2018-2019学年度八年级数学上册 第13章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题同步练习 （新版）新人教版.doc

13.4课题学习 最短路径问题学校：_姓名：_班级：_一选择题（共10小题）1在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当PCE的周长最小时，P点的位置在（）AA点处BD点处CAD的中点处DABC三条高的交点处2如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（）A750米B1000米C1500米D2000米3在直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是（）ABCD4如图所示，在等边ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EP+CP的最小值为（）A2B3C4D55在直角坐标系内，已知A、B两点的坐标分别为A（1，1）、B（3，3），若M为x轴上一点，且MA+MB最小，则M的坐标是（）A（0，0）B（）C（，0）D（0，）6如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）ABCD7如图，AOB=30，AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一动点Q，OB上有一动点R若PQR周长最小，则最小周长是（）A6B12C16D208如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A7.5B5C4D不能确定9如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是（）A3B4C5D610如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，FD为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为（）A10B11C12D13二填空题（共6小题）11如图，AOB=30，点P为AOB内一点，OP=8点M、N分别在OA、OB上，则PMN周长的最小值为 12在平面直角坐标系中，已知A（1，1）B（2，3），C点在x轴上且BCAC最大，则C点的坐标为 13如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 14在锐角ABC中，BC=8，ABC=30，BD平分ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 15如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，2）、（1，4），欲在x轴上找一点P，使PA+PB最短，则点P的坐标为 16如图，在四边形ABCD中，DAB=130，D=B=90，点M，N分别是CD，BC上两个动点，当AMN的周长最小时，AMN+ANM的度数为 三解答题（共4小题）17如图，在RtABC中，ACB=90，BAC=30，E为AB边的中点，以BE为边作等边BDE，连接AD，CD（1）求证：ADECDB；（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值18为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x则，则问题即转化成求AC+CE的最小值（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得的最小值等于 ，此时x= ；（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值19近年来，为减少空气污染，北京市一些农村地区实施了煤改气工程，某燃气公司要从燃气站点A向B，C两村铺设天然气管道，经测量得知燃气站点A到B村距离约3千米，到 C村距离约4千米，B，C两村间距离约5千米下面是施工部门设计的三种铺设管道方案示意图请你通过计算说明在不考虑其它因素的情况下，下面哪个方案所用管道最短20（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由（2）如图2，在AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由（3）如图3，在AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由 参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1解：连接BP，ABC是等边三角形，D是BC的中点，AD是BC的垂直平分线，PB=PC，PCE的周长=EC+EP+PC=EC+EP+BP，当B、E、E在同一直线上时，PCE的周长最小，BE为中线，点P为ABC的重心，即也是ABC的三条高的交点，故选：D2解：作A关于CD的对称点A，连接AB，交CD于M，CA=AC，AC=DB，CA=BD，由分析可知，点M为饮水处，ACCD，BDCD，ACD=ACD=BDC=90，又AMC=BMD，在CAM和DBM中，CAMDBM（AAS），AM=BM，CM=DM，即M为CD中点，AM=BM=AM=500，所以最短距离为2AM=2500=1000米，故选：B3解：若在直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B的距离之和最小，则可以过点A作关于y轴的对称点，再连接B和作出的对称点连线和y轴的交点即为所求，由给出的四个选项可知选项C满足条件故选：C4解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，ADBC，AD是BC的垂直平分线，点E关于AD的对应点为点F，CF就是EP+CP的最小值ABC是等边三角形，E是AC边的中点，F是AB的中点，CF是ABC的中线，CF=AD=3，即EP+CP的最小值为3，故选：B5解：如图因为点B的坐标（3，3）点A的坐标（1，1），所以两点连线相交于原点（0，0），即为点M故选：A6解：作点P关于直线L的对称点P，连接QP交直线L于M根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短故选：D7解：设POA=，则POB=30，作PMOA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM，作PNOB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN，连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则PQR即为周长最短的三角形，OA是PE的垂直平分线，EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，FR=RP，PQR的周长=EF，OE=OF=OP=12，且EOF=EOP+POF=2+2（30）=60，EOF是正三角形，EF=12，即在保持OP=12的条件下PQR的最小周长为12故选：B8解：过C作CEAB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，等边ABC中，BD=CD，ADBC，AD是BC的垂直平分线（三线合一），C和B关于直线AD对称，CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，ADBC，CEAB，ADB=CEB=90，在ADB和CEB中，ADBCEB（AAS），CE=AD=5，即BF+EF=5，故选：B9解：连接CF，等边ABC中，AD是BC边上的中线AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BCEB=EC，当B、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，等边ABC中，F是AB边的中点，AD=CF=6，EF+BE的最小值为6，故选：D10解：连接AD，ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，ADBC，SABC=BCAD=4AD=18，解得AD=9，EF是线段AC的垂直平分线，点C关于直线EF的对称点为点A，CM=AM，CD+CM+DM=CD+AM+DM，AM+DMAD，AD的长为CM+MD的最小值，CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=9+4=9+2=11故选：B二填空题（共6小题）11解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，连接OP，则OP1=OP=OP2，P1OA=POA，POB=P2OB，MP=P1M，PN=P2N，则PMN的周长的最小值=P1P2P1OP2=2AOB=60，OP1P2是等边三角形PMN的周长=P1P2，P1P2=OP1=OP2=OP=8故答案为：812解：如图，BCACAB，当A、B、C共线时，BCAC的值最大，设直线AB的解析式为y=kx+b，则有，解得，直线AB的解析式为y=2x1，直线AB与x轴的交点坐标为（，0），点C坐标为（，0）13解：过C作CEAB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，等边ABC中，BD=CD，ADBC，AD是BC的垂直平分线（三线合一），C和B关于直线AD对称，CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，ADBC，CEAB，ADB=CEB=90，在ADB和CEB中，ADBCEB（AAS），CE=AD=5，即BF+EF=5故答案为：514解：过点C作CEAB于点E，交BD于点M，过点M作MNBC，BD平分ABC，ME=MN，MN+CM=EM+CM=CE，则CE即为CM+MN的最小值，BC=8，ABC=30，CE=BCsin30=8=4CM+MN的最小值是4故答案为：415解：点A（1，2），点A关于x轴的对称点A的坐标为（1，2），A（1，2），B（1，4），设直线AB的解析式为y=kx+b（k0），解得，直线AB的解析式为y=3x+1，当y=0时，x=P（，0）故答案为（，0）16解：如图，作点A关于BC的对称点A，关于CD的对称点A，连接AA与BC、CD的交点即为所求的点M、N，BAD=130，B=D=90，A+A=180130=50，由轴对称的性质得：A=AAM，A=AAN，AMN+ANM=2（A+A）=250=100故答案为：100三解答题（共4小题）17（1）证明：在RtABC中，BAC=30，E为AB边的中点，BC=EA，ABC=60DEB为等边三角形，DB=DE，DEB=DBE=60，DEA=120，DBC=120，DEA=DBCADECDB（2）解：如图，作点E关于直线AC对称点E，连接BE交AC于点H则点H即为符合条件的点由作图可知：EH=HE，AE=AE，EAC=BAC=30EAE=60，EAE为等边三角形，AEB=90，在RtABC中，BAC=30，BH+EH的最小值为318解：（1）过点E作EFBD，交AB的延长线于F点，根据题意，四边形BDEF为矩形AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8AE=10即AC+CE的最小值是10=10，EFBD，=，=，解得：x=（2）过点A作AFBD，交DE的延长线于F点，根据题意，四边形ABDF为矩形EF=AB+DE=2+3=5，AF=DB=12AE=13即AC+CE的最小值是1319解：方案1：AB+AC=3+4=7千米；方案2：连接AB，ACAB=3，AC=4，BC=5BAC=90，ADBC于D，SABC=ABAC=BCAD，34=5AD，AD=，AD+BC=+5=7.4千米；方案3：AEAD，AE+BC7.4千米，综上，在不考虑其它因素的情况下，方案1所用管道最短20解：（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C，连接CD交AB于点P则点P就是所要求作的点理由：在l上取不同于P的点P，连接CP、DPC和C关于直线l对称，PC=PC，PC=PC，而CP+DPCP+DP，PC+DPCP+DPCD+CP+DPCD+CP+DP即CDP周长小于CDP周长；（2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点，理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E，F，连接CE、EP、PF、DF，C和