（基础数学专业论文）cappellmiller全纯挠率的anomaly公式.pdf

南开大学学位论文使用授权书 根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位获 得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在 著作权法规定范围内的学位论文使用权，即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文 ( 包括纸质印刷本及电子版) ，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生学位论 文，并编入南开大学博硕士学位论文全文数据库；( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将 公开的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论文目录检 索、文摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务；( 3 ) 根据教育部有关规定，南开大学向 教育部指定单位提交公开的学位论文；( 4 ) 学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和 中国学术期刊( 光盘) 电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文 数据库，通过其相关网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。 论文电子版提交至校图书馆网站：h t t p ：2 0 2 1 1 3 ，2 0 1 6 1 ：8 0 0 1 i n d e x h t m 。 本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答 辩；提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。 本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存。 作者暨授权人签字：割墟 2 0 1 0 年6月3日 南开大学研究生学位论文作者信息 论文题目 c a p p e l l m i l l e r 全纯挠率的a n o m a l y 公式 姓名 刘博i 学号i 2 1 2 0 0 7 0 0 0 5 i 答辩日期f二。一o 年五月 论文类别 博士口学历硕士一硕士专业学位口高校教师口同等学力硕士口 院系所 南开大学陈省身数学研究所l 专业i基础数学 联系电话2 3 5 0 9 0 4 1e m a i l b o l i u m a t h m a i l n a n k a i e d u e l l 通讯地址( 邮编) ：3 0 0 0 7 1 备注： 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写( 一式两份) 签字后交校图书 馆，非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。 7 。擎徘皇革礤珥毒拦妨非娶申雨萼世毒￥士单期酵萃砚珥毒妊妤非勘 皓圄辫虿兽专露( 规鲤￥一) 岂斡晕勒甲。革砚珥毒明千逊、千斟晕组明士蓟辫缮出娶难辞斟卓：蕃 2 茸砚妊移非紧裂辨显著：瑕号 夕睨雾够彤磬妒( 擎擎 7 i ，蝴f ：( 睇g 单) 弭w 髫豇 叼垆肿7 娜因炉叼呷 i 弘 | 噶o3 笥艺 县印堂箍 孝谚私彰 亦牟易孳嬲瑚澎剃酗? 肇埘| 崔 强 口千独华素岛刨口斯辚鸷掣口珥杂而每千独自千班甾嘉口千斟喈椠茸砚 甚l s 毡j 电0 i 帆晦目挺嚣 j 山f ，似圪炫 鲁杀 融l 尹 矽驿 、_ 咿删y 渺絮聊夕切一7 帕 目鳍茸砚 冒鲁晕勘萃观珥丢雨车控毒￥妊掣 目g 日9 鸯d j o 乙 哥悟咭驯凇群勤 。掣禺髻锋固咄鞠甭延地甲船型￥一譬孬牛砰群章。犁群娶丁枣黧晕四y 卓 。百目y 卓甲酱g 碍业貊蒙刨业囡嘶鹾一站早明茸歌章驾狮与到壬印茸识码嘉明萃鬻 ：挺嚣茸砚取藓目冀智勘明搿举勤晦刨滕乜嘉嘉￥“掣翠警茸歌再嘉明y 牢：嶷枣y 卓 。帆。x 9 p m 1 0 0 8 ：1 9 i o 乙1 i 。z 0 驯：d 州：鞭幽勘锋囤珥歪莓鬻捌壬胃茸刁冬 。茸刁冬妊影刨暂硼哇蕈瞢g 毋蟛暂硼静篱瞠萃瞥蟛掣业甲刮瞬翠哥茸硬珥嘉妊移非 。f 瞠砰朝茸刁善擎髯勒渐计茸晕曷哿y 章翱刨。暂智日冒掣身职q 每牲密圈* 群嚣裂藓 窜辨骠茸观砑杀翠畔y 劲冀狲壬审茸暂茸砚码杀鲷圉鲜犁群莓瞥碡列田士印( ：群椠) 肚酶半 素国d j 哇孵延擅冒署辑性国串回群嘉砰斟岩勤莓歌珥杀( 争) 。茸现珥杀明拦妨蕈暂码甫犁群 躲肇辚掣嘉￥拦单犁群￥晕婚基磷群谢( ) 2 暂砸胃身罐丐翕碡生、骠鼹茸弓茸砚疆相瓣 茸、肇弭誉目茸歌艳斟丁回国殍翠旗圃雨蛳掣珥静暂增辫岛勘洚囤翠僻壤椠勘覃砚珥杀碉 拦妤琳徇巫辫杂明目搬性瞠蒜骣椠( 弓) 2 封群磉茸弓莓歌珥嘉千煎科嘉￥拦阜 y 崂蜒 覃拱珥杂雨延拉晕哿稿士胖驾砚茸疆由黪、目缮出卷狗乜珥嘉( 狲士印谣章踏由驾猜辨 曰) 茸砚码嘉萃鬻犁群辫彰汗罢勘瓣再嘉( t ) ：由砰茸翦茸观爵奈聊早圉鞋晕群嚣砰勤是： 翠单衅嘉￥拦阜。犁群噩舄鲷茸瞠哇群劲茸拱码亲雨距捡* 阜杀￥拦掣蟛上弓华y 章 。强士审翠群理卓驾臻茸砚码表明y 卓聂蕾杂￥拦卑到彭瞬县舍； 罪爵嘉千照、千斟明鸷椠臻哗盈舄目瞠瞠嚣劲茸砚码嘉雨延投壬* 杀￥拦卑： 辨诽 斗砰群目班茸歌再杂嘉￥妊单 - 。v ，t ， 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所 取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包 含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所 涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：刘擅 2 0 1 0 年6月3 日 非公开学位论文标注说明 根据南开大学有关规定，j 公开学位如文须经指导教师同意、作者本人申 请和相关部门批准方能标注。未经批准的均为公开学位论文，公开学位论文本 说明为空白。 论文题目 申请密级口限制( 2 年) 口秘密( 1 0 年)口机密( 2 0 年) 保密期限 2 0 年月日至2 0年月日 审批表编号 批准b 期2 0 年月 日 南开大学学位办公室盖章( 有效) i 限制2 年( 最长2 年，可少于2 年) 秘密l o 年( 最长5 年，可少于5 年) 机密2 0 年( 最长l o 年，可少于1 0 年) 中文摘要 中文摘要 在参考文献【7 】中，c a p p e l l 和m i l l e r 将原来经典的全纯挠率推广到了带 ( 1 ，1 ) 型相容联络的任意全纯丛上。这一推广使得酉丛和平坦丛都成为其特 例。在这种情况下，对应的狄拉克算子非自伴而且挠率取复值。而且此处的挠 率与平坦丛上的给定厄尔米特度量无关。 本文中，作者得到了此类全纯挠率在k i i h l e r 条件下的a n o m a l y 公式。 关键词：热核；a n o m a l y 公式；c a p p e l l m i l l e r 全纯挠率 a b s t r a c t a b s t r a c t i i lt h er e c e n tp a p e ro f c a p p e l la n dm i l l e r 【7 】，t h ec l a s s i c a lh o l o m o r p h i ct o r s i o ni s e x t e n d e dt oc o u p l i n gw i t ha i la r b i t r a r yh o l o m o r p h i cb u n d l ew i t hc o m p a t i b l ec o n n e c t i o n o ft y p e ( 1 ，1 ) t h i si n c l u d e sb o t hu n i t a r ya n df i a t ( n o tn e c e s s a r i l yu n i t a r y ) b u n d l e s a s s p e c i a lc a s e s h o w e v e r , c o m p a r i n gw i t ht h eo p e r a t o r sd e a l tw i t hi n 5 】，i nt h ep r e s e n t g e n e r a ls e t t i n gt h ea s s o c i a t e do p e f a t o r sa r en o tn e c e s s a r i l ys e l f - a d j o i n ta n dt h et o r s i o n i sc o m p l e x v a l u e d e s p e c i a l l y , t h et o r s i o ni si n d e p e n d e n to f t h eg i v e nh e r m i t i a nm e t r i c o ft h ef l a tb u n d l e i nt h i sp a p e r , w eg e tt h ee x p l i c i ta n o m a l yf o r m u l af o rt h i sc a p p e l l - m i l l e rh o l o m o r - p h i ct o r s i o nf o rk 孙l e rm a n i f o l d s k e yw o r d s ：h e a tk e r n e l ；c a p p e l l - m i l l e rh o l o m o r p h i c t o r s i o n ；a n o m a l yf o r m u l a c o n t e n t s c o n t e n t s 中文摘要 i a b s t r a c t c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 c h a p t e r 2 c a p p e l l m i l l e rt o r s i o no ft h eh o l o m o r p h i cb u n d l ew i t ha ： c o m p a t i b l e ( 1 ，1 ) c o n n e c t i o n - 3 2 1t h ec a p p e l l - m i l l e rh o l o m o r p h i ct o r s i o n - 3 2 2a na n o m a l yf o r n m l af o rt h ec a p p e l l m i l l e rh o l o m o r p h i ct o r s i o nt r a d e r t h ek 苴h l e rc o n d i t i o n 8 c h a p t e r3 s o m ee s t i m a t e so nh e a tk e m e l s 1 0 3 1 t h e s p e c i a lh e a tk e r n e ld e p e n d i n g o np a r a m e t e r s 1 0 3 2t h er e s c a l e dh e a tk e m e la i l dt h em e h l e rf o n n u l a 1 4l c h a p t e r 4 a p r o o f o f t h e o r e m2 5 - - - - 1 7 4 1t h es m a l lt i m ea s y m p t o t i c so ft h es u p e r t r a c eo fc e r t a i nh e a tk e r n e l s - 17 4 2 p r o o f o f ( 2 2 5 ) 1 9 b i b l i o g r a p h y - ：2 6 致谢 2 8 个人简历 2 9 i i i c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n c h a p t e r 1i n t r o d u c t i o n a sas u b s e q u e n tp a p e ro f t h ec e l e b r a t e dw o r k 1 3 ，r a ya n ds i n g e rd e f i n e dah o l o - m o r p h i ct o r s i o na s s o c i a t e dt ot h ec 9 - c o m p l e xo f c o m p l e x m a n i f o l d si n 【1 4 a l s oi nt h a t p a p e r , i nt h ef l a tu n i t a r yh o l o m o r p h i cc a s e ，t h e yo b t a i n e dr e s u l t sa b o u tt h ev a r i a t i o no f t h i sh o l o m o r p h i ct o r s i q nw i t hr e s p e c tt ot h ec h a n g eo fh e r m i t i a nm e t r i co ft h eu n d e r l y i n gc o m p l e xm a n i f o l l k t f u r t h e ri n 【5 】，u s i n gp r o b a b i l i t ym e t h o d ，b i s m u t , g i l l e ta n d s o u l 6o b t a i n e dt h ee x p l i c i ta n o m a l yf o r m u l af o rt h eu n i t a r yh o l o m o r p h i cb u n d l eo na k 五h l e rm a n i f o l d i nt h er e c e n tp a p e ro fc a p p e l la n dm i l l e r 【7 】，t h eh o l o m o r p h i ct o r s i o ni se x t e n d e d t oc o u p l i n gw i t ha na r b i t r a r yh o l o m o r p h i cb u n d l ew i t hc o m p a t i b l ec o n n e c t i o no ft y p e ( 1 ，1 ) t h i si n c l u d e sb o t hu n i t a r ya n df l a t ( n o tn e c e s s a r i l yu n i t a r y ) b u n d l e sa ss p e c i a l c a s e s h o w e v e r , c o m p 严i n gw i t ht h eo p e r a t o r sd e a l t w i t hi n 【5 】，i nt h ep r e s e n tg e n e r a l s e t t i n gt h ea s s o c i a t e do p e r a t o r sa r en o tn e c e s s a r i l ys e l f - a d j o i n ta n dt h et o r s i o ni sc o m - p l e xv a l u e d e s p e c i a l l y , t h et o r s i o ni si n d e p e n d e n to f t h eg i v e n h e r m i t i a nm e t r i co f t h e f i a tb u n d l e i nt h i sp a p e r ，w eg e tt h ee x p l i c i ta n o m a l yf o r m u l af o rt h i sc a p p e l l - m i l l e rh o l o m o r o p h i ct o r s i o nf o rk 弛l e rm a n i f o l d s a si so b t a i n e di n 7 】，t h ev a r i a t i o no f t h eh o l o m o r p h i c t o r s i o ni st h ec o n s t a n tt e r mi nt h el a u r e n te x p a n s i o no f t h es u p e r t r a c eo f ac e r t a i ns m o o t h k e m e l t oc o m p u t et h ec o n s t a n tt e r m ，f o l l o w i n g 【5 ，s e c t i o n1 ( h ) 】i ns p i r i t ，w ei n t r o - d u c et h eg r a s s m a n nv a r i a b l e sd a d 万a n di d e n t i f yt h ec o n s t a n tt e r ma st h ec o e f f i c i e n to f 血血o f l i 驰_ o + 亿 e x p ( - t l t ) ，w h e r ef o ra n yt 0 ，写i sag e n e r a l i z e dn o n - s e l f - a d j o i n t l a p l a c i a nw i t hp a r a m e t e r sd a d 孬 i no u rf i n a lc a l c u l a t i o n ，w ed o n tu s ep r o b a b i l i t yt h e o r ya si n 【5 ，b u tm o d i f yt h e p r o c e s sw h i c hi su s e di n 【1 ，c h a p t e r4 t op r o v et h el o c a li n d e xt h e o r e m 1 ，t h e o r e m 4 1 】t h et e c h n i c a ld i f f i c u l t yi nt h em o d i f i c a t i o na r et h es i n g u l a rt e r m st u r n i n gu pi i l t h er e s c a l e do p e r a t o ra n dt h ec o n v e r g e n c eo ft h er e s c a l e dh e a tk e r n e lf o r t h ei n 仃o d u c e d r e s c a l i n gp a r a m e t e r a se _ 0 w ef i r s tm o d i f yt h ee s t i m a t e so nh e a tk e r n e l sg i v e ni n 1 ，c h a p t e r2 】，w h i c he s s e n t i a l l yd e p e n do nt h ep r o p e r t i e so f t h ei n t r o d u c e dg r a s s m a n n c h a p t e rli n t r o d u c t i o n v a r i a b l e s ，t h e nu s i n gd o n n e l l y sc o n j u g a t i o nt e c h n i q u ea n dt h eg e n e r a lm e h l e rf o r m u l a f o ra g e n e r a l i z e dh a r m o n i co s c i l l a t o r ( c 【8 】) ，w eo v e r c o m et h ed i f f i c u l t y 1 1 1 er e s to f t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s i ns e c t i o n2 ，w er e c a l lt h eb a s i cd e f - i n i t i o no ft h ec a p p e l l - m i l l e rt o r s i o no ft h eh o l o m o r p h i cb u n d l ee n d o w e dw i t hat o m - p a t i b l e ( 1 ，1 ) c o n n e c t i o no v e rac o m p l e xm a n i f o l da n ds t a t et h ea n o m a l yf o r m u l af o r t h ec a s ew h e r et h eb a s em a n i f o l da s s u m e dt ob ek ；i h l e r i ns e c t i o n3 ，w ed e d u c es o m e e s t i m a t e so nt h eh e a tk e r n e l si nal i t t l em o r eg e n e r a lc a s et h a nw h a tw en e e d i ns e c t i o n 4 ，u s i n gt h el o c a li n d e xt h e o r e mt e c h n i q u e s ，w ep r o v et h ea n o m a l yf o r m u l as t a t e di n s e c t i o n 2 1 2 c h a p t e r 2c a p p e l l m i l l e rt o r s i o no f t h eh o l o m o r p h i cb u n d l ew i t h ac o m p a t i b l e ( 1 ，1 ) c o n n e c t i o n c h a p t e r 2 c a p p e l i - m i l l e rt o r s i o no ft h eh o l o m o r p h i cb u n d l e w i t hac o m p a t i b l e ( 1 ，1 ) c o n n e c t i o n i nt h i ss e c t i o n ，w er e c a l lt h ed e f m i t i o no ft h ec a p p e l l - m i l l e rt o r s i o no ft h eh o l o m o r p h i cb u n d l ew i t hac o m p a t i b l e ( 1 , 1 ) c o n n e c t i o na n d s t a t ea l la n o m a l yf o r m u l af o r t h ec a p p e l l - m i l l e rt o r s i o nu n d e rt h ek 轴l e rc o n d i t i o n 2 1t h ec a p p e l l - m i l l e rh o l o m o r p h i ct o r s i o n l e t ( m ，j ) b eac o m p l e x m a n i f o l dw i t hc o m p l e xs t r u c t u r eja n di t sc o m p l e xd i m e n s i o nb cn l e tt mb ct h ec o r r e s p o n d i n gr e a lt a n g e n tb u n d l e l e tg 丁 fb ea n yr i e m a n n i a nm e t r i co nt m c o m p a t i b l ew i t hj a n dv r mb et h ec o r r e s p o n d i n gl e v i - c i v i t a c o n n e c t i o n l e te _ mb eac o m p l e xh o l o m o r p h i cb u n d l eo v e rm e n d o w e dw i t hac o n n e c t i o n v l e tb eah e r m i t i a nm e t r i co ne f o r0 r 2 n ，l e tq 7 ( m ，e ) = r ( m ，a r ( t 4 m ) o e ) b et h es p a c eo fs m o o t hr - f o r m so nmw i t hv a l u e si ne t h e c o m p l e x s t r u c t u r eji n d u c e sa s p l i t t i n gt m0 rc = 丁( 1 , o ) m t ( 0 j ) m , w h e r e 丁( 1 ，o ) 肘a n dt ( o ，1 ) ma r et h ee i g e n b u n d l e so f jc o r r e s p o n d i n gt oe i g e n v a l u e s 二ta n d 一厂ir e s p e c t i v e l y l e tt 4 0 , o ) ma n dt + ( o ，1 ) mb et h ec o r r e s p o n d i n gd u a lb u n d l e s f o ra n y0 p ，q ，z ，l e t s q p ，q ( m ，e ) = r ( m ，a p ( r + ( 1 ，o 叫 a q ( t + ( o 1 ) m ) q e ) b et h es p a c eo fs m o o t h ( p ，q ) 一f o r m so nmw i t hv a l u e si ne s e t 九 q ”( m ，e ) = 0q p ，g ( m ，e ) p ，q = 0 w eh a v et h ed i r e c ts u md e c o m p o s i t i o n 甜( 膨，c ) = o p + g ：r 凹，q ( m ，c ) a n dt h e d i f f e r e n t i a l s d ：7 ，c ) q r + l ，c ) ，a ：q p ，q ( m ，c ) _ 凹+ l , q ( m ，c ) a n d s 甜，q ( m ，c ) _ q p ，日+ 1 ( m ，c ) w i t hd = a + 百 w ew i l ld e n o t eb y ( ，) t h ec - b i l i n e a rf o r mo nt mo rci n d u c e db yg 聊丁( 1 ，o ) m i s a h o l o m o r p h i c v e c t o r b u n d l e w i t h h e r m i t i a n m e t r i c i n d u c e d b y g t m l e t e 2 i 一1 i n = l u e 2 i ：= 3 c h a p t e r 2c a p p e l l m i l l e rt o r s i o no f t h eh o l o m o r p h i cb u n d l ew i t h ac o m p a t i b l e ( 1 ，1 ) c o n n e c t i o n j e 2 一1 摧lb ea l lo r t h o n o r m a lf l a m eo ft m a n d e ) 罂1b ei t sd u a lf r a m e t h e n 哟= 去( 锄一1 一仃) ，= 1 ，l ( 2 1 ) v 厶 f o r mal o c a lo r t h o n o r m a lf r a m eo ft ( 1 , 0 ) mw i t hd u a lf r a m e o f f ) 7 = 1 ( c 1 2 ，( 1 2 3 4 ) 】) w ef i xt h i sn o t a t i o nt h r o u g h o u tt h er e m a i n i n gp a r ta n du s ei tw i t h o u tf u r t h e rn o t i c e l e t b et h er e a l ( 1 ，1 ) f o r md e f i n e db y e ( u ，1 ，) = g 肼( 儿，y ) ，f o ra n y “，v r ( t m ) ( 2 2 ) ； w ec a l l a si n ( 2 2 ) ak i h l e rf o r mo n 坛t h em e t r i c 占删 b nt mi sc a l l e dak 翻h l e r m e t r i ca n dt h ec o m p l e xm a n i f o l d ( m ，j ) i sc a l l e dak i h l e rm a n i f o l di fo i sac l o s e d f o r m ( c f 1 2 ，d e f i n i t i o n1 2 7 】) 一 t h e r ei san a t u r a lh e r m i t i a nm e t r i co n ( r ( 1 ，o ) 圆a q ( t ( o ，d m ) o ei n d u c e d b yg r 肘a n d 矿，w h i c hw ed e n o t eb y ( ，) ”时b yw i r t i n g e rt h e o r e m ( c 1 1 ，p p 31 】) ，w ek n o wt h a tt h ev o l u m ef o r mo f md e t e r m i n e db yg r 肘i sg i v e nb y 鲁t h e r e f o r e ， t h el 2 - s c a l a rp r o d u c to nq ”( 膨，e ) i sg i v e nb y | ( ( 即) ) ：= 厶( a ，3 ) a - 哪筹，f o r 锄y ，卢舻讹，卧 ( 2 3 ) t h ec o m p l e xh o d g es t a ro p e r a t o ri sac o m p l e xc o n j u g a t el i n e a rm a p p i n g 木：q ( p ，g ) ( 肘，c ) q 扣一p ) n - - 9 ) ( m ，c ) s u c h t h a ti f a ，卢q + ，幸( m ，c ) ，t h e n ( e 1 【1 1 ，p p 8 0 一8 2 】) 叭卢却胁，。鲁 ( 2 4 ) t h ef o r m a la d j o i n t 矿o f0w i t hr e s p e c tt ot h el 2 s c a l a rp r o d u c ti sg i v e nb y 万+ = 一木万爿c ( 2 5 ) l e tc o n jb et h en a t u r a lc o n j u g a t em a p p i n gi n d u c e db yt h eb u n d l ea u t o m o r p h i s m ( c 7 ，p p 1 4 1 ) t 4 m o r cot + m o rc ，v o 九y o 九f o ra n y1 ，t + m ，a c ( 2 6 ) t h e n 木：= c o n j 章i sac o m p l e xi i n e a rm a p p m g c l e a r l y , 爿c5c o n j 木= 木c o n j 一 。 ， 4 c h a p t e r 2c a p p e l l - m i l l e rt o r s i o no f t h eh o l o m o r p h i cb u n d l ew i t hac o m p a t i b l e ( 1 ，1 ) c o n n e c t i o n w en o wi n t r o d u c et h ec l i f f o r da l g e b r a ( c f 【1 2 ，s e c t i o n1 3 1 】) f o ra n yv t mw i t hd e c o m p o s i t i o nv = v ( 1 ，0 ) + ，( 0 ，1 ) t o ，0 ) m0t ( o ，1 ) 肘，l e t 可( 1 ，o ) ，t + ( 0 ，1 ) mb et h em e t r i cd u a lo fv 0 ，0 1 t h ec l i f f o r da c t i o no fvo nt h eb u n d l e a ( t + ( o j ) m ) = ( 丁+ ( o ，1 ) m ) e a 。d d ( r ( o ，1 ) m ) i sd e f i n e db y c ( v ) = 以( 哥( 1 胁a l 。v ( o , 1 ) ) ， ( 2 7 ) w h e r eaa n did e n o t et h ee x t e r i o ra n di n t e r i o rm u l t i p l i c a t i o n s ，r e s p e c t i v e l y w ev e r i f y e a s i l yt h a tf o ru ，v t m ， c ( 矽) c ( y ) + c ( y ) c ( u ) = 一2 ( u ，y ) ( 2 8 ) w ei d e n t i f yt mw i t ht 牛mb yt h eg i v e nm e t r i c9 1 ，a n ds o m e t i m e sw r i t ec ( e ) a sc ( e i ) i nt h es e q u e l ，w ed o n td i s t i n g u i s hb e t w e e nc ( e ) a n dc ( e i ) s i n c eei sh o l o m o r p h i c ，t h eu s u a lao p e r a t o ro nq + ( m ，c ) h a sau n i q u en a t u r a l e x t e n s i o nt oq 4 ，+ ( 膨，e ) ，a ：q a q ( m ，e ) q p ，鼋+ 1 ，e ) ( c f 【7 ，s e c t i o n3 】) u n d e r t h es p l i t t i n gq 1 ( m ，e ) = 1 , 0 ( m ，e ) 0 q 0 , 1 ( m ，e ) ，t h ec o n n e c t i o nv ed e c o m p o s e s a ss u m ：v e = ( v e ) 1 ，oo ( v e ) o ，1w i t h ( 旷) 1 ，o ：f ( m ，e ) - q 1 ，o ，e ) ，( 矿) o ，1 ：r ( m ，e ) 一q o ，1 ，e ) ( 2 9 ) m o r e o v e r , i fw ee x t e n dv 丘o nf ( m ，e ) i nau n i q u ew a yt oq 屯宰( 眠e ) b yl e i b n i zf o r - m u l a ( c f 【1 ，p p 2 1 】) ，t h e nt h ee x t e n d e dv s p l i t si n t ot w op i e c e sv e = ( v e ) 1 ，o + ( v ) o ，- ，w h i c ha l s os a t i s f yt h el e i b n i zf o r m u l a ( c f 【1 ，p p 1 3 1 ) d e f i n i t i o n2 1 ( c f 7 】) t h ec o n n e c t i o nv ei ss a i dt ob ec o m p a t i b l ew i t ht h eh o l o m o r p h i c s t r u c t u r eo i le v ( v ) o ，1 = 玉t h ec o n n e c t i o nv ei ss a i dt ob eo f t y p e ( 1 ，1 ) i f t h ec u r v a t u r e ( v e ) z so f t y p e ( 1 ，1 ) i nt h es e q u e l ，w ef i xa n yp ，0 p ，l ，a n ds e ts q p ，+ ( m ，e ) = o ：o 钟，q ( m ，e ) l 亡tv 丘b ea c o m p a t i b l e ( 1 ，1 ) c o n n e c t i o n f o l l o w i n g 7 ，s e c t i o n3 】，w ed e f i n e a n d 瓦，( 沪) ，。= 一( o1 ) ( v e ) 1 ，o ( 圆1 ) ， 吒。万= 瓦磊，( 班) t ，。+ 瓦，( 班) t ，。玉 5 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) c h a p t e r 2c a p p e l l - m i l l e rt o r s i o no f t h eh o l o m o r p h i cb u n d l ew i t hac o m p a t i b l e ( 1 ，1 、c o n n e c t i o n s i n c e7 2 = 丰2 = ( 一1 ) p + qo nq p ，q ( m ，c ) ，w eg e t ，( 班) 】f 0 ) 2 = ( 一1 ) p + q + 1 ( 1 ) ( ( v e ) 1 ，。) 2 ( 。1 ) = o ( 2 1 2 ) u s i n g t h ef o l l o w i n gi d e n t i t i e s ( v 甲= a q l + 八v e q ， 邮) ( v e ) o ，1 = 万0 1 + - - 八v 面e j ， 。 w eg e t 瓦胛2 ，。2 三。1 一孽v ( 2 。4 ) a 。ao1 + 矽a v 匆 s e t d = x 2 + 瓦孵) l 。) ( 2 1 5 ) t h e nf r o m ( 2 11 ) ，( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) ，w ed e d u c et h a t 三。钜( 万+ 跏1p 。吆， ( 2 1 6 ) 旷。2 f - l r , 吾 f d e n o t e 护= a p ( t + 0 , o ) m ) o e i fw ea s s u m ei na d d i t i o nt h a t ( m ，j ，g 丁材) i sa k 撕l e rm a n i f o l d ，t h e nu s i n g 1 ，p r o p o s i t i o n3 6 7 ， 1 2 ，l e m m a1 4 4 】，t h eo p e r a t o rd a c t i n go n 甜，e ) = 种，宰( m ，罗) c a nb es p e c i f i e da sf o l l o w s