（理论物理专业论文）拓扑绝缘体中的拓扑不变量研究.pdf

中国科学技术大学 博士学位论文 拓扑绝缘体中的拓扑不变量研究 姓名 汪忠 申请学位级别 博士 专业 理论物理 指导教师 完绍龙 张首晟 2010 11 04 摘要 摘摘摘要要要 拓扑绝缘体是一大类新的物质相 它们的体态是有能隙的 但是由于非平 凡的能带拓扑 它们具有无能隙的表面态 量子霍尔系统 量子自旋霍尔系统 三维拓扑绝缘体等都是拓扑绝缘体的例子 近年来 拓扑绝缘体的研究大大加 深了人们对凝聚态物理的理解 揭示了凝聚态物理和高能物理的联系 拓扑超 导体是拓扑绝缘体概念的延伸 拓扑超导体中的费米子能谱也是有能隙的 所 以可以进行拓扑分类 非平凡的拓扑超导体具有稳定的表面态 除了深刻的理 论意义外 拓扑绝缘体和拓扑超导体在自旋电子学 拓扑量子计算等领域有广 阔的应用前景 这篇博士论文除了介绍了拓扑绝缘体和拓扑超导体的基本概念 外 主要包含以下三方面内容 1 对三维拓扑绝缘体 我们利用拓扑学中的数学工具 证明了拓扑能带理 论和拓扑场论的分类是等价的 在此之前 三维拓扑绝缘体有两种独立的描述 拓扑场论描述和拓扑能带理论描述 拓扑场论描述可以直接给出物理响应 而 且对有电子 电子相互作用和无序的系统也有统一的描述 拓扑能带理论将所有 拓扑绝缘体当做晶格中的电子气来处理 完全忽略电子 电子相互作用 这是它 理论上的缺陷 但是它的优点是易于计算 我们在本文中证明 在无相互作用 的极限下 拓扑场论的描述和拓扑能带理论的描述是等价的 因此建立了两种 描述之间的明确关系 2 对存在电子 电子相互作用和无序的绝缘体 我们采用格林函数定义 了一个拓扑不变量 这个拓扑不变量对应于拓扑场论中出现的量子化系数 三维的时间反演不变的拓扑绝缘体用一个含有theta项的拓扑场论来描述 这 个theta项有一个量子化的系数 它是拓扑绝缘体的拓扑不变量 以前的文献中 给出了在没有电子 电子相互作用时这个不变量的表达式 在本文中 我们利用 对称性和拓扑工具 提出了用格林函数构造有相互作用的绝缘体的拓扑不变量 其形式和粒子物理中出现的wess zumino witten有效作用量类似 这也说明了 拓扑绝缘体和量子场论中的反常的联系 3 对三维的拓扑超导体 我们建立了拓扑场论描述 并研究了它的物理响 应 超导体和绝缘体不同 它没有守恒电荷 所以没有 1 拓扑场论描述 我 i 摘要 们在本文中采用引力有效理论来描述三维的拓扑超导体 包括he3 b相 与一般 的einstein hilbert作用量不同 我们得到的有效作用量包含一个拓扑theta项 这 个拓扑项的时间反演不变性和数学中的自旋流形存在紧密联系 这个拓扑场论 对应的物理响应是拓扑超导体表面的thermal hall效应 更精确的说 我们说明 了 在三维时间反演不变的超导体的 分类中 偶数类的表面thermal hall系数 可以为零 但奇数类的thermal hall系数一定非零 这是引力有效场论的推论 关关关键键键词词词 拓扑绝缘体 拓扑超导体 拓扑不变量 拓扑场论 反常 格林函数 ii abstract abstract topological insulators are new phases of matter their bulk states are gapped but the surface states are gapless because of the nontrivial band topology quantum hall systems quantum spin hall systems three dimensional topological insulators are famous examples of topological insulators in recently years the research in topologi cal insulators has been deepening our understanding of condensed matter physics and its relation with high energy physics topological superconductors are natural gener alization of topological insulators with nonzero bulk gap topological superconduc tors can be topologically classifi ed topological insulators and superconductors have great importance to both fundamental research and practical applications in spintron ics topological quantum computations etc in this thesis after an introduction to basic concepts of topological insulators and superconductors we shall focus mainly on the following three topics 1 forthree dimensionaltopologicalinsulators usingmathematicalmethodsfrom topology we proved that the topological fi eld theory description and topological band theory description are equivalent before this work there are two independent descrip tions of three dimensional topological insulators topological fi eld theory and topo logical band theory topological fi eld theory can be easily used to calculate physical responses furthermore it is applicable to both interacting and disordered systems topological band theory treats the system as non interacting fermion gas which is a disadvantage but the topological band theory has distinct advantage that it is easy to calculate in this thesis we shall prove that in the non interacting limit the topolog ical fi eld theory is reduced to the topological band theory and thus obtain an explicit relation between topological fi eld theory and topological band theory 2 for interacting and disordered insulators we defi ned a topological invariant using green s functions which is related to the quantized coeffi cient in topological fi eld theory three dimensional time reversal invariant topological insulators are de scribed by a topological fi eld theory with a theta term with a quantized coeffi cient iii abstract this quantized coeffi cient is a topological invariant of the system the explicit expres sion of this topological invariant in the non interacting limit was known in literature before in this thesis using symmetry and topology methods we proposed a topologi cal invariant using green s functions which is applicable to interacting and disordered systems the explicit expression of this topological order parameter is similar to the wess zumino witten effective action which suggests deep relation between topologi cal insulators and anomalies in quantum fi eld theory 3 for three dimensional topological superconductors we proposed a topological fi eld theory and studied their physical responses topological superconductors are different from topological insulators in the fact that they has no conserved charge and has no description using 1 topological fi eld theory in this thesis we proposed a gravitational effective fi eld theory to describe them including he3 b phase the resultant effective action is different form the classical einstein hilbert action in that we have a topological theta term the time reversal invariance of this theta term is closely related to spin manifolds the physical response of topological superconductor are surface thermal hall effect to be more precise for topological superconductors in the even classes the surface thermal hall coeffi cient can be zero while for topological superconductors in the odd classes the surface thermal hall coeffi cients are always nonzero this is a inference of the gravitational topological fi eld theory keywords topological insulator topological superconductor topological invariant topological field theory anomaly green s function iv 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文 是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果 除已特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果 与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权 即 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版 允许论文被查阅和借阅 可以将学位论文编入有关数据库进 行检索 可以采用影印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编学位论 文 保密的学位论文在解密后也遵守此规定 作者签名 年月日 第 1 章拓扑绝缘体的基本概念 第第第 1 章章章拓拓拓扑扑扑绝绝绝缘缘缘体体体的的的基基基本本本概概概念念念 本章中我们简单介绍拓扑绝缘体的基本概念和发展历史 特别是三维时间 反演不变的拓扑绝缘体 1 0 1拓扑绝缘体的基本概念和发展历史 寻找新的物质态一直是人类认识自然过程中的重要问题 在此方面 二 十世纪的重大进展是对称性和物态的分类的关系 总结为landau的对称破缺理 论 anderson 1997 长期以来 这个理论非常成功 大量的物态可以用这个理 论很好的描述 直到二十世纪八十年代 量子霍尔系统被发现 klitzing 1980 这个理论的统治地位才被打破 量子霍尔系统是是二维电子气在强磁场下实现 的系统 它不破坏任何对称性 但是它的电磁响应是非平凡的 量子霍尔电导 由以下方程定义 1 1 这里 是 方向的电流 是 方向的电压 对于量子霍尔系统 霍尔电导非常 精确的量子化为 2 1 2 这里 是一个整数 是电子电荷 是普朗克常数 量子霍尔系统虽然在体内 是有能隙的 但是它存在无能隙的边缘态 量子霍尔系统就是拓扑绝缘体的一个 例子 拓扑绝缘体将是本文的中心课题 简单的说 拓扑绝缘体是这样的一大类材料 它们的体内是有能隙的 但 是存在稳定的无能隙表面态 拓扑这个名词出现在这里是因为拓扑绝缘体的表 面态的稳定性来源于能带的非平凡拓扑 用简单的例子来说 一个莫比乌斯带 不能平滑的转变成一个普通的环形带 莫比乌斯带和简单的环形带的区别就是 拓扑上的区别 莫比乌斯带有这样的一个性质 如果我们从一点出发 绕它走 一圈后 我们将处在带子的另一面 这是一个拓扑性质 对莫比乌斯带做简单 的形变不会改变这个性质 当然 如果我们剪开莫比乌斯带并重新粘贴回去 拓扑性质是可以被改变的 同样的 拓扑绝缘体的表面态也有类似的稳定性 1 第 1 章拓扑绝缘体的基本概念 图 1 1 量子化的霍尔电导的发现 引用自文献 klitzing 1980 它们不能被破坏 除非我们让绝缘体的体内的能隙闭合 在能隙闭合时拓扑绝 缘体的能带拓扑发生变化 这类似于我们剪开莫比乌斯带 前面提到的量子霍尔态是拓扑绝缘体的一个例子 最早由klitzing et al klitzing 1980 在强磁场下的二维电子气中发现 量子霍尔体系的体态是 有能隙的 但是存在无能隙的边缘态 如果在零温度下测量它们的电导 则电 导强烈依赖于探针和样品接触点的位置 如果接触点在体系边缘 我们得到有 限的电导 如果接触点在样品体内 则测得的电导为零 说明体态是有能隙的 量子霍尔体系的输运性质可以由一维的边缘输运理论得到 量子霍尔态的研究 在凝聚态领域有很长的丰富的历史 从中人们发现了众多有趣的现象 发展了 强大的理论工具 最近几年拓扑绝缘体的研究再一次成为重要领域 起因是时间反演不变的 拓扑绝缘体的发现 众所周知 到目前为止 量子霍尔态的实现需要强磁场 这限制了它在实际生产中的应用 量子霍尔体系破坏时间反演不变性 例如 2 第 1 章拓扑绝缘体的基本概念 regular insulatortopological insulator spheretorus 图 1 2 拓扑绝缘体和普通绝缘体的区别示意图 在量子霍尔态中 对边缘态来说 所有电子朝一个方向运动 这是破坏时间反 演对称性的 因为这个体系的时间反演是所有电子沿相反方向运动 这和原有 的体系不相同 时间反演不变的拓扑绝缘体则正好相反 它们是在具有时间反 演对称性的体系中实现的 在人们已经发现的拓扑绝缘体中 自旋轨道耦合起 着关键性的作用 自旋轨道耦合是一种相对论效应 它不破坏时间反演对称 性 zhang et al zhang and hu 2001 把量子霍尔效应推广到四维 这个体系具有 时间反演不变性 这个态的最初名称是 四维量子霍尔态 但是用现代语言来 说 它的更合适的名称是四维chern simons绝缘体 这个原始工作是从连续模 型来做的 它的晶格模型出现在文献 qi et al 2008 中 我们将会讨论到 二维 的量子霍尔系统的拓扑不变量在数学上由第一陈数来描述 四维的时间反演不 变的chern simons绝缘体的拓扑不变量由第二陈数描述 这还可以向更高维数 推广 数学上 因为陈数只在偶数维存在 所以在奇数维没有量子霍尔效应的 直接类比 当然 其他类型的拓扑绝缘体还是可以存在的 比如 在三维空间 中 我们最感兴趣的例子是具有时间反演对称性的拓扑绝缘体和拓扑超导体 另外 从同伦理论还可以得到其它类型的拓扑绝缘体 比如文献 moore et al 3 第 1 章拓扑绝缘体的基本概念 图 1 3 具有时间反演不变性的拓扑绝缘体的分类示意图 时间反演不变的区域 t invariant 和时间反演破缺 t breaking 的区域在图中标记了出来 2008 中的破坏时间反演对称性的拓扑绝缘体 在这个例子中 能带的条数是固 定的 否则它是拓扑平凡的 对能带模型 时间反演不变性的定义是 1 3 这里 是时间反演矩阵 它满足 和 1 现在设想如果两个具 有时间反演对称性的哈密顿量 和 可以通过连续变形互相连接 但是这个连 接的路径可能穿过时间反演破缺的区域 比如图1 3中的连接 和 的曲线 如果 我们无法找到这样的连接 和 的路径 它只通过时间反演不变的区域 那么我 们就说 和 属于时间反演不变的拓扑绝缘体的不同拓扑类 也就是说 如果 不破坏时间反演对称性 这两个哈密顿量不可能通过连续变形互相连接 但是 如果破坏时间反演不变性 它们是可能通过连续变形互相连接的 2005年 从完全不同的思路出发 kane和mele提出了在graphene中实现 二维的时间反演不变的拓扑绝缘体 或者称为量子自旋霍尔体系 kane and mele 2005a 后续研究发现 graphene的自旋轨道耦合在dirac点附近远小 4 第 1 章拓扑绝缘体的基本概念 图 1 4 hgte cdte量子阱中的量子自旋霍尔效应 摘自文献 bernevig et al 2006b 于kane和mele的估计 在近期可能实现的实验条件下 这个效应其实是 观测不到的 2006年 bernevig hughes和zhang bernevig et al 2006b 提出了 在hgte cdte量子阱中实现量子自旋霍尔效应 这个理论预言很快被实验证 实 konig et al 2007 这是量子自旋霍尔效应的第一个实验例子 bernevig hughes和zhang bernevig et al 2006b 提出的量子自旋霍尔效应的模型参见 图 1 4 可以看到 随着量子阱中hgte的厚度增大 能带发生了反转 1能带 下降到 1以下 导致体系从平凡绝缘态相变到拓扑绝缘态 在接下来的研究中 量子自旋霍尔系统被推广到三维拓扑绝缘体 我们将 在下一节详细介绍三维的拓扑绝缘体 5 第 1 章拓扑绝缘体的基本概念 图 1 5 二维的拓扑绝缘体和拓扑超导体示意图 摘自文献 qi et al 2009b 拓扑超导体 topological superconductor 是拓扑绝缘体概念的自然延伸 在 超导体中 由于超导配对 费米子能谱存在能隙 这使得费米子的哈密顿量和 拓扑绝缘体类似 可以进行拓扑分类 虽然超导序参量存在goldstone模式 拓扑 绝缘体中的无能隙玻色激发 声子也是存在的 但是我们只考虑费米子哈密顿量 的拓扑分类 拓扑非平凡的超导体存在稳定的表面态 这点也和拓扑绝缘体一 样 由于拓扑绝缘体和拓扑超导体的诸多相似性 这两者经常被放在一起统一 研究 我们在前面介绍过 拓扑绝缘体和拓扑超导体的最明显特征是具有稳定 的表面态 我们先通过图 1 5 来简单介绍二维的拓扑绝缘体 特别强调它们 的边缘态 图 1 5 给出了四个二维的拓扑绝缘体和拓扑超导体的例子 这里 图 1 5 b 是大家最熟悉的最简单的陈数为1的量子霍尔效应的例子 它有一支 沿边界传播的手征模式 在一维的情况下 手征的意思等价于电子传播方向 左或右 图 1 5 a 是手征拓扑超导体 它有一支沿边界传播的majorana模 图 1 5 c 是时间反演不变的拓扑超导体 它的分类是 2的 schnyder et al 2008 qi et al 2010a 它有两支majorana边缘模 这两个模是一对时间反演对 图 1 5 d 是量子自旋霍尔体系 它有两个沿边缘传播的模式 这两个模式 6 第 1 章拓扑绝缘体的基本概念 图 1 6 量子霍尔效应的边缘态示意图 摘自 hasan et al 2010 也是一个时间反演对 时间反演不变的超导体和时间反演不变的绝缘体的区别 是 在前者中 边缘态是majorana费米子 在后者中 边缘模式是电子态 在 自由电子的图像下 理解拓扑边缘态的最简单物理图像是畴壁费米子 domain wall fermion 这点我们将在下一章介绍量子自旋霍尔效应时介绍 这四种二维 拓扑绝缘体 超导体 中有明确实验证据的是量子霍尔体系和量子自旋霍尔体系 另外两种还有待实验去发现 对量子霍尔体系 对边缘态的更清楚的图像可以从图 1 6 中看到 在系统 的边缘上 电子的回旋运动被阻碍 导致电子被边缘不断散射 但是电子的总 体运动方向是手征的 并携带电流 我们知道 在量子霍尔系统的体内 电子 的回旋运动不携带宏观电流 为了更清楚起见 我们在图 1 7 给出了量子霍尔效应和量子自旋霍尔效应 的类比 在图 1 7 中 我们可以看到 量子霍尔体系可以这样来看 一个自旋 极化 或者无自旋 的一维电子系统中存在向左运动的电子和向右运动的电子 由于电子可以被向后散射 back scattering 这个系统的电导不是量子化的 如 果我们把向左运动的电子和向右运动的电子在空间上区分开来 也就是让它们 分别处在两个边缘上 则我们得到手征模式 也就是说在每个边缘上 电子朝 同一个方向运动 这样就没有向后散射发生 量子自旋霍尔效应与此类似 只 是这里我们处理的是有自旋的电子 在一维有自旋的电子系统中 假定存在时间 反演对称性 电子可以被向后散射 如果我们同样采取和量子霍尔效应类似 的空间分离方法 则由于时间反演对称性 向后散射也是禁止的 7 第 1 章拓扑绝缘体的基本概念 图 1 7 量子霍尔效应和量子自旋霍尔效应的类比 摘自 qi et al 2010 1 0 2三维时间反演不变的拓扑绝缘体 本小节我们简单介绍三维的拓扑绝缘体 有趣的是 虽然量子霍尔体系 存在四维推广 却没有三维推广 在数学上 这是因为量子霍尔体系由陈 数 chern number 定义 而陈数是复矢量丛的概念 复的矢量丛的维数转换到实 数维数时总是偶数 所以历史上把量子霍尔效应推广到三维的努力并没有获得 充分成功 我们知道 量子霍尔体系的分类是不对哈密顿量加任何对称性限制 的 如果我们对哈密顿量加上时间反演不变性 或者粒子 空穴对称性 我们这 里不讨论 则我们会得到不同的分类 我们将会看到 加上时间反演对称性 后 三维空间中存在拓扑非平凡的绝缘体 它的分类是 2的 三维的时间反演不变的拓扑绝缘体在理论上最先由几个研究组分别预言 有liang fu c l kane 和e mele fu et al 2007a j e moore和l balents moore et al 2007 和r roy roy 2009 其中fu et al采用的三维拓扑绝缘体的判据是他 们提出的 2不变量 它的定义是 1 8 1 1 4 8 第 1 章拓扑绝缘体的基本概念 这里 det pf 1 其中 k k k 1 5 这里 1 2 3 4 5 6 7 8是八个时间反演不变动量 参见图2 6d 它的物理意义 我们将在下一章详细介绍 在体系具有中心对称性 inversion symmetry 时 这 个不变量被进一步简化为波函数宇称的乘积 fu and kane 2007b 1 1 2 1 6 注意这里每个时间反演对中只取一个 否则因为时间反演对的宇称总是一样的 给出的结果总是 1 j e moore和l balents的方法是同伦理论 r roy的方法是能带接触 band touching 也就是考虑量子相变 这和bernevig hughes和zhang的hgte cdte量 子阱中的量子自旋霍尔效应的思路有类似之处 这三种能带方法殊途同 归 如果忽略所谓的弱拓扑绝缘体 这三种方法都可以得到三维拓扑绝缘 体的 2分类 这三种方法都是能带拓扑的方法 我们称这些方法为拓扑能 带理论 topological band theory 以区别于我们在后续章节中介绍的拓扑场 论 topological fi eld theory 方法 在实验上 第一个被发现的三维拓扑绝缘体材料是 1 合金 hsieh et al 2008 角分辨光电子谱 arpes 测量到的表面态见图 1 8 这个合金有五 个dirac点 而且有无序存在 在寻找拓扑绝缘体的材料方面 接下来的重要进展是 2 3系列材料的 发现 这些材料由zhang et al zhang et al 2009 预言 在实验上由princeton研究 组 xia et al 2009 和stanford研究组 chen et al 2009 分别实现 理论上 zhang et al通过数值计算得到能带结构和表面态 参见图 1 9 这里计算的四种材 料 只有 是拓扑平凡的 其他几种材料都是拓扑绝缘体 从图中可以看到 表面态形成dirac点 从能带拓扑的角度来说 这里的拓扑绝缘体的形成也可 以用能带反转 band inversion 来理解 参见图 1 10 2 3的体态能隙达到大 9 第 1 章拓扑绝缘体的基本概念 图 1 8 bisb合金表面电子态的角分辨光电子谱测量结果 摘自 hsieh et al 2008 约0 3ev 使得它在室温下仍然是很好的拓扑绝缘体材料 这一系列的拓扑绝缘体 只有一个表面dirac点 使得它们的研究相比 1 合金更加容易 在接下来研究中 有许多拓扑绝缘体的新材料被发现 这里不再一一列 举 读者可以从综述性的参考文献 qi and zhang 2010 hasan and kane 2010 中 找到 在本节最后 我们简单介绍一下三维拓扑绝缘体的表面态 三维拓扑绝缘 体的表面态很特别 一个最简单的模型哈密顿量是 fu and kane 2008 zhang et al 2009 1 7 这里 作用在自旋自由度上 而不是像graphene 中那样作用在赝自旋自由度上 所以 拓扑绝缘体的表面的电子自由度相当于graphene的四分之一 这意味着 在拓扑绝缘体的表面 电子没有简并度 这点对拓扑量子计算很重要 因为 10 第 1 章拓扑绝缘体的基本概念 图 1 9 bise系列材料的能带结构数值计算结果 这里除了 是拓扑平凡的 其他几种材 料都是拓扑绝缘体 从图中可以清楚地看到表面态形成dirac点 摘自 zhang et al 2009 两个空间上相近的majorana费米子放在一起就能构造一个电子算符 这样就 失去了作为非局域的q bit的载体的能力 拓扑绝缘体的表面 如果加上一层 超导体 则在每一个超导涡旋中 正好有一个majorana束缚态 这可以用来实 现majorana费米子 fu and kane 2008 11 第 1 章拓扑绝缘体的基本概念 图 1 10 2 3的能带随着自旋轨道耦合增强的改变 摘自 zhang et al 2009 12 第 2 章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性 第第第 2 章章章拓拓拓扑扑扑绝绝绝缘缘缘体体体的的的不不不同同同拓拓拓扑扑扑不不不变变变量量量之之之间间间的的的等等等价价价性性性 本章我们先回顾量子霍尔体系和拓扑绝缘体的各种不变量 对三维拓扑 绝缘体 从不同的方法出发 文献中得到了不同的拓扑不变量 其中之一是 从能带结构出发得到的fu kane mele不变量 另外一种是从拓扑场论出发得到 的qi hughes zhang 不变量 我们将在本章中证明这两个不变量是等价的 wang et al 2010a 2 1几何学和物理学中的拓扑不变量 本小节我们简单介绍几何和物理中出现的拓扑不变量的例子 我们先介绍 几何中的拓扑不变量 欧拉示性数 然后再介绍物理中的拓扑量子化的例子 dirac量子化条件和量子霍尔系统中出现的tknn不变量 2 1 1几何中的拓扑不变量 在几何学中 如果我们只对局部 local 的几何形状感兴趣 则曲率 curvature 是 最重要的几何量 但是 如果我们希望研究整体的几何 则流形的拓扑就很重 要 而拓扑不变量 topological invariant 也成为最重要的工具 拓扑不变量是这 样的一种量 它在流形作连续变换下不改变 通过球面和环面的例子 我们可以看到拓扑不变量的作用 我们这里考虑 欧拉示性数 这是最古老的拓扑不变量之一 对于一个多面体 点的个数 面 的个数 棱的个数就是欧拉示性数 对微分流形来说 它可以通过三角剖分计 算 对一个光滑的二维流形 我们取它的一个三角剖分 也就是说把它分解成 三角形 然后我们数这个形状中包含的点的个数 棱的个数和面的个数 点的 个数 面的个数 棱的个数就是欧拉示性数 这等价于说 光滑流形的欧拉示性 式等于它的一个剖分得到的多面体的欧拉示性数 重要的是 可以证明 欧拉 示性数的计算结果不依赖于三角剖分的方式 如果我们采取不同的三角剖分 得到的结果总是一样的 其他许多拓扑不变量也有类似性质 通过三角剖分 我们可以计算得到 球面的欧拉示性数是2 而环面的欧拉 示性数是0 我们前面已经介绍过 拓扑不变量在流形作连续变形下不会改变 13 第 2 章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性 spheretorus 图 2 1 欧拉示性数 球面和环面的欧拉示性数分别是2和0 如果我们假定一个球面可以连续变形到一个环面 则它们的欧拉示性数一定相 等 既然球面和换面的欧拉示性式不相等 那么球面不可能连续的变形到环面 环面也不可能连续变形到球面 这点符合我们的直观 也就是球面和环面是拓 扑不等价的 我们通过拓扑不变量来论证这点 这似乎是一种复杂化 对球面 和环面来说 确实如此 因为这个例子太简单了 在更复杂的例子中 直观图 像很难告诉我们正确的结论 我们就会特别依赖于拓扑不变量这样的代数工 具 在拓扑绝缘体的研究中 我们通常遇到的正式这种情况 欧拉示性式还有另外一种表达式 它是一个积分形式 1 2 2 2 1 gauss bonnet定理告诉我们这个积分等于前面用三角剖分定义出来的欧拉示性 式 我们这里不介绍这个证明 只指出这个积分的一个重要特征 可以证明 在度规的一个微小变分下 2 1 2 0 2 2 这说明 不依赖于度规的选取 因而是个拓扑不变量 2 1 2物理中的拓扑量子化和拓扑不变量 物理学中许多量子化条件来自于拓扑学 比如有名的dirac量子化条件 2 2 3 14 第 2 章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性 这里 是电子电荷 是磁单极的磁荷 这个量子化条件来自于规范场的纤维丛 结构 是拓扑量子化的简单例子 另外一个简单的例子是量子霍尔效应中的霍 尔电导量子化 2 2 4 这里 是电子电荷 是普朗克常数 有趣的是 这两个例子中 拓扑量子化条 件涉及的几何概念都是第一陈数 the fi rst chern number 在dirac量子化条件里 我们遇到的是坐标空间 coordinate space 中的陈数 而在量子霍尔效应中 我们 遇到的是动量空间中的陈数 2 2量子霍尔体系的tknn不变量 本节我们回顾量子霍尔系统的拓扑不变量 它其实是动量空间 布里渊 区 中的第一陈数 klitzing et al klitzing 1980 发现了二维电子气在强磁场中会表现出量子化的 霍尔电导 而且这个电导平台量子化得如此准确以至成为电阻的标准单位 对量子霍尔系统 thouless et al thouless 1982 提出了一个简单的拓扑不变 量来标识不同的量子霍尔态 这就是有名的tknn不变量 它的定义是 1 1 4 2 2 5 这里 是反对称张量符号 是berry曲率 2 6 是berry联络 1 2 是空间指标 我们这里采用的系数和原始文献不同 我们这里的写法使得这个定义正好等于数学中出现的第一陈数 the fi rst chern number thouless et al证明了物理上可观测的量子霍尔电导和这个第一陈数存在如 下关系 2 1 2 7 15 第 2 章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性 这里 是电子电荷 是planck常数 这可以直接通过kubo线性响应公式计算出 来 tknn不变量是由波函数 的联络来表示的 这一事实表明能谱 包 含的信息不足以确定绝缘体的拓扑类 波函数包含更重要的信息 这点不仅对 量子霍尔态 对其他的拓扑绝缘体和拓扑超导体也是对的 对存在无序和电子 电子相互作用的拓扑绝缘体 tknn不变量有一个推 广 它是用扭曲边界条件来实现的 我们在下一章讨论有相互作用的绝缘体的 拓扑不变量时会对它作简要介绍 2 3时间反演不变的拓扑绝缘体 能带结构的fu kane mele 2不 变量 本节我们将要介绍时间反演不变的拓扑绝缘体的基本概念 特别是它们拓 扑不变量 和量子霍尔效应的tknn不变量不同 我们这里将要遇到的拓扑不 变量是 2不变量 2指的是 这些拓扑不变量的取值只有两个值 1或者0 1 选 其中哪种记号是约定问题 二维的时间反演不变的拓扑绝缘体 量子自旋霍 尔系统 和三维的时间反演不变的拓扑绝缘体的拓扑不变量都是 2性质的 从 数学上来说 2不变量的定义比整数的拓扑不变量的定义复杂 从维数减除 dimensional reduction 的角度来说 2的性质起源于从低维拓扑绝缘体向高 维作延拓时的不确定性 ambiguity 例如 对一个三维的时间反演不变的拓扑 绝缘体 我们有多种方法将其延拓为四维的的chern simons绝缘体 这些不同 的延拓能得到不同的四维动量空间中的陈数 它们可以相差一个偶数 这意味 着四维chern simons绝缘体的陈数的奇偶性 奇偶性显然是 2的概念 给出三 维时间反演不变的拓扑绝缘体的 2分类 2 3 1量子自旋霍尔效应和 2拓扑不变量 本小节我们简要回顾量子自旋霍尔效应的研究历史 并说明这个效应的名 称中的 量子 的意义 这里的量子指的是这类态在拓扑上非平凡 而不是指量 子化的自旋输运 对二维的拓扑绝缘体 kane和mele提出了一个 2拓扑不变量 kane et al 2005b 后来fu和kane给出了这个不变量的另外一种形式 fu et al 2006 这种 形式就是我们这里要采用的 16 第 2 章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性 首先 我们从自旋霍尔效应 spin hall effect 开始讨论 自旋霍尔效应是自 旋电子学中的重要问题 以前有过很多研究 自旋霍尔效应是霍尔效应的自旋 类比 在霍尔效应中 电流的产生意味着横向的电势差 自旋霍尔效应中 如 果给样品通过电流 自旋向上和自旋向下的电子都会有横向电势差 但是自旋 向上电子和自旋向下的电子感受到的电势差正好相反 所以导致自旋在样品的 两端聚集 也可以说正是自旋的聚集导致自旋向上的电子和自旋向下的电子有不 同的横向电势差 我们知道 霍尔效应有一个量子版本叫量子霍尔效应 quantum hall effect 在量子霍尔效应中 系统本身是一个绝缘体 电流输运发生在系统的边界上 现在一个自然的问题是 自旋霍尔效应有没有一个量子版本 量子自旋霍尔效 应 为了回答这个问题 我们从简单的模型开始 二十世纪八十年代 haldane提出了一个量子霍尔效应的模型 现在这个模型中的现象被称为反 常量子霍尔效应 这是指它的实现不需要外加磁场 这个模型采用六角 晶格 参见图2 2 时间反演不变性在这个模型中被虚数的跃迁矩阵元破坏 haldane发现 当模型中的参数处在一定范围内时候 此模型给出量子霍尔电 导 2 2 8 这个模型说明了 为了实现量子霍尔效应 外磁场并不是本质要求 通常 的量子霍尔效应中 外磁场的最主要作用是破坏时间反演不变性 如果我们不 加外磁场 但是用其他方式 比如材料自身的磁性原子 来破坏时间反演不变性 则也可能像haldane模型一样实现量子霍尔效应 反常霍尔效应在最近几年有不 少相关研究 liu et al 2008 nagaosa et al 2010 特别是量子反常霍尔效应 对 实际应用具有很大价值 haldane模型是针对无自旋或者自旋完全极化到一个方向的费米子的 2005年 kane和mele把以上的haldane模型推广到自旋霍尔效应 其想法很简 单 就是自旋向上的电子处于haldane模型的晶格势中 而自旋向下的电子的在 晶格上的跃迁矩阵元是自旋向上的电子的跃迁矩阵元的复数共轭 这样的哈密 顿量可以由自旋轨道耦合提供 这样整个系统具有时间反演不变性 在这个最 17 第 2 章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性 图 2 2 haldane的量子反常霍尔效应中采用的六角晶格 摘自文献 haldane 1988 简单的模型的中 方向的的自旋是守恒的 自旋向上的电子的霍尔电导是 2 2 9 自旋向下的电子的霍尔电导是 2 2 10 相应的 自旋向上的电子对自旋霍尔系数贡献是 2 4 2 11 自旋向下的电子对自旋霍尔系数贡献 2 4 2 12 总的自旋霍尔系数是 2 2 13 这就是量子自旋霍尔效应的一个简单模型 以上讨论看上去很合理 但是有一个基本的问题还没有说明 在上面的模 型中 我们假定 方向的自旋是守恒的 我们知道 霍尔效应中 我们观测的 18 第 2 章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性 是电荷的输运 电荷是守恒的 所以我们可以明确的说电流输运了电荷 但是 在一般的自旋霍尔效应中 自旋却并不守恒 我们知道 自旋轨道耦合会破坏 自旋守恒 那么 在自旋不守恒的情况 或者说无法定义一个守恒的自旋流 下 量子自旋霍尔效应中的 量子 是什么意思呢 这时候 自旋霍尔系数并不是量 子化的 我们还能称这个模型为量子的自旋霍尔效应吗 在2005年的另外一篇文献中 kane和mele回答了这个问题 简单的说 如 果保持时间反演不变性 有一大类二维绝缘体的哈密顿量不能连续的变形成为 平凡的绝缘体 它们具有非平凡的边缘态 存在一个 2不变量保证这种拓扑非 平凡的态的稳定性 具体的说 对无电子 电子相互作用的系统 我们能通过bloch态来定 义pfaffi an kane et al 2005b pf pf 2 14 这里 是占据态 是时间反演算符 满足 2 1 pf 的零点包含 了哈密顿量的拓扑信息 时间反演不变性保证了pf 的零点在 和 成对出 现 另外 pf 的零点不可能出现在四个时间反演不变动量处 当哈密顿量 作连续形变时 这些零点可以湮灭 但是 如果只有一对零点 它们不可能湮 灭 因为如果湮灭的话 它们必须在四个时间反演不变动量中的一个处相遇 但是这是不可能的 因为时间反演不变动量处不能可能是pf 的零点 这样 具有奇数对零点的哈密顿量的和具有偶数对零点的哈密顿量在拓扑上是不同 的 具有偶数对零点的哈密顿量总可以连续形变到没有零点的哈密顿量 但是 具有奇数对零点的哈密顿量不管怎么形变 至少会留下一对零点无法消除 因 此 我们可以定义具有偶数对零点的哈密顿量的 2量子数为1 奇数对零点的哈 密顿量的 2量子数为 1 这就是拓扑绝缘体研究中出现最早的 2拓扑不变量 值得说明的是 这里 2拓扑不变量的定义本质上依赖于时间反演不变性 特别 是半整数自旋的费米子的时间反演不变性质 2 1 如果我们把这个关系换 成 2 1 则我们就无法定义这样的一个 2分类 2 3 2bernevig hughes zhang的hgte量子阱模型 第一个实验上实现 的量子自旋霍尔态 虽然kane和mele提出了采用石墨烯 graphene 作为量子自旋霍尔效应的材 19 第 2 章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性 m 图 2 3 畴壁费米子 domain wall fermion 这里水平方向是 2方向 质量项 的符号在 2等于 零附近改变符号 这就是质量项的domain wall 在domain wall附近 会有无能隙的手征费米 子传播 这些费米子就是domain wall fermions 料 但是后来进一步的研究发现 石墨烯中的自旋轨道耦合在dirac点附近太 小 比kane和mele在最初的文献中的简单估计小几个数量级 在目前的实验条 件和精度下无法实现 2006年 bernevig hughes和zhang提出用hgte量子井 quantum well 来实现 量子自旋霍尔效应 这个模型非常在物理上非常简单 它和高能物理中的畴壁 费米子 domain wall fermion 有联系 在高能物理中 为了在晶格上定义手征费 米子 畴壁费米子的概念被提出来 kaplan 1992 简单地说 如果我们要研究 四维空间的手征费米子 我们必须考虑一个五维时空 空间维数增加一维 记 空间坐标为 1 2 3 4 考虑质量为 的dirac费米子 这里 依赖于空 间坐标 这点是至关重要的 我们考虑一个质量的畴壁 sgn sgn 4 2 15 20 第 2 章拓扑绝缘体的不同拓扑不变量之间的等价性 也就是说 质量项在 4 0处改变符号 这样 我们可以证明 dirac方程的解 在domain wall附近存在零模式 这些零模式的波函数随着 4增大作指数衰减 这种局域化的零模式的存在和su schrieffer heeger模型中的孤立子解的来源相 同 su et al 1980 这些domain wall上的零模式就是无能隙的手征费米子 从 低能观点来看 它们只有三个空间自由度 因为在 4方向上的波函数是局域 化 这个方向上的自由度被压制了 我们宇宙中的手征费米子是否起源于这 样的