（固体力学专业论文）高温超导悬浮滞回特性对动力学效应影响的研究.pdf

兰州大学硕士学位论文 摘要 摘要 本文基于b e a n 临界态模型和a n l p e r e 环路定律，在前人工作的基础上得 到了高温超导悬浮系统中悬浮体任意运动过程的超导屏蔽电流穿透深度计 算公式；通过分析超导屏蔽电流穿透历程的一些规律，并采用四阶r u n g e k u t t a 方法对高温超导悬浮系统的动力学微分方程进行求解，编制了计算任意 运动过程超导滞回力曲线的程序。 首先，通过计算超导屏蔽电流穿透深度，对高温超导悬浮系统的滞回性 质进行准静态研究，详细分析了超导体的临界电流密度、超导体半径和厚度、 永磁体表磁强度等系统参数对超导滞回力曲线、磁刚度和系统滞回耗散能的 影响，并依据超导屏蔽电流穿透深度变化和磁滞回对这些影响进行深入分 析，解释了超导体内部钉扎机制决定滞回性质这一本质。 其次，通过计算永磁体任意运动过程中超导体内部屏蔽电流穿透深度变 化，研究了高温超导悬浮系统的自由振动。指出：永磁体的自由振动阶段超 导体内部的屏蔽电流穿透为“部分抹去”，屏蔽电流穿透深度随时间的变化 关系服从l o g i s t i c 函数，超导体不同高度处的屏蔽电流穿透深度随时间的增 长率近似为线性关系；自由振动的永磁体存在稳定悬浮区间，悬浮区间宽度 与高温超导体的i l 占界电流密度有关；永磁体初始位置处于下降过程时，其稳 定悬浮高度大于初始位置处于上升过程的稳定悬浮高度；临界电流密度大的 高温超导悬浮系统稳定悬浮位置高。 最后，我们分析了存在外加位移激励作用时高温超导悬浮系统的受迫振 动。受迫振动稳态阶段的振动形态为简谐振动，与外加位移激励存在时滞现 象，且发生共振时系统受迫振动与外加激励的相位差较小；外加激励频率和 幅值对系统受迫振动中心和振动幅值均有影响，系统的- i 盘界失稳曲线近似呈 线性关系。 关键词：高温超导悬浮，滞回，b e 模型，超导屏蔽电流穿透深度，四阶r u n g e - k u t t a 方法，准静态，自由振动，受迫振动，系统几何与物理参数，磁刚度，滞回耗散能，稳 定悬浮区闻，临界失稳曲线 兰型查兰塑主堂垡堡室垫墨 a b s t r a c t b a s e do nb e a l l sc r i t i c a ls t a t em o d e la i l d a m p 亡r e sl a w ，s o m ee x p r e s s i o n sa r e p r e s e n t e da b o u t 也ep e n e 衄l t i o no f 也es h i e l d i n g c u r r c n t si n 也ei i 魄r i o ro fa s u p e r - c o n d u c t o rw i m r e g a r dt ot h el e v i t a t o r sm o v e m e mh i s t o 够t 钾om l e sa b o u tt h e s h i e l d i n gc u r r e n t s p e n e 仃a t i o na r ef o u n d ，a i l dac o d ei sc o m p i l e df o l l o 谢n g m e s o l v i r 培o f d y n a m i cd i 丘e r e 埘a le q u a t i o nu s i n gf o u 卜o r d e rr u n g e - k u t t a m e t l o d s f i r s u y 、e c a l c u l a t e s u p e r c o n d u c t i n gh y s t e r e s i s ，m a g n e t i c s t i f b l e s sa i l d h y s t e r e t i ce n e r g y l o s su n d e rd i 舵r e mh t s cp a r a m e t e r s ，s u c ha s i ec r i t i c a l c u r f e n td e n s i t y ，也er a d i ia n dt h i c k n e s so fas u p e r c o n d l l c t 讲c y l i n d e r ，am a 鲷e t s s u 曲c ei n d u c t i o n ，趾de x p l a i nm e s ep h e n o m e i l aw i t l lt h ed i s t r i b u t i o no f s h i e l d i n g c u r r e n t sa n dm a g n e t i cn u x e sp i 眦i n gm 也ei m e r i o ro f t l l es u p e r c o n d u c t o l s e c o n d l y m em a g n c t s 矗e ev i b r a t i o n i s i n v e s t i g a 把db yc a l c u l a t i n g t l l e c h a n g e o fn l e s h i e l d j n g c u f r e n t s p e n e m l t j o n t h e r ei s as t a b l ea r e ao ft h e l e v i t a t i o nh c i g h to f 也ep m ，w l l i c hi sc o n c e m e dw i 也t h cc 埘c a lc u r r e n td e n s i t yo f t h es c t 量l es t a b l el e v i t a t i o nh e i g h to f 吐圮p mi sl a r g e ri nd e s c e n d 洫gt h a n 也a ti n a s c e n d i n g ，柚dm eh i 曲e ro f t h ec r i t i c “c u r r e n td e n s 吼n l el a r g e ro fm ep m s l e v i 诅t i o nh e i g h t a ti 喊、耽t a k ei n t oa c c o u n tm ef o r c o dv i b r a t i o no f 廿1 eh t s cw h e na d i s p l a c e m e n te x c i t a t i o n i se x e 如d n 峙p ma l w a y se x h i b “ss 而p l eh a n i l o n i c v i b f a t i o nd u r i n gm es t a b l ep m c e d u r eo f n l ef v ，n m el a gi sf o u n dmm e s y s t e m ， a n d 也ep h a s ed i r e n c eb e t w e e nm e 印p l 埘e x c i t a t i o n 鼢d 她f v i ss m a l lw h e n t h er e s o n a n c el l a p p e n s 1 1 1 e 舶q u e n c ya n d 绷p l i m d eo ft l l ea p p l i c de x c “a t i o n a 仃e c t 也e 锄p l i 砌ea n d t h cc e n t e ro ft h ef o r c e dv i b m t i o l l w ep r c s e n tac r i t i c a l i n s t a b n i t y c u r v eo f t h e s y s t e m k e yw o r d s ：h i g h - t cs u p e r c o n d u c t o rl e v i t a t i o ns y s t e m ，s u p e r c d u c t i n gh y s t e r e s i s ，b e 卸 c r i t i c a ls t a 把m o d e l ， s h i e l d i n g c u 盯c n t 5 p e n e t r a t i o n ，f o u r _ o r d e rr u n g e - k u t t am e m o d s ， q u a s i s t a t i c f r e ev b r a t i o 砖，f o r c e dv i b r a t i o n m a g n e t i cs t i f f h e s s h y s t e r e t i ce n e 唱y i o s s ，t h e s 诅b l el e v i 诅t i o na r e ao f p m ，c m c a li n s t a b i l i t yc u r v e i i 关于本学位论文的声明 l 、所呈交的本学位论文是本人在兰州大学学习期间在导师指导下 所进行的研究工作及取得的研究成果。尽本人所知，除文中特 别加以标注和致谢的地方外，本论文成果中不包含他人已经发 表或撰写过的研究成果。 2 、所呈交的本学位论文所涉及的数据均为本论文研究工作得到的 原始数据，不存在任何形式的修改和伪造。 3 、所呈交的本学位论文研究成果的知识产权归兰州大学所有：即 本学位论文的研究成果发表均须经本人和导师的一致同意，并 仅以兰州大学作为署名完成单位( 如果有与其它单位的合作部 分将由合作双方协商确定，具体由导师确认) 。 4 、兰州大学有权保留送交本论文的复印件参与论文评审，本人同 意并允许本论文作为研究资料被查阅和借阅；学校可以公布本 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段 保存本论文。( 需保密的论文在解密期间将遵守科技成果的保密 规定执行，在解密后应遵守此规定) 签名：电宅辞 日期：泗咋年6 目湄 稍孵看、导师蠲氲 细垒文公柱 兰型奎兰堕主兰堡堡皇 笺= 童堕笙 第一章绪论 1 1 研究背景 随着高温超导材料的制备与加工技术的发展，对高温超导材料的应用研 究在电子、电力、交通、能源等各个领域方兴未艾。高温超导磁悬浮是一类 有重大发展潜力的超导技术目前科学家们针对这一技术的研究工作正在 向深度和广度方面开展，已经进入实际应用开发与应用基础性研究相互推动 的阶段。一是对高温超导悬浮现象的理解，机理的探讨：二是对高温超导磁 悬浮装置，例如高温超导磁浮列车、超导磁体、超导飞轮储能系统、超导电 磁推进船、高温超导磁悬浮轴承的研制开发和产业化工程应用：三是进一步 探索新材料、新体系和新方法，逐步提高高温超导磁悬浮系统的实用性和稳 定性。 按照材料在超导态排斥磁场能力的不同，可将高温超导体分为i 型( 或 软) 超导体和i i 型( 或硬) 超导体( 周又和，郑晓静，1 9 9 9 ) 。i i 型超导体 还可分为理想超导体和非理想超导体。除了具有负界面能的特征外，所谓“非 理想”的主要特征是：处于混合态阶段( 以。 h 只，) 的超导体具有很高 的无阻载流能力；磁化过程的不可逆性；混合态磁通格子分布的非均匀性等。 由于加工工艺的差别，非理想i i 型高温超导体内部不可避免的存在晶体缺陷， 例如位错、晶粒间界、脱熔第二相粒子以及辐照损伤等。晶体缺陷对渗入高 温超导体内部的磁通线施加的强钉扎作用是产生上述特征的重要原因。这种 强磁通钉扎作用导致非理想l l 型高温超导体在宏观上呈现出超导电磁悬浮力 与悬浮间隙特征曲线的显著滞回特性，这一特性直接而强烈地影响了高温超 导悬浮体系的力学行为，例如悬浮体( 超导体或永磁体) 稳定悬浮位置的改 变、对外加激励的动态响应以及可能出现的分形与混沌运动等( j r h 1 1 l l ， 2 0 0 0 ) 。与滞回特性密切相关的磁刚度和磁阻尼是设计商温超导悬浮轴承必 须考虑的两个重要因素。此外，滞回历导致的能量损耗也是超导磁悬浮应用 所无法避免的问题。因此，对高温超导悬浮滞回特性影响的研究就变得尤为 重要。 兰州大学硕士学位论文 第一章绪论 1 2 研究进展概况 通常，采用由永磁体和超导体构成的高温超导磁悬浮系统作为高温超导 磁浮装置的简化模型，如图1 1 所示。位于超导体上方的永磁体与超导体具 有公共轴线，二者均采用圆柱体形状。在实验和理论研究中，这种结构具有 良好的代表性。 图1 1 高温超导磁悬浮系统示意图 对于高温超导磁悬浮系统滞回特性的研究可追溯到上世纪9 0 年代末期。 f c m o o n a n dp z c h a n g 甜矗f ( 1 9 8 8 ，1 9 s 9 。1 9 9 0 ) 通过测量自由端粘附永 磁体的悬臂梁形变得到超导磁悬浮力随永磁体与超导体之间间隙的变化曲 线，发现该曲线具有明显的滞回特征，进一步测量永磁体在某一位置附近的 往复运动得到磁悬浮力的小滞回曲线，他们首次指出：小滞回曲线的斜率决 定超导体的磁刚度。同一时期，d e w j e k s ( 1 9 8 8 ) 根据扭矩平衡原理测量 了y b a ，c u ，o 和t m a c u o 超导悬浮系统的滞回力。早期的滞回力测量实验多 采用烧结的超导样品，因此得到的超导滞回力最大值通常较低，量级上一般 为几百个达因。随着y b a c u o 材料加工工艺的不断改进，不同工艺制备的超 导样品( m | t g 方法，q m g 方法，m p m g 方法，p m p 方法) 的滞回力测量 也在不断开展( f c m o o n “以，1 9 9 0 ；t h j o h a r i s e n 甜口f ，1 9 9 4 ；w c c h a t l 甜以，1 9 9 4 ；杨万民等，1 9 9 4 ，2 0 0 2 ；a b 鼬i s e 以，1 9 9 4 ：肖玲等，1 9 9 9 ； 任仲友，王素玉，王家素等，2 0 ；y h ie f 口f ，2 1 ) ，最大超导滞回力 已能够达到几十牛顿量级，这主要归因于高温超导块材临界电流密度的显著 提高。j r ，h l l l l 甜以( 1 9 9 2 ，1 9 9 9 ) 详细测量了高温超导悬浮系统的垂直悬 浮力、横向悬浮力和磁剐度。m u e s a k a 甜矗( 1 9 9 3 ) 对几组不同几何尺寸 2 兰州大学硕士学位论文 第一章绪论 的永磁体与超导体悬浮系统的滞回力进行测量，研究了晶粒缺陷对滞回力的 影响。在滞回力的动力学测量方面，b ，m s m o l y a k “口f ( 1 9 9 8 ) 研究了超导 体在时变外加磁场中的失稳问题( 这里的失稳指超导样品的突然坠落) ，他 们给出了外加磁场频率与幅值之间的临界失稳曲线。m f u t a m 啪“以( 1 9 9 8 ) 测量了高温超导悬浮系统的阻尼特性，提出了一个考虑超导体内部磁通钉扎 作用的力学模型。h t e s l l i m a “口f ( 1 9 9 7 ) 研究了高温超导涡电流阻尼器的 振动特性。t _ h i k i h a r a ( 1 9 9 4 ) 和f ，c m o o n ( 1 9 8 8 ，1 9 9 4 ) 发现高温超导悬 浮系统存在复杂的动力学现象，例如分岔和混沌等，认为超导悬浮力的滞回 特性和强非线性是产生这一现象的重要原因。 在超导滞回力的理论研究方面，e h b r 趾d t ( 1 9 8 9 ，1 9 9 0 ) 在定性地描 述高温超导悬浮的一般特征和解释i i 型超导体能够刚性地悬浮在永磁体上方 的悬浮机理方面，迈出了重要的第一步。此后，众多学者对高温超导磁悬浮 系统的悬浮力开展了理论研究。f h e l l m a i l 甜以( 1 9 8 8 ) 介绍了一个总排磁 通模型，计算了无限大超导体平面上方椭球形永磁体受到的悬浮力。a b a d f a a n dh c f r e v h a r d t ( 1 9 9 8 ) 提出了一个研究任意场中特别是圆柱形永磁体产 生的磁场中m e i s s n e r 态超导圆盘的计算方法。z j y a l l gp f 以( 1 9 9 6 ) 给出了 位于一个无限大超导体上方的永磁体所受到的悬浮力的解析解。m w c o 脓y ( 1 9 9 5 ) 研究了位于半无限大i i 型超导体上方磁偶极子的悬浮力。l c 。d a v i s a z ( 1 9 8 8 ) 研究了无限大超导体的上方永磁体的悬浮稳定性。由于超导体 的滞回特性与超导体本身俘获磁通的历史密切相关，因此上述模型虽然将超 导体处理为抗磁体，能够得到与实际工程应用相关的悬浮力的一些重要性 质，却不能反映超导体的滞回特性本质。通常考虑外加磁场进入超导体内 部的磁通穿透深度或超导体的不可逆磁化过程能够得到超导悬浮系统的滞 回曲线。基于这一考虑，一些学者对超导滞回特性进行了研究。r j a d l e r a n d w w _ a n d e r s o n ( 1 9 9 0 ) 给出了基于完全俘获磁通模型的悬浮力结果。t t 0 m g a n d 0 y = c h e n ( 1 9 9 2 ) 和p s c h o i l l l u b e r a n df c m o o n ( 1 9 9 4 ) 考虑了均匀磁 场中进入超导体内部的磁通穿透深度，进一步计算了无限长超导体的滞回 力。j r h l | 1 1 甜以( 1 9 9 2 ) 给出了基于磁化数据的熔融织构超导块悬浮力和 磁刚度的计算公式。w c c h a n “口f ( 1 9 9 4 ) 基于b e 觚模型的近似分析，得 到了较好的超导滞回力计算结果，然丽该结果依赖于临界磁场值的选取，且 仅适用于超导悬浮的初始下降和上升过程。a s a n c h e z a n dc n a v a u ( 1 9 9 6 ， 兰州大学硕士学位论文 第一童绪论 1 9 9 7 ) 计算了超导体的磁化曲线，进一步得到具有滞回性质的超导悬浮力。 目前，超导悬浮力的理论分析较多从准静念角度进行考虑，动力学方面的研 究并不多见，其难点在于动力学情况下超导屏蔽电流穿透深度的处理。t h i k m a r a ( 1 9 9 4 ，1 9 9 7 ) 和t s u g i u r a “以( 1 9 9 7 ) 提出的考虑滞回性质的动 力学模型过多依赖于系统参数的选取，仅可以定性解释超导悬浮系统的一些 滞回现象。 在超导滞回特征的定性分析方面，i d m a y e r g o y z ( 1 9 9 6 ) 将磁学中的经 典p r e i s a c h 模型引入超导滞回曲线的研究中，认为：b e a n 临界态模型是经典 p r e i s a c h 模型的一种特殊情况，高温超导磁悬浮力的小滞回曲线可以用经典 p r e i s a c h 模型描述；类似于磁体滞回，超导体的小滞回同样具有“抹去( w i p i n g o u t ) ”和“等价( c o n 卯埘l c y ) ”两类特征，即；当超导体外部磁场发生反向 变化时，逆向电流将从超导体边缘向超导体内部逐渐穿透，同时替换相应位 置原有的正向电流；相等的磁场增量产生相等的磁化强度。此外，在高温超 导电磁悬浮力的数值仿真中，通常基于b e a n 模型或指数模型通过求解 m a x w e l l 方程组也可以计算得到超导滞回特征曲线( z h e n g x i a o j i n g ，g o u x i a o _ f a n a i l dz h o u y o u - h e ，2 0 0 3 ) 。 1 3 本文主要研究内容 1 ) 基于b e a n 模型和a m p h e 环路定律的近似分析，推导悬浮体的任意 运动过程中超导体内部屏蔽电流穿透深度的计算公式；建立能够适用于悬浮 体任意运动过程的超导滞回力数值计算方法。 2 ) 对高温超导磁悬浮系统的几何参数和物理参数对超导滞回特性( 滞 回宽度、撮大滞回力幅值) 的影响进行准静态研究，分析与超导滞回特性相 关的磁刚度和磁滞损耗与系统参数的变化关系，并利用超导体内部屏蔽电流 穿透深度和超导磁滞回线的变化进行定性分析。 3 ) 研究高温超导磁悬浮系统的自由振动和受迫振动的动力学特性，外 加激励对系统的影响，并给出系统发生失稳的临界曲线。 4 兰州大学硕士学位论文 第二章超导磁悬浮力迟滞回线的计算方法 第二章超导磁悬浮力迟滞回线的计算方法 2 1 问题的描述 对于图1 1 所示的高温超导磁悬浮系统，永磁体的参数为：半径r 。， 厚度日。，表磁强度玩；超导体的参数为：半径氐，厚度日。、，临界电流 密度，。二者均采用圆柱体形状，具有公共轴线。设超导体上表面中心为柱 坐标系( 岛庐，z ) 的原点，永磁体下表面到超导体上表面的垂直距离为“则超 导体处于永磁体产生的外加非均匀磁场中。 在高温超导磁悬浮系统的研究中，对超导体通常采用两种冷却方式：零 场冷( z e r o f i e l d c o o l i n g ) 和场冷( f i e l d c o o l i n g ) 。这里，我们仅采用前一种 方式( z f c ) ，即：将永磁体置于距离超导体无穷远处( z = 瓦) ，此时对超 导体实施降温处理至液氮温度( t t “9 0 k ) 。当超导体的冷却温度达到稳定 状态后，将永磁体向超导体方向移动，同时记录永磁体与超导体之间的间隙 和相应的悬浮力数值，直到永磁体到达超导体表面( 或期望高度z ) ，这一 过程通常被称为永磁体的下降过程；然后使永磁体反向移动，直到距离瓦， 这一过程称为永磁体的上升过程。这两个过程中得到的超导悬浮力与悬浮间 隙的关系曲线呈现了显著的迟滞效应，因此该关系曲线被称为滞回曲线 ( h y s t e r e t i cl o o p ) 。 2 2 超导磁悬浮力基本方程 2 2 1 临界态描述和b e a n 模型 对于确定的外加磁场，进入超导体内部的磁通线以磁通格子的形式分 布，在宏观上表现为屏蔽电流( 或涡旋电流) 。磁通格子同时受到l o r e n t z 力 f l 和晶体缺陷的钉扎力f p 作用，非均匀磁通格子不发生运动的临界条件为 ( 林良真等，1 9 9 8 ) f l = f p ( 2 1 ) 此时超导体的屏蔽电流密度达到临界值，称为临界电流密度j 。b e a i l 临界态 模型( b e a n ，1 9 6 2 ) 是一被广泛使用的非连续电磁本构模型，该模型假设： j 与超导体内部的磁感应强度无关，为常值。这相当于外加磁场值远小于临 s 兰州大学硕士学位论文第二章超导磁悬浮力迟滞回线的计算方法 界磁场值的情况。ts u g i u r a ( 1 9 9 1 ) 修正了 l h a r e ，以 界态关系，给出j ( e ) 关系为 j = j c ( 1 b 罱 矿f e 。 l 要：o 矿| e l = o 【a 。 ( 1 9 9 1 ) 的临 ( 2 2 ) 因此，如果外加磁场达到某一确定状态后，可以根据( 2 2 ) 式可以得到超导 体内部任意位置处的屏蔽电流密度。 2 2 2 超导磁悬浮力基本方程 图2 。1 超导迟滞刚线不恿圈 ( 滞回力f z 随永磁体高度= 的变化为a a b b c c ) 当超导体处于混合态( e 日 皿：) 时，侵入超导体内部的磁通线受 到晶体缺陷的钉扎作用而被俘获。俘获磁通以屏蔽电流( 或涡旋电流) 方式 存在，与外加磁场相互作用产生悬浮力。作用于超导体的悬浮力可以用 l o r e n t z 力公式计算： e = f j 。b d y ( 2 3 ) h 一1 其中，积分区域y 为超导屏蔽电流的存在区域，矿= 巧( “为超导屏蔽 i l 电流穿透深度个数，”为超导体内部第f 层的屏蔽电流穿透体积) ；j 。为临界 电流密度，b 为永磁体产生的磁场与超导体内部的感应磁场的矢量和 6 兰州大学硕士学位论文 第二章超导磁悬浮力迟滞回线的计算方法 b = b 。+ b 。，。其中超导感应磁场b 。、与自身产生的超导感应电流的旋度为 零，因此在数值上对悬浮力没有贡献。于是计算悬浮力的核心问题转化为计 算超导屏蔽电流的穿透区域问题。 根据a m p e r e 环路定律，超导体内部磁场与临界电流密度的关系为 v b = j 。 ( 2 4 ) 胁为真空磁导率。考虑到系统的轴对称情况，超导屏蔽电流j 。仅有妒方向分 量，则有( t e r r y t 0 m ga n d q yc h e n ，1 9 9 3 ) 胁j 。= ( 强出一a 吃a ，) e ( 2 5 ) 其中，a 耳钯项对于r ，。胄、的超导悬浮系统通常为小量可忽略不计。于 是( 2 5 ) 式简化为 胁j 。= ( 一a 芝西) e ( 2 6 ) 考虑到磁场强度的边界条件 n ( h ，一h 。) = o ( 2 7 ) 其中，h ，为超导体内部的磁场强度矢量和，h 。为外加磁场强度矢量。引入 退磁因子( c n a 、，a u 锄d a s a n c h e z ，1 9 9 7 ) ，并对( 2 6 ) 式两侧进行积分， 得 骂( z ，) = 一口( z ) + s 劫( j 。) 鳓以( 1 一) ( r ”一r ) ( 2 8 ) 其中，马( z ，r ) 为永磁体处于z 位置时超导体内部的磁感应强度值，占( z ) 为 超导体边缘处的外加磁感应强度，即( = ) = 吃( z ，= r * ) a 以为临界电流 密度值，5 瑶印( j 。) 表示超导屏蔽电流的方向，当j 。沿e - 方向时，s 咖( j 。) = 1 ； 反之，j 细2 ( j 。) = 一l 。 兰州大学硕士学位论文第二章超导磁悬浮力迟滞回线的计算方法 依据永磁体远离或接近超导体可将超导体内部屏蔽电流的穿透情况分 为三类( d 一x c h e na n dr b g o l d f 矗b ，1 9 8 9 ) ：( i ) 初始穿透过程；( i i ) 上 升过程；( i i i ) 下降过程。图2 1 为超导迟滞回线的示意图，图2 2 为超导屏 蔽电流和超导体内部磁场变化示意图。下面我们将对这三类情况进行分析， 给出任意过程的超导屏蔽电流穿透深度的计算公式。 j j k 黝 o hr l 矗 jl b i l ，( 砧 、 ：、i i ，如0 ( 日 j k 黝 帆锈k b li 。0 0蕊| 、 。 i 。( 蛐 j l 黝荔 l 坼铀豺 轧矗 jb i 铡 j 、 图2 2 超导屏敲电流和超导体内部磁场变化示意图 ( i ) 初始穿透过程 如图2 1 ，一为主滞回曲线与小滞回曲线的连接点( 即小滞回曲线的初始 点) ，b 为小滞回曲线的第一次转折点，c 为小滞回曲线的第二次转折点，d 代表主滞回曲线上的任意点，6 、c 代表小滞回曲线上的任意点。当永磁体 由乞位置逐渐向超导体接近时( 过程刎) ，超导屏蔽电流为正方向，即 s 趣卵( j 。) = 1 。图2 2 ( a ) 为该过程超导屏蔽电流和超导体内部磁场变化的示 意图。由( 2 8 ) 式，初始穿透过程中超导体内部的感应磁场为 f ( z ，r ) = 一氏( z ) + 风以( 1 一) ( 8 一r ) ( 2 9 ) 令霹( z ，) 为零，得到主滞回曲线上任意位置屯的穿透深度计算公式 _ c 咖耻意 晓 则转折点a 处的穿透深度为 ( 2 “) 揣 一 8 艮 = 、j z l 一， 兰州大学硕士学位论文第二章超导磁悬浮力迟滞回线的计算方法 ( i i ) 上升过程 当永磁体到达z 。位置时，由于晶体缺陷的钉扎作用，剃过程产生的超 导感应电流将被“钉扎”在其穿透区域。若此时永磁体发生反向运动( 距离 z 。增加，即上升过程) ，外加磁场的减小将导致超导体内部出现逆向感应电 流，且由于磁压力的作用逆向感应电流从超导体外表面逐渐向超导体内部穿 透，同时取代流经区域的原有正向感应电流，即发生了“抹去”现象，如图 2 2 ( b ) 所示。 在永磁体的任意上升过程中，s 瑶卵( j 。) = 一1 。代入( 2 8 ) 式，得到该过 程中超导体内部屏蔽电流穿透区域的磁感应强度为 b 沁，) = 一氏( z ) + 胁以( 1 一) ( r 一心，) ( 2 1 2 ) 其中，剧( z ，) 表示第_ ，个滞回过程永磁体处于z 位置时屏蔽电流穿透区域的 磁感应强度值。 记上升过程的任意位置为毛，此时的穿透深度为。考虑到转折点乃处 磁感应强度驯( 钆，) 的连续性条件：上升过程初始点的磁感应强度值等于上 一下降过程在该时刻的俘获磁场值，即：尽( z 。，0 ) = ( 毛，) ，我们得到 与磁化历史相关的上升过程超导屏蔽电流穿透深度计算公式 懈帆+ 等游 晓 则转折点z 。处的穿透深度为 似m ，+ 笼蒜铲 眨 ( i i ) 下降过程 当永磁体到达位置时，上升过程结束a 从位置到位置为永磁体 的下降过程，s 瑶即( j 。) = 1 。代入( 2 8 ) 式，得到下降过程中超导体内部屏蔽 电流穿透区域的磁感应强度为 b 。+ 1 ( = ，厂) = 一口，( z ) + 声f o 以( 1 一) ( 胄辅- 一，) ( 2 1 5 ) 考虑下降过程初始时刻超导体内部磁场的连续性条件，得到任意下降过 9 兰州大学硕士学位论文第二章超导磁悬浮力迟滞回线的计算方法 程屏蔽电流的穿透深度计算公式 北弘k 一瓮筹铲 如果永磁体从瓦位置缓慢接近超导体，其运动速度可以忽略为零，这 过程被称为准静态过程。反之，若永磁体的运动速度不可忽略，则问题将转 化为动力学问题，永磁体的运动将满足动力学微分方程一 m 毛+ 髓。一l ( z 。) + 小g = o ( 2 1 7 ) 其中，研为永磁体质量，c 为空气阻尼系数，t ( z 。) 为超导滞回力。于是， 我们可以依据( 2 3 ) 、( 2 8 ) 一( 2 1 7 ) 式对超导滞回力及超导悬浮系统的动 态特性进行计算。 2 3 数值计算程序及步骤 2 3 1 永磁体磁场的计算 根据分子电流假说，可磁化材料仅在一个方向均匀并充分磁化后，宏观 上表现为只有面电流，而无体电流。这样磁化程度较好的永磁体产生的磁场 可以认为是由许多面电流环激发而成( 郑晓静，苟晓凡，周又和，2 0 0 3 ) 。 引入磁失势彳，在柱坐标系( 岛矿，；) 中，有 啡一訾矿古易c 删巳 晓 oz。p0 0 。 对圆柱形永磁体 铷棚= 等r 4 雨万舞舞篇研叫眩 这里，场点( 户，z ) ，电流环半径月。，电流环纵向坐标z 。r 我们首先编制了永磁体磁场的计算程序，给出了对i n g 锄c h e n 甜以 ( 1 9 9 2 ) 实验数据的模拟结果。该实验测量了两组不同径厚比的圆柱形永磁 体磁场：( a ) 只= 9 5 2 5 珊埘，日= 6 3 5 聊肌；( b ) r = h = 3 1 7 5 朋m 。 采用i n g a n n c h e n 甜口f ( 1 9 9 2 ) 的面电流密度值进行计算，得到永磁体表面 ( 霍尔探头距离永磁体表面最小距离为1m 聊) 横向磁场e 的空间分布如图 1 0 兰州大学硕士学位论文第：章超导磁悬浮力迟滞回线的计算方法 2 3 所示，计算结果与实验结果吻合很好，表明磁场计算程序的可靠性。 图2 3 永磁体表面横向磁场与实验数据( i n - g 粕nc h e n 甜以1 9 9 2 ) 对比图 ( a ) 8 w = 9 5 2 5 m l ，m ：6 3 5 栅；( b ) 月m = = 3 1 7 5 m 2 3 2 四阶r u n g e k u n a 方法与计算精度处理 本文采用定步长的四阶r 眦g e - k l m a 方法对高温超导悬浮系统的非线性 滞回动力学微分方程进行数值求解。考察差商旦幺止二塑盟，根据微分中值 f 定理，存在0 口 1 ，使得 盟毒兰盟：地+ 抛，) ( 2 2 0 ) f 。 对于给定微分方程 ，= ，( f ，l ，) ( 2 2 1 ) 得到 l r ( + 1 ) ；l ，( ) + 矿( + 黜，j ，( r ，j + 6 l r ) ) ( 2 2 2 ) 这里= ，( 乙+ 融r ，y 也+ 抛f ) ) 称作区间 乙，0 + 。】上的平均斜率。四阶 r u n g e k u t t a 方法采用四个斜率值眉。、最、墨、甄的线性组合作为平均斜 率，计算公式如下： 兰州大学硕士学位论文 第二章超导磁悬浮力迟滞回线的计算方法 k + = l + 詈( 置+ 2 疋+ 2 膏，十e ) 置。= ，( ，k ) j r ：；，+ 等，e + 等置，) ( 2 2 3 ) 墨= ，( + 等，e + 等墨) 眉。= 厂( t + f ，z + 蠼，) 其中k = y ( ) ，k + = y 以。) 。 将高温超导悬浮系统动力学微分方程( 2 1 7 ) 式写作： 髓麓( 驴蚴胁g ( 2 2 4 ) 【见= ( e ( m ) 一纠：) m g 。一 其中：咒= = 。，儿= 毛。为了保证速度零点滞回力的连续性，我们分别给定 扰动速度和超导滞回力的计算精度占。、占，。对于任意给定的时刻f 、扰动位 移m ( r ) 和扰动速度y 2 ( f ) ，对( 2 2 4 ) 式积分得到下一步的位移m o + f ) 和速 度儿( f + f ) 。若s t 弘【北( 咖。s t 印【m o + f ) 】 ( 乙) 恒成立。因此在上升过程中， 负向屏蔽电流与冻结的正向屏蔽电流总是同时存在于超导体内部，屏蔽电流 穿透深度个数= 3 。在该过程的计算中，不需要考虑“完全抹去”现象， 计算过程与下降过程相同。 2 3 3 2 动态过程的计算步骤 ( 1 ) 永磁体的初始运动过程计算。记瓦处为永磁体的初始位移，此时 刻永磁体的运动速度毒= 0 。由( 2 1 0 ) 式计算永磁体磁场和超导屏蔽电流的 穿透深度，代入( 2 _ 3 ) 式得到此时的超导悬浮力；求解超导悬浮系统的微分 方程组，得到下一时刻的位移和速度。如果相邻两步的速度毫与j 。具有相反 的符号，即s 劬喃( ) 】j i 即【毫+ ，( + f ) 】 毛= 占。，且相邻两步的悬浮力满足 精度要求1 只弛) 一e q + 出) i 勺，则永磁体的初始运动过程计算结束，记( f ) 位置为滞回曲线的初始转折点，记录此时刻的俘获磁场值e 。、超导屏蔽电 流穿透深度一和悬浮力的数值爿。否则重复上述计算过程，直到该过程计算 结束。 ( 2 ) 永磁体的任意上升与下降过程计算。对于任意时刻f ，根据永磁体 的运动速度j 。判断其所处的运动过程，进而决定感应的超导屏蔽电流方向。 由( 2 1 3 ) ( 2 1 7 ) 式计算俘获磁场马( f ) 、电流穿透深度( r ) 。进一步计算 得到超导悬浮力，求解动力微分方程得到下一步的位移和速度。在转折点处 我们对俘获磁场和穿透深度进行纪录，并将当前穿透深度与穿透深度历史纪 录进行比较，判断是否发生“抹去”现象和完全穿透现象。根据规律( i i ) 对转折点处的穿透深度和俘获磁场的个数作相应的修改。计算流程如图2 5 所示。 1 4 兰州大学硕士学位论文第二章超导磁悬浮力迟滞回线的计算方法 ( c ) 抽啦 彭一一m 一- o n过n c 州v e m t “。n u p e 耐r i 峙o - h i s 蛔h x c r f c m 肚衅l r 哦l o n d e p t h 图2 4 滞回过程的超导屏蔽电流穿透深度变化示意图 图2 5 超导悬浮系统动力响应计算流程圈 j 5 兰州大学硕士学位论文第二章超导磁悬浮力迟滞回线的计算方法 2 3 4 计算结果与讨论 我们将问题退化到准静态情况，与实验结果进行了比较。这里，选取 w c c h a n ( 1 9 9 4 ) 和m i t s u m u e s a k a “以( 1 9 9 3 ) 的三组滞回力实验数据。 w c c h a l l ( 1 9 9 4 ) 在实验中测量了两类y b a c u o 样品的悬浮力与位移曲线， 大样品尺寸为：1 2 0 8 0 6 m ；小样品尺寸为：1 o o 8 o 2 m 州3 ：永磁 体采用n d f e b 材料，r m = 3 1 5 m 棚，日m = 6 3 m m ，表磁强度为e = o 2 7 t 。 我们在计算中将这两类超导样品分别等效为取= o 5 5 3 m m 、日。= 0 6 小和 r 。，= o 5 0 5 m 柳、日。，= o 2 删埘圆柱形超导体，并保持超导样品体积不变化， 临界电流密度取值为 = 0 7 1 0 8 4 ，m 2 ，计算结果如图2 6 所示。m i t s 唧 u e s a k a “口，( 1 9 9 3 ) 的实验参数为：如= 9 o 肼历，厅m = l o m 坍， r 。= 1 2 5 聊”，h = 2 2 5 聊m ，表磁强度域= o 4 t ，临界电流密度 ，= 1 6 1 0 7 一m 2 ，计算结果如图2 7 所示。考虑到外加磁场在z 方向的非均 匀性，我们将超导体划分为厚度为d 埘m 的多层结构，认为在充分小的区域 内b ，沿厚度均匀分布。如图2 8 ，计算超导悬浮力最大值对划分层数的依赖 关系发现：随着层数的增加，超导悬浮力数值上趋于稳定。对不同厚度超导 体的悬浮力最大值与单层厚度的关系进行计算，计算结果如表一所示，分层 导致的悬浮力误差随超导体厚度r 。的增加而增大。因此，超导体厚度r 。增 加时，单层最小厚度取值将相应减小，虽然计算时间显著增加，但仍然能够 保证超导滞回力值具有很好的收敛性。 我们的计算结果略低于实验结果，悬浮力的最大差别分别为3 8 2 、 1 6 9 、8 9 。在定性上揭示了超导悬浮力和永磁体与超导体之间间隙关系 曲线的明显滞回特性。造成计算结果略低于实验结果的原因主要有以下几个 方面：( 1 ) 与w c c l l a r l 的结果差别较大的原因在于矩形超导体内部俘获磁 通的区域略大于圆柱形超导体，因而悬浮力值偏高。( 2 ) 忽略了超导体上下 两个表面的边界效应。在这两个薄层内通常具有较高的临界电流值和电流穿 透区域( m j 。q i np ，越，2 0 0 2 ) ，因此实验测量值略大于计算值。尽管如此， 我们考虑了超导材料自身固有的钉扎作用这一本质特征，因而能够揭示与超 导材料磁化历史密切相关的显著滞回特性。 6 兰州大学硕士学位论文第二童超导磁悬浮力退滞回线的计算方法 图2 6 超导滞回力曲线圈2 7 超导滞回力曲线 ( 与w c ，c h a n 实验结果比较)( 与m i t s u m u e s a i c a 实验结果比较) 幽2 8 超导滞回力最大值随分层数的变化 表一超导滞回力最大值及误差与超导体厚度、单层厚度的关系 ( 括号内为滞回力误差蛐l o o ，扛o 5 ，1 o ，1 5 ) d o l 1 7 兰州大学硕士学位论文第三章高温超导悬浮系统滞回特性的准静态研究 第三章高温超导悬浮系统滞回特性的准静态研究 在高温超导悬浮系统的实际应用和实验研究中，具有不同几何参数和物 理参数的超导块材和永磁材料被大量使用，使系统呈现了形状不同的滞回曲 线和大小不等的滞回力，研究系统参数对滞回特性的影响有助于人们合理地 选用材料，优化系统性能，以达到降低滞回引起的系统能量耗散、提高悬浮 系统稳定性等目的。 3 1 几何参数和物理参数对系统滞回特性的影响 我们首先研究了超导体临界电流密度对高温超导悬浮系统的滞回特性 影响。系统参数为：r w = 9 m m ，圩m = 1 0 m m ，r m = 1 2 5 m 聊，日= 2 2 5 ，l m ， 曰0 4 t 。永磁体首先经历下降过程由z 。= 2 5 朋朋位置缓幔( 速度近似为零) 接近超导体表面，距离超导体上表面的最低位置为。= 0 锄撇，此后永磁体 沿上升过程返回z 。位置。图3 1 给出了不同临界电流密度的超导滞回力曲线， 图3 2 计算了超导滞回力最大值随临界电流密度的变化。高温超导体的不可 逆磁化是产生超导悬浮系统滞回特性的重要原因，因此我们对超导体的磁矩 进行了计算，计算公式如下 卅= 2 厅蕃r i ：j 竺孓劫( 以) 以p 2 d p 彬 ( 3 1 ) 其中，0 ，( ，z ) 表示永磁体悬浮高度为时超导体内部z 位置超导薄片的第 f 层电流穿透深度，为电流穿透深度的总个数。超导体磁矩与超导体体积 的比值通常作为超导体平均磁化强度的度量，因此通过研究超导体磁矩的变 化可以解释高温超导体的不可逆磁化现象。图3 3 给出了不同临界电流密度 的磁滞回线( 州一日厶曲线，吃。为超导体上表面中心的磁感应强度) ：图3 4 计算了z 。位置不同临界电流密度的超导屏蔽电流穿透深度廓线( 对应于最 大超导滞回力) 。由图3 2 可以看出，随临界电流密度的增加，超导滞回力最 大值趋于饱和，二者的函数关系可以拟合得到( m j q i ne ，口，2 0 0 2 ) 。这里， 我们研究的悬浮系统最大超导滞回力与临界电流密度的拟合函数关系为 1 8 兰州大学硕士学位论文第三章高温超导悬浮系统滞回特性的准静态研究 矿( 轳焉 ( 3 - 2 ) 其中，超导滞回力最大值的极限l i m 矿( ，) = 2 2 9 7 3 。超导滞回力的大小 取决于屏蔽电流存在区域的面积、该区域