（计算数学专业论文）带非局部源的抛物方程单调迭代解法.pdfVIP

摘要 本文研究下面的带非局部源项的半线性抛物方程初边值问题的数值迭代方法： 警一让= 上m u ) 如+ 如 u ) ，( 叫) q ( 0 ，刎， a ( 础) u + 阢，亡) 笔= 出 仳) ，( 蛳) a q ( o ，纠， 牡( z ，o ) = t 正o ( z ) ， z q ， 其中q 是礼维矩形区域基于向后差分格式以及复化梯形公式，我们建立了一个离散迭 代格式逼近上述初边值问题使用离散系统的上、下解作为迭代初值，产生两个迭代序列 借助于离散的极值原理证明了当选择上解进行迭代时，迭代序列单调递减，而利用下解进 行迭代时，迭代序列是递增的并且这两个单调序列都收敛到同一个离散问题的数值解 文章讨论了当空间步长与时间步长趋于。时，迭代格式所产生的迭代解收敛于对应 的初边值问题的解最后，我们给出了2 个数值算例它们分别是l 维混合初边值问题和 2 维d i r i c h l e t 初边值问题算例1 采用下解作为初值进行迭代，算例2 采用上解作为初值 进行迭代数值结果显示本文提出的方法的有效性 关键词：抛物方程，非线性边界条件，非局部源，极值原理，迭代解，收敛性 a b s t r a c t i nt h i sp 印e rw es t u d yt h en u m e r i c a li t e r a 土i v em e t h o d 81 0 ri n i t i a l - b o u n d 龇yv a l u ep r o b l e m o fs e m i u n e a rp a r a b o h ce q u a t i o nw i t hn o n l o c a l l l r c ei i lt h ef o r m 豢一u 亍上他 u ) 如州啪u ) ， ( z ，t ) q( o ，卅， 嘶t ) 乱+ 触筹= 出 u ) ，( 叫) a q ( o ，卅， u ( z ，o ) = 咖( z ) ，刃q ， w h e r eqi sa 伽d i m e 璐i o n a l lr e c t a d l g u l a rd o m a i n b 硇e do nt h eb a c l 【w de u l e r8 c h e m ea n d c o m p 0 8 i t et r 印e z o i d 出f o r m u l a ，旭c o n s t r u c tad i s c r e t ei t e r a t i 、r es c h e m e u 8 i n gt h em e t h o do f u p p e r - l o w e r8 0 l u t i o 璐w ep r e 8 e i l t 拥r 0m o n o t o n e8 e q u e n c e 8 i ti s8 h o w nt h a 土t h ei t e r a 土i v es e q u e n c e p r o d u c e db yu p p e rs o l u t i o ni sm o n o t o n ed e s c e n d i n ga n dt h ei t e r a t i v e8 e q u e n c eb y1 佣r e rs o l u t i o n i sm o n o t o n ei n c r e a s i n g t h e yc 0 矾e r g et oau n i q u e 肌m e r i c d8 0 l u t i o no fd i s c r e t ep r o b l e m w e 札s od i s c u 船t h ec o n v e r g e n c e0 f 丘n i t ed i 珏e r e n c es o l u t i o nt ot h ec o r r e s p o n d i n gs o l u t i o n o fd i f f e r e n t i a le q u a t t i o n 鹪t h em e s h8 i z et r e n d st oz e r o t w oi u u s t r a 七i o 珊a r e8 h o w nb yt a b l 鹤 a n dg r a p h st ot e s t i 匆t h er e 8 u l t so ft h e o r e t i c 址a n 砒y 8 i s o n ei 8ao n e - d i m e i l s i o n a lm i ) c e di n i t i a l - b o u n d a l r yv a l u ep r o b l e mi nw h i c hw et a k el o w 它rs 0 1 u t i o na si n i t i a ld a 七aa n dt h eo t h e ri sa t w 伊d i m e n 8 i o n a ld i r i c h l e ti n i t i a l - b o u n d a 巧v 缸u ep r o b l e mi nw h i c hw et a k eu p p e r8 0 l u t i o n 嬲 i n i t i a ld a t a0 fi t e r a t i o n t h em i m e r i c a lr e s u l t ss h a wt h ee 丑e c t i v e n e 鹪o fo u ra p p r o a c hp r 鹊e n t e d i nt h i 8p 印e r k e y w o r d s ： p a r a b o l i ce q u a t i o n ， n o n h n e a rb o u i l d a r yc o n d i t i o n ，n o n l o c a ls o u r c e ，m a x i 皿【u i np r i n c i p l e ，i t e r a t i v e8 0 l u t i o n ， c o n v e r g e n c e 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名： 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公 布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办 理 签名：导师签名：日期： 第一章引言 抛物方程的单调迭代方法的研究已经有了许多研究成果早期具有代表性的工作是 由p c v 为主的研究者们对带线性边界条件的半线性抛物方程提出了一系列迭代算 法【1 ，2 】但是对带非线性边界条件的半线性抛物方程初边值问题并未给出相应的数值迭 代方法针对这样的问题，邓卫兵等【3 】对如下带非线性边界条件的半线性抛物方程初边 值问题提出了相应的迭代格式： 毗一d u = ， ，亡，“) ， ，亡) q t ， 券+ 刊吼让) ，( 础) 岛， t ( z ，0 ) = 妒( z ) ， z q + ， 其中q 4 是r n 中的有界区域，q t = q + ( o ，纠，所= a q 事( o ，刎文中假设在爵上d 三d 为常数，在曲上p 三p ( z ，t ) o ，( z ，亡，u ) ，夕( z ，t ，u ) 为关于让的非线性函数对于耦合抛物 方程组也有了相应的迭代算法，见 4 ，5 】更多的迭代方面文献见【6 ，7 】但是对于带非局部 源项的半线性抛物方程，目前还没有相应的迭代算法 带非局部源项的微分方程有广泛的应用比如p a oc v 在【8 】考虑的k e r m a c k - m d ：c e n d r i c l 【 模型 ， 毗一d u 寻一口l 钍一6 1 让尼0 ，善) 秽 ，亡) d ， ，i z ， 饥一d 2 口= 一n 2 口+ 6 2 口后 ，) 札 ，t ) 嫩， ，z 其中让，秒分别代表易受某疾病感染的人数和已被感染成病人的人数啦，玩是比例常数， 尼( z ，f ) 是转换函数，积分项表示已染病病人在z q 处出现并传染了在z 附近的所有人 口 文【9 】分析了具有非局部源的两种群互惠模型抛物系统的生态现象令蛾( z ，亡) 为在亡 1 东南大学硕士学位论文 时刻第i 0 = 1 ，2 ) 个种群在z 处的空间密度，则其生态模型如下 让1 t d 1 t 正1 = t 1 口l 一6 1 l u l + 6 1 2 七( z ，毒) t 正2 ( f ，t ) d 亭， ，n 让射一d 2 t 正2 = u 2 0 2 一畅牡2 + 6 2 1 七( z ， ) u 1 健，亡) 磷， ，n 执“a = 0 ， 0 = 1 ，2 ) ， “i ( z ，0 ) = 钍i ，o ) ，a = l ，2 ) ， ( z ，t ) q ( o ，列， ( z ，t ) q ( o ，卅， 2 其中哦和( t ，歹= 1 ，2 ) 是正常数实数啦为正时表示第i 种群的群增长率，为负时表 示第i 种群的净死亡率画表示第t 种群的扩散速度是物种与物种之间互惠系数， 是物种内部的竞争系数文章分析了当以上系数满足一定关系时，上述问题解的整体存在 性以及爆破性质带非局部源的抛物方程还应用于许多其他领域，在这里不一一列举，参 见【1 0 _ 1 3 】 在理论上带非局部源项的抛物方程得到许多学者的关注在 1 4 】中，作者讨论了下面 问题解的性质： 饥一d 让= z u 口( z ，t ) 如一七矿，z q ，亡 。， u ( z ，o ) = u o ( z ) ， z q ， t ( z ，t ) = 0 ，或者玩a = 0 ， z a q 更一般形式的带非局部源的抛物方程解的定性分析可见文【1 5 】在该文中，作者研究 了下面两种边界条件下初边值问题解的爆破性质： 舰= u + 上m ( 叫) ) 如，( 州) 眈 a u ( z ，t ) a 王，= o ，( z ，亡) s ， 让( z ，0 ) = 乱o ( z ) ， z q 和 让t - 让+ 上伽( 叫) ) 如，( 翻 让( z ，t ) = 0 ，( z ，亡) s ， t 正( z ，0 ) = 蜘( z ) ， z q 东南大学硕士学位论文 3 文章指出当，( s ) o ，( s ) o ，( s ) 是凸的，并且- 厂南d s o 时上述 问题的解在有限时间爆破 与理论上取得的成果 1 6 _ 1 9 】相比，带非局部源项的抛物方程的数值方法的研究进展 缓慢，目前几乎没有这方面的结果 本文研究下面的抛物方程初边值问题的数值方法： 警一让= 上弛 啦e + 出 u ) ，( 础) q ( 。，卅? 嘶u + p ( 叫) 筹= 出 让) ，( 州) a q ( o ，孔 t 正( z ，o ) = 呦( z ) ， z q ， ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 其中q 是佗维矩形区域，= f 昙，是a q 单位外法向这是一个具有非局部源项 ：；d 戤 的半线性抛物方程初边值问题，其边界条件也是非线性的我们用单调迭代方法逼近问题 ( 1 1 ) 一( 1 3 ) 首先利用向后e u l e r 格式和复化梯形公式给出了( 1 1 ) ( 1 3 ) 的一个差分格式， 这是一个非线性格式为了求解差分方程的解，我们给出了该差分格式的一个迭代格式 利用离散的极值原理证明了该迭代格式的单调性和收敛性我们也证明了差分格式的解 收敛到初边值问题( 1 1 ) ( 1 3 ) 的解数值算例显示本文提出的方法是有效的 本文安排如下：第2 章给出( 1 1 ) ( 1 3 ) 的离散系统以及离散系统的上、下解的定义在 第3 章，我们给出了一个修正的迭代格式以及离散系统的极值原理，并证明使用上、下解 作为迭代初值时，迭代序列收敛到唯一的数值解在第4 章，我们证明当空间步长与时间 步长趋于。时，离散系统的解收敛于连续问题( 1 1 ) ( 1 3 ) 的解在文章的最后，我们给出两 个数值算例以验证理论分析的结果 第二章离散系统及其上下解 2 1 离散系统的建立 我们记q 是r p 空间的有界矩形区域，硼表示q 的边界，q t = q ( o ，卅，岛= 讹 ( o ，列我们对时间和空间都采取等步长离散，设多重下标i = ( i 1 ，绉) ，缸= o ，1 ，尥+ 1 ，= 0 ，1 ，p _ 尥为沿z 坐标方向的内部网格点的总数，则甄= ( 翰，z t ：，z ，) 可表 示q 上的任一网格点令a = ( t ，n ) i ( 筑，t ”) q t ) ，r = ( i ，n ) i ( 翰，k ) 踯) 设z p 坐标方向的步长z p = 札，我们用e 表示r p 空间中第矿个分量为b ，其余分 量为。的向量于是由标准的二阶中心差分格式得 p 乱( 婉，k ) 圭 i 2 ( 玩+ e ，k ) 一2 u ( 耽，k ) + t ( 兢一危p e ，如) 】 设丁为时间步长，对于让t 采用向后差分格式，即珏t ( 甄，如) 壶导阻( 翰，k ) 一u ( 戤，k 一1 ) 】 而对于厶，( z ，亡，让) 如，我们采用复化梯形公式来逼近 在一维情况下 胁肛鲁詈小柏柚m ， 其中 是空间步长 在二维情况下 加蛐亏竽詈篆小m m 钳蛐m 钳一， + d ( 危；+ 九；) ， 其中是翰方向上的步长，t = 1 ，2 推广到n 维的情形，记九2 = 九i + + 醒， 胁- 叫虮一警馨笞叭，一。弛针圳 + d ( 2 ) ， 其中是甄方向上的步长，i = 1 ，2 ，竹 东南大学硕士学位论文5 为了方便描述，我们记地一= u ( 飘，t n ) ，q i ，n = q ( 托，k ) ，屈，n = p ( 甄，k ) ，( i ，馆) au r ，巩= 阢，ni ( i ，n ) a u r ，n = 后) 以及用t ( ，( z ) ，q ) 表示，( z ) 在q 上的数值积分 这样我们得到问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的有限差分系统： 1p 纠阢，n 】= 刍阢，n 一阢，n 一1 】一阢，n 。 胆1 = t ( ， ，亡n ，) ，q ) + g ( 如，t n ，阢，n ) ，( i ，n ) a( 2 1 ) 纠阢，n 】= 妒( 戤，k ，矾，n ) ，( 1 ，竹) f ， ( 2 2 ) 阢，o = 咖( z t ) ， z t q ( 2 3 ) ( 2 2 ) 中的边界离散算子b 陬，n 】三啦，nj 玩一qi _ 1 ( 矾，n 一竹) + 屈，佗阢，n ，其中兢勰， 毪 为q 内的关于甄的相邻网格点，差分格式( 2 1 ) 一( 2 3 ) 是一个非线性方程组 2 2 上、下解的定义 定义1 设函数反，”= 1 9 r ( 黝，k ) ，玩，n = 疗( 观，如) ，如果政，疗政，竹，且分别满足不等式 与不等式 纠玩，n 】t ( ， ，如，瓯) ，q ) + 夕( 翰，如，晚，n ) ，( i ，) a ， b 【玩，n 】妒( z t ，t n ，玩，n ) ，o ，n ) r ， 阢，n t 正o ( z ) ， z t q 三【政，n 】t ( ， ，瓯) ，q ) + 夕( 甄，k ，玩，n ) ，( i ，n ) a ， b 【玩，竹】妒( z t ，玩，n ) ，g ，n ) r ， 玩，o 咖( z t ) ， z i q 则晚，n ，玩，住分别称为( 2 1 ) ( 2 3 ) 的一对有序上、下解 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 对于上述定义的上、下解，我们定义集合天饥= 阢，n i 玩，n 阢，n 玩，竹，( i ，佗) 东南大学硕士学位论文 6 au r ) 使用政，n 与阢，n 作为初值，对m = 1 ，2 ，建立下列迭代格式： l 【u 譬】= t ( ，( z ，t n ，u 卜1 ) ，q ) + 夕( 戤，如，u 譬一1 ) ， ( i ，n ) a ， b 【v 器】= 妒( 甄，k ，u 器一1 ) ， ( t ，扎) r ， 嘧= 咖( 轨) ，戤q 然而使用上述迭代格式，我们无法保证迭代序列的单调性与收敛性为了克服这样的 缺陷，必须对上述的迭代格式进行修正具体在下一章进行讨论 第三章修正的迭代格式 3 1修正的迭代格式与极值原理 首先我们对，( z ，亡，u ) ，夕( z ，t ，让) 作如下假设： 假设1 对任意钍，可，牡钉，存在函数，y ( z ，舌) o ，入( z ，亡) 一如7 出矿 o ，叩 1 ，且 7 ( z ，亡) ，a ( z ，亡) ，叼( z ，t ) c ( 囝t ) ，使得，( z ，亡，u ) ，夕( z ，亡，u ) ，妒( z ，t ，t ) 满足： ，( z ，t ，u ) 一，( z ，t ，口) ，y ( u 一口) ， 9 ( z ，亡，让) 一夕( z ，t ，钳) 一入( u 一钞) ， 妒( z ，t ，u ) 一妒( z ，亡，口) 一叼( 让一钉) 假设2 对任意u ， ，缸移，存在连续函数f ( z ，剪) o ，e ( z ，亡) ，口( z ，t ) ，且f ( z ，t ) ，e ( z ，亡) ， p ( z ，t ) c ( 国t ) ，使得，( z ，亡，珏) ，9 ( z ，t ，u ) ，妒( z ，舌，钍) 满足： ，( z ；t ，仳) 一，( z ，亡， ) 毒( t 一口) ， 9 ( z ，t ，u ) 一夕( z ，亡，秒) e ( t 正一 ) ， 妒( z ，亡，u ) 一妒( z ，t ，口) p ( u 一 ) 利用上述的7 ( $ ，古) ，入( z ，亡) ，我们构造下面的修正的迭代格式： 驯略】- t ( 一y ( z ，如) 咿) ，q ) + 丸，n 略= t ( 他，亡n ，咿一1 ) 一，y ( z ，t n ) 咿一n ，q ) + 夕( 戥，k ，u 器一1 ) + a t ，n u 墨一， g ，n ) a ， b 蟛】+ 蛳眩= 妒( ，嗽_ 1 ) + 喀q ， ( t ，扎) r ， 嘧= ( 玩) ，祝q 下面给出离散系统的极值原理 定理3 1 设7 ( 茁，t ) o ，若网格函数玩，n 满足下面不等式。 l 【阢，竹】一t ( 7 【，q ) + 九，竹阢，n o ，0 ，n ) a ， b 阢，n 】+ 玩，馆阢，n 0 ，0 ，礼) r ， 阢o2o ， 戤q 7 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 东南大学硕士学位论文 8 且九，n t ( 7 ，q ) o ，展，n + 6 ，n 0 ，其中盯为某一正常数，则有阢，n 0 证明令阢，n = ( 1 一7 ) 一警k ，n ，其中k o ，刀( o ，1 ) 均为待定常数，作代换后( 3 4 ) 一( 3 6 ) 变为 1p 圭【k ，一( 1 一，7 ) 吾k ，n 一1 】一p k ，n t ( ，y ，q ) + ，礼k ，n o ， l ，= 1 i 甄一毪j _ 1 ( k ，n k n ) + ( 觑，n + 玩，n ) k ，n o ， k o 0 假设在某些点上阢，n o ，易知，n o 这样一定存在点( i o ，礼o ) a n r 使得，伽达到 a nr 上的负的最小值假设，n o 在q t 内部取得因为，y o ，所以 ，伽一( 1 一? 7 ) 吾，伽一1 】一p 。，伽一t ( ，y ( z l c o ，t 伽) ，伽，q ) + k ，伽，加 工，= 1 1p 圭【k 。，伽一( 1 一叼) 吾。，伽一1 】一”，f 1 0 一t ( 7 ，) ，q ) + 入硒，伽，伽 。 l ，= 1 o 于是得到 睾【k 。，伽一( 1 7 7 ) 吾k 。，伽一1 】一p k 。，l o t ( 7 ( z 小) k 。，伽，q ) + 入硒，加，伽o ，( 3 7 ) l ，= 1 又因为p ，加o ，所以 p = l 刍，l o 一( 1 一，7 ) 吾，加一1 】一t ( ，y ( z 硒，) k 。，伽，q ) + 九。，伽k 。，伽o ， 即 【睾+ 入妣加一( t n ，) ，q ) 】，伽一( 导( 1 7 7 ) 三k 。，加一t ) o 我们取k = 7 ，当叩充分接近1 时，则由于吾+ 九，n t ( 7 ，q ) o ，上式的符号由，加 决定，这样 圭【k 。，啪一( 1 一叩) 吾，伽一1 】一t ( 7 ( z 幻，t 伽) ，伽，q ) + k ，伽k 。，伽 0 是常数，函数q ，卢连续非负并且a + p o ，c 连续有界 0 = 1 ，2 ) ，且c 2 o 如果t c 2 ，1 ( q t ) nd 1 ，o ( 国t ) 满足 魂一d 让c 1 0 ，亡) t + c 2 ，亡) 牡d 秒， 0 ，t ) q t ， ，n 伽+ p 筹 0 ( 叫) 曲， 让( z ，0 ) 0 ， z q ， 则在囝r 上让o 定理4 2 假设( 1 1 ) ( 1 3 ) 存在一对有序的上、下解屯，面且函数，、9 满足假设1 、假 设2 ，那么分别利用上、下解作为初值，由迭代格式( 4 1 ) 一( 4 3 ) 生成的迭代序列面( m ) 与笪( m ) 分别从上方和下方单调收敛到( 1 1 ) 一( 1 3 ) 在陋，面】内的唯一解u ，此解即方程( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的 解 证明当选择上解砬作为迭代初值时，产生迭代序列 面( 仇) ( 戤，t n ) 】枭o ，利用极值原 理可以证明 面m j ( 甄，如) 黯。单调下降且收敛，即存在位( 耽，k ) ，使得i 堡面m ( 戤，如) = 霞( 瓤，屯) 且 砬( 翰，亡n ) = 面( o ) ( 戤，t n ) 面( 1 ) ( z l ，t n ) 面( m ) ( 既，亡n ) 霞( z ，k ) 若选择下解面作为初值迭代时，产生迭代序列 塑( m ) ( 观，) ) 怒o ，利用极值原理可以 证明 笪( m ) ( 雹，k ) 船。单调增加收敛，即存在笪( 既，k ) ，使得h m 笪( m ) ( 瓤，t n ) = 笪( 甄，k ) 且 一竹lo。 面( 兢，) = 墅( o ( 兢，) 笪( 1 ( 反，) 堑( m ( 兢，t n ) s 笪( z t ，) 且有面( m ) ( 玩，k ) 堑( m ) ( 观，如) ，m 1 这样我们可得豇( 甄，t n ) 笪( 托，如) 又由于上解满足方程： 砚一面一上f ( z ，亡) 面+ 如= 上( ，( z ，t ，面) 一( z ，亡) 面) 如 + 夕( z ，t ，面) + ( 面，( z ，亡) q t ， ( 口+ q ) 面+ p 荔= 妒( 叫，雹) + 舰，( 叫) 曲， 面= 妒( z ) ，z q ， 1 4 东南大学硕士学位论文 f 解满足方崔： 弛一笪一上f ( z ，t ) 笪+ ( 堑= 上( ，( z ，t ，笪) 一毒( z ，亡) 笪) 如 + 9 ( z ，亡，笪) + e 笪，( z ，亡) ( 了t ， p 十口) 堑+ p 券= 妒( z ，t ，笪) + 口笪 ( z ，t ) 曲， 笪= 妒( z ) ， z q 令z ( 甄，k ) = 面( 戤，) 一笪( 戤，k ) ，两式相减得 忽一名一上( z ，亡) z + e 石= 上( ，( z ，亡，面) 一，( z ，亡，笪) ) 如一上毒( z 一笪) 如 + 夕p ，亡，面) 一夕 ，t ，笪) + e 名，0 ，t ) q t ， ( 9 + q ) z + 卢嘉= 妒( z 面) 一妒( z 笪) + 如， ( z ，t ) 曲， 名= 0 z q 根据假设2 可知，忽一z 一如毒( z ，t ) z + 弘o ， + 0 1 ) 名+ p 貉o 再由定理4 1 可得 u ，) 面( 磁，k ) 纵上证明，有面( 甄，k ) = 笪( 翰，如) 定理得证 4 2 离散迭代格式的收敛性 将问题( 4 1 ) - ( 4 3 ) 进行离散，得到离散方程： l 【略卜t n 时) + 九，n ( 嘴) = t ( ，( z ，亡，时一1 ) 一7 时一1 ) + 夕( 戤，k ，w 留一1 ) + 九，n w 留一1 + o ( 九2 + 7 - ) ， ( i ，佗) a ，( 4 4 ) j e i 【哦：】+ 仇，n w 留二妒( 翰，t ”，w 留一1 ) + 吼一w 留一1 + o ( 七+ r ) ， ( z ，亡) s ，( 4 5 ) 哝= 妒( 娩) ，江o ，1 ，m ( 4 6 ) 需要指出的是上述离散系统的截断误差d ( 胪+ 丁) 与p 有关，当卢= o 时，误差精度 p 为d ( 2 + 7 ) ；当p o 时，误差精度为d ( 危+ 丁) 其中九2 = 九； p = 1 假设( 1 1 ) 一( 1 3 ) 和( 2 1 ) 一( 2 3 ) 分别存在有序的上、下解砬，面和锄，n ，锄朋且在an r 上， 锄一= 砬( k ) ，锄，n = 证( ) 设让( z ，亡) ，阢，n ，眩，t ( m ) ( z ，亡) ，畦：分别是( 1 1 ) 一( 1 3 ) ， ( 2 1 ) 一( 2 3 ) ，( 3 1 ) 一( 3 3 ) ，( 4 1 ) 一( 4 3 ) ，( 4 4 ) 一( 4 6 ) 的解 1 5 东南大学硕士学位论文 令函数拶= 略一嗳：，则有 l u ( 甄，k ) 一阢，n i i 让( 规，k ) 一u m ( z ，t n ) i + i u 器一阢，n l + i ：l t ( m ( z ，亡n ) + w 蛮 由前面的讨论知，对任意e o ，存在m + ( e ) ，扩( e ) 当m m ( e ) ，r + 2 扩( e ) ，对所有 g ，礼) a ur ，有 i u 器一阢，n i m ，r + 2 1 ) 于是上面的矩阵形式可 以变形为： z 驴) = a ：2 【f ( 巩m 一1 ) 一f ( w 套仇一2 ) 】+ a ：2d ( m ( 知+ 丁) 显然a i 。的谱半径p ( a i l ) a 纛 1 这样收敛性的证明转化为证明，对m 仇事，当 f + 七_ o 时，0z ? l i _ o 1 6 东南大学硕士学位论文 1 7 引理4 1 【4 】设o ，6 ，c 为正常数，且n o ，当m 仇，r + 2 0 ，m m 。，当七+ r 6 时，口0d ( m ) ( 胪+ 丁) i i e 且 0 毋l l = 0 毋忙o ，于是由引理4 1 ，可得l i 办i l q ，c e 成立其中倪，c 是关于n ，c 的 正常数再由e 的任意小性，定理得证 第五章数值试验 5 1数值试验 例1 考愿卜圆明初迈但l 叫题 哆一珏= z 1 让2 如+ 2 乞一丢e 蕊( 1 一s i n 1c o s1 ) ， ( z ，亡) ( 。，1 ) ( 。，1 】， 赛t u b = 一乒，亡( o ，1 】， 等+ 心i 筘1 = ( s i n 1 + c 0 81 ) 一让2 + e 2 n 21 ，毋( o ，1 】， 该方程的真解为让= e 。s i n z ，我们选择下解u = 一2 作为初值进行迭代因为筹o ，在 边界上喾一3 我们选择，y = o ，入= o ，7 = 3 ，采用迭代格式( 3 1 ) 一( 3 3 ) 进行迭代 迭代结果如见表5 。1 表5 5 数据 由于本例是混合边界条件，按理论迭代的误差为o ( 九+ 丁) 表5 5 给出了不同的剖分 情况下，最终的迭代数值解与精确解之间的误差可以看出，迭代效果与理论分析一致 我们的初始值选择的是下解，所以数值解应该是从下解单调递增收敛于迭代解，为了 显示出这种迭代收敛趋势，我们给出3 幅图 图5 1 是当t = 1 时的不同迭代次数的效果图图5 2 是当z = o 时的不同迭代次数 的效果图图5 3 是当z = 1 时的不同迭代次数的效果图 例2 考虑下面的微分方程初边值问题 毗一u 砧一让鲫= z i 乞如咖一丢e t 【e 2 1 】2 一仡，( z ，! ，t ) ( 。，1 ) 2 ( 。，1 】， t ( z ，! ，t ) i 霉：o = e 。+ ? 一t 2 + ( e 。+ 幻) 2 ，t 正( z ，可，t ) l $ ：1 = e + 2 + 幻， 亡( o ，1 】， “( z ，句l 暑，：o = e 。+ 缸一让2 + ( e + 2 霉) 2 ，u ( z ，矽，亡) f 暑，：1 = e + 2 + 缸，t ( o ，1 】， 钍( z ，秒，亡) l t ：o = e 2 z + 幻，( 。，) ( o ，1 ) 2 已知此方程的真解为u = e 件缸+ 加，我们选择u = 1 5 0 ，( z ，! ，亡) ( o ，1 ) 2 ( o ，1 】；t = 2 1 ，z = o 一( o ，1 】；u = 2 1 ，可= o ，亡( o ，1 】作为初值，选择，y = 1 ，a = 7 ，7 = 5 0 ，采用迭代格式 ( 3 1 ) 一( 3 3 ) 进行迭代计算结果见表5 屉表5 1 0 】r 东南大学硕士学位论文 由于本例是d i r i c h l e t 边界条件，由理论分析知迭代的误差为d ( 九2 + 7 - ) 表5 1 0 给出 了不同的剖分情况下，最终的迭代数值解与精确解之间的误差可以看出，迭代结果与理 论分析一致 与例1 不同的是，我们选择了上解进行迭代，按照理论分析，随着迭代次数的增加迭 代序列应单调递减收敛于迭代解为此，我们给出了三幅迭代的趋势图为了清晰地显示 迭代趋势，图所反应的是随着迭代次数的增加，不同迭代次数下的迭代值与充分迭代后的 值之间的误差 图5 4 是0 = o ，t = 1 ) 时的不同迭代次数的趋势图图5 5 是( z = o 9 7 5 ，亡= 1 ) 时的 不同迭代次数的趋势图图5 6 是 = 詈，t = 1 ) 时的不同迭代次数的趋势图 从上面的两个算例可以看出本文得到的方法是有效的 1 9 东南大学硕士学位论文 总结，l ： ；租 本文研究了带非局部源项的半线性抛物方程初边值问题的单调迭代方法利用差分 和复化梯形公式将方程进行离散化，构造了问题( 1 1 1 3 ) 的迭代格式借助带非局部源的 极值原理，我们从理论和数值计算两方面研究了该格式的有效性 我们认为文章有以下方面可以进一步深入探讨： 1 我们分析的抛物方程可以进一步推广到下面的一般形式： 毗一口巧t 正+ 玩( z ，亡) 也u + c ，亡) t 上= ， ，亡，钍) 如+ 夕( z ，亡，也) ， g 乱+ p 嚣= 比 札) ， u ( z ，0 ) = u o ) 在这种情况下，相应结论可以类似得到 2 非局部源项中函数，( z ，t ，t ) 的条件可以推广到，( z ，t ，u ) 一，( $ ，亡，掣) 7 ( 缸一钉) ，其中 ，y c ( 国t ) 在这种情况下如何构造迭代格式，并保证格式的有效性，这是今后需进一步研 究的问题 鱼鱼堡兰堡兰兰垒垒塞1 表5 1 ：算例1 ：步云取【 = 亩，7 - = i 拓， 町明透代结呆 t = 0 2亡= 0 4亡= 0 6t = 0 8t = 1 - 0 x = 0 1 9 8 6 6 9 3 b 0 1 3 8 9 4 1 8 3 e 0 15 6 4 6 4 2 5 b 0 l7 1 7 3 5 6 1 b 0 18 4 1 4 7 1 0 b 0 1 x = 0 22 3 9 9 6 9 9 e 0 14 7 1 5 6 0 9 e 0 16 8 3 6 0 3 3 b 0 18 6 7 5 5 1 6 b 0 11 0 1 6 1 9 4 e + 0 0 x = 0 42 8 9 4 5 5 9 e 一0 15 7 1 5 0 7 2 b 0 18 3 0 5 7 0 9 e 0 11 0 5 6 3 0 2 e + 0 0 1 2 3 9 8 4 8 e + 0 0 x = 0 63 5 0 8 3 2 4 e 0 16 9 4 8 9 2 2 e 0 11 0 11 6 5 0 e + 0 01 - 2 8 8 4 8 1 e + 0 0 1 5 1 4 4 8 7