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硕士论文网络控制系统信息流动态特性建模和分析 摘要 网络控制系统和传统的控制系统相比具有接线少、维护方便、可靠性高等特点， 在现代工业中正得到越来越广泛的应用。山于网络的介入，控制系统的分析因为延 时的不确定性变得非常复杂。本文以网络中信息流的本质属性自相似性为切入 点，研究网络控制系统中信息流的动态特性。文中详述了白相似信息流的线性近似 生成算法以及建模参数的快速估计方法，并对自相似信息流的排队性能进行了分析； 在分析控制网络性能和时延组成的基础上，重点研究了以太网中信息流的时延特性， 并借助通用系统仿真软件( g p s s ) ，对一类网络控制系统时延进行了仿真研究。 关键词：网络控制系统，自相似性，通用系统仿真，h u r s t 参数 硕士论文 网络控制系统信息流动态特性建模和分析 a b s t r a c t c o m p a r i n g w i t hc o n l l l l o l lc o n t r o l s y s t e m s n e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m s ( n c s s ) r e q u i r e l e s sw i r ea n dn r a i f l t e n a n c c ，a n dt h e ya r ea p p l i e di nn l o d e r l l i n d u s t r ym o r ea n d m o r ew i d e l y i n t r o d u c t i o no t 、n e t w o r ki nn c s sm a k e sr a n d o md e l a y si nt h en e t w o r ki n o r d e rt os o l v et h ep r o b l e m ，w ea n a l y z et i l ec h a r a c t e r i s t i c so ft r a f f i ci nn e t w o r k s a n dt h e n w ed r a wac o n c l u s i o nt h a tt r a f f i ci nn e t w o r kh a v et h es a r n ee s s e n t i a l p m p e r t y s e l f - s i m i l a r i t y b a s e do i l i ta n dt h ec h a r a c t e r i s t i c so fc o n t r o ln e t w o r k s ，w ee m p h a t i c a l l y d e s c r i b et h e t i m e d e l a y c h a r a c t e r i s t i c so ft r a f f i ci ne t h e r n e ta n da l s os i m u l a t et h e t i m e - d e l a yc h a r a c t e r i s t i c so f a s i m p l en c s sr e c u r r i n gt ot h eg e n e r a lp u r p o s es i m u l a t i o n s y s t e m ( g p s s ) s i m u l a t i o nl a n g u a g e b e s i d e s ，t h ep a p e rs t u d i e sl i n e a ra p p r o x i m a t i o n a l g o r i t h m t op r o d u c es e l f - s i m i l a rt r a f f i ca n d a n a l y s e si t sq u e u e i n gp e r l b r m a n c e k e y w o r d s ：n e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m s ，s e lf - s i m i l a r i t y , l t u r s tp a r a m e t e r , g e n e r a l p u r p o s es i m u l a t i o ns y s t e m 硕士论文 网绍控制系统信息流动态特性建模和分析 1 绪论 l 。1 论文研究背景 控制环路通过实时网络闭合的反馈控制系统称为网络控制系统( n e t w o r k e d c o n t r o ls y s t e m s ，简写为n c s s ) 1 2 i ，它是- - 币t 分布式控制系统，传感器、执行器以 及控制器由通信网络实现互连。随着现代工业和商业的发展，计算机、通信、控制 广泛应用到现代工业中的各个层次，而控制系统规模的门益扩大和网络软硬件成本 的降低，使得网络控制得到越来越广泛应用。网络控制的生命力在于它能减少复杂 的物理连接、低成本、易于诊断和维护并具有良好的机动性。由于网络巾信息流传 输的复杂性，网络作为闭环反馈控制的一部分和被控对象组成的闭环系统是一变时 延的不确定的复杂非线性系统，对这类系统的建模和分析一直是困扰人们的难题， 从而导致对信息流的时延、丢包率等特性的分析一直存在着困难。然而时延、丢包 率对网络控制系统的影响很大，甚至使系统失稳，很多文献都有关于这方面的阐述。 所以，网络控制的发展迫切要求从网络中信息流的层次来对这些关键量作分析。 本论文的背景是控制理论与控制工程学科点承接的基金课题。本人的工作是在 网络信息流的建模方面作些有益的探索，并根据模型来分析信息流的稳态时延、丢 包率等特性。 1 2 网络控制系统概述 传统意义上研究的控制系统是点对点连接的，如图1 2 1 ，也就是说，控制器和 被控对象之问的连接采用专线。 图l ，2 i 点对点控制系统结构框图 网络控制系统中，传感器、控制器、执行器等都通过共用的通讯介质如总线相 连，各部分之间可以实现点对点的对等通讯。由于网络控制属于一种彻底的分布式 控制结构，因此具有系统连线少、可靠性高、易于扩展以及信息资源共享等特点。 网络控制系统的特点是信息( 参考输入、对象输出和控制输入等) 在控制系统各部 件间( 传感器、控制器和执行器等) 通过网络进行交换。网络控制系统可分为远程 和局域网控制系统，远程网络控制系统的主要优点是便于实现遥操作、遥医学、远 程教学和试验，典型的应用包括基于天际网络空间实验室遥操作机器人、远程外科 手术等；局域网络控制系统典型应用包括网络家电、蓝牙技术、办公系统和计算机 硕士论文 网络挡制系统信息流动态特性建模和分析 集成制造系统等。 图1 2 2 网络控制系统结构 图1 2 3 一对控制器和被控对象结构框图 网络控制系统的结构如图1 2 2 所示，从图中可看出网络控制系统是许多控制器 和被控对象组成的控制系统集，它们通过网络连接在一起。对于其中一对控制器和 被控对象，它们结构框图如图1 2 | 3 所示。每一个直接与网络相连的系统部件称为节 点。和广泛应用的计算机网络相比，网络控制系统主要追求实时可靠的控制质量。 在控制系统中引入网络，由于网络自身特点造成网络控制系统的复杂性，主要 在于：( 1 ) 网络上多用户共享通信线路且流量变化不规则；( 2 ) 传输数据流经众多 计算机和通信设备且路径不是唯一的：( 3 ) 数据单元在传输中由于网络阻塞、连接 中断等原因会导致时序错乱、数据包丢失。因此，网络中传输的信息是处在一个动 态不确定时变环境中。网络控制系统设计的主要目标是有效地利用有限的网络资源， 以保证闭环系统的性能，这些性能包括：稳定性、上升时间、超调和其它设计准则。 1 3 信息流建模概述及研究现状 将控制系统中由于数据在网络中传输而引起的延时称为网络诱导延时。在网络 控制系统中，网络对控制系统的影响主要是网络诱导延时。 在文献 4 8 j 中，w a l s h 考虑网络控制系统对实时性的要求使得网络诱导延时必须 有上界，通过一些方法将网络诱导延时始终达到上界。这样可以将网络控制中的网 络诱导延时视为一个延时为上界的滞后环节，而网络控制系统就成为一个带有滞后 环节的控制系统。 在文献 1 3 】中，f e n g l il i a n 提出在网络诱导延时为常数的条件下，使用混合系统 的稳定性分析方法分析网络控制系统的稳定性问题。作者将被控对象视为连续的系 硕士论文网络控制系统信息流动态特性建模和分析 统，将控制器的控制信号、传感器采集的数据看作是离散事件。 f e n g l 。il i a n 还考虑到网络中数据包的丢失，网络诱导延时为常数的网络控制系 统可以使用异步动态系统来描述。异步动态系统也包含连续的动力学和离散事件特 性。它使用一个丌关的丌和闭来描述数据包的丢失。 所有的这些成果都有一个遗憾，他们都规定了网络延时为常数或上i 界，这些和 网络延时的实际情况不相符合。网络诱导延时从本质上是一个随机量，对它的研究 涉及到对网络中信息流的建模。 传统的信息流模型( 例如电话网络的信息流模型) 是一种比较成熟的信息流模 型，它通常是基于p o i s s o n 过程的，具有m a r k o v i a n 特性( 或无记忆性) ，是一种短 相关( s h o r t r a n g ed e p e n d e n c e ) 的数学模型。然而近期的研究表明，基于分组交换， 而非电路交换的高速网络上的很多信息流己不能用传统的方法来描述，信息流在不 同时间尺度上的突发和结团现象使它们表现出自相似长相关( s e l f - s i m i l a r l o n g r a n g ed e p e n d e n c e ) 的特性，这使得建模工作需要新的理论支持。 自从1 9 9 3 年b e l l c o r e 实验室首次公布了他们从1 9 8 9 至1 9 9 2 年间对以太网信息 流的测量结果i l8 ”】，提出了高速网络信息流具有自相似性的特点之后，高速网络信 息流的研究进入一个新的阶段。文献【7 ，8 】报告了w w w 信息流的研究结果；文献 1 0 】 中，g a r r e t 等人对v b r 视频信息流进行了分析；文献 3 0 1 报告了t c p 信息流以及 t c p 连接上承载的f r p 和t e l n e t 信息流的研究结果；而文献 2 0 】讨论了c c s n 网 络信息流的自相似特性。大量的实验结果表明；实际网络的信息流在很大的时间尺 度上表现出了自相似性，具体表征为突发现象在很大的时间尺度( 例如从几毫秒到 几千秒) 上均存在。换言之，在较大的时间单位上表现出的突发信息流，经过时间 分辨率的提高之后，在较小的时问单位上依然是由突发与较平缓的信息流交替组成 的；反之，在较小的时间单位上表现出突发信息流，在时问轴上重聚以后依然保持 有突发信息流。由于基于m a r k o v i a n 特性的数学模型以小时间段采样产生的突发特 性经过时间尺度的放大后会逐渐被平滑掉，与自相似性的特征相抵触，所以其适用 范围在高速网络的建模中受到很大的限制。 基于自相似性的建模方法也是层出不穷。如文献1 2 2 ，2 3 1 中的f b m 模型，g o r d o n 在文献 2 4 中以p a r e t o 分布作为信息流模型，还有f r i m a 模型、m g m 模型、 o n o f f 源信息流模型以及p p b p 模型等。其中，也有人致力于开发信息流建模和 排队分析工具，如t e x a s 大学的s a n q il i 、s a n g k y up a r k 、d o g ua r i f l e r 开发的s m a q 工具阻2 6 i 。当然我们也可以借助于已有的系统建模和分析工具，本文将采用通用系 统建模语言g p s s ( g e n e r a lp u r p o s es i m u l a t i o ns y s t e m ) 来分析控制网络之一以 太网中的信息流特性。 国内信息流建模方面的研究起步较晚，通常是一些综述性的研究。天津大学张 硕士论文网络控制系统信息流动态特性建模和分析 连芳、薛飞、舒炎泰在文献【4 】中提出真实的网络信息流具有自相似性，并介绍了自 相似随机过程的数学定义及其性质，是国内研究自相似信息流模型较早的一篇文章。 文献中讨论了重尾分布，总结t j l i i , 生成自相似信息流的方法以及自相似信息流模 型下队列系统性能评价方面的研究成果。北京人学的李景聪、李正斌、吴德明、徐 安士在文献 5 】中采用g m i 排队模型对分组氏度可变的网络的排队性能进行了分析 和仿真，其中自相似信息流是通过叠加大量独立的到达间隔为p a r e t o 重尾分布的 o n o f i ? 源来生成的。根据仿真结果指出，自相似信息流导致网络的排队性能劣化。 在文献【6 】中，北京航空航天大学的沈蓬提出了在定条件下用m g m 序列模 拟一个了网接口的流量、用若干肼( ：l = 。序列的叠加模拟局域网路由器所有了网流 量的建模方法。 1 4 论文主要工作及研究内容安排 网络控制系统因为使用网络作为传输信号的媒介，所以必不可少地引入了延时。 为了对网络控制系统建模，我们对网络控制系统的各个模块进行分析。在论文前面 提到网络控制系统包括控制器、执行机构( 被控对象) 、网络和传感器四个模块。和 传统控制系统相比，网络控制系统主要不同在于网络模块的引入。要是能够对网络 模块建模，网络控制系统的模型便能够建立起来。 由于网络控制系统中各节点的数据采样具有周期性，它和网络介质访问控制机 制的特性以及各个设备之间的紧密联系使得网络诱导延时也具有一定的规律性，使 用随机概率的方法能够方便的描述网络诱导延时。本文从i n t e m e t 信息流的本质属性 自相似性出发，主要基于排队网络的方法，对信息流的排队性能，如丢包率、 稳态延时做深入探究，并对三种控制网络e t h e m e t 、c o n t r o l n e t 、d e v i c e n e t 的延迟 特性做分析，论文最后用g p s s 分析了以太网的m a c 层及一个基于以太网的简单 的网络控制系统模型的延时特性。 论文内容安排如一f ： 第2 章，简要介绍了随机过程的一些概念和基本数字特征，洋细叙述了自相似 随机过程的连续时问定义和离散时间定义，并给出自相似随机过程的性质。最后介 绍了长相关过程的概念。 第3 章，描述了三类自相似随机过程的数学模型：f g n 、f a r i m a 和m i g l o o 模 型，以及o n o f f 物理模型。接着介绍了几种h u r s t 参数的估值方法。重点介绍了 一种自相似信息流的生成算法，以及h u r s t 参数的快速估计方法，最后对该算法生 成的自相似信息流的排队性能进行了分析。 第4 章，简要介绍了控制网络并对其网络诱导延时的组成进行了详细分析。重 点借助g p s s 仿真： 具仿真了自相似物理模型以及以太网中自相似信息流的延时特 硕士论文网络控制系统信息流动态特性建模和分析 性，最后对一类基_ i j 二以太网的网络控制系统模型的延时特性进行了仿真。 文末对论文所做的工作进行了总结，并对网络控制系统巾信息流建模有待进一 步探索的课题提出了个人的几个观点。 硕士论文 网络控制系统信息流动态特性建模和分析 2 自相似随机过程 在以往大量的研究自相似网络信息流的论文中，对自相似随机过程并没有给出 一个统一的定义。本章给出一些自相似随机过程较为常见的定义，并对其中部分做 具体讨论。我们将会看到某些定义实际卜是一致的，不同的表达式只是从不同的角 度表达白相似的含义。 2 1 随机过程的几个基本概念 2 。1 1 随机过程的有限维分布 已知一个随机变量爿的分布函数f ( x ) ，则x 的统计规律性完全由它刻画。同 样地，”个随机变量x ，工。的h 维联合分布也完全描述该，个随机变量的统计规 律性。 定义2 1 ：已知随机过程 ( n t ，) ，v n 及v t ，t ( i 茎f ，7 ) ，”个随机变量x ( t ) ， x ( t ：) ，x ( t 。) 的h 维联合分布函数定义为： ( z l ，t 2 ，；f l ，1 2 , , - ，) = ( x ( t i ) x l ，x ( t 2 ) x 2 x ( t 。) x 。 这些分稚函数的全体所组成的集合 ( x i ，x 2 ，x 。；f l ，t 2 ，。) ，t 1 ，t2 ，t 。t ，7 1 l 称为随机过程x ( t ) 的有限维分布函数族。 虽然在理论上用有限维分部函数族可以描述随机过程的统计特征。但在实际中 一般很难给出有限维分布函数族。比较现实的是考察随机过程的各类数字特征。这 些数字特征不仅能够描述随机过程的重要特征，又便于进行运算和实际测量。 随机过程的数字特征主要包括一阶矩( 均值) 和二阶矩( 方差、协方差等) 。 2 1 2 随机过程的数字特征 设 x ( n f t 是一个随机过程，对于某一时刻，x ( t ，) 为一个一维随机变量， 它的分布函数为f “( z ) ，概念密度为六w ，( x ) 。 定义2 2 ：随机过程x ( t ) 在t 时刻的均值( 数学期望) 为一阶矩，记为 一( t r ) 2 q ( ，f ) 】2 l 。j 厂( x ) d x 2 i 。工氕( t ，f ) c & ( 2 l 1 ) 方差为二阶中心矩，记为 0 - 2 ( ，) = ( ( 爿( ，1 ) 一v ( ，1 ) ) 2 】= 【x2 ( ，) 卜e2 f 爿( ，) 】 ( 2 1 2 ) 自协方差函数定义为随机过程x ( t ) 在不同时刻f 、f ，的二阶混合中心矩： c 1 ( ，f ，t ? ) = 占 ( v ( ，i ) 一声，( ，i ) ) ( ( ，2 ) 一，f 、( t 2 ) ) 】 ( 2 1 3 ) 6 硕士论文 网络控制系统信息流动态特性建模和分析 自相关函数定义为： _ 眠 ，= 幽揣渊掣2 熹蹴i 亿， 以上数7 - 特征的定义是基于h , j 域的。从定义中可看出，最重要的数字特征是均 值和自协方差函数。 2 1 3 平稳与遍历 平稳随机过程是指统计特性不随时问的推移而变化的随机过程。其严格定义为： 定义2 3 ：随机过程 x ( 味，t ，若对于任意h 和任意选定的f ， t ， t 。，t ， 以及任意值r ，且五，x 。x 。r ，有 f i ( 工i ，xz x 。；f l ，t2 ，一。) = 凡( x i ，z 2 ，一了，；，l + 1 5 ，2 + f ，。+ f ) 则称法过程为严格平稳随机过程。其中f 。( ) 是 维分布函数，h m 。 严格平稳随机过程的定义说明：当样本点在时间轴上做任意平移时，随机过程 的所有有限维分布函数是不变的。 前已述及，用分布函数研究随机过程往往比较复杂，所以一般只研究一个过程 的一阶矩和二阶矩。由此可以引入协方差平稳随机过程的概念。 定义2 4 ：一个二阶矩随机过程x ( i ) 是协方差平稳的，若其满足： e i x ( t ) 】- = c o n s t o o( 2 1 5 ) v a r x ( t ) 】_ 仃2 = c o n s t ( 2 1 6 ) 巴( ，l ，2 ) = e 【( ( ，) 一) ( ( f 2 ) ) 】= c 。( ，l 一，2 ) ( 2 1 7 ) 上述条件说明，协方差平稳随机过程要求均值和方差是有限的常数，且其自协 方差函数与所取的时刻无关，而仅与时间差有关。& - t c 。( “，：) = c 。( ，：，所以 平稳随机过程的自协方差函数和自相关函数都是偶函数。 本文所述的平稳随机过程若没有特别说明，均指协方差平稳随机过程。 对于平稳随机过程x ( t ) ，一般存在两种类型的“平均”：样本空间平均( 即均 值) 与时间平均。如果在时间趋于无穷时时间平均等于空问平均，在实际工程中就 可以用长时间采样得到的大量样本值的时间平均来近似空间平均。这就是所谓的遍 历。所以，遍历往往是实际工程中的一个重要假设。本文只讨论均值遍历。 定义2 5 ：若平稳随机过程并( ，) 的时间平均值存在，即 丽= 熄去p ( ，) d r ( 2 1 8 ) 存在，且与均值= 研( ，) 】依概念l 相等，则称该过程是均值遍历的。 至于判断随机过程是否均值遍历可以用下述定理： 引理2 1 1 6 , 2 8 1 ：平稳随机过程x ( t ) 的均值遍历的充要条件是 硕士论文 网络控制系统信息流动态特性建模和分析 舰i m l 27 e1 一掣) ( - ( 州f = o ( 2 1 9 ) 对于实平稳随机过程，有c 。( 一r ) = c 、( f ) ，则均值遍历的充要条件是 艟* ( i 一争q ( 触= o ( 2 【j o ) 在实际工程中通常只考虑定义在0 f + m 上的平稳过程，此时上述所有的时间 平均都应该用该区间上的时间平均代替。则定理2 1 可表示为下述形式 引理2 2 1 6 2 8 i ： 一x ( o = j 晚专f x ( t ) d t ( 2 1 1 1 ) 依概率l 等于= e b x 7 ( f ) 】的充要条件为 烛托( 1 一粤心舡o ( 2 1 12 ) 对于实平稳随机过程，均值遍历的充要条件足 。l i m 。7 1 _ f ( i - 三1 t c 。t r ) “r = o( 2 i 1 3 ) 2 1 4 谱密度 在工程实际中，通常需要在频域中讨论问题，因此要通过f o u r i e r 变换把自相关 函数映射为谱密度。对于平稳随机过程爿( f ) ，它的自协方差函数的f o u r i e r 变换定义 为该过程的谱密度。即，对于连续时间随机过程 1删 s ( o a 2 i l _ l c 、( ，弦1 “d t ( 一 国 0 ，0 5 h l ( 2 2 1 ) 其中的等号在有限维分布的意义下成立。一般的，规定z ( t ) 具有具有平稳增量。 式中的仃为h u r s t 参数，是以水利家h e h u r s t 命名的，它首先应用于水文学和 地球物理学，用来衡量自相似的程度。一般规定h 在0 5 和l 之间，主要是考虑到 此时的自相似过程具有长相关特性。当日接近0 5 时，自相似的程度较弱；反之， 愈接近于l ，自相似程度愈高。 2 2 3 自相似随机过程离散时间定义 令x ( ) 为z ( f ) 的增量，即( 女) = z ( t ) 通过x ( k ) 做聚集来改变其时间尺度： i 1 ：。熟) 由( 2 2 1 ) ，易得 z ( k 一1 ) 。则x ( k ) 为一离散时间序列。 m 2 ，k = i ，2 ( 2 2 2 ) ”) 2 i 1 。三z ( f ) 2 去。涨( f 卜z ( 卜1 ” = - 二( z ( 翩) 一z ( 拥一州) ) ，” = z “4 ( z ( ) 一z ( k i ) ) = m ”x ( k ) ( 2 2 3 ) 定义2 6 ：若序列x = f ( t ) ，k 1 为严格自相似的，则其对于任意m 级聚集都满足： j壁 ”( k ) - - - m 2x ( k ) ( 2 2 4 ) 显然，连续自相似随机过程的增量序列是严格自相似的，由式( 2 ，2 3 ) 可得和 口关系： 硕士论文网络控制系统信息流动态特性建模和分析 h = l 一2( 225 ) 离散时间定义更符合时删序列理论。鉴于实际的数据只能足对一个连续时问过 程的抽样，因此考虑离散的序列更为实用。 下面再给出严格自相似随机过程的一些性质。 引理2 3 1 6 2 8 1 ：若随机过程x c k ) 是严格自相似的，则以下等式成立： r 。，( 女) = r 、( k )( 2 2 6 ) c “，( k ) = cr ( k ) m 9 ( 2 2 ，7 ) 定理2 3 说明了自相似随机过程的物理意义。，个随机过程的统计特性在经过 时间尺度变换后与原先的形式具有一定的相似性。例如，一个严格自棚似随机过程 在聚集前后其自协方差仅相差一个系数m 一4 ( 0 口 1 ) ，而自相关函数则保持不变。 这意味着以较短的时间问隔抽样得到的统计结果隐含着较长的时间间隔抽样得到的 统计结果，反之亦然。在高速网络中的信息流突发现象在很大的时间尺度上均存在， 说明该过程的方差并未随着时间尺度的放大而被迅速地平滑掉，这是自相似过程与 传统p o s s i o n 过程的最主要区别之一。 引理2 4 1 6 2 8 1 ：若随机过程( 女) 严格自相似，则其自相关函数r c k ) 在k 寸m 过程中具 有双曲线型的衰减速率，即 鳃辔= 吉( 2 - f 1 ) o - 舻h ( 2 h - i ) ( 2 2 8 ) 而其谱密度在斗0 时近似为幂函数，即 跏加2 警f ( 2 h + i ) 南a s 聊训 ( 2 2 - 9 ) 如上的两个性质也是自相似随机过程最重要的特性之一。 用分布函数或概率密度函数定义的自相似过程要求过于严格，通常只考虑一个 过程的二阶矩。 定义2 7 ：一个具有二阶矩的平稳随机过程称为是严格二阶自相似的，如果其自相关 函数满足： r v ( ) = 妻【( 女+ 1 ) 2 4 2 k2 4 + ( t 一1 ) 2 4 1 ( 2 2 1 0 ) 该定义给出的是一个较为普遍的定义，从定理2 5 中可看出，这个定义与其他 一些定义是等价的。如无特别说明，以下的讨论中所使用的随机过程一律是平稳的 离散时间序列且存在二阶矩。由于实平稳随机过程的自协方差和自相关函数都是偶 函数，因此只考虑时间轴正半轴的情形，即令k 表示时间差，当k 0 是只需用一k 代 替k 即可。 引理2 5 m 8 l ：随机过程x c k ) 是严格二阶自相似的，当且仅当： 夺自相关函数满足( 2 t 2 6 ) 式，或 硕士论文 网络控制系统信息流动态特性建模和分析 夺方差满足： v a r i x 1 ：v w t - x j ，押 或 夺x ( k ) 的谱密度： s ( ) ：盯2s i n ( n h ) f ( 2 1 t + 1 ) ( 1 厅 c o s 国，圭丙品 f 2 2 】1 ( 一, g - 珊z ) ( 2 2 1 2 ) 上述定理给出了严格二阶自相似的三个等价条件。条件l 、2 是从时域角度作出 的限制，条件3 是在频域上的定义。 山于严格二阶自相似要求的约束条件较强，在实际的网络建模过程中，经常使 用的是渐近二阶自相似过程。同严格二阶自相似相比较，其约束条件较弱，有着更 为广阔的适用范围。下面给出渐近二阶自相似随机过程的定义。 定义2 8 ：平稳随机序列x = ( ) 女l 称为是渐近自相似的，如果当卅m 时 ( 2 ，2 ，4 ) 成立。类似的，如果其满足： l i r ar 一、( k ) = 【( + 旷4 2 k 2 4 + ( t 一1 ) 2 。4 ( 22 i3 ) ” z 则该随机过程是渐近二阶自相似的。 下面给出一渐近二阶自相似的判定定理。 引理2 6 1 6 , 2 8 i ：随机过程x ( 女) 称为是渐近二阶自相似的，如果下式成立 陋掣= c o 脚 o o ，0 l ( 2 2 1 4 ) 女- + 一声 ，1 、 显然式( 2 2 1 4 ) 是渐近二阶自相似的充分条件。一般的，总假没渐近二阶自相似 过程具有形如式( 2 2 1 4 ) 的自相关函数。由定理2 4 可知严格二阶自相似过程也满足 ( 2 2 1 4 ) 式，不过这时c o n s t 为定值( 2 一) ( 1 一) 2 ，并存在关系式 丝堕篓竺：v a r x i 。 然而对于渐近二阶自相似随机过程有 ，订 l i m 攀：c o 删 。 1 m p 在排队网络中，经常要用到信息流的合并与拆分。下述定理描述了自相似性的 高速网络信息流合并后的特点。 引理2 7 1 6 2 8 i ：若并( k ) 和x ，( k ) 是两个不相关的渐近二阶自相似随机过程，且分别具 有参数届，：，则x ( k ) = x ( ) + ：( 女) 是一个渐近二阶自相似随机过程，其参数 卢= m i n ( 属，及) 。 引理2 ，8 1 6 0 8 1 ：若x ( 女) 和x ，( k ) 是两个不相关的严格二阶自相似随机过程，且分别具 有参数崩，尻，则当届= 及时，爿( 女) = 【 ) + x ：( ) 是一个严格二阶自相似随机 过程且具有参数= 届= 反：否则_ ( ) 是一个渐近二阶自相似随机过程，其参数 硕士论文 网络控制系统信息流动态特性建模和分析 = m i n ( f 1 ，2 ) 。 从上述两个定理也可看出，渐近二阶i - 3 相似随机过程比严格= 阶自相似随机过 程具有更、。泛的应用领域。 2 3 长相关过程 二阶自相似过程是通过其阶丰t j - - 阶矩定义的，它具有双曲线型衰减速率的自 相关函数。这是自相似过程最重要的特征之一，或者说，自相似过程具有长相关特 性。 引理2 9 1 6 2 8 1 ：平稳随机过程称为是长相关( l r d ) 的，如果其自相关函数在时间轴上的 累计和是无穷大的，即 r ( k ) = o o ( 2 3 1 ) 或者，更特别地，满足 r ( 竞) j 政一p当t _ ，0 0 是一有限常数。 对于自相似随机过程，( ) 随着k 的增长按双曲线型衰减，即显然它满足式 ( 2 3 2 ) ，所以自相似随机过程是长相关过程。正因如此，在不引起混淆的情况下， 可以列等地使用这两个术语。在本书以后的叙述中这两个术语是通用的。 相比之下，短相关( s r d ) 随机过程( 如m a r k o v i a n 过程) 则要求自相关函数至少 要衰减的和指数一样快，即 r ( ) - - 9 , c a 当k _ o o ，0 a 1( 2 3 - 3 ) 所以短相关过程具有有限的自相关函数和。 长相关过程意味着一个过程的当前状态与前面无穷个状态都有关联。在工程研 究中通常考虑用谱密度代替自相关函数。谱密度是自协方差函数的f o u r i e r 变换，由 此可以得到式( 2 3 2 ) 在频域中的一个等效的定义，即 s ( w ) 斗c l i - , 当c o 寸0 , 0 s 0 ，随机变量x = 口( ，) 一口( ，) 具有咀下分布： ，( xc 习= 产( ( b p ) 一b 。) ) s 0 及s l 0 的情形，则f b m 的自协方差为 c ( b f ) = 三( ，2 ”+ s ”7 一i t j 1 2 ”)( 3 1 3 ) 山式3 i 2 ，可以得到 啦刎叫2 赤唧( 嘉弘z 2 击 。e x p 嘉j 咖c 令v = ( 1 - 1 t l i ， = j ) ( 口( ，) ， 3 卜1 9 其中，称为p a r e t o 分布的位置参数，a 称为形状参数l a 0 。进而可以得到p a r e l o 分布的均佰和方著： ( 口 1 1 ( 0 2 ) ( 口2 ) ( 3 1 2 0 ) ( 3 1 2 i ) p a r e t o 分布在网络信息流的建模中有着广泛的应用，它是一种简单的重尾分 靠。重尾分布是与长相关过程有着密切联系的一类分布，它的定义如下： 定义3 4 ：随机变量服从重尾分布，如果其满足 p ( x x ) 蹦1 x 斗 ( 3 1 2 2 ) 式中，0 口 0 为一常数。从式( 3 1 2 2 ) 可以看出，重尾分布的尾 部具有双曲线型的衰减速率。相比之下，轻尾分布则要求其尾部衰减的至少和指数 一样快。当0 盯 2 时，重尾分布具有无穷大的方差；0 口l 时则具有无穷大的 均值。考虑到网络信息流建模的实际情况，主要利用1 口 2 的情形，即分布具有 有限均值和无穷方差。 在m g m 模型中，若g 为p a r e t o 分布，根据式( 3 1 1 7 ) ，则此时 ( f ) ) 的自 协方差为( 。( “+ ) = 五f ( 譬 。出= 孚兰| i 。4 c 扩。显然， ( 恍为渐近自相似随 机过程，其参数h = 二二；。 3 1 2 物理模型 尽管目前对信息流的研究主要还是“黑箱”式的，但也有一些学者把研究重点 放在自相似信息流的形成原因上。 对于网络中单个用户发送数据的行为，可以用o n o f f 模型进行模拟，即出现 一个很长的“沉寂周期，在此期间，用户发送到其它地址的分组数为0 或者说可 以忽略不计，接着出现一个“活动”周期，在此期间，用户不断地向其它地址发送 生沁 铲熹。 q 卜 日 瞵 硕士论文网络控制系统信息流动态特性建模和分析 分组。其示意图如图3 1 1 所示。 + + + + + 业田q 旺团型卫 二玉i 剑上- 倒31 i o n o f f 模型示意图 ( 图中上方的箭头表示数据包的发送) 传统的o n o f f 源模型广泛应用于话音业务等的研究之中，它往往假设 o n o f f 的逗留时间( 即o n o f f 状态的持续时问) 呈有限方差分布，如指数分布 或几何分布，这样的假设其实大大限制了单个信息源的o n o f f 行为，许多这样的 信息源叠加后的汇聚信息流只在短期内有较强的相关性。所以用传统的o n o f f 模 型无法模拟产生具有自相似特征的信息流。因此，必须对传统的o n o f f 信息流模 型进行修正，以获取长相关信息流。一般，考虑在o n o f f 模型的o n 状态或( 和) o f f 状态逗留时间的分布上引入重尾特征。这样整个网络信息流的跃相关性则可以 通过叠加大量独立的o n o f f 信息源来物理地解释。在第四章中，将通过g p s s 语 言来模拟o n o f f 模型并对其排队性能进行分析。 3 2h u r s t 参数估值方法 网络信息流的建模不仅需要数学模型，还需要对信息流的各参数进行估值。信 息流建模的个根本原则是“吝啬建模”( p a r s i m o n i o u sm o d e l i n g ) ，即用尽可能少的 参数去描绘其统计特性。除了均值、方差等参数之外，在自相似过程中最重要的参 数当属h u r s t 参数。本节主要介绍几种常用的h u r s t 参数的估值方法1 3 4 1 i ，在3 4 2 节中将给出一种h u r s t 参数的快速估计方法。 3 2 1 方差一时间估计法 将原信息流数据序列x = ，i l 等分成大小为卅的块，考虑的卅阶聚合序 列： 1女 工( 七) = 二罗x ( f ) k = l 2 ( 3 2 1 ) _ f 1 一l m i 其中，女表示块号。而对于长相关过程来说，当m - o o 时，v a r ( x “”) f ”z 邓，可以 利用该关系式求出卢，进而根据与h 的关系式( 2 3 5 ) 求出。 具体步骤是：对于给定的数据序列 ，置，。) ，将其分成n m 个大小为m 的 数据块，根据式( 3 2 ，1 ) 汁算出x ( 女) ，k = 1 ，2 ，n m 。然后计算序列 x ”( 女) 的方 差。这样得到一个( 1 0 9 ( m ) ，l o g ( v a r ( x ) ) ) 对。选择不同的m 取值，一般地，根据 硕士论文网络控制系统信息流动态特性建模和分析 蚂+ ，= g i n , ( ( 1 为常数) 。因此，可以得到一个( 1 0 9 ( m ，) i 。g ( r ( ) ) ) 组，然后根据 最4 、二乘法来估计所得二元组的斜率一p ( 一1 兰p 0 ) 。最后得到i t = 1 一2 。 3 2 2r s 图 r s 图是一种较为常用的方法，它基丁二i l u r s t 效应。这罩对l t u r s t 效应做一个简 单的解释。 i u r s t 效应是h u r s t 对诸多自然现象作观察、记录而得出的经验型结果。 对于一给定的观测过程 x 。，k = l 2 ， ，其r s ( r e s c a l e da d j u s t e dr a n g e ) 方法统计量为： 器蕊1 叭 m a x ( 。y 一扣， 饿( m ，一i tm ， z 式中， x a 部分和y ( ) = x ，盯l ，其方差s 2 ( ) = ”。( x ，一h - i ，( h ) ) 2 ，竹1 。 h u r s t 效应即为，当观测到的样本源于长相关模型，则有以下关系式成立： e 【r ( ) s ( 疗) c 行“ 当 玎 ( 3 2 3 ) 而当观测到的样本源于短相关模型，则有 e i r ( n ) s ( n ) 卜c 2 o 5 当 o o d ( 3 2 4 ) 因此，将长度为n 的时间序列划分为k 个非重叠的等长块，在二维坐标系上描 绘出k 个l o g ( n ) , l o g ( 器) 点，称为r s 点图。利用最小二乘法计算其斜率，从而 便可以得到h u r s t 参数。 利用i v s 图可以直观地分析数据的自相似程度。它的优点在于它对自相似过程 而言是一个普遍适用的方法，并不特别局限于某种特殊分布，而且其计算步骤比 较简单。它的缺点在于其本身不能提供很精确的值。 3 2 3 周期图( p e r i o d o g r a m ) 法 对于给定信息流数据序列x = x k ，k = l 2 ，n ，其周期图定义为： f n 1 2 ，j ( 珊) = 而| ，i 。- s e t k o