（基础数学专业论文）三维欧氏空间中的曲纹曲面.pdf

， - j at h e s i si nf u n d a m e t h ec u r v e n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u n e2 0 0 9 1-i - 一 一i誓1，li， 11_ 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示 谢意。 学位论文作者签名：惫雪受 日 期：加7 莎t 多口 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年d一年口一年半口两年口 学位论文作者签名：街嶷 签字日期：_ - 6 - 乡。 导师签名：m 签字日期：h v t 厶了u i k 5 - - 东北大学硕士学位论文 摘要 三维欧氏空间中的曲纹曲面 摘要 本文对直纹曲面和圆纹曲面的概念做了推广，引出了曲纹曲面的概念具体介绍 了由圆锥曲线的轨迹生成的三类曲纹曲面椭圆型曲面、双曲型曲面和抛物型曲 面然后讨论了椭圆型曲面、双曲型曲面和抛物型曲面的w e i n g a r t e n 型曲面，即 w e i n g a r t e n 型曲面存在与否，存在时这三类曲纹曲面的w e i n g a r t e n 型曲面是哪种特殊 曲面本文的具体内容如下： 首先，给出了特殊形式下这三类曲纹曲面的参数表示， 椭圆型曲面： v ( s ，臼) = 工( j ) + r ( s ) ( a c o s o f f ( s ) + b s i n 砂( s ) ) ， 双曲型曲面： v ( s ，o ) = x ( s ) + r ( s ) ( a c o s h o f f ( s ) + b s i n h 砂( 占) ) ， 抛物型曲面： v ( s ，) = 工( j ) + ，( s ) ( ，2 ( s ) + y ( s ) ) ， 其中s 是准线x ( s ) 的弧长参数，s ( s ) ，r ( s ) 是曲线x ( s ) 的主法向量与副法向量 其次，利用三维欧氏空间中的基本公式，计算特殊形式下的各类曲纹曲面的高斯 曲率与平均曲率 再次，利用所得的高斯曲率与平均曲率的表达式，讨论特殊形式下这三类曲纹曲 面的各类w e i n g a r t e n 型曲面 最后，将特殊情形加以推广，讨论x ( s ) 为一般曲线时这三类曲纹曲面的w e i n g a r t e n 型曲面的存在性，本文仅以单参数等轴双曲线族所生成的曲纹曲面为例进行说明 i 关键讯曲纹曲面椭圆型曲面双曲型曲面抛物型曲面高斯曲率；平均曲率 一i i - _ t h ec u r v e ds u r f a c e si n3 - e u c l i d e a ns p a c e a b s t r a c t t h ed e f i n i t i o n so ft h er u l e ds u r f a c e sa n dc y c l i cs u r f a c e sa r eg e n e r a l i z e d ，a n dt h e nt h e d e f i n i t i o no ft h ec u r v e ds u r f a c e si sg i v e ni nt h i sp a p e r c o r r e s p o n d i n g l yt h ed e f i n i t i o n so f t h r e ek i n d so fc u r v e ds u r f a c e sa r eg i v e n ，t h a ti st h e d e f i n i t i o n so fe l l i p t i cs u r f a c e s ， h y p e r b o l i cs u r f a c e sa n dp a r a b o l i cs u r f a c e s t h e nw e i n g a r t e ns u r f a c e so fe l l i p t i cs u r f a c e s ， h y p e r b o l i cs u r f a c e sa n dp a r a b o l i cs u r f a c e sa r ed i s c u s s e d t h ec o n s e n t so ft h i sp a p e ra r e f o l l o w i n g ： f i r s to fa l l ，t h ep a r a m e t e r so ft h r e et y p e so fc u r v e ds u r f a c e si nt h ep a r t i c u l a rf o r ma r e g l y e n , e l l i p t i cs u r f a c e s ： h y p e r b o l i cs u r f a c e s ： v ( s ，臼) = x ( s ) + r ( s ) ( a c o so f l ( s ) + bs i nt 净 ( s ) ) ， v ( s ，0 ) = x ( s ) + r ( s ) ( a c o s h o f f ( s ) + b s i n h o y ( s ) ) ， v ( s ，1 ，) = x ( s ) + ，( j ) ( v 2 ( s ) + 硝( s ) ) w h e r ex ( s ) p a r a m e t r i z e db ya r c - l e n g t hi sc a l l e dab a s ec u r v ea n d ( s ) ，r c s ) a r et h e n o r m a lv e c t o rf i e l da n dt h eb i n o r m a lv e c t o rf i e l do ft h ec u r v ex ( s ) ，r e s p e c t i v e l y s e c o n d l y ，a c c o r d i n gt ot h ef o r m a t i o ni n3 - e u c l i d e a ns p a c e ，t h ec a l c u l a t i o no fg a u s s c u r v a t u r ea n dm e a nc u r v a t u r eo fv a r i o u st y p e so fc u r v e ds u r f a c e sa r eg i v e n t h i r d l y , u s i n gt h ee x p r e s s i o no ft h eg a u s sc u r v a t u r ea n dm e a nc u r v a t u r e ，w e i n g a r t e n s u r f a c e so fc u r v e ds u r f a c e sa r ed i s c u s s e d f i n a l l y ，g e n e r a l i z i n gt h es p e c i a lc i r c u m s t a n c e sw h e t h e rt h ew e i n g a r t e ns u r f a c e so f t h e c u r v e ds u r f a c e sa r ee x i s t e do rn o ti sd i s c u s s e da st h eb a s ec u r v ei st h eg e n e r a lc u r v e t h i s a r t i c l eo n l yt a k e st h ec u r v e ds u r f a c e sf o l i a t e db yas m o o t ho n e p a r a m e t r i cf a m i l yo fp i e c e s o f e q u i l a t e r a lh y p e r b o l af o re x a m p l e k e yw o r d s ：c u r v e ds u r f a c e s ；e l l i p t i cs u r f a c e s ；h y p e r b o l i cs u r f a c e s ；p a r a b o l i cs u r f a c e s ； g a u s sc u r v a t u r e ；m e a nc u r v a t u r e 1 1 1 也厂 l ； ， 东北大学硕士学位论文 目录 目录 独创性声明i 学位论文版权使用授权书i 摘要i i a b s t r a c t i i i 第1 章引言1 1 1 微分几何的发展史l 1 2 研究背景1 1 3 本文的主要研究内容2 第2 章预备知识3 2 1 三维欧氏空间中的内积与外积3 2 2 三维欧氏空间中的线性无关函数系3 2 3 三维欧氏空间中的曲线论3 2 3 1 正则参数曲线3 2 3 2 曲线的f r e n e t 标架与f r c n c t 公式4 2 4 三维欧氏空问中的曲面论5 2 4 1 正则参数曲面5 2 4 2 曲面的第一基本量5 2 4 3 曲面的第二基本量6 2 4 4 曲面的高斯曲率与平均曲率6 第3 章曲纹曲面及其类型7 3 1 椭圆型曲面8 3 2 双曲型曲面1o 3 3 抛物型曲面一1 3 第4 章曲纹曲面的w e i n g a r t e n 型曲面1 5 4 1 常高斯曲率曲面16 t r ， r 东北大学硕士学位论文目录 4 1 1 零高斯曲率曲面1 6 4 1 2 非零常高斯曲率曲面1 8 4 2 常平均曲率曲面2 0 4 3 满足旅+ 伊= c 的w e i n g a r t e n 型曲面2 4 第5 章双曲型曲面2 9 5 1 定理5 1 的证明2 9 5 2 定理5 2 的证明3 3 第6 章总结3 7 参考文献3 9 致谢4 1 v 3 j ， 东北大学硕士学位论文 第1 章引言 第1 章引言 在人类文化的发展历程中，数学直占据着十分独特的地位它不仅为研究自然 晁提供了科学的方法和工具，而且已经广泛地渗透到了人类文化发展的众多领域，成 为各门科学包括自然科学、社会科学、人文科学和思维科学发展的共同工具特别是 一些辉煌的数学成果，如欧氏几何、非欧几何、哥德尔定理等对人类社会所产生的精 “ 神方面的影响并不亚于对数学的影响，它对人们的认识观、伦理观乃至人生观都产生 厂 了一定的作用 1 1 微分几何的发展史 几何学是数学中最古老的一门分科，如果从欧几里得的几何原本算起，至今 已有两千年的历史，而且该学科长盛不衰，其内涵一直在不断地延展之中 微分几何是以微积分作为工具研究曲线和曲面的性质及其推广应用的几何学，作 为数学的一个分支，它渗透到各数学分支和理论物理等学科中，成为推动这些学科发 展的一项重要工具经典的微分几何研究三维欧氏空间中的曲线和曲面在一点邻近的 性质，它是用微积分和线性代数的方法研究空间曲线和曲面形状，找出决定曲线和曲 面形状的不变量系统 三维欧氏空间中曲线和曲面的几何理论以及曲面的内蕴几何历史悠久，内容丰 富对微分几何做出杰出贡献的数学家有e u l e r 和m o n g e ，而对微分几何学做出划时 代贡献的是g a u s s g a u s s 认为非欧空间与欧氏空间的区别实质在于空间具有不同的度 量形式，从而具有不同的弯曲性质欧氏空间是平直的，而非欧空间是负常弯曲 的g a u s s 的这个惊人发现开创了一个新时代：过去微分几何所研究的是欧氏空间中 曲线与曲面的弯曲性质，而现在赋予度量形式的空间本身就是微分几何的研究对象这 使得微分几何真正成为一个独立的学科r i e m a n n 在1 8 5 4 年的演讲中把g a u s s 的理论 推广到高维的空问，黎曼几何就此诞生，r i e m a n n 的思想引起了许多工作者来发展他 ，的新几何，经过c h r i s t o f e l l ，b e l t r a m i 以及随后的b i a n c h i ，r i c c i 和l e v ic i v i t a 等人的 努力，欧氏空间中曲线和曲面的几何理论在1 9 世纪末蓬勃发展起来 1 2 研究背景 直纹面是由单参数直线族所生成的曲面，它是类比较重要的曲面它的参数方 程为：r ( u ，v ) = a ( u ) + v b ( u ) ，其中a ( u ) 称为直纹面的准线，b ( u ) 为直纹面母线的方向 ，1 一 东北大学硕士学位论文第1 章引言 矢型对于直纹面的研究已经深入到各个方面，特别是对其w e i n g a r t e n 型曲面的分 类及其自身对应的一些特征【2 一钉 圆纹曲面是微分几何的一个重要研究领域，关于它的研究，最早是由e n n e p e r 发 起的，在1 8 8 6 年，e n n e p e r 就发现了圆纹极小曲面，即悬链面，并用椭圆积分给出了 一个具体的表示后来，r i e m a n n 也得到了同样的结果球面，圆柱面，圆环面等都 是三维欧氏空间中圆纹曲面的例子圆纹曲面是由单参数圆族所生成的曲面，是由直 纹曲面的定义延拓而来的，故它的参数方程可以表示为： ，( f ，0 ) = x ( t ) + r ( t ) ( e o s o a i ( t ) + s i n o a 2 ( ，) ) ，其中x ( f ) 称为准线，曲线a ia 2 称为准标架， 标准圆0 一x ( t ) + r ( e o s o a , ( t ) + s i n o a 2 ( f ) ) 称为母圆【5 1 作为一类重要的曲面，n i t s e h e 对三维欧氏空问中的平均曲率是常数的圆纹曲面进行了研究，得到了该类圆纹曲面的 具体分类【6 】l o p e z 研究了三维欧氏空间中g a u s s 曲率是常数的圆纹曲面、g a u s s 曲率 k 与平均曲率日满足a k + 坍= c ( 其中，a ，b ，c 为常数) 的w e i n g a r t e n 型曲面的分类以 及研究了主曲率满足q = ，l 砀+ ”线性关系的w e i n g a r t e n 型曲面，另外他还研究y _ - 维 m i n k o w s k i 空间中圆纹曲面的常平均曲率曲面【7 。o 】 由任意曲线的轨迹生成的曲面称为曲纹曲面对于曲纹曲面的上述性质很少有人 研究过，故本文将利用上述研究思路来研究曲纹曲面曲纹曲面范围广泛，本文仅对 由圆锥曲线的轨迹生成的三类曲纹曲面进行研究 1 3 本文的主要研究内容 本文在三维欧氏空间曲线论与曲面论的基础上，以准线上任意点处的基本三棱形 作为三维欧氏空间中由圆锥曲线的轨迹生成的椭圆型、双曲型及抛物型三类曲纹曲面 的活动标架，得到各类曲纹曲面的具体参数表示，进而利用建立的活动标架计算这三 类曲纹曲面的高斯曲率与平均曲率，从而利用得到的各类曲纹曲面的高斯曲率与平均 曲率讨论它们的各类w e i n g a r t e n 型曲面，即常高斯曲率曲面，常平均曲率曲面及满足 a k + 坍= c ( 其中，a ，b ，c 为常数) 的曲面此外，本文还将推广此特殊情形，得到更 一般的结论 - 2 - 、 东北大学硕士学位论文 第2 章预备知识 第2 一章预备知识弟覃坝酋划识 2 1 三维欧氏空间中的内积与外积 在三维欧氏空间e 3 中【1 1 1 正交标架弛) 1 1i = = 1 ，2 ，3 ， 印e j2 1 0i # j 任取向量口= ( 口。，口：，口，) ，= ( b i ，b ：，6 3 ) ，其中a ，包r ，i = 1 ，2 ，3 内积定义为： 口= q6 l + 口2 6 2 + a 3 b 3 外积定义为： 口= ( 1 乏毒i ，l 乏三1 l ，l 羞乏d 2 2 三维欧氏空间中的线性无关函数系 三角函数系【1 2 】 双曲函数系 1 ，s i n x ，c , o s x ，s i n 2 x ，c o s 2 x ，s i n n x ，c o s n x 1 ，s i n h x ，c o s h x ，s i n h 2 x ，c o s h 2 x ，s i n h n x ，c o s h n x 实系数多项式系1 3 】 l ，x ，x 2 ，工3 x “一1 2 3 三维欧氏空间中的曲线论 厂2 3 1 正则参数曲线 在直观上，e 3 中的一条曲线是指e 3 中的一个点随时间的变化而运动时所描出的 轨迹换言之，e 3 中的一条曲线c 是从区间 乜，b 】到e 3 中的一个连续映射，记为 p ： 口，b 】一e 3 ， ( 2 1 ) 一3 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 称为参数曲线在e 3 中取定一个正交标架 d ；f ，k ，则曲线c 上的点p ( f ) 0sf 6 ) 和 向量万两是等同的命，( f ) = o p ( t ) ，则厂( f ) 可以用标架向量f ，j ，后表示为 ，( f ) = x ( t ) i + y ( t ) j + z ( t ) k ( 2 2 ) 这样，映射( 2 1 ) 等价于三个实函数x ( f ) ，y ( f ) ，z ( t ) 因此，我们通常在固定的笛卡儿直 角坐标系 d ；f ，后 ：把曲线c 直接记成 r ( t ) = ( x o ) ，y o ) ，z o ) ) ，t 口，b 】( 2 3 ) 其中f 是曲线的参数，( 2 3 ) 式称为曲线c 的参数方程 为了保证曲线有良好的性质，我们一般要求曲线具有j 下则性如果，7 ( f ) 0 ，则曲 线在点，- ( ，) 的切线是完全确定的，这样的点称为曲线的正则点 我们所研究的参数曲线厂( f ) 要满足下面两个条件： ( 1 ) ，( f ) 至少是自变量t 的三次以上连续可微的向量函数， ( 2 ) 处处是正则点，即对于任意的t 有，( f ) 0 这样的参数曲线称为正则参数曲线f 1 4 1 2 3 2 曲线的f r e n e t 标架与f r e n e t 公式 给出c 2 类曲线c 和c 上一点p 设曲线c 的方程是，( j ) ，其中s 是曲线的弧长参 数，则 d r 口= ，= 凼 是一单位向量口称为曲线c 上p 点的单位切向量 由于川= l ，应j _ a ，则在盘( 西石时) 上取单位向量 2 鬲2 向， 称为曲线c 上p 点的主法向量 再作单位向量 厂= a x f l ， y 称为曲线c 上p 点的副法向量 4 、 f ， 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 故把两两正交的单位向量缸，y ) 称为曲线c 上尸点的f r e n e t 标架 相应地，空间曲线的f r e n e t 公式为 f 西= r ( s ) p ， = - x ( s ) a + r ( s ) r ， 【户= 一r ( s ) 其中，r ( s ) = 西，r 0 ) = 夕y 【 2 4 三维欧氏空间中的曲面论 2 4 1 正则参数曲面 所谓的参数曲面s 是指从e 2 中的区域d 到空间e 3 的一个连续映射s ：d e 3 若 在e 2 和e 3 中分别建立了笛卡儿直角坐标系，用( “，1 ，) 记e 2 中的点的坐标，用( x ，y ，z ) 记 矿中点的坐标，则参数曲面s 的方程可以表示为 i x = x ( u ，) ， y = y ( u ，y ) ， ( “，y ) d( 2 4 ) 【z = z ( u ，1 ，) 或者写成向量方程的形式 ，= r ( u ，1 ，) = ( x ( u ，v ) ，y ( u ，1 ，) ，z ( u ，1 ，) ) ( 2 5 ) 曲面s 的参数曲线在点e o ( u o ，v o ) 的两个切向量是 v o ) = 乳r ，( u o m = 乳 ( 2 6 ) 如果，：( ，v o ) ，r v ( u o ，) 是线性无关的，即屹oi ( 0 ，则称曲面s 在点r 是正则 的我们所研究的曲面都是3 次以上连续可微的，处处是正则点的参数曲面，称为正 则参数嗑面f 1 4 1 2 4 2 曲面的第一基本量 设曲面s 的方程为，= r ( u ， ，) ，则有 办2 = 吒2 d u 2 + 2 r r v d u d v + r ，2 d v 2 称为曲面s 的第一基本形式用 - 5 - 东北大学硕士学位论文 第2 章预备知识 i = e d u 2 + 2 ，巩咖+ g d v 2 表示其中 e = 吒，= i ，f = ，= l ，：，g = ，：，2 吒，= i ，= ，= l ，：，= ，：， 称为曲面s 的第一基本量【l 】 2 4 3 曲面的第二基本量 设曲面s 的方程为，：，( “，v ) ，刀：乒萼为曲面s 的单位法向量，则有 i 屹，：，i 力d 2 r = r r u d u 2 + 2 n 吒，d u d v + n ，w 咖2 称为曲面s 的第二基本形式用 i i ：l d f + 2 m d u d v + n d v 2 表示其中 l = 屹。靠，m = 气，刀，n = ，刀 称为曲面s 的第二基本量【l 】 2 4 4 曲面的高斯曲率与平均曲率 设曲面s 的第一基本量，第二基本量分别为e ，f ，g 和厶m ， 令 k ：l n - 了m 2 ， e g f 1 。 日：l g - 2 m f ：+ 一n e 2 ( e g f 2 ) k ，日分别称为曲面s 的高斯曲率与平均曲率【l 】- - 6 、 东北大学硕士学位论文笫3 章曲纹曲面及其类型 第3 章曲纹曲面及其类型 类似于直纹曲面和圆纹曲面的定义，曲纹曲面就是由单参数曲线族所生成的曲面， 在这里研究由单参数圆锥曲线族所生成的曲纹曲面，而圆锥曲线包含三种曲线，即椭 圆、双曲线与抛物线，相应地生成的曲纹曲面包含椭圆型曲面、双曲型曲面与抛物型 曲面三类本章主要介绍这三类曲纹曲面的定义及它们的基本量、高斯曲率和平均曲 率的表示 定义3 1 椭圆型曲面是由单参数椭圆族所生成的曲面，其参数表示为 v ( t ，0 ) = x ( t ) + r ( t ) ( a c o s o a l ( t ) + b s i n o a 2 ( f ) ) ， 其中a ，b 为常数，不妨设a b ； 双曲型曲面是由单参数双曲线族所生成的曲面，其参数表示为 v ( t ，矽) = x ( t ) + r ( t ) ( a e o s h o a l ( t ) + b s i n h o a 2 ( f ) ) ， 其中a ，b 为常数； 抛物型曲面是由单参数抛物线族所生成的曲面，其参数表示为 v ( t ， ，) = “f ) + ，o ) ( 1 ，2 口，( f ) + p 心( f ) ) ， 其中p 为常数； 并且假定对于任意给定的f ，都有口i a 。= 口2 a ：= l ，a ，a 2 = o 此时不妨设常数均大于 零且r ( t ) 0 本章及下一章将研究特殊形式下的曲纹曲面即将x ( f ) 取成弧长参数形式， a l ( f ) ，a ：( ，) 分别取成曲线工( f ) 的主法向量与副法向量厂此时曲纹曲面的参数方程化 为： 椭圆型曲面： v ( s ，o ) - - x ( s ) + r ( s ) ( a c o s o f f ( s ) + b s i n o ? ( s ) ) ， 双曲型曲面： v ( s ，0 ) = x ( s ) + r ( s ) ( a c o s h o f f ( s ) + b s i n h o y ( s ) ) ， 抛物型曲面： v ( s ，) = x ( s ) + ，( s ) ( 1 ，2 f f ( s ) + p v r ( s ) ) ， 且对于曲线x ( s ) ，有毫= 口，口是曲线x ( s ) 的单位切向量，考虑曲线x ( s ) 的f r e n e t 标 一7 - 东北大学硕士学位论文 第3 章曲纹曲面及其类型 架忸，办，其中，厂分别是主法向量和副法向量，则曲线x ( s ) 的f r e n e t 公式为： f 西= x ( s ) p ， = 一x ( s ) a + r ( s ) r ， i 户= - r ( s m 3 1 椭圆型曲面 特殊形式下的椭圆型曲面的参数方程为 v ( s ，0 ) = x ( s ) + r ( s ) ( a c o s o p ( s ) + b s i n o y ( s ) ) 第一基本量 f e = ( 1 一a r x c o s o ) 2 + ( ，2 + ，2 f 2 ) 6 2 + ( 口2 一b 2 ) c o s 2p ， f = a b r 2 f 一( 口2 一b 2 ) r r s i n o c o s 0 ， ig = r 2 【6 2 + ( 口2 6 2 ) s i n 2 口】 单位法向量 其中 且 粘端2 扣咖，+ ( 确r r s i n o c o s o 卜 b e o s o ( 1 一a r x e o s o ) f l - a s i n o ( 1 - a r x c o s o ) r w = a b r + ( 口2 一b 2 ) r r s i n o c o s o 2 + ( 1 一a r x c o s o ) 2 【6 2 + ( 口2 一b 2 ) s i n 2p 】 4 = 昂+ ( 只s i n n o + q c o s n o ) n = l 昂= i il 口2 + 6 2 ) + 口2 6 2 r t 2i l ( a 2 _ 6 2 ) 2 r 2 f 2 + i 1l 口2 + 3 6 2 ) 2 ，2 r 2 ， 眉= b = 只= o ， 昱= a b ( a 2 - b 2 ) r r f ， q i ：一丢以( 口2 + 3 6 2 ) q ：斗1 口2 6 2 r 2 m 2 _ a 2 + 6 2 ) ， q 3 = 丢口( a 2 - 6 2 ) q 4 一吾( a 2 _ 6 2 ) ，2 ( a 2 - 6 2 ) t 2 + a 2 w 2 】 8 - 、 f 其中 第二基本量 l 2 万1 m ( r w - - r f 2 ) + 口州耵s l n 秒+ 6 【口2 ( r r k 一，2 盯2 - 2 r 2 k - r r 茁) - r c o s 0 - ( 口2 一b 2 ) ( 2 ，t - i - r z ) s i n o c o s 0 + 2 a b r a ：2c o s 2o - a 2 b r 2 k 3 c o s 3p + b ( a 2 一b 2 ) ，2 舸2s i n 2o e o s o + a ( a 2 - b 2 ) ，2 ( x r - r r ) s i n o c o s 2 田， m = 赤【6 2 t + a 2 榔i n p 一曲2 ，舸c o s l 9 + ( ( 1 2 - 6 2 弦s i n 2 钆 2 万r ( a b - a 2 b r x e o s o ) ， 高斯曲率 k = l n m 2 e g f 2 k = = l r w 2 = 嘉【a + 善4 ( 以s i l l 肌e c o s 啡 4 _ a 2 三x l r - - r 2 1 c - b 2 r , _ t _ a 4 b 2 r t c ( r r x l r - - r 2 ，r r ) 一言( 口2 6 2 ) 2 厂f 2 + 4 ，厂r ) 一言( 口2 2 厂f 2 + 吾口2 6 2 ( a 2 - 6 2 ) r 3 x 2 r 2 + 吾口2 6 2 r r 2 + 言口4 6 2 ，3 r 4 ， 4 = a 2 b ( a - 6 2 ) r 2 ( 2 x r 一r ) _ a 4 6 所， 最= 口b 2 a z ( 2 r r k 2 r , 2 c _ k ，) - 三( 矿山2 ) r 2 哺一云a 2 r 2 ， 气0 4 = 去【2 口3 6 3 r 2 r , k 2 z _ 2 口b ( a 2 - 6 2 ) ( 2 r “) - a 3 b ( a 2 - - 铲) r 3 x ( x r 吖纠， 岛= 扣4 ) r r 2 + 3 如2 r c 2 + c 1 4 6 2 r 3 r 4 + d 2 6 2 ( a 2 - 6 2 ) 2 ，一 a 4 b 2 r k ( r r 。r 一3 r 7 2 k 一厂厂茁) 】， 4 = a 2 b ( 口2 一b 2 ) ( 2 r 2 k r - - r 2 k r t + 4 r r 7 x r ) ， 马= 一三4 口6 z r 2 x ( a 2 - 6 2 ) r 2 + 口2 茁2 】， a - - _ _ l 萏a 3 b ( g 2 - 6 2 ) r 3 t c ( t c r 一吼 鼠。扣矿_ 6 2 ) r t 2 + a 4 6 2 r 3 k 4 + a 2 6 2 ( 办6 2 ) r 3 k 2 f 2 - 9 东北大学硕士学位论文 第3 章曲纹曲面及其类型 其中 平均曲率 h ：l g - 2 m f + n e ：l 2 ( e g - f 2 ) 2 r 缈； 1 5 = 与峨+ ( es i n n o + 1 9 c o s n o ) 2 r 矽j ”1 1 c o = i 1 口6 4 + 2 。2 + 6 2 ) r p 2 _ 2 ( a 2 + 6 2 ) + ( 7 a 2 + 3 6 2 ) ，2 r 2 】， q 2 2 口6 2 ( 3 b 2 7 口2 ) r 2 r k 2 r - - a ( 扎6 4 ) ，3 ( 舸叫f ) 】， d i2 吉 2 a 2 b ( a 2 + 3 b 2 ) ( r 2 r w k ：- 3 玎2 r 一，2 ，髟) 一2 b ( 13 a 2 + 3 6 2 ) ，茁一 a 2 b ( 7 a 2 + s b 2 ) ，3 k 3 一b ( a 2 一b 2 ) ( 7 口2 一b 2 ) ，3 r 2 f 2 】， c ：- - - 丢( 小6 4 ) 以砬= 争州口2 _ 6 2 ) 一+ r 2 + 2 r 2 r 2 ) 砌( 3 a 2 + 2 确 2 】， c 3 = 去口( 口2 - b 2 ) ( 口2 + 3 b 2 ) ，3 ( x r 一r o ) 一1 2 b 2 ，2 厂，誓2 r 】， 量o 皿= 去【4 6 ( 口2 一b 2 ) r x 一6 ( 口2 6 2 ) ( 3 口2 + 6 2 ) ，3 r 2 f 2 一 l o a 2 b ( 3 a 2 + 5 b 2 ) ，3 r 3 4 a 2 6 ( 口2 6 2 ) ( ，- 2 厂t c + r r 2 r 一，2 ，r ) 】， c 4 = 扣6 2 ) 2 恺d 4 一丢坝 扔 2 ， c , = - i l 。以( 口2 6 2 ) 2 ，3 ( 舸一吼d 5 = i b ( a - 6 2 ) 2 r 3 科( a 2 _ 6 2 ) f 2 + a 2 k 2 3 2 双曲型曲面 特殊形式下的双曲型曲面的参数方程为 v ( s ，0 ) = x ( s ) + r ( s ) ( ac o s ho f f ( s ) + b s i n ho y ( s ) ) ie = ( 1 - a r x c o s 2 + ( ，圮+ 厂2 f 2 ) ( 口2c o s h 2o + b 2s i n h 2 臼) ， f = a b r 2 f + ( 口2 + 6 2 ) r r 7 s i n h o c o s h 0 ， ig = r 2 【6 2 + ( a 2 + 6 2 ) s i n h 2p 】 肛踽2 扣咖七2 渺蓟舢c o s 口一 b c o s h 0 ( 1 一甜r c o s h 乡) + 口s i n h 秒( 1 一r c o s h d 力 1 0 、 ， 东北大学硕士学位论文笫3 章曲纹曲面及其类型 其中 且 。 其中 w = a b r 一( 口2 + 6 2 ) r r s i n h o c o s h o 2 + ( 1 - a r x c o s h o ) 2 ( 口2s i n h 2o + b 2c o s h 2 秒) 4 = p o + ( p 。s i n h n o + q c o s h n 0 ) n i l 昂= 一三( 口2 6 2 ) + 口2 6 2 厂“一i 1l 口2 + 6 2 ) 2 r 2 r 2 _ 虿1 口2 3 6 2 ) 2 厂2 k 2 ， 眉= b = 只= o ，忍= - a b ( a 2 + 6 2 ) 矿f ， g = j 1 口( a 2 - 3 q 2 = 三( 如2 r 2 & - 2 + a 2 + 6 2 ) ， 奶= 一圭口( 口2 + 6 2 ) q 习1 口2 + 6 2 ) ，2 ( 冉6 2 ) g 2 + a 2 k 2 】 第二基本量 三2 丽1 却b ( r - r r 2 ) + 口附材s 1 1 1 1 伊+ 6 【以2 ( r r 。k 一厂2 盯2 2 r 2 r 一胪r ) 一x c o s h o + ( a 2 + 6 2 ) ( 2 ，7 f + ，f 7 ) s i n h 臼c o s h p + 2 口6 旷r 2c o s h 20 一a 2 b r 2 彭3c o s h 30 6 ( 口2 + 6 2 ) ，2 k r 2s i n h 20 c o s h 0 一a ( a 2 + 6 2 ) ，2 ( 盯一x r ) s i n h o c o s h 29 ) ， m 2 赤 6 2 f _ a 2 打k s i l l l l 秒一曲2 ，舸c o s h 秒+ ( + 6 2 ) 邵i l l l l 2 印， 2 万r ( a 2 b r x c o s h o - a b ) 高斯曲率 k ：l n - m f 2 ：喜 e g f 2r w 2 = 嘉【4 + 喜( 删i l i l 肌乜c 。s h 聆纠 4 = 口2 6 2 ，一+ 圭口4 6 2 r k ( n k _ r p 2 k _ ) 3 口2 + 6 2 ) 2 玎2 一 言口2 6 2c 口2 + 6 2 ) r 3 m 2 k 2 _ 吾口2 易2 r t 2 _ 詈d 4 6 2 ，3 r 4 ， 4 = i 1 口2 6 ( a 2 + 咖2 ( 2 r r 一r ，) 一口4 6 玎舸， b i - - - a 6 2 t c - a 2 ( 2 g - 2 r f - 仃7 盯) + 三( 口2 + 6 2 ) ，2 心f 2 + 詈a 2 r 2 x 3 ， 1 1 东北大学硕士学位论文第3 章曲纹曲面及其类型 其中 = - 1 1 2 口3 6 3 r 2 r t l c 2 t + 2 口6 ( a 2 + 6 2 ) ( 2 ，f + 阿) + 口3 6 ( a 2 + 6 2 ) r 3 x ( _ i 盯一r ) 】， 垦= 尹1 ( 口4 6 4 ) r r 2 - 3 口2 6 2 ，_ a 4 6 2 r 3 m 4 _ a 2 师2 + 6 2 ) ，3 茁2 f 2 + a 4 b 2 r x ( r r 誓一3 r “t 一，7 r ) 】， 4 = 丢如( a 2 + 6 2 ) ( 2 ，2 舸t _ r 2 k _ + 4 ， b = 丢动2 r 2 缸( a 2 + 6 2 ) t 2 + a 2 c 2 】， 以一吾舶( a 2 + 6 2 ) r 3 x ( 舸7 一纠， 只一言【( a 2 + 6 2 ) r t 2 + a 4 6 2 r 3 k 4 + a 2 巩 6 2 ) r 3 c 2 f 2 】 平均曲率 h = l g 一2 m f + n e 2 ( e g f 2 ) 3 2 r w 2 5 c o + ( gs i n h n o + d 。c o s h n s ) n = l c o = i 1 口6 2 ( a 2 - 6 2 ) ，r 。一2 ( 6 2 - 跏“一4 7 a _ 3 6 2 ) r 2 1 c 2 】， c l = 2 口6 2 ( 3 b 2 批2 ) r 2 r k 2 t + a ( a 4 - 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