（计算数学专业论文）广义中立型延迟微分系统的稳定性分析及其数值实验.pdfVIP

中文摘要 摘要 在许多现实的模型中，我们不仅需要知道系统现在时刻的状态，还需要知道系统过去时 刻的状态，这就产生了延迟微分方程模型延迟微分方程的模型在生命科学，自动控制理论， 电力控制等领域经常用到 中立型延迟微分方程是延迟微分方程中重要的一类，由于中立项的存在，使其处理起 来更为复杂滞后型微分方程( d d e s ) 渐进稳定的充要条件是所有的特征根都具有负实 部，与滞后型微分方程不同的是，在中立型系统中，特征根和稳定性之间的关系更为复 杂。实际上，即使所有特征根都具有负实部，系统仍有可能不是渐进稳定的。 我们知道，稳定性在研究微分方程中有其重要性和必要性，对于延迟微分方程，它的稳 定性标准可分为与时滞有关的稳定性标准和与时滞无关的稳定性标准 本文考虑了中立型滞时微分系统 z 7 ) = l x ( t ) + m x ( t ，) + n x 7 ( 芒r ) z ( t o ) = 妒( 亡) ，t t o ， 的渐近稳定性。 其中l ，m ，n c d d ，z ( t ，) = ( x l ( t n ) ，z 2 ( t 一死) ，z d ( t 一) ) t ， r i o ( i = 1 ，d ) 为常数滞时量 我们通过对一个调和函数在有界区域边界上的估计，获得两个稳定性判别准则，即与 时滞有关的稳定性标准和与时滞无关的稳定性标准，并给出数值实验，在系数矩阵不同 的情况下，找出了系统的不稳定区域，从而得到了对该系统稳定性分析的几何特征。 关键词：渐近稳定，对数范数，调和函数，特征根，谱半径 a b s t r a c t i nm a n yr e a l i s t i cm o d e l s ，w es h o u l dk n o ws o m ep a s ts t a t e so ft h es y s t e m ，t h u si tc o n v e r t st o t h es t u d yo fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eo f t e nu s e di nl i f es c i e n c e s ， c o n t r o lt h e o r y , e l e c t r i cs y s t e m n e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sai m p o r t a n tc l a s so fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i ti s m o r ec o m p l e xt od e a lw i t hb e c a u s et h ee x i s to ft h en e u t r a li t e m u n l i k et h e a s y m p t o t i cs t a b i l i t y o f 山en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no f d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o rw h i c ha l lt h ec h a r a c t e r i s t i cr o o t sh a v en e g a t i v er e a lp a r t s 21 ，i nt h es i t u a t i o no fn e u t r a ls y s t e m ，r e l a t i o n s h i p sb e t w e e n c h a r a c t e r i s t i cr o o t sa n dt h es t a b i l i t ya r em o r ec o m p l e x i nf a c t ，e v e ni fa l lt h er o o t sa r en e g a t i v e t h es y s t e mo fn d d e sc a ns t i l lb eu n s t a b l e i nt h i sp a p e r , w ea l ec o n c e r n e dw i t hb o t hd e l a y i n d e p e n d e n ta n dd e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t y c r i t e r i ao ft h e g e n e r a l i z e dn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( g n d d e s ) 一( t ) = l x ( t ) + m x ( t r ) + n x r ) z ( t o ) = 妒( 亡) ，t t o w h e r e 厶m ，n c d x d ，a n dx ( t r ) = ( x l ( t 一丁1 ) ，x 2 ( 亡一吃) ，x d ( t 一) ) t ， r i o ( i = 1 ，d ) a r ec o n s t a n td e l a y s w ed e r i v et w os t a b i l i t yc r i t e r i av i at h ee v a l u a t i o no fah a r m o n i cf u n c t i o ni nab o u n d e dr e g i o n ，w h i c ha r ed e l a y - d e p e n d e n ta n dd e l a y - i n d e p e n d e n tc r i t e r i a t h e nw eg i v es o m en u m e r i c a l e x a m p l e s n u m e r i c a le x p e f i m e n t so nv a r i o u sc i r c u m s t a n c e sa r es h o w nh o wt ol o c a t et h es p e c i f i c r e g i o nw h i c hc a l lm a k et h es y s t e mu n s t a b l es oa st oe x c l u d ei tf r o mt h ew h o l ec o m p l e x p l a n e k e yw o r d s ： a s y m p t o t i cs t a b i l i t y , l o g a r i t h m i cn o i t l l ，h a r m o n i cf u n c t i o n ，s p e c t r a lr a d i u s ，e i g e n v a l u e 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名：埠叠 日期：盐垒墨：妄圣仝 导师签名：孓丝3 日 期：掣g ；) 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外。不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 签名： 聋喹 日期：巫量三l c h a p t e r 1i n t r o d u c t i o n 1 1 b a c k g r o u n d sa n dm o t i v a t i o n i nm a n ya p p l i c a t i o n s ，o n ea s s u m e st h es y s t e mu n d e rc o n s i d e r a t i o ni sg o v e r n e db ya p r i n c i p l e o fc a u s a l i t y ；t h a ti s ，t h ef u t u r es t a t eo ft h es y s t e mi si n d e p e n d e n to ft h ep a s ts t a t e sa n di sd e t e r m i n e d s o l e l yb yt h ep r e s e n t h o w e v e r u n d e rc l o s e rs c r u t i n y , i tb e c o m e sa p p a r e n tt h a tt h ep r i n c i p l eo f c a u s a l i t yi so f t e no n l ya f i r s ta p p r o x i m a t i o nt ot h et r u es i t u a t i o na n dt h a tam o r er e a l i s t i cm o d e l w o u l di n c l u d es o m eo ft h ep a s ts t a t e so ft h es y s t e m t h es i m p l e s tt y p eo fp a s td e p e n d e n c ei nad i f f e r e n t i a le q u a t i o ni st h a ti nw h i c ht h ep a s t d e p e n d e n c ei st h r o u g ht h es t a t ev a r i a b l ea n dn o tt h ed e r i v a t i v eo ft h es t a t ev a r i a b l e ，t h es o c a l l e d d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so rd e l a yd i f f e r e n t i a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n s ( d d e s ) 圣= f ( t ，z ( t ) ，x ( t 一7 ) ) ，t t o ，( 1 1 ) z ( t o ) = 妒( 亡) ，t t o ，( 1 2 ) w h e r e7 0d e n o t e sc o n s t a n td e l a y i ft h e r ei sn o to n l yo n ed e l a y , t h es y s t e m sm a yb ed e s c r i b e da s 圣= f ( t ，z ( t ) ，x ( t n ) ，x ( t 一丁2 ) ，x ( t 一) ) ， ( 1 3 ) x ( t o ) = 妒( t ) ，t t o ，( 1 4 ) w h e r en ，死，t r n ，死 0 ( i = 1 ，d ) a r ec o n s t a n td e l a y s t h e r ea r ea l s oan u m b e ro fa p p l i c a t i o n si nw h i c ht h ed e l a y e da r g u m e n to c c u r si nt h ed e r i v - a t i v eo ft h es t a t ev a r i a b l ea sw e l la si nt h ei n d e p e n d e n tv a r i a b l e ，t h es o - c a l l e dn e u r a ld i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ( n d d e s ) l i k e 圣= f ( t ，z ( t ) ，x ( t 一7 _ ) ，e ( t 一下) ) ，( 1 5 ) x ( t o ) = 妒( ) ，t t o ，( 1 6 ) w h e r e7 - 0d e n o t e sc o n s t a n t d e l a y n e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( n d d e s ) a r i s e 劬mv a r i o u sf i e l d so fa p p l i e ds c i e n c e s i t i sac l a s so fe q u a t i o n sd e p e n d i n go np a s ta sw e l la sp r e s e n tv a l u e sb u tw h i c hi n v o l v ed e r i v a t i v e s w i t hd e l a y sa sw e l la st h ef u n c t i o ni t s e l f d i f f e r e n tf r o mt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o rw h i c ha l lt h ec h a r a c t e r i s t i cr o o t sh a v e n e g a t i v er e a lp a r t s 2 1 ，i nt h es i t u a t i o no fn e u r a ls y s t e m ，r e l a t i o n s h i p sb e t w e e nc h a r a c t e r i s t i c r o o t sa n dt h es t a b i l i t ya r em o r ec o m p l e x i nf a c t ，e v e ni fa l lt h er o o t sa r en e g a t i v e ，t h es y s t e mo f n d d e sc a ns t i l lb eu n s t a b l e w ek n o w , i ti si m p o r t a n ta n dn e c e s s a r yt os t u d yt h es t a b i l i t yo fas y s t e m i nf a c t ，t h ec r i t e r i af o rt h es t a b i l i t yo fs y s t e m sn d d e sc a nb ec l a s s i f i e di n t ot w oc a t e g o r i e sa c c o r d i n gt ot h e i r d e p e n d e n c eu p o nt h es i z eo fd e l a y s t h ec r i t e r i aw h i c hd o n ti n c l u d ei n f o r m a t i o no nd e l a y sa r e c a l l e dd e l a y - i n d e p e n d e n tc r i t e r i a o nt h eo t h e rh a n dt h o s ec a r r y i n gi n f o r m a t i o no nt h ed e l a y sa r e r e f e r r e dt od e l a y d e p e n d e n tc r i t e r i a i n19 6 7 ，b r a y t o na n dw i l l o u g h b y 【12 】f i r s tc o n s i d e r e dt h es y s t e mo fn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s ( n d d e s ) w i t has i n g l ed e l a y 剪7 ( t ) = l y 7 一7 - ) + m y ( t ) + n y ( t 一7 - ) t 0 ， ( 1 7 ) x ( t o ) = 妒( t ) ，t t o ， ( 1 8 ) t h e ys h o w e dt h a ts y s t e m ( 1 7 ) i sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l ei fl ，ma n dn a r er e a ls y m m e t r i cm a t r i c e s a n di 士l ，士ma r ep o s i t i v ed e f i n i t e l a t e ri n1 9 8 4 ，j a c k i e w e c z 【1 6 】c o n s i d e r e dt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h es y s t e m ( 1 7 ) i nt h e c a s ew h e r el ，ma n dna r ec o m p l e xn u m b e r s i n19 9 4 ，k u a n g ，x i a n ga n dt i a n 【2 6 】i n v e s t i g a t e d t h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f ( 1 7 ) i nt h ec a s ew h e r el ，ma n dna r ec o m p l e xm a t r i c e s i n1 9 9 5 ， h ua n dm i s t u i 【13 】g a v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o ns u c ht h a tt h es y s t e m ( 1 7 ) i sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l e i n19 9 8 ，z h a n ga n dz h o u 【18 】p r e s e n t e das u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h e s y s t e m ( 1 7 ) f u r t h e ri n19 9 9 ，q i u ，y a n g ，a n dk u a n g 【2 5 】r e c o n s i d e r e dt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t y o f ( 1 7 ) a n df o c u s e do nt h es t a b i l i t yo fn u m e r i c a lm e t h o d s r e c e n t l y k u a n ga n dt i a n 19 】h a v e s t u d i e dt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h en e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hm a n yd e l a y sw i t ht h e f o r m dd 圣= l x ( t ) + 必z ( t 一死) + 蛳 一丁 ) ，t 0 ， ( 1 ，9 ) 扛：1i = 1 x ( t o ) = 妒 ) ，t t o ， ( 1 1 0 ) i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rt h en e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hm u l t i p l ed e l a y s 一( 亡) = l z ( t ) + m x ( t r ) + n x 他，) ( 1 11 ) u n d e rt h ec o n d i t i o nl l l i o ( i = 1 ，d ) a r ec o n s t a n td e l a y s t h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o no ft h es y s t e m ( 1 11 ) i s d e t s i - l - m e 印( 一s 死) 一s e z p ( - s 瓦) = o ( z l ( t n ) ，z 2 ( t 一 ( 1 1 2 ) i ti sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l ei ft h es o l u t i o nx ( t ) t e n d st oz e r o 部t o o ，w eo b t a i nt w oc r i t e r i a t h r o u g ht h ee v a l u a t i o no fa h a r m o n i cf u n c t i o no nt h eb o u n d a r yo fac e r t a i nr e g i o na n dl o c a t et h e r e g i o nw h i c hi n c l u d e sr o o t so ft h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n ( 1 12 ) s oa st oe x c l u d et h eu n s t a b l e r e g i o no naw h o l ec o m p l e xp l a n e o u rr e s u l t sa r em o r eg e n e r a lt h a nt h er e s u l t sw h i c hc o n c e m e d s t a b i l i t yo fs i n g l e - d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a l t h o u g h 【19 】d i s c u s s e dm u l t i d e l a ye q u a t i o n s ， 2 c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n s y s t e m ( 1 11 ) h a sd e l a y st h a ta r ea l ld i f f e r e n ti nt h ev e c t o r , s oi t sa n a l y s i so fs t a b i l i t yi sm o r e c o m p l e x 1 2o u t l i n eo ft h ew o r k ab r i e fd e s c r i p t i o no tt h eo r g a n i z a t i o no ft h ep a p e ra sf o l l o w s i nc h a p t e r3 ，w ea l ec o n c e m e d w i t hb o t hd e l a y i n d e p e n d e n ta n dd e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t yc r i t e r i ao fs y s t e m ( 1 1 1 ) d e n o t e p ( s ) = 诎 s i - l - m e 印( 一s 7 - ) 一s e x p ( - s 下) _ u ( 钏) + 砌( 钏) ( 1 1 3 ) w h e nl i n i l 0 ，w h e r ep ( l ) i st h el o g a r i t h m i cn o r l no ft h em a t r i x 三 ( i ) f f a o 0 w ep u t 岛= o ，e = p ( l ) + 业丝紫 晶= 一p ( i l ) 一旦丝业掣，f = p ( - i l ) + 业丝业群 ( i i ) i f o ：0 0 w e p u t 岛= 口，e = p ( l ) + 韭生型帮e 印( 一q 丁) 晶= 一p ( i l ) 一生兰凹群e 印( 一q 丁) ，f = p ( - i l ) + 盟丝丛帮e 印( 一q 丁) w h e r eo ti sar o o to ft h ee q u a t i o n p ( 一三) 一旦垒丑糌e 印( 一口丁) = 口 a n d 丁= m i n t a ，乃) w ed e n o t ez 1 ，1 2 ，f 3 ，厶t h es e g m e n t s ( e 0 ，y ) ：f 0 y f ) ， ( z ，f ) ：岛z e ) ， 【( e ，y ) ：f osy f ) ，a n d ，f o ) ：岛zse ) r e s p e c t i v e l y , l = 2 lu1 2u1 3u1 4a n dl e td b et 1 1 er e c t a n g u l a lr e g i o ns u r r o u n d e db y1 l e tr = p ( i l i + m + 芈舯d e n o t e b yk t h eh a l fc i r c u l a rr e g i o nw i t hr a d i u sr c e n t e r e da tt h eo r i g i ni nt h ef i g h th a l fp l a n eo fc k = ( n0 ) ：7 r ，一丌2 0 7 r 2 ) l e tt r e p r e s e n t st h ei n t e r s e c t i o nd m k t h eb o u n d a r yo ft i sd e n o t e d b y0 7 a n d 于= t u f f c r i t e r i a1 ：i f f o ra n y ( z ，y ) 卯，t 1 1 er e a lp a r tu ( x ，y ) i n ( 1 1 3 ) d o e sn o tv a n i s h ，t h e nt h e s y s t e m ( 1 1 1 ) i sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l e c r i t e r i a2 ：a s s u m et h a tf o ra n y ( z ，y ) 0 7 ，t h e r ee m s t sar e a lc o n s t a n ta s a t i s f y i n g u ( x ，y ) + a u ( z ，y ) 0 t h e nt h es y s t e m ( 1 11 ) i sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l e i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e r e dt h ed e l a y - i n d e p e n d e n ts t a b i l i t yc r i t e r i ao ft h ef o l l o w i n gs y s t e m w h i c hi si n d e p e n d e n to ft h el l o r n lo fn t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： l e ta = 一弘( 一三一1 ) 一世，二斗驾篙骂舻， 岛= 南，e = 昙 a n d 晶= 一呆，f = 罢 w h e r e b = p ( l ) + 烂瑞矧赫， c = - # ( - i l ) + 世黜酬赫 d e n o t e1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4t h es e g m e n t s ( e 0 ，y ) ：晶可sf ， ( 。，f ) ：e o 茁e ) ， ( e ，y ) ： f o y f ) ，a n d 【( z ，f o ) ：e o z e ) r e s p e c t i v e l y , l = 1 1u1 2ul au1 4a n dl e tdb et h e r e c t a n g u l a rr e g i o ns u r r o u n d e db y1 o dr e p r e s e n tt h eb o u n d a r yo fd a n dd=duo d l e tr = 反祷糯驾l ，d e n o t eb ykt h ee x t e r n a lr e g i o no ft h eh a l fc i r c u l a rw i t hr a d i u sr c e n t e r e da tt h eo r i g i ni nt h er i g h th a l fp l a n eo fc k = ( r ，0 ) ：， r ，- 7 r 2 0 r r 2 l e tt r e p r e s e n t st h ei n t e r s e c t i o nd o k t h eb o u n d a r yo fti sd e n o t e db y0 ta n d 亍= t o o t c r i t e r i al ：s u p p o s ef o ra n y ( z ，y ) 砑，t 1 1 er e a lp a r tu ( x ，y ) i n ( 1 13 ) d o e sn o tv a n i s h ， t h e nt h es y s t e m ( 1 ii ) i sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l e c r i t e r i a2 ：a s s u m et h a tf o ra n y ( 。，y ) a t ，a n dt h e r ee x i s t sar e a ln u m b e r 入s a t i s f y i n g u ( x ，y ) + a v ( x ，y ) 0 t h e nt h es y s t e m ( 1 11 ) i sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l e i nt 1 1 ef o l l o w i n gp a r t w ew i l lp r e s e n ts o m ei m p o r t a n tr e s u l t si nt h et h e o r yo fa n a l y s i so f c o m p l e xv a r i a b l e sa n dt h el o g a r i t h m i cn o r mo fa m a t r i xw h i c hi su s e f u lf o ro u rc o m p u t a t i o n 1 3p r e l i m i n a r i e s 1 3 1z e r o so fa n a l y t i c a lf u n c t i o n si nab o u n d e dr e g i o n a sap r e l i m i n a r y , w ew i l li n t r o d u c et h e o r e m so nc o m p l e x v a r i a b l ef u n c t i o n s l e tw d e n o t e s ab o u n d e dr e g i o no ft h ec o m p l e xp l a n e t h es y m b o l s0 wa n dw r e p r e s e n tt h eb o u n d a r ya n dt h e c l o s u r eo fw ：r e s p e c t i v e l y t h a ti s ，w = o w u w 4 c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n f ( 8 ) = ，( z ，y ) = u ( x ，芗) + i v ( x ，芗) ， ( 1 1 4 ) b ea l la r b i t r a r ya n a l y t i c a lf u n c t i o nf o r8 彬，i 2 = - 1 ，s - - x + i y ，u ( z ，y ) = r e f ( 5 ) ，v ( x ，y ) = x m f ( s ) t h ef o l l o w i n gt w ot h e o r e m sg i v es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rn o n e x i s t e n c eo fz e r o so f f ( s ) ew t h et w ot h e o r e m so n l yr e q u i r et h ee v a l u a t i o no nt h eb o u n d a r y0 wo fh a r m o n i cf u n c t i o n se a c h c o r r e s p o n d i n gt of h e n c et h e ya r ec a l l e db o u n d a r yc r i t e r i a t h e o r e m1 3 1i ff o ra n y 伍川0 w , t h er e a lp a r t 比伍 i n ( 1 1 3 ) d o e sn o tv a n i s h ，t h e n f l x j ) 了的，f o r a n yl x 谬) w t h e o r e m1 3 2a s s u m et h a tf o ra n y 伍) ，j o w ，t h e r ee x i s t sar e a lc o n s t a n tas a t i s f y i n g 哦x ，了1 + a v ( x 净1 0 t h e n f ( s ) = u ( x , y ) + i v ( x 净) 0f o ra n y ( x 净) w 1 3 2 t h el o g a r i t h m i cn o r l l lo fam a t r i x t h el o g a r i t h m i cn o r mo fam a t r i xw a si n t r o d u c eb yd a h l q u i s ta n dl o z i n s k i j i th a sb e e n e x t e n s i v e l ya p p l i e di nt h ea r e ao fn u m e r i c a la n a l y s i sa n da u t o m a t i cc o n t r 0 1 l e tl jb es o m en o i t l lo n 泸l e t ”l ld e n o t et h ec o r r e s p o n d i n gi n d u c e dn o r l l lo nt h e7 t n m a t r i c e si nc 似n t h ef u n c t i o n1 1 i i ：c 似n r + i sac o n v e xf u n c t i o n ；t h e r e f o r e ，a te v e r yp o i n t x 俨黼，i | | | h a sao n e - s i d e dd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v ei na n yd i r e c t i o nw 俨跏；t h el i m i t 口l 。i m o + ( 1 l x + o w l l x ) o e x i s t s f o r a l lxa n d w ： t h eo n e s i d e dd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v eo fi | 1 la t ，c 似ni nt h ed i r e c t i o nwi sc a l l e dt h e l o g a r i t h m i cn o r mo ft h em a t r i xw a n di sd e n o t e db y 弘( 彤) t h u s ， f o ra c o m p l e xm a t r i xw jl e t “b et h el o g a r i t h m i cn o r r no fw ： p ( w ) 2 2 i m + ( 1 l i + o w l l 一1 ) 0 ( 1 1 5 ) t h ec o n c e p to ft h em e a s u r eo fam a t r i xa p p e a r sn a t u r a l l yi nt h es t u d yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c o n s i d e rx ( t ) = 4 ) z ) ，w h e r ea ( ) i sc o n t i n u o u s l e tu sb o u n dt h eo n e s i d e dd e r i v a t i v ei nt h e p o s i t i v ed i r e c t i o no fthi 妒( t ) i ，w h e r e 妒( 亡) i sa s o l u t i o no ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ： d + i 妒 ) i 全婪碑f l 妒p + p ) 一l q o ( t ) 1 o = 孕1 鼍【l 妒( t ) + p a ) 妒( t ) i l 妒( t ) i 】p ! i 恐【l | ，+ o a ( t ) l l l 妒( t ) l i 妒( t ) l i o h e n c eb yt h ed e f i n i t i o no fl o g a r i t h m i cn o r m ， 5 d + l 妒 ) i p ( a ( t ) ) l 妒( t ) ( 1 1 6 ) i n e q u a l i t y ( 1 16 ) i ss h a r p e rt h a nt h es t a n d a r do n e d + l 妒( t ) l i i p ( a 0 ) 0i 妒( t ) l i n d e e d ，p ( a ( t ) ) m a yb en e g a t i v e ，w h e r e a si i a ( t ) l li sa l w a y sn o n n e g a t i v e l e m m a1 3 1f o ra n ya 伊煳，p ( a ) i sw e l ld e f i n e d p r o o f c a l lf ( o ) t h er a t i oi n ( 1 1 2 ) ；w es h o wt h a ty ( o ) d e c r e a s e sa s0 0a n dt h a ti ti sb o u n d e d b e l o w h e n c ea s0d e c r e a s e st o0 ，f ( o ) t e n d st oaw e l l d e f i n e dl i m i t l e tk ( 0 ，1 ) k o f ( k o ) = i l ，+ k o a i i 一1 = i i k ( i + o a + ( 1 一k ) i ) l i 一1 k l l x + o a i l + 1 一k 一1 = k