（基础数学专业论文）meyer小波方法求解变系数热传导方程.pdf

摘要 摘要 三曼羞；_uzz(ztl三三量1t。； 关键词：热传导方程；不适定问题；多分辨率分析；m e y e r 小波 a b s t r a c t 曼删, , i i i ! i i i i i i i i i i i 蔓曼曼曼! 皇曼曼麓燃篡舅曼邑曼曼皇曼嬲嬲曼量蔓曼曼皇笪燃燃邕鼍 a b s t r a c t m a n yp h y s i c a la n de n g i n e e r i n gp r o b l e m sr e q u i r et h es o l u t i o no ft h eh e a tc o i l - d u c t i o ne q u a t i o n i nt h i sp a p e r w es h a nc o n s i d e rt h eh e a tc o n d u c t i o ne q u a t i o n w i t hv a r i a b l ec o e l 王i c i e n t s 巨；_ 一_ 蓦独 w h e r ek ( x ) i sb o u n d e db e l o wb yap o s i t i v ec o n s t a n ta n d g ( t ) i sa k n o w nf u n c t i o n t h i si sa i li l l - p o s e dp r o b l e mi nt h es e n s et h a tas m a l ld i s t u r b a n c eo nt h eb o u n d a r y s p e c i f i c a t i o n9 ( t ) ，c a d p r o d u c eab i ga l t e r a t i o no ni t ss o l u t i o n ，i fi te x i s t s w e c o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fas o l u t i o nu ( x ，) l 2 ( 歉) a n do b t a i nt h ea p p r o x i m a t i n g s o l u t i o nd e f i n e di nt h es c a l i n gs p a c e sk ，b yu s i n gm e y e rw a v e l e tm e t h o dt of i l t e r a w a yt h eh i g hf r e q u e n c e st h es t a b i l i t yo ft h es o l u t i o ni sr e s t o r e d w ed e r i v et h e e r r o re s t i m a t e sb e t w e e nt h ee x a c ts o l u t i o no ft h ep r o b l e ma n dt h ea p p r o x i m a t i n g s o l u t i o nd e f i n e di nt h es c a l i n gs p a c e s i nt h es e n s eo fp o i n t w i s ec o n v e r g e n c ea n d l 2n o r m k e y w o r d s ：h e a tc o n d u c t i o ne q u a t i o n ；i l l - p o s e dp r o b l e m ；m u l t i - r e s o l u t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获 得北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名：我华 日期：加口彭多 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 硌张华导师猕瑶矗喊加o r y 第1 章绪论 1 1 基本概念及符号 第l 章绪论 在本章中，首先分绍本文所需盼一些基本概念及符号。 n 表示自然数全体，z 表示整数全体，酞表示实数全体，c 表示复数全体 令1 假) 为所有绝对可积函数组成的空间，即 其范数定义为； ，+ 五1 ( 酞) _ ，( z ) ：7 i f c z ) i d z + o o ，一o o ，- 叶4 0 0 i f l l 厶1 = i f ( x ) l d x ，v f ( x ) 毯l 1 ( r ) ，一 令l 2 ( r ) 为所有平方可积函数组成的空间，即 其内积定义为 其范数定义为： 广十 6 2 ( 酞) = ，( 茹) ：i f ( x ) 1 2 d x + 。o ) ， ，一 f f - 0 0 ，g 一7 f ( x ) g 一( x ) d x ，w ( 茗) ，萝( 茹) l 2 ( 嘞。 ，一 ，t i l f l l l ：一( _ i f ( x ) 1 2 如y ，v f ( x ) l 2 ( 取) ，一 2 ( z ) 空间为所有平方可和的序列组成的空间，即 + z 2 ( z ) = 。= 。x l ，+ c b 。：c ，l z n l 2 + 。o 北京工业大学理学硕士学位论文 该空间中的内积定义为： 其范数定义为； p = ( 蚓2 ) ，比z 2 ( z ) 对于f ( x ) l 1 ( r ) nl 2 ( r ) ，定义y ( x ) 的f o u r i e r 变换为 讯) = 去e m ) e - 域缸 对于任意，( z ) ，g ( x ) l 2 ( r ) ，有p l a n c h e r e l 公式成立； ( ，g ) = ( ，) 1 2背景及研究现状 1 9 1 0 年，h a a r 给出了第一个正交小波基一h a a r 小波 1 9 8 1 年s t r o m b e r g 对h a a r 系进行了改进，证明了小波函数的存在性1 9 8 6 年，m e y e r 创造性地构 造出了具有一定衰减性质的光滑函数妒0 ) ，并证明其二进伸缩平移系【奶七( z ) = 2 2 z 妒( 2 j x - k ) ，歹，k z ) 构成l 2 ( r ) 的标准正交基，由此掀起了小波热潮继m e y e r 小波提出后，l e m a r i e 和b a t t l e 又分别独立地构造出了具有指数衰减的小波函 数此后，m a l l a t 将多尺度分析思想引入小波分析，提出了多分辨分析的概念， 成功地统一了s t r o m b e r g ，m e y e r ，z e m a r i e 和b a t t l e 等人的小波构造方法并将 m a u a t 算法有效地应用于图像的分解与重构1 9 8 9 年，d a u b e c h i e s 运用多分辨 率分析构造了具有紧支撑的正交小波1 9 9 0 年，c h u i 和王建忠基于样条函数构 造了正交小波函数，并讨论了具有较好局部化性质的尺度函数和小波函数的构造 方法i x - 4 1 这样，小波分析的理论初步得到了建立 z产 秒 比 菇 z 枷一 = 、邝 y z 第1 章绪论 众所周知，多分辨率分析是构造性质良好的小波的一个重要工具l 2 ( r ) 中 的多分辨率分析是指一列线性闭子空间巧，满足： ( 1 ) 嵋+ l ， z ； ( 2 ) u 可= l 2 ( r ) ，nv j = ( o ) ； j zj z ( 3 ) f ( x ) v o 当且仅当f ( 2 j x ) 巧， 坳，k z ； ( 4 ) 存在妒( z ) 使得 妒( z 一尼) ) 七z 为的标准正交基，其中妒( z ) 称 为此多分辨率分析的尺度函数 从多分辨率分析定义可得 巧= s p a n 后( z ) ) 七z ， 其中伤七( z ) = 2 ；妒( 掣z 一七) ，j ，充z 另外存在由尺度函数妒( z ) 定义的小波函 数妒( z ) l 2 ( r ) 使得对固定的j ，函数族奶惫( z ) = 2 矽( 2 一七) ，七z 为 的标准正交基，其中为空间巧在- 空间的正交补( 吩卜1 = 巧) 因 此 咖詹( 。) h 七z 为三2 ( r ) 的标准正交基 m e y e r 尺度函数妒( ) 的f o u r i e r 变换( ) 由下式给出 涨卜烈孔h 儿 其中函数( s ) c ( r ) 满足 ，、0 l ，【s ) 2 【1 ， 蚓s 孥， 警 誓， 其它 8 0 ， ( s ) + 矽( 1 一s ) = 1 8 1 北京工业大学理学硕士学位论文 易见妒( ) c o o ( r ) ，且【5 1 i 妒 ( ) f 丽，尼= 。，1 ，2 ；礼= 2 ，3 ；r 由m e y e r 尺度函数妒( ) 可以得到相应的m e y e r 小波函数矽( z ) ，其f o u r i e r 变 换够( ) 为 妒( ) = 孺1c - - i 。8 i n 【三( 妾一1 ) 1 ，誓s 警， 而1c - - i 。c 。s 三( 未一1 ) 】，誓 蚓8 3 1 r ， 【0 则可得到如下三点性质i s ： 其它 ( 口) s u p p 溶( ) = ：- 等2 j ) ，诋z 8 u p p 磊( f ) = 代：2 5 7 rj _ i i 誓2 j ) ，坛z 设弓与q 分别表示从l 2 ( r ) 到巧与w j 的正交投影算子，即v f ( t ) l 2 ( r ) ， p j f ( t ) = e f ，七) 七( z ) ，q j f ( t ) = ( ，咖知) 奶七( ) ， k e zk e z 则弓+ l = 弓+ 鹞 ( b ) 假设弓：l 2 ( r ) _ 谚= 面函面磊丙，即 b ，= e f ，葡) 蕊，w l 2 ( r ) ， 七z 则可得e ，= 蔚同理，假设荔：l 2 ( r ) _ 厩= s p 缸 菇) 七z ，即 ，、 _ 、 则可得q f = q j f 荔，= ，磊) 磊，v f l 2 ( r ) ， 七z 4 第1 章绪论 ( c ) v f ( t ) l 2 ( 酞) ，我们有 一p l 一p l 寺 一p 堪一p 一( ，七) 蛳( z ) + ( ，( ) k e z l 劲k e g 予是得 蔚( 毒) = 风) ，吲s 罢丌。 由于小波及小波基函数所共有的被称为“数学显微镜”的良好时频局部化性 质，使其在数据压缩、信号处理、她质勘探、分形等领域都有广泛应用，并且在微 分方程数值解方面取褥了很大的发展。许多工程和物理问题都可归结为一类偏微 分方程的求解问题而求解偏微分方程的精确解一般比较阻难或精确解表达式相 当复杂。因此利用数值方法来求解偏微分方程的近似解具有非常重要的理论意义 和实用价值偏微分方程的数值解已有许多学者进行过研究筘一，主要方法有； f o u r i e r 谱方法，g a l e r k i n 方法p - u ! 稷配置方法辫，臻，有限元方法纛有限差分 方法等 自从八十年代初期小渡雳于求解偏微分方程，利用小波方法求褥的近似解比 用传统的方法得到的结果更好利用这种方法的优点是能检测奇点，非正则结构 和解析方程中的瞬变现象利用小波方法来求解微分方程已有许多学者做过研究 1 3 - z 3 1 1 9 9 0 年，g l o w i n s k i 等人 1 3 1 利用d a u b e c h i e s 小液和变分方法来解一维的 线性和非线性的o d e 和p d e ；j a f f a r d 【1 8 】在1 9 9 2 年利用d a u b e c h i e s 小波通过 g a l e r k i n 方法离散化椭圆问题；1 9 9 5 年，v a s i l y e v ，s a m u e dp a o l u u i 秘m i t 心s e n 洲讨论了用插值小波配置方法解p d e ；c h e n 和p e n g 2 1 1 用带有周期拟小波的 北京工业大学理学硕士学位论文 三曼i薹；-仳(zx三主；1。； c 1 1 ， 二善：；：鲰ux。x。，(，x竺，。，：。，。o t o 当n _ o o 时，鲰( ) 一致收敛到0 ，但牡n ( z ，t ) 不一致收敛到0 ，因此问题是不稳 定的 对于热传导方程的不适定问题，已有许多学者利用不同的方法对其做过研 究阻一2 7 1 而利用小波方法来求解热传导方程，得到了更好的结果一2 1 文献 一昏 第1 章绪论 熙爹a 蓥“r 站刊汁z 茁z 8 斋计，i ) d r d s z r ， 屯( z ，f ) = 鸯( ) + 苫击也( 7 - ， ， ，0，ol 7 ， 姒玳胚掀钏饮p ( i q f o 霉z 。南抛) 北京工业大学理学硕士学位论文 其中a 为问题( 1 1 ) 中所定义且满足0 0 f k ( z ) + o 。若j 满足 等b g 扣 l l 乱j ( x ，) 一( z ，) i i l z e 1 一r 结论2 1 4 3 令u ( x ，t ) 为问题( 1 1 ) 的精确解，若f ( o = 查( ) e x p ( 墨) l 2 ( 酞) ， 其中( ) 为问题( 1 1 ) 中已知函数9 ( ) 的f o u r i e r 变换，则 似”) 一b u ( ”) i i l 。l l f l l 口唧( 一云2 j ( 1 一z 2 ) ) 由于文献【4 3 】没有给出问题( 1 1 ) 的精确解与逼近解在l 2 范数意义下的误 差估计，因此本文利用m e y e r 小波方法得到了定义在尺度空间巧中的逼近解， 并且得到了问题的精确解与定义在尺度空i - i 巧中的逼近解在l 2 范数意义下的 误差估计另一方面由于己2 范数意义下的收敛为平均收敛，且稳定性估计较粗 糙，因此本文又给出( 1 1 ) 的精确解与逼近解在点态意义下的误差估计，得到如 下定理： 定理2 3 设u ( z ，t ) 为问题( 1 1 ) 在边界条件夕( ) 下的精确解， ( z ，t ) 为问题 ( 1 1 ) 对应于边界条件( ) 的逼近解，令厂( ) = 鸯( ) e 印( 掣) l 2 ( r ) ，0 ( 0 连 续，若i i 夕( ) 一孙) | l 二：e ，且c 丌2l o g 三j i 2 j 等l o g 兰，则 续，若i i 夕 ) 一多( ) l l 二：e ，且。= 等三，则 i i u o ，) 一o ，) i l 工：冬e 一2 2 + i i ，o l ：e 与+ o l l f l l l ：l o g 三e 毕， 其中c 为常数 定理3 1 设呦( z ，t ) ，( z ，z ) 分别为问题( 1 1 ) 对应于边界条件夕( ) ，9 ( t ) 的逼 近解且i i g ( t ) 一蚕( t ) i i 工，则 h ( 州) 一嘶isg 2 e e x p ( 丌矿罢) ， 第1 章绪论 其中q 由问题( 1 - 1 ) 所定义，满足o q k ( z ) + o o 若2 竺7 rl o g1 ，则 ( z ，t ) 一( z ，) lg e l - x 2 ( 1 0 9 三疙 兵中“为常效 定理3 4设u ( z ，t ) 为问题( 1 - 1 ) 在边界条件9 ( z ) 下的精确解，( z ，t ) 为问题 ( 1 1 ) 对应于边界条件互( ) 的逼近解，令厂恁) = ( ) 唧( 掣) l a ( r ) nl 2 僻) ， 奎( ) 连续，若i | 夕( ) 一蚕( 圳l 弘s ，且；al o g 三等l o g 三，则 i 乱( z ，) 一( z ，z ) l n 1 。( 1 0 9 = 1 ) j i + c 2 i f l l 肚字+ c 4 1 1 f l l l 。0 0 9 三) 吒8 - - e i a b 2 ， 其中c ，巴已为依赖于口的常数 1 3 本文结构 本文研究利用m e y e r 小波方法求解变系数热传导方程的精确解与定义在尺 度空间中的逼近解的误差估计第一章给出本文所需的基本概念、符号及本文 的研究背景及研究现状第二章给出该方程的逼近解与精确解在l 2 范数意义下 的误差估计第三章研究其小波解的稳定性及逼近解与精确解在点态收敛意义下 的误差估计 第2 章m e y e r 小波解在三2 意义下的误差估计 第2 章m e y e r 小波解在l 2 意义下的误差估计 本文研究方程( 1 1 ) 的小波逼近解与精确解在l 2 范数下的误差估计，为此 我们引入几条引理： 2 1 引理及证明 令( z ，t ) 为问题( 1 1 ) 定义在尺度空间巧中的m e y e r 小波解，即为问题 ( 1 1 ) 的逼近解，且 瑟三乏_ z ) u 。 z l c 2 1 ， 的解，其中 ( 功) z ：( z ) k z2 万茜( 西z ，妒弘) k z ，y2 ( 化) z z 由下式 给出 由文献【4 3 】知， 5 9 c t ) = ：( t ) = ( 9 ，名) 协：( ) i i o a 圳j 为， 且u ( z ) = ( z ) ) f z 满足 ) i i l 2 i i m i i 唧( 万2 j z o 丽1 删s ) ( 2 - 2 ) 北京工业大学理学硕士学位论文 | 1 2 e x p ( 丌2 j 一1 罢) ( 2 - 3 ) 我们假设鳝数g ( t ) l 2 霉) 。由于边界条传g ( t ) 是由测量彳导到的，因委存在 测量误差。设蚕( t ) 为测量数据，满足 i i g ( t ) 一蚕( ) f f 工： 著问题( 1 1 ) 中边界条件为蚕( 母时，问题( 1 一1 ) 的逼近解为( z ，t ) 一 磊( 2 ) 蝴( ) 。这里西 ) = 西 浊z 为如下常微分方程 l z f 墨u 。一岛( z ) ，0 z 冬l ； 三 的解，其中【( 岛) 伽 , k e z 【瓦b ( 蝣z ，枷酗z ，彳= ( ) 搿z 由下式 给高。 马耍( ) = 暖妒弘( ) 一蚕，。) 。( ) z e zz g z 引理2 1 【躬1 ( g r o n w a l l 不等式) 令乱( z ) ，v ( x ) 为正的连续函数，z 口，c 0 若u ( x ) c 十r r ( r ) “( f ) 打如，则 巾陋唧( fr 出肌) 。 善l 理2 2 1 4 3 t 令，妻) ，缸，t ) 分剃为阕题l 一王) 对应于边界条 孚势( 众蚕( ) 的 逼近解，若l i g ( t ) 一( 圳舻，则 i l u j ( x ，) 一( z ，) 1 1 l 。篷ee x p ( 7 r 2 j 。兰_ ) ， o l 第2 章 m e y e r 小波解在l 2 意义下的误差估计 其中q 由问题( 1 1 ) 所定义，满足o q k 。) + o o 若j 使得掣警1 0 9 三， 则 0 u j ( z ，) 一( z ，) 1 1 驴e 1 。 引理2 3 若钍( z ，) 为问题( 1 1 ) 的精确解，令，( ) = ( ) e x p ( 掣) l 2 ( r ) ，其 中嬉) 为问题( 1 - 1 ) 中已知函数g ( t ) 的f o u r i e r 变换，则 l 贴l 幽j g ( ) 1 2 必1 6 丌2 1 1 ：1 1 1 ：e x p ( 一百2 1 r 2 ( 4 - x 2 ) ) ，；7 r 2 ，| f i s 7 r 2 j o a 证明注意到 磊( 亭) = 而1 上咖知。) e - i = f d x = 孺1 上2 ( 2 i x - k ) e z f 如 = 去上馋) e 一啪飞2 毛如 = 去上始) e 砘2 飞缸e 一2 吨呀 = 2 一e 一诅一嗽移( 2 一誓) ， 那么 磊( ) = e 砌弘7 菇( 荨) 从而 西( z ，) = ( 砬( 。，f ) ，磊( ) ) 磊( ) = ( 也( z ，) ，磊( f ) ) 菇( ) e 矾扩 = 历j ( ) ( z ，f ) ，访七( f ) ) e 一鹚叫 1 - c z 北京工业大学理学硕士学位论文 又由于 托( z ，f ) ，磊( 荨) 一心f ) 萨2 。菇 ，r 。厂3 们磊( 茁，荨) e i k ，菰融 一 7磊( 茁，弘7 奶o ( ) # t r 2 a 一 【g g 一2 r r 2 j ) + g ) + g 始+ 2 r 2 j ) l e 讷2 1 必， 其中g ( ) ；砬( 茹，) 荔丽利用f o u r i e r 级数的性质可知 瓦蕊缸，) = 2 7 f 蓼i 麓) f g 惩一2 = 2 j ) + 8 g ) + g + 2 万) 】。 根据s u p p 东毒) = 秘：l 万矧si ，r 2 j ，得 g 恁十2 丌) = o ，【i 2 万，兰贫分】， g ( 专一2 7 r ) = o ， 毒【一釜7 r ，詈7 r 1 故 曩霄譬二淄姜霄澎l 蕊 ，芝) 1 2 一( 2 7 f ) 2 霄勿嬉l 基柑 菇恁) 1 2 i g 一2 霄掣) + g ) + g g + 2 7 r 2 ) 1 2 必 篷( 2 j 7 f 岔) 2 2 5 乓万岔鬟l f f 冬 。l g 德一2 万) + g ) + g + 2 肯) 1 2 醒 一4 7 f 2 ( 廖| g 麓一2 ，翻) 十g 延) | 2 禚+ 耋嚣l g 恁) + g 悠2 霄) | 2 蜓) s 丌2 + 2 2 【够( 懈一2 丌2 ) | 2 + i g ( + 廖( 1 g ( 泖+ 咪十2 7 r 姘) 蚓 一矿分2 4 嗲i o ( o1 2 + 爹l g ) | 2 醒l 一耳2 + 4 霄茎矧s 带掣l 也 ，) 1 2 l 磊) 1 2 武 r r 2 2 4 坩掣妹i s 霄搿l 砬( z ，毒) 1 2 第2 章 m e y e r 小波解在五2 意义下的误差估计 7 r 2 2 4 乓丌蛾i s 丌雠) 1 2 唧( 警) 醒 徽霄2 2 4 霄淄s 。| ，筵) | 2e x p ( 一警) 鞘攀兽。2 ) - 一7 r 2 2 4 丌秘球i 冬。帐) 1 2e x p ( 一兽( 4 一z 2 ) ) 必 裹7 r 2 e x p ( 一百2 = 2 - ( 4 - - x 2 ) ) m | 2 舻。 证毕 引理2 4 翻设妒( ) 表示m e y e r 尺度函数，七( ) = 2 如( 2 j t 一竞) ，则级数f 南( ) l k e z 在r 上一致收敛 引理2 5 看u ( x ，t ) 为i 网题( 1 一1 ) 的精确解，岛是从己。( r ) 到吩的难交投影算 子，慧) 连续，猁 ( z ) ( 弓乱) 一b ( 札黜) ； ( 娩) 弓链( z ，t ) 满足下列方程 f 尉( 茹) ( 马毯) 黜( z ，) 一b ( 弓乱) t ( 髫，亡) + b 【( ，一弓) 嘲t ( 。，味。 z 5l ，。； 1 妫札( o ，亡) 一5 9 ( t ) ，t o ； i 【岛( o ，t ) 一0 ，t 0 证明令b k ( x ) 一( 牡( z ，) ，七( t ) ) ，则马u ( 。，t ) = ) 奄( ) 利用p l a n c h e r e l 公 式，有 b k ( x ) = ( 饥( z ，) ，蠢( ) ) = ( 色( 茁，专) ，舔( ) ) = i | ! 砬( 2 ，) 囝( ) 逃 ，鹭| s 量霄 于是有 ( 。) 一f 。袁) 嚣o ，善) 孬两鬻 ，陪i s 鲁霄掰 一f 磊k 毒) 瓣) 必 ? 廷l 霄磐 。 一( 1 j 磊( 茹，荨) ，磊( 毒) ) = ( u 鄹( z ，) ，妒f 南( ) ) 北京工业大学理学硕士学位论文 此外，由于( ) l 2 ( r ) ，则有1 1 0 ( f ) i i 工：m ，其中m 为一常数并且由s c h w a r t z 不等式，可知1 6 ：( z ) 妒弘( ) i 在o z 1 上是致收敛的 k e z 这是由于 6 ：( z ) 1 2 = ( ( 色) 王王( 士，) 葡荀蜓) 2 ，釜7 r 。i 露( z ，) 1 2 i 溶( ) 1 2 必 ，k i 7 r 2 ，j k l ”彩 。 。如丌第1 南她固陬丘嘲。嘲钏2 砖 ( 五4 7 1 2 妒丘嘲丌纵z 1 2 d 名喇。彩i 蕊( 钏2 必 ( 甄4 7 1 2 妒名嚼。献钏2 ，e ) ( p ( 芸) 丘刚。万i 磊( 钏2 必 ( 篆砑e x p ( 三趔等) 加钏2 上嘲钏2 必 ( 笔) 2e x p ( 互4 榭。i x 2 ) 吖2 又由级数i 七( ) i 在r 上一致收敛，则 詹z i 蛳( ) i 2 ， 岛z 其中为一常数 所以 5 2i b m ：( 嘞以胚篓m 唧( 和 z一 。 一 于是有i b p 。ti ) 、七( ) l 在0 z 1i - _ - - 致收n 因此 ( b u ) 嚣= ( k ( z ) ”奄( ) ) 嚣= 6 ：扛) 知( ) = 弓( 让船) 七z 七z 第2 章 m e y e r 小波解在铲意义下的误差估计 巨誊0 ： x 1 创； 娃辫，竭僻咄扛一) + 吲p 嵋n k 。xi 舵o ( c ( z ，班膏( ) ) ，钰) = ( 岳( ，一弓) u ( z ，班七( z ) ) ，七z ，z ( z ) = 嚣器) 奄z ，且 i l y ( 砒。曼a 私q i i 1 1 阍小罢( 8 吨2 ) ) _ i ( z ) ( ) 嚣( z ，) = p j ( u j ) t ( z ，) ，0 z 1 ，o ； l “j ( ( ! ：b 鲍) ，( u 也( 叩) = 。，t 。 ，k ( z ) ( 弓u ) 嚣( z ，) ：b ( 弓u ) 。( z ，) + 弓【( 一弓) 叫。( z ，味。 z 1 ，z 。； _ 【b u ( o ，) = 5 9 ( t ) ，( b 让) z ( o ，t ) = 0 ， t 0 l l k ( z ) ( z ，t ) = 弓c t ( z ，t ) + p j ( ( ，一岛) u ) t ( z ，) ，0 z 1 ，t o ； tc ( 。，t ) ：。，岛( 0 ，t ) ：。， t 。 北京工业大学理学硕士学位论文 i ( z ) 可；：( z ) = e y e ( z ) ( 谚f ，叻七) + 讯( z ) ，o z 1 ； t l e z ly k ( o ) = 0 ，y ：( o ) = 0 k 麓赫妯 y ( z ) = o 茹z 5 一。( 丁) 夕( 下) d t d s + o x o 。2 ( 丁) d 丁d s ， r 蕾r 8r z- a i l y ( z ) l l f ：i i d j ( ， ) i i i l y ( t ) l l d t d s + j ( i l l ( c ) l l d r d s j 0 j oj o j o i l y ( ) 1 1 z oi i f m 疵扛唧( z o i id j ( 丁) 1 1 捌s ) z ) l l z = d t d s 唧( 丌务 i i z ( = ) l l 。：= i f e ( i ( ( ，一弓) 砬( ”) ) ) 怯 8 u p p 蕊( ) = ：i 引三丌) ， 苹( z ，) = 色( z ，) ，兰丌， 弓+ l = b + q ， 第2 章m e y e r 小波解在l 2 意义下的误差估计 所以 于是由引理2 3 得 从而 所以 z ( z ) 幢= i b ( 话 一乐) ) 1 2 必 一j r ：丌2 ，s k i s 百万i z 万砬( z ，) 1 2 d 荨 i i z ) 1 1 ：扣名础嚼丌i 画k 扩 丁1 6 7 r 2 2 j l ：唧( 一芸( 4 。) ) i t ( x 川1 2 i 1 6 7 i - 2 2 j 驴e x p ( 一芸( 4 。) ) ， 出) 1 1 “o 0 8 譬艄p ( _ r 3 2 i 、t 2 ) ) 批唧( 等书 1 1 6 饥f - 2 2 j 工：唧( 一7 3 r 2 乜j 、x 2 ) ) 百x 2 唧( 了7 1 - 2 j - 1 z 2 ) = 百8 7 r 2 2 i z 21 1 ：1 1l ：唧( _ 7 。r 2 a i ( 4 - x 2 ) ) e x p ( 丌2 a j - 1z 2 ) 百87 l - 2 2 j l z 唧( 一7 。t 2 q j 5 x 2 ) ) 证毕 2 2主要结果和证明 定理2 1 令u ( z ，) 为问题( 1 1 ) 的精确解，设，( ) = 鸯( ) e 印( 掣) l 2 ( r ) ， 其中多( ) 为问题( 1 1 ) 中g ( t ) 的f o u r i e r 变换，则 愀z ，) 一b u ( z ，) 1 1 l 2 剑川l ：唧( 一面们- 2 s ( 4 一z 2 ) ) 北京工业大学理学硕士学位论文 若2 j a 。1 。g ；1 ，则 7 re i l u ( 即) 一b u ( ”) 1 1 五： l l 川彬譬 证明由p a r s e v a l 恒等式得 1 1 ( i b ) u ( z ，) 1 1 l ：= i i ( s b ) 砬( 。，) i l k 。 因此由m e y e r 多分辨率分析的性质及式( 1 - 2 ) 得 i i ( r 一5 ) u ( x ，) 1 1 二：= ( 丘i ( i 一弓) 也( z ，) 1 2 必) ； ( 几i ；。i 色( z ，钟诞) s ( 如；。西眯) 1 2 e x p ( 2 1 lf of o 南d r d s ) 诞) 吾 ；。分腓) 1 2 唧( 百2 ：2 心j t = 。i 玳) 1 2 唧( 一掣) e x p ( 等z 2 ) 讲 = 钏2 唧( 一罢( 4 。) ) d 昏， 所以 i i ( i p j ) u ( z ，) l i l ：剑州l ：e x p ( 一丽7 r 2 j ( 4 一z 2 ) ) 若罢l o g ，则 愀z ，) - b u ( ”) 怯i l f l l l 。唧( 一瓦7 r 2 3 ( 4 一z 2 ) ) | i 州l 。g 字 证毕 定理2 2 令ux ，) ，呦( z ，t ) 分别为问题( 1 1 ) 在边界条件夕( t ) 下的精确解与 逼近解，设，( ) ：( ) 唧( 掣) l 2 ( r ) ，查( ) 连续，其中( ) 为问题( 1 1 ) 中 2 m 第2 章 m e y e r 小波解在2 意义下的误差估计 9 ( ) f o u r i e r 变换，若j = j ( ) 满足。丌l1 。g 三2 丌c 2l o g 三，则 其中c 为常数 证明由于 i 弓u ( 即) 一呦( 圳l l z c l l f l l 伊l o ge 1 e 学 i i b 乱( z ，) 一( z ，) i l l 。= i i c ( x ，) i l l ：= l l y ( x ) l l , ：， 所以由引理2 6 得 惰缸( z ，) 一( z ，) | | l ：面8 7 1 - 22 j 二z 唧( 一7 。r 2 a j 5 2 2 ) ) 若等1 0 9 三s2 j i 2 0 l1 0 9 ；1 ，则 忖( ”) 一吻( 圳拯警讪g 苫1 e 毕 令c = 了1 6 1 r ，则定理得证 本章主要估计对应于边界条件为测量数据互( t ) 的逼近解( z ，t ) 与问题( 1 - 1 ) 的精确解u ( z ，t ) 之间的误差由于 i l u ( z ，) 一( z ，) i l l ：i l u ( x ，) 一弓u ( z ，) l l 工。+ 0 弓让( z ，) 一( z ，) l i 弘 + l i 缸j ( x ，) 一q ( z ，) i l l ：， 因此由引理2 2 及定理2 1 ，2 2 即得本章以下主要定理： 定理2 3设u ( 茁，t ) 为问题( 1 1 ) 在边界条件9 ( t ) 下的精确解，( z ，t ) 为 问题( 1 1 ) 在边界条件蚕( t ) 下的逼近解令，( ) = 多( ) e 印( 掣) l 2 ( r ) ，鸯( ) 北京工业大学理学硕士学位论文 连续，其中多( ) 为问题( 1 1 ) 中g ( t ) 的f o u r i e r 变换，若怕( t ) 一蚕( ) l l 二。e 且丌l o g 三s 掣等1 0 9 三，则 愀z ，) 一( z ，) | | 二：e 1 。+ i i i i 驴下4 - - 2 + 叫。g 苫1 e 学， 其中c 为常数 2 3 本章小结 本章主要结果是定理2 3 第一节首先定义问题( 1 一1 ) 的逼近解，然后给出 本章所需的引理及证明。第二节给出本章主要结果的证明 一2 二 第3 章m e y e r 小波解在点态意义下的误差估计 第3 章m e y e r 小波解在点态意义下的误差估计 本章的目的是给出问题( 1 1 ) 的精确解与逼近解在点态收敛意义下的误差 估计下面首先给出所需的引理及证明 3 1 引理及证明 引理3 1 设妒( t ) 表示m e y e r 尺度函数， 在r 上一致收敛 仍七( ) = 2 t ( 2 j t 一七) ，则级数1 麝( ) 1 2 k e z 证明事买上，我们只需证明当0 2 s t 1 时，级数l 妒j k ( t ) 1 2 在r 上一致收 描t 五 敛即可由m e y e r 小波的性质 i 妒c k ) ( t ) l 若赫一_ o ，1 2 ，m - 2 ，3 ，；t gr ， 我们得到 量i m ( ) 1 22 量1 妒( 2 j t - k ) 1 2 互面玎孙七z知z七zlj - 下l 二。厶一，o i ， 。 划而赫+ 两豸禺2 而+ 面前2 薪 2，厂1 + i 乏。矸1 赫2 i t 】 i 龟2 ( + l 一尼i ) 2 一 2 札瞬。+ 暖。+ + l 。万习渤】 2 j 3 c ：o + i 乏矸诲】， 故级数1 七( ) 1 2 在0 1 上一致收敛，从而在r 上一致收敛 引理3 2 若u ( x ，t ) 为问题( 1 一1 ) 的精确解，令，( ) = 雪( f ) e x p ( 掣) l 1 ( r ) ， 其中( ) 为问题( 1 1 ) 中9 ( ) 的f o u r i e r 变换，则 正础i 嘲力i 西( 删蜓弛i i i i l 。唧( 一芸( 4 。) ) ，丌2 j l 引丌力 j q 一2 孓 北京工业大学理学硕士学位论文 证明由于 所以 磊( ) = 砺1 上略知( z ) 一z f 如= 去上2 妒( 2 j z 一七) e 砌f 如 = 而1 矗矽( z ) e - i c x + k ) 2 - - 堙2 - 妇 = 忑1 丘荆础一誓d z + e 甜k 2 一l = 2 一l e - i 2 一咄参( 2 一) ， 磊( ) = e - i k 扩菇( ) 迸一步，我们有 葡( z ，) = ( 砬( z ，) ，磊( ) ) 磊( ) = ( 砬( z ，) ，磊( ) ) 菇( ) e 以 = 菇( ) ( 砬( z ，) ，磊( ) ) e 砘 k e z 又由于 ( 色( z ，) ，磊( f ) ) = 卜( z ，姻叫菇( ) 必 = 屯( z ，k 2 叫菇( ) 必 ，7 r = 【g 一2 7 r 2 j ) + g ) + g + 2 7 r 2 ) 1 e k 2 1 必， 其中g ( ) = 也( z ，) 奶o ( ) 利用f o u r i e r 级数的性质可知 q i u ( x ，) = 2 丌2 ，磊 ) g 一2 7 r 2 j ) + g ) + g + 2 7 r ) 】 根据8 u p p 菇( ) = 代：i 丌2 j l 丌) ，得 g ( + 2 丌) = o ，f 【争，吾趔】， 第3 章 m e y e r 小波解在点态意义下的误差估计 g 一2 丌2 j ) - - 0 ， 一量丌2 j ，一兰丌】， 故 如桃蚓。勿i 画( z ，) i 必 = 2 丌2 如。力 丌彩l 菇 ) i i g 恁一2 7 r 2 j ) + g ) + g g + 2 丌2 ) l 埏 2 7 i - 2 7 2 一丕店丌西s l l 霄l g ( 一2 r 2 ) + g ) + g + 2 7 r 2 j ) i 诞 = 2 丌2 ( 廖风一2 7 r ) + g ( 洲+ 靡瞰) + g ( + 2 7 r 2 j ) l d ) = 2 7 r 2 吾2 。万昧i 丌i 砬( z ，) 菇( ) i 必 2 7 r 2 2 2 一丕儿霄力s 垮i s 丌西l 五( z ，) l 必 4 7 r 乓万s k i s ；。i ( ) ie ) 中( j j 瓦x 2 ，d = 4 丌乓。幽驱丌i f ( f ) je x p ( 一掣) e 印( 基z 2 ) d e = 4 丌 霄万s i c l 丌岔i j ( 荨) le x p ( 一县( 4 一z 2 ) ) 式 4 7 1 - e x p ( - - 西1 1 2 j ( 4 一z 2 ) ) l l f l 工- 证毕 3 2 主要结果和证明 f = 面定理给出了m e y e r 小波解的稳定性 定理3 1 设( z ，t ) ，( z ，t ) 分别为问题( 1 1 ) 对应于边界条件9 ( ) ，蚕( z ) 的逼 近解且1 1 9 ( z ) 一蚕( ) 0 二：，则 怖，) ( 酬s g 2 唧( 7 r 一1 等) ， 其中a 由问题( 1 1 ) 所定义，满足o a k o ) + o o 若睾1 0 9 三，则 l u t ( x ，t ) 一( z ，t ) l a e l - r ( 1 0 9 圭) ， 北京工业大学理学硕士学位论文 其中g 为常数。 证明由于 ( z ，) = ( z ) 妒j f ( ) ，( z ，z ) = 西( z ) 妒j l ( ) ， 其中u ( z ) ，西( z ) 分别为问题( 2 - 1 ) 在条件u ( o ) = ，y ，西( o ) = 彳下的解则由 s c h w a r t z 不等式及式( 2 - 3 ) 得 i 乱j ( x ，t ) 一( z ，t ) l = l z ( z ) 一觑 ) 】哟z ( ) i m 。) 一白( z