北大版金融数学引论第二章答案.doc

版权所有，翻版必究第二章习题答案1某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。解：S = 1000s20p7%+Xs10p7%X =50000 1000s20p7%s10p7%= 651.722价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解： 设首次付款为X ，则有10000 = X + 250a48p1.5%解得X = 1489.363设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i =1。试计算该年金的现值。解：P V=nanpi1 vnn=n1n=(n + 1)nn2 nn+2(n + 1)n4已知：anp= X，a2np= Y 。试用X和Y 表示d 。解： a2np= anp+ anp(1 d)n则Y X1d = 1 (X) n5已知：a7p= 5.58238, a11p= 7.88687, a18p= 10.82760。计算i。解：a18p= a7p+ a11pv7解得6.证明：11v10=s10p +ap。s10pi = 6.0%北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页版权所有，翻版必究证明：s10p+ ap(1+i)101+11s10p=i(1+i)101ii=1 v107已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解：P V= 100a8p3%+ 100a20p3%= 2189.7168某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解： 设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日100025p8%=X15p7%解得9已知贴现率为10%，计算8p。X = 8101.65解： d = 10%，则i =110.求证：(1) np= anp+ 1 vn；1d 1 =198p= (1 + i)1 v8i= 5.6953(2) np= s np1 + (1 + i)n并给出两等式的实际解释。证明： (1)np=1dvn=1ivn=1vni+ 1 vn所以(2)np=(1+i)n11+inp= anp+ 1 vn(1+i)n1=(1+i)n1n 1d=i1+ii+ (1 + i)所以np= s np1 + (1 + i)n版权所有，翻版必究12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。解：P V= 100a49p1.5% 100a2p1.5%= 3256.88AV= 100s49p1.5% 100s2p1.5%= 6959.3713.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第110年和第2130年中每年1元，在第1120年中每年2元；年金B在第110年和第2130年中每年付款金额为Y ，在第1120年中没有。已知：v10=1，计算Y。解： 因两种年金价值相等，则有2a30pi+a10piv10=Y a30 piY a10piv10所以Y=3v102v301+v102v30= 1.814.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i。解： 由题意知，2a2npi+ 3anpi= 362anpivn= 6解得a7pa3p+ sXpi = 8.33%15.已知a11p=aYp+ sZp。求X，Y和Z。解： 由题意得解得1 v71 v11=(1 + i)X v3(1 + i)Z vY16.化简a15p(1 + v15+ v30)。解：X = 4, Y= 7, Z = 4a15p(1 + v15+ v30) = a45p北京大学数学科学学院金融数学系第 3 页版权所有，翻版必究17.计 算 下 面 年 金 在 年 初 的 现 值：首 次 在 下 一 年 的4月1日，然 后 每 半 年 一次2000元，半年结算名利率9%。解： 年金在4月1日的价值为P=1+4.5%4.5%2000 = 46444.44 ，则P V=P(1 + i)2+23= 41300.65718.某递延永久年金的买价为P ，实利率i，写出递延时间的表达式。解： 设递延时间为t，有1解得t = ln(1+lniPi)P=ivt19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额X，直至永远。计算X。解： 设年实利率为i，由两年金的现值相等，有X1000 20pi=iv29解得X = 1000(1 + i)30 (1 + i)10)20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算(1 + i)n。解： 设遗产为，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值为 i3anpi，而D得到遗产的现值为vn。由题意得所以1 vn3(1 + i)n= 4= vn21.永 久 期 末 年 金 有A、B、C、和D四 人 分 摊，A接 受 第 一 个n年，B接 受 第 二个n年，C接受第三个n 年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为0.49，求B与D的份额之比。版权所有，翻版必究解： 由题意知那么P VCP VAP VB=anpv2nanpanpvn13n= 0.49= 0.61P VDiv22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。100anp4.5%v41000解得n = 17列价值方程解得100a16p4.5%+Xv21 = 1000X = 146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。解： 两年金现值相等，则 4 a36pi= 5 18，可知 v18= 0.25由题意， (1 + i)n= 2解得 n = 924.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k。解： 由题意可得方程100a60p1%= 6000(1 + i)k解得25.已知a2pi= 1.75，求i。解： 由题意得解得k = 291 v2= 1.75ii = 9.38%26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。计算年利率。解：版权所有，翻版必究27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元，且第十年底的余额为一万元，计算K 。解： 由题意可得价值方程10000 = 105Ka2p4%v3+Ka2p4%+ 10000v10则K =1000010000v10105a2p4%v3+a2p4%v5= 979.9428.贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为i，后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。解： 选取第一次还款日为比较日，有价值方程1P (1 + i)2= X + 2Xa4pi+ 2Xa5pj(1 + i)4所以P (1 + i)12X =1 + 2a4pi+ 2a5pj(1 + i)429.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付款2000元，共计8次。解：30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知年利率为12%。（缺命令）解：P V= 4 400 + 4 600v5= 11466.1431.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表达式。解：32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。解：P V=1s4pia24piv3=(1 +i)24 1(1 + i)27(1 + i)4 1=a28 pa4ps3p+ s1p北京大学数学科学学院金融数学系第 6 页版权所有，翻版必究33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。解： 设年实利率为i，则 (1 + 2%)2= 1 + i。有题意得750i+750s20pii=Ra30pi解得R = 1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。解： 由题意知解得i = 20%1is3pi=1259135.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年金，计算R。解： 由题意得解得R = 1.9520 =1d=Ra2pii36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延时间。(2)解： 设贴现率为d，则1 +i2=1(1 d)12设递延时间为t，由题意得10000 = 2 500vt(2)p1解得t =ln 20 + ln(1 (1 d)2)ln(1 d)37.计算：3a(2)np= 2a(2)2np= 45s(2)1p，计算 i 。解：ii3 anpi= 2anpi= 45 is1pi解得：vn=1, i =1i(2)。i2i2230北京大学数学科学学院金融数学系第 7 页版权所有，翻版必究38.已 知i(4)= 16%。计 算 以 下 期 初 年 金 的 现 值：现 在 开 始 每4个 月 付 款1元，共12年。（问题）解：39.已知：t =1+1t。求np的表达式。解：np=n0e R0t sdsdt= ln(1 + n)40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。解： 第一种年金的现值为10vtdt =1 e第二种年金的现值为et，则所以t = 1 +1lni1 e= et41.已知： = 0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现值。（结果和李凌飞的不同）解： 设季度实利率为i。因 a(t) = et，则 e14 = (1 + i) 所以1 v80P V= 10080pi= 100(1 + i)i= 4030.5342.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？解： 设年实利率为i，则 i = e 1设基金可维持t年，由两现值相等得40000 = 2400atpi解得t = 28北京大学数学科学学院金融数学系第 8 页版权所有，翻版必究43.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，. . . 。另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。解： 由题意：1113(1+i)6=(1+i)7 i =112P V= v + 3v2+ + (2n 1)vn+ = v1 + P V+ 2(v + v2+ )= v(1 + P V+ 2v解得:P V= 661v)44.给出现值表达式Aanp+ B (Da)n|所代表的年金序列。用这种表达式给出如下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。解： 年金序列：A + nB, A + (n 1)B, . . . , A + 2B, A + B所求为25a25p+ 3(Da)25|45.某期末年金（半年一次）为：800, 750, 700, . . . , 350。已知半年结算名利率为16。若记：A = a10p8%，试用A表示这个年金的现值。解： 考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：2 (10 A)300a10p8%+ 500(Da)10|8% = 300A +i(2)= 6250 325A46.年利率8的十年储蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年递增5。计算第十年底的余额。解： 由题意：AV=1000s5p8%(1 + 8%)6+ (1000 1.05 1.085+1000 1.052 1.084+ + 1000 1.055 1.08)=1000(1 + 8%)5 18%1.086+ 1000 1.05 1.0851(1.051.08)511.051.08=16606.7247.已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类推。证明其现值为:v4100北京大学数学科学学院金融数学系i vd第 9 页版权所有，翻版必究解： 把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金. . .。从而P V=v410011= 100v411= 100v4ia2piii 1 v2i vd48. 十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。证明其现值为：160010p(I(4)(4)1|元证： 首先把一年四次的付款折到年初：m = 4, n = 1, R = 100m2= 1600从而每年初当年的年金现值：1600(I(4)(4)元再贴现到开始时：1|1600 10p(I(4)(4)1|元49.从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3，年利率8，计算现值。解： 半年的实利率：j = (1 + 8%)12 1 = 3.923%P V= 1 +1.031 + j1.03+1.032(1 + j)2+ = (1 1 + j)1= 112.5950.某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。证明当前的准备金为：60004p(12)9/12|证： 首先把9个月的支付贴现到年初：m = 12, n = 9/12, R = 500m = 6000 从而每年初当年的年金现值：6000(12)贴现到当前：北京大学数学科学学院金融数学系9/12|60004p(12)9/12|第 10 页版权所有，翻版必究51.现有如下的永久年金：第一个k 年每年底还；第二个k 年每年底还2R ；第三个k 年每年底还3R；依此类推。给出现值表达式。解： 把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金(n = 0, 1, 2, ):每个年金的值为Rap在分散在每个k年的区段里：Ra|ak|再按标准永久年金求现值：R(a|)2ak|52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款从第三年底开始的永久年金：1, 2, 3, 的现值。计算贴现率。解： 由题意：X=11i 1+i20X = (111解得：i = 0.05i+i2)(1+i)2即：d =i1+i= 0.0476253.四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v4= 0.75，计算现值。与原答案有出入解： (期初年金)P V= 1 + 6v4+ 11v9+ =(期末年金)(5n 4)v(4n4)=i=15(1 v4)241 v4= 64P V= v + 6v5+ 11v10 + = v P V= 59.558754.永久连续年金的年金函数为:(1 + k)t，年利率i，如果：0 k i ，计算该年金现值。与原答案有出入解： 由于0 k qi不存在,p q(2)令f(i) =piqiiq2f0(i) = pi2+qi2+ 2qi3= 0解得：i =2qpqp q58.某零件的使用寿命为9年，单位售价为2元；另一种产品，使用寿命15年，单价增加X。如果某人需要35年的使用期，假定在此期间两种产品的价格均以年增4%的幅度增加，要使两种产品无差异的X为多少？(缺少利率?下面的计算年利率i = 5%)(与原答案有出入)解： 用9年一周期的产品，则有支付的现值为：P V1= 2 1 + (1.041.05)9+ (1.041.05)18+ (1.041.05)27用15年一周期的产品，则有支付的现值为：1.041.04P V2= (2 + X) 1 + (由P V1= P V2有：X = 0.69921.05)15+ (1.05)3059.计算m + n年的标准期末年金的终值。已知：前m年年利率7%，后n年年利率11%，smp7%= 34, snp11%= 128。解： 由snp的表达式有：(1 + 0.11)n= 0.11snp11%+ 1AV=smp7%(1 + 0.11)n+ snp11%=smp7%(0.11snp11%+ 1) + snp11%= 640.72北京大学数学科学学院金融数学系第 13 页版权所有，翻版必究60.甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，两种股票都是每股10元。A股票每年底每股分得红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。B股票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利0.80元，如果乙也是以年利率6%进行投资，并且在n年后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售时刻的累积收入相同，分别对n = 15, 20两种情况计算乙的股票出售价格。解： 设X为买价，有价值方程：0.4s10p6%+ 2 = 0.8sn10|6%+X(1 + 0.06)(n10)从而有：X = (0.4s10p6%+ 2 0.8sn10|6%)(1 + 0.06)(n10)5.22n = 15解得：X =2.48n = 2061.某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半年结算名利率8%结算利息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐款5000元。(从1991年的7月开始？)每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。解： 由题意：AV= 100000(1 + 4%)20+ 5000s20p4%s2p4% 12000(1 + 4%)s20p4%s2p4%= 109926.02162.已知贷款L经过N（偶数）次、每次K 元还清，利率i 。如果将还贷款次数减少一半，记每次的还款为K1，试比较K1与2K 的大小。解： 由题意：1K1ampi= Ka2mpi K1= K 1 +(1 + i)m v 2即：M n，证明：L = anp在1 i 1上有唯一解。版权所有，翻版必究证： (斯图姆判别？) 考虑如下现金流：初始时刻投入L,而后的n年每年末得到回报1,从而此投资的内部收益率i满足L = anpi由于现金流只改变一次方向，从而由笛卡儿符号法则有，在1 i 0, n 0时，有：i+ (n + 1)(Ia)npi (n + 1)/2anpi (Da)npi证： 由69题有：(Ia)npi+ (Da)npi/2 = (n + 1)anpi/2从而，只要证：(Ia)npi(Da)npi()注意到：(Da)npi (Ia)npi (n 1), (n 3), , (n 3), (n 1) 这年金前后对称，而后面的贴现因子比较大，从而有()成立。71.某雇员在退休前的第37年参加企业养老金计划,当时年收入为18,000元，然后每年以4的速度增加(假定提薪恰好在每年的年中进行)。1)分别对以下两种退休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例：如果年退休金为工作期间年平均工资的70%；年退休金为年平均工资的2.5%再乘以工作年限。2如果企业和个人分别将年工资的3%存入年利率6%的养老基金，试对以上两种退休金方式计算退休金的领取年限。北京大学数学科学学院金融数学系第 16 页版权所有，翻版必究解： 1)平均工资：$ = 18000(1 + 1.04 + + 1.0436)/37 = 39747.04退休前一年的工资：18000 (1 + 0.04)36= 73870.79法一：年退休金：0.7$ = 27822.93,比例为：37.66%法二：年退休金：0.25$ 37 = 36766.01,比例为：49.77%2)企业和个人各存3%则一共存6%,从而这笔基金的终值为：36P= 18000 6% (1 + 4%)t(1 + 6%)36t= 235871.7t=0设年退休金为R,则有：Rnp6% P解得：n =12第一种方式8第二种方式72.已知永久期初年金为：首次1元；第二年初1 + 2元；第三年初1 + 2 + 3元；依此类推；第n年初1 + 2 + + n元。证明该年金的现值为:p(I)p。解： 进行现金流拆分：从第一年出发的一份标准永久年金，从第二年出发的两份标准永久年金， ,从第n年出发的n份标准永久年金 。分别求各个子现金流的现值得到如下的现金流：p, 2p, , np, 其现值即为原年金的现值：p(I)p。73.已知连续年金函数为f(t)，0时刻的年金为F0，利息力，如果用Ft表示时刻t的年金终值，证明:dFt= Ft+ f (t)dt证： 由定义Ft=dFtt0f (s)e(ts)ds= ettt0f (s)es)dsdt= et0f (s)esds+ f(t) = Ft+ f (t)74. A从B处借得10,000元，年利率4%，计划分40次按季度等额偿还。在第6年底，B希望立即收回所有借款，因此将今后接受还款的权利转卖给C，转卖价格使C今后几年的年收益率将达到6%，计算转卖价格。北京大学数学科学学院金融数学系第 17 页版权所有，翻版必究解： A从B借款：季度实利率为i = (1 + 0.04)1/4 110000 = Ra40piB把后16次的还款卖给C：季度实利率为：i0= (1 + 0.06)1/4 1a40|i0解得：P = 4303.1。P= Ra40|i0= 10000a40pi75.现有两种年收益率相同的投资选择：A第5年底收益800元，第10年底收益100元；B