（基础数学专业论文）推广的非方常数以及相关问题的研究.pdf

哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 推广的非方常数以及相关问题的研究 摘要 非方常数表示空间的非方状态，它们的取值与一致正规结构和空间的一些 其他几何性质密切相关。空间几何常数的表示与计算能够更精确的描述空问的 性质。本文主要研究了非方常数的一些性质，并且定义一个新的非方常数把它 叫做推广的非方常数。 首先，回顾了b a n a e h 空间几何理论的发展历程，介绍了前人关于非方常 数和点态非方常数的一些主要研究成果，并展示了本文所讨论的内容的背景和 意义。 其次，介绍了关于非方常数，等腰正交的基本定义和基本结论，并且构造 了一个具有只性质的b a n a e h 空间，计算出了该空间的非方常数，从而说明了 对于某特定的名，具有只性质的赋范空间其非方常数不一定为2 ，同时也说 明了具有只性质并不能保证赋范空间的严格凸性或者一致凸性。另一方面，给 出了具有p 性质的赋范线性空间的一致非方性，另外还研究了广义非方常数。 最后，证明了可细化的唯一确定性，由于空间几何常数是空间几何性质的 量化和深入，基于这一背景，引入一个新的几何常数把它定义为推广的非方常 数，证明了推广的非方常数是一个单调递增函数，实赋范线性空间是严格凸的充 分必要条件是对于任意的，属于2 到2 的闭区间，推广的非方常数等于2 是不 可达的。 关键词非方常数；可细化；p 性质；严格凸；一致凸 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 r e s e a r c ho np r o b l e m sr e l a t e dt o g e n e r a l i z e dn o n s q u a r ec o n s t a n t s a b s t r a c t n o n s q u a r ec o n s t a n t sr e p r e s e n tn o n s q u a r e n e s s t h e ya r en o to n l yr e l a t e dt o u n i f o r mf o r m a ls t r u c t u r e ，b u ta l s or e l a t e dt os o m eg e o m e t r i c a lp r o p e r t i e so ft h e u n d e r l y i n gs p a c e s t h eg e o m e t r yc a l c u l a t i o no fg e o m e t r yc o n s t a n t sc a ng i v ea m o r e p r e c i s ed e s c r i p t i o no ft h ep r o p e r t i e s i nt h es p a c e s t h et h e o r i e so fn o n s q u a r e c o n s t a n t sa r em a i n l ys t u d i e di nt h i sp a p e r , a n dan e wn o n s q u a r ec o n s t a n ti sd e f m e da s ag e n e r a l i z e dn o n s q u a r ec o n s t a n t f i r s to fa l l ，t h ed e v e l o p m e n to fg e o m e t r i ct h e o r yi nb a n a c hs p a c e sa n dt h em a i n r e s e a r c hr e s u l t so fn o n s q u a r ec o n s t a n t sa n dp o i n t w i s en o n s q u a r ec o n s t a n t sb yp r e d e - c e s s o r sa r ei n t r o d u c e d m o r e o v e r , t h eb a c k g r o u da n ds i g n i f i c a n c eo ft h i sp a p e ri sp r - e s e n t e d s e c o n d , s o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dt h e o r i e so fn o n s q u a r ec o n s t a n t sa n dt h e i s o s c e l e so r t h o g o r a l i t ya r ei n 仃o d u c e d b yc o n s t r u c t i n gab a n a c hs p a c ew i t h 只 p r o p e r t ya n dc a l c u l a t i n gt h ev a l u eo fn o n s q u a r ec o n s t a n t s t h i si n d i c a t e st h a tt h e n o n s q u a r ec o n s t a n ti sn o tn e c e s s a r yt ob e4 2 i ns o m es p a c e sw i t h 只p r o p e r t yf o r s o m e 五，a n dt h a t 只p r o p e r t yd o e sn o ti m p l ys t r i c tc o n v e x i t yo re v e nu n i f o r m c o n v e x i t y f u r t h e r m o r e ，u n i f o r mn o n s q u a r e n e s so fs p a c e sw i t hp - p r o p e r t yi ss h o w n t h el a s tp a r to f t h i sp a r td e v o t e st ot h eg e n e r a l i z e dn o n s q u a r ec o n s t a n ti n t r o d u c e d f i n a l l y , t h eu n i q u e n e s so ft h i n n a b i l i t yi ss t u d i e d an e wg e o m e t r i c a lc o n s t a n ta s s o m ek i n do fg e n e r a l i z e dn o n s q u a mc o n s t a n ta r ei n t r o d u c e d i ti ss h o w nt h a ts o m e k i n do fg e n e r a l i z e dn o n s q u a r ec o n s t a n ti sai n c r e a s i n gf u n c t i o nw i t hr e s p e c tt or ， a n dt h a tt h en o r m a ls p a c ei ss t r i c t l yc o n v e xi fa n do n l yi fs o m ek i n do fg e n e r a l i z e d n o n s q u a r ec o n s t a n ti s2 t h a ti sn o ta t t a i n a b l ef o re v e r yrf r o m - 2t o2 k e y w o r d sn o n s q u a mc o n s t a n t s ；t h i n n a b l e ；pp r o p e r t y ；s t r i c tc o n v e x i t y ；u n i f o r m c o n v e ) 【i t y i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文推广的非方常数以及相关问 题的研究，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进 行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已 发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：槭日期：为研年刁月) 1 日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 推广的非方常数以及相关问题的研究系本人在哈尔滨理工大学攻读硕 士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理 工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈 尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提 交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 。， 不保密目。 作者签名：j 氍槭 往礼1 醐。咔旁如f 日 日期：2 一q 1 年移月乡日 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1b a n a c h 空间几何结构理论与几何性质的建立与研究 六十年代以来，b a n a c h 空间的理论取得了迅速的发展。首先，许多著名的 古典问题得到了解决，其中最重要之一是1 9 7 3 年e n f l o 给出了例子表明可分的 b a n a c h 空间未必具有s c h a u d e r 基，从而对于b a n a c h 的古典问题予以否定的回 答。其次，许多数学工作者证明了有关b a n a e h 空间的重要定理，例如，a c j a m e s 花费了二十年时间，于1 9 7 2 年以较为简单的方法证明了自反的b a n a c h 空间的特征化定理，即b a n a c h 是自反的充要条件是每个连续线性泛函达到它 的范数，还有著名的可达范数泛函是稠密的b i s h o p p h e l p s 定理，端点表示的 c h o q u c t 定理等。 此外，人们根据其他数学学科的需要，从各个不同的角度出发对b a n a c h 空间进行深入的研究，促使b a n a c h 空间理论( 包括它的几何理论) 的面貌日 新月异的变化，各种凸性和光滑性的研究与最佳逼近密切联系在一起l l j 。1 9 6 7 年，s c h a f f e r 考虑b a n a c h 空间单位球的内度量性质，引入了单位球的g i r t h 曲 线的概念，研究了b a n a c h 空间之间的等距性质，并且讨论了平坦空间( f l a t 空 间) ，1 9 6 8 年，又讨论了a s p l u n d 空间和w - a s p l u n d 空间。 特别的，1 9 3 7 年m a r i e f f e l 将向量测度r a d o n - n i k o d y m 定理与b a n a c h 空间中的有界集的“可凹性”联系起来，使得人们进一步地研究了这种称之为 r n p 的空间，将b a n a c h 空间理论( 包括它的几何理论) 的研究推向了一个新 的高潮，j d i e s t e l 和u h l j r 等数学家进一步地用向量测度的方法证明了许多 b a n a c h 空间的定理。1 9 7 7 年，d i e s t e l 和u h l j r 总结了这方面的许多成就，其 中列举了若干悬而未决的问题，随后的年月里，许多问题相继得到解决【2 j 。 1 9 5 3 年，e m o u r i e r 发表了第一篇b a n a c h 空问的概率论的论文，他证明 了取值于b a n a c h 空间的随机变量的第一强大数定律仍然成立。从此人们开始 了b a n a c h 空间中概率的研究，人们发现随机过程可表示为某个函数空间上的 随机变量，并且许多基本概率定理在b a n a c h 空间中是否成立在很大程度上取 决于空间的几何结构。现在，取值于b a n a c h 空间中的鞅已经成为研究b a n a c h 空间的重要工具之一。 由于无限维规划的需要，人们经常使用的是h a h n b a n a c h 定理的几何形 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 式- 分离定理，现在已经得到许多与凸分析有关的h a h n b a n a c h 定理的等价 形式【3 1 。例如，k r c i n r u t u m a n 定理，h u r w i c z 鞍点定理，次微分定理等，这些 都在很大程度上推动了b a n a c h 空间理论，特别是它的几何理论的发展。在方 程理论中，人们不满足于应用b a n a c h 压缩映象定理，在实际问题中，出现了 一类更广泛的映象，例如，非扩张映象等。 1 9 6 5 年，w a k i r k 证明了非扩张映象的不动点存在与空间的一种叫做正 规结构的几何性质有关【4 】。随之，人们又进一步探讨使非扩张映象的不动点存 在的各种有关的空间几何性质，引入具有各种性质的b a n a c h 空间。同时，各 种具体的古典b a n a c h 空间，例如，l p ( 1 p o o ) ，c 0 ，l l ，三。0 p o o ) 的性质研 究，促使抽象b a n a c h 空间理论进一步发展。j l i n d e n s t r a u s s 和i s i n g e r 等对 b a n a c h 空间的基的理论进行了深入的探讨，取得了丰硕的成果。j l i n d e n s t r a u s s ，l t z a f r i r i 和i s i n g e r 分别写了这方面的著作( 前者涉及许多其 他方面的内容) 【”7 】。总之，由于与其他学科的联系，使b a n a c h 空间理论， 包括它的几何理论越来越丰富。正因为b a n a c h 空间理论在其他许多学科中得 到广泛应用，使它显示强大的生命力。 1 2 空间几何常数的研究 空间几何常数是空间几何性质的量化和深入。从几何性质的研究到几何常 数的计算是从定性到定量的推进。空间几何常数的取值范围直接决定了某些几 何性质的有无。到目前为止，我们已经获得了一些几何常数瞵j 。1 9 3 5 年，p j o n d a n 和j v o n n e u m a n n 定义j o n d a n v o n n e u m a n n 常数c m ，i x ) ，给出了空 间x 是h i l b e r t 空间的等价条件是c m ，( x ) = 1 ，开始了对几何性质量化的研究。 对于凸性模 ri i、 万g ) = i n f 1 0 半l l ：x ，) ，s ) 肛一圳占 l 二 j 其中x 是b a n a c h 空间，0 0 ( v s o ) 等价于 空间x 是一致凸的，而一致凸的b a n a c h 空间又具有一致正规结构l l 训。1 9 7 7 年，s u l l i v a n 在引入k 一致凸空间的同时引入k 凸性模。后来，人们在 h i l b e r t 空间与。空间证明了k 凸性模的不等式i l l , 1 2 。根据凸性模又引入凸系 数( 工) ，同时也得到了一些相应的结果，例如伍) = 0 等价于空间x 是致 凸，6 0 伍) 2 等价于空间x 是一致非方的，伍) l 蕴含着空间x 具有一致 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 正规结构【1 3 】。1 9 8 2 年，b a i l l o n ，t u r c t t 证明了 i i m 剑 一1 f2 蕴含着空间x 具有一致正规结构【1 4 1 。1 9 9 1 年，j g a o 和k s l a u 引进了 j a m e s 意义下和s c h a f f c r 意义下的非方常数，证明了c ，似) l 则 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 b a n a c h 空间x 是一致非方的，j g a o 和k s l a u 证明了如果，似) 2 则 b a n a c h 空间x 是一致非方的【2 4 1 。另一方面，g ( x ) g ，似) 取值的大小很大程 度上反映了空间x 非方的程度，亦即空间x 的二维子空间的单位球面与平行 四边形的接近程度，因此，通常将 c ( x ) = s u p m i n l l x + y l l ，i i x y 1 1 ) ：x ，y s ( x ) 和 g ( x ) = g ( x ) = i n f m a ) 【 i l x + y 0 ，i k - y 1 1 ) ：x , y s ( x ) 分别称为b a n a c h 空间x 的j a m e s 非方常数与s c h a f f e r 非方常数，它们在过去 的二十余年中得到了广泛的研究。 在此期间，非方常数的取值范围，对空间性质例如一致正规结构，不动点 性质等的影响，得到了广泛的研究。 e c a s i n i 等证明了 l c s 伍) 压q 伍) 2 c j ( x ) c s 伍) = 2 以及 c ，伍) p x ( t ) + l 其中以o ) 为空间x 的光滑模阱】1 3 。 j ig a o ，k s l a u 证明了若巳伍) 丢，则b a n a c h 空间x 具有一致正规结 构【2 5 1 。该结论被s d h o m p o n g s a 等人改进为，若q 伍) 旦竽则b a n a c h 空间 x 具有一致正规结构口6 】。 同时，j ig a o ，k s l a u 也证明了，若丁是b a n a c h 空间x 到b a n a c h 空间 】，上的一个同构，则 丽南百c s 耳( y ) 瓜+ 2 i i t i il l r - i i i t i i i r i 。1 c s 伍) + 2 一 并且 南揣i l r l l t - 1 1 1 7 l i t i t i ii i r ：二二：一 i。1 0 一。伍) + 2 一 他们还讨论了b a n a c h 空间x 的非方常数与空间凸性模的关系，得到了一系列 有意义的结果 2 3 1 1 1 0 。 利用b a n a c h m a z u r 距离的相关结果，k a t o 较完整地给出了j o r d a n v o n 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 n e u m a n n 常数与非方常数的关系【2 7 】。此外，s p r u s 给出了空间非方常数与正 规结构系数之间的关系【2 引。 1 9 9 4 年，计东海，王廷辅给出了两种意义下的非方常数g 伍p s ) = 2 的 简单证明【2 9 1 。1 9 9 9 年，计东海，詹大鹏给出了非方常数的如下等价表示： c ，伍) = s u p q i x + y l il l x + l = l i x - y l l ，x ，y s 伍) c s 伍) = i n f l x + y 1 ：忙+ 叫i = i i x - y l l ，x ，y s ( ) ) 上述等价表示将非方常数的研究与等腰正交及s i n g e r 正交有机的联系在一起。 设x 是赋范空间，毛y x ，如果它们满足忙+ y 0 = 肛一y 4 则称石等腰正交 于y ，记为x 上，y 。 设x 是赋范空间，x , y x ，称x s i n g e r i e 交于y ，当且仅当x ，y 中至少有 一个为0 ，或者它们满足 睁制赢一刹 记作x 上，y 于是 c j c y ) = 鲫p i x + 卅f ：x 上，y ，x ，y s c r ) ) c o c y ) = i n f x + y 1 ：x 上，y ，x ，y s f x ) q 陆s u 犏+ 制：“y 删0 ) g 陆耐情+ 刮：扎y 剐。 另一方面，非方常数在各种空间中的计算与估值也得到了广泛的重视。例 如j g a o ，k s l a u 在1 9 9 0 年得到了如下结论： g 纯) = g 乜。) = g ( 。) = 1 c ，( 。) = o 乜。) = c j ( ，。) = 2 c s 皓m ；n 忙2 1 ， 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 c ，o ，) = m a x 2 刍，2 1 弓) ，v p ( 1 ，+ ) k a t o 与s d h o m p o n s a 得到了，p l ，乙一等空间的一些相关结果。 关于o r l i c z 空间非方常数问题的讨论，王廷辅，任重道，计东海和严亚 强等人先后作了大量工作取得了一系列重要成果，非方常数的概念也得到了拓 展和推广【3 0 】。 2 0 0 3 年，s d h o m p o n g s a 等人引入了一种推广的非方常数：对于任意的a 0 ，广义非方常数c ，( 口，x ) 定义为： c ，g ，x ) = s u p k + j ，0 忙一z 0 ：x ，乃z b ( x ) , i i y 一4 - 4 4 ) 它具有如下性质瞄嬲： 1 c ( o ，x ) - c j ) ； 2 q ( ，习是一个增函数； 3 若存在某个口o 使得c q ，x ) 2 ，则q 伍) 2 ； 4 若x 是h i l b e r t 空间，则q ( 口，日) = 止再i ； 5 c , o ，x ) + 兰c , o ，x ) + 兰，o 口 6 ； 6 c ，( 2 - a ，x ) q 伍) 。 2 0 0 4 年，唐晓文，计东海，王淑欣引入了点态非方常数的定义：设伍，| j j i ) 是一个赋范线性空间，x o s ( x ) ，则 c ，x o ) = s u p m i n l x o + y l l ，i 防。一y l l , y s ( x ) ) c s 似，x o ) = i n f m a x x o + y l l ，i l x o y l i ) ，yes t x ) 1 分别称为x o 点处的j 锄e s 非方常数与x o 点处的s c h 萏肫r 非方常数【3 1 1 。进一步， 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 他们得到了上述两种点态非方常数的等价表示：对于任意的赋范空间x ， d i m ( x ) 2 ，及x o s ( 柳， q 伍 ) = s u p i x 。+ y l l ：l l x 。+ y l l = i l x o - y l l ，y es 伍) ) g 似，x o ) = i n f + y u ：l x 。+ y l l = i i x 。一y i i ，y e s ( x ) 并指出 l c s 伍，x o ) 名 或 忙一州 名 成立，则称b a n a c h 空间x 在s c h i i f f e r 意义下是一致非方的。 定义2 3 1 3 4 r 1 设x 是一个赋范线性空间，称常数 c ，( x ) - - s u p m i n l l x + y l l ，i i x - y 1 1 ) ：x ，y e s ( x ) ) 和 c s ( x ) = i n f m a x l l x + y l l ，i i x - y l l ：x ，y e s ( x ) ) 分别为空间工的j a m e s 非方常数和s c h l t f f e r 非方常数。 定义2 4 1 3 3 t m 设x 是一个赋范线性空间，x s ( x ) ，如果存在瓯 o ，使 得 m i n l x + y i ，忙一y l l - l + 瓯 对于任意的) ，es 似) 成立，则称x 为s c h l f f e r 意义下的一致非方点。 定义2 t r o t z 2 设x 是一个赋范线性空间，x s ( x ) ，如果 m a ) 【舡+ y l l ，i i x - 州l - 1 对于任意的y s ( x ) 成立，则称x 为s c h t t f f e r 意义下的非方点。 定义2 8 t 3 1 】9 设x 是一个赋范线性空间，x o s ( x ) ，则 g 似，x o ) - - s u p m i n x c ，+ y - y l l ：y s 伍) ) g ( x ，而) = i n f m 觚 i i 而+ y 而一y i i ) ：y s ( x ) 分别称为点处的j a m e s 非方常数与点处的s c h i i f f e r 非方常数。 定义2 9 【2 6 1 4 2 5 设x 是一个赋范线性空间，口0 ，称函数 q ( 口，x ) - - s u p l x + y h l l x - z l l | ：x ，y , zeb 伍) ，i i j ，一z i | 口删) 为空间x 的广义非方常数，其中怙+ y 1 1 人忙一z 0 表示睁+ y 8 与睁一z 0 的最小值。 2 3 基本性质和基本结论 定理2 1 【2 9 1 4 2 5 对于任意的赋范线性空间x ，都有 1 g 伍) 压o 伍) 2 ，q 伍) c s ( x ) - - 2 成立。 定理2 2 【2 4 】1 5 对于任意的赋范线性空间x ，都有 q 伍) p x ( 1 ) + l 成立，其中 p xt ) = s u p 伽h 纱l i + l i x 一纱i ) - l ：x , ye s 伍) 为空间x 的光滑模。 定理2 1 6 1 2 4 2 设x 是一个b a n a c h 空间，若 q 伍) 半 则x 具有一致正规结构。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 则 并且 定理2 4 2 3 】1 1 0 设x ，】，是两个b a n a c h 空间，丁是从x 到】，上的一个同构， 南揣测iiit i i i h i 1 i 例i 一0 一e 伍) + 2 “ 南i t 业c 丝喇f 1 1 个一1 0 j ( x ) + 2 u i i l 。1 0 。 叫r ” 定理2 5 1 2 4 j 1 2 设x 是一个b a n a c h 空间，则 c 伍) = s u p s 0 2 ) ：以 。) 定理2 1 0 1 2 9 4 2 2 设x 是一个赋范线性空间，则 q 伍) = s u p k + 少i i ：i 防+ j 4 l = i k 一川i ，x ，y s ( ) ) 还可以表示为： c s ( x ) = i n f 卜+ 叫i ：i k + y 0 = i b y 8 ，x ，y s ( x ) ) c , ( x ) = s u p l x + y l l ：x - i - ，y ，x ，y s 伍) ) c s ( x ) = i n f l l x + y l ：x 上，y ，x ，y s 伍) ) 定理2 1 1 【2 9 胭设x 是一个赋范线性空间，则 q + = s u p u + 哥“o ) g 陆m 腩+ 小切剐。) 定理2 1 2 2 3 】1 0 6c 。( 。) = l ，c o 。) = 2 。 定理2 1 3 2 3 1 1 0 6g “) = l ，c ( f 。) = 2 。 定理2 1 4 2 3 】1 0 7c s 乜1 ) = i , c j ( l 1 ) = 2 。 定理2 1 5 团邶，g ( p ) ：m i n 2 刍，2 1 吉 a o p ) ：m 觚e 2 1 。斗，跏( 1 ，佃) 。 定理2 1 6 【2 6 】4 3 3 g ( 。一，) = l + ( 习i ，其中 1 2 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 定理2 1 7 【2 删c + ( 1 p 一，g ) 2 9 p 2 + 2 9 定理2 1 8 【3 刖。c j ( i 训= 唇其中 i i，t s g p - 0 0 趣2 1 9 3 2 1 1 2 。( 2 。- - l p ) 叫2 m 卜吉) 其中 m a x ，兄j 趣2 2 0 3 2 1 1 3 g 训刊n 卜古) ，其中 定理2 2 1 2 6 4 2 2 设x i i 】i = m a x l i 爿i ，五0 卅l 。j 是一个赋范线性空间，则 1 c j ( o ，x ) = q 伍) ； 2 c j ( ，x ) 是一个增函数； 3 若存在某个口o 使得c ( 口，x ) 2 ，则q 伍) 一 屯 屯 ， ， p 月v 2 2 x x g g ，(【 = v 2 x g o o 人i 屹 吃 黾 ， ， ， y月月 2 2 x x g g rl【 = v 2 x g 讹 ， ， 2 l j 1 j 1 ，j = 朋 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 5 q ( 6 ，x ) + 兰q g ，x ) + 兰，0 口 ，1 1 , 2 + l l x 一圯= 2 2 + ( 4 2 历尸= 3 2 1 6 f 3 所以 l i x + y l l , 2 + i i x y l l , 2 * 2 1 1 4 2 + 2 i l y l l 2 空间x = ( r 2 i i ：) 的单位球面旋转詈不变，记三6 = 三2 x 3 。令名= 伽( ) i 玟k = 2 ，则旯= ；。根据引理2 1 易知，x = ( r 2 ，i i i i 。：) 具有如性质。 下面来考虑赋范空间x = ( r 2 ，l i 1 l 。：) 的非方常数。 引理2 2 瞰m 在赋范空间x = ( r 2 ，1 1 | f ：) 中，i ix + y l l ，：= t lx y l l ，：，则 嬲i + t i f fl = 0 v x = q ，力，y = 如。，届) s 伍) 都成立。 证明由于x = ( r 2 ，i i i | 。：) 的单位球面s 似) 关于x 轴，y 轴及y = x ，y = q 分别对称，所以只需考虑s ( 夕) 的吉部分。另外，规定逆时针方向为正方向。 不妨设：0 ，0 ) 一：0 ，2 - 历) 一：悔舟屯：_ l 压一1 ) 为 s ( ) 的i l 部分的端点，其中：( 1 ，o ) 为起始端点，屯= 一l ，；一1 ) 为末端 点。记r ，】表示从毛至j j x s 的闭线段。 ( 1 ) = 0 , o ) ，取蜘= ( o ，1 ) ，x o + y 。= ( 1 ，1 ) 在第1 象限，应取i 或i ：均 可，则有 i i 而+ 甄 1 2 - - - - 半 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 - y 。= ( 1 ，一1 ) 在第象限，取i ，或i j | l ：均可，则有 i l x o - y o | 1 1 2 = 半 于是有 i l x o + y oi f l 2 = 一| 1 1 2 = 半 且满足 l x 0 + o x l = 0 ( 2 ) 墨= ( 1 ，2 一压) ，取j ，= 一2 ，1 ) ，x 。+ y 。：一1 ，3 一压) 在第1 象 限，应取l i i i 。，则有 五+ y if | 1 2 = 2 4 3 - 2 而一y l = 3 u 王1 一压) 在第象限，应取i i i i ：，则有 慨一只1 1 , 2 = 2 压一2 于是有 慨+ mi h 2 = l lx , 一咒1 1 , 2 = 2 压一2 且满足 i x 一2 ) + ( 2 一压) 1 = 0 ( 3 ) 任取x ，x 1 ，设x = ( 1 ，力，o p 2 一；，取少= 仁，1 ) ， 5 2 口0 x + y = + l ，+ 1 ) 在第1 象限，应取i j - i i ，则有 肛+ y 8 ：= 吾( 1 + 口) + 粤( + 1 ) x - - y = ( 1 一口，一1 ) 在第象限，应取l i i i ：，则有 肛一y | 1 1 2 = 半( 1 一口) + 吾( 1 一力 令 i i x + y | | 1 2 = l l 工一y | | 1 2 解得 仅= 一p 则有 x = ( 1 ，力，y = ( _ 屈1 ) 满足 ix ( - ) + 1 = 0 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 忙刊| 1 2 小刊1 1 2 ：学+ 学口 则 半q i x + y 峪2 x 3 一2 叭= 陧) ，”b 1 爿”胪降，学 在第一象 限，取i 。或i i 1 i 。均可，则 l i 恐+ 兄i i l 2 = 掣 矿胪降，爿在第飘驯i i 闸硎 i i 屯一咒i i l 2 ：4 3 i + 一1 于是有 一 。恐+ 儿i i l ：= i i 恐一款i i l ：妥旦 且满足 孚( 一匀+ 1 2 鱼2 = 。 ( 5 ) 任取x 【毛，而】，设x = q ，力，譬口+ 丢= l ，且有 鱼口外 2 2 一石i 1 则 一f l = 2 一也 取y = q ，屈) ，一圭q + 譬届= l ，且有 一吾q 压一2 1 7 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 则 解得 则有 满足 且有 x + y = 仁+ 口，+ 届) 在第1 象限，应取i ，则 卜巩：丢仁。+ 口) + 粤饵+ 力 x - y = 仁- - o r 。，一层) 在第象限，应取i ：，则 i i x - y l l 。：粤o q ) + 导慨一力 令 0 x + y | 1 1 2 爿ix - - y i i l 2 口临一2 ) + ( 2 一弘) 口= 0 1 1 x + y 1 1 ：= i l x - y t l 。：= 陋一l b + 压一1 则 半闼i x + y 1 2 2 x 3 2 ( 6 ) 而：一1 ，；一1 ) ，取儿= ( 1 一互；一1 ) ，x 3 + y ，= ( 0 9 2 ；一2 ) 在少轴 的正半轴上，应取乙，则 0 毛+ 乃m 2 = 2 4 3 2 黾一y ，= ( 2 ；一2 ，o ) 在x 轴的正半轴上，应取i i 1 l o ，则 l i 玛一乃忆= 2 3 2 于是有 0 而+ 弘忆刊i x 3 一乃l i 。2 = 2 4 3 2 且满足 1 8 0 0 x + y i l l 2 = + 层 x y = 仁一口。，p 一届) 在第象限，应取i i | i 。，且满足 口一q i p - p , i o 令 i ix y1 1 1 2 - - - - 口一 x + y i i l 2 = | ix - - y l | 1 2 2 一汜 “ 一 以2肌荔 = 慨 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 口临一2 ) + ( 2 一弘) 口= 0 且有 i + y l l 。：= l l x - y l l ，：= - 1 b + 2 则 半 0 ，存在毛y s ( x ) ，使x 上，y ，且 故 于是 i k c + y l l o 伍) 一占 令甜2 网x + y 胪网x - y ，舭1 ，s 伍) 且 i 缸+ 叫i = 陋- v l i = 2 l i x + v l l 2 i x - - y i 由于x 具有p 性质，且肛+ = i u - v i ，则 肛+ 4 1 = i i 甜一圳= 再= 压 圳1 2 南2 压 根据非方常数巳伍) 的定义，有 q 伍) = s u p m i n l “+ v i i ，i k v j l ) ：“，v e s 似) ) 巳c y ) i i x - - y i 对任意的c 0i i x + y l l 一忙一y 1 1 ，都存在粕，y oes ( x ) ，使得 i i 工+ y l | i x o + h x o - y 。h k 一川 并且 陋。+ j ，。i i - i i x 。一0 = c 定理3 1 3 7 1 4 4 1 伍，l l l l ) 是一个实赋范线性空间，d i m x 2 ，则伍，i l l l ) 是可 细化的。 定理3 2 似，| i l i ) 是一个实赋范线性空间，d i m x 2 ，对v r 【o ，2 】， v x 。s ( x ) ，都存在唯一确定的儿s 伍) ，使得0 + y o l l l k 一0 = ，。 证明( 1 ) 当r = 2 时，此时y o = x o 。 一 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 ( 2 ) 当，= 0 时，此时y o = - - x 0 在n ( 2 ) 两种情况，显然都是唯一确定的。 ( 3 ) 当厂( o ，2 ) 时，对v x , y s ( x ) ，不妨设而= x ，构造函数y ( f ) ： 网y + t x s ( x ) ( f r ) 。因为忙+ 夕( f 翊是单调增函数，而忙一少o 瑚是单调减 函数，所以 舰卜y 删一卜y ( t l = 2 ，l ，i m i l x + y ( t 】j _ i 卜少( f