（一般力学与力学基础专业论文）解析数值法研究带有任意集中质量薄板的动力学特性.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文摘要在工程上，有很多结构可以简化成带有集中质量的薄板，我们有必要研究带有集中质量的薄板的振动特性，进而控制它的振动。本文运用一种新的方法解析数值法来研究带有集中质量薄板的动力学特性。该方法是将附加质量引起的惯性力当作外载荷作用在均匀薄板上，运用模态分析技术得到特征值方程，通过求解该特征值方程即可得到带有任意集中质量薄板的固有频率及对应的振型。首先运用解析数值法推导出了四边简支、四边固支、两边简支两边固支的带有任意集中质量的矩形薄板的振型和频率的计算公式。然后推导出了四边简支、四边固支、两边简支两边固支的带有任意集中质量的矩形薄板在集中载荷作用下动响应计算公式。最后基于m a t l a b ，进行仿真计算，并且利用有限元方法计算它们的频率和振型，进行误差分析。根据理论分析和数值仿真结果，可以看出：在已知某种边界条件的均匀薄板的固有频率和振型的条件下，解析数值法可以计算该种边界条件下带有任意集中质量薄板的固有频率和振型。求得带有集中质量的薄板的固有频率和振型之后，解析数值法可以计算它在集中载荷作用下的动响应。解析数值法可以计算复杂的带有集中质量的薄板的频率，并且比有限元方法花费更少的时间。关键词：解析数值法；集中质量；薄板；固有频率；动力响应哈尔滨工程大学硕士学位论文a b s t r a c tm a n ys t r u c t u r e sc a nb es i m p l i f i c a t e dt ot h i np l a t ew i t hp o i n tm a s s p 恣i ne n g i n e e r i n g , t h e r e f o r e ，t h ev i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i co ft h i np l a t ew i t hp o i n tm a s s e sn e e dt ob es t u d i e df o rt h ep u r p o s et oc o n t r o li t t h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h i np l a t ew i t ha n yn u m b e ro fp o i n tm a s s e sa r cs t u d i e dw i t han e wm e t h o dn a m e l ya n a l y t i c a la n dn u m e r i c a lc o m b i n e dm e t h o d( a n c m ) i nt h i sp a p e r t h i sm e t h o di st h a tt h ei n e r t i af o r c eo ft h ec o n c e n t r a t e dm a s s e si sc o n s i d e r e da st h ee x t e r n a le x c i t i n gf o r c ew h i c ha c t so nt h i np l a t e ，a n dt h ec h a r a c t e r i s t i cv a l u ee q u a t i o no ft l l i np l a t ew i t ha n yc o n c e n t r a t e dm a s s e si so b t a i n e db yu s i n gm o d es u p e r p o s i t i o nt e c h n i q u e ，t h en a t u r a lf r e q u e n c ya n dm o d e sa r eo b t a i n e db ys o l v i n gt h i se q u a t i o n f i r s t l yt h ef r e q u e n c ya n dm o d e sf o r m u l a eo fr e c t a n g l et h i np l a t eo fs i m p l ys u p p o r t e do nf o u rs i d e s ，f i x e d l ys u p p o r t e do nf o u rs i d e s ，s i m p l ys u p p o r t e do nt w os i d e sa n df i x e d l ys u p p o r t e do nt w os i d e sw i t ha n yc o n c e n t r a t e dm a s s e sa r eo b t a i n e db a s e do na n c m t h e n ，t h ed y n a m i cf o r m u l a so fr e c t a n g l et h i np l a t eo fs i m p l ys u p p o r t e do nf o u rs i d e s ，f i x e d l ys u p p o r t e do nf o u rs i d e s ，s i m p l ys u p p o r t e do nt w os i d e sa n df i x e d l ys u p p o r t e do nt w os i d e sw i t ha n yc o n c e n t r a t e dm a s s e ss u b j e c tt op o mf o r c e sa r eg i v e n f i n a l l y , t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o ni se x e c u t e db a s e dm a t l a b ，a n df r e q u e n c ya n dm o d es h a p e sa r ec a l c u l a t e dw i t hf i n i t ee l e m e n tm e t h o df o re r r o ra n a l y s e s a c c o r d i n gt ot h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dt h er e s u l to fn u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，t h ec o n c l u s i o n sa r ca sf o l l o w s ：a f t e rt h en a t u r a lf r e q u e n c ya n dm o d e so fu n i f o r m i t yt h i np l a t ew i t hc e r t a i ns u p p o r t e da r ek n o w n ，t h en a t u r a lf r e q u e n c ya n dm o d e so ft h i sp l a t ew i t ha n yc o n c e n t r a t e dm a s s e sc a l lb ec a l c u l a t e db a s e do na n c m a f t e rt h en a t u r a lf r e q u e n c ya n dm o d e so ft h i np l a t ew i t ha n yc o n c e n t r a t e dm a s s e sa r eo b t a i n e d ，t h ed y n a m i cr e s p o n s eo ft h i np l a t ew i t ha n yc o n c e n t r a t e d哈尔滨工程大学硕士学位论文m a s s e ss u b j e c tt op o i n tf o r c e sc a nb ec a l c u l a t e db ya n c m n ef r e q u e n c yo fc o m p l i c a t e dt h i np l a t ew i t ha n yc o n c e n t r a t e dm a s s e sc a nb ec o m p u t e db ya n c m ，a n dt h et i m ec o s ti sl e s st h a nf e m k e y w o r d s ：a n c m ；c o n c e n t r a t e dm a s s e s ；t l l i np l a t e ；n a t u r a lf r e q u e n c y ；d y n a m i cr e s p o n s e哈尔滨工程大学学位论文原创性声明本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。作者( 签字) ：雷杯和日期：2 瞅年石月停e l哈尔滨t 稗人学硕十学何论文弟 r r1 章绪论1 1 本文研究的目的和意义在航空、航天、船舶等结构上，大量采用板壳结构。因为应用的广泛，使学者对板壳结构的研究越发重视，由于薄板的二维结构作用，使它的结构比较轻，因此也就具有很大的经济价值，也就大大促进了薄板在工程的广泛应用，很多结构，如集装箱、船舶等要求完全封闭的结构，使用板就能很容易的满足这一要求，这样就又进一步达到了节省材料和劳动力的效果。虽然薄壳结构也可以达到上述优点，甚至效果能更好些，但是由于很多的结构构件需要有平面条件，因此防碍了使用具有单曲面或双曲面的结构，利用壳体的三维承载能力可以达到更多的节省材料的效果，但是，由于它的造价比较高，这一效果也就被抵消了，所以还是愿意采用薄板结构。这就使对具有薄板结构的研究也越来越有意义【1 1 。但是，对于舰船甲板和外壳、海洋平台导管架结构来说，受力情况异常复杂。很多薄板上装有精密仪器设备，我们可以把它们看成是一种带有集中质量的薄板。在使用过程中，可能受到比较严重的振动，振动会影响精密仪器设备的功能、降低加工精度、加剧构件的疲劳和磨损，缩短机器的使用寿命，最为严重的是会影响结构本身的安全和正常使用，所以带有集中质量的薄板静力特性及动力学特性的研究具有很大的工程实际意义。目前工程上研究带有集中质量薄板的动力学特性主要借助有限元软件，如a n s y s ，p a t r a n n a s t r a n 等。船舶等大型复杂结构的动力学特性时，要寻求一种更加有效的求解方法。1 2 薄板动力学特性研究现状但是这些软件在求解像航空、航天和需要花费大量的机时。所以我们有必对于实际工程中各种力学问题的分析和计算，一般在计算范围内建立起控制微分方程，然后用有限元法【2 】【3 1 、有限差分法【4 1 、边界元法1 5 】1 6 】等方法进哈尔滨f ：稗火学硕十学何论文行计算。对于薄板振动问题的研究，国内外学者已经作了大量的研究工作。关于薄板的振动微分方程首先由法国数学家歇曼( s o p h i e g e r m a i n ) 于1 8 1 1 年得到，尽管有所缺陷，但却为后人在此基础上进行薄板振动的研究做出了贡献1 7 1 【8 1 。1 8 2 3 年，维纳( c l n a v i e r ) 得出的板弯曲理论比较完善，在求解某些边界值时，利用了f o u r i e r 三角级数使微分方程转换为代数式，得以求出精确解【7 1 【引。1 8 5 0 年，克西霍夫( g r k i r c h o f f ) 发表了重要论文，在论文中阐述了现在得到接受和肯定的两个基本假定：( 1 ) 原来垂直于平板中面的直线，变形后仍然保持为直线并且垂直于变形后的中面，即直线法假定。( 2 ) 在横向荷载作用下薄板产生微弯时，板的中面并不伸长。在这两个基本假定的基础上，克西霍夫导出了著名的薄板弯曲微分方程i8 1 。曾映娟根据自由边界的特性，利用受限自由边界的概念以及振型方程的线性性质，利用叠加法，解决了具有自由边界矩形板的动力分析这一难题l 引。张英世等给出了文克尔地基上矩形薄板自由振动和强迫振动的微分方程并求得其通解。给出了振型函数的表达式及常见支承条件下板的频率方程，用广义函数讨论板在各种荷载作用下的强迫振动响应1 1 0 】。许琪楼等提出一对边简支一对边自由矩形板白振频率的正确振型函数表达式及频率方程【1 1 】。陈玉骥利用虚功原理，证明了薄板小挠度弯曲问题的功的互等定理，推出了求解矩形薄板的自然频率的公式【1 2 】。1 3 带有集中质量的矩形板动力学特性研究状况在过去的5 0 年，由于矩形板广泛运用于土木工程、机械工程和航空工程等领域，所以对矩形板的自由振动的研究一直在积极进行着，并且积累了大量的这方面的研究文献和工作经验。现在我们已经能足够精确确定不同边界条件组合的矩形板的固有频率和振形，特别是能够精确确定对于工程实践领2哈尔滨t 稃人学硕十学位论文域非常重要的低阶振形。在工程中我们越来越多地碰到带有集中质量和弹性支撑的矩形板。比如，建筑结构工程、桥梁和船甲板中的胶粘板、覆面板。所以对其振动特性如固有频率、振型和动响应计算的研究是非常重要的。而国内研究带有集中质量薄板自由振动的文献较少，有有限元、边界元【1 3 l 、傅立叶衰减级数【1 4 】、共形映射【1 引、变分【1 6 1 等方法，但解法繁琐复杂，不便于工程计算。国外该领域研究比较活跃【1 7 , 1 8 】，1 9 3 3 年，g e r s h g o r i n 1 9 】给出了带有集中质量的四周简支的标准矩形板的封闭形式的解。1 9 6 4 年，a m b a - r a o l 2 0 l 给出了另外一种形式的封闭解。1 9 6 8 年，m a g r a b 2 1 j 运用拉普拉斯变换和三角级数的方法扩展了a m b a - r a o 的解，将矩形板的边界条件扩展为两对边简支，另外两对边要么简支，要么固支，要么自由。1 9 6 9 年，s h a h $ i d a t t a 2 2 】推导出不同约束边界条件的矩形板的运动学方程。尽管对于任意数量带有转动惯量的集中质量的矩形板，该理论是正确的，但是只能给出带有转动惯量的单个集中质量的矩形板的封闭解。1 9 9 3 年，i n g b e re ta l l 2 3 】运用模态分析技术和数值上混合边界元法，研究了带有质量弹簧系统的夹支矩形板的振动问题。同年，b e r g m a ne ta l 2 4 j 给出了两对边简支，另两对边简支、央支、自由，并且带有一个无阻尼单自由度线性振荡器，中心刚性支撑的矩形薄板的封闭解。b o d y 2 5 】分析了集中质量对板固有频率的影响，他采用的方法是瑞利能量方法。1 9 9 5年，l i n 矛d l i m 2 6 】用模态叠加技术计算了带有任意质量和刚度修正板的固有频率。1 9 9 7 年，c h a z 7 j 运用混合法分析了带有一个集中质量简支矩形板的自由振动。1 9 9 8 年，d o w e l l 矛l l t a n g 2 8 j 研究了带有一个集中质量和弹簧的矩形板的高频响应问题。目前，对于解决带有集中质量的薄板的振动问题大多采用传统有限元( f e m ) 的方法，解决起来也是相当容易的，但是却需要大量的计算时间。另一种方法是解析一数值混合法( a n c m ) ，该方法既避免了纯解析法的数学困难，又不需要像有限元那样耗费大量的运算时间。1 9 9 0 年，j s w u 【2 9 j 第一个运用解析数值混合法计算了带有任意个集中质哈尔滨t w 人学硕十何论文量标准欧拉梁的固有频率和振形。随后，该作者1 3 0 l 在1 9 9 5 年又将该理论扩展到带有平移的、转动的弹簧和有转动惯量的集中质量的铁摩辛科梁的自由和受迫振动。解析数值法具有计算速度快，精度高，编程简单等特点。1 4 本文的主要工作1 用解析数值方法推导出四边简支带有任意个集中质量的薄板的振型、频率和动响应的计算公式。2 用解析数值方法推导出四边固支带有任意个集中质量的薄板的振型、频率和动响应的计算公式。3 用解析数值方法推导出两边简支两边固支带有任意个集中质量的薄板的振型、频率和动响应的计算公式。4 基于m a t l a b ，对已经推导出的四周简支，四边固支，两边简支两边固支带有集中质量的薄板的频率、振型和动响应计算公式进行编程计算，并且利用有限元方法计算它们的频率，进行误差分析。4哈尔滨t 袢人学硕十学何论文第2 章薄板振动的基本理论按板的结构特点( 几何尺寸，受力情况等) ，板可分为厚板，薄板( 刚性板及柔性板) ，薄膜等。如果板的厚度t 远小于中面的最小尺寸b ，这个板就称为薄板，否则为厚板。本文主要应用一种新的计算方法来研究薄板的动力学特性1 3 。2 1 薄板的弹性力学分析2 1 1 几何方程在对板进行分析时，总是令x o y 坐标面与板的中平面重合，而d z 轴垂直中面向下，板的厚度用h 表示，见图2 1 。图2 1 薄板示意图根据弹性力学理论，可以得到薄板的几何方程如下【3 2 】写成矩阵形式为a ua 2 ws ，= = 一z _“缸缸a va z wy2 面一z 矿一抛a 1 ，a 2 w2 百+ i 一盈丽弘阱二5a 2觇2a 2砂22 旦a x a y( 2 1 )( 2 2 )哈尔滨：稗人学硕十。伊论文2 1 2 物理方程空间问题的物理方程为巳= 吉 q 一( q + 呸) ，= i 1 q 一( 吼+ 吼) 】乞= i 1 哆一( q + q ) 2 石岛，2 石坛2 石吃根据绪论中的假设( 2 ) ，忽略了应力分量d ：对于形变的影响，要的形变分量，= 0 ，) ，。= 0 ，) ，弦= 0所以，物理方程成为铲三( q 一q )，= 哥1c r ，一吼)= 吉，2 ( 1 + 肛) 岛( 2 3 )略去了次( 2 4 )( 2 5 )2 1 - 3 内力分析从薄板中沿x 、y 方向取单位长度，厚度为h 的一个单元体，如2 2 。单元体截面上的应力分量合成为单位宽度上的内力，它们是法向膜内力，、n y ；切向膜内力、f ；横向剪力q 、g ；弯矩m ，、m ，；扭矩m 叫、m 。xo在垂直于x 轴截面上，单位宽度的内力为6哈尔滨t 程大学硕十学位论文nx = p 啦q x = 冉n 蹲= 心冉m x = 也| p d zm 嘈z & 乒垂直于y 轴截面上单位宽度的内力为n ，= p 血q ，= - 叠n 搿二也| 。出m ，= f ：2 2c r y z d zm 。= 心。d z由于剪应力互等即- - - g y x ，因此有印；n ，m 叫= m 。( 2 6 )( 2 7 )图2 2 薄板内力图在图2 2 上所示的各内力及内力矩方向规定为正的，如与图示方向相反，则规定为负的。而内力和内力矩是按公式( 2 6 ) ，( 2 7 ) 由应力分量计算出7哈尔滨t 私人学硕十学何论文来的。应力分量的正负规定与弹性力学规定相同，即在外法线同坐标正向相同的截面上，应力指向亦同坐标正向一致为正的应力，反之为负；当外法线同坐标反向时，其上的应力指向，同坐标反向一致为正的应力，反之为负。所以正的内力、内力矩是由正的应力分量形成的，反之亦然，并考虑坐标z 的正负。由于上面所定义的内力及内力矩为单位宽度上的，所以内力的量纲为力1 长度1 ，内力矩的量纲为力1 。公式( 2 - 6 ) 及( 2 - 7 ) 所给出的内力及lj ljlj内力矩充分表征了板的应力状念。而且用它们建立平衡方程时，可以不考虑板的厚度，只用中平面上的单元就可以了。将公式( 2 1 ) 及( 2 5 ) 代入m 、，、m 。、m ，、m 碍诸式中，得到这几个内力和内力矩用位移分量表示的公式。n ，- - - 一丽e h 3i 0v 2 wn y 一丽e h 3 万0v 2 w这样内力m 、q 就同板的挠度w 联系起来了。而”面g h 3 岍( 0 2 w ：邮守)峄一南伊肛窘)m 砂= 一确e h 3 丽0 2 w = m 声( 2 9 )2 1 4 平衡关系由于薄板在外力的作用下处于平衡状态，所以根据平衡条件m 。= 0 ，m ，= 0 ，z = 0( 2 - 1 0 )可以得到薄板的平衡方程为8堕垄! 堡： 矍丕! ：婴鲎生堡塞粤+ 2 尝2 m + 尝啡：0( 2 - 1 1 )觑2觑a ya ，2式中，q ( x ，y ) 是作用在薄板上的横向载荷的集度，即为单位表面积上的面力。2 2 薄板的自由振动薄板的振动问题一般是这样提出的：在一定的横向荷载作用下处于平衡位置的薄板。受到干扰力的作用而发生垂直于中面的挠度和速度，当干扰力被除去后，在该平衡位置附近作微幅振动。之所以只考虑薄垂直于中面方向的横向振动，是因为这和工程实际相符【3 3 1 。弹性薄板横向振动理论的基本假定为：( 1 ) 变形前垂直于中面的直线在变形后仍为一直线，并保持与中面垂直。( 2 ) 忽略沿着中面垂直方向的法向应力。( 3 ) 只计入质量的转动惯性力，而略去其转动惯性力矩。( 4 ) 无沿中面内方向的变形。假定( 1 ) 就是所谓的直线假定，是薄板振动理论的基础。认为法线永远与中面垂直，即横向剪切变形为零。这一假定的实质是使构件内整个变形状态只取决于中面挠曲面形状，将求解三维变形体的问题变为二位挠度曲面的问题。假定( 2 ) 认为垂直方向法应力比弯曲应力小很多。假定( 4 ) 认为中面内部产生拉压、剪切，从而也就没有中面内变形，即认为中面内薄膜力远小于横向荷载产生的弯曲应力。在弹性力学中，我们得到了薄板自由振动的微分方程：、7 4 w4 - 竺2 ；0( 2 1 2 )da t 式中，v 。= f 乓+ 乓1 为双调和算子；历为薄板每单位面积内的质量；觑f揪i 薄板在任一瞬时的挠度为w ；d = 牟为薄板的抗弯刚度，其中e 为弹性1 2 u 一，。j。模量，t 为板厚，v 为泊松比。2 3 弹性体振动的特征值问题弹性体的振动方程可以归纳为特征值问题，这样可以对弹性体振动有个9哈尔滨。i ：稗人学硕+ 学何论文深刻透彻的了解，并可以证明连续系统和离散系统的相似性。假定转动惯量及其他因素可以忽略，下面来分析弹性体的振动【3 引。梁的方程可以写成孑0 2l 叫z j 丽0 2 v 卜聊= 。( 2 1 3 )杆的纵振动方程可以写成， 眇) 詈1 一g ) 汹( 2 - 1 4 )轴的扭转振动方程可以写l 成。v 2 v 2 w + 丝w 一；0其中，移：娶，成：i a 2 u ，百；一02 0 ，影；尘a t 2a t 2o t 2a t 2设为线性微分算子，m 为线性算子，对于上述四个方程，一个常数或关于x 的函数的乘子，则上述四个方程可以归结为l o ) + m = o其中蹦为弹性体变形函数，“为变形函数对时间t 的二阶偏导数。设“= 矽b b o )或“= 驴0 ，y ) q ( t )代入方程并分离变量得到端一m i 莎)口其中a 为常数，这样得到q + 歹切= 0上( 妒) = 埘( 驴)( 2 1 6 )m 相当于( 2 1 7 )( 2 1 8 )( 2 1 9 )( 2 2 0 )这就是弹性体振动的特征值问题。其中a 是特征值，砂是特征函数，或称振型函数、模态函数。方程( 2 1 3 ) 中的m 与离散系统的质量阵相似，1 0埒二矽g脚塑觇g0 g皲以可程方动振的板哈尔滨f ：群人。硕+ 学传论文与离散系统的刚度阵相似，妒与离散系统中的模态矢量相似。可见连续系统和离散系统具有相似性。2 4 模态函数的正交性假设特征值a 是各不相同的且特征函数在弹性体域d 上具有自伴性质 3 a 】，即厶嚷l ( 识) d 仃= 正唿l ( 诈) d 仃( 2 - 2 1 )五诈m 仇) d 盯= 正识m 瓴) d 盯( 2 - 2 2 )其中，谚，九分别是第，阶和第s 阶模态函数。对于第r 、s 阶模态，由方程( 2 2 0 ) 有( 痧) = 以m ( 咖)( 2 2 3 )l ( 晚) = 九m ( 吮)( 2 2 4 )将( 2 2 3 ) 式两边同时乘纯，式( 2 2 4 ) 两边同乘咖，得到识( 办) = 识m ( 咖)谚融) = 九痧m ( 欢)将以上二式在弹性体域d 上积分得正唿l ( 露) d 仃= 五 欢m ( 痧仃j 二诈l ( 识) d 仃；j 二九咖m ( 绣k 仃将上述方程左右两边分别相减得j l 【噍l ( 诈) 。办l ( 嚷) 】d 仃= j 巴【_ 破m 协) 一九痧m ( 噍) 】d 仃由自伴性质的假设有j 巴【霞l ( 诈) 。嚷l ( 织) d 仃= 0进而有( 九一九岘咖m ( 织p 盯= 0由于入r 九s| 天| i 比( 2 2 5 )( 2 2 6 )( 2 2 7 )( 2 2 8 )( 2 2 9 )( 2 3 0 )( 2 3 1 )( 2 3 2 )堕笙堡! ：型盔竺堡堂堡垒奎j i ：咖肘( 啦弦仃= 0，s( 2 - 3 3 )这说明模态函数对线性算子m 具有正交性，同样可以证明模态函数对于线性微分算子l 也具有正交性，即j l 谚( 嚷= 0r s( 2 - 3 4 )2 5 弹性体模态分析考虑偏微分方程l o ) + m ( 厶) = ，o ，r ) + n g b o p ，)( 2 3 5 )表示在域d 上的弹性体。其中l 是关于空间坐标的线性齐次自伴微分算子，包含了弹性体刚度分布情况的信息；m 是关于质量分布的算子，也是空间坐标的函数。作用在弹性域上的激励有分布力i ( p ，t ) 。对于一维问题，分布力是厂( x ，f ) ；对于二维问题，分布力是i ( x ，y ，f ) 。f 疋) 是作用在点p f 处的集中力。6b p ) 是6 的函数，定义为6b p f ) = 0p 乒p f( 2 - 3 6 )正6 一p j ) c r = 1( 2 _ 3 7 )对于一维问题6b x j ) ：0 x 工，( 2 3 8 )舻g - x j 皿= 1( 2 3 9 )对于二维问题6 b x ，y y ) = 0 x 工或y 夕，( 2 4 0 )f f 6 g - - x j , y1 蛔= 1( 2 4 1 )在边界上各点应满足边界条件e l p ，f ) = 0( 2 4 2 )其中岜是线性齐次微分算子，它包含h 对边界法线和切线的导数。在离散系统中，用模态矩阵将系统运动解祸，从而使n 自由度的系统转化为n 个单自由度系统，因此可以方便地求得用主坐标或正则坐标表示的动1 2哈尔滨t 程大学硕+ 学何论文响应。类似的方法也可以求连续系统的动响应。只要把弹性体的运动表示成模态运动的级数，利用模态函数的正交性，就可以将弹性体物理坐标的偏微分方程变换成一系列主坐标或正则坐标的二阶常微分方程组，按单自由度处理。r ，s = 1 , 2 r ，s = 1 , 2 ( 2 4 3 )( 2 4 4 )九；砰；拿r ：1 2 ( 2 4 5 )垅，弹性体的运动是各阶模态运动的叠加，即蹦0 ，) = 办0 b ，o )叫谚0 b ，o ) 】+ m 【谚0 b ，o ) 】= s ( p ，r ) + 一g 弦一p ，)由于算子l ，m 是线性的，上式可以化为三q 谚0 ) 】g ，g ) + m 【谚( p 埔，o ) 】= 厂0 ，) + o 必一p ，)将( 2 4 8 ) 式两边同时乘织) 并在域d 上积分，有咀九l ( 咖) d 咄，0 ) + 咀破m ( 咖p 口鼬)= 上晚【厂，f ) + o b 一p jd o 由( 2 - 4 3 ) 式和( 2 4 4 ) 式得。疡，牙，o ) + e g rt ) = a ，t )其中o ，o ) 是第，阶模态运动的广义力，即q ，p ) = 正办0 驴0 ，rd o - + 谚j 坊o )由方程( 2 5 0 ) 得1 3( 2 4 6 )( 2 4 7 )( 2 4 8 )( 2 4 9 )r = 1 , 2 ( 2 5 0 )sss1 l=1 l峪h肛h邮有0，一严协p k交缸b怔小一舻删橇体为性值弹征哈尔滨丁群人学硕十学位论文亩，o ) + q 2 鸟，g ) = a ，o )，= 1 , 2 ( 2 5 2 )m 7这是一个单自由度系统强迫振动方程，动响应为g g ) ：= lf ：q ，( r ) s i n q o r p 可+ 口，( o ) c o s o gt + 重虫s i n q f( 2 5 3 )r h r w r 。、w r其中玑( o ) 和口，( o ) 为广义位移和广义初速度【3 3 1 。2 6 薄板振动的有限元分析2 6 1 单元的刚度阵在薄板横向振动问题中，通常采用四边形或三角形单元，它们在角点处相互联结。由于相互单元间有垂直于薄板中面的横向力和力矩的作用，所以将每个节点看作刚性节点，这里采用三角形单元【3 3 ，3 4 1 。写成矩阵形式根据薄板理论，仅用中面的横向挠度w 就可完全描述板的变形。因此，如果假定w ( x ，y ) 的位移模式，则在单元边界，不仅w 本身，而j tw 的一阶偏导数都必须保持连续。按照收敛性要求，w ( 石，y ) 的多项式还必须能够表示常应变。下面研究一种简单的三角形单元【3 5 】f 3 6 】。在三角形单元的每个节点，耿横向位移w 及绕x 轴与y 轴的两个转角堂批与f 一坐、i 为节点自由度。第三个自由度前面加一个负号，是由于正的坐对缸以应于绕y 轴的转角为负，由于单元共有9 个自由度，w ( x ，y ) 的多项式也必须包括9 个常数，为了保持几何各向同性( 函数既不偏惠于x ，也不偏惠于y ) ，位移模式取为w ( x ，y ) = a - + a z x + c t ，y + a t z 2 + 口s x y + a s y 2 + 乜，x 3 + o t 8 ( x 2 y + x y 2 ) + 口。y 3( 2 。5 4 )：a &其中疗= ( 1 ，x ，y ，x 2 ，x y ，y 2 ，z 3 ，z 2 y + x y 2 , y 3 )( 2 - 5 5 )1 4哈尔滨t 程人学硕卜学位论文口=口10 , 2：a 9由下列节点函数可以确定常数口，a ：，a ，w ( x ，y ) = 吼，罢( x ，y ) ；口：，一娑( 工，y ) ：吼位于( z ，y ) ：( 五，y ，) ：( o ，o )唧o xw ( 训) 吧，詈( ) 嘞一尝( ) 位于( 训) 如y z ) = ( 。砒)w ( 石，y ) = 骱娑( 工，y ) ；q 8 ，一娑( x ，y ) ；g ，位于( z ，y ) ：( 毛，y ，)0 3 o x( 2 5 6 )( 2 5 7 )应该注意，局部坐标的y 轴为沿节点1 、2 的联线，坐标原点位于节点1 ，而x 轴指向节点3 的一侧。局部节点号1 、2 、3 分别对应于整体节点号f 、j 、k ，利用方程可以写成矩阵形式其中彳=因此牙。=口1q 2：q 9= 彳a1uuuu00000o10oo000o一1o0o0o0o10y 200y 2 200y 2 3001002 y 2 2003 y 2 20 100- y 200- y 2 201x 3y 3x 3 2x 3 y 3y 3 2x 3 3( x 3 2 y 3 + x 3 y 3 2 ) y 3 20010黾2 y 30( 2 x 3 y 3 + 艺2 ) 3 y 3 20 - 10 一毡一y 30一甄2 一( 2 x 3 y 3 + y 3 2 ) 0于是板的横向位移为西= a 。1 牙。1 5( 2 5 8 )( 2 5 9 )( 2 6 0 )堕签鎏： 矍叁兰堕：兰笪丝窒w = h a 一1 q 。( 2 6 1 )将上式方程代入得其中c = 一za 2觇2a 2妙2，a 2二一缸砂h = - - zs ；一za 2缸2a 2妙2，a 2二一a x 碲h a 一1 q 。= b q 。b ：c a 一1最后，可以得到在局部坐标系中得单元刚度矩阵为k c2 髓b td b d vv 。其中y 。为单元体积，。2 网e1 ，oy1000 1 - v2将式( 2 - 6 4 ) 代入方程( 2 6 5 ) 得n ( ) 吖s 舭 f 一- i 毗j1其中t 为板厚，方括号中的积分可写为延幽l ：! c d c 出2i 蒯p t s2e 出由三。1 - l7，其中1 6( 2 6 2 )o 、i6 yl( 2 6 3 )oj，( 2 6 4 )( 2 6 5 )( - 2 6 6 )( 2 6 7 )yyz+砂h 抖4缸o0o200o22000000000o0哈尔滨t 罕人学硕+ f 7 ：论文e ；c 7 d c ；0o oo o0 oo o0 o0 o404 v1 h对2 0 - v )00称41 2 v x3 6 x 20 0 04 ( v x + y ) 4 ( 1 一l ，) x + y ) 4 ( x + v y ) 1 2 x ( v x + y )0 0 01 2 v y01 2 y3 6 v x y( 1 2 一跏) ( 工+ ) ，) 28 ( 1 一y ) 矽1 2 ( x + v y ) y3 6 y 2( 2 6 8 )系在局部坐标系中进行。即俨方= 彳= y ：( 2 期)s 。一遂蛐_ x c a 2 苫1 ；y 2 ( 2 - 7 0 )j ! 脚- - y a = 知y z ( y 2 + y 3 )( 2 - 7 d巧x 2 蚴- - x 。e a + - - 1 2 a ( 誓一t ) 2 + ( x j - x 。) 2 + ( x k - x 。) 2 卜参3 “2 吼)驴蚴2 碱彳+ 五a ( x i - x 。) ( y i - y 。) + ( x j - x 。( y j - y 。) + x kd x c ) ( y t 嘿) 2 玄黾2 y z ( ) ，z + 2 y s )箩y 2 蚴2y c 2 a + a ( 1 2 驴咒帅，喘) 2 忻y c ) 2 ( 2 - 7 4 )2 壶础：y 2 + y 2 y 3 + y 3 2 )其中，x ：。= ；( ( x y , ，+ + x y i ，+ + x y k 。) ) 1 3 y3 c2 - 7 5 )，。；( y ，+ y + y 。) 3f、。2 6 2 单元的一致质量矩阵1 7哈尔滨 ：稗人硕十学伶论文对于图所示三角形弯曲板单元，横向位移w 可表示为w ( x ，y ) = h a 。q 。( 2 - 7 6 )其中矩阵a 由式( 2 - 5 9 ) 给出。由于中面法线绕x 轴与y 轴转动，离中面距离为z 的任意一点将有面内位移于是位移矢量可表示为其中1 = n i a 一1历( x ，y ) =“( x ，y )v ( x ，y )w ( x ，y )a wu = 一z o xo w ，= 一z o y8 hz a xa hz 砂h( 2 7 7 )a - 1 牙。= 1 彳- 1 牙。= 7 虿。( 2 7 8 )一zy 2 + 2 x y ) 0一z ( 2 x y + x 2 1 3 y 2 z( x z y + x y 2 )y 3( 2 7 9 )单兀的一致矩阵司以计算如fm 。=n r n d v = p ( 彳一1 ) r 1 r 1 么d v = a 一1 ) r 呀p l r n , a v ) a 一1 ( 2 8 0 )方程( 2 - 7 9 ) 表示由于考虑了单元的移动( w ) 惯性与转动( 蹦， ，) 惯性而得到的质量矩阵。如果不计转动惯性，只需在式( 2 - 7 9 ) 中简单地令1 = h 即可。此时，一致质量矩阵为m8 = p ( ) r r h a 。1 d y = a 1 ) rf f h r h d x d y ) a 。1旷s ( 2 8 1 )p t ( a 。1 ) 2 ( f f s , 缸a y ) a 以其中1 82戤o 矿一zo却广弦澎吵呼；砂抛。扩么。矿o屹yz)c0 x哈尔滨丁程人学硕十学位论文，工x3yj 5x 4 y，y 2j 6( x 2 y + x y 2 ) ( x 2 y 2 + x 3 y ) ( x y 3 + x 2 y 2 ) ( x 3 y 2 + x 4 y ) ( x 2 y 3 + x 3 y 2 ) ( x y 4 + ，y ) ( z y 2 + ，y ) ( 矿+ 工2 ，) 2y 3x y 3y 4j 2 y 3x y 4y 5x 3 y 3x y 5 + j 2 y 4 ) y 62 7 本章小结( 2 8 2 )本章主要对薄板的弹性力学( 包括几何方程、物理方程、内力分析、平衡方程) ，薄板的自由振动、弹性体的特征值问题、模态函数的正交性、弹性体的模态分析以及薄板振动的有限元求解方法的理论进行了分析。本章的工作主要为以下的内容提供相关的理论基础。1 9豫矿矿对，办妒户矗妒妒f 岭f 邯妒哈尔滨t 稃人学硕十学位论文第3 章解析数值法研究带有任意集中质量的薄板3 1 薄板受迫振动分析根据薄板的小挠度理论假设，可以得到均匀质量薄板的受迫振动微分方程为【3 3 】d v 4 wx , y , t ) + p 掣。p ( 训，f )( 3 - 1 )式中，v 4 一( a 2 o x 2 + a 2 o y 2 ) 2 是双调和算子，d e h 3 1 2 ( 1 一v 2 ) 1 是薄板的弯曲刚度，e 是杨氏模量，h 是板的厚度，是泊松比，p 是薄板的单位面积质量，w ( x ，y ，t ) 是薄板任一瞬时t 的横向挠度，p ( x ，y ，t ) 是横向外载。根据模态叠加理论，将w ( z ，y ，t ) 写成级数形式h w ( x ，y ，f ) = 形( z ，y ) q i ( t )( 3 2 )式中，彬( x ，y ) 是第i 阶均匀薄板的正则模态，q i ( t ) g l 绨l 阶广义坐标，以是模态数。其中，模态函数彬( x , y ) 必须与均匀薄板的固有频率q 一一对应。将( 3 2 ) 式代入方程( 3 1 ) ，露雾毒几) + 霞露q j ( t ) = 霉( f ) ，歹= k ，l ( 3 - 3 )式中，m 2 l w , p d a( 3 - 4 )k 面2 正眈v 4 彬幽( 3 5 )p j ( t ) 2 ：ip 川y 鹏幽( 3 - 6 )并运用模态函数的f 交性和正则模态的特性，得到百几) + 碍q j ( t ) = 乞( t ) _ = 1 , 2 ，棚7( 3 7 )其中弓( f ) = 正p ( x 川y 膨以( 3 - 8 )0 3 i = x ku mu = 心k ( 3 - 9 )式中，a 是板域，( t ) 是广义力，是均匀薄板的第_ 阶固有频率。如果外加载荷( t ) 是以集中力的方式加载于( _ ，y ，) ，大小为p ，则方程( 3 7 )2 0哈尔滨t 程人学硕+ 学位论文可以简化为辱，( f ) + 喀留( t ) = p ( 而，y ， ) ( 而，y 1 ) 歹= 1 , 2 ，l ( 3 1 0 )3 2 解析数值法求带有任意集中质量薄板的频率和振性对于带有集中质量薄板的自由振动，将集中质量的惯性力当作外加激励力，则均匀质量板的受迫振动方程( 3 1 0 ) 可以确定带有集中质量板的固有频率及对应的振型。如果薄板带有k 个集中质量，则从方程( 3 1 0 ) 和( 3 8 )式可以得到或( f ) + 知，( f ) 一一肌“( _ ，y ，) 彬( 一，y ，妇( f )( 3 - 1 1 )当薄板做简谐振动时，广义坐标q j ( t ) 有如下形式q ，( t ) = e 删( 3 - 1 2 )式中，万f 是g f ( f ) 的振幅，历是带有k 个集中质量薄板的固有频率。将( 3 1 2 )式代入方程( 3 1 1 ) 得到；玩崭玩崭荟善m c , t 1 4 j ( x t 幽膨( w 牖令 w ) = 彤，吸，睨) r l 。，= ) ) r斜= 萌，珏，玩) r卜2 、k =砰遥1。，2 善吲( w ，) 】2 1歹= 1 ，2 ，l ( 3 - 1 3 )( 3 1 4 )( 3 1 5 )( 3 1 6 )( 3 1 7 )( 3 1 8 )( 3 1 9 )哈尔滨r ：稗人学硕十学位论文则方程( 3 1 3 ) 司以写成矩阵形式卜2 、恬 = 万2 心歹、j + - 螗)( 3 - 2 0 )方程( 3 2 0 ) 是带有k 个集中质量的薄板的特征方程组。这样就可以求得特征值曩( = 1 ，2 ，柏7 ) 和特征向量 虿) ( - = 1 ，2 ，嚣) 。哆即为带有意个集中质量的薄板的固有频率，与之对应的振型谚( x ，y ) n f i l j 以由( 3 6 ) 式和( 3 1 2 )式得彬( ) 一n 彬( 训) 藓7 二缈( ) ) 7 耐”( 3 - 2 1 )对于不同的边界条件，均匀薄板f 则模态的表达式彬( 工，y ) 是不一样的，但从上面的推导可以看出，并没有涉及正则模态彬( x ，y ) 的具体形式，所以解析数值法可以求解任意边界条件的带有任意集中质量薄板的振动问题。也就是说，只要知道任意边界条件的均匀薄板的模态函数，就可以求得任意边界条件的带有任意集中质量薄板的固有频率及对应振型【3 7 1 。3 2 1 四周简支板? v图3 1 四周简支板对于四周简支薄板，我们可以知道它的边界条件如下【3 8 11 ) 在戈= 0 处的边界条件( w l 。一o ，( 0 2 _ _ w wy 孰f 。2 ) 在x = a 处的边界条件哈尔滨i ：群人学硕十学位论文( w ) x ；。= 0 ，3 ) 在y = 0 处的边界条件( w ) 舢= o ，4 ) 在y = b 处的边界条件( w ) 。：0 ，、7 y _ 厶眵v 乳。= 。l 丽w 可j 刨伊v 孰。2 。i 矿w 丽j v t 0 却眵y 孰。2 。i 矿w 丽j 。钏根据上述边界条件，模态函数为【2 5 1 1 3 9 i 1 4 0 1即。( x ，y ) ；b s i n m j e xs i n _ n z r yad将模态函数相对于密度正则化m j j2 2 l w j p w a a = = 1厨办2 正吃p 嘭幽一f a b 2s i n 2 等s i n 2 号场= 1所以可以得到系数b一b ：兰4 p a b则四周简支薄板的正则化模态函数为( 3 2 2 )( 3 2 3 )( 3