（基础数学专业论文）抛物型方程的高精度高稳定性格式及其并行算法的研究.pdf

摘要 本文针对抛物型方程的初边值问题，采用组合差商法和参数的应用，设计了几类高 精确度串行格式和并行算法。也为算法的构造提供了灵活有效的构造方法和新的思路 对于串行算法- 我们在空间节点宽度为3 ，时间层宽度为3 的局部节点集上构造了个高精度的三 层七点显格式。其精度达到0 ( r + 舻) 。稳定性条件是r ；当两比r 取特定值时， 格式的精度可提高到d ( 一+ 驴) 我们还在空间节点宽度为3 。时间层宽度为3 的局部节点集上构造了一类高精度的 三层九点含参数隐式差分格式，其截断误差达到d ( r 3 + 舻) ，绝对稳定当参数取特定 值时，格式的截断误差可以提高到d 一+ 驴) ，稳定性条件是0 r 熹当r 取特 定值时。格式的截断误差可达到d ( 一+ 1 0 ) 对于并行格式t 我们用组合差商法构造了带个参数的两层六点半显格式和它的对称格式然后利 用这两个格式建立求解抛物型方程的一类在空间方向并行时间方向步进的带参数的分 组显式g e 并行算法。该算法的截断误差为d ( r + 舻) ，条件稳定当参数取特定值时， 该算法的截断误差可提高到d ( 一+ 舻) 当参数取零、阿比r 取特定值时。该算法的截 断误差可达到d p 2 + h 4 ) 当空问节点为奇数时，构造了g e l 格式和a 即z 格式 我们还构造了一类新型的不仅在空间上可以并行，在时间上也可以并进的时空并行 格式，该算法很大地提高了算法并行度，发展了传统的只能在空间并行而在时间上是步 进的并行算法提出了研究算法的一些新思路 关键词抛物型方程；组合差商法；差分格式；截断误差；稳定性条件j 并行算法； 时空并行算法 中文图书分类号一0 2 4 1 8 2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r jd i g na $ e r i o fh i 曲a c c u r a c ys e r i a l 日c h e m e sa n dp a r a l l e la l g o r i t h m s f o rs o l v i n gt h ei m t a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h ep a r a b o l i ce q u a t i o n sb yc o m b i n a t o r i a l d i f f e r e n c eq u o t i e n tm e t h o da n dp a r a m e t e r s i th a sa l s op r o v i d e dt h en i m b l ee f f e c t i v es t r u c t u r e m e t h o da n dt h en e wm e n t a l i t yf o rt h em g o r i t h m ss t r u c t u r e r e g a r d i n gs e r i a ls c h e m e ： o n eo fe x p l i d ts c h e m e si sd e s i g n e db y i t sl o c a ln o d es p a c ew i d t hi st h r e ea n dt i m ei s a l s ot h r e e i tt r u n c a t i o ne r r o ri s0 ( 一+ 扩) ，t h e8 t a b m t yc o n d i t i o ni srs w h e nrt a k e st h e s p e c i a lv a l u e , i t st r u n c a t i o ne r r o ri s0 ( f 4 + 栌) o n eg r o u po fi m p l i c i ts c h e m e si sa l s od e s i g n e db yl 坩w h i c hc o n t a i n sp a r a m e t e r s i t sl o c a l n o d es p a c ew i d t hi st h r e ea n dt i m ei sa l s ot h r e e i t st r u n c a t i o ne r r o ri s0 ( 一+ a o ) ，a n dt h e s t a b i l i t yc o n d i t i o ni sa b s o l u t es t a b i l i t y w h e nt h ep a r a m e t e rt a k e st h es p e c i a ld e f i n i t ev a l u e ， i t s f u n c t i o ne r r o ri s0 ( 一+ 胪) t h eb t a b i l i t yc o n d i t i o no fw h i c hj so 0 扣) t o ，0 ) = 妒扛) ，0 z s l it ( 0 ，t ) = t ( l ，t ) = o ，t 0 是类在渗透，扩散，热传导等领域内有着广泛应用的数学模型，对它的研究有重大的 现实意义 本课题的研究目标就是构造出抛物型方程的稳定性更好，精度更高和效率更高的算 法使所求的数值解能更好的逼近精确解，提高计算能力 本文把该理论体系具体运用到酌差分格式的构造上。并适当引入参数，构造了几类 高精度，高稳定。高效率格式还利用分组显式方法构造了类空间并行算法和时空并 行算法 第一节国内外研究概况 国内外对抛物型方程这个数学模型的研究很多，用有限差分的方法做出的结果也不 少，见文【3 】( 马明书等，1 9 9 9 年) ，1 1 2 ( 陆金甫等，2 0 0 4 年) ，【1 6 】( 张天德。2 0 0 0 年) ， 5 2 1 ( s b y u s t e ，2 0 0 6 年) 等现有的差分格式主要分三类，显式差分格式半显差分格式和隐式差 分格式 显式差分格式 三层绝对稳定的显格式有d uf o r t f r a n k e l 格式( 文1 1 2 】( 陆金甫等，2 0 0 4 年) ) 和 t l a d i f i d i m o s 格式( 文 3 4 1 ( a h a d i j l d i m o s ，1 9 6 9 年) ) ，前者精度o ( r 2 + h 2 + 一胪) ，后者为 d ( 一+ 胪) 马明书( 文【6 】( 马明书，2 0 0 1 年) ) 用待定系数法把精度提高到d ( 一+ 舻) ， 但其稳定性条件只是0 r 兰；等等 半显差分格式 这类格式构造不多，长期以来只有经典的s a u l y e v 格式( 文【1 2 l ( 砧金甫等。2 0 0 4 年) ) ，精度为d ( r + 2 + r 砷，绝对稳定张莉( 文【2 0 】( 张莉等，2 0 0 4 年) ) 构造了类 二层六点格式，精度为0 2 + 护) ，但稳定性条件只有0 r 1 5 半显格式虽然不是 显格式但是在实际计算过程中却是显式计算，从而使计算量大为减少特别是它们在并 行算法的研究中有着重要作用，近年来十分受关注 隐式差分格式 张天德( 文【1 6 l ( 张天德，2 0 0 0 年) ) 构造了三层九点格式，精度是o ( 一+ 舻) ，绝对 稳定等等 并行算法 由于抛物型方程初边值问题的串行差分格式，它所对应的系数矩阵大多是对角占优 的，比较适合并行计算目前对该问题的并行研究很多，主要的方法有g e 方法。a g e 方法，a g e 一3 方法，a s e i 方法，嵌套迭代法，交替分段c r a n k n i c o l s o n 等等近 年来，很多人对此方程的并行算法也做了不少的研究工作，资料有1 8 】( 刘庆富等，2 0 0 4 年) ，1 9 】( 刘庆富等，2 0 0 5 年) ，【1 0 】( 刘庆富，2 0 0 2 年) ，1 2 6 】( 梁洁，2 0 0 4 年) 这些格式都是 按空间方向并行，时间方向步进的并行格式，在这些格式中，所有那些用半显格式组成 的g e , g e l ，凸髓格式，由于受s a u l y e v 格式的影响，精度仅为d ( r + ) 第二节研究内容及结论 近年来，我们在研究微分方程数值解中归纳，总结了已有的直接差商法、待定系数 法、组合算法，外推算法，误差校正法等方法的思想原理，深入分析了差商及其渐进展 开式的线性性质，在此基础上提出了一种行之有效的组合羞商法本文把该系统理论具 体运用到一维抛物型方程初边值问氲傲了一下工作一 2 利用组合差商法针对一维抛物型方程共构造了个半显格式个显格式和个 高精度绝对稳定的隐格式 1 在选定的局部节点集( 口) n + l j - 1 jj + lj + 2 ( a ) 上构造了个带参数的半显格式 一梢+ ( 1 + 们矿1 = 【r 一( 1 + r ) 啊略l + l l 一2 r + ( 1 + 啊嵋+ r ( 1 3 ”) 啦l + 7 孵 2 ( d ：茎燕3尊2rr-嚣1耋雩或一6+8r2r-1 郇： ( 2 ) 当扫曼孤莉邹寄或型g 曼i 。 当截断误差阶为d ( r 2 + 3 ) 时， 满足q 2 i 一主 当截断误差阶为o ( 一+ 驴) 时，。仉r 满足目= o ，r 2 ； 上构造了一个显式差分格式 j - 1jj + l ( b ) 3 n + 1 n n - 1 ( c , o r 5 1 4 r 4 一学r 3 + 器r 2 一器r + 搞) 矿1 + ( 4 s o t s + 8 r 5 一擎一+ 半r 3 一器r 2 一晶一揣) 叼 + ( 一2 4 0 r 8 + 1 1 6 r s 一半一+ 等r 3 一矗r 2 + 龋r ) ( t 吼l + t 乒1 ) u j ) + ( 2 4 0 r 6 3 5 6 r 5 + 擎一一警r 5 + 器r 2 一器r + 面1 3 丽j ，n - 1 + ( 一x 2 0 r d + 2 8 r 5 一 r 4 一器r 3 + 赫r 2 一面1 3 ，八，“+ - - l i + 吩n 一- 1 1 ) = 0 此时截断误差阶为d p + 俨) 稳定性条件为r s ；特别当r 2 嘉时，截断误差阶为 0 ( ，- 4 + 舻) 3 在局部节点集( c ) n + 1 上构造了个带参数的隐式差分格式- 【1 2 0 r 3 + 1 5 0 r 2 + 2 8 r + 1 5 6 0 r 2 ( 6 r + 5 ) ，h 】t 哆+ 1 一r f 6 0 r 2 1 3 0 r ( 6 r 1 ) 巩】( 吩n + + l l + t ；譬) + ( 2 4 0 r 3 6 0 r 2 2 8 r 一3 + 6 0 0 r 2 ，粗) t 哆一r ( 1 2 0 r 2 + 3 0 r + i 一r ，7 4 ) ( t 苒1 + 唯1 ) + 【_ 3 0 r 2 + 1 5 + 6 0 r 2 ( 6 r 一5 ) ， 4 】哼一3 0 r 2 ( 6 r + 1 ) 仉( 丐n + - 1 1 + 吩n 一- 1 1 ) = o u j j l 此时截断误差阶为d ( 一+ 舻) ，当 时绝对稳定 当啦再满足 啦m i n t , 4 0 r 1 2 + 丽l o ：r t + 一1 ， 5 0 4 0 0 r 4 1 2 6 0 0 一1 2 6 0 r 2 3 3 0 r 1 3 啦2 面丽霭丽e 可一 4 n “ l 。 ， 什 。 。j 。 。“ 得差分格式为t 100800r4+126000rs-2520r2-6900r-626越寸120r 一 一j_2 1 + 生丝生鼍釜罕1 皇塑螋( 蹦+ 蹦)。20r2一 ”升l 一l + 型业纂竺 幽嵋+ 型竽善骂等型( 略。+ 孕。) ( 1 0 0 8 0 0 r 4 1 2 0 0 0 0 r s 一2 5 2 0 r 2 + 6 9 0 0 r 一6 2 6 ，。1 叶。1 面丁= r 一心 + 型皇鼍鍪竿生里幽( 嘣+ 啊n - - 1 ) ：o 2 n r 2 1 、一】十。- j 一1 ， 此时截断误差可以提高到d ( r 4 + 胪) 稳定性条件是0 r 熹当r = 0 1 3 3 8 或0 0 6 6 时，格式( j 矿) 也是稳定的，此时截断误差可达到0 ( 一+ h i o ) 本文的显格式在一定的条件下已经蕴含了d t f o r t f r a n k d 格式( 文【：2 1 ( 陆金甫 等，2 0 0 4 年) ) 和h a d i j i d i m o s 格式( 文1 3 4 】( a h a d i j i d i m 0 6 ，1 9 6 9 年) ) 的结果。由此看到组 合差商法在构造含参数的差分格式中的意义 1 可以涵盖多种差分方法。构造法更灵活更方便，且一个格式可以顶替过去一批 算法，发展了对有限差分法的研究： 2 可以预估格式的精度 3 沟通了稳定性和截断误差闯通过参数的联系，从而可在对稳定性和精度的要求中 进行适当的调整，以满足最佳的需求 4 由于稳定性和截断误差阶在一定条件下存在一定关系，故通常所说的显格式是条 件稳定半显格式和隐格式是绝对稳定的说法不再成立 本文利用( ，) 及其对称格式建立了求解抛物型方程分组显式g e 并行算法，该算 法的截断误差为d 一+ h 2 ) ，条件稳定当参数取特定值时，该算法的截断误差可提高到 0 ( 产+ h 3 ) 当参数取零、网比r 取特定值时。该算法的截断误差可达到d ( r 2 + 4 ) 当空间节点为奇数时，构造了g e l 格式和g e r 格式 本文给出了一种时间层平移的方法，构造了一类新的时空并行算法此算法不仅 在空间上可以并行，在时同上也可以并进，很大地提高了算法并行度，发展了传统的只 能在空间并行而在时间上是步进的并行算法，提出了研究并行算法的新思路 第三节- 基本概念和原理 5 应用差分方法来求解微分方程数值解其关键在于恰当地选取逼近微分方程中的导数 的差商 差商的构造既可直接由t a y l o r 展式直接构造。又可根据微分方程的特点进行构 造，具体可见各章所给出的各类差商 对维抛物形方程t 乩俨u 瓦2 。丽 当微分方程的解充分光滑时，有如下关系式成立， j ! 梁：扩：罢 m ，。为非负整数 ( 1 3 - 1 ) 瓦鬲瓦i2 蕊丽丽 m ，“刀非贝歪效 t 1 3 。1 j 令k 叫 = 0 表示在节点( z j ，t n ) 处的差分格式，在节点( ，k ) 处，微分方程为 陋叫哆= n ，田= k m 一陋】哆为用差分算子代替微分算子所引起的截断误差 差分格式的稳定性、相容性和收敛性定义及关系可参见文1 1 2 】( 陆金甫等，2 0 0 4 年) ，1 3 3 ( 戴 嘉尊等2 0 0 2 年) 对格式的稳定性分析，由分离变量法，取研= 俨o 代入差分格式，导出增长矩阵 g p ，t ) 。将稳定性问题转化为g h r ) 的讨论而g r ) 按模较小的特征值问题就转化 为个多项式按模较小的根问题对多项式根的判断有如下结论 定理a ( , s c h u r c o h , 1 ) 4 1 1 ( a j h m i u e r , 1 9 7 1 年) 二次多项式p ( z ) = a z 2 + b z + c ( a o ) 的盈= p 一，勿= d e 如，且p d , p 1 的充要条件是i 曲一i 兰i 口1 2 一ic j 2 定理4 ( m i l l e r ) r ( 邬华谟，1 9 8 2 年) 对于二次多项式e ( z ) = 舻+ k + c 如0 ) 的根 z 1 ，z 2 的模的大小，设以= p 砂，砘= 融，且p 2d ，p 冬1 ，且p d 若l o i = i c l 则 ( 1 ) p = d = 1 的充要条件是砷= k 及m b 2 1 a 1 ( 2 ) p = d = l ，：l = 勉的充要条件是曲= k 及例b 2 1 a 1 定理5 ( 胡家赣引理( 陋j ( 胡家赣，1 9 9 1 年) ，1 4 0 ( r l uj i 8 9 m ，1 9 8 4 年) ) 。设m = ( t ) 为”l r l 阵，一( n q ) 为n m , m 为严格对角占优，则， i 吣1 i i m - a 忙峄丽 6 第二章：解抛物型方程的高精度七点显格式 第一节局部节点集及基本差商 1 局部节点集的选取 取时间步长为r ，空间步长为h = l m ，( m 为正整数) ，对区域【o ，l 1 【o ，t 】作矩形剖 分，取局部节点集为图h ( ( 巧一1 ，t f i ) ，( 即，t n ) ，( 即+ 1 ，“) ，锄一l ，k 1 ) ，( 即，t ，一1 ) ，( 巧+ 1 ，t n - 1 ) ，( 即 t ，l + 1 ) 其中，= j h ，t ，i = m ，并令m 7 = u ( z j ，“) ，哼是m 7 的近似值 2 局部节点集上基本差商的构造 将七这个书点上函数u 的值在节点0 ，i ， ) 处作t a y l o r 展开，并使用关系式( 1 3 1 ) 进行整理，便可导出各差商的渐近表达式( 其中r = 吾) - 删- 掣半：静簪豢伊字跏+ 学新+ 可o r 4 h g 耐o l 。u n + d ( 一 v 螂：毕乒：争可a r h 2 象伊可a r c h 4 象俨下a r s h s 嘉伊可a r 4 h s 列i ) 1 。un + d ( 雨 瓢m 苒1 = v t m l = 1 1 旧= 踞旧= 髭2 h ，n ：监虻驾乒些：象叶百2 h 2 丽0 4 u 伊 a 等象卅百2 h 6 丽8 s u l ，n + 面2 h s 砸0 1 。u - ，n + 0 ( 加) 7 磅【町- 1 = 主学踟+t2(1sot2-30r+t)h4列0, 嘉 而2 ( 7 5 6 0 0 r 4 _ 2 5 删+ z 5 2 0 r 2 9 0 r ( 2 1 1 ) 容易得知，t m 7 ，v t m 7 ，v t m 孙1 ，v t m 二l ，1 1 m 是线性无关的，毋m ，磋m 7 ，磋m 7 1 也是线性无关的 第二节t 含参数的三层七点显格式 + 州) 3 一砌嘉l ? + f r 璺一纠：l 叫( 啦+ 砌+ 南( 石1 2 r 2 川鲁器哆 i 一三髦咯， ：索烹：差肄裂杀篡辜喀i ， + ( 懦一t m ) ( 1 - z l r + 1 口“万万l j + 0 ( r 4 ) m + 啦+ 伪+ 叩4 + 璃= 1 裂警魏轴协2 1 ) 8 解方程( 2 2 1 ) ，得 t h = 】22 哟2 侣2 一l o r 3 + 3 r 2 + 裂r 一 鉴1 4r(1鬻2骆21rz2 2 4 0 r 46 r 2 o r 4 一咿一 + 等r 一昔) 一r 3 一 十华r 一蒜 啦=r习4。rt2(5一r26r-。i+盘)竿，一箍-240ra a 2 = i 0 一一6 r 2 + 早r 一蒜 4 r 2 ( 2 r + 1 ) ( 6 0 r 2 3 0 r + ) 丽万丽f 丽耳蕊 然后让僻m ，霹m 7 ，毋m 啪来逼近瓦o ，2 u i l ，n ，则得 啦磋m 7 + 们磋【叫7 1 + 铂毋叫7 蘩l - e 赫- 1 1 7 2 r 臻+ 兰2 r 4 h e 尝o ( h s ) + 2 舻啦+ ( 一6 7 2 0 r 3 + 1 6 8 0 r 2 2 ) 等唧+ ( 暑一4 i ，】8 】象1 7 + 为了使精度达到o ( h 6 ) ，只需- 解方舭帅 f 。：! 壁二鲨二! 蝴 。 卜芝爿 1 耵2 i o , - ( 6 , - 一- t ) i 懦2 丽丽 为了使精度达到o ( h e ) ，只需，珩，啦在满足( 2 2 3 ) 的同时再满足( 2 2 4 ) 扣竹6 7 斯3 + 1 6 舻- 1 1 打+ 2 ) 啬钟+ ( 丽2 一等) 啦= o 解( 2 2 4 ) ，得； 2 菇 9 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) h o 矿 妊一 篓一 由裳= 嚣，得到t 机t 7 + ，7 2 t n 口一1 + ，7 3 山陋瑶矗+ 啦f 陋瑶j + ，茹 1 f 蝴n 一叭那2 【u h n l - ，月州j n 一1 + 铂毋l 郴) 把m ，啦，】3 ，y 4 ，铂，粕，啊，啦，r = 紊分别代入上式，舍去误差项，整理即得差分格式一 o ( 2 2 6 ) 此时截断误差为0 ( , - 4 + 舻) 当r 再满足( 2 2 5 ) 时，截断误差可提高到d ( 一+ h s ) 2 稳定性分析 利用文【7 】( 邬华谟，1 9 8 2 年) 分析格式( 2 2 6 ) 的稳定性，用f o u r e r 方法，令叼= t ，n e l j 8 ，川 霄，1 一c o s o = 5 i o ，2 】，则差分格式( 2 2 6 ) 式可化为t ( r 5 1 4 r 4 一萼r 3 + 蔷斋r 2 一盏r + 矗斋) t ，件1 静9 + ( 4 8 0 r 6 + 8 r 5 一挈一+ 半一一孺3 1 4 r 2 一晶r 一揣) 矿e 删 ( 一曩l , 0 r 6 + 1 1 6 一一半一+ 学一一鑫r 2 + a 妊r ) ( 矿一o + 1 + 俨e 心一1 m ) + ( 2 4 0 , j 一3 5 0 r 5 + 学r 4 一警r 3 + 器r 2 一蔷刍r + 蕊1 3 ，v n 一1 + ( 一1 2 0 r 6 + 2 s t s 一；一一臻r 3 + 责b r 2 一蒜r ) ( h 严一1 e o + 1 妒+ t ，卜1 e e ( j 一1 ) 一) = 0 得特征方程a v 2 + b + g ；0 其中。 a = 6 0 r 5 1 4 r 4 一等一+ 盖；r 2 一盏r + 蕊 b = 2 4 0 , 5 1 1 一十半一一器r 2 + 磊r 一捣 - 2 ( - 2 4 0 r 6 + 1 1 6 r 5 一半r 4 + 竿r 3 一击r 2 + 搞r 扣 口= - 3 0 0 r 5 + 1 3 0 r 4 一萼4 r 3 + 器r 2 一器r + 矗斋 - - 2 ( - 1 2 0 r 6 + 2 s t 5 一 一一鬈r 3 + 捣r 2 一蒜r 扣 可知a ，e c 都是实效，所以五= a ，雪= b ，0 = c 由文吲得一 i 五8 一雪g 1 2 一( i a l 2 一i e l 2 ) 2 = l a b 一口c 1 2 一( i a l 2 一i c l 2 ) 2 = ( a b b c ) 2 一( a 2 一俨) 2 = ( a c ) 2 ( a + b + c ) ( b 一( a + c ) ) = ( a 一研2 8 r 。2 v ( 6 r 一1 ) ( 一一1 4 , - 2 + 等r 一貉) 【( 1 2 0 r 5 5 8 r 4 + 臀r 3 一稀r 2 + 箍r 一搞) + r ( 6 0 r 5 4 4 r 4 + 擎r 3 一蓦r 2 + 击r 一揣) 叫 令一 ，( r ) = ( 6 r 一1 ) ( 6 0 r 3 一1 4 r 2 + 等r 一捣) g ( r ) = i ( 1 2 0 r 5 5 8 一+ 留, - 3 一器3 r 2 + 笳r 一矗苗) + r ( e 沁r 5 4 4 r 4 + 等r 3 一簧r 2 + 击r 一矗豁川 可知l 五日一豆g 1 2 一( i a l 2 一i c l 2 ) 2 s0 # f ( r ) g ( r ) s0 营下面两种情况的并集t 第一种情况一 嬲 竹脚吖z 置卜翱或 2 置卜黝 0 0 6 9 8 o 利用格式( 2 2 6 ) 求解数值解，这是一个三层的显格式，为了简单起见，我们用精确解 u 扛，t ) = e - t s i n x 给出第一层q 的值( 对般同题可用其它高精度格式计算畸) ，表中的 值是在节点o ，”) 处的误差值，计算到2 0 0 0 层，h 2 蠡 j = 6 0j = 1 2 0j = 8 0j = 2 4 0 r - - o 1 6 6 ，n = 1 0 0 2 2 3 6 1 0 0 b 0 1 23 6 2 7 6 5 3 e - 0 1 23 7 3 1 0 1 5 e 0 1 22 4 9 2 4 5 0 e _ 0 1 2 r - - - o 1 邸n = 5 0 01 5 4 3 鹊融0 1 12 5 0 7 2 1 6 e _ 0 1 12 5 7 2 9 3 0 e 0 1 11 6 4 5 8 e 0 1 l r = o 1 6 6 ，n = 1 0 0 03 1 7 4 3 9 妊o u 5 1 5 5 7 4 2 e - 0 1 15 2 9 1 鹤9 e 0 1 11 3 3 蝎6 e 0 1 0 r = o 1 n = 2 0 0 06 3 4 6 1 6 8 e - 0 1 11 0 3 0 7 l l e _ 0 1 09 b 4 0 3 3 9 e - 0 1 1，6 3 6 3 3 8 ( 1 e - 0 1 0 r = 7 9 0 n = 1 0 0 - 2 4 3 1 3 8 8 e 加1 43 9 6 3 4 9 6 e _ 0 1 4- 3 9 7 4 5 9 8 e _ 0 1 4- 2 4 5 3 5 蚰枷1 4 r = r 9 0 n = 5 0 0 1 2 3 3 4 5 8 e - 0 1 3 2 0 0 2 2 e - 0 1 31 9 9 9 5 1 2 e 0 1 3 - 1 2 3 7 8 e - 0 1 3 r - - t d o ，n = 1 0 0 0 2 4 6 2 4 7 5 e 0 1 3 3 9 9 2 3 6 2 e - 0 1 33 2 3 6 2 e - 0 1 3，2 4 6 2 4 7 5 e 0 1 3 r = 7 9 0 n = 2 0 - 4 8 9 2 7 5 3 枷1 37 9 1 7 0 0 0 e 旬1 3 7 眈1 4 4 1 e - 0 1 35 2 2 6 9 3 0 e 0 1 3 从表中可以看出，理论分析是正确的，用格式( 2 2 6 ) 所算出的数值解和精确解是吻 合的 第三章。解抛物型方程的九点隐格式 第_ 吼局部节点集及基本差商 卜盏n 4 - 1 2蒋u n 4 - 1 t in - - 1 黪挚2 加工。， ：磊瑟量i 忑葛面。+ 盎( 7 5 6 0 0 r 4 + 2 5 2 0 0 r 3 + 2 5 舻+ 9 0 r + 1 ) 胪赫盼o ( 1 0 ) 1 用组合差商法构造含参数的差分格式 曾文平( 文【3 1 】) ( 曾文平，2 0 0 5 年) 构造了族含双参数的三层隐式差分格式，截断 误差均为d ( r 2 + 酽) ，当参数都取非负时，都是绝对稳定的为了使精度进一步提高，我 们用上节差商建立含多参数的差分算子 厶。卜l 垮= ，7 1 t 阻垮+ ，】2 v t m 7 一) 3 磋【词7 一7 4 程m 一哪磋m r l ( 3 2 1 ) 来逼近微分算子工u = 象一a 象，其中取o = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 是待定参数把各差商的渐近 表达式带入( 3 2 1 ) 式，经整理得t 2 搽篓1 8 0 , - 墨23 0 r ：慧3 0 r 尝 + ( 6 r ( 仉一，? 2 ) 一t 1 3 一( 1 一1 2 r ) 啦一( 1 + 1 打) 骗j = 。丢i 哆 + 0 6 0 r 2 ( ，7 1 + 】2 ) 一】3 一( 一 + 1 ) 啦一( 1 r 2 + 1 ) t ) 5 】= 等丢去口 一( 3 3 6 0 r 3 + 8 4 0 r 2 + 5 6 r + 1 j 砺j 2 a 矿r 3 h 6 瓦a 8 u 1 j n 一( 7 5 6 0 0 r 4 + 删+ 2 5 2 0 r 2 + 9 0 r + 1 ) 剥竽o i o u i n + d 矿+ j 1 0 、 当 r1 5 0 r 2 + 铷+ 1 5 1 2 r lm 2 面声矿一百币巩 栌j 1 2 8 n o r 2 + 3 0 r + + 3 0 r 1 而铂2 ) l1 2 0 r 2 + + 7 i 啦。1 丽：耳面广一否币仉 l 啦一1 8 0 r 2 + 3 0 r 6 r + 1 q 4 由( 3 2 2 ) 舍去截断误差，用哆表示m 7 的近似值，经过化简整理，得差分格式为， 1 1 2 0 r 3 + 1 5 0 r 2 + 2 8 r + 1 5 6 0 r 2 ( 6 r + 5 ) ，“】t 学+ 1 一r 【r 2 1 - 3 0 r ( 6 r 一1 ) 啦】( 2 n + + 1 l + t ，n 一+ 1 ) + ( 2 4 0 r 3 一r 2 2 8 r 一3 + ，o r 2 句4 ) 叼一r ( 1 2 0 r 2 + 3 0 r + 1 一r m ) ( t 岱1 + t 口1 ) + 【- 3 0 r 2 + 1 5 + 6 0 r 2 ( 6 r 一5 ) ，7 4 】t i 尹1 3 0 r 2 ( 6 r + 1 ) ，1 4 ( 1 + - 1 1 + t 辱j ) = 0 ( 3 , 2 4 ) 此时截断误差为 e = 【删( 2 。r 2 一1 ) ，h 一2 r ( 5 0 4 0 0 r 4 + 1 2 6 0 0 ：一1 2 r 2 3 3 0 r 一1 3 ) 1 酽嘉学+ d ( 一+ 护) ( 3 2 5 ) 如果满足方程组( 3 2 3 ) ，叩4 再满足。 啦：型坚芒竺羔罢骘芋! 业( 3 删 啦2 面面磁丽正j 广一 p 。 1 4 ! 塑型望塑喽挈挲! 塑坠塑矿- n 一一1 j + 型丝生鼍鍪罕1 生塑塑( 蹦+ 嘣- 1 ) 2 0 r 2 一 、”7 ：霉主摹嗡博1 ) ( 3 删 + 型丝! 霉鍪罕坠塑塑( 嘣+ 啊n - 1 ) ：o 2 0 r 2 一l 、+ l “7 。 将7 1 ，啦 】3 ，啦，啦的值代入到( 3 2 2 ) ，此时截断误差可以提高到o ( r 4 + h 8 ) 其截断 误差为- e ：- 3 3 8 6 8 8 0 0 r 1 6 + 丽3 8 1 丽0 2 4 0 r 4 - r 7 0 5 6 0 r 2 + 2 3 6 百2 a h s 硒o l 。ul , 。+ d 矿+ j 1 1 0 ) ( 3 2 8 )占= 1 面玎菊再f = 豇豇一刁i 声l 十u 十j 讥厶叫 疗l u j 令；茹口前的系数为0 ，可得 r = 0 1 3 3 8 ，0 0 6 6 ，0 3 0 0 5 ( 3 2 9 ) 即当格式( 3 2 7 ) 中的系数中的r 当满足( 3 2 9 ) ，则截断误差可达到o ( 一- 1 - _ 1 1 1 0 ) 定理1 格式( 3 2 4 ) 的截断误差为d ( 一- i - h e ) 格式( 3 2 7 ) 截断误差为d p - i - h s ) 特别。当r = 0 1 3 3 8 或0 0 6 6 时，格式( 3 2 7 ) 是截断误差可达到d ( 一+ 1 0 ) 定理2 格式( 3 2 4 ) 是绝对稳定的，当参数满足仉删n 熊；壶 宝- 丑，二苎! 坚笔菇塑盟) 格式( 3 2 7 ) 的稳定性条件是0 r 去；特别，当r = 0 1 3 3 8 或0 0 6 6 时，格式( 3 2 7 ) 是稳定的，此时截断误差可达到o p + 1 0 ) 证明一对格式( 3 2 4 ) 使用f o u r e r 方法导出特征方程舻+ b v + c 一0 其中， a = 1 5 0 r 2 + 舳r + 1 5 3 6 0 r 2 啦+ 【1 2 0 一一2 r 一6 0 r 2 ( 6 r 一1 ) 仉1 u b = 一1 2 0 r 2 3 0 1 一3 - i - 7 2 0 r 2 ，“+ ( 2 4 0 r 3 - i - 踟俨4 - 2 r 一1 2 0 r 2 啦) v 可知a ，b ，c 都是实数，由文【7 1 ( 邬华谟，1 9 8 2 年) 。得 i 训s 1 静i 五口一雪c 1 2 - - ( 1 a 1 2 一i c l 2 ) 2 = i a b b e l 2 一( i a l 2 一i c l 2 ) 2 = ( a b b c ) 2 一( a 2 - c 。) 2 = ( a c ) 2 ( + b + g ) ( b 一( a + c ) ) = ( a c ) 2 4 r v 一1 2 0 r 2 3 0 r 一3 + 7 2 0 t + r ( 6 0 r 2 + 3 0 r + 2 1 2 0 r r 4 ) v 】曼0 营一1 2 0 7 2 3 0 1 一3 + 7 2 0 r 2 4 + r ( 6 0 r 2 + 3 0 r + 2 1 2 0 r r 4 ) v 0 i 一1 2 0 r 2 3 0 r 一3 + 7 2 0 , a 0 4 0 铮1 一1 2 0 r 2 3 0 r 一3 + 7 2 0 r 2 啦+ 2 r ( 6 0 r 2 + 3 0 r + 2 1 2 0 r r h ) o r 4 0 r 2 + l o t + 1 甘 雠丙4 0 r 21 3 r + 1 3 i 啦s 面丽_ 一 啦m 伽 竺壁! i ；：； 旦，二竽! 土 芸；二兰塑丑 ( 3 二j 0 ) 啦s m m t 五面i 一- 面面r 一 、 时，格式( 3 2 4 ) 是绝对稳定的 ”磊别。取啦；5 0 4 0 0 r 4 + 1 1 2 面6 0 0 面r 3 可- 丽1 2 f 6 0 j r 2 广- 3 3 0 7 - 1 3 ，e o r 面1 时，恒有 ( 3 2 1 0 ) 成立，格式( 3 2 7 ) 是稳定的，此时截断误差提高到d ( 一+ 8 ) 当r 满足o 0 ，。营1 ；：；! ：三二辜：，产一。，。+ 。，一。 ，( j ) 的对称轴8 ；硕町2 , 一 p ，- + , 聊- ) r e 8 ) 的最大值= ! 塑生磊若孚兰掣 f 呀( 呀一r + 聊) of 叶( r l - r + r 叼) of 叩( 9 1 - - r + r 叩) o 二f ( o 静0 泫劳0 率 0 i ) i ，( 2 ) sl 二型i 芒兰三兰卫 i 一州。亦即_ 一；时， 一1 fr 芋i m j l 1 一，r 陋l + l c i + l d l 陋i + i b l + ic ii 口i + i b i + h + ld 11iioi i 。1 f * - 峄而h 丽 2 峄t 帮，箫，业群 一i 口i + | b i + f c l + i d i i r 一( 1 + r h l + 1 1 2 r + ( 1 + 3 r ) 呀i + l r ( 1 一跏l + i r 州一， 2 7 厂可r 一2 1 再可习= 矿一l 争l ( 1 一町) r 一州+ l ( 却一2 ) r + 1 + 训+ l ( 1 3 叩) r i + i f i r l 1 1 + 州+ i 町i 0 ( 4 2 ” 经分析。得到满足( 4 2 7 ) 的m 为 当。sq s ；时，尚r 舄；) 当r ，q 再满足( 4 1 6 ) 时，即取t ”= ；一矗，；r ； ) 口。互一西，is7 s 石 1 4 2 跏 截断误差可提高到o ( r 2 + 3 ) ；当r ，q 再满足( 4 1 7 ) 时。即取一 口_ 0 ，”i ( 4 2 1 0 ) 截断误差可达到d ( r 2 + h 4 ) 第三节，g e l 格式和g e r 格式的构造 现设m 为偶数，此时m - 1 个需要计算的内点是奇数因此，可有2 铲个g e 组， 有个单点，这个单点要么是左单点要么是右单点 1 g e l 格式的构造 g e l 格式，即具有左单点的情形由于此时此点不能用g e 格式来算，所以我们用 非对称格式( 4 1 4 ) 来计算， 嵋+ 1 = d _ 【r 一( 1 + r ) q 】嵋+ 【l 一2 r + ( 1 + 3 r ) 棚嵋+ r ( 1 一韧) 嵋+ r 埘+ 删矿1 ) 令， 磊= ( ：；) g l ：d i a g ( 磊，g ( 1 1 ，g ( 1 l ，g 学，) 此时。g e l 格式的矩阵形式如下 g 1 “+ 1 = f l u “+ g l = bc 口b dc d cd 厶口 abcd dcb 口 口bc dcb 嵋 醒 u 譬 ： ： t 嘞一3 t 嘞一2 t 盘一1 + 与g e 格式类似，r ，7 当满足( 4 2 8 ) ，( 4 2 9 ) 或( 4 2 1 0 ) 时。g e l 格式是稳定的 2 g e r 格式的构造 g e r 格式，即具有右单点的情形对右端使用非对称格式“1 5 ) 计算，有- t 淤1 = r b r 7 t l