程被用来建立空间时间模式的模型。在过去的几十年里，在化 学工程、种群动力学和生物模型等领域，反应扩散方程的行波解作为一个研究 动力学行为的范例有重要的应用价值，已经得到了广泛的研究。k o l m o g o r o v 等 人 2 3 1 矛t lf i s h e r 1 3 在1 9 3 7 年首先研究行波解，此后，研究各种各样的抛物方程 ( 组) 的行波解在方法上又得到很大的发展，例如，相平面方法 1 0 ，1 1 ，2 0 ， 2 1 ，2 3 ，4 7 ，度理论的方法和凸指数的方法【8 ，1 6 ，1 7 ，5 0 。 扬州人学硕士学何论文 最近又有人使用经典的单调迭代方法构造行波解的存在性，w u 和z o u 5 5 ， 5 6 应用了上下解方法以及单调迭代理论构造上解的单调序列，而且他们证明了 上解序列收敛到反应扩散方程组所对应的波方程的解。 在 2 7 中，m a 应用s c h a u d e r 不动点理论证明了反应扩散方程的波前解存在 性结果。m a 所用方法的不同于w u 和z o u 的之处是，后者波方程的上解在 f 一砌和fo 佃时没有必要分别收敛到两个不同的平凡解。 2 0 0 8 年，b o u m e n i r 和n g u y e n 在 5 】中改进了p e r r o n 定理，讨论了在c 1 上 p e r r o n 定理中的常微分方程的解，并应用进了p e l l r o n 定理对于单调迭代方法建 立了一个严格的理论框架。他们把新的单调迭代方法的理论应用到了一个具体 的带时滞捕食食饵的b e l o u s o v z h a b o t i n s k i i a 模型。 然而，在单调迭代方法的迭代过程中上述方法非常需要非线性反应函数在 上下解所夹的函数集合内具有拟单调的性质【5 ，2 7 ，5 5 。由上述的工作和 p a o 3 5 3 8 所发展的反应扩散方程的上下解方法的启发，我们提出反应扩散方程 对应的行波解方程的耦合上下解的定义。根据耦合迭代的技术，其中迭代初值 是耦合上下解，利用单调性质保证序列收敛到行波解。我们将行波解的存在性 改进为只要找到一对拟上解和拟下解，这对拟上解和拟下解实际上也很容易构 造。 刘江：一类具扩散和时滞b e l o u s o v z h a b o t i n s k i i 系统的行波解 o 3b e l o u s o v - z h a b o ti n s k ii 模型的起源 般化学反应是反应物的浓度随时间的变化而下降，反应产物的浓度随时间 的变化而上升，最终反应物和产物的浓度不随时间变化而达到平衡状态，但这 不是一个唯一的化学反应现象。在某些体系中，某个成分或某些成分的浓度发 生周期性的变化，这类反应现象就是化学振荡反应。 1 9 5 8 年，前苏联化学家别洛索夫( b e l o u s o v ) 和扎鲍廷斯基( z h a b o t i n s k i i ) 首次报道了以金属钸作催化剂，柠檬酸在酸性条件下被溴酸钾氧化时可呈现化 学振荡现象，溶液在无色和淡黄色两种状态间进行着规则的周期振荡。该反应 即被称为b e l o u s o v z h a b o t i n s k i i 反应，简称b - z 振荡。 其实，化学振荡反应早在1 9 5 1 年由别洛索夫( b e l o u s o v ) 已经发现，只不 过他这个内容是写在一个没有公开发表的论文里面，这段内容的翻译后来出现 在由f i e l d t 和b u r g r r 编辑的书中，最终是b e l o u s o v l 9 5 9 年发表的一个简短的 文章才正式公诸于世，这种反应后来由z h a b o t i n s k i i 进一步研究，于是现在就 把它称为b e l o u s o v z h a b o t i n s k ii 反应，也称b - z 反应。 1 9 5 9 年，b e l o u s o v 3 提出了被称为b e l o u s o v - z h a b o t i n s k i i 系统( 是指由 溴酸盐、有机物在酸性介质中，在有或无金属离子催化荆下构成的体系) 的化 学反应模型，模型可以表示为： = a u ( x ，) + u ( x ，0 1 1 一u ( x ，f ) - r v ( x ，r ) 】， ( 0 5 ) = a v ( x ，f ) 一6 己，( x ，t ) v ( x ，f ) ， 其中x r ，t 0 ，( 0 , 1 ) ，b 是正常数，u ，v r 分别代表溴酸和溴离子的浓度， 是r 上的l a p l a c i a n 算子。事实上，在生物化学和生物学领域同样可以推出 ( o 5 ) 模型。结合化学和生物的背景，可以推出如下的基本假设： l i mv ( x ，f ) = 1 ， 。+ 。 ( 0 5 ) l i mv ( x ，) = 0 j 在动力系统( o 5 ) 和( o 6 ) 中，形如( u ( x ，f ) ，v ( x ，呦= ( p ( x + c t ) ，缈( x + c 嘞， 其中c 0 称为波速，( p ，缈) 是单调波的轮廓函数。关于这类问题研究，引起 d d 一 鳖甜鳖研等等 n ， ， = 卜 = u “ g l 哩她觋 ， 。、 扬州人学硕十学位论文 很多学者的关注。从化学观点来看，( o 5 ) 和( o 6 ) 表示溴酸从浓度高向 浓度低的方向移动。 我们知道，许多生物在进化过程中时滞是普遍出现的，例如，wu 和 z h o u 将时滞引入( 0 5 ) ，得到如下系统： = a u ( x ，f ) + u ( x ，f ) 1 一u ( x ，f ) - r v ( x ，f f ) 】， ( 0 7 ) = a v ( x ，f ) 一6 u ( z ，t ) v ( x ，) ， 其中f 之0 为时滞。对于问题( o 7 ) 的波前解的存在性结论已有一些结果，可 以参看文献m a 2 7 ，w u 和z o u 5 5 。特别地，m a 在文 2 7 中利用上下解方法以 及s c h a u d e r 不动点定理证明了，如果波速c 2 - 1 - r 。波前解存在。但在该文 中并没有给出c 2 再时的结论。 在变换u = u 和v = 1 一v 下，问题( 0 7 ) 转换为 o u 仅，f ) o t o v ( x ，f ) 3 t = 厶材仅，f ) - i - o 饵f ) 1 1 一r u ( x ，f ) - t - r v ( x ，t r ) 】， = 厶u ( x ，) + 蚰a ，) 1 1 一 ( x ， 1 ， 并且( 0 6 ) 就变成 ( 0 8 ) l i r au ( x ，f ) = l i mt ，( x ，f ) = 0 ，l i r au 仪，f ) = l i mv ( x ，f ) = 1 鼻叶l 呻一鬟叶鼍叶 ( 0 9 ) 设( o 8 ) 的波前解为0 ( x ，f ) ，v ( x ，) ) = ( 石+ 甜) ，甲 + 甜) ) ， 并记亨：x - i - c t ，则( ( 毒) ，步( 毒) ) ，享毅满足 lc 4 , 7 传) = 咖 ( 善) + ( 毒) l1 一r 一4 , 1 5 ) + r 妙( 毒一c r ) l ， 眇7 ( 毒) = 缈( 毒) + 呻( 言) 1 1 一砂( 毒) 1 ， ( o 1 0 ) 而相应的边界条件为如下形式： 。l i r a 咖( 孝) = 1 i r a 矽( 毒) 一0 ，1 i i t i 妒( 毒) = 。i i m 吵( 毒) = 1 毒叶憎掌叶喇 。 毒_ 。 毒_ 。 ( 0 1 1 ) d 一 吩一 些甜鳖甜 a a 一 刘江：一类具扩散和时滞b e l o u s o v z h a b o t i n s k i i 系统的行波解 本文讨论了一般带时滞反应扩散方程组的行波解，其中反应项是混拟单调 的。利用p a o ( 1 9 9 2 ) 提出的构造单调迭代序列的方法，我们首先证明了只要找 到耦合上下解就能保证行波解的存在性，然后进一步弱化了耦合上下解光滑性的 条件，提出了耦合拟上解和耦合拟下解的概念，证明了耦合拟上解和耦合拟下解 也能保证行波解的存在性，最后把行波解存在性理论应用到一个具体的 b e l o u s o v z h a b o t i n s k i i a 模型中。 扬州大学硕士学位论文 1 一般方程组行波解的存在性 在本节中，我们将要讨论一般的带时滞的反应扩散系统 其中x r ，f ( 0 ，佃) ，正常数q ，r 2 表示时滞，f ：r 2 尺2 专r 2 是l i p s c h i t z 连 续。 为了方便起见，我们记c b ( r ，r ) 为所有有界连续函数h ：尺专尺的函数 空间，其中h 有最大模范数。而且，对于任意后r + ，我们记口( r ，r ) 为所 有连续可微到 k 】阶函数h 的函数空间，并且对于任意的1 7 l 瞳l d 7 h c ：( r ， r ) 成立( k 】是k 的整数部分) 。上述的向量函数空间分别记为c 。( r ，r n ) 和c ：( r ，r n ) 问题( 1 1 ) 的行波解是形式为( ( x ，f ) ，u 2 ( x ，f ) ) = ( 仍( x + 订) ，仍 + c 嘞，其 中( x ，) = 仍 + c f ) ，u 2 ( x ，) = 仍 + 甜) ，实际上该解的波在特定的变换下具有 传播不变性，其中伊c ；( r ，r 2 ) ，常数c 0 是波的传播速度。当c 为正常 数时，波向左传播；当c 为负常数时，波向右传播。 将( “1 ( x ，) ，u 2 ( x ，f ) ) = ( 仍( x + c ，) ，仍 + 甜) ) 代入( 1 1 ) 并且令s = x + c f ，仍 然将符号s 记为t ，我们得到相应波的方程 j c 科( 7 ) 一4 绯7 ) = 石( 仍( 7 ) ，仍( 7 ) ，仍 一c ) ，仍。一c 砭) ) ，7 r ， ( 1 2 ) 【c 珐( ，) 一畋硝o ) = 灰( 仍( f ) ，仍( ，) ，孽o l ( t c ) ，g , 2 ( t c r y ) ) ，f r 如果对于某些波速c ， ( 1 2 ) 有定义在r 上的解q o ，使得 l i m o , ( t ) = “l 一，1 i m ( ，) = u 2 一l io , ( t ) = u l + ，l i m 擘o ：( t ) = “2 + ( 1 3 ) 存在，那么( ( x ，) ，材2 ( z ，f ) ) = ( 仍( 石+ d ) ，仍( x + “) ) 称为波速为c 的行波解 ( t r a v e l i n gw a v e ) 。此外，如果矽在，r 是单调的，那么该行波解称为波前解 ( w a v e f r o n t ) 。 ) 2 r 以 以 ， 鸬 心 她 巾 左 = i i d d 伍 扩一办铲一投 4 以 一 一 d 哆 地 a一西a一甜 刘江：一类具扩散和时滞b e l o u s o v z h a b o t i n s k i i 系统的行波解 不失一骰性，我们司以1 段设 ( u i _ u 2 一) = ( o ，0 ) 口0 以及( + ，u 2 + ) = ( k ，局) 口k 0 ，令 c 【0 k 】( 尺，r 2 ) = 缈= ( 仍( f ) ，仍( f ) ) c 6 ( 尺，r 2 ) ：o 仍( f ) k ，r r ) ， 我们的任务是在c 【o ，k 1 ( 尺，r 2 ) 上找到( 1 2 ) 的解。在本文中，下列关于反应项 函数f 的假设成立： ( 4 , ) 石( o ) = 五( o ) = 彳( k ) = 厶( 坞) = 0 显然，我们可以将( 1 3 ) 写为 l i m o , ( 0 = 0 ，l i m 仍( f ) = 0 ，1 i m 仍( f ) = k ，l i m q , 2 ( t ) = k 2 ( 1 4 ) ，_ f 一 ，- - - + 0 0，_ 在本文中，我们将研究( 1 1 ) 的行波解的存在性，其中反应项f 是混拟单 调( m i x e dq u a s i m o n o t o n e ) 的。 ( h ：) 对于任意的f = 1 ，2 ，函数，( “。，“：，”f l ，甜，：) 是c 1 的函数并且在【o ，k 上 是混拟单调的。 上述的假设可以推导出对于任意的f - 1 ，2 ，存在常数屈，使得，满足 l i p s c h i t z 条件使得： i ，( 甜。，甜：，“1 ，“砭) 一z ( v 1 ，v 2 ，v r i ，k ) l 屈( h - v 1 + u 2 一v 2 i + 1 甜q k l + i “，：一v f 2 1 ) 其中，m g o ，k 】，”2 ，v 2 g 【o ，k 2 】 我们回顾混拟单调的定义，如果将r n 上的u 和u ，写成如下的分量形式 u 三( “， u q ， u 】岛) ，u ，毫( 【u ，】q ，u ，】d j ) ， 其中 u 】，记为u 的分量盯，我们说函数f ( u ，u ，) 具有混拟单调性质，是指对 于每个i = 1 ，2 ，存在非负整数口，b ，c i9 d ，其中a f + b ，= n - 1 ，c ，+ d ，= 刀，使得 z ( u ，u ，) 对于分量 u l ，i n ，】q 是单调增加的，对于分量 u 】 ，i n ，l 是单调减少 的。如果对于所有的i 有b ，= 4 = 0 ，那么f ( u ，u ，) 称为拟单增的。 上述的假设在证明( 1 2 ) 的行波解的存在性时要用到。我们的方法是利 用匕下解及其迭代序列，下面给出匕下解的定义： 扬州人学硕十学位论文 定义1 1 一对在c ：( r ，r n ) 中的向量函数驴兰( 磊，霞) ，夕三( 蟊，霰) 称为( 1 2 ) 的耦合上下解( c o u p l e du p p e r a n dl o w e rs o l u t i o n s ) ，如果多以及 c 磊o ) 一z 磊 o ) z ( 谚，【痧】口j ，【痧】4 ，【谚】a ，【氟k ) ， c ；，( f ) 一z ；，o ) z ( ；，【易 q ， 易 。，【易，】q ， 眵，b ) ( f = 1 ，2 ) ， ( 1 5 ) 其中缈，( f ) = 伊( f c f ) 注1 1 如果f ( 够，红) 是拟单增的，也就是说，对于所有的i ，b ，= d ，= 0 ， 那么耦合上下解称为( 1 2 ) 的有序上下解( o r d e r e du p p e r a n dl o w e r s o l u t i o n s ) 。 由于f 满足( h 2 ) 以及l i p s c h i t z 连续，我们有 z ( 仍， f o 】q ，【缈 加，【织】d ， 织 西) 一z ( 伊， 矿 a j f a q ，【妒，】c f ，【缈，】磷) + 屈( 仍一) o 对所有的 0 馋k f ，f = 1 ，2 成立。 为了保证右端项的单调性，下面我们定义一个算子 h ：c 【0 k 1 ( r ，r 2 ) 一c 【o k 1 ( r ，r 2 ) h ( 缈，织) o ) = f ( 缈，妒，) + 缈( f ) ， 伊c 【0 k 】( r ，i 乎) ， 其中 l - i = ( h l ，h 2 ) ， q ( 缈，仍) ( f ) = z ( 仍( ，) ，【纠q ， f o i l , , 【织】c ， 仍 珥) + 屈仍( ，) ， 妒c 【。，k 】( r ，r 2 ) ，于是系统( 1 2 ) 等价于下列的常微系统 c r p ；_ ( t ) - d , r p t ( t ) + f l f o , ( t ) = 只( 妒，红) ，i = 1 ，2 ，f r 我们第一次迭代包含于下列常微分方程 ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 刘江：一类具扩散和时滞b e l 。u s o v - z h a b o t i n s k i i 系统的行波解 1 5 c 仁( 1 ) ) ，一z 仁( 1 ) ) ，+ 屈i m = 屈菇+ ，( 万， 痧】q ，【纠 ，陵】c ， 霞】4 ) ， c g ，( j ) ) ，一吐g ，( i ) ) ，+ 屈兰，( 1 ) = 屈谚+ z ( 谚， 痧】q ， 多弘，【豌】， 霞l ) ，f ：l ，2 ( 1 9 ) 注意到 枷学c-ac2-aft,d,：呼c+一、c2-4ft,d, 是下列方程的实根 z - c 2 一屈= 0 ，i = 1 ，2 应用p e r r o n 理论可得 i 1 。虿下 = 可l p 纵阳( 屈谚+ 彳( 磊，【驴】口，【痧l ，【霞l ， 豌k ) ) 西+ 厂p 训一( 屈谚+ z ( 谚，【l ， 驴】6 ， 豌l ，【豌l ) ) 凼) ， x f ( 1 ) 2 ( 1 1 0 ) 百砑- 1j 万l p ( 阳( 屈磊+ z ( 谚，【痧l ，【痧l ， 露l ，【谚l ) ) 凼+ 广p 纵卜s ( 屈谚+ z ( 谚， 痧l ， l ，【露】q ，【霞l ) ) 凼) ， 对于所f = 1 ，2 ，成立，那么iu 三( 墨m ，夏m ) ，x ( 1 ) 兰( 玉( 1 ) ，芝) 有下列性质： 引理1 1 令夏o 和善1 是( 1 9 ) 的解，那么我们有 ( i ) 痧io 卜x 一万， ( i i ) 牙1 和善l 是( 1 2 ) 的一对耦合上下解。 证明：令万，= 霉n 谚，由于i ( 1 的定义： c 仁) ，一吐仁( j ) ) ，+ 屈霉= 屈菇+ ( 谚， 万】q ， 纠 ，眩l ， 痧，】矾) ， # 4 一x 1 的定义以及( 1 5 ) 得到 c 氟o ) 一4 谚o ) + 屈谚屈菇+ ，( 谚， 万】q ， 纠 ，防l ， 谚】吐) 扬州大学硕十学位论文 十是我们有： c 向，) 一d ，( 万，) 一十屈万，o ， 记( f ) ：q ( q ) ，一吐( q ) 。+ 屈珥，那么( f ) 是连续有界，在r 上非正的， 由二阶线性常微分方程的基本解得到 删w j f 蝴锄f + 丽两1 ( p 卜_ 出+ p ”_ 毋) ( 1 1 1 )