（基础数学专业论文）几种函数空间的讨论.pdf

前言 对函数空间乘子理论的研究已经有很长的历史，国内外学者先后 获得了很多结果。乘子理论之所以引起国内外学者们的广泛重视，是因为 它是研究g l e a s o n 问题、函数空间性质、一般算子理论以及其他与数学应 用有关的理论中不可缺少的一部分。t a y l o r 和s t e g e n g a 最先在文 1 、 2 】中刻划了单位圆盘上d i r i c h l e t 型空间之间的点乘子，最近文 3 】又将 其结论推广到了c ”中单位球上；1 9 8 9 年， z h uk e h e 在文4 1 中用 b e r g m a n 测度研究了b l o e h 空间、小b l o c h 空间、b m 0 空间和v m o 空间上的点乘子，就在最近文 5 】、 6 】、 7 】、 8 】等对不同b l o c h 型 空间和不同小b l o c h 型空间以及混合模空间等空间之间的点乘子进行了讨 论但上述这些结果都是在同类型函数空间之间讨论的，然而我们在研究 两种不同类型函数空间的函数关系、算子问题时往往会涉及到两种函数空 间之间的点乘子，由于两种不同类型函数空间的范数可能差别很大，讨论 起来会碰到许多棘手的问题，所以直到2 0 0 3 年前国内外还无人专门研究 此问题，在2 0 0 3 年文【9 和【1 0 分别从两个方向获得了d i r i c h l e t 型空间 和b l o c h 型空间之间的点乘子这是针对两种不同类型函数空间考虑的。 大家知道伊空间是b 1 0 c h 空间的推广，并且一般函数空间f ( p ，q ，s ) 包 含很多空间，事实上如果我们能得到从空间f ( p ，q ，s ) 到空间伊的点乘 子，那么就得到了很多函数空间的相关结果。在第一章中，我们的主要工 作就是在参数p ，q ，s 以及取不同值时完成了对m ( f ( p ，g ，s ) ，伊) 的 刻划，我们得到如下结果： 定理1 3 1 设0 p ，s o o ，一n 一1 p o ，那么妒m ( f ( p ，q ，s ) ，伊) 当且仅当妒三o 定理1 3 2 设o p ，s 。，一诧一1 o 有pc 而；( 2 ) 当q p o 时 j pc 越但j p 正p 定理3 3 3 ( 1 ) 当o p n + 1 且o g 旦尹时， 占cl ：； ( 2 ) l ：c 厶+ l ； ( 3 ) 当诧+ 1 p ”t 醢譬 o ，札+ l 一景) ! 丝 时，三。”c 易+ 一 4 第一章c “中两类函数空间上的点乘子 1 1弓i 言和记号 设如为a ”中单位球b 上的正规化l e 6 e s e 弘e 测度，满足可( b ) = 1 ， 如是b 的边界a b 上的正规化旋转不变测度，满足盯( a b ) = 1 h ( b ) 表示b 上的全纯函数全体，日o 。表示b 上的有界全纯函数类。 对n b ，设9 ( z ，凸) = f 凹i 妒。( z ) l - 1 为b 上的一个在a 点具有对数 级奇点的g r e e 竹函数，其中是b 上的m 舀觇“s 变换，满足( o ) = q ， 妒。( o ) = 0 且i p 。= 妒i 1 设0 p ，s o 。，一n 一1 g ，只要，满足下述条件，我们 就称，属于一般函数空间f ( p ，g ，s ) 即，( b ) 且 f ( p m s ) 2 ，( 0 ) 骝厶f 咒m ) m 一9 9 5 ( 那) d ( 名) 一 。， 其中 删= 耋乃掣 7 = lu t 在上述范数下f ( p ，q ，s ) 是一个b 口几o c 危空间，如果q 十s 一1 ，那 么f ( p ，g ，s ) 简化成常值函数空间该空间最先由赵在文 2 0 中引入，如 果对参数p ，q ，s 取不同的值，它包含很多函数空间，诸如b c o c 九空闻， q 。空间，b m d 4 空间，甚至包含1 b e r 9 m o n 空间，b e s o e 空间等。 对a ( 一，+ ) ，称，属于b l o c h 型空间伊，如果厂日( b ) 且 f 厂i i 伊= i 厂( o ) f + s u p ( 1 一i z f 2 ) “f r 厂( g ) j 。 伊是b n 扎o c h 空间，当口 o 时伊简化成常值函数空间。p 1 和 伊( o a 1 ) 正好分别是b f d c 空间卢和l i p s c 胁名空间l l 一。 设x ，y 是b 上的两个全纯函数空间，我们称妒是从x 到y 的点 乘子，如果对任意的，x 都有妒，y 记点乘子的全体为m ( x ，y ) ( 2 ) 设p o ，如果，h ( b ) 且 化) i = 。f 斋) ，那么阿( 矧= 证明：这是文 1 0 中引理2 2 1 3 主要结论 1 一2 ) p “7 定理1 3 1 设u p ，s 。，一竹一l p o ，那么妒m ( f ( p ，q ，s ) ，伊) 当且仅当垆三o 证明：仅需要证必要性： 假设妒m ( f ( p ，g ，s ) ，p 8 ) 且o b 令 z ：辫：1 扎如铲 1 1 一 2 、“ 那么当1 2 i 妒。( z ) i 扎时，由( 1 3 1 ) 和文 2 2 】中命题1 4 1 0 我们有 z 2 瞰粥i r 丘( z ) 一9 圹( 那) d ( j i 耋j ； ；? ： l 叫1 2 ) 半- 1 q p ，由1 3 6 ，我们得到i 妒叫f _ o l 训_ 1 ， 再由 最大模原理知妒三叭 若礼+ 1 + q p ，那么o 1 ，由( 1 3 5 ) ， l ( n +1 + q ) ( 1 一l 叫1 2 ) 妒( z ) 【( 1 一i 叫| 2 ) r 妒( z ) l ， c l 瓦j i 两耳f 十正了i 弭乒怆丽 令z = 叫可得 m 圳两 x 侑彬l z j ：当u s 三n 盯，迓弹帘甄z ，a 满足 1 熹矗 一1 利用( 1 3 1 ) 和文 2 2 中命题1 4 1 0 我们有 2 眦) | l | r 厶( z ) | p ( 1 一9 9 5 ( ) d ( 名) k 刮 。鼍岩岽肆黑蓓祥嘶， 一 ，1 2 ( z ) i l妒1 1 一 l n + l + g + p1 1 一 1 2 s 、7 半( 1w ) p 厶f 等酬拼： ( 1 一i 。l 。) s 厶；：j ! 筹d 口( z ) ) 孝c ( 1 3 3 ) 县一青而 c 心i 叫。等黑等黑埘南州z ， ：c 厶l 。，。 ! ：；! ；i 端f r ：；拼z 。9 5 f 暑d u ( u ) 。j 川 1 21 1 一 i n + 1 + g + p1 1 一 1 2 n + 2 l u l “。、“7 = c 厶i 。，。 ! 二! ；基i ；： 嚣r f 二；笔亳z 。9 8 亡i d u ( 乱) 。川 1 21 1 一 i n + 1 + g + p 1 1 一 f 2 n + 2 + 2 q 。i u i “。、“7 c 如。尚赫f 举蛔8 扣 一。托，。南伽喃咖( u ) c 厶忉8 高州札) = c 上12 一”1 岫弓d r 二b 球) c _ ( 1 3 4 ) 因此由( 1 3 2 ) ，( 1 3 3 ) 和( 1 3 4 ) ，我们有 厶| r 厶( 名) 1 9 ( 1 一2 ) 9 矿( 名，n ) 咖( 名) = ( 上2 1 l 妒( z ) 厶( z ) l cf d 9 2 ( 1 一i z l 2 ) 一1 a = 1 【 co l l 妒( 叫) i c ( 1 一i 叫 2 ) 业笋一1f o 目2 ( 1 一i 伽 2 ) 1 o = 1 ( 1 3 6 ) 【e ( 1 一l 叫1 2 ) 半。 q p ，由( 1 3 6 ) ，我们得到i 妒( 叫) f o ( 1 训一1 ) ，再由 最大模原理知妒三叭 若礼+ 1 + q p ，那么o 1 ，由( 1 3 5 ) ， l ( n + 1 + q ) ( 1 一l 叫1 2 ) 妒( z ) 【( 1 一i 叫| 2 ) r 妒( z ) l ， c l 瓦j i 两耳f 十正了i 弭乒怆丽 令z = 叫可得 m 圳两南 c ( 1 _ 半一州斗n 吼( 岍 因为a 巧( f ( p ，g ，s ) ：p 。) 卢。，则 r 妒( 训) i e ( 1 一i 则 2 ) 一。，因而 删志 这说明妒三0 c ( 1 一i t l j i2 ) 丛声一。+ c ( 1 一i 伽1 2 ) 1 a ) ，o ( 1 训l 1 ) 定理1 3 2 设0 p ，s o o ，一n 一1 p ，那么妒m ( f ( p ，q ，s ) ，p 。) 当且仅当妒日( b ) 且 妒( z ) l = 。两嘉 ( 2 ) 如果n + 1 + g n ，那么妒订( f ( p 当且仅当 q ，s ) ，矿) 如= 妒：妒日”且! 哿( 1 一h 2 ) l r 妒( z ) l z 。9 r 二砰 p ，此时有q 1 利用( 1 3 6 ) 可得 咖) i 正面簪平 ( 2 ) 对于n + 1 + q 礼，此时可得 1 令 丘( 。) = 2 叼f 意 上2 眦) | l i 冗厶( z ) 忡一。g s ( 圳) 咖( 名) c k “删 p ，设 妒日( b ) 且l 妒( z ) 墨i 砑手二豆乒利用引理1 2 2 可得 ( 1 1 2 1 2 ) “l r 妒( z ) ，( 。) 】l ( 1 一1 2 1 2 ) 。( i ，( 。) 兄妒( 三) l + l 妒( 。) r ，( z ) i ) = ( 1 一卯) 学一1 批) ( 1 一n 一学十，怖( 。) + ( 1 一 z j 2 ) 壁产j r ，( z ) j ( 1 j 名i z ) n 一盛声j 妒( 名) j c 辛妒，。= 妒m ( f ( p ，g ，s ) ，。) 利用引理1 2 2 和条件可以完成( 2 ) 和( 3 ) 的证明，细节从略。 因为f ( 2 ，1 一n ，n ) = b m o a ，由定理1 3 1 可得， 推论对乜 1 ，妒m ( b m o a ，旷)当且仅当( p 兰o + 定理1 3 3 设 0 p ，s 。o ，o s 佗， 一s 一1 口 o 。， 礼+ 1 + q 2 p ，1 如果妒厶，那么妒m ( f ( p ，q ，s ) ，卢n ) 相 反地，如果妒m ( f ( p ，q ，s ) ，俨) ，那么，对任意0 e m 讥f 1 凡一 ( n s ) 礼，s p 咒) ，妒。厶、。，其中 厶，s2 妒：妒日( 曰) ，! 罂( 1 一2 ) “f 兄妒( z ) f 口0 9 r 二锄j 卜管。 o ，当 1 史得a z 一l ，【q + 8 一a ) 。 一1 我f 门有 z 2 眦) i 。1 。( 石) j 9 ( 1 一 ) 。9 5 ( 那) 咖( g ) c 厶d 等笫篙州名， 纠，刊h 厶芒掣舞撕炉 厶型等筹批炉 c 伽南弦 因此 ( 1 一h 2 ) 。j 吲妒( z ) 乳( z ) 】 f i 咏l g 叫f m 。) c f 卵r 南) 壶 ( 1 3 9 ) 利用引理1 2 2 ，可得 m 撕叼南，击拦三 如果取g = 叫，那么 m 叫叼南) 占 c ( 1 。i 刮2 叼1 南兰 【1 0 1 u j 根据( 1 3 9 ) 和( 1 3 1 0 ) ，有 ( 1 一i 叫1 2 ) “i r 妒( 训) if 0 夕丁二号砰c f 。9 丁二 i f 壶+ ( 1 一i 伽1 2 ) “i 妒( 伽) ir 兰爿舞 纠z 凹南叫管嚣1 笔纠忉南，壶 即 ( 1 一川2 州酬刮伽南) 1 。管1 = ( 1 一i 叫i 2 ) 。i r 妒( 伽) f 。9 丁二寻石乒) 1 一壶c 第二章 多圆柱上l i p s c h i t z 空间上复合算子的紧性 2 1引言和记号 设u ”= z = ( z 1 ，) c “：j 磊l 1 ，i = 1 ，n 为e n 上 的单位多圆柱； 日( u ”) 表示u “上的全纯函数类；对o a 1 ，c 厂n 上的l i p s c h i t z 空间l i p 。( 厂“) 定义如下： l i p 。( u “) = ，：厂日( u “) 且 。叫( 0 ) l + 尝自掣刊2 广。 o ，当 g u ”，出s t ( 妒( z ) ，a u ”) d 时， 斟筹l ( 南躲) 1 _ ， 茌艾口7j 中足理2 充分性的证明中( 7 ) 式的证明是建立在“由( 2 ) 式 成立易证( 1 ) 式也成立”基础上的，但这个前提是不正确的，因为只要存在 o 南 1 使得 z u ”：d i 豇( 妒( z ) ，a u “) 南) = u ”时( 2 ) 式就不存 在，如妒( z ) = ( 妒l ( z ) ，o ，0 ) u ”，其中妒l ( z ) = 3 1 ( 1 一z 1 ) 卢( 0 卢 o ) ，有f 妒1 ( 名) s3 1 2 p l ， 妒k ( z ) i = o ( 后= 2 ，n ) ，对 这个函数就没有( 2 ) 式，而文【1 7 】中( 7 ) 式的推导要用到文 1 7 中的( 1 ) 式，但此时 骡喜薹 高躲) 1 - “1 掣卜| 黑 高躲) 1 - 。i 掣 南) 1 - ) 1 。售矸 gf 矿与) 卜。南一o 。( r 一，) ， 即文 1 7 】中( 1 ) 式不成立，这样文 1 7 】中( 7 ) 式就推不出。 另外，在文 1 7 】定理2 必要性的证明中，情形3 是没有得到证明的， 因为文【1 7 】中情形3 的例子不是一个反例，实际上当为紧算子时，取 厂( z ) = z l l i p 。( “) ，贝 妒1 ( 2 ) = ( q ，) ( 名) l i m ( u ”) ，即i i 饥 o 。，由于情形3 先假定 e 。= 0 ，从而 醛( ，州n h 甏( 掣l 酗州一hl ) 耳笔者等钿 1 - 4 1 + 击躲r 制硼掣1 ) 壶( ，嘲2 ) l _ 。f 矗精 l _ 。砒i 掣i + 喜t 高躲) 1 _ 叫掣l sf f 妒l j l 妒l r f ! ! 二2 ：1 1 ，。 如( 1 一u ) ( 1 一q u ) 1 ( ，刊。z 1 南 砒+ 熹t 高瓣r “ 掣 d “ + 喜 高瓣r 。i 掣( j 。) ， 其中= m i n d 2 ，( 1 一。) 2 ) 上式说明文 1 中的反例不能直接导出 i 1 办不趋于o 本文的主要工作就是改进了文 1 7 】中的定理2 ，得到 了q 为l i m ( u ”) 上紧算子的充要条件。 2 2 引理及其证明 引理2 2 ，1 设o 口 1 ， 乃) 为l i ( u “) 上任一有界列且在u n 的任一紧子集上一致收敛于o ，则 船骂r z ) | 2 【j ，j _ 。oz u n 。 且对任意的0 时 8 印i 办( z ) l 时 j 办( z ) i l 办( 名) 一如( 名引+ j 乃( z 引n 蝎s + e 所以 s u p i 乃( z ) l ( n j 】i 如+ 1 ) ( 2 1 3 ) 2 u “一u 晋 由( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 知 3 观s u pj 办( z ) i = o j 4 。z u “ 。 任取o d 1 以及满足l 劫l d 的z u ”，利用c a u c h y 估计式 ( l e m m a2 叫2 3 ) ，有 j 掣k 骝舰搠乩，陋恶j 由前面的结论知 恕哿1 掣j 。o o ：u “d 劫 旧i 6 2 3 定理及其证明 定理2 3 1设0 a o ，存在o o ，对任意的自然数 j = 1 ，2 有 耋( 高瓣) l - 。l 掣协。 ( 2 3 2 ) 鲁、1 一i 妒? ( ) 2 7l a l 一。” 。7 作函数列 有 州沪等黪器 掣：生訾嗡笋，掣= 吣剐a 劫 一 ( 1 一魂甄( 护) 3 一。 a 魂 “”7 我们就h j 推出i i 0 ( 2 0 = ) 2 ”。十1 ，即 b ) 为l 印。( u “) 上的有 界列。 设e 为矿”中任一紧集，必存在o r 0 ， 故当j 一。o 时i i o 不趋于o ，矛盾! ( 充分性) 设 办 为l i m ( u “) 上任一有界列且在v “的任一紧子 集上一致收敛于o 记m 0 = s u p fl l 乃忆 o ，jo o ， 当j 时，有 从而由忱上劫a ( u “) ，记尬2f 凇jj 慨，得到 耋”k n h 掣l 掣 骝胁 = 耋耋”n hj 掣川掣| = 叠 娄+ 姜m 叱一h 掣掣l = + ( 1 一2 ) 卜。型i 坐磐型l 向= if _ lb l u z 蠡( ，+ “，z 2 磐。射筠r 。掣k h 州刮2 广。i 掣 + 姜( 1 刊2 ) i - 。i 掣川掣b 鲋e + 砉姜恻k i 掣i七= 1 k l u 叫f 妒“zj 1 3 i u o ) 和如分别在范数l l ，五= i n f p | | 和l f 州山= l ，( o ) f + i n f | | 下是b a n a c h 空间，其中下确界是分别对满足( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) 式 的复b o r e l 测度芦来取的，i 川i 为肛的全变差。 h a l l e n b e c kd 工在文【1 8 】就单复变中讨论了b o s o v 空间、d i r i c ! 1 1 e t 型空间的包含关系；就在最近，刘聪文等在文 1 9 就多复变情形研究了一 些基本性质，同时也研究了厶和h a _ r d y 空间、b m o a 空间、d j r i c h l e t 型 空间的关系。笔者在此基础上探讨了多复变中五和b l o c h 型空间、b o s o v 空间、b e r g m a n 空间的包含关系。 b l o c h 型空间伊、b o s o v 空间p 、b e r g h l a n 空间醒分别定义如 下： 卢9 = ，：，日( b ) 且i i 川伊2 i ，( o ) l + ：酱( 1 一) 9 l r 厂( z ) l 咒，m ： 圮= ，：，日( b ) 且州醒= ( 门，( z ) 尸咖( z ) ) j 。) ( o o ， 使得n e f 6 e 。 引理3 2 1日1c 厶 3 1 引理及其证明 证明： 因厂日1 ，由c a u c h y 积分公式有 化) 2 z 岛蛾) 其中，+ 为厂在s 上的边值，取咖= 厂+ 如即可。 引理3 t 2 2 设o g o 时， f z ) = ，赢k 三。如带存在p a 使得 。a = ! ；等；i 三i 墅z f “d 肛( 专) ( s 。) 2 3 又 r ( i q l + q ) 司而2 r ( q ) r ( i l + q ) r ( p )r ( 牮) a ! 由( 3 ，2 1 ) ，( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) 式可得命题结论。 z p 舡( ) ( 3 2 3 ) 引理3 2 3 若厂日( b ) 且0 = 培以( 1 一) 9 蚪”一1 f r ( m ，( ) j d 矿 ) 出 佗，m 证明：先证m = 0 的情形。 令萝( 2 ) = 掰口一1 ( 1 ) 9 g 一1 ，( z ) 出，则 尬( r ，9 ) = z1 9 ( r ) i d 仃( ) 五1 ( 1 一) ，一n 一1z i ，( t r ) i d 盯( ) 出 z 1 ( 1 一 ) 一一n 一1 尬( f ，) 班= 乃 n ，乃 o ，o p q ，则当o s 1 时， p + 1 时，厶c 卢q ， 证明：( 1 ) 任取，伊 g p + 1 ； 茎c l l p i 启万扣( 1 0 9 击) 办( ；2 p + 1 p 十l f 3 3 2 1 当t 很大时，由于p 0 ，因此( & 3 2 ) 式只有第一种可能，从而可得：当 g p + 1 时，c 1 1 o 有pc 占；( 2 ) 当q p o 时， j pc q 但j p 正 证明：( 1 ) 由引理3 2 3 立即可得 ( 2 ) 当，山时，由文献 1 9 】的定理3 1 可知r ( ”，厶+ 。，则存在 p a ，使得 ，、 ， 硝叫m ) = zf 器， 当p + m n 时，由文献 2 2 中命题1 4 1 0 知 zl 兄( m ) ，( r ) j d 矿( ) zz 二_ 辫d 盯( ) = u 黾 蓑耘酬叩) c z 石 f p + m 叫p 吖7 。u 厶( 1 1 7 、p + m 一竹洲枢滞 凼j 比 | ，f i 。= i ，( o ) l + z 1 zrm，(r亭)j(1一r)，一n+m一1如(f)。，再由文献19 中推论3 1 可得厂如扣 i ，( o ) i + c l i p j l z 1 ( 1 一r ) 9 9 一d r o 时山旺p 取1 化) 2f 南( 叩s ) ， 因为1是占的乘子，由文献19】中引理41知，易，但 石1 z l 尺m ，( r f ) f ( 1 一r ) 9 一r 冲m 一1 d 旷( ) d r 故，皇。 定理3 3 3 ( 1 ) 当o p 咒+ l 且o q 警时，易c 壤； ( 2 ) 三：c 厶+ l ； ( 3 ) 当n + 1 p m o z o ，n + 1 一老者) 时，l a c 易+ 。 证明： ( 1 ) 当p q o c i l p l l 。时l o g i d r p q n = o ， ic i i p | | 9p q n o 故，醒 当o p n + 1 ，o g - 1 使得p 9 1 n + 1 ，则 由已证结论得占cl 蛩cl 墨总之，当o p n + 1 且o q n + 1 时，任取，( z ) 2 磊血a 严l “9 ，当 l n z o ，礼+ 1 一舞备) 盯 1 时，o 1 一盯 o 记 ， 九( z ) 2i 弋；_ 二南z 1t ”( 1 一t ) 9 一n 一2 + 。，( t 。) d t ， 由文献 2 6 中引理2 知 又 尬( r ， ，) = zl ( r 2 ) i d 矿( ) c z 上1 ( 1 一t ) 一一n 2 + 。1 ，( r 2 t ) l d 盯( ) d t = c z l ( 1 一t ) 9 2 + 。尬( r 2 t ，) 出 z 1 ( 1 一t ) 9 一n 一2 + 。( 1 一r t ) 岬一南) m 学( 盹，) 出 ( 1 一九) ”( 1 一景) 1 ( 1 一曲n ( 南一1 ) 一1 + 。 由( 3 3 3 ) 式和引理3 2 4 知 z 1 尬( “， ) d n 2 2 1 尬( r 2 ， ) d r = 2 2 1 m r ，k ) d r c z l 曼c 1 ( 1 一r ) 1 1 ( 1 一r ) 1 孑z 1 ( 1 一t ) 南一1 m 宁( n ，) 出打 孑 z 1 傅( 鸭刖t 南打 纠1 川l 梦石1 赤办 ( 3 3 3 ) 由引理3 2 3 知 厶+ 1 ，再由引理3 2 2 可得，易+ 一 当盯1 时，任取m a x o ，n + 一1 一嚣) 盯1 1 ，由已证的结果 知，山+ ，。，再由文献 19 中推论3 1 可得厂如扣 1 8h h i l e n b e c kd j & m 卵g r e o r thn a c t i o n a lc a u c h yt r a n s 6 叫m s ，i n n e rf o u n c t i o n s a n dm u l t i p l i e r s j 】，l o n d o n m a t h s o c ，1 9 9 6 ，7 2 ( 3 ) ：1 5 7 - 1 8 7 1 9 刘聪文、史济怀，俨中的分数次c a u c l l y s t i e l t j e s 积分族 j 】，数学年 刊，2 0 0 2 ，2 3 a ( 3 ) ：2 9 7 - 3 0 6 ， 2 0 z h a orh o nag e n e r a lf a m i i yo ff u n c t i o ns p a e e s j 】，a n n a c 们s c i m 砒h d i s s ，1 9 9 6 ，1 0 5 2 1 z h u ow x o u y a n g chm 面 u si n v a r i a n tg r a d i e n ta n du t t k 血一日z 。c 危f u n c t i o n s j ，a c t am a t h s c i e t i a2 0 0 2 ，2 2 b ( 3 ) ：2 9 5 _ 3 0 l 2 2 r u d i nw ， n l n c t i o n 七h e o r yi nt h eu n i tb 甜lo f 伊i m ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e w 1 y o r k 1 9 8 0 2 3 h uzj e s t i m a t e sf b rt h ei n t e 盯a im e a n so fh a r m o n i cf u n c t i o l l so nb o u n d e d d o t n a i n si nr of j l ，s c i e n c ei nc h i n a ，1 9 9 5 ，3 8 ：3 6 - 4 5 2 4 s h ijhi n e q u a l i t i e sf o rt h ei n t e 雎出m e a n sa n dt h e i rd e r i v a t i 砌i nt h eb a l lo f c mf j ln a n sa m e r m a t h s o c ，1 9 9 l ，3 2 8 ( 2 ) ：6 1 9 _ 6 3 7 2 5 z h u owxh i 曲e ro r d e rr a d i a ld e r i v a t i v e 8o fb l o c ht y p ef o u n c t i o n sm j o f m a t h s t u d y ，2 0 0 2 ，3 5 ( 1 ) ：l 鼻1 7 2 6 s h ijhh a r d y l i t t k w o o dt h e o r e m so nb o u n d e ds y m m e 七r i cd o m a i n s 【j s c i e n t i a l s i n i c a 1 9 9 8 3 l a ：9 1 6 _ 9 2 6 2 7 ，徐辉明，刘太顺多圆柱上不同b 1 0 c h 型空间之问的加权复合算子【j 】，数 学年刊a 辑( t o 印p e ”) 2 8 。z h a n 置xj e x t e d e dc e s a r oo p e r a t o r so nd i r i c h l e tt y p es p a c e sa n db l o c ht y p e s p a c e so fc ” j j ，c h j m a n n o fm a t l l ，2 0 0 4 2 5 a ( t oa p p e ”) 2 9z h 粕gxj ，t h ec o e m c i e n tm u l t i p l i e rb e 七骶e np _ b 1 0 c hs p a c e 伊( b ) a n d d i r i c h l e t t y p es p a c e 口g ( b ) o fg “ j ，c h i n a n n o f m a t h ，2 0 0 3 ，2 4 a ( 1 ) ：1 3 - 2 2 ；乞r a n s l a t i o ni n c l l i n e s e j c o n t e m p m a t h 2 0 0 3 ，2 4 ( 1 ) ：1 3 - 2 2 3 0 肖建斌，有界对称域上的廿9 函数的系数乘子i j 】，中国科学a 辑，1 5 ， 2 5 f 1 1 ：1 2 2 l ， 3 1 史济怀，多复变函数论基础【m 1 ，北京：高等教育出版社， 1 9 9 6 7 9 _ 1 2 4 3 2 z h uk hb l o c ht y p es p a c e so fa n a l y t i cf u n c t i o n s ( j 】r o c l l ym o u n t a i nj m a t h 9 9 3 2 3 ：1 1 4 3 一1 1 7 7 3 3 r u d