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定量预测方法定量预测方法是运用统计方法和数学模型进行预测的方法体系，其时间序列法、因果分析法和随机预测法中均有适合饭店经营预测的方法，我们摘取其中一些常用预测方法介绍如下。 一、时间序列预测法时间序列就是把各种经济变量的历史数据按时间先后顺序排列起来的数列。时间序列预测法就是通过对时间序列及其影响因素的分析，找出其变化的规律，并运用数学模型进行预测。使用时间序列法时，预测人员应当记住，将来的情况和过去的情况相比会有变化，因此，预测的结果不可能绝对准确，但是通过研究历史上的销售规律性，我们可在一定程度上预见今后销售的发展趋势为预测提供有用的信息。时间序列法的主要优点是客观，因为我们是根据历史数据来进行预测的。 时间序列分析通常包括对以下四个成分的分析： 趋势分析：指长期的发展或下降趋势。 季节性分析：指一年内的季节性变化，这种变化有一定程度的规律性。周期性分析：指在几个阶段内在发展趋势中所表现出来的周期性波动，周期的长度和幅度是不规则的。不确定因素分析：指无法预见的随机因素的干扰，如天气突变、自然灾害或突发事故的发生等影响销售的因素。这个成分最难预测。时间序列预测方法很多，下面仅介绍最为常用的比率法、移动平均法、加权平均法、指数平滑法、季节指数法在饭店预测中的应用。1比率法这种预测方法假定在前个时期发生的情况在不久的将来仍然会发生。这一预测方法的公今年的营业收入式是：明年的营业收入今年的营业收入 去年的营业收入假定今年某饭店的营业收入为5300万元，去年的营业收入为4600万元，那么，使用比率法，明年的营业收入则可预测为：明年的营业收入5300万元（5300万元/4600万元）6106.5217（万元）这是一种简单的预测方法，不需要很多数据资料和统计方法，如果发展趋势稳定，或者各个时期的变化比较一致，这种方法在短期预测中可获得相当准确的结果。2移动平均法此法假设较近的未来和较近过去与现在的关系密切，而与较远的过去关系不大。因此，移动平均法就用最近几期的实际值的平均数作为下一期的预测值，逐期移动，进行预测。此法适用于稳定型市场和年度预测。移动平均法的公式为： (41)其中xt一一第t个时间序列数的实际值； 第t+1个时间序数的数值，即预测值。期数，即移动平均法的取实际值的个数。 例1：某饭店2004年1至9月份的客房出租率如表41，试用四期移动平均法预测10月份的客房出租率。 表41 单位：百分比时间（月）123456789客房出租率485162656878858087解： 四期是指n4，即取紧靠10月份的9月、8月、7月和6月的实际出租率来进行预测。 82.5若要预测11月份的出租率，只需将预测所使用的数据向前移动一期：移动平均法的预测期其波动幅度要比实际值的波动幅度小，其原因是通过平均减弱了偶然因素的影响。因此，当时间序列出现某种上升、下降或周期性变化、甚或突变时，预测结果则不太可靠。 3加权平均数法 移动平均法中将前几期数值对预测值的作用平均看待，不太合理，因为离预测值近的数据对预测值的影响较大，而离得远的(时间间隔较长的)数据影响也就较小。在预测中，我们可以采用“重近轻远”的方法来解决，给不同时间间隔的数值分别乘上不同的“权数”(比例数)，然后以加权平均数作为下期预测值。此法适用于稳定而略有变化的市场类型。其计算公式为： （42）其中： Xi为i期实际值，Di为赋予i期的权数值。如例l，将9月、8月、7月、6月的出租率分别乘上1.3、1.2、1.1、l的权数，再除以权数之和。利用不同的权数强调“重近轻远”。权数必须为等差数列(即前后两数之差是相等的)。于是。要预测10月份的出租率，为8273913权数的选择可根据预测者的需要自行任意选定，只要体现“重近轻远”即可。4指数平滑法指数平滑法即指数滑动平均法，也是一种加权预测方法，它是移动平均数法的改进和发展，要求按等比级数加权。这种预测方法最大特点是可以通过人为的调节来获得不同的预测值。其公式如下(一次指数平滑法)： （43）上式中，为一次平滑预测值； 为加权系数(平滑系数)，取0一1之间，的大小体现不同时期的观测值(即实际值)在预测中所起的不同作用，若希望指数平滑后所得序列能敏感地反映最新的一些观测值的变动，应取较大的,若希望消除其周期变动，以反映长期趋势，则应取较小。通常值可在0.30.7之间选取，若预测者希望有比较稳健平衡发展，则可选取0.30.5。反之，预测者希望能比较敏感地反映上月的实际销售额，则可选取0.50.7。 如例1，运用指数滑动平均法进行预测。我们希望预测期能比较敏感地反映上月的实际销售额，设=0.6则可用(43)式进行预测。指数平滑法的预测必须从数列的第一个数开始进行，例1中没有上一年份的预测数，可用实际出租率代替。 当0.6时，0.6xl(1一0.6)0.6480.44848 0.6x2(1一0.6)0.6510.44849.8 0.6x3(1一0.6)0.6620.449.857.120.6650.457.1261.8480.6680.461.84865.53920.6780.465.539273.015680.6850.473.0156880.210.6800.480.2180.10.6870.480.184.24。5季节指数法季节指数法要求先建立描述整个时间系列发展趋势的数学方程，再考虑季节变化时预测对象的影响，算出季节指数，最后将两者结合起来，得到描述总体发展趋势季节性变化的预测模型。此法适用于季节性市场，旅游业季节性变化大，饭店客房出租率的季节变化很大，采用此法预测的准确性高。 饭店产品销售受季节因素影响较大，尤其是客房，旅游旺季和淡季，销售额波动很大。运用季节指数法可以预测一年中各月、各季预测对象的波动程度，如接待人次、出租率、营业收入等。季节指数法又有不同的计算公式，下面介绍平均季节指数及其在预测中的应用。 季节指数是显示一年中不同的时间阶段在全年预测值中所占的比例系数。我们通过个实例来说明季节指数的计算方法。例2：某饭店 1999年至2003年每年四个季度的客房出租率如表42(1)、(2)、(3)列所示。表4（1）（2）（3）（4）（5）（3）/（4）100%年季出租率四期移动平均数出租率与移动平均数之比199914627838566.5127.824576883.82200015268.7575.5628169.75116.1338970.5126.244607085.71200115070.2571.1728270117.1438870.5124.8246271.7586.41200215571.2577.1928071112.6838771.75121.2546571.590.91200315472.7574.2328573.25116.0438974.5119.46470 图42根据表中数据作图如图42所示。可以看出图中折线起伏的波动相当大，很难看出发展趋势。通过计算（4）列的四期移动平均数，即用表42中（3）列的1、2、3、4季度的客房出租率之和除以4。如（4）列中第一行：46788557 665 4第二行则将（）列中出租率向下移动一行：7885575268 4依次类推。需要注意的是，移动平均法的期数是由季节时间分段得出的，在此例中以季节分段，以年四季作四期滑动平均。若以两个月为季节时间，则一年分为六个时间段，移动平均为六期移动平均。时间分段也可按预测要求决定。由图42可见，通过取移动平均数，使原波动幅度较大的折线转化为比较平滑的曲线。 表42中(5)列为一年中各季度的季节指数其公式可表示为： 实际出租率 季节指数 100% 移动平均数如2000年第3季度：87 100%12125% 7175 如此计算，依次得出(5)列的数值。 将各年中同季度的季节指数进行排列，如表43。取平均季节指数： 75567117771974231季度： 7454 4 116131171411268116042季度： 1155 4 表43年12341999127828382200075561161312624857120017117117141248286412002771911268121259091200374231160411946 12782126241248212125119463季度： 12392 5 83828571864190914季度： 8671 4在求得平均季节指数后，即四个平均季节指数相加：7454115512392867140067 超过了总和值400，这是由于在一系列运算中，四舍五入的原因引起的(也可能小于400)，要消除这一误差，只需将每个平均季节指数按比例缩小(或扩大)即可，将每个平均季节指数分别乘以400/（40067）09983278，求得平均季节指数如下： 1季度：74540998327874415354 2季度：115 0998327811530686 3季度：123920998327812371278 4季度：86710998327886565004其四季的季节指数扪加之和等于400。 平均季节指数求取后，即可利用平均季节指数得出每季度的预测值。 假设经过预测已知2004年全年的客房出租率为75%，则四个季度出租率的预测值为： 1季度：7574415354558% 2季度：7511530686=8648 3季度：75123712789279 4季度：75865650046492四个季度的客房出租率之和除以四季度的千均数恰好为75。 如果原始统计数据中包含了季节因素，如表4一2中的(3)列。由图42中折线可见其波动幅度很大，无法直接用于预测。对于这种问题，必须首先排除季节因素的影响。只需将每季度的实际出租率除以该季度的平均季节指数即可消除季节因素，如2003年四个季度值为： 1季度：5474415354=7256567 2季度：85115306867371634 3季度：89123712787194083 4季度：70865650048086409 这些数据波动较小，即可用这些数据求取回归方程，用回归方程预测以后的预测值。但用这些数据预测所获得的预测值是不含有季节因素的。因此，在获得预测值后仍需分类乘以该季度的平均季节指数。 平均季节指数还可用于计划值的划分，利润的分配等，只要已知全年的销售额或全年的计划，即可乘以季节指数予以分摊。 二、因果分析预测法 因果预测就是根据引起预测对象变化的原因，预测它的变化结果。因果分析法预测的基本过程一般都是先根据样本数据分析预测对象经济变量(因变量)与影响因素(自变量)之间的逻辑，据此选择合适的数学模型，再用样本数据确定模型中的参数，从而建立可用数学模型，模型经过检验便可用来进行实际预测。因果分析预测方法很多，我们着重介绍回归分析预测法和曲线预测法。 (一)回归分析预测法 在现实经济生活中，经济现象之间客观地存在着各种各样的有机联系，一种经济现象的存在和发展变化必然受到与之相联系的其他现象存在和发展变化的制约与影响。回归分析预测法就是从各种经济现象之间的相互关系出发，通过对与预测对象有联系的现象变动趋势的分析，推算预测对象未来状态数量表现的一种预测方法。它是在收集预测对象和各种影响因素的大量统计资料的基础上，用回归分析来区别变量之间的相关关系和相关密切程度，从而近似地确定出它们之间的数量关系，然后对关系中的参数进行估计和统计检验，最后根据求得的回归方程进行预测，并分析预测误差范围和精确度。 回归分析为线性回归和非线性回归，非线性回归可通过变量变换转化成线性回归来处理，因为线性回归数学形式简单，便于处理。线性回归又可分为一元线性回归和多元线性回归。 在运用因果法进行预测时，首先要确定变量之间的相关关系。变量之间的关系一般有两种： 确定性关系。如果变量之间的关系明确而且这种关系可以用一个数学公式来表示，则称为确定性关系：例如：某饭店客房标准间房价为P(市价)，销售量为R间，房间的总销售额为V，那么，其关系式为：VPR。显然，R是自变量，V是应变量。这两个变量的关系为V是R的P倍。这个关系就是我们熟悉的函数关系。 相关关系。在很多情况下，两个变量之间有关系可是这种关系并不确定。例如：房价与客房出租率之间的关系。一般来说，房价提高，出租率就会降低，房价降低，出租率就会上升。但是，我们无法确切地断定，房价提高多少，出租率会降低多少。也不一定房价提高出租率就下降，也可能房价提高出租率也会短期上升。这是因为，影响出租率高低的不仅仅是房价。如果两个变量之间存在着某种关系，但这种关系又不是确切的，并且无法通过一个已知变量的值准确地求出另一个变量的值，我们称这两个变量之间的关系为相关关系。称这两个变量为相关因素。 回归分析预测法就是分析和处理变量之间相关关系的一种方法。它要求：首先确定变量之间是否存在相关关系，其次求出相关因素之间的相关公式(或称经验公式)，然后用所得经验公式进行1单因素预测1.1一元线性回归模型的数学形式和参数估计在回归分析预测方法中最简单和最基本的是线性回归。如果在预测中只考虑两个变量之间的关系，我们称之为一元线性回归。一元线性理论回归模型为：y01x (44)式中0和1是未知参数，称0为回归常数，1为回归系数。表示其他随机因素的影响，它是一个随机变量。回归分析的主要任务就是通过n组样本观测值（xi，yi），1，2，对0，1进行估计。一般用，分别表示0，1的估计值，则称 （45）为关于的一元线性经验回归方程。利用一组相关数据，根据最小二乘法可以算出常数、,使回归直线到各数据点的误差平方和最小，即:要求函数的最小值，可求偏导得整理得正规方程解正规方程得参数的最小二乘估计（LSE）为 （46）其中， ，记：则公式（46）可简记为它与公式（46）一起便于记忆与计算。 1.2误差正态假设与误差方差估计 为了对回归方程作出各种检验，需要先作出一定假设。主要是要假定随机扰动项服从正态分布N（0，2），这里自然有E（）0，Var（）2。同时假定随机变量Y的各观测值是彼此独立的，即当ij时，与独立。由于 N（0，2），i=1，n (47)故有 YiN（01Xi，2），i=1，n (48)由于 故知是独立正态变量的线性组合，也服从正态分布。于是有并且知道是参数1真值的无偏估计。 在N（0，2）的假定下，我们还要利用样本数据作出误差方差2的估计。记对应于Xi的回归值为，即 （49）样本点与对应回归值的残差为Yi（即散点图上各条竖直线段）。考虑残差平方和SRS (410)用平方和分解得 （411）这表明残差平方和SRS除以（n2）是2得无偏估计，记作 （412） ，称为标准差。 1.3线性回归的显著性检验 要检验线性回归模型 Y=01X，N（0，2） （413）是否成立，可以使用t检验，F检验以及r检验。下面分别叙述。 （a） t检验 检验原假设 H0：10 （414）如果拒绝了H0，则不能认为回归效果不显著，亦即表示Y与X之间存在线性关系Y=01X；若接受了H0，则认为回归效果不显著，线性假设（413）不成立。我们可以利用上段结果推导检验统计量。 由（49）知 （415）由于，是正规方程的解，满足， （416）这表明（412）中n个变量，之间有两个独立的线性约束条件，故的自由度为n2，因此 （417）并且还可以证明，与相互独立，与相互独立。于是 （418）如果原假设H0成立，则 （419）利用样本数据计算得，SXX，对于给定的显著性水平，由t分布表（自由度n2）查得临界值t/2（n2），当 （420）时，拒绝H0：10。 （b）F检验 下面考虑用F检验法，作方差分析。由于 （421）两边平方并求和，得平方和分解式 (422)即校正平方和残差平方和回归平方和，或记为 STSSRSSES (423)考虑各平方和的自由度，由于有一个约束 （424）因此校正平方和的自由度为n1。前面由（412）知残差平方和的自由度为n2。从（49）知，两边求平方和得 （425）由此可知回归平方和的自由度为1。因此（422）的自由度分解式为n1n21在误差正态的假设下，若原假设H0：10成立，则于是构造统计量 （426）查F分步函数表（自由度为1，n2），对于给定的置信水平，得临界值F（1，n2），当 F F（1，n2） (427)时，拒绝原假设，从而认为线性回归显著。（c）相关系数（）的显著性检验：由于线性回归方程讨论的是变量与变量之间的线性关系，所以我们可以用变量与之间的相关系数来检验回归方程的显著性。设（，），1，2，是（，）的组样本观测值，我们称 （428）为与的简单相关系数，简称相关系数。相关系数表示和的线性关系的密切程度。相关系数的取值范围为1。的数值越趋近1，则相关程度越好。这时用直线进行预测的准确性越高。通常情况下，当0.7时，我们认为这时与是呈直线状的，用直线方程进行预测是合理的。1.4回归预测和区间估计在求出回归方程以后，可以利用自变量观测值X0预报因变量Y0： （429）在误差正态假设（49）下， （430）因此是Y0的无偏估计，因为 （431） 这样作出的Y0的预测值在统计学上称为点估计，因为它给出的是一个固定的数值。由于因变量Y是随机变量，含有不可观测的随机扰动项，如果对Y0作出区间估计，记载一定的显著性水平下，预报出Y0可能取值的一个范围，预报效果会更有说服力一些。为此要寻找一个不依赖于未知参数的统计量。 考虑Y0，则由（424）可知 （432） 由于Y0与各Yi独立，从而与独立，有 （433）所以 （434）又由（417），且与上式左端统计量独立，于是 （435）由此知道在1的置信度下，Y0的置信区间为 （436）观察上式，当样本给定时，SXX都是确定的，当置信度1给定时，临界值也是确定的，置信区间仅仅与X0取值有关。当X0时，置信区间最窄，为。随着X0偏离，置信区间将越来越宽。1.5方差分析方法的运用方差分析（analysis of variance，ANOVA）方法是一种统计分析方法，它将总变异分解成归因于不同变异成因的分量，并研究各种分量对总变异的重要性。对于简单线性回归分析，可将相依变量Y的总变异分解为归因于对自变量X的线性回归的变异和归因于随机误差的残差变异。如果要分析所有观察值的变异原因，可对以上等式两边平方，然后再累加。这将导出总平方和（total sum of squares，SSTO）的分解公式。 （437）其中是回归平方和，是残差平方和。 以上等式右边的乘积和为零是由残差的特征所决定的。对应于平方和的分解，自由度也可作相应的分解。总平方和的自由度是n1，而残差平方和的自由度是n2。因而只剩下1作为回归平方和的自由度。这样总自由度可以分解为n11（n2）。用各项平方和除以其相应的自由度，便可得到各项均方（mean square，MS）。回归均方MSRSSR/1SSR残差均方MSESSE/（n2）MSE是回归模型方差2的无偏估计量，E（MSE）2。MSR的期望值是回归模型方差2和回归线斜率b1的函数。 （438） 当回归线斜率的原假设H0：b10成立时，F*MSR/MSE 具有自由度为（1，n2）的F分布。因此可以用F检验对回归线斜率作显著性检验。如果F*F（a；1，n2），则可否定原假设，认为相依变量Y与自变量X存在显著的线性回归关系。 简单线性回归的方差分析表可以归纳为下表变异原因自由度平方和均方期望均方F值回归1SSRMSRMSR/MSE残差n2SSEMSE2总和n1SSTO 1.6一元线性回归的应用例3：某饭店近8年来销售收入与该市国民生产总值增长有密切关系，统计资料如表44所示。预计2005年该市生产总值达到700亿元。表44年19971998199920002001200220032004饭店销售收入（万元）8508909209701050112011801250某市国民生产总值（亿元）130180240290350430510590 每年某市的国民生产总值x与饭店销售收入y这一对数据可直角坐标系上表示出来。如图43所示，以x轴为国民生产总值，y轴表示饭店销售收入。 从图中散点图可以看出，这些点大致呈直线，可以用回归方程行预测。 计算过程如表45。图43表45 单位：yi（万）xi（亿）年yixixiyixi2yi219978501301105001690072250019988901801602003240079210019999202402208005760084640020009702902813008410094090020011050350367500122500110250020021120430481600184900125440020031180510601800260100139240020041250590737500348100156250082302720296120011066008613700n=8 =102875 =340 a1028.750.8965897340723.90952 得预测方程： 2005年某市国民生产总值700亿元，代入方程，则预测数 Y0572390952+08965897700 13515223(万元) 2005年该饭店销售收入将达到13515223元。 在例3中，我们考查了某饭店与某市国民生产总值之间具有线性相关关系，利用的是作图，以图示法来提示。实际上，以相关系数表示，才能给出一个准确的数量指标，并用这一数量指标来描述饭店销售收人与某市国民生产总值之间的相关程度。相关系数计算为： 将例3数据代入，解得r=0.996788，可见x与y的线性相式性很强。因此，用国民生产总值作相关因素进行预测是非常合适的。 但是，利用回归法线性方程进行预测就准确无误了吗?我们考查图43，可以发现以实际数据描写的点并不全都在直线上，而是在直线附近。因此用直线方程进行预测必然会产生与实际数据并不一致的误差。考察直线方程的预测误差可以用标准离差(s)检验公式来进行。这是因为，为实际值与预测值之差，实际上就是点到直线间的直线距离。为了说明方便，可以在上、下作二条平行线，如图44所示。图44 由图44可知，之间为预测区间，这个区间可以进行人为得调节。由正态分布性质可知：预测值Y在 范围内得概率为68.3 范围内得概率为95.5 范围内得概率为99.7 （这里的概率是指预测值在这个预测区间的可能性）。由此亦可见，预测区间越大，则预测的准确性越大。计算例3的s，将表45中数据代入标准离差（s）检验公式，即： 12.538275 则 1326.4458（万元） 1376.5989（万元） 2005年饭店销售收入有95.5的可能性是在1326.44581376.5989万元之间。2多因素预测 2.1多元线性回归模型的数学形式和参数估计饭店经营要受到众多因素的影响。在进行经营预测时，只考虑因素是不够的，往往需要考虑多种因素对预测值的影响。在例3中，我们选取的因素是某市的国民生产总值的增长，事实上，影响饭店营业销售收入的还有该饭店所在城市急剧增长的旅游者，该城市旅游接待总人数的增长直接刺激着饭店的销售收入，因此，该市旅游接待总人数也是预测值的相关因素。在预测时，考虑的因素越多，预测值越准确。为了在预测中能考虑到多种因素的影响，我们可将一元线性回归预测模型。y01x加以延伸，扩大自变量的个数，其数学公式如下：01x12x2x （440）其中0，1，2，是1个未知参数，0称为回归常数，1，2，称为回归系数。是随机误差。对于一个实际问题，如果我们获得组观测数据（，；），则线性回归模型（440）式可表示为 （441）写成矩阵形式为 X （442）其中， （443）矩阵X是一（1）矩阵，称X为回归设计矩阵或资料矩阵。当（XX）1存在时，即得回归参数的最小二乘估计为 （444）称 （445）为经验回归方程。(2)多元线性回归预测与参数的区间估计在通过了线性回归的显著性检验后，可以利用回归方程作预测。点预测只须将X0（X01，X0p）代入回归方程算出X0即可。要作出的区间估计，需要求得它的分布。在误差正态的假设下，因为，故 （446）则当2未知时，以替代，有 （447）故的区间估计（显著性水平）为： （448）当2已知时，直接由定理E（）0，Var（）2可以作出的区间估计。因为 （449）故的联合置信域（显著性水平）为： （450）这是一个椭球。当2未知时，可以构造一个新的统计量： （451）于是得椭球置信域（显著性水平）: (452)对于给定的椭球，可以解出各参数分量的置信区间。当维数太多时，注意成了小概率事件，这样的置信域意义不大。（3） 多元线性回归的应用以例3为例说明多因回归公式的应用。影响例3中饭店销售收入的还有该饭店所在城市急剧增长的旅游者，根据历年统计资料从1997年至2004年底市旅游接待总人数依次为105万人次、112万人次、115万人次、121万人、128万人次、136万人次、143万人次、1 48万人次，预计2005年将达到15.5万人次。 预测2005年饭店的销售收入。 首先，根据影响饭店销售收入所直接依赖的有关因数确定n的数值。现在，我们需要考虑国民生产总值与旅游接待总人次数这两个因素。若不再考虑其它确定性因素，则n2，预测方程为： 在确定确定性因素时，需事先检验一下每个因素与预测值之间的相关程度，即用单因素回归方程中求相关系数(r)的方法。如果相关系数接近于1的。则说明这一因素对预测值有较大影响，可将该因素作为变量Xi引入(46)式中。 根据表44资料，前文已测得饭店销售收入与国民生产总值的系数r10.996788，再求得饭店销售收入与旅游接待人次数的相关系数r2=0.9970697。由相关系数的性质可知。这两个因素对预测饭店销售收入都有很大影响，都要考虑。 其次，求出式中的待定系数。从理论上讲，仍可采用最小二乘法求解。但实际上，在多因素情况下最小二乘法甚为复杂。为此，可用解方程的方法求解。在等号两边分别同乘x1，x2(根据方程的性质，等式仍成立)，然后取统计量，可得下列方程组：其中，x1为国民生产总值，x2为旅游接待总人次，y为已知的饭店销售收入。 可得n8，y=8230，x1=2720，x21008，x1y2961200，x1 x236003, x2y105256，x121106600，x221286.68代入方程中，即为求的三元一次方程组。解得 24905056 04136794 50718131预测方程：y249.050560.4136794xl50.718131x2预测2005年饭店销售收入：x1700，x2155 1324.7572（万元） 多因素回归预测较为准确，但计算比较复杂，一般需要在计算上进行。 回归预测法强调找出事物变化的原因，找出原因与结果之间联系方法，并以此来预测未来，其最大优点是可以利用其它方面的资料(如政府部门公布的统计数字)。这种方法是经营预测中最常用的方法，作短期、中期预测比较适宜。(二)趋势曲线预测模型法趋势曲线预测法是长期趋势预测的主要方法。它是根据时间序列的发展趋势，配合合适的曲线模型，外